次数 4 の逆行列を求めます。 代数的加算を使用して逆行列を計算するアルゴリズム: 随伴行列法

定義 1:行列式がゼロの場合、行列は特異と呼ばれます。

定義 2:行列式がゼロに等しくない場合、行列は非特異的と呼ばれます。

行列 "A" と呼ばれます 逆行列、条件 A*A-1 = A-1 *A = E (単位行列) が満たされる場合。

正方行列は、非特異である場合にのみ可逆です。

逆行列を計算するスキーム:

1) 次の場合に行列 "A" の行列式を計算します。 ∆ A = 0 の場合、逆行列は存在しません。

2) 行列「A」のすべての代数補数を求めます。

3) 代数加算行列の作成 (Aij)

4) 代数の補数の行列 (Aij )T を転置します。

5) 転置行列にこの行列の行列式の逆数を掛けます。

6) チェックを実行します。

一見すると複雑に見えるかもしれませんが、実際にはすべてが非常にシンプルです。 すべての解決策は単純な算術演算に基づいています。解決する際に重要なことは、「-」と「+」の記号を混同したり、失わないようにすることです。

では、逆行列を計算して実際のタスクを一緒に解決しましょう。

タスク: 下の図に示されている逆行列 "A" を見つけます。

1. 最初に行うことは、行列 "A" の行列式を見つけることです。

説明：

基本関数を使用して行列式を単純化しました。 まず、1 行目の要素を 1 つの数値で乗算して 2 行目と 3 行目に追加しました。

次に、行列式の 2 列目と 3 列目を変更し、その性質に応じてその前の符号を変更しました。

3番目に、2行目の共通約数(-1)を取り、再度符号を変えるとプラスになりました。 例の最初と同じ方法で 3 行目も簡略化しました。

対角線より下の要素がゼロに等しい三角形行列式があり、性質 7 により、対角要素の積に等しくなります。 結局、私たちは得ました ∆ A = 26、したがって逆行列が存在します。

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 = -1*(9+2) = -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. 次のステップでは、加算結果から行列をコンパイルします。

5. この行列に行列式の逆数、つまり 1/26 を掛けます。

6. 次に、次のことを確認する必要があります。

テスト中に恒等行列を受け取ったため、解決策は完全に正しく実行されました。

逆行列を計算する2つの方法。

1. 基本的な行列変換

2. 基本コンバーターによる逆行列。

基本的な行列変換には次のものが含まれます。

1. 文字列にゼロ以外の数値を乗算します。

2. 任意の行に数値を掛けた別の行を追加します。

3. マトリックスの行を交換します。

4. 一連の基本変換を適用すると、別の行列が得られます。

あ -1 = ?

1. (A|E) ～ (E|A) -1 )

2.A -1 * A = E

実数を使った実際の例を使用してこれを見てみましょう。

エクササイズ：逆行列を求めます。

解決：

確認しよう：

解決策について少し説明します。

まず、行列の行 1 と行 2 を再配置し、最初の行に (-1) を乗算します。

その後、最初の行に (-2) を乗算し、行列の 2 行目に加算しました。 次に、行 2 を 1/4 で乗算します。

変換の最終段階では、2 番目の行を 2 で乗算し、それを最初の行と加算します。 その結果、左側に単位行列が得られ、したがって、逆行列は右側の行列になります。

確認した結果、その決定は正しかったと確信しました。

ご覧のとおり、逆行列の計算は非常に簡単です。

この講義の最後に、このような行列の性質についても少し時間をかけて説明したいと思います。

条件 $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ が満たされる場合、行列 $A^(-1)$ は正方行列 $A$ の逆行列と呼ばれます。ここで $E $ は単位行列で、その次数は行列 $A$ の次数と同じです。

非特異行列とは、行列式がゼロに等しくない行列です。 したがって、特異行列とは、行列式がゼロに等しい行列です。

逆行列 $A^(-1)$ は、行列 $A$ が特異でない場合にのみ存在します。 逆行列 $A^(-1)$ が存在する場合、それは一意です。

逆行列を求める方法はいくつかありますが、そのうちの 2 つを見てみましょう。 このページでは、ほとんどの高等数学コースで標準とみなされている随伴行列法について説明します。 逆行列を求める 2 番目の方法 (基本変換の方法) は、ガウス法またはガウス-ジョルダン法の使用を伴いますが、第 2 部で説明します。

随伴行列法

行列 $A_(n\times n)$ が与えられるとします。 逆行列 $A^(-1)$ を求めるには、次の 3 つの手順が必要です。

1. 行列 $A$ の行列式を見つけて、$\Delta A\neq 0$ であることを確認します。つまり、 行列 A が特異でないこと。
2. 行列 $A$ の各要素の代数補数 $A_(ij)$ を作成し、見つかった代数から行列 $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ を書き込みます補足します。
3. 式 $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ を考慮して逆行列を記述します。

行列 $(A^(*))^T$ は、行列 $A$ の随伴 (相互、関連) と呼ばれることがよくあります。

手動で解法を行う場合、最初の方法は比較的小さい次数の行列 (2 番目 ()、3 番目 ()、4 番目) にのみ適しています。 高次行列の逆行列を見つけるには、他の方法が使用されます。 たとえば、ガウス法については第 2 部で説明します。

例その1

逆行列を求めます $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(配列) \right)$。

4 番目の列の要素はすべて 0 に等しいため、$\Delta A=0$ になります (つまり、行列 $A$ は特異です)。 $\Delta A=0$ なので、行列 $A$ に対する逆行列は存在しません。

例その2

行列 $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$ の逆行列を求めます。

随伴行列法を使用します。 まず、指定された行列 $A$ の行列式を見つけてみましょう。

$$ \デルタ A=\左| \begin(配列) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(配列)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103。 $$

$\Delta A \neq 0$ であるため、逆行列が存在するため、解を続けます。 代数の補数を見つける

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(aligned)

代数加算の行列 $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$ を作成します。

結果の行列を転置します。 $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (結果として得られる行列は、行列 $A$ に対する随伴行列または関連行列と呼ばれることがよくあります)。 式 $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ を使用すると、次のようになります。

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(配列) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(配列)\right) =\left(\begin(配列) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(配列)\right) $$

したがって、逆行列が見つかります: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\右)$。 結果の真偽を確認するには、$A^(-1)\cdot A=E$ または $A\cdot A^(-1)=E$ のいずれかの等式の真偽を確認するだけで十分です。 $A^(-1)\cdot A=E$ が等しいことを確認してみましょう。 分数の処理を減らすために、$\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 の形式ではなく行列 $A^(-1)$ を代入します。 & 5/103 \ end(array)\right)$、形式 $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(配列)\right)$:

答え: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$。

例その3

行列 $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ の逆行列を求めます。 。

行列 $A$ の行列式を計算することから始めましょう。 したがって、行列 $A$ の行列式は次のようになります。

$$ \デルタ A=\左| \begin(配列) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(配列) \right| = 18-36+56-12=26。 $$

$\Delta A\neq 0$ なので、逆行列が存在するため、解法を続けます。 与えられた行列の各要素の代数補数を求めます。

代数加算の行列を作成し、転置します。

$$ A^*=\left(\begin(配列) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(配列) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(配列) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(配列) \right) $$

式 $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ を使用すると、次のようになります。

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(配列) \right)= \left(\begin(配列) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(配列) \right) $$

$A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(配列) \right)$。 結果の真偽を確認するには、$A^(-1)\cdot A=E$ または $A\cdot A^(-1)=E$ のいずれかの等式の真偽を確認するだけで十分です。 $A\cdot A^(-1)=E$ が等しいことを確認してみましょう。 分数の処理を減らすために、$\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ の形式ではなく行列 $A^(-1)$ を代入します。 \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$、形式 $\frac(1)(26) )\cdot \left( \begin(配列) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(配列) \right)$:

チェックは成功し、逆行列 $A^(-1)$ が正しく見つかりました。

答え: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(配列) \right)$。

例4

行列 $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 の逆行列を求めます& 8 & -8 & -3 \end(配列) \right)$。

4 次行列の場合、代数加算を使用して逆行列を見つけるのは多少困難です。 ただし、そのような例は試験問題で発生します。

逆行列を求めるには、まず行列 $A$ の行列式を計算する必要があります。 この状況でこれを行うための最良の方法は、行列式を行 (列) に沿って分解することです。 任意の行または列を選択し、選択した行または列の各要素の代数補数を求めます。

多くのプロパティの逆と同様です。

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字幕

逆行列の性質

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A)))、 どこ det (\displaystyle \\det )は行列式を表します。
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) 2 つの正方可逆行列の場合 A (\displaystyle A)そして B (\表示スタイル B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T))、 どこ (. . .) T (\displaystyle (...)^(T))は転置行列を表す。
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))任意の係数に対して k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• 連立一次方程式を解く必要がある場合、(b は非ゼロベクトル)、ここで x (\表示スタイル x)が目的のベクトルであり、 A − 1 (\displaystyle A^(-1))存在するなら x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b)。 それ以外の場合は、解空間の次元がゼロより大きいか、解がまったく存在しません。

逆行列を求める方法

行列が可逆行列の場合は、次のいずれかの方法を使用して逆行列を見つけることができます。

正確な (直接的な) メソッド

ガウス・ジョーダン法

2 つの行列を考えてみましょう。 あそして独身 E。 マトリックスを提示しましょう あ Gauss-Jordan 法を使用して単位行列に変換し、行に沿って変換を適用します (列に沿って変換を適用することもできますが、混合することはできません)。 各演算を最初の行列に適用した後、同じ演算を 2 番目の行列に適用します。 最初の行列の単位形式への縮小が完了すると、2 番目の行列は次と等しくなります。 A−1.

ガウス法を使用する場合、最初の行列の左側に基本行列の 1 つが乗算されます。 Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(1 つの位置を除いて、主対角上に 1 があるトランスベクションまたは対角行列):

すべての演算を適用した後の 2 番目の行列は次と等しくなります。 Λ (\displaystyle \Lambda)、つまり、それが望ましいものになります。 アルゴリズムの複雑さ - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

代数補体行列の使用

行列の逆行列 A (\displaystyle A)、次の形式で表すことができます。

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

どこ adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- 随伴行列;

アルゴリズムの複雑さは、行列式 O det を計算するアルゴリズムの複雑さに依存し、O(n²)・O det に等しくなります。

LU/LUP 分解の使用

行列方程式 A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))逆行列の場合 X (\displaystyle X)コレクションとして考えることができます n (\表示スタイル n)フォームのシステム A x = b (\displaystyle Ax=b)。 と表しましょう i (\displaystyle i)行列の列目 X (\displaystyle X)を通して X i (\displaystyle X_(i)); それから A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n)、なぜなら i (\displaystyle i)行列の列目 I n (\displaystyle I_(n))は単位ベクトルです e i (\displaystyle e_(i))。 言い換えれば、逆行列を見つけることは、同じ行列と異なる右辺を持つ n 個の方程式を解くことになります。 LUP 分解 (O(n³) 時間) を実行した後、n 個の方程式をそれぞれ解くのに O(n²) 時間かかるため、この部分の作業にも O(n³) 時間がかかります。

行列 A が特異でない場合、LUP 分解を計算できます。 P A = LU (\displaystyle PA=LU)。 させて P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D)。 次に、逆行列のプロパティから次のように書くことができます。 D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1))。 この等式に U と L を掛けると、次の形式の 2 つの等式が得られます。 U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))そして DL = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1))。 これらの等式の最初のものは、次の n² 線形方程式系です。 n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))そこから右辺が (三角行列の特性から) わかります。 2 番目の式も、次の n² 線形方程式系を表します。 n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))そこから右辺がわかります (三角行列の特性からも)。 これらは一緒になって n² 等式の系を表します。 これらの等式を使用して、行列 D のすべての n² 要素を再帰的に決定できます。その後、等式 (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D から次の等式が得られます。 A − 1 = DP (\displaystyle A^(-1)=DP).

LU 分解を使用する場合、行列 D の列の置換は必要ありませんが、行列 A が非特異であっても解が発散する可能性があります。

アルゴリズムの複雑さは O(n³) です。

反復法

シュルツ法

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

誤差の推定

初期近似値の選択

ここで考慮される反復行列逆変換プロセスにおける初期近似の選択の問題により、行列の LU 分解などに基づく直接逆行列法と競合する独立した汎用手法としてプロセスを扱うことはできません。 選択する際の推奨事項がいくつかあります U 0 (\displaystyle U_(0))、条件の充足を保証する ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (行列のスペクトル半径は 1 未満)、これはプロセスの収束に必要かつ十分です。 ただし、この場合、まず、可逆行列 A または行列のスペクトルの推定値を上記から知る必要があります。 A A T (\displaystyle AA^(T))(つまり、A が対称正定行列の場合、 ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta )、その後、あなたは取ることができます U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E)、 どこ ; A が任意の非特異行列であり、 ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta )、そして彼らは信じます U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T))、ここでも α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); もちろん、状況を単純化し、次の事実を利用することもできます。 ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))、 置く U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))）。 第 2 に、この方法で初期行列を指定する場合、次のことが保証されません。 ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)小さくなるだろう（おそらく実際には小さくなるだろう） ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)）、高い収束率はすぐには明らかになりません。

例

マトリックス 2x2

2x2行列の反転は、次の条件下でのみ可能です。 a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

通常、逆演算は複雑な代数式を単純化するために使用されます。 たとえば、分数で割る演算が問題に含まれている場合は、分数の逆数を乗算する演算 (逆演算) に置き換えることができます。 また、行列は割り算できないので、逆行列を掛ける必要があります。 3x3 行列の逆数を計算するのは非常に面倒ですが、手動で実行できる必要があります。 優れたグラフ電卓を使用して逆数を見つけることもできます。

ステップ

随伴行列の使用

元の行列を転置します。転置とは、行列の主対角線を基準にして行を列に置き換えることです。つまり、要素 (i,j) と (j,i) を交換する必要があります。 この場合、主対角線の要素 (左上隅で始まり、右下隅で終了) は変わりません。

• 行を列に変更するには、1 行目の要素を 1 列目に、2 行目の要素を 2 列目に、3 行目の要素を 3 列目に書き込みます。 要素の位置を変更する順序は図に示されており、対応する要素は色付きの丸で囲まれています。