二重積分を計算する実際のプロセスを検討し、その幾何学的意味を理解します。

二重積分は、数値的には平面図形の面積（積分領域）に等しくなります。これは、2 つの変数の関数が 1 に等しい場合の二重積分の最も単純な形式です。

まず、問題を一般的な形式で見てみましょう。ここで、すべてが実際にどれほど単純であるかに非常に驚かれるでしょう。線で囲まれた平面図形の面積を計算してみましょう。明確にするために、セグメント上にあると仮定します。この図の面積は数値的には次のとおりです。

その領域を図に描いてみましょう。

エリアを横断する最初の方法を選択しましょう。

したがって：

そしてすぐに重要な技術的テクニック: 反復積分は個別に計算できます。最初に内側の積分、次に外側の積分です。この分野の初心者にはこの方法を強くお勧めします。

1) 内部積分を計算してみましょう。積分は変数「y」に対して実行されます。

ここでの不定積分は最も単純であり、その後はありきたりなニュートン・ライプニッツの公式が使用されますが、唯一の違いは次のとおりです。 積分の限界は数値ではなく関数です。まず上限を「y」（逆微分関数）に代入し、次に下限を代入します。

2) 最初の段落で得られた結果は、外部積分に代入する必要があります。

ソリューション全体をよりコンパクトに表すと次のようになります。

結果の式は、まさに「通常の」定積分を使用して平面図形の面積を計算するための実用的な公式です。レッスンを見る 定積分を使用した面積の計算、あらゆる段階で彼女はそこにいます！

あれは、 二重積分を使った面積計算の問題あまり変わらない定積分を使って面積を求める問題から！実は同じことなのです！

したがって、いかなる困難も生じないはずです。実際、皆さんも何度もこの作業に遭遇しているので、あまり多くの例は見ません。

例9

解決：その領域を図に描いてみましょう。

次のエリアの移動順序を選択してみましょう。

非常に詳細な説明が最初の段落で与えられているため、このエリアを横断する方法についてはここでは詳しく説明しません。

したがって：

すでに述べたように、初心者にとっては反復積分を個別に計算する方が良いため、私は同じ方法に固執します。

1) まず、ニュートン・ライプニッツの公式を使用して、内部積分を処理します。

2) 最初のステップで得られた結果が外部積分に代入されます。

ポイント2は実際に定積分を使って平面図形の面積を求めることです。

答え：

これはとても愚かで素朴な仕事です。

独立したソリューションの興味深い例:

例 10

二重積分を使用して、線、、で囲まれた平面図形の面積を計算します。

最終的な解決策のおおよその例はレッスンの最後に示されます。

例 9 ～ 10 では、エリアを走査する最初の方法を使用する方がはるかに有益です。ちなみに、興味のある読者は、走査の順序を変更し、2 番目の方法を使用してエリアを計算できます。間違いがなければ、当然ながら同じ面積値が得られます。

ただし、場合によっては、エリアを横断する 2 番目の方法の方が効果的です。若いオタク向けコースの最後に、このトピックに関するさらにいくつかの例を見てみましょう。

例 11

二重積分を使用して、線で囲まれた平面図形の面積を計算し、

解決：横たわる一癖ある二つの放物線に期待したい。笑う必要はありません。同様のことは多重積分でもよく起こります。

絵を描く最も簡単な方法は何ですか?

2 つの関数の形の放物線を想像してみましょう。
– 上のブランチと – 下のブランチ。

同様に、上下の形の放物線を想像してください。枝。

次に、グラフを点ごとにプロットすると、次のような奇妙な図が得られます。

次の式に従って二重積分を使用して図の面積を計算します。

エリアを横断する最初の方法を選択するとどうなるでしょうか? まず、この領域は 2 つの部分に分割する必要があります。そして第二に、次のような悲しい状況を観察します。。もちろん、積分は超複雑なレベルではありませんが...「ルーツに近い人にはテストは必要ない」という古い数学の格言があります。

したがって、条件で与えられた誤解から、逆関数を表現します。

この例の逆関数には、葉、ドングリ、枝、根を含まずに放物線全体を一度に指定できるという利点があります。

2 番目の方法によると、エリアの走査は次のようになります。

したがって：

彼らが言うように、違いを感じてください。

1) 内部積分を扱います。

結果を外部積分に代入します。

変数「y」の積分は混乱しないはずです。文字「zy」があれば、それを積分すると便利です。レッスンの第 2 段落を読んだのは誰ですか 回転体の体積を計算する方法, 彼は、「Y」メソッドによる統合にわずかなぎこちなさを感じなくなりました。

最初のステップにも注意してください。被積分関数は偶数であり、積分の区間はゼロに関して対称です。したがって、セグメントを半分にすることができ、結果は 2 倍になります。このテクニックについてはレッスンで詳しく説明します。 定積分を計算するための効率的な方法.

何を追加するか…。全て！

答え：

統合手法をテストするには、次の計算を試してください。。答えはまったく同じになるはずです。

例 12

二重積分を使用して、線で囲まれた平面図形の面積を計算します

これは自分で解決できる例です。興味深いのは、領域を横断する最初の方法を使用しようとすると、図を 2 つに分割する必要がなくなり、3 つの部分に分割されることです。したがって、3 組の反復積分が得られます。しばしばそれは起こります。

マスタークラスが終わり、グランドマスターレベルに進む時が来ました - 二重積分を計算するにはどうすればよいですか? 解決策の例。 2回目の記事ではあまりマニアックにならないように頑張ります=)

私はあなたの成功を祈って！

解決策と答え:

例 2:解決： 地域を描こう 図面上で：

次のエリアの移動順序を選択してみましょう。

したがって：
逆関数に移りましょう。

したがって：
答え：

例 4:解決： 直接関数に移りましょう。

絵を描いてみましょう:

エリアを移動する順序を変更してみましょう。

答え：

確定積分。図形の面積の計算方法

積分の応用を考えてみましょう。このレッスンでは、典型的で最も一般的なタスクを分析します。 – 定積分を使用して平面図形の面積を計算する方法。最後に、高等数学の意味を探している人たちに、それが見つかりますように。あなたは、決して知らない。実際には、初等関数を使用してダーチャプロットを近似し、定積分を使用してその面積を求める必要があります。

教材をうまくマスターするには、次のことを行う必要があります。

1) 不定積分を少なくとも中級レベルで理解する。したがって、ダミーは最初にレッスンを読む必要がありますない.

２）ニュートン・ライプニッツの公式を応用し、定積分の計算ができる。ページ上の特定の積分と温かい友好関係を築くことができます 確定積分。解決策の例.

実際、図形の面積を求めるのに、不定積分と定積分の知識はそれほど必要ありません。 「定積分を使用して面積を計算する」というタスクには、必ず図面の作成が含まれます。, そのため、あなたの知識と描画スキルがより差し迫った問題になります。この点に関して、基本的な初等関数のグラフの記憶をリフレッシュし、少なくとも直線、放物線、双曲線を作成できるようにしておくと役立ちます。これは、方法論的な資料とグラフの幾何学的変換に関する記事の助けを借りて行うことができます (多くの人にとって、それは必要です)。

実際、定積分を使用して面積を求めるタスクは学生時代から誰もが慣れ親しんでおり、学校のカリキュラム以上に詳しく説明するつもりはありません。この記事はまったく存在しなかったかもしれませんが、実際には、学生が嫌われている学校に苦しみ、高等数学のコースを熱心に習得した場合、100 件中 99 件のケースで問題が発生します。

このワークショップの資料は、簡潔かつ詳細に、最小限の理論とともに提示されています。

湾曲した台形から始めましょう。

曲線台形は、軸、直線、およびこの区間で符号が変わらない区間で連続する関数のグラフで囲まれた平らな図形です。この図を見つけてみましょう それ以下ではない x 軸:

それから 曲線台形の面積は数値的には定積分に等しい。 (存在する) 定積分には、非常に優れた幾何学的意味があります。レッスン中 確定積分。解決策の例定積分は数だと言いました。ここで、もう 1 つの有益な事実を述べます。 幾何学の観点から見ると、定積分は AREA です。.

あれは、 定積分（存在する場合）は幾何学的に特定の図形の面積に対応します。たとえば、定積分を考えてみましょう。被積分関数は、軸の上に位置する平面上の曲線を定義します (希望する人は図面を作成できます)。定積分自体は、対応する曲線台形の面積に数値的に等しくなります。

例1

これは典型的な代入ステートメントです。 決定における最初の最も重要な点は、図面の作成です。。さらに、図面を作成する必要があります右.

図面を作成するときは、次の順序をお勧めします。 初めにすべての直線 (存在する場合) を作成し、 それから– 放物線、双曲線、その他の関数のグラフ。関数のグラフを作成する方が有益です 点ごとに、ポイントバイポイント構築テクニックは参考資料にあります。 初等関数のグラフと性質。そこには、放物線を素早く作成する方法というレッスンに非常に役立つ資料もあります。

この問題では、解決策は次のようになります。
図面を描いてみましょう (方程式が軸を定義していることに注意してください)。

ここでは、どの領域について話しているのかが明らかであるため、湾曲した台形には影をつけません。解決策は次のように続きます。

セグメント上に関数のグラフが配置されています 軸の上に、それが理由です：

答え：

定積分の計算とニュートン・ライプニッツの公式の適用が難しい人、講義を参照してください。 確定積分。解決策の例.

タスクが完了した後、図面を見て答えが本物かどうかを判断すると常に役に立ちます。この場合、図面内のセルの数を「目で」数えます。まあ、約9個になるでしょう、それは本当のようです。たとえば、20 平方単位という答えが得られた場合、どこかで間違いがあったことは明らかです。20 個のセルは明らかに問題の図に適合せず、せいぜい 12 個です。答えが否定的であれば、タスクも間違って解決されたことになります。

例 2

線、、軸で囲まれた図形の面積を計算します

これは自分で解決できる例です。レッスンの最後に完全な解答と答えが表示されます。

曲がった台形がある場合の対処方法 車軸の下？

例 3

線と座標軸で囲まれた図形の面積を計算します。

解決: 絵を描いてみましょう:

曲がった台形がある場合 車軸の下に(または少なくとも 高くない指定された軸)、その面積は次の式を使用して求めることができます。
この場合：

注意！ 2 種類のタスクを混同しないでください:

1) 幾何学的な意味を持たずに単に定積分を解くように求められた場合、それは否定的になる可能性があります。

2) 定積分を使用して図形の面積を求めるように求められた場合、その面積は常に正になります。これが、先ほど説明した式にマイナスが表示される理由です。

実際には、ほとんどの場合、図は上半面と下半面の両方に位置するため、最も単純な学校の問題から、より意味のある例に進みます。

例 4

線、で囲まれた平面図形の面積を求めます。

解決: まず、図面を完成させる必要があります。一般に、面積問題で図面を作成するとき、最も関心があるのは線の交点です。放物線と直線の交点を求めてみましょう。これは 2 つの方法で実行できます。 1 つ目の方法は分析的です。次の方程式を解きます。

これは、積分の下限が、積分の上限がであることを意味します。
可能であれば、この方法は使用しない方が良いでしょう。.

点ごとにラインを構築する方がはるかに収益性が高く、より速く、統合の限界は「それ自体で」明らかになります。さまざまなグラフのポイントごとの構築手法については、ヘルプで詳しく説明されています。 初等関数のグラフと性質。それにもかかわらず、たとえば、グラフが十分に大きい場合、または詳細な構築で積分の限界が明らかにならない場合 (端数または無理数になる可能性があります)、限界を見つける分析手法を使用する必要がある場合があります。そして、そのような例についても考えてみましょう。

私たちの仕事に戻りましょう。最初に直線を作成してから放物線を作成する方が合理的です。絵を描いてみましょう:

繰り返しますが、点単位で構築する場合、積分の限界はほとんどの場合「自動的に」見つかります。

そして今、実用的な公式が: セグメント上に何らかの連続関数がある場合以上何らかの連続関数を使用すると、これらの関数のグラフと線で囲まれた図の面積は、次の式を使用して求めることができます。

ここでは、Figure がどこに配置されているか、つまり軸の上か下か、そして大まかに言うと、次のように考える必要はなくなります。 どのグラフが高いかが重要です(別のグラフとの比較)、 そしてどれが下ですか.

検討中の例では、線分上で放物線が直線の上に位置していることは明らかであるため、から減算する必要があります。

完成したソリューションは次のようになります。

望ましい図形は、上が放物線、下が直線によって制限されます。
セグメントでは、対応する式に従って次のようになります。

答え：

実際、下半平面の曲線台形の面積に関する学校公式 (簡単な例 No. 3 を参照) は、公式の特殊なケースです。。方程式で軸を指定し、関数のグラフを配置しますので、 高くない軸、それから

次に、独自のソリューションの例をいくつか示します

例5

例6

線、で囲まれた図形の面積を求めます。

定積分を使って面積を計算する問題を解くと、時々面白い出来事が起こります。図面は正確に作成され、計算も正確でしたが、不注意が原因でした... 間違った図形の領域が見つかりました、これはまさにあなたの謙虚な使用人が何度か失敗した方法です。実際のケースを次に示します。

例 7

、、、の線で囲まれた図形の面積を計算します。

解決: まず、図面を作成しましょう:

...えー、絵は下手くそになりましたが、すべて読み取れるようです。

見つける必要がある領域の図は青色で影付けされています（状態を注意深く見てください - 数値がどのように制限されているかを確認してください！）。しかし、実際には、不注意により、緑の影で囲まれた図形の領域を見つける必要があるという「不具合」が頻繁に発生します。

この例は、2 つの定積分を使用して図形の面積を計算するという点でも便利です。本当に：

1) 軸の上のセグメントには直線のグラフがあります。

2) 軸の上のセグメントには双曲線のグラフがあります。

したがって、領域を追加できる (そして追加すべきである) ことは明らかです。

答え：

別の意味のあるタスクに移りましょう。

例8

線で囲まれた図形の面積を計算し、
方程式を「学校」形式で提示し、点ごとに図を描いてみましょう。

この図から、上限が「良好」であることは明らかです。
しかし、下限は何ですか？これが整数ではないことは明らかですが、何でしょうか? 多分？しかし、図面が完全な精度で作成されているという保証はどこにあるのでしょうか... あるいは根です。グラフの作成が間違っていたらどうなるでしょうか?

このような場合は、さらに時間をかけて、統合の限界を分析的に明確にする必要があります。

直線と放物線の交点を求めてみましょう。
これを行うには、次の方程式を解きます。

,

本当に、。

さらなる解決策は自明であり、重要なことは、置換と符号を混同しないことです。ここでの計算は最も単純なものではありません。

セグメント上、対応する式によると、

答え：

さて、レッスンの締めくくりとして、さらに 2 つの難しいタスクを見てみましょう。

例9

、、の線で囲まれた図形の面積を計算します。

解決：この図を図に描いてみましょう。

くそー、スケジュール表にサインするのを忘れてしまいました。ごめんなさい、写真を撮り直すつもりはありませんでした。絵を描く日ではありません。つまり、今日がその日です =)

ポイントバイポイントの構築では、正弦波の外観を知る必要があります (そして一般に、それを知ることは役に立ちます) すべての初等関数のグラフ)、およびいくつかの正弦値は、次の場所にあります。 三角関数表。場合によっては（この場合のように）、グラフと積分限界が基本的に正しく表示される概略図を作成することが可能です。

ここでの積分の極限には問題はありません。「x」がゼロから「pi」に変化するという条件から直接導き出されます。さらに決定を下してみましょう。

セグメント上では、関数のグラフは軸の上に位置するため、次のようになります。

この記事では、積分計算を使用して線で囲まれた図形の面積を求める方法を学びます。私たちがこのような問題の定式化に初めて遭遇するのは、定積分の学習を終えたばかりの高校であり、実際に獲得した知識の幾何学的解釈を開始する時期です。

したがって、積分を使用して図形の面積を求める問題をうまく解決するには何が必要ですか。

有能な図面を作成する能力。
よく知られているニュートン・ライプニッツの公式を使用して定積分を解く能力。
より収益性の高いソリューションオプションを「見る」能力 - 例: 場合によっては統合を実行するとより便利になることを理解していますか? X 軸 (OX) に沿って? それとも Y 軸 (OY) に沿って?
そうですね、正しい計算がなければどうなるでしょうか?) これには、他のタイプの積分を解く方法と正しい数値計算を理解することが含まれます。

線で囲まれた図形の面積を計算する問題を解決するためのアルゴリズム:

1. 図面を作成中です。これを市松模様の紙の上で大きく行うことをお勧めします。各グラフの上に、この関数の名前を鉛筆で署名します。グラフへの署名は、さらなる計算の便宜のためにのみ行われます。目的の数値のグラフを受け取ると、ほとんどの場合、どの積分限界が使用されるかがすぐにわかります。したがって、問題をグラフィカルに解決します。ただし、制限の値が端数または無理数になる場合があります。したがって、追加の計算を行うことができ、ステップ 2 に進みます。

2. 積分限界が明示的に指定されていない場合は、グラフ相互の交点を見つけて、グラフ解が解析解と一致するかどうかを確認します。

3. 次に、図面を分析する必要があります。関数グラフがどのように配置されているかに応じて、図形の面積を求めるさまざまなアプローチがあります。積分を使用して図形の面積を求めるさまざまな例を見てみましょう。

3.1. この問題の最も古典的で単純なバージョンは、湾曲した台形の面積を見つける必要がある場合です。曲がった台形とは何ですか? これは、X 軸によって制限された平面図です。 (y = 0)、真っ直ぐ x = a、x = bおよびからの区間で連続する任意の曲線ある前に b。さらに、この数値は負ではなく、x 軸を下回っていません。この場合、曲線台形の面積は、ニュートン・ライプニッツの公式を使用して計算される特定の積分に数値的に等しくなります。

例1 y = x2 – 3x + 3、x = 1、x = 3、y = 0.

図形は何線で囲まれていますか? 放物線があります y = x2 – 3x + 3、軸の上に位置しますおお、それは非負であるため、この放物線のすべての点は正の値を持ちます。次に、与えられた直線 x = 1そして x = 3、軸に平行に走る OU、は図の左右の境界線です。良い y = 0、これは x 軸でもあり、図を下から制限します。左の図からわかるように、結果の図には陰影が付けられます。この場合、すぐに問題の解決を開始できます。私たちの前には湾曲した台形の簡単な例があり、それをニュートン・ライプニッツの公式を使用して解きます。

3.2. 前の段落 3.1 では、湾曲した台形が x 軸の上にある場合を検討しました。ここで、関数が x 軸の下にあることを除いて、問題の条件が同じである場合を考えてみましょう。標準のニュートン・ライプニッツの公式にマイナスが追加されます。以下では、このような問題を解決する方法を検討します。

例 2 。線で囲まれた図形の面積を計算する y = x2 + 6x + 2、x = -4、x = -1、y = 0.

この例では放物線があります y = x2 + 6x + 2、軸から始まりますおお、真っ直ぐ x = -4、x = -1、y = 0。ここ y = 0上から希望の数値を制限します。直接 x = -4そして x = -1これらは、定積分が計算される境界です。図形の面積を求める問題を解く原理は、例番号 1 とほぼ完全に一致します。唯一の違いは、指定された関数が正ではなく、区間上でも連続であることです。 [-4; -1] 。ポジティブじゃないってどういう意味ですか？この図からわかるように、指定された x 内にある図形は専ら「負の」座標を持ちます。これは、問題を解くときに見て覚えておく必要があるものです。ニュートン・ライプニッツの公式を使用して、先頭にマイナス記号のみを付けて図の面積を求めます。

記事は未完成です。

問題 1（曲がった台形の面積の計算について）

デカルト直交座標系 xOy では、x 軸、直線 x = a、x = b (a は曲線台形) で囲まれた図形 (図を参照) が与えられます。曲線の面積を計算する必要があります。台形。
解決。幾何学は、多角形と円の一部 (セクター、セグメント) の面積を計算するためのレシピを提供します。幾何学的な考慮事項を使用すると、次のように推論して、必要な面積の近似値しか見つけることができません。

セグメント [a;] を分割しましょう。 b] (湾曲した台形の底面) を n 等分に分割します。この分割は、点 x 1、x 2、... x k、... x n-1 を使用して実行されます。これらの点を通り、y 軸に平行な直線を引いてみましょう。次に、指定された曲線台形が n 個の部分、n 個の狭い列に分割されます。台形全体の面積は、柱の面積の合計に等しくなります。

k 番目の列を個別に考えてみましょう。つまり、底面がセグメントである湾曲した台形。これを、底辺が同じで高さが f(x k) に等しい長方形に置き換えてみましょう (図を参照)。長方形の面積は $f(x_k) \cdot \Delta x_k $ に等しくなります。ここで $\Delta x_k $ はセグメントの長さです。結果の積をk番目の列の面積の近似値と考えるのが自然です。

他のすべての列についても同じことを行うと、次の結果が得られます。特定の曲線台形の面積 S は、n 個の長方形で構成される階段状の図形の面積 S n にほぼ等しいです (図を参照)。
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
ここでは、表記を統一するために、a = x 0、b = x n と仮定します。 $\Delta x_0 $ - セグメントの長さ、$\Delta x_1 $ - セグメントの長さなど。この場合、上で同意したように、 $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

したがって、 $S \about S_n $ となり、この近似等式は n が大きいほど正確になります。
定義により、曲線台形の必要な面積は数列の限界 (S n) に等しいと考えられています。
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

問題 2（ポイントの移動について）
質点は直線的に移動します。速度の時間依存性は、式 v = v(t) で表されます。一定期間にわたる点の動きを求めます [a; b]。
解決。動きが均一であれば、問題は非常に簡単に解決されます: s = vt、つまり s = v(b-a)。不均一な動きの場合は、前の問題の解決策の基礎となったのと同じアイデアを使用する必要があります。
1) 時間間隔を分割します [a; b]をn等分します。
2) ある期間を考え、この期間中の速度は時刻 t k と同じで一定であると仮定します。したがって、v = v(t k) と仮定します。
3) 一定期間にわたる点の動きの近似値を求めてみましょう。この近似値を s k とします。
$s_k = v(t_k) \デルタ t_k $
4) 変位 s の近似値を求めます。
$s \およそ S_n $ ここで
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) 必要な変位はシーケンスの制限 (S n) に等しいです。
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

要約しましょう。さまざまな問題に対する解決策は、同じ数学的モデルにまとめられました。科学技術のさまざまな分野で発生する多くの問題は、解決の過程で同じモデルに導きます。これは、この数学モデルを特別に研究する必要があることを意味します。

定積分の概念

区間 [a; b]:
1) セグメント [a; を分割します。 b] n 個の等しい部分に分割します。
2) 合計 $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$ を計算します。
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$ を計算します

数学的解析の過程で、この限界が連続 (または区分的連続) 関数の場合に存在することが証明されました。彼はこう呼ばれています 関数 y = f(x) のセグメント [a; b]そして次のように表されます。
$\int\limits_a^b f(x) dx $
数値 a と b は、積分限界 (それぞれ下限と上限) と呼ばれます。

上で説明したタスクに戻りましょう。問題 1 で与えられた領域の定義は、次のように書き換えることができます。
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
ここで、Sは上図に示す曲線台形の面積です。これは 定積分の幾何学的意味。

問題 2 で与えられた、t = a から t = b までの期間にわたって速度 v = v(t) で直線運動する点の変位 s の定義は、次のように書き換えることができます。

ニュートン・ライプニッツの公式

まず、定積分と反微分の間にはどのような関係があるのかという質問に答えましょう。

答えは問題 2 にあります。一方で、t = a から t = b までの期間に速度 v = v(t) で直線移動する点の変位 s は次のように計算されます。式
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

一方、移動点の座標は速度の逆導関数です。これを s(t) と表します。これは、変位 s が s = s(b) - s(a) という式で表されることを意味します。結果として、次のことが得られます。
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
ここで、s(t) は v(t) の逆微分です。

次の定理は数学的解析の過程で証明されました。
定理。関数 y = f(x) が区間 [a; b]の場合、式は有効です
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
ここで、F(x) は f(x) の逆微分です。

与えられた式は通常、次のように呼ばれます ニュートン・ライプニッツの公式これは、英国の物理学者アイザック・ニュートン (1643-1727) とドイツの哲学者ゴットフリート・ライプニッツ (1646-1716) に敬意を表しており、両名は互いに独立してほぼ同時にこの賞を受け取りました。

実際には、F(b) - F(a) と書く代わりに、$\left. F(x)\right|_a^b $ という表記を使用します (これは時々呼ばれます) 二重置換) したがって、ニュートン・ライプニッツの公式を次の形式に書き換えます。
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left.F(x)\right|_a^b $

定積分を計算するときは、まず逆微分を求めてから二重代入を実行します。

ニュートン・ライプニッツの公式に基づいて、定積分の 2 つの特性を得ることができます。

プロパティ 1.関数の合計の積分は、積分の合計と等しくなります。
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

プロパティ 2。定数因数は積分符号から取り出すことができます。
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

定積分を使用した平面図形の面積の計算

積分を使用すると、湾曲した台形だけでなく、より複雑なタイプの平面図形 (たとえば、図に示すような平面図形) の面積も計算できます。図形 P は、直線 x = a、x = b、連続関数 y = f(x)、y = g(x) のグラフ、および線分 [a; b] 不等式 $g(x) \leq f(x) $ が成り立ちます。このような図形の面積 S を計算するには、次のように進めます。
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

したがって、直線 x = a、x = b と関数 y = f(x)、y = g(x) のグラフで囲まれた図形の面積 S は、線分上で連続し、線分からの任意の x について次のようになります。 [a; b] 不等式 $g(x) \leq f(x) $ が満たされ、次の式で計算されます。
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

一部の関数の不定積分（反微分）の表

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

積分の応用を考えてみましょう。このレッスンでは、典型的で最も一般的なタスクを分析します。 定積分を使って平面図形の面積を計算する。最後に、高等数学に意味を求めるすべての人に、それを見つけてもらいましょう。あなたは、決して知らない。実際には、初等関数を使用してダーチャプロットを近似し、定積分を使用してその面積を求める必要があります。

教材をうまくマスターするには、次のことを行う必要があります。

1) 不定積分を少なくとも中級レベルで理解する。したがって、ダミーは最初にレッスンを読む必要がありますない.

２）ニュートン・ライプニッツの公式を応用し、定積分の計算ができる。ページ上の特定の積分と温かい友好関係を築くことができます 確定積分。解決策の例. 「定積分を使用して面積を計算する」というタスクには、必ず図面の作成が含まれます。、そのため、知識と描画スキルも関連する問題になります。少なくとも、直線、放物線、双曲線を作成できる必要があります。

湾曲した台形から始めましょう。湾曲した台形は、何らかの関数のグラフで囲まれた平らな図形です y = f(バツ)、軸牛と線バツ = ある; バツ = b.

曲線台形の面積は数値的には定積分に等しい

(存在する) 定積分には、非常に優れた幾何学的意味があります。レッスン中 確定積分。解決策の例定積分は数値であると言いました。ここで、もう 1 つの有益な事実を述べます。 幾何学の観点から見ると、定積分は AREA です。。あれは、 定積分（存在する場合）は幾何学的に特定の図形の面積に対応します。定積分を考えてみましょう

被積分関数

平面上の曲線を定義し（必要に応じて描画できます）、定積分自体は対応する曲線台形の面積に数値的に等しくなります。

例1

, , , .

これは典型的な代入ステートメントです。 決定において最も重要なポイントは図面の構成です。さらに、図面を作成する必要があります右.

図面を作成するときは、次の順序をお勧めします。 初めにすべての直線 (存在する場合) を作成し、 それから– 放物線、双曲線、その他の関数のグラフ。ポイントバイポイント構築手法については、参考資料を参照してください。 初等関数のグラフと性質。そこには、放物線を素早く作成する方法というレッスンに非常に役立つ資料もあります。

この問題では、解決策は次のようになります。

描画してみましょう (方程式に注意してください) y= 0 は軸を指定します牛):

ここでは、どの領域について話しているのかが明らかであるため、湾曲した台形にはシェーディングを加えません。解決策は次のように続きます。

セグメント上 [-2; 1]関数グラフ y = バツ 2 + 2 が配置されています 軸の上に牛、それが理由です：

答え： .

定積分の計算とニュートン・ライプニッツの公式の適用が難しい人

講義を参照 確定積分。解決策の例。タスクが完了した後、図面を見て答えが本物かどうかを判断すると常に役に立ちます。この場合、図面内のセルの数を「目で」数えます。まあ、約9個になるでしょう、それは本当のようです。たとえば、20 平方単位という答えが得られた場合、どこかで間違いがあったことは明らかです。20 個のセルは明らかに問題の図に適合せず、せいぜい 12 個です。答えが否定的であれば、タスクも間違って解決されたことになります。

例 2

線で囲まれた図形の面積を計算する xy = 4, バツ = 2, バツ= 4 と軸牛.

これは自分で解決できる例です。レッスンの最後に完全な解答と答えが表示されます。

曲がった台形がある場合の対処方法 車軸の下に牛?

例 3

線で囲まれた図形の面積を計算する y = 元, バツ= 1 と座標軸。

解決策: 絵を描いてみましょう:

曲がった台形の場合 完全に軸の下に位置します牛 、その面積は次の式を使用して求めることができます。

この場合：

注意！次の 2 種類のタスクを混同しないでください。

1) 幾何学的な意味を持たずに単に定積分を解くように求められた場合、それは否定的になる可能性があります。

実際には、ほとんどの場合、図は上半面と下半面の両方に位置するため、最も単純な学校の問題から、より意味のある例に進みます。

例 4

線で囲まれた平面図形の面積を求めます y = 2バツ – バツ 2 , y = -バツ.

解決策: まず、図面を作成する必要があります。面積問題で図面を作成するとき、最も関心があるのは線の交点です。放物線の交点を見つけよう y = 2バツ – バツ 2 そしてストレート y = -バツ。これは 2 つの方法で実行できます。 1 つ目の方法は分析的です。次の方程式を解きます。

これは積分の下限がある= 0、積分上限 b= 3. 多くの場合、ラインをポイントごとに構築する方がより収益性が高く、より速く、統合の限界は「それ自体で」明らかになります。それにもかかわらず、たとえば、グラフが十分に大きい場合、または詳細な構築で積分の限界が明らかにならない場合 (端数または無理数になる可能性があります)、限界を見つける分析手法を使用する必要がある場合があります。私たちの仕事に戻りましょう。最初に直線を作成してから放物線を作成する方が合理的です。絵を描いてみましょう:

繰り返しますが、点単位で構築する場合、積分の限界はほとんどの場合「自動的に」決定されます。

そして今、実際の公式は次のようになります。

セグメント上の場合 [ ある; b] いくつかの連続関数 f(バツ) 以上何らかの連続関数 g(バツ)、対応する図の面積は次の式を使用して求めることができます。

ここでは、図がどこにあるか、軸の上か下かを考える必要はなくなりますが、 どのグラフが高いかが重要です(別のグラフとの比較)、 そしてどれが下ですか.

検討中の例では、線分上で放物線が直線の上に位置していることは明らかであり、したがって 2 からバツ – バツ 2 を減算する必要があります – バツ.

完成したソリューションは次のようになります。

希望する図形は放物線によって制限されます y = 2バツ – バツ 2トップとストレート y = -バツ下に。

セグメント 2 上バツ – バツ 2 ≥ -バツ。対応する式によると、次のようになります。

答え： .

実際、下半平面の曲線台形の面積に関する学校公式 (例 3 を参照) は、公式の特殊なケースです。

軸だから牛方程式で与えられる y= 0、および関数のグラフ g(バツ) 軸の下に位置します牛、それ

次に、独自のソリューションの例をいくつか示します

例5

例6

線で囲まれた図形の面積を求める

定積分を使って面積を計算する問題を解くと、時々面白い出来事が起こります。図面は正確に作成され、計算も正確でしたが、不注意が原因でした... 間違った図形の領域が見つかりました。

例 7

まず、図面を作成しましょう。

見つける必要がある領域の図は青色で影付けされています（状態を注意深く見てください - 数値がどのように制限されているかを確認してください！）。しかし、実際には、不注意のため、人々は図の緑の影の領域を見つける必要があると判断することがよくあります。

この例は、2 つの定積分を使用して図形の面積を計算するという点でも便利です。本当に：

1) セグメント [-1; 1] 軸の上牛グラフはまっすぐに配置されています y = バツ+1;

2) 軸の上のセグメント上牛双曲線のグラフが配置されています y = (2/バツ).

したがって、領域を追加できる (そして追加すべきである) ことは明らかです。

答え：

例8

線で囲まれた図形の面積を計算する

方程式を「学校」形式で表現してみましょう

そして点ごとの描画を作成します。

この図から、上限が「良好」であることは明らかです。 b = 1.

しかし、下限は何ですか？これが整数ではないことは明らかですが、何でしょうか?

多分、ある=(-1/3)? しかし、図面が完全な精度で作成されるという保証はどこにあるのでしょうか。ある=(-1/4)。グラフの作成が間違っていたらどうなるでしょうか?

このような場合は、さらに時間をかけて、統合の限界を分析的に明確にする必要があります。

グラフの交点を探してみましょう

これを行うには、次の方程式を解きます。

したがって、ある=(-1/3).

さらなる解決策は簡単です。重要なことは、置換と記号を混同しないことです。ここでの計算は最も単純なものではありません。セグメント上

, ,

対応する式によると：

答え：

レッスンの締めくくりとして、さらに 2 つの難しいタスクを見てみましょう。

例9

線で囲まれた図形の面積を計算する

解決策: この図を図に描いてみましょう。

ポイントごとの描画を作成するには、正弦波の外観を知る必要があります。一般に、すべての初等関数のグラフといくつかの正弦値を知っておくと役に立ちます。これらは値の表で見つけることができます。 三角関数。場合によっては (たとえば、この場合)、グラフと積分限界が基本的に正しく表示される概略図を作成することが可能です。

ここでの積分限界には問題はありません。条件から直接導かれます。

– 「x」がゼロから「pi」に変わります。さらに決定を下してみましょう。

セグメント上の関数のグラフ y= 罪3 バツ軸の上に位置する牛、それが理由です：

(1) サインとコサインが奇乗でどのように統合されるかをレッスンで確認できます 三角関数の積分。副鼻腔を1つ摘み取ります。

(2) 主要な三角恒等式を次の形式で使用します。