この定理は、力の働き（原因）と物質点の運動エネルギー（結果）との間に定量的な関係を確立します。
物質点の運動エネルギー点の質量とその速度の二乗の積の半分に等しいスカラー量です。
.
(43)
運動エネルギーは力の機械的作用を特徴づけるもので、熱などの他の種類のエネルギーに変換できます。
力の働き特定の変位における力の作用は、速度モジュールの変化につながる力の作用の特性です。
基本的な力の働き力ベクトルとその適用点における基本変位ベクトルのスカラー積として定義されます。
,
(44)
どこ 
- 初歩的な動き。
基本作業のモジュールは次の式で決定されます。
どこ
- 力ベクトルと基本変位ベクトルの間の角度。 
- 力ベクトルの接線への投影。
ある有限の変位に対する総仕事量は積分によって決まります。
.
(46)
(46) から、力が一定である場合と変位に依存する場合の 2 つのケースで合計仕事を計算できることがわかります。
で F= 得られる定数 
.
問題を解決するとき、力を計算する分析手法を使用すると便利なことがよくあります。
どこ F バツ , F y , F z– 力の座標軸への投影。
次の定理を証明しましょう。
定理: ある変位における物質点の運動エネルギーの変化は、同じ変位においてその点に作用する力の仕事に等しくなります。
物質点 M を質量とする メートル力の影響を受けて動く F位置 M 0 から位置 M 1 まで。
OUD: 
.
(47)
代用を紹介しましょう 
そして (47) を接線に投影します
.
(48)
(48) で変数を分離し、積分します。
その結果、得られるのは
.
(49)
式 (49) は、上で定式化された定理を証明します。
この定理は、指定および求められるパラメータに点の質量、その初速度と最終速度、力および変位が含まれる場合に使用すると便利です。
特性力の仕事の計算。
1. 重力の働き力の係数とその作用点の垂直変位の積として計算されます。
.
(50)
上に移動すると仕事は正になり、下に移動すると仕事は負になります。
2. バネの弾性力の働き F=-CXに等しい
,
(51)
どこ バツ 0 – ばねの初期伸び (圧縮)。
バツ 1 – ばねの最終伸び (圧縮)。
重力と弾性力の仕事は、それらの作用点の移動軌跡には依存しません。 その働きが軌道に依存しないこのような力は、 潜在的な力.
3. 摩擦力の仕事.
摩擦力は常に運動方向と反対の方向に向かうため、その仕事は次のようになります。
摩擦力によって行われる仕事は常に負です。 仕事が常に負である力を次のように呼びます。 散逸性の.
運動のもう 1 つの基本的な動的特性である運動エネルギーの概念を紹介しましょう。 物質点の運動エネルギーは、その点の質量と速度の 2 乗の積の半分に等しいスカラー量です。
運動エネルギーの測定単位は仕事と同じです (SI - 1 J)。 これら 2 つの量を結び付ける関係を見つけてみましょう。
速度のある位置から速度のある位置まで移動する質量を持つ質点を考えてみましょう。
望ましい依存性を得るために、力学の基本法則を表す方程式に移り、その両方の部分を移動方向に向けた点 M の軌道の接線に投影すると、次の結果が得られます。
ここに含まれる点の接線加速度を次の形式で表してみます。
その結果、次のことが分かりました。
この等式の両辺に を掛けて、微分符号の下に入力してみましょう。 次に、力の基本仕事がどこにあるのかに注目すると、点の運動エネルギーの変化に関する定理の式が微分形式で得られます。
点における変数の値に対応する範囲内でこの等式の両側を積分すると、最終的に次のことがわかります。
式 (52) は、最終的な形式での点の運動エネルギーの変化に関する定理を表します。つまり、ある変位中の点の運動エネルギーの変化は、点に作用するすべての力の仕事の代数和に等しいです。同じ変位です。
不自由な動きの場合。 点が自由ではない方法で移動する場合、等式 (52) の右辺には、与えられた (アクティブな) 力の仕事と結合反作用の仕事が含まれます。 静止した滑らかな (摩擦のない) 表面または曲線に沿った点の移動を考慮することに限定してみましょう。 この場合、反力 N (図 233 を参照) は、点との軌道に対して垂直に向けられます。 次に、式 (44) によれば、点の任意の移動に対する静止した滑らかな表面 (または曲線) の反応仕事はゼロに等しくなります。また、式 (52) から次のことが得られます。
したがって、静止した滑らかな表面 (または曲線) に沿って移動する場合、点の運動エネルギーの変化は、その点に加えられるアクティブな力のこの移動で行われる仕事の合計に等しくなります。
表面 (曲線) が滑らかでない場合、摩擦力の仕事が有効な力の仕事に追加されます (§ 88 を参照)。 表面 (曲線) が動いている場合、点 M の絶対変位は N に対して垂直ではない可能性があり、その場合、反作用仕事 N はゼロに等しくなくなります (たとえば、エレベータ プラットフォームの反作用仕事)。
問題解決。 運動エネルギーの変化に関する定理 [式 (52)] により、点が移動するときに点の速度がどのように変化するかを知ることで、作用する力の仕事 (力学の最初の問題) を決定することができます。作用する力を計算して、移動時に点の速度がどのように変化するかを決定します (力学の 2 番目の問題)。 2 番目の問題を解くとき、力が与えられたとき、その仕事を計算する必要があります。 式 (44)、(44) からわかるように、これは力が一定であるか、弾性力や重力などの移動点の位置 (座標) にのみ依存する場合にのみ実行できます (§ 88 を参照) ）。
したがって、問題のデータと必要な量に次のものが含まれる場合、式 (52) を直接使用して、力学の 2 番目の問題を解くことができます: 作用力、点の変位、およびその初期速度と最終速度 (つまり、量 )、力は一定であるか、点の位置 (座標) のみに依存する必要があります。
微分形式の定理 [式 (51)] は、もちろん、あらゆる作用力に適用できます。
問題 98. 高所にある点 A (図 235) から重量 kg の荷物を速度で投げると、落下点での速度は C になります。荷物に作用する空気抵抗力によって行われる仕事は何かを求めてください。その移動中に
解決。 荷重が移動すると、荷重には重力 P と空気抵抗 R が作用します。荷重を質点とすると、運動エネルギー変化の定理により次のようになります。
この等式から、式によれば次のことがわかります。
問題 99. 問題 96 ([§ 84] を参照) の条件下で、負荷が停止する前に移動する経路を決定します (図 223 を参照、 は負荷の初期位置、 は最終位置)。
解決。 問題 96 と同様に、荷重には力 P、N、F が作用します。制動距離を決定するには、この問題の条件に一定の力 F も含まれていることを考慮して、次の定理を使用します。運動エネルギー
検討中のケースでは、停止時の負荷の速度）。 さらに、力 P と N は変位に対して垂直であるため、結果として、次のことがわかります。
問題 96 の結果によると、制動時間は初速度に比例して増加し、制動距離は初速度の 2 乗に比例することがわかりました。 これを陸上輸送に適用すると、速度が上がるにつれて危険がいかに増大するかがわかります。
問題 100. 重量 P の荷重が長さ l のねじ山に吊り下げられています。ねじ山は荷重とともに垂直方向から斜めに偏向され (図 236、a)、初速度なしで解放されます。 移動するとき、負荷には抵抗力 R が働きます。これをその平均値に近似的に置き換えます。ねじが垂直に対して角度をなす瞬間の負荷の速度を求めます。
解決。 問題の条件を考慮して、定理 (52) を再度使用します。
荷重には、重力 P 、つまり平均値 R で表される抵抗糸の反力が作用します。力 P については、式 (47) に従って、力 N については、最終的に得られるため、次のようになります。なぜなら、式(45)によれば、(円弧の長さsは中心角当たりの積半径lに等しい)となるからである。 さらに、問題の条件に従って、結果として、等式 (a) は次のようになります。
抵抗がない場合、ここからよく知られているガリレオの公式が得られます。これは明らかに、自由落下する荷重の速度にも当てはまります (図 236、b)。
検討中の問題では、別の表記法 (負荷の単位重量あたりの平均抵抗力) を導入すると、最終的に次のようになります。
問題 101. 変形していない状態でのバルブ スプリングの長さは cm、バルブが完全に開いたときの長さは cm、バルブ リフトの高さは cm です (図 237)。 スプリング剛性バルブ重量kg。 重力と抵抗力の影響を無視して、バルブが閉じた瞬間の速度を決定します。
解決策、方程式を使ってみましょう
問題の状況に応じてバネの弾性力のみで作業を行います。 すると、式(48)によれば、
この場合
さらに、これらすべての値を式 (a) に代入すると、最終的に次のようになります。
問題 102. 弾性梁の中央にある荷重 (図 238) は、梁の重量を無視して、ある量だけ梁をたわませます。荷重がかかると、その最大たわみがいくらになるかを求めます。高さ H から梁の上に落下します。
解決。 前の問題と同様に、方程式 (52) を使用して解きます。 この場合、負荷の初速度とその最終速度 (ビームが最大たわんだ瞬間) はゼロに等しく、式 (52) は次の形式になります。
ここでの仕事は、変位に対する重力 P と変位に対する梁の弾性力 F によって行われます。また、これらの量を等式 (a) に代入すると、次のようになります。
しかし、梁上の荷重が平衡状態にあるとき、重力は弾性力によって釣り合います。したがって、以前の等式は次の形で表すことができます。
この二次方程式を解き、問題の条件に応じて次のことを考慮に入れます。
したがって、荷重が水平ビームの中央に置かれている場合、荷重を下げるときの最大たわみは静的なたわみの2倍に等しいことが判明したときの注目は興味深いです。 その後、荷重は平衡位置を中心にビームとともに振動を開始します。 抵抗の影響下で、これらの振動は減衰し、システムはビームのたわみが次の位置に等しくなる位置でバランスがとれます。
問題 103. 物体が地表から所定の高さ H まで上昇するために、物体に与えなければならない垂直方向の最小初速度を決定します (図 239)。引力は の 2 乗に反比例して変化すると考えられます。地球の中心からの距離。 空気抵抗は無視してください。
解決。 物体を質量を持つ物質点として考えると、次の方程式を使用します。
ここでの仕事は重力 F によって行われます。次に、R が地球の半径であるこの場合を考慮して、式 (50) を使用して、次のようになります。
最高点では、見つかった仕事の値を使用すると、方程式 (a) は次のようになります。
特殊なケースを考えてみましょう。
a) H を R に比べて非常に小さいものとします。すると、ゼロに近い値になります。 分子と分母を割ると得られます
したがって、小さな H については、ガリレオの公式に到達します。
b) 投げられた物体が無限大に達する初速度を調べてみましょう。分子と分母を A で割ると、次のようになります。
2.4.1. 機械システムの運動エネルギー。速度で運動する質点の運動エネルギーを量といいます。
機械システムの運動エネルギーは、このシステムに含まれる物質点の運動エネルギーの合計です。
システムの質量が連続的に分布している場合、式 (7) の合計は分布領域にわたる積分に置き換えられます。
2 つの基準系における機械システムの運動エネルギーの値の関係は、一方は静止しており、もう一方は速度で並進運動します。ここで、点 C は機械システムの質量中心であり、次の式で与えられます。ケーニッヒの定理:
. (8)
ここ 
- 移動座標系における機械システムの運動エネルギー。
式 (6、7、8) を使用すると、固体の運動エネルギーを計算するための式を書くことができます。
質量体が高速で前進するとき
慣性モーメントを持って物体の固定軸の周りに角速度で回転する場合
運動面に垂直な軸に対する中心慣性モーメントの値と、瞬間的な回転軸に対する慣性モーメントの値での角速度による剛体の面平行運動。
. (11)
2.4.2. エネルギー特性。 力のエネルギー特性には、力、仕事、位置エネルギーが含まれます。
力作用点が速度とともに移動する力は大きさと呼ばれます
仕事強さ 初歩的な間隔で時間と、この期間に対応する適用点の基本変位は、規則によって決定されます。
仕事強さ 有限の間隔で時間とそれに対応する半径の変化、つまりこの力の作用点の から までのベクトルをマグニチュードと呼びます。
. (14)
一対の力のモーメントによって行われる仕事も同様の方法で計算されます。
位置エネルギーは、式 (13) が全微分である場合にのみ定義されます。
条件 (15) が満たされる場合、力はポテンシャルであると言われます。 選択した座標系の軸上の力の投影と関数を接続する関係:
力の作用点が 位置 から位置 に移動した場合、(15) を積分することにより、次を得ることができます。
. (17)
注: 位置エネルギーは定数項まで決定されます。 注目の特徴により、選択した点 (たとえば、座標の原点) で位置エネルギーがゼロに等しいと仮定することができます。
機械システムに作用する力の集合について位置エネルギーの式を書くことができる場合、その機械システムは次のように呼ばれます。 保守的。 このような機械システムには重要な特徴があります。作用する力の働きは、軌道の種類やそれに沿った運動法則に依存しません。 閉ループに沿って移動するときの仕事はゼロです。
関数が存在する条件:
2.4.3. 運動エネルギーの変化に関する定理。機械システムの運動エネルギーの変化に関する定理を微分形式で書きます。
機械システムの運動エネルギーの時間微分は、外力と内力の力に等しくなります。
運動エネルギーの変化に関する定理を記述する積分形式
, (20)
どこ ; ; ; 。
位置エネルギーの式がシステムの外力と内力の全体に対して記述できる特別な場合、総機械エネルギー保存則が満たされます。
そしてシステム自体が保守的であることが判明しました。
例 3. 図 2 に示す機械システムについて、負荷の運動の微分方程式を取得します。
解決。 微分形式の運動エネルギーの変化に関する定理 (19) を使用してみましょう。 機械システムの本体に適切な反応を適用することで、精神的につながりから自分自身を解放しましょう (図 2 を参照)。 注: 同軸ブロックの静止質量中心に加えられる力は、その力がゼロであるため示されていません。
機械システムの運動エネルギーの式を作成してみましょう。
エネルギーは、物質のさまざまな運動形態の統一的な尺度であり、物質の運動がある形態から別の形態への移行の尺度であるスカラー物理量です。
物質のさまざまな運動形態を特徴付けるために、対応する種類のエネルギー、たとえば、機械的エネルギー、内部エネルギー、静電エネルギー、核内相互作用などを導入します。
エネルギーは、最も重要な自然法則の 1 つである保存則に従います。
機械エネルギー E は物体の動きと相互作用を特徴づけ、物体の速度と相対位置の関数です。 それは運動エネルギーと位置エネルギーの合計に等しい。
運動エネルギー
質量体が存在する場合を考えてみましょう。 メートル一定の力 \(~\vec F\) (複数の力の合力である可能性があります) があり、力のベクトル \(~\vec F\) と変位 \(~\vec s\) は 1 つの方向に向いています。一方向の直線。 この場合、力によって行われる仕事は次のように定義できます。 あ = F∙s。 ニュートンの第 2 法則による力の係数は次のようになります。 F = m・a、および変位モジュール s等加速直線運動では、初期のモジュールに関連付けられます。 υ 1 そして最後 υ 2 つの速度と加速度 あ式 \(~s = \frac(\upsilon^2_2 - \upsilon^2_1)(2a)\) 。
ここから仕事に取り掛かります
\(~A = F \cdot s = m \cdot a \cdot \frac(\upsilon^2_2 - \upsilon^2_1)(2a) = \frac(m \cdot \upsilon^2_2)(2) - \frac (m \cdot \upsilon^2_1)(2)\) 。 (1)
物体の質量と速度の二乗の積の半分に等しい物理量をといいます。 体の運動エネルギー.
運動エネルギーは文字で表されます E k.
\(~E_k = \frac(m \cdot \upsilon^2)(2)\) 。 (2)
この場合、等式 (1) は次のように書くことができます。
\(~A = E_(k2) - E_(k1)\) 。 (3)
運動エネルギー定理
物体に加えられる合力の仕事は、物体の運動エネルギーの変化に等しい。
運動エネルギーの変化は力の仕事 (3) に等しいため、物体の運動エネルギーは仕事と同じ単位、つまりジュールで表されます。
質量体の運動の初速度が メートルがゼロの場合、ボディはその値まで速度を上げます υ の場合、力によって行われる仕事は、物体の運動エネルギーの最終値に等しくなります。
\(~A = E_(k2) - E_(k1)= \frac(m \cdot \upsilon^2)(2) - 0 = \frac(m \cdot \upsilon^2)(2)\) 。 (4)
運動エネルギーの物理的意味
速度 v で動く物体の運動エネルギーは、静止している物体にこの速度を与えるために、静止している物体に作用する力によってどれだけの仕事をしなければならないかを示します。
位置エネルギー
位置エネルギー物体間の相互作用のエネルギーです。
地球上に持ち上げられた物体の位置エネルギーは、重力による物体と地球の間の相互作用のエネルギーです。 弾性変形した物体の位置エネルギーは、弾性力による体の個々の部分の相互作用のエネルギーです。
潜在的呼ばれています 強さ、その仕事は、移動する物質点または物体の最初と最後の位置にのみ依存し、軌道の形状には依存しません。
閉じた軌道では、潜在的な力によって行われる仕事は常にゼロです。 潜在的な力には、重力、弾性力、静電力などが含まれます。
権力、その仕事は軌道の形状に依存し、と呼ばれます 潜在的でない。 物質点または物体が閉じた軌道に沿って移動する場合、非潜在力によって行われる仕事はゼロにはなりません。
物体と地球との相互作用の位置エネルギー
重力によって行われる仕事を見つけてみましょう F質量体を移動させるとき メートル高いところから垂直に下に h 1 地球の表面から高さまで h２（図１）。 違いがある場合 h 1 – h 2 は地球の中心までの距離に比べれば無視できるものであり、重力は無視できます。 F身体運動中の t は一定かつ等しいと考えることができます。 mg.
変位の方向は重力ベクトルと一致するため、重力によって行われる仕事は次のようになります。
\(~A = F \cdot s = m \cdot g \cdot (h_1 - h_2)\) 。 (5)
次に、傾斜面に沿った物体の動きを考えてみましょう。 物体を傾斜面に沿って移動させると (図 2)、重力が F t = mg・g機能します
\(~A = m \cdot g \cdot s \cdot \cos \alpha = m \cdot g \cdot h\) , (6)
どこ h– 傾斜面の高さ、 s– 傾斜面の長さに等しい変位モジュール。
点からの体の動き でその通り と任意の軌道（図 3）に沿った動作は、異なる高さの傾斜面のセクションに沿った動きから構成されるものとして頭の中で想像できます。 h’, h』などの作品 あずっと重力から で V とルートの個々のセクションの作業量の合計に等しい:
\(~A = m \cdot g \cdot h" + m \cdot g \cdot h"" + \ldots + m \cdot g \cdot h^n = m \cdot g \cdot (h" + h"" + \ldots + h^n) = m \cdot g \cdot (h_1 - h_2)\), (7)
どこ h 1と h 2 – それぞれの点が位置する地表からの高さ でそして と.
式 (7) は、重力の仕事が物体の軌道に依存せず、常に重力係数と初期位置と最終位置の高さの差の積に等しいことを示しています。
下方に移動する場合、重力の仕事は正であり、上方に移動する場合、重力の仕事は負になります。 閉じた軌道上で重力によって行われる仕事はゼロです。
等式 (7) は次のように表すことができます。
\(~A = - (m \cdot g \cdot h_2 - m \cdot g \cdot h_1)\) 。 (8)
物体の質量と自由落下の加速係数と物体が地表から上昇する高さの積に等しい物理量をといいます。 位置エネルギー身体と地球との相互作用。
質量体を動かすときに重力によって行われる仕事 メートル高いところにある地点から h 2、高いところへ h地球の表面からの 1 は、どのような軌道に沿っても、物体と地球の間の相互作用の位置エネルギーの変化を反対の符号でとったものに等しくなります。
\(~A = - (E_(p2) - E_(p1))\) 。 (9)
位置エネルギーは文字で示されます E p.
地球上に持ち上げられた物体の位置エネルギーの値は、ゼロ レベルの選択、つまり位置エネルギーがゼロであると想定される高さに依存します。 通常、地表上の物体の位置エネルギーはゼロであると想定されます。
このゼロ準位の選択により、位置エネルギーは E高さにある物体の p h地球の表面から上の距離は、重力加速度モジュールによる物体の質量 m の積に等しい gそして距離 h地球の表面から：
\(~E_p = m \cdot g \cdot h\) 。 (10)
物体と地球との相互作用の位置エネルギーの物理的意味
重力が作用する物体の位置エネルギーは、物体をゼロ レベルに移動するときに重力によって行われる仕事に等しくなります。
正の値のみを持つことができる並進運動の運動エネルギーとは異なり、物体の位置エネルギーは正と負の両方の値をとることができます。 体重 メートル、高いところにあります h、 どこ h < h 0 (h 0 - 高さゼロ)、負の位置エネルギーを持ちます。
\(~E_p = -m \cdot g \cdot h\) 。
重力相互作用の位置エネルギー
質量を持つ 2 つの物質点からなる系の重力相互作用の位置エネルギー メートルそして M、離れたところにあります r一方が他方と等しい
\(~E_p = G \cdot \frac(M \cdot m)(r)\) 。 （十一）
どこ Gは重力定数であり、位置エネルギー基準のゼロです ( E p = 0) で受け入れられます r = ∞.
物体と質量との重力相互作用の位置エネルギー メートル地球と一緒に、どこで h– 地表からの物体の高さ、 M e – 地球の質量、 R e は地球の半径で、位置エネルギーの読み取り値のゼロは次のように選択されます。 h = 0.
\(~E_e = G \cdot \frac(M_e \cdot m \cdot h)(R_e \cdot (R_e +h))\) 。 (12)
基準ゼロを選択する同じ条件下で、物体と質量の重力相互作用の位置エネルギー メートル低高度用に地球を使用 h (h « R e) 等しい
\(~E_p = m \cdot g \cdot h\) ,
ここで、 \(~g = G \cdot \frac(M_e)(R^2_e)\) は、地球の表面近くの重力による加速度の大きさです。
弾性変形した物体の位置エネルギー
ばねの変形（伸び）がある初期値から変化したときの弾性力の仕事を計算してみます。 バツ 1～最終値 バツ 2 (図 4、b、c)。
バネが変形すると弾性力が変化します。 弾性力によって行われる仕事を見つけるには、力の係数の平均値を取ることができます (弾性力は次のように線形に依存するため) バツ) と変位モジュールを乗算します。
\(~A = F_(upr-cp) \cdot (x_1 - x_2)\) , (13)
ここで \(~F_(upr-cp) = k \cdot \frac(x_1 - x_2)(2)\) 。 ここから
\(~A = k \cdot \frac(x_1 - x_2)(2) \cdot (x_1 - x_2) = k \cdot \frac(x^2_1 - x^2_2)(2)\) または \(~A = -\left(\frac(k \cdot x^2_2)(2) - \frac(k \cdot x^2_1)(2) \right)\) 。 (14)
物体の剛性とその変形の二乗の積の半分に等しい物理量をといいます。 位置エネルギー弾性変形した本体:
\(~E_p = \frac(k \cdot x^2)(2)\) 。 (15)
式 (14) と (15) から、弾性力の仕事は、反対の符号をとった弾性変形した物体の位置エネルギーの変化に等しいことがわかります。
\(~A = -(E_(p2) - E_(p1))\) 。 (16)
もし バツ 2 = 0 および バツ 1 = バツすると、式 (14) と (15) からわかるように、
\(~E_p = A\) 。
変形した物体の位置エネルギーの物理的意味
弾性変形した物体の位置エネルギーは、物体が変形がゼロの状態に移行するときに弾性力によって行われる仕事に等しくなります。
位置エネルギーは相互作用する物体の特徴を表し、運動エネルギーは移動する物体の特徴を示します。 位置エネルギーと運動エネルギーはどちらも、物体に作用する力がゼロ以外に作用するような物体の相互作用の結果としてのみ変化します。 閉鎖系を形成する物体の相互作用中のエネルギー変化の問題を考えてみましょう。
クローズドシステム- これは、外力の影響を受けない、または外力の作用が補償されるシステムです。。 いくつかの物体が重力と弾性力によってのみ相互作用し、それらに外力が作用しない場合、物体の相互作用について、弾性力または重力の仕事は、物体の位置エネルギーの変化に等しくなります。反対の符号を付けると:
\(~A = -(E_(p2) - E_(p1))\) 。 (17)
運動エネルギー定理によれば、同じ力によって行われる仕事は運動エネルギーの変化と等しくなります。
\(~A = E_(k2) - E_(k1)\) 。 (18)
式 (17) と (18) の比較から、閉じた系における物体の運動エネルギーの変化は、物体系の位置エネルギーの変化と絶対値が等しく、符号が逆であることが明らかです。
\(~E_(k2) - E_(k1) = -(E_(p2) - E_(p1))\) または \(~E_(k1) + E_(p1) = E_(k2) + E_(p2) \) 。 (19)
機械プロセスにおけるエネルギー保存則:
閉じたシステムを構成し、重力と弾性力によって相互作用する物体の運動エネルギーと位置エネルギーの合計は一定のままです。
物体の運動エネルギーと位置エネルギーの合計はと呼ばれます 総機械エネルギー.
簡単な実験をしてみましょう。 鉄球を上に投げてみましょう。 初速度υインチを与えると運動エネルギーが与えられるので、上向きに上昇し始めます。 重力の作用によりボールの速度が低下し、したがってボールの運動エネルギーも低下します。 しかし、ボールはますます高く上昇し、ますます多くの位置エネルギーを獲得します ( E p = m・g・h）。 したがって、運動エネルギーは跡形もなく消えるのではなく、位置エネルギーに変換されます。
軌道の頂点に達した瞬間（ υ = 0) ボールは運動エネルギーを完全に奪われます ( E k = 0)、しかし同時にその位置エネルギーは最大になります。 その後、ボールは方向を変え、速度を上げながら下に移動します。 ここで、位置エネルギーが運動エネルギーに変換されます。
エネルギー保存則から明らかになるのは、 物理的な意味概念 仕事:
重力と弾性力の働きは、一方では運動エネルギーの増加に等しく、他方では物体の位置エネルギーの減少に等しくなります。 したがって、仕事は、ある種類から別の種類に変換されたエネルギーに等しくなります。
力学的エネルギー変化の法則
相互作用する物体のシステムが閉じていない場合、その機械的エネルギーは保存されません。 このようなシステムの機械的エネルギーの変化は、外力の仕事に等しくなります。
\(~A_(vn) = \デルタ E = E - E_0\) 。 (20)
どこ Eそして E 0 – それぞれ最終状態と初期状態におけるシステムの合計機械エネルギー。
このようなシステムの例としては、潜在的な力とともに、非潜在的な力が作用するシステムが挙げられます。 非潜在力には摩擦力が含まれます。 ほとんどの場合、摩擦力間の角度が F r体は π ラジアン、摩擦力によって行われる仕事は負であり、次と等しい。
\(~A_(tr) = -F_(tr) \cdot s_(12)\) 、
どこ s 12 – ポイント 1 と 2 の間のボディ パス。
システムの運動中の摩擦力により、その運動エネルギーが減少します。 この結果、閉じた非保存系の力学的エネルギーは常に減少し、非機械的な運動形態のエネルギーに変わります。
たとえば、道路の水平部分に沿って移動する車は、エンジンを停止した後、ある程度の距離を移動し、摩擦力の影響で停止します。 車の前進運動の運動エネルギーはゼロとなり、位置エネルギーは増加しません。 車がブレーキをかけると、ブレーキパッド、車のタイヤ、アスファルトが熱くなります。 その結果、摩擦力の作用の結果として、車の運動エネルギーは消滅せず、分子の熱運動の内部エネルギーに変わりました。
エネルギーの保存と変換の法則
あらゆる物理的相互作用において、エネルギーはある形態から別の形態に変換されます。
場合によっては摩擦力間の角度 F trと基本変位Δ rはゼロに等しく、摩擦力の仕事は正です。
\(~A_(tr) = F_(tr) \cdot s_(12)\) 、
例1。 外力を入れてみましょう Fブロックに作用する で、カート上でスライドできます D(図5)。 台車が右に動くと、滑り摩擦力によって仕事が行われます。 Fブロックの側からカートに作用する tr2 は正です。
例 2。 車輪が回転すると、水平面と車輪の接触点が車輪の移動方向と逆方向に移動し、摩擦力の仕事が正となるため、転がり摩擦力は移動に沿った方向に作用します。 (図6):
文学
- カバルディン O.F. 物理学: 参考資料。 教材：教科書。 学生向けのマニュアル。 – M.: 教育、1991. – 367 p.
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システムのすべての点の運動エネルギーの合計に等しいスカラー量 T は、システムの運動エネルギーと呼ばれます。
運動エネルギーは、システムの並進運動および回転運動の特性です。 その変化は外力の作用の影響を受けますが、スカラーであるため、システムの各部分の移動方向には依存しません。
さまざまな動きの場合の運動エネルギーを求めてみましょう。
1.前進
システムのすべての点の速度は、重心の速度に等しくなります。 それから
並進運動中のシステムの運動エネルギーは、システムの質量と質量中心の速度の 2 乗の積の半分に等しくなります。
2. 回転運動(図77)
体の任意の点の速度: 。 それから
または式 (15.3.1) を使用します。
回転中の物体の運動エネルギーは、回転軸に対する物体の慣性モーメントと角速度の 2 乗の積の半分に等しくなります。
3. 面平行運動
特定の動きの場合、運動エネルギーは並進運動と回転運動のエネルギーで構成されます。
運動の一般的なケースでは、最後の式と同様に運動エネルギーを計算するための式が得られます。
仕事と力の定義は第 14 章の第 3 段落で行いました。ここでは、機械システムに作用する力の仕事と力の計算例を見ていきます。
1.重力の働き。 物体の点 k の初期位置と最終位置の座標を とします。 この重りの粒子に作用する重力によって行われる仕事は、 
。 次に、完全な作業:
ここで、P は質点系の重量、C は重心の垂直方向の動きです。
2. 回転体にかかる力の働き.
関係 (14.3.1) に従って、 と書くことができますが、図 74 による ds は無限に小さいため、次の形式で表すことができます。 
- 体の回転の無限小角度。 それから
マグニチュード 
いわゆるトルク。
式 (19.1.6) を次のように書き換えます。
基本仕事はトルクと基本回転の積に等しい。
最終角度まで回転すると、次のようになります。
トルクが一定であれば、
そしてパワーは関係から決定されます (14.3.5)
トルクと物体の角速度の積として。
ある点で証明された運動エネルギーの変化に関する定理 (§ 14.4) は、システム内のどの点でも有効です。
システムのすべての点に対してこのような方程式を作成し、それらを項ごとに加算すると、次の結果が得られます。
または、(19.1.1) に従って:
これは、システムの運動エネルギーに関する定理を微分形式で表現したものです。
(19.2.2) を統合すると、次のようになります。
最終的な形式での運動エネルギーの変化に関する定理: 最終的な変位中のシステムの運動エネルギーの変化は、システムに加えられるすべての外力と内力のこの変位に対して行われた仕事の合計に等しい。
私たちは、内部勢力が排除されないことを強調します。 不変のシステムの場合、すべての内力によって行われる仕事の合計はゼロであり、
システムに課せられる制約が時間の経過とともに変化しない場合、外部力と内部力の両方を作用制約と反力制約に分けることができ、式 (19.2.2) は次のように書くことができます。
力学では、「理想的な」機械システムの概念が導入されます。 これは、接続の存在が運動エネルギーの変化に影響を与えないシステム、つまり
このような時間の経過とともに変化せず、基本変位に対する仕事の合計が 0 である接続は理想と呼ばれ、方程式 (19.2.5) は次のように書かれます。
特定の位置 M にある物質点の位置エネルギーはスカラー量 P であり、点を位置 M からゼロに移動するときに場の力が生成する仕事に等しい
P = A (月) (19.3.1)
位置エネルギーは点 M の位置、つまり座標に依存します。
P = P(x,y,z) (19.3.2)
ここで、力場は空間ボリュームの一部であり、その各点で、粒子の位置、つまり座標 x に応じて、特定の大きさと方向の力が粒子に作用することを説明しましょう。 y、z。 たとえば、地球の重力場です。
微分が仕事に等しい座標の関数 U が呼び出されます。 べき乗関数。 力関数が存在する力場を次のように呼びます。 潜在力場、この場に作用する力は 潜在的な力.
2 つの力関数 P(x,y,z) と U(x,y,z) のゼロ点が一致するとします。
式 (14.3.5) を使用すると、次のようになります。 dA = dU(x,y,z) および
ここで、U は点 M における力関数の値です。
П(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)
力場の任意の点での位置エネルギーは、この点での力関数の値を反対の符号でとった値に等しくなります。
つまり、力場の特性を考慮するとき、力の関数の代わりに位置エネルギーを考慮することができ、特に式 (19.3.3) は次のように書き換えられます。
位置力によって行われる仕事は、移動点の初期位置と最終位置の位置エネルギー値の差に等しくなります。
特に、重力の働きは次のとおりです。
システムに作用するすべての力を潜在力とします。 システムの各点 k について、仕事は次と等しくなります。
そうすれば、外部と内部の両方の力に対して、
ここで、 はシステム全体の位置エネルギーです。
これらの合計を運動エネルギーの式 (19.2.3) に代入します。
または最後に:
位置力の影響下で移動するとき、システムの各位置における運動エネルギーと位置エネルギーの合計は一定のままです。 これが力学的エネルギー保存則です。
重さ 1 kg の荷重は、x = 0.1sinl0t の法則に従って自由に振動します。 ばね剛性係数 c = 100 N/m。 x = 0 での位置エネルギーがゼロの場合、x = 0.05 m での負荷の総機械エネルギーを求めます。 
. (0,5)
質量 m = 4 kg の荷重が落下すると、ねじの助けを借りて半径 R = 0.4 m の円柱が回転します。回転軸に対する円柱の慣性モーメントは I = 0.2 です。 荷重の速度 v = 2m/s の瞬間における物体系の運動エネルギーを決定します。 
. (10,5)
