Mənfi eksponentli dərəcə. Eyni əsasla səlahiyyət bölgüsü. 4. 2a4/5a3 və 2/a4 göstəricilərini azaldın və onları ortaq məxrəcə gətirin. Birinci loqarifmin əsası və arqumenti dəqiq güclərdir. Bu xüsusiyyət üç və ya daha çox faktorun məhsulunun gücünə qədər uzanır. Buna görə də am−an>0 və am>an, isbat edilməli olan budur. Qüvvətlərin sadalanan son xassələrini təbii eksponentlərlə sübut etmək qalır.

Nəzərə alın ki, dərəcələrin digər xassələri kimi 4 nömrəli əmlak da tərs qaydada tətbiq edilir. Yəni, eyni eksponentlərlə gücləri çoxaltmaq üçün əsasları çoxalda bilərsiniz, lakin eksponenti dəyişməz buraxın. Gücün dəyərinin hesablanması eksponentasiya hərəkəti adlanır. Yəni, mötərizə olmayan ifadənin qiymətini hesablayarkən əvvəlcə üçüncü mərhələnin, sonra ikinci (vurma və bölmə) və nəhayət, birinci (toplama və çıxma) hərəkəti yerinə yetirilir.

Ədədin dərəcəsi müəyyən edildikdən sonra dərəcənin xüsusiyyətlərindən danışmaq məntiqlidir. Bu yazıda biz bütün mümkün eksponentlərə toxunarkən ədədin gücünün əsas xassələrini verəcəyik. Burada dərəcələrin bütün xassələrinin sübutlarını təqdim edəcəyik, həmçinin nümunələrin həlli zamanı bu xassələrin necə istifadə edildiyini göstərəcəyik. Dərhal qeyd edək ki, göstərilən şərtlər yerinə yetirildikdə bütün yazılı bərabərliklər eynidir və onların sağ və sol tərəfləri dəyişdirilə bilər.

Dərəcənin əsas xassəsini təsdiq edən bir misal verək. Bu xüsusiyyətin sübutunu təqdim etməzdən əvvəl, formulada əlavə şərtlərin mənasını müzakirə edək. Təbii göstəricilərdən kənara çıxmamaq üçün m>n şərti qoyulur. Kəsirin əsas xassəsi am−n·an=a(m−n)+n=am bərabərliyini yazmağa imkan verir.

Yeni bir təmələ keçid

Yəni k faktorun hasilinin n natural dərəcə xassəsi (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn kimi yazılır. Aydınlıq üçün bu mülkü bir nümunə ilə göstərəcəyik. Sübut əvvəlki əmlakdan istifadə etməklə həyata keçirilə bilər. Məsələn, p, q, r və s natural ədədləri üçün bərabərlik doğrudur. Daha aydınlıq üçün konkret ədədlərlə misal verək: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.

Bu fakt və vurmanın xassələri onu deməyə əsas verir ki, istənilən sayda müsbət ədədlərin vurulmasının nəticəsi də müsbət ədəd olacaqdır. Tamamilə aydındır ki, a=0 olan hər hansı n müsbət tam ədədi üçün an dərəcəsi sıfırdır. Həqiqətən, 0n=0·0·…·0=0. Məsələn, 03=0 və 0762=0. Gəlin dərəcənin mənfi əsaslarına keçək. Göstəricinin cüt ədəd olması halından başlayaq, onu 2·m kimi işarə edək, burada m natural ədəddir.

Bu əmlakın sübutuna davam edək. Sübut edək ki, m>n və 0 üçün. Eyni prinsipdən istifadə edərək, bərabərliklər şəklində yazılmış tam göstərici ilə dərəcənin bütün digər xassələrini sübut edə bilərik. Bu halda p 0 şərtləri müvafiq olaraq m 0 şərtlərinə ekvivalent olacaqdır. Bu halda p>q şərti eyni məxrəcli adi kəsrlərin müqayisəsi qaydasından irəli gələn m1>m2 şərtinə uyğun olacaq.

Köklərlə əməliyyatlar. Dərəcə anlayışının genişləndirilməsi. İndiyə qədər gücləri yalnız təbii eksponentlərlə nəzərdən keçirdik, lakin güclər və köklərlə əməliyyatlar da mənfi, sıfır və kəsr göstəricilərinə səbəb ola bilər; Bütün bu göstəricilər əlavə tərif tələb edir. Əgər a m: a n=a m - n düsturunun m = n üçün etibarlı olmasını istəyiriksə, sıfır dərəcəsinin tərifinə ehtiyacımız var. Loqarifmlər, hər hansı bir rəqəm kimi, hər cür əlavə edilə, çıxıla və dəyişdirilə bilər.

Loqarifmadan eksponentin çıxarılması

Səbəblər fərqlidirsə, bu qaydalar işləmir! Loqarifmlərin toplanması və çıxılması qaydaları haqqında danışarkən, onların yalnız eyni əsaslarla işlədiyini xüsusi vurğuladım. İkinci düsturdan belə çıxır ki, loqarifmin əsası və arqumenti dəyişdirilə bilər, lakin bu halda bütün ifadə "çevrilir", yəni. loqarifm məxrəcdə görünür.

Onların nə qədər əlverişli olduğunu yalnız loqarifmik tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli zamanı qiymətləndirmək mümkündür. Faktorları yenidən təşkil edərkən məhsul dəyişmədiyi üçün sakitcə dörd və ikini çoxaltdıq və sonra logarifmlərlə məşğul olduq. Çox vaxt həll prosesində ədədi verilmiş bazaya loqarifm kimi təqdim etmək lazımdır.

Dərəcələrin xüsusiyyətləri, düsturlar, sübutlar, nümunələr.

N rəqəmi tamamilə hər şey ola bilər, çünki bu, sadəcə loqarifm dəyəridir. Buna belə deyilir: əsas loqarifmik eynilik. Yeni bazaya keçmək üçün düsturlar kimi, əsas loqarifmik eynilik bəzən yeganə mümkün həll yoludur. Yekun olaraq, mən çətin ki, xassələri adlandırmaq mümkün olmayan iki eyniliyi verəcəyəm - daha doğrusu, onlar loqarifmin tərifinin nəticəsidir.

Güclü ədədləri olan kəsrlərlə misalların həlli nümunələri

Birdəfəlik xatırlayın: bu əsasın özünün istənilən a əsasının loqarifmi birə bərabərdir. 1 = 0 loqarifmik sıfırdır. a əsası hər hansı bir şey ola bilər, lakin arqumentdə bir varsa, loqarifm sıfıra bərabərdir! Çünki a0 = 1 tərifin birbaşa nəticəsidir. Bütün xassələri budur. Dərsin əvvəlində fırıldaqçı vərəqini yükləyin, çap edin və problemləri həll edin.

Loqarifmik vahid və loqarifmik sıfır

2.a-4 a-2 birinci paydır. Bu halda sizə aşağıdakıları etməyi məsləhət görürük. Bu, üçüncü mərhələ aksiyasıdır. Məsələn, am·an=am+n kəsirinin əsas xassəsi ifadələri sadələşdirərkən çox vaxt am+n=am·an şəklində istifadə olunur. a≠0 şərti sıfıra bölünməmək üçün lazımdır, çünki 0n=0 və biz bölmə ilə tanış olanda sıfıra bölmək olmaz ki, razılaşdıq. Yaranan am−n·an=am bərabərliyindən və vurma və bölmə arasındakı əlaqədən belə nəticə çıxır ki, am−n am və an səviyyələrinin nisbətidir. Bu, eyni əsaslara malik bölmənin gücünün xassəsini sübut edir.

Eynilə, əgər q=0, onda (ap)0=1 və ap·0=a0=1, buradan (ap)0=ap·0. Daha mürəkkəb nümunələrdə vurma və bölmənin müxtəlif əsaslara və fərqli eksponentlərə malik güclər üzərində yerinə yetirilməli olduğu hallar ola bilər. Köklərin xassələrindəki bu bərabərsizliklər müvafiq olaraq və kimi yenidən yazıla bilər. Və rasional eksponentli dərəcənin tərifi bərabərsizliklərə və müvafiq olaraq keçməyə imkan verir.

Güclərin toplanması və çıxılması

Aydındır ki, başqa kəmiyyətlər kimi gücə malik ədədlər də əlavə edilə bilər , əlamətləri ilə bir-birinin ardınca əlavə etməklə.

Beləliklə, a 3 və b 2-nin cəmi 3 + b 2-dir.
3 - b n və h 5 -d 4-ün cəmi 3 - b n + h 5 - d 4-dür.

Oranlar eyni dəyişənlərin bərabər gücləriəlavə və ya çıxa bilər.

Deməli, 2a 2 və 3a 2-nin cəmi 5a 2-yə bərabərdir.

Bu da aydındır ki, əgər siz iki kvadrat a, üç kvadrat a və ya beş kvadrat a alsanız.

Amma dərəcələr müxtəlif dəyişənlər Və müxtəlif dərəcələr eyni dəyişənlər, işarələri ilə əlavə edilərək tərtib edilməlidir.

Beləliklə, 2 və 3-ün cəmi 2 + a 3-ün cəmidir.

Aydındır ki, a-nın kvadratı və a-nın kubu a-nın kvadratının iki qatına deyil, a-nın iki qatına bərabərdir.

3 b n və 3a 5 b 6-nın cəmi 3 b n + 3a 5 b 6-dır.

Çıxarma səlahiyyətlər əlavə ilə eyni şəkildə həyata keçirilir, istisna olmaqla, əlavələrin əlamətləri müvafiq olaraq dəyişdirilməlidir.

Və ya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Çoxalma gücləri

Güclü ədədləri, digər kəmiyyətlər kimi, onları bir-birinin ardınca yazmaqla, aralarında vurma işarəsi ilə və ya olmadan çoxaltmaq olar.

Beləliklə, a 3-ün b 2-yə vurulmasının nəticəsi 3 b 2 və ya aaabb olur.

Və ya:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Son nümunədəki nəticə eyni dəyişənləri əlavə etməklə sıralana bilər.
İfadə aşağıdakı formanı alacaq: a 5 b 5 y 3.

Bir neçə ədədi (dəyişənləri) güclərlə müqayisə edərək görə bilərik ki, əgər onlardan hər hansı ikisi vurularsa, nəticədə gücü bərabər olan ədəd (dəyişən) olur. məbləğ termin dərəcələri.

Beləliklə, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Burada 5, 2 + 3-ə bərabər olan vurma nəticəsinin gücüdür, şərtlərin səlahiyyətlərinin cəmidir.

Beləliklə, a n .a m = a m+n .

a n üçün a, n-nin gücü qədər amil kimi qəbul edilir;

Və m dərəcəsi m bərabər olduğu qədər əmsal kimi qəbul edilir;

Buna görə də, eyni əsasları olan səlahiyyətlər, səlahiyyətlərin eksponentlərini toplamaqla vurula bilər.

Beləliklə, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Və x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Və ya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) çarpın.
Cavab: x 4 - y 4.
Çoxaldın (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Bu qayda göstəriciləri olan ədədlər üçün də keçərlidir mənfi.

1. Beləliklə, a -2 .a -3 = a -5 . Bunu (1/aa) kimi yazmaq olar.(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

a + b a - b ilə vurularsa, nəticə 2 - b 2 olacaq: yəni

İki ədədin cəmi və ya fərqinin vurulmasının nəticəsi onların kvadratlarının cəminə və ya fərqinə bərabərdir.

İki ədədin cəmini və fərqini çarparsanız kvadrat, nəticə bu ədədlərin cəminə və ya fərqinə bərabər olacaq dördüncü dərəcə.

Beləliklə, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Dərəcələrin bölünməsi

Güclü ədədləri digər ədədlər kimi dividenddən çıxmaqla və ya kəsr şəklində yerləşdirməklə bölmək olar.

Beləliklə, a 3 b 2-nin b 2-yə bölünməsi a 3-ə bərabərdir.

5-in 3-ə bölünməsinin yazılması $\frac kimi görünür $. Amma bu 2-yə bərabərdir. Bir sıra nömrələrdə
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
istənilən ədədi digərinə bölmək olar və göstərici bərabər olacaqdır fərq bölünən ədədlərin göstəriciləri.

Eyni baza ilə dərəcələri bölərkən onların göstəriciləri çıxarılır..

Beləliklə, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Yəni, $\frac = y$.

Və a n+1:a = a n+1-1 = a n . Yəni $\frac = a^n$.

Və ya:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Qayda olan nömrələr üçün də keçərlidir mənfi dərəcə dəyərləri.
-5-in -3-ə bölünməsinin nəticəsi -2-dir.
Həmçinin, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 və ya $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Bu cür əməliyyatlardan cəbrdə çox geniş istifadə olunduğundan, vurma və səlahiyyətlərin bölünməsini çox yaxşı mənimsəmək lazımdır.

Güclü ədədləri ehtiva edən kəsrlərlə misalların həlli nümunələri

1. Göstəriciləri $\frac $ azaldın Cavab: $\frac $.

2. Göstəriciləri $\frac$ azaldın. Cavab: $\frac$ və ya 2x.

3. a 2 /a 3 və a -3 /a -4 göstəricilərini azaldın və ortaq məxrəcə gətirin.
a 2 .a -4 a -2 birinci paydır.
a 3 .a -3 0 = 1, ikinci paydır.
a 3 .a -4 a -1 , ümumi paydır.
Sadələşdirmədən sonra: a -2 /a -1 və 1/a -1 .

4. 2a 4 /5a 3 və 2 /a 4 göstəricilərini azaldın və ortaq məxrəcə gətirin.
Cavab: 2a 3 /5a 7 və 5a 5 /5a 7 və ya 2a 3 /5a 2 və 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4-ü (a - b)/3-ə vurun.

6. (a 5 + 1)/x 2-ni (b 2 - 1)/(x + a) ilə vurun.

7. b 4 /a -2-ni h -3 /x və a n /y -3-ə vurun.

8. 4 /y 3-ü 3 /y 2-yə bölün. Cavab: a/y.

Dərəcənin xüsusiyyətləri

Bu dərsdə başa düşəcəyimizi xatırladırıq dərəcələrin xüsusiyyətləri təbii göstəricilərlə və sıfır. 8-ci sinif dərslərində rasional göstəriciləri olan qüvvələr və onların xassələri müzakirə olunacaq.

Təbii eksponenti olan bir güc, güclərlə nümunələrdə hesablamaları sadələşdirməyə imkan verən bir neçə vacib xüsusiyyətə malikdir.

Əmlak №1
Güclərin məhsulu

Gücləri eyni əsaslarla çoxaldarkən, baza dəyişməz qalır və güclərin eksponentləri əlavə olunur.

a m · a n = a m + n, burada “a” istənilən ədəddir, “m”, “n” isə istənilən natural ədəddir.

Səlahiyyətlərin bu xüsusiyyəti üç və ya daha çox səlahiyyətlərin hasilinə də aiddir.

• İfadəni sadələşdirin.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Bir dərəcə kimi təqdim edin.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Bir dərəcə kimi təqdim edin.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Nəzərə alın ki, göstərilən əmlakda biz yalnız eyni əsaslarla səlahiyyətlərin çoxaldılmasından danışdıq. Bu, onların əlavə edilməsinə şamil edilmir.

Cəmi (3 3 + 3 2) 3 5 ilə əvəz edə bilməzsiniz. Bu başa düşüləndir, əgər
(3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 və 3 5 = 243 hesablayın

Əmlak № 2
Qismən dərəcələr

Gücləri eyni əsaslarla bölərkən, əsas dəyişməz qalır və bölücünün eksponenti dividend göstəricisindən çıxarılır.

• Hissəni güc olaraq yazın
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Hesablayın.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Misal. Tənliyi həll edin. Biz bölünmə gücünün xassəsindən istifadə edirik.
3 8: t = 3 4

Cavab: t = 3 4 = 81

1 və 2 nömrəli xassələrdən istifadə etməklə siz ifadələri asanlıqla sadələşdirə və hesablamalar apara bilərsiniz.

Misal. İfadəni sadələşdirin.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Misal. Göstəricilərin xassələrindən istifadə edərək ifadənin qiymətini tapın.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Nəzərə alın ki, Əmlak 2-də biz yalnız eyni əsaslarla səlahiyyətlərin bölünməsindən danışdıq.

Siz fərqi (4 3 −4 2) 4 1 ilə əvəz edə bilməzsiniz. (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 və 4 1 = 4 hesablasanız, bu başa düşüləndir.

Əmlak №3
Bir dərəcəni bir gücə yüksəltmək

Bir dərəcəni bir gücə qaldırarkən dərəcənin əsası dəyişməz qalır və eksponentlər vurulur.

(a n) m = a n · m, burada “a” istənilən ədəddir, “m”, “n” isə istənilən natural ədəddir.

Xatırladırıq ki, hissə kəsr kimi göstərilə bilər. Ona görə də biz növbəti səhifədə kəsri gücə qaldırmaq mövzusu üzərində daha ətraflı dayanacağıq.

Gücləri necə çoxaltmaq olar

Gücləri necə çoxaltmaq olar? Hansı səlahiyyətləri çoxaltmaq olar, hansını çoxaltmaq olmaz? Bir ədədi gücə necə vurmaq olar?

Cəbrdə gücün hasilini iki halda tapa bilərsiniz:

1) dərəcələr eyni əsaslara malikdirsə;

2) dərəcələr eyni göstəricilərə malik olduqda.

Gücləri eyni əsaslarla vurarkən, əsas eyni qalmalı və eksponentlər əlavə edilməlidir:

Eyni göstəricilərlə dərəcələri vurarkən, ümumi göstərici mötərizədən çıxarıla bilər:

Xüsusi misallardan istifadə edərək gücləri necə çoxaltmağa baxaq.

Vahid eksponentdə yazılmır, lakin gücləri vurarkən nəzərə alırlar:

Çoxaldıqda istənilən sayda güc ola bilər. Yadda saxlamaq lazımdır ki, hərfdən əvvəl vurma işarəsini yazmaq lazım deyil:

İfadələrdə ilk növbədə eksponentasiya edilir.

Bir ədədi bir gücə vurmaq lazımdırsa, əvvəlcə eksponentasiyanı yerinə yetirməlisiniz, sonra isə vurma:

Güclərin eyni əsaslarla çarpılması

Bu video dərsliyi abunə ilə əldə etmək olar

Artıq abunəliyiniz var? İçəri girmək

Bu dərsdə güclərin oxşar əsaslarla vurulmasını öyrənəcəyik. Əvvəlcə dərəcənin tərifini xatırlayaq və bərabərliyin etibarlılığına dair bir teorem formalaşdıraq . Sonra onun konkret ədədlər üzərində tətbiqinə dair nümunələr verəcəyik və bunu sübut edəcəyik. Teoremi müxtəlif problemləri həll etmək üçün də tətbiq edəcəyik.

Mövzu: Təbii göstərici ilə güc və onun xassələri

Dərs: Güclərin eyni əsaslarla vurulması (formula)

1. Əsas təriflər

Əsas təriflər:

n- eksponent,

— nədədin gücü.

2. Teorem 1-in ifadəsi

Teorem 1.İstənilən nömrə üçün A və hər hansı bir təbii n Və k bərabərlik doğrudur:

Başqa sözlə: əgər A- istənilən nömrə; n Və k natural ədədlər, onda:

Beləliklə, qayda 1:

3. İzahedici tapşırıqlar

Nəticə: xüsusi hallar 1 nömrəli teoremin düzgünlüyünü təsdiq etdi. Bunu ümumi halda, yəni hər hansı bir halda sübut edək A və hər hansı bir təbii n Və k.

4. Teorem 1-in sübutu

Nömrə verilir A- hər hansı; nömrələri n Və k – təbii. Sübut edin:

Sübut dərəcənin tərifinə əsaslanır.

5. Teorem 1-dən istifadə edərək misalların həlli

Misal 1: Bunu bir dərəcə kimi düşünün.

Aşağıdakı misalları həll etmək üçün Teorem 1-dən istifadə edəcəyik.

və)

6. 1-ci teoremin ümumiləşdirilməsi

Burada istifadə olunan ümumiləşdirmə:

7. Teorem 1-in ümumiləşdirilməsindən istifadə edərək misalların həlli

8. Teorem 1-dən istifadə etməklə müxtəlif məsələlərin həlli

Misal 2: Hesablayın (əsas səlahiyyətlər cədvəlindən istifadə edə bilərsiniz).

A) (cədvələ görə)

b)

Misal 3: Onu 2-ci baza ilə güc kimi yazın.

A)

Misal 4: Nömrənin işarəsini təyin edin:

, A - mənfi, çünki -13-də eksponent təkdir.

Misal 5:(·) nü əsası olan ədədin gücü ilə əvəz edin r:

Bizdə var, yəni.

9. Xülasə

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimoviç E.A. və başqaları Cəbr 7. 6-cı nəşr. M .: Maarifçilik. 2010

1. Məktəb köməkçisi (Mənbə).

1. Güc kimi təqdim edin:

a B C D E)

3. Baza 2 olan qüvvə kimi yazın:

4. Ədədin işarəsini təyin edin:

A)

5. (·) rəqəmini əsası olan ədədin gücü ilə əvəz edin r:

a) r 4 · (·) = r 15; b) (·) · r 5 = r 6

Güclərin eyni göstəricilərlə vurulması və bölünməsi

Bu dərsdə dərəcələrin bərabər göstəricilərlə vurulmasını öyrənəcəyik. Birincisi, gücləri eyni əsaslarla vurmaq və bölmək və səlahiyyətləri güclərə qaldırmaq haqqında əsas tərifləri və teoremləri xatırlayaq. Sonra eyni eksponentlərlə gücün vurulması və bölünməsi ilə bağlı teoremləri tərtib edib sübut edirik. Və sonra onların köməyi ilə bir sıra tipik problemləri həll edəcəyik.

Əsas təriflərin və teoremlərin xatırladılması

Budur a- dərəcənin əsası,

— nədədin gücü.

Teorem 1.İstənilən nömrə üçün A və hər hansı bir təbii n Və k bərabərlik doğrudur:

Gücləri eyni əsaslarla vurarkən eksponentlər əlavə olunur, əsas dəyişməz qalır.

Teorem 2.İstənilən nömrə üçün A və hər hansı bir təbii n Və k, belə n > k bərabərlik doğrudur:

Eyni əsaslarla dərəcələri bölərkən eksponentlər çıxarılır, lakin əsas dəyişməz qalır.

Teorem 3.İstənilən nömrə üçün A və hər hansı bir təbii n Və k bərabərlik doğrudur:

Sadalanan bütün teoremlər eyni güclərə aid idi səbəblər, bu dərsdə eyni ilə dərəcələrə baxacağıq göstəricilər.

Gücləri eyni eksponentlərlə vurmaq üçün nümunələr

Aşağıdakı nümunələri nəzərdən keçirin:

Dərəcəni təyin etmək üçün ifadələri yazaq.

Nəticə: Nümunələrdən bunu görmək olar , lakin bu hələ sübut edilməlidir. Teoremi tərtib edək və ümumi halda, yəni hər hansı bir halda sübut edək A Və b və hər hansı bir təbii n.

Teorem 4-ün tərtibi və sübutu

İstənilən nömrələr üçün A Və b və hər hansı bir təbii n bərabərlik doğrudur:

Sübut Teorem 4 .

Dərəcənin tərifinə görə:

Beləliklə, biz bunu sübut etdik .

Gücləri eyni eksponentlərlə çoxaltmaq üçün əsasları çoxaltmaq və eksponenti dəyişməz qoymaq kifayətdir.

5-ci teoremin tərtibi və sübutu

Eyni eksponentlərlə güclərin bölünməsi üçün bir teorem tərtib edək.

İstənilən nömrə üçün A Və b() və hər hansı bir təbii n bərabərlik doğrudur:

Sübut Teorem 5 .

Dərəcənin tərifini yazaq:

Teoremlərin sözlə ifadəsi

Beləliklə, biz bunu sübut etdik.

Eyni eksponentləri olan gücləri bir-birinə bölmək üçün bir bazanı digərinə bölmək və eksponenti dəyişməz qoymaq kifayətdir.

Teorem 4-dən istifadə edərək tipik məsələlərin həlli

Misal 1: Güclərin məhsulu kimi təqdim olunur.

Aşağıdakı misalları həll etmək üçün Teorem 4-dən istifadə edəcəyik.

Aşağıdakı nümunəni həll etmək üçün düsturları xatırlayın:

4-cü teoremin ümumiləşdirilməsi

Teorem 4-ün ümumiləşdirilməsi:

Ümumiləşdirilmiş teoremdən istifadə edərək nümunələrin həlli 4

Tipik problemləri həll etməyə davam edir

Misal 2: Bunu məhsulun gücü kimi yazın.

Misal 3: Onu 2-ci eksponentlə güc kimi yazın.

Hesablama nümunələri

Misal 4:Ən rasional şəkildə hesablayın.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cəbr 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. və başqaları. Cəbr 7.M.: Maarifləndirmə. 2006

2. Məktəb köməkçisi (Mənbə).

1. Səlahiyyətlərin məhsulu kimi təqdim olunur:

A) ; b) ; V) ; G) ;

2. Məhsulun gücü kimi yazın:

3. 2-ci eksponent ilə güc kimi yazın:

4. Ən rasional şəkildə hesablayın.

“Süvvətlərin vurulması və bölünməsi” mövzusunda riyaziyyat dərsi

Bölmələr: Riyaziyyat

Pedaqoji məqsəd:

Tapşırıqlar:

Tədrisin fəaliyyət vahidləri: natural göstərici ilə dərəcənin müəyyən edilməsi; dərəcə komponentləri; şəxsi tərifi; çarpmanın kombinasiya qanunu.

I. Şagirdlərin mövcud biliklərə yiyələnməsinin nümayişinin təşkili. (addım 1)

a) Biliklərin yenilənməsi:

2) Təbii göstərici ilə dərəcə tərifini tərtib edin.

a n =a a a a … a (n dəfə)

b k =b b b b a… b (k dəfə) Cavabı əsaslandırın.

II. Tələbənin cari təcrübədə bacarıq dərəcəsinin özünüqiymətləndirməsinin təşkili. (addım 2)

Öz-özünə sınaq: (iki versiyada fərdi iş.)

A1) 7 7 7 7 x x x məhsulunu güc kimi təqdim edin:

A2) Gücü (-3) 3 x 2 məhsul kimi təmsil edin

A3) Hesablayın: -2 3 2 + 4 5 3

Testdə tapşırıqların sayını sinif səviyyəsinin hazırlığına uyğun seçirəm.

Mən sizə özünü sınamaq üçün testin açarını verirəm. Meyarlar: keçid - keçid yoxdur.

III. Tədris və praktik tapşırıq (addım 3) + addım 4. (şagirdlər özləri xassələri formalaşdıracaqlar)

1) və 2) məsələləri həll edərkən tələbələr həll yolu təklif edirlər və mən bir müəllim kimi eyni əsaslarla vurarkən səlahiyyətləri sadələşdirməyin yolunu tapmaq üçün sinif təşkil edirəm.

Müəllim: Eyni əsaslarla vurarkən səlahiyyətləri sadələşdirməyin bir yolunu tapın.

Klasterdə bir giriş görünür:

Dərsin mövzusu tərtib edilir. Güclərin çoxaldılması.

Müəllim: eyni əsaslarla səlahiyyətlərin bölünməsi qaydası ilə tanış olun.

Əsaslandırma: bölməni yoxlamaq üçün hansı hərəkətdən istifadə olunur? a 5: a 3 =? ki, a 2 a 3 = a 5

Mən diaqrama qayıdıram - klaster və girişə əlavə edirəm - .. bölərkən dərsin mövzusunu çıxarırıq və əlavə edirik. ...və dərəcə bölgüsü.

IV. Şagirdlərə biliyin hüdudlarını çatdırmaq (minimum və maksimum olaraq).

Müəllim: Bugünkü dərsin minimum vəzifəsi eyni əsaslarla güclərin vurma və bölmə xassələrini tətbiq etməyi öyrənmək, maksimum vəzifə isə vurma və bölməni birlikdə tətbiq etməkdir.

Lövhədə yazırıq : a m a n = a m+n ; a m: a n = a m-n

V. Yeni materialın öyrənilməsinin təşkili. (addım 5)

a) Dərsliyə uyğun olaraq: 403 No-li (a, c, e) müxtəlif mətnli tapşırıqlar

No 404 (a, d, f) müstəqil iş, sonra qarşılıqlı yoxlama təşkil edirəm, açarları verirəm.

b) Bərabərlik m-nin hansı qiyməti üçün etibarlıdır? a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Tapşırıq: bölmə üçün oxşar nümunələr tapın.

c) № 417 (a), № 418 (a) Tələbələr üçün tələlər: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6; a 16: a 8 = a 2.

VI. Öyrənilənlərin ümumiləşdirilməsi, diaqnostik işin aparılması (bu, müəllimi deyil, tələbələri bu mövzunu öyrənməyə həvəsləndirir) (addım 6)

Diaqnostik iş.

Test(açarları xəmirin arxasına qoyun).

Tapşırıq variantları: x 15 nisbətini güc kimi təqdim edin: x 3; məhsulu güc kimi təmsil edir (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; a 16 a m = a 32 bərabərliyi hansı m üçün etibarlıdır? h = 0,2-də h 0: h 2 ifadəsinin qiymətini tapın; ifadənin qiymətini hesablayın (5 2 5 0) : 5 2 .

Dərsin xülasəsi. Refleksiya. Mən sinfi iki qrupa bölürəm.

I qrupda arqumentləri tapın: dərəcənin xüsusiyyətlərini bilmək lehinə və II qrup - xüsusiyyətlər olmadan edə biləcəyinizi söyləyəcək arqumentlər. Bütün cavabları dinləyirik və nəticə çıxarırıq. Sonrakı dərslərdə siz statistik məlumatlar təklif edə və rubrikanı “İnanılmaz!” adlandıra bilərsiniz.

VII. Ev tapşırığı.

Tarixi istinad. Hansı ədədlərə Fermat ədədləri deyilir.

S.19. No 403, No 408, No 417

İstifadə olunmuş Kitablar:

Dərəcələrin xüsusiyyətləri, düsturlar, sübutlar, nümunələr.

Ədədin gücü müəyyən edildikdən sonra danışmaq məntiqlidir dərəcə xassələri. Bu yazıda biz bütün mümkün eksponentlərə toxunarkən ədədin gücünün əsas xassələrini verəcəyik. Burada dərəcələrin bütün xassələrinin sübutlarını təqdim edəcəyik, həmçinin nümunələrin həlli zamanı bu xassələrin necə istifadə edildiyini göstərəcəyik.

Səhifə naviqasiyası.

Təbii göstəricilərlə dərəcələrin xassələri

Təbii eksponentli gücün tərifinə görə a n gücü hər biri a-a bərabər olan n amilin məhsuludur. Bu tərif əsasında və həmçinin istifadə həqiqi ədədlərin vurulmasının xassələri, biz aşağıdakıları əldə edə və əsaslandıra bilərik təbii göstərici ilə dərəcə xassələri:

Hər bir hesab əməliyyatı bəzən yazmaq üçün çox çətin olur və onu sadələşdirməyə çalışırlar. Bu, bir dəfə əlavə əməliyyatında belə idi. İnsanlar, məsələn, hər biri üçün 3 qızıl sikkə olan yüz fars xalçasının dəyərini hesablamaq üçün eyni növdən təkrar əlavə etməli idilər. 3+3+3+…+3 = 300. Çətin təbiətinə görə qeydi 3 * 100 = 300-ə qədər qısaltmaq qərara alındı. Əslində “üç dəfə yüz” qeydi bir götürmək lazım olduğunu bildirir. yüz üç və onları birlikdə əlavə edin. Çoxalma tutuldu və ümumi populyarlıq qazandı. Lakin dünya bir yerdə dayanmır və orta əsrlərdə eyni tipli təkrar çoxalmanın həyata keçirilməsinə ehtiyac yarandı. Görülmüş işin mükafatı olaraq aşağıdakı miqdarda buğda dənələri istəyən bir adaçayı haqqında köhnə hind tapmacasını xatırlayıram: şahmat taxtasının birinci kvadratı üçün bir taxıl, ikinci üçün - iki, üçüncü üçün - dörd, beşinci üçün - səkkiz və s. Güclərin ilk çarpımı belə ortaya çıxdı, çünki taxılların sayı hüceyrə sayının gücünə ikiyə bərabər idi. Məsələn, sonuncu xanada 2*2*2*...*2 = 2^63 taxıl olardı ki, bu da 18 simvol uzunluğuna bərabərdir, əslində tapmacanın mənası budur.

Eksponentasiya əməliyyatı olduqca tez bir zamanda tutuldu və güclərin toplama, çıxma, bölmə və vurma işlərinin aparılması ehtiyacı da tez bir zamanda ortaya çıxdı. Sonuncunu daha ətraflı nəzərdən keçirməyə dəyər. Güclərin əlavə edilməsi üçün düsturlar sadədir və yadda saxlamaq asandır. Bundan əlavə, güc əməliyyatı çarpma ilə əvəz edilərsə, onların haradan gəldiyini anlamaq çox asandır. Ancaq əvvəlcə bəzi əsas terminologiyanı başa düşməlisiniz. a^b ifadəsi ("a"-nın qüvvəsinə görə oxuyun) o deməkdir ki, a rəqəmi özünə b dəfə vurulmalıdır, "a" gücün əsası, "b" isə güc göstəricisi adlanır. Əgər dərəcələrin əsasları eynidirsə, onda düsturlar olduqca sadə şəkildə alınır. Konkret misal: 2^3 * 2^4 ifadəsinin qiymətini tapın. Nə baş verəcəyini bilmək üçün həllə başlamazdan əvvəl kompüterdə cavab tapmalısınız. Bu ifadəni istənilən onlayn kalkulyatora, axtarış sisteminə daxil edərək, “müxtəlif əsaslarla və eyni gücləri vurmaq” və ya riyazi paket yazmaqla nəticə 128 olacaq. İndi bu ifadəni yazaq: 2^3 = 2*2*2, və 2^4 = 2 *2*2*2. Belə çıxır ki, 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Belə çıxır ki, eyni bazaya malik güclərin hasili əvvəlki iki gücün cəminə bərabər bir gücə qaldırılan bazaya bərabərdir.

Bunun qəza olduğunu düşünə bilərsiniz, amma yox: hər hansı digər nümunə yalnız bu qaydanı təsdiqləyə bilər. Beləliklə, ümumiyyətlə, düstur belə görünür: a^n * a^m = a^(n+m) . Sıfır gücünə hər hansı bir ədədin birə bərabər olması qaydası da var. Burada mənfi qüvvələr qaydasını xatırlamalıyıq: a^(-n) = 1 / a^n. Yəni 2^3 = 8 olarsa, 2^(-3) = 1/8. Bu qaydadan istifadə edərək a^0 = 1 bərabərliyinin etibarlılığını sübut edə bilərsiniz: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) , a^ (n) azaldıla bilər və biri qalır. Buradan belə bir qayda çıxarılır ki, əsasları eyni olan səlahiyyətlərin nisbəti dividend və bölücü nisbətinə bərabər dərəcədə bu bazaya bərabərdir: a^n: a^m = a^(n-m) . Misal: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) ifadəsini sadələşdirin. Vurma kommutativ əməliyyatdır, buna görə də əvvəlcə vurma göstəricilərini əlavə etməlisiniz: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Sonra mənfi bir güclə bölünmə ilə məşğul olmalısınız. Dividendin göstəricisindən bölənin göstəricisini çıxmaq lazımdır: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Belə çıxır ki, dərəcəni mənfiyə bölmə əməliyyatı oxşar müsbət göstəriciyə vurma əməliyyatı ilə eynidir. Beləliklə, son cavab 8-dir.

Güclərin qeyri-kanonik çoxalmasının baş verdiyi nümunələr var. Gücləri müxtəlif əsaslarla çoxaltmaq çox vaxt daha çətindir və bəzən hətta qeyri-mümkündür. Müxtəlif mümkün texnikaların bəzi nümunələri verilməlidir. Nümunə: 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729 ifadəsini sadələşdirin. Aydındır ki, müxtəlif əsaslarla güclərin vurulması var. Ancaq qeyd etmək lazımdır ki, bütün əsaslar üçünün fərqli səlahiyyətləri var. 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6. (a^n) ^m = a^(n*m) qaydasından istifadə edərək ifadəni daha rahat formada yenidən yazmalısınız: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7) -4+12 -10+6) = 3^(11) . Cavab: 3^11. Müxtəlif əsasların olduğu hallarda a^n * b^n = (a*b) ^n qaydası bərabər göstəricilər üçün işləyir. Məsələn, 3^3 * 7^3 = 21^3. Əks halda, əsaslar və göstəricilər fərqli olduqda, tam vurma həyata keçirilə bilməz. Bəzən kompüter texnologiyasının köməyinə qismən sadələşdirə və ya müraciət edə bilərsiniz.

Aydındır ki, başqa kəmiyyətlər kimi gücə malik ədədlər də əlavə edilə bilər , əlamətləri ilə bir-birinin ardınca əlavə etməklə.

Beləliklə, a 3 və b 2-nin cəmi 3 + b 2-dir.
3 - b n və h 5 -d 4-ün cəmi 3 - b n + h 5 - d 4-dür.

Oranlar eyni dəyişənlərin bərabər gücləriəlavə və ya çıxa bilər.

Deməli, 2a 2 və 3a 2-nin cəmi 5a 2-yə bərabərdir.

Bu da aydındır ki, əgər siz iki kvadrat a, üç kvadrat a və ya beş kvadrat a alsanız.

Amma dərəcələr müxtəlif dəyişənlər Və müxtəlif dərəcələr eyni dəyişənlər, işarələri ilə əlavə edilərək tərtib edilməlidir.

Beləliklə, 2 və 3-ün cəmi 2 + a 3-ün cəmidir.

Aydındır ki, a-nın kvadratı və a-nın kubu a-nın kvadratının iki qatına deyil, a-nın iki qatına bərabərdir.

3 b n və 3a 5 b 6-nın cəmi 3 b n + 3a 5 b 6-dır.

Çıxarma səlahiyyətlər əlavə ilə eyni şəkildə həyata keçirilir, istisna olmaqla, əlavələrin əlamətləri müvafiq olaraq dəyişdirilməlidir.

Və ya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Çoxalma gücləri

Güclü ədədləri, digər kəmiyyətlər kimi, onları bir-birinin ardınca yazmaqla, aralarında vurma işarəsi ilə və ya olmadan çoxaltmaq olar.

Beləliklə, a 3-ün b 2-yə vurulmasının nəticəsi 3 b 2 və ya aaabb olur.

Və ya:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Son nümunədəki nəticə eyni dəyişənləri əlavə etməklə sıralana bilər.
İfadə aşağıdakı formanı alacaq: a 5 b 5 y 3.

Bir neçə ədədi (dəyişənləri) güclərlə müqayisə edərək görə bilərik ki, əgər onlardan hər hansı ikisi vurularsa, nəticədə gücü bərabər olan ədəd (dəyişən) olur. məbləğ termin dərəcələri.

Beləliklə, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Burada 5 vurmanın nəticəsinin gücüdür, 2 + 3-ə bərabərdir, şərtlərin səlahiyyətlərinin cəmidir.

Beləliklə, a n .a m = a m+n .

a n üçün a, n-nin gücü qədər amil kimi qəbul edilir;

Və m dərəcəsi m bərabər olduğu qədər əmsal kimi qəbul edilir;

Buna görə də, eyni əsasları olan səlahiyyətlər, səlahiyyətlərin eksponentlərini toplamaqla vurula bilər.

Beləliklə, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Və x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Və ya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) çarpın.
Cavab: x 4 - y 4.
(x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) çarpın.

Bu qayda göstəriciləri olan ədədlər üçün də keçərlidir mənfi.

1. Beləliklə, a -2 .a -3 = a -5 . Bunu (1/aa) kimi yazmaq olar.(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

a + b a - b ilə vurularsa, nəticə 2 - b 2 olacaq: yəni

İki ədədin cəmi və ya fərqinin vurulmasının nəticəsi onların kvadratlarının cəminə və ya fərqinə bərabərdir.

İki ədədin cəmini və fərqini çarparsanız kvadrat, nəticə bu ədədlərin cəminə və ya fərqinə bərabər olacaq dördüncü dərəcə.

Beləliklə, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Dərəcələrin bölünməsi

Güclü ədədləri digər ədədlər kimi dividenddən çıxmaqla və ya kəsr şəklində yerləşdirməklə bölmək olar.

Beləliklə, a 3 b 2-nin b 2-yə bölünməsi a 3-ə bərabərdir.

Və ya:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5-in 3-ə bölünməsinin yazılması $\frac(a^5)(a^3)$ kimi görünür. Amma bu 2-yə bərabərdir. Bir sıra nömrələrdə
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
istənilən ədədi digərinə bölmək olar və göstərici bərabər olacaqdır fərq bölünən ədədlərin göstəriciləri.

Eyni baza ilə dərəcələri bölərkən onların göstəriciləri çıxarılır..

Beləliklə, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Yəni, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Və a n+1:a = a n+1-1 = a n . Yəni, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Və ya:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Qayda olan nömrələr üçün də keçərlidir mənfi dərəcə dəyərləri.
-5-in -3-ə bölünməsinin nəticəsi -2-dir.
Həmçinin, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 və ya $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Bu cür əməliyyatlardan cəbrdə çox geniş istifadə olunduğundan, vurma və səlahiyyətlərin bölünməsini çox yaxşı mənimsəmək lazımdır.

Güclü ədədləri olan kəsrlərlə misalların həlli nümunələri

1. Göstəriciləri $\frac(5a^4)(3a^2)$ qədər azaldın Cavab: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Göstəriciləri $\frac(6x^6)(3x^5)$ azaldın. Cavab: $\frac(2x)(1)$ və ya 2x.

3. a 2 /a 3 və a -3 /a -4 göstəricilərini azaldın və ortaq məxrəcə gətirin.
a 2 .a -4 a -2 birinci paydır.
a 3 .a -3 0 = 1, ikinci paydır.
a 3 .a -4 a -1 , ümumi paydır.
Sadələşdirmədən sonra: a -2 /a -1 və 1/a -1 .

4. 2a 4 /5a 3 və 2 /a 4 göstəricilərini azaldın və ortaq məxrəcə gətirin.
Cavab: 2a 3 /5a 7 və 5a 5 /5a 7 və ya 2a 3 /5a 2 və 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4-ü (a - b)/3-ə vurun.

6. (a 5 + 1)/x 2-ni (b 2 - 1)/(x + a) ilə vurun.

7. b 4 /a -2-ni h -3 /x və a n /y -3-ə vurun.

8. 4 /y 3-ü 3 /y 2-yə bölün. Cavab: a/y.

9. (h 3 - 1)/d 4-ü (d n + 1)/saata bölün.

Birinci səviyyə

Dərəcə və onun xüsusiyyətləri. Hərtərəfli Bələdçi (2019)

Nə üçün dərəcələr lazımdır? Onlara harada ehtiyacınız olacaq? Nə üçün onları öyrənməyə vaxt ayırmalısan?

Dərəcələr, onların nə üçün lazım olduğu və biliklərinizi gündəlik həyatda necə istifadə edəcəyiniz haqqında hər şeyi öyrənmək üçün bu məqaləni oxuyun.

Və əlbəttə ki, dərəcə bilikləri sizi Vahid Dövlət İmtahanı və ya Vahid Dövlət İmtahanını uğurla keçməyə və arzuladığınız universitetə ​​daxil olmağa yaxınlaşdıracaq.

Gedək... (Gedək!)

Vacib qeyd! Düsturlar əvəzinə gobbledygook görürsünüzsə, önbelleğinizi silin. Bunu etmək üçün CTRL+F5 (Windows-da) və ya Cmd+R (Mac-da) düymələrini basın.

BİRİNCİ SƏVİYYƏ

Göstərici toplama, çıxma, vurma və ya bölmə kimi riyazi bir əməliyyatdır.

İndi çox sadə misallarla hər şeyi insan dilində izah edəcəyəm. Ehtiyatlı ol. Nümunələr elementardır, lakin vacib şeyləri izah edir.

Əlavə ilə başlayaq.

Burada izah ediləcək bir şey yoxdur. Siz artıq hər şeyi bilirsiniz: biz səkkizik. Hər kəsin iki şüşə kolası var. Nə qədər kola var? Düzdü - 16 şüşə.

İndi vurma.

Kola ilə eyni misal başqa cür də yazıla bilər: . Riyaziyyatçılar hiyləgər və tənbəl insanlardır. Əvvəlcə bəzi nümunələri görürlər və sonra onları daha sürətli “saymağın” yolunu tapırlar. Bizim vəziyyətimizdə səkkiz adamın hər birinin eyni sayda kola şüşəsi olduğunu gördülər və vurma adlı bir texnika tapdılar. Razılaşın, daha asan və daha sürətli hesab olunur.

Beləliklə, daha sürətli, asan və səhvsiz saymaq üçün sadəcə xatırlamaq lazımdır vurma cədvəli. Əlbəttə ki, hər şeyi daha yavaş, daha çətin və səhvlərlə edə bilərsiniz! Amma…

Budur vurma cədvəli. Təkrarlamaq.

Və başqa, daha gözəl:

Tənbəl riyaziyyatçılar başqa hansı ağıllı sayma fəndlərini tapıblar? Sağ - rəqəmi gücə çatdırmaq.

Nömrəni gücə yüksəltmək

Əgər bir ədədi özünə beş dəfə vurmaq lazımdırsa, o zaman riyaziyyatçılar deyirlər ki, bu ədədi beşinci dərəcəyə qaldırmaq lazımdır. Misal üçün, . Riyaziyyatçılar xatırlayırlar ki, ikidən beşinci dərəcə... Və belə problemləri öz başlarında həll edirlər - daha sürətli, daha asan və səhvsiz.

Sizə lazım olan hər şeydir rəqəmlərin səlahiyyətləri cədvəlində rənglə vurğulananları xatırlayın. İnanın, bu sizin həyatınızı çox asanlaşdıracaq.

Yeri gəlmişkən, niyə ikinci dərəcə adlanır? kvadrat nömrələr və üçüncü - kub? Bunun mənası nədi? Çox yaxşı sual. İndi həm kvadratlar, həm də kublar olacaq.

Real həyat nümunəsi №1

Nömrənin kvadratı və ya ikinci dərəcəsi ilə başlayaq.

Bir metrə bir metr ölçüdə bir kvadrat hovuz təsəvvür edin. Hovuz sizin bağçanızdadır. Hava istidir və mən həqiqətən üzmək istəyirəm. Amma... hovuzun dibi yoxdur! Hovuzun dibini plitələrlə örtmək lazımdır. Neçə plitə lazımdır? Bunu müəyyən etmək üçün hovuzun alt sahəsini bilmək lazımdır.

Siz sadəcə barmağınızı göstərərək hesablaya bilərsiniz ki, hovuzun dibi metr metr kublardan ibarətdir. Bir metrə bir metr plitələriniz varsa, parçalara ehtiyacınız olacaq. Asandır... Bəs belə plitələr harada görmüsünüz? Kafel çox güman ki, sm sm olacaq və sonra "barmağınızla saymaqla" işgəncə alacaqsınız. Sonra çoxalmaq lazımdır. Beləliklə, hovuzun dibinin bir tərəfində plitələr (parçalar) və digər tərəfdən də plitələr yerləşdirəcəyik. Çoxaldın və plitələr alırsınız ().

Hovuzun dibinin sahəsini təyin etmək üçün eyni rəqəmi özünə vurduğumuzu gördünüzmü? Bunun mənası nədi? Eyni ədədi çoxaltdığımız üçün “üstur” texnikasından istifadə edə bilərik. (Əlbəttə ki, yalnız iki rəqəminiz olduqda, yenə də onları çoxaltmalı və ya bir gücə yüksəltməlisiniz. Amma əgər onlardan çox olarsa, onları bir gücə çatdırmaq daha asandır və hesablamalarda daha az səhv var. Vahid Dövlət İmtahanı üçün bu çox vacibdir).
Beləliklə, ikinci gücə otuz () olacaq. Və ya otuz kvadrat olacağını deyə bilərik. Başqa sözlə, ədədin ikinci dərəcəsi həmişə kvadrat şəklində göstərilə bilər. Və əksinə, əgər kvadrat görürsünüzsə, o, HƏMİŞƏ bəzi ədədin ikinci dərəcəsidir. Kvadrat ədədin ikinci dərəcəsinin şəklidir.

Real həyat nümunəsi №2

Budur sizə bir tapşırıq: ədədin kvadratından istifadə edərək şahmat taxtasında neçə kvadrat olduğunu hesablayın... Hüceyrələrin bir tərəfində və digər tərəfində də. Onların sayını hesablamaq üçün səkkizi səkkizə vurmaq lazımdır və ya... şahmat taxtasının bir tərəfi olan kvadrat olduğunu görsəniz, onda səkkizi kvadrat edə bilərsiniz. Siz hüceyrələr alacaqsınız. () Belə ki?

Real həyat nümunəsi №3

İndi kub və ya ədədin üçüncü dərəcəsi. Eyni hovuz. Ancaq indi bu hovuza nə qədər su tökmək lazım olduğunu öyrənməlisiniz. Həcmi hesablamaq lazımdır. (Yeri gəlmişkən, həcmlər və mayelər kubmetrlə ölçülür. Gözlənilməz, elə deyilmi?) Hovuz çəkin: dibi bir metr ölçüsündə və bir metr dərinliyindədir və bir metrlə metr ölçən neçə kubun olacağını hesablamağa çalışın. hovuzunuza uyğun.

Sadəcə barmağınızı göstərin və sayın! Bir, iki, üç, dörd...iyirmi iki, iyirmi üç...Neçə aldınız? itirilmiş deyil? Barmağınızla saymaq çətindir? Belə ki! Riyaziyyatçılardan nümunə götürün. Onlar tənbəldirlər, ona görə də fərq etdilər ki, hovuzun həcmini hesablamaq üçün onun uzunluğunu, enini və hündürlüyünü bir-birinə vurmaq lazımdır. Bizim vəziyyətimizdə hovuzun həcmi kublara bərabər olacaq... Daha asan, elə deyilmi?

İndi təsəvvür edin ki, riyaziyyatçılar bunu da sadələşdirsələr, nə qədər tənbəl və hiyləgərdirlər. Hər şeyi bir hərəkətə endirdik. Uzunluğu, eni və hündürlüyünün bərabər olduğunu və eyni ədədin özünə vurulduğunu müşahidə etdilər... Bu nə deməkdir? Bu o deməkdir ki, siz dərəcədən yararlana bilərsiniz. Beləliklə, bir dəfə barmağınızla saydıqlarınızı bir hərəkətdə edirlər: üç kub bərabərdir. Belə yazılmışdır: .

Qalan hər şey dərəcələr cədvəlini xatırlayın. Təbii ki, siz riyaziyyatçılar qədər tənbəl və hiyləgər olmasanız. Əgər çox işləməyi və səhv etməyi sevirsinizsə, barmağınızla saymağa davam edə bilərsiniz.

Nəhayət, sizi diplomların sizin üçün problem yaratmaq üçün deyil, həyat problemlərini həll etmək üçün tərk edənlər və hiyləgər insanlar tərəfindən icad edildiyinə inandırmaq üçün həyatdan bir neçə nümunə daha var.

Real həyat nümunəsi №4

Bir milyon rublunuz var. Hər ilin əvvəlində qazandığınız hər milyon üçün daha bir milyon qazanırsınız. Yəni, hər milyonda hər ilin əvvəlində ikiqat olur. İllər sonra nə qədər pulunuz olacaq? Əgər indi oturub “barmağınızla sayırsınızsa”, deməli siz çox çalışqan insansınız və... axmaqsınız. Amma çox güman ki, bir neçə saniyəyə cavab verəcəksən, çünki sən ağıllısan! Deməli, birinci ildə - iki ikiyə vuruldu... ikinci ildə - nə oldu, daha iki, üçüncü kursda... Dayan! Nömrənin özünə dəfələrlə vurulduğunu gördünüz. Beləliklə, ikidən beşinci güc bir milyondur! İndi təsəvvür edin ki, sizin rəqabətiniz var və ən tez saya bilən bu milyonları əldə edəcək... Rəqəmlərin gücünü xatırlamağa dəyər, elə deyilmi?

Real həyat nümunəsi №5

Sənin bir milyonun var. Hər ilin əvvəlində qazandığınız hər milyon üçün daha iki qazanırsınız. Əla, elə deyilmi? Hər milyon üç dəfə artır. Bir ildə nə qədər pulunuz olacaq? sayaq. Birinci il - çarpın, sonra başqa bir nəticə... Artıq darıxdırıcıdır, çünki siz artıq hər şeyi başa düşdünüz: üç dəfə özünə vurulur. Beləliklə, dördüncü gücə görə bir milyona bərabərdir. Yalnız üçdən dördüncü gücün və ya olduğunu xatırlamaq lazımdır.

İndi bilirsiniz ki, bir rəqəmi bir gücə yüksəltməklə həyatınızı çox asanlaşdıracaqsınız. Gəlin dərəcələrlə nə edə biləcəyinizi və onlar haqqında nəyi bilməli olduğunuzu daha ətraflı nəzərdən keçirək.

Şərtlər və anlayışlar... qarışıq düşməmək üçün

Beləliklə, əvvəlcə anlayışları müəyyənləşdirək. Nə fikirləşirsən, eksponent nədir? Çox sadədir - nömrənin gücünün "yuxarısında" olan rəqəmdir. Elmi deyil, aydın və yadda saxlamaq asandır...

Yaxşı, eyni zamanda, nə belə bir dərəcə əsası? Daha sadə - bu aşağıda, bazada yerləşən nömrədir.

Budur yaxşı ölçü üçün bir rəsm.

Yaxşı, ümumi dillə desək, ümumiləşdirmək və daha yaxşı yadda saxlamaq üçün... Əsası “ ” və göstəricisi “ ” olan dərəcə “dərəcəyə” kimi oxunur və belə yazılır:

Natural eksponentli ədədin gücü

Yəqin ki, siz artıq təxmin etdiniz: çünki eksponent natural ədəddir. Bəli, amma bu nədir natural ədəd? İbtidai! Natural ədədlər o rəqəmlərdir ki, cisimləri sadalayarkən saymaqda istifadə olunur: bir, iki, üç... Obyektləri sayarkən biz: “mənfi beş”, “mənfi altı”, “mənfi yeddi” demirik. Biz də demirik: “üçdə biri”, ya da “sıfır nöqtə beş”. Bunlar natural ədədlər deyil. Sizcə bunlar hansı rəqəmlərdir?

“Mənfi beş”, “mənfi altı”, “mənfi yeddi” kimi rəqəmlər aiddir tam ədədlər.Ümumiyyətlə, tam ədədlərə bütün natural ədədlər, natural ədədlərin əksi olan ədədlər (yəni mənfi işarə ilə götürülən) və ədədlər daxildir. Sıfırı başa düşmək asandır - heç bir şey olmadıqda. Mənfi (“mənfi”) rəqəmlər nə deməkdir? Ancaq onlar ilk növbədə borcları göstərmək üçün icad edilmişdir: telefonunuzda rublda balansınız varsa, bu o deməkdir ki, operatora rubl borcunuz var.

Bütün kəsrlər rasional ədədlərdir. Onlar necə yaranıb, sizcə? Çox sadə. Bir neçə min il əvvəl əcdadlarımız uzunluğu, çəkisi, sahəsi və s. ölçmək üçün təbii ədədlərin olmadığını kəşf etdilər. Və ortaya çıxdılar rasional ədədlər... Maraqlıdır, elə deyilmi?

İrrasional rəqəmlər də var. Bu rəqəmlər nədir? Bir sözlə, bu sonsuz onluq kəsrdir. Məsələn, bir dairənin çevrəsini onun diametrinə bölsəniz, irrasional ədəd alırsınız.

Xülasə:

Göstəricisi natural ədəd (yəni, tam və müsbət) olan dərəcə anlayışını müəyyən edək.

1. Birinci dərəcəli hər hansı bir ədəd özünə bərabərdir:
2. Ədədin kvadratı onu özünə vurmaq deməkdir:
3. Ədədin kub olması onu üç dəfə özünə vurmaq deməkdir:

Tərif.Ədədin təbii gücə yüksəldilməsi ədədi özünə dəfələrlə vurmaq deməkdir:
.

Dərəcələrin xüsusiyyətləri

Bu mülklər haradan gəldi? İndi sizə göstərəcəyəm.

Baxaq: bu nədir Və ?

A-prior:

Cəmi neçə çarpan var?

Çox sadədir: biz amillərə çarpanları əlavə etdik və nəticə çarpanlardır.

Ancaq tərifinə görə, bu, göstəricisi olan bir ədədin gücüdür, yəni: , sübut edilməli olan şeydir.

Misal: İfadəni sadələşdirin.

Həll:

Misal:İfadəni sadələşdirin.

Həll: Bizim qaydada qeyd etmək vacibdir Mütləq eyni səbəblər olmalıdır!
Buna görə səlahiyyətləri baza ilə birləşdiririk, lakin bu, ayrı bir amil olaraq qalır:

yalnız güclərin məhsulu üçün!

Heç bir halda bunu yaza bilməzsən.

2. bu qədər ədədin gücü

Əvvəlki xüsusiyyətdə olduğu kimi, dərəcə tərifinə müraciət edək:

Belə çıxır ki, ifadə özünə dəfələrlə vurulur, yəni tərifə görə, bu ədədin ci dərəcəsidir:

Əslində bunu "indikatorun mötərizədən çıxarılması" adlandırmaq olar. Ancaq bunu heç vaxt ümumi şəkildə edə bilməzsiniz:

Qısaldılmış vurma düsturlarını xatırlayaq: neçə dəfə yazmaq istədik?

Amma bu, axırda doğru deyil.

Mənfi baza ilə güc

Bu nöqtəyə qədər yalnız eksponentin nə olması lazım olduğunu müzakirə etdik.

Bəs əsas nə olmalıdır?

səlahiyyətlərində təbii göstəriciəsas ola bilər istənilən nömrə. Həqiqətən, istənilən ədədi bir-birimizə vura bilərik, istər müsbət, istər mənfi, istərsə də hətta.

Gəlin düşünək, hansı işarələrin ("" və ya "") müsbət və mənfi ədədlərin səlahiyyətləri olacaq?

Məsələn, rəqəm müsbətdir, yoxsa mənfi? A? ? Birincisi ilə hər şey aydındır: nə qədər müsbət ədədi bir-birimizə vursaq da, nəticə müsbət olacaq.

Ancaq mənfi olanlar bir az daha maraqlıdır. 6-cı sinifdən sadə qaydanı xatırlayırıq: “minusa minus artı verir”. Yəni, ya. Ancaq çoxalsaq, işləyir.

Aşağıdakı ifadələrin hansı işarəyə malik olacağını özünüz müəyyənləşdirin:

idarə etdin?

Cavablar budur: İlk dörd nümunədə ümid edirəm ki, hər şey aydındır? Biz sadəcə bazaya və eksponentə baxırıq və müvafiq qayda tətbiq edirik.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Nümunə 5) hər şey göründüyü qədər qorxulu deyil: axırda bazanın nəyə bərabər olmasının əhəmiyyəti yoxdur - dərəcə bərabərdir, yəni nəticə həmişə müsbət olacaqdır.

Yaxşı, baza sıfır olduqda istisna olmaqla. Baza bərabər deyil, elə deyilmi? Aydındır ki, yox, çünki (çünki).

Misal 6) artıq o qədər də sadə deyil!

Təcrübə üçün 6 nümunə

Həllin təhlili 6 nümunə

Səkkizinci gücə məhəl qoymasaq, burada nə görürük? 7-ci sinif proqramını xatırlayaq. Yaxşı, xatırlayırsan? Bu, qısaldılmış vurmanın, yəni kvadratların fərqinin düsturudur! Biz əldə edirik:

Gəlin məxrəcə diqqətlə baxaq. Bu, say faktorlarından birinə çox bənzəyir, amma nə səhvdir? Şərtlərin ardıcıllığı səhvdir. Əgər onlar geri çəkilsəydi, qayda tətbiq oluna bilərdi.

Amma bunu necə etmək olar? Məlum oldu ki, bu, çox asandır: məxrəcin bərabər dərəcəsi burada bizə kömək edir.

Sehrli şəkildə terminlər yerini dəyişdi. Bu “fenomen” bərabər dərəcədə istənilən ifadəyə aiddir: mötərizədəki işarələri asanlıqla dəyişə bilərik.

Ancaq yadda saxlamaq vacibdir: bütün əlamətlər eyni vaxtda dəyişir!

Nümunəyə qayıdaq:

Və yenə formula:

Bütöv natural ədədlər, onların əksləri (yəni " " işarəsi ilə götürülən) və ədədi adlandırırıq.

müsbət tam ədəd, və təbiidən fərqlənmir, onda hər şey əvvəlki hissədə olduğu kimi görünür.

İndi yeni hallara baxaq. bərabər göstərici ilə başlayaq.

Sıfır gücünə qədər hər hansı bir ədəd birə bərabərdir:

Həmişə olduğu kimi, gəlin özümüzdən soruşaq: niyə belədir?

Baza ilə müəyyən dərəcəni nəzərdən keçirək. Məsələn, götürün və çarpın:

Beləliklə, rəqəmi vurduq və olduğu kimi eyni şeyi aldıq - . Heç bir şey dəyişməməsi üçün hansı rəqəmə vurmaq lazımdır? Düzdü, davam. deməkdir.

Eyni şeyi ixtiyari bir nömrə ilə edə bilərik:

Qaydanı təkrarlayaq:

Sıfır gücünə qədər hər hansı bir ədəd birə bərabərdir.

Ancaq bir çox qaydaların istisnaları var. Və burada da var - bu bir nömrədir (əsas kimi).

Bir tərəfdən istənilən dərəcəyə bərabər olmalıdır - sıfırı özünə nə qədər vursan da, yenə də sıfır alacaqsan, bu aydındır. Ancaq digər tərəfdən, sıfır gücünə qədər hər hansı bir ədəd kimi, bərabər olmalıdır. Bəs bunun nə dərəcədə doğrudur? Riyaziyyatçılar işə qarışmamağa qərar verdilər və sıfırı sıfıra yüksəltməkdən imtina etdilər. Yəni, indi biz nəinki sıfıra bölmək, hətta onu sıfır dərəcəsinə qaldıra bilmərik.

Gəlin davam edək. Natural ədədlər və ədədlərlə yanaşı, tam ədədlərə mənfi ədədlər də daxildir. Mənfi gücün nə olduğunu başa düşmək üçün son dəfəki kimi edək: bəzi normal ədədi eyni ədədlə mənfi gücə çarpın:

Buradan axtardığınızı ifadə etmək asandır:

İndi ortaya çıxan qaydanı ixtiyari dərəcədə genişləndirək:

Beləliklə, bir qayda tərtib edək:

Mənfi qüvvəyə malik olan ədəd, müsbət qüvvəyə malik eyni ədədin əksidir. Amma eyni zamanda Baza null ola bilməz:(çünki bölmək mümkün deyil).

Ümumiləşdirək:

I. İfadə halda müəyyən edilməyib. Əgər, onda.

II. Sıfır gücünə qədər istənilən ədəd birə bərabərdir: .

III. Mənfi qüvvəyə sıfıra bərabər olmayan ədəd eyni ədədin müsbət dərəcəsinə tərsidir: .

Müstəqil həll üçün tapşırıqlar:

Həmişə olduğu kimi, müstəqil həllər üçün nümunələr:

Müstəqil həll üçün problemlərin təhlili:

Bilirəm, bilirəm, rəqəmlər qorxuludur, amma Vahid Dövlət İmtahanında hər şeyə hazır olmalısan! Bu misalları həll edin və ya həll edə bilmədiyiniz halda həll yollarını təhlil edin və imtahanda onların öhdəsindən asanlıqla gəlməyi öyrənəcəksiniz!

Gəlin eksponent kimi “uyğun” ədədlərin diapazonunu genişləndirməyə davam edək.

İndi düşünək rasional ədədlər. Hansı ədədlərə rasional deyilir?

Cavab: kəsr kimi göstərilə bilən hər şey, burada və tam ədədlərdir və.

Bunun nə olduğunu başa düşmək üçün "kəsir dərəcə", kəsri nəzərə alın:

Tənliyin hər iki tərəfini gücə qaldıraq:

İndi haqqında qaydanı xatırlayaq "dərəcədən dərəcəyə":

Bir güc əldə etmək üçün hansı rəqəmi artırmaq lazımdır?

Bu düstur ci dərəcəli kökün tərifidir.

Nəzərinizə çatdırım: ədədin () ci gücünün kökü bir gücə qaldırıldıqda ona bərabər olan ədəddir.

Yəni, ci gücün kökü bir gücə yüksəltmənin tərs əməliyyatıdır: .

Belə çıxır ki. Aydındır ki, bu xüsusi işi genişləndirmək olar: .

İndi rəqəmi əlavə edirik: bu nədir? Cavabı gücdən-güc qaydasından istifadə etməklə əldə etmək asandır:

Amma əsas hər hansı bir rəqəm ola bilərmi? Axı bütün rəqəmlərdən kök çıxarmaq olmaz.

Heç biri!

Qaydanı xatırlayaq: cüt gücə qaldırılan hər hansı bir ədəd müsbət ədəddir. Yəni mənfi ədədlərdən hətta kök çıxarmaq mümkün deyil!

Bu o deməkdir ki, belə ədədlər cüt məxrəcli kəsr dərəcəsinə qaldırıla bilməz, yəni ifadənin mənası yoxdur.

Bəs ifadə?

Ancaq burada bir problem yaranır.

Nömrə digər, azaldıla bilən fraksiyalar şəklində təmsil oluna bilər, məsələn, və ya.

Və məlum olur ki, o, mövcuddur, lakin yoxdur, lakin bunlar eyni sayda iki fərqli qeyddir.

Və ya başqa bir misal: bir dəfə, sonra yaza bilərsiniz. Amma göstəricini başqa cür yazsaq, yenə bəlaya düşəcəyik: (yəni tamam başqa nəticə əldə etdik!).

Bu cür paradoksların qarşısını almaq üçün düşünürük yalnız kəsr göstəricisi olan müsbət əsas göstərici.

Beləliklə əgər:

• - natural ədəd;
• - tam;

Nümunələr:

Rasional eksponentlər ifadələri köklərlə çevirmək üçün çox faydalıdır, məsələn:

Təcrübə üçün 5 nümunə

Təlim üçün 5 nümunənin təhlili

Yaxşı, indi ən çətin hissəsi gəlir. İndi biz bunu anlayacağıq irrasional göstərici ilə dərəcə.

Burada dərəcələrin bütün qaydaları və xassələri istisna olmaqla, rasional göstəricisi olan dərəcə ilə eynidir.

Axı, tərifinə görə, irrasional ədədlər kəsr kimi təqdim edilə bilməyən ədədlərdir, burada və tam ədədlərdir (yəni irrasional ədədlər rasionallardan başqa bütün həqiqi ədədlərdir).

Təbii, tam və rasional eksponentlərlə dərəcələri öyrənərkən hər dəfə müəyyən bir “şəkil”, “analogiya” və ya daha tanış terminlərlə təsvir yaratdıq.

Məsələn, təbii göstəricili dərəcə özünə bir neçə dəfə vurulan ədəddir;

...nömrəni sıfırın gücünə qədər- bu, sanki bir dəfə özünə vurulan bir ədəddir, yəni onlar hələ onu çoxaltmağa başlamamışlar, yəni nömrənin özü belə hələ görünməmişdir - buna görə də nəticə yalnız müəyyən bir "boş nömrə" dir. , yəni nömrə;

...mənfi tam dərəcə- sanki hansısa “əks proses” baş verib, yəni ədəd öz-özünə vurulmayıb, bölünüb.

Yeri gəlmişkən, elmdə mürəkkəb göstəricili dərəcədən tez-tez istifadə olunur, yəni göstərici hətta həqiqi ədəd deyil.

Ancaq məktəbdə belə çətinliklər haqqında düşünmürük, institutda bu yeni anlayışları dərk etmək imkanınız olacaq;

GEDƏCƏYİNİZƏ ƏMİN OLDUĞUZ HARƏ! (belə misalları həll etməyi öyrənsəniz :))

Misal üçün:

Özünüz üçün qərar verin:

Həlllərin təhlili:

1. Gücü gücə yüksəltmək üçün adi qayda ilə başlayaq:

İndi göstəriciyə baxın. O sizə heç nəyi xatırlatmır? Kvadratların fərqinin qısaldılmış vurulması düsturunu xatırlayaq:

Bu halda,

Belə çıxır ki:

Cavab: .

2. Göstəricilərdə kəsrləri eyni formaya endiririk: ya hər iki onluq, ya da hər ikisi adi. Məsələn, alırıq:

Cavab: 16

3. Xüsusi bir şey yoxdur, biz dərəcələrin adi xüsusiyyətlərindən istifadə edirik:

ƏTRAFLI SƏVİYYƏ

Dərəcənin təyini

Dərəcə formasının ifadəsidir: , burada:

• — dərəcə bazası;
• - eksponent.

Təbii göstərici ilə dərəcə (n = 1, 2, 3,...)

Ədədin n təbii qüvvəsinə yüksəldilməsi ədədi özünə dəfələrlə vurmaq deməkdir:

Tam eksponentli dərəcə (0, ±1, ±2,...)

Göstərici olarsa müsbət tam ədəd nömrə:

Tikinti sıfır dərəcəyə qədər:

İfadə qeyri-müəyyəndir, çünki bir tərəfdən istənilən dərəcədə bu, digər tərəfdən isə ci dərəcəyə qədər istənilən ədəd budur.

Göstərici olarsa mənfi tam ədəd nömrə:

(çünki bölmək mümkün deyil).

Bir daha sıfırlar haqqında: halda ifadə müəyyən edilməyib. Əgər, onda.

Nümunələr:

Rasional göstərici ilə güc

• - natural ədəd;
• - tam;

Nümunələr:

Dərəcələrin xüsusiyyətləri

Problemləri həll etməyi asanlaşdırmaq üçün başa düşməyə çalışaq: bu xüsusiyyətlər haradan gəldi? Gəlin onları sübut edək.

Baxaq: nədir və nədir?

A-prior:

Beləliklə, bu ifadənin sağ tərəfində aşağıdakı məhsulu alırıq:

Ancaq tərifinə görə, göstəricisi olan bir ədədin gücüdür, yəni:

Q.E.D.

Misal : İfadəni sadələşdirin.

Həll : .

Misal : İfadəni sadələşdirin.

Həll : Bizim qaydada qeyd etmək vacibdir Mütləq eyni səbəblər olmalıdır. Buna görə səlahiyyətləri baza ilə birləşdiririk, lakin bu, ayrı bir amil olaraq qalır:

Başqa bir vacib qeyd: bu qayda - yalnız səlahiyyətlərin məhsulu üçün!

Heç bir halda bunu yaza bilməzsən.

Əvvəlki xüsusiyyətdə olduğu kimi, dərəcə tərifinə müraciət edək:

Bu işi belə qruplaşdıraq:

Belə çıxır ki, ifadə özünə dəfələrlə vurulur, yəni tərifə görə, bu ədədin ci dərəcəsidir:

Əslində bunu "indikatorun mötərizədən çıxarılması" adlandırmaq olar. Amma siz bunu heç vaxt bütövlükdə edə bilməzsiniz: !

Qısaldılmış vurma düsturlarını xatırlayaq: neçə dəfə yazmaq istədik? Amma bu, axırda doğru deyil.

Mənfi baza ilə güc.

Bu nöqtəyə qədər yalnız bunun necə olması lazım olduğunu müzakirə etdik indeks dərəcə. Bəs əsas nə olmalıdır? səlahiyyətlərində təbii göstərici əsas ola bilər istənilən nömrə .

Həqiqətən, istənilən ədədi bir-birimizə vura bilərik, istər müsbət, istər mənfi, istərsə də hətta. Gəlin düşünək, hansı işarələrin ("" və ya "") müsbət və mənfi ədədlərin səlahiyyətləri olacaq?

Məsələn, rəqəm müsbətdir, yoxsa mənfi? A? ?

Birincisi ilə hər şey aydındır: nə qədər müsbət ədədi bir-birimizə vursaq da, nəticə müsbət olacaq.

Ancaq mənfi olanlar bir az daha maraqlıdır. 6-cı sinifdən sadə qaydanı xatırlayırıq: “minusa minus artı verir”. Yəni, ya. Ancaq () ilə vursaq - alarıq.

Və s. ad infinitum: hər sonrakı vurma ilə işarə dəyişəcək. Aşağıdakı sadə qaydaları tərtib etmək olar:

1. hətta dərəcə, - nömrə müsbət.
2. Mənfi rəqəm yüksəldi qəribə dərəcə, - nömrə mənfi.
3. İstənilən dərəcədə müsbət ədəd müsbət ədəddir.
4. Hər hansı bir gücə sıfır sıfıra bərabərdir.

Aşağıdakı ifadələrin hansı işarəyə malik olacağını özünüz müəyyənləşdirin:

idarə etdin? Cavabları təqdim edirik:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

İlk dörd nümunədə ümid edirəm ki, hər şey aydındır? Biz sadəcə bazaya və eksponentə baxırıq və müvafiq qayda tətbiq edirik.

Nümunə 5) hər şey göründüyü qədər qorxulu deyil: axırda bazanın nəyə bərabər olmasının əhəmiyyəti yoxdur - dərəcə bərabərdir, yəni nəticə həmişə müsbət olacaqdır. Yaxşı, baza sıfır olduqda istisna olmaqla. Baza bərabər deyil, elə deyilmi? Aydındır ki, yox, çünki (çünki).

Misal 6) artıq o qədər də sadə deyil. Burada hansının daha az olduğunu tapmaq lazımdır: yoxsa? Bunu xatırlasaq, aydın olar ki, baza sıfırdan azdır. Yəni 2-ci qaydanı tətbiq edirik: nəticə mənfi olacaq.

Və yenə dərəcə tərifindən istifadə edirik:

Hər şey həmişəki kimidir - dərəcələrin tərifini yazırıq və onları bir-birinə bölürük, cütlərə bölürük və alırıq:

Son qaydaya baxmadan əvvəl bir neçə nümunəni həll edək.

İfadələri hesablayın:

Həll yolları :

Səkkizinci gücə məhəl qoymasaq, burada nə görürük? 7-ci sinif proqramını xatırlayaq. Yaxşı, xatırlayırsan? Bu, qısaldılmış vurmanın, yəni kvadratların fərqinin düsturudur!

Biz əldə edirik:

Gəlin məxrəcə diqqətlə baxaq. Bu, say faktorlarından birinə çox bənzəyir, amma nə səhvdir? Şərtlərin ardıcıllığı səhvdir. Əgər onlar dəyişdirilsəydi, 3-cü qayda tətbiq oluna bilərdi. Məlum oldu ki, bu, çox asandır: məxrəcin bərabər dərəcəsi burada bizə kömək edir.

Onu çoxaltsan, heç nə dəyişmir, elə deyilmi? Amma indi belə çıxır:

Sehrli şəkildə terminlər yerini dəyişdi. Bu “fenomen” bərabər dərəcədə istənilən ifadəyə aiddir: mötərizədəki işarələri asanlıqla dəyişə bilərik. Ancaq yadda saxlamaq vacibdir: Bütün işarələr eyni anda dəyişir! Sevmədiyimiz yalnız bir mənfi cəhəti dəyişdirməklə onu əvəz edə bilməzsiniz!

Nümunəyə qayıdaq:

Və yenə formula:

Beləliklə, indi son qayda:

Bunu necə sübut edəcəyik? Əlbəttə ki, həmişə olduğu kimi: dərəcə anlayışını genişləndirək və sadələşdirək:

Yaxşı, indi mötərizələri açaq. Cəmi neçə hərf var? çarpanlarla dəfə - bu sizə nəyi xatırladır? Bu, əməliyyatın tərifindən başqa bir şey deyil vurma: Orada ancaq çarpanlar var idi. Yəni, bu, tərifinə görə, göstəricisi olan bir ədədin gücüdür:

Misal:

İrrasional göstərici ilə dərəcə

Orta səviyyə üçün dərəcələr haqqında məlumatlara əlavə olaraq, dərəcəni irrasional eksponentlə təhlil edəcəyik. Burada dərəcələrin bütün qaydaları və xassələri, istisna olmaqla, rasional eksponentli dərəcə ilə tamamilə eynidır - axırda, tərifə görə, irrasional ədədlər kəsr kimi göstərilə bilməyən ədədlərdir, burada və tam ədədlərdir (yəni , irrasional ədədlər rasional ədədlərdən başqa bütün həqiqi ədədlərdir).

Təbii, tam və rasional eksponentlərlə dərəcələri öyrənərkən hər dəfə müəyyən bir “şəkil”, “analogiya” və ya daha tanış terminlərlə təsvir yaratdıq. Məsələn, təbii göstəricili dərəcə özünə bir neçə dəfə vurulan ədəddir; sıfır dərəcəsinə qədər bir ədəd, sanki, bir dəfə özünə vurulan bir ədəddir, yəni onlar hələ onu çoxaltmağa başlamamışlar, bu o deməkdir ki, nömrənin özü hələ görünməyib - buna görə də nəticə yalnız müəyyəndir “boş nömrə”, yəni nömrə; tam mənfi eksponentli bir dərəcə - sanki hansısa "əks proses" baş verdi, yəni nömrə öz-özünə vurulmadı, ancaq bölündü.

İrrasional göstərici ilə dərəcəni təsəvvür etmək son dərəcə çətindir (4 ölçülü fəzanı təsəvvür etmək çətin olduğu kimi). Bu, riyaziyyatçıların dərəcə anlayışını bütün ədədlər məkanına genişləndirmək üçün yaratdıqları sırf riyazi obyektdir.

Yeri gəlmişkən, elmdə mürəkkəb göstəricili dərəcədən tez-tez istifadə olunur, yəni göstərici hətta həqiqi ədəd deyil. Ancaq məktəbdə belə çətinliklər haqqında düşünmürük, institutda bu yeni anlayışları dərk etmək imkanınız olacaq;

Əgər irrasional eksponent görsək nə edəcəyik? Bundan xilas olmaq üçün əlimizdən gələni edirik! :)

Misal üçün:

Özünüz üçün qərar verin:

Cavablar:

1. Kvadratlar düsturunun fərqini xatırlayaq. Cavab: .
2. Kəsrləri eyni formaya endiririk: ya hər iki onluq, ya da hər ikisi adi. Məsələn, alırıq: .
3. Xüsusi bir şey yoxdur, dərəcələrin adi xüsusiyyətlərindən istifadə edirik:

BÖLMƏNİN XÜLASƏSİ VƏ ƏSAS FORMULLAR

Dərəcə formasının ifadəsi adlanır: , burada:

Tam eksponentli dərəcə

eksponenti natural ədəd olan dərəcə (yəni tam və müsbət).

Rasional göstərici ilə güc

dərəcə, eksponenti mənfi və kəsr ədədlərdir.

İrrasional göstərici ilə dərəcə

eksponenti sonsuz onluq kəsr və ya kök olan dərəcə.

Dərəcələrin xüsusiyyətləri

Dərəcələrin xüsusiyyətləri.

• Mənfi rəqəm yüksəldi hətta dərəcə, - nömrə müsbət.
• Mənfi rəqəm yüksəldi qəribə dərəcə, - nömrə mənfi.
• İstənilən dərəcədə müsbət ədəd müsbət ədəddir.
• Sıfır istənilən gücə bərabərdir.
• Sıfır gücünə qədər istənilən ədəd bərabərdir.

İNDİ SÖZ SƏNDƏDİR...

Məqaləni necə bəyənirsiniz? Bəyənmədiyinizi şərhlərdə aşağıda yazın.

Dərəcə xüsusiyyətlərindən istifadə təcrübəniz haqqında bizə məlumat verin.

Bəlkə suallarınız var. Və ya təkliflər.

Şərhlərdə yazın.

Və imtahanlarınızda uğurlar!