Sadə ədədlərdə 1 dəyərdən. Baş ədədlər: tarix və faktlar

Teorem.

Sonsuz sayda sadə ədədlər var.

Sübut.

Tutaq ki, belə deyil. Yəni fərz edək ki, cəmi n ədəd sadə ədəd var və bu sadə ədədlər p 1, p 2, ..., p n-dir. Gəlin göstərək ki, biz həmişə göstərilənlərdən fərqli sadə ədəd tapa bilərik.

p 1 ·p 2 ·…·p n +1-ə bərabər olan p ədədini nəzərdən keçirək. Aydındır ki, bu ədəd p 1, p 2, ..., p n sadə ədədlərinin hər birindən fərqlidir. Əgər p ədədi sadədirsə, teorem isbat olunur. Əgər bu ədəd mürəkkəbdirsə, onda əvvəlki teorem əsasında bu ədədin baş böləni var (onu p n+1 işarə edirik). Göstərək ki, bu bölən p 1, p 2, ..., p n ədədlərinin heç biri ilə üst-üstə düşmür.

Əgər bu belə olmasaydı, onda bölünmə xüsusiyyətlərinə görə p 1 ·p 2 ·…·p n hasilatı p n+1-ə bölünəcəkdi. Lakin p ədədi də p n+1-ə bölünür, p 1 ·p 2 ·…·p n +1 cəminə bərabərdir. Buradan belə nəticə çıxır ki, p n+1 bu cəminin birə bərabər olan ikinci həddini bölməlidir, lakin bu mümkün deyil.

Beləliklə, sübut edilmişdir ki, əvvəlcədən müəyyən edilmiş heç bir sadə ədədlər sırasına daxil olmayan yeni sadə ədəd həmişə tapıla bilər. Buna görə də sonsuz sayda sadə ədədlər var.

Deməli, sadə ədədlərin sonsuz sayda olmasına görə, sadə ədədlərin cədvəllərini tərtib edərkən siz həmişə özünüzü yuxarıdan hansısa ədədlə məhdudlaşdırırsınız, adətən 100, 1000, 10000 və s.

Eratosthenes ələk

İndi biz sadə ədədlər cədvəlinin yaradılması yollarını müzakirə edəcəyik. Tutaq ki, 100-ə qədər sadə ədədlər cədvəli qurmalıyıq.

Bu problemi həll etməyin ən bariz üsulu 2-dən başlayaraq 100-lə bitən müsbət tam ədədləri 1-dən böyük və yoxlanılan ədəddən kiçik olan müsbət bölənin varlığını ardıcıl olaraq yoxlamaqdır (bizim bildiyimiz bölünmə xüsusiyyətlərindən). bölənin mütləq dəyərinin dividendlərin mütləq dəyərindən artıq olmaması, sıfırdan fərqli). Əgər belə bölən tapılmazsa, yoxlanılan ədəd sadədir və o, sadə ədədlər cədvəlinə daxil edilir. Əgər belə bir bölən tapılarsa, o zaman sınaqdan keçirilən ədəd mürəkkəbdir; Bundan sonra, bölmənin olması üçün eyni şəkildə yoxlanılan növbəti nömrəyə keçid var.

İlk bir neçə addımı təsvir edək.

2 nömrəsi ilə başlayırıq. 2 rəqəminin 1 və 2-dən başqa müsbət bölənləri yoxdur. Buna görə də sadədir, ona görə də onu sadə ədədlər cədvəlinə daxil edirik. Burada demək lazımdır ki, 2 ən kiçik sadə ədəddir. Gəlin 3 nömrəyə keçək. Onun 1 və 3-dən başqa mümkün müsbət bölməsi 2 rəqəmidir. Lakin 3 2-yə bölünmür, ona görə də 3 sadə ədəddir və onu da sadə ədədlər cədvəlinə daxil etmək lazımdır. Gəlin 4 nömrəyə keçək. Onun 1 və 4-dən başqa müsbət bölənləri 2 və 3 rəqəmləri ola bilər, onları yoxlayaq. 4 rəqəmi 2-yə bölünür, ona görə də 4 mürəkkəb ədəddir və onu sadə ədədlər cədvəlinə daxil etmək lazım deyil. Nəzərə alın ki, 4 ən kiçik kompozit ədəddir. Gəlin 5 nömrəyə keçək. 2, 3, 4 ədədlərindən heç olmasa birinin onun bölən olub olmadığını yoxlayırıq. 5 2, 3 və ya 4-ə bölünmədiyi üçün o, sadədir və onu sadə ədədlər cədvəlinə yazmaq lazımdır. Sonra 6, 7 və s. 100-ə qədər rəqəmlərə keçid var.

Sadə ədədlər cədvəlini tərtib etmək üçün bu yanaşma idealdan uzaqdır. Bu və ya digər şəkildə onun mövcud olmaq hüququ var. Qeyd edək ki, tam ədədlər cədvəlinin qurulmasının bu üsulu ilə siz bölünmə meyarlarından istifadə edə bilərsiniz ki, bu da bölənlərin tapılması prosesini bir qədər sürətləndirəcək.

adlanan sadə ədədlər cədvəlini yaratmağın daha rahat yolu var. Adda mövcud olan "ələk" sözü təsadüfi deyil, çünki bu metodun hərəkətləri sadə olanları mürəkkəb olanlardan ayırmaq üçün Eratosthenes ələkindən tam ədədləri və böyük vahidləri "ələməyə" kömək edir.

50-yə qədər sadə ədədlər cədvəlini tərtib edərkən Eratosfen ələkini hərəkətdə göstərək.

Əvvəlcə 2, 3, 4, ..., 50 rəqəmlərini sıra ilə yazın.

Yazılan ilk ədəd, 2, sadədir. İndi 2 nömrədən ardıcıl olaraq iki rəqəmlə sağa keçirik və tərtib olunan nömrələr cədvəlinin sonuna çatana qədər bu nömrələri kəsirik. Bu, ikiyə çox olan bütün nömrələri siləcək.

2-dən sonra xətt çəkilməyən ilk rəqəm 3-dür. Bu rəqəm əsasdır. İndi 3 nömrədən ardıcıl olaraq üç rəqəmlə sağa keçirik (artıq kəsilmiş nömrələri nəzərə alaraq) və onları kəsirik. Bu, üçə çox olan bütün nömrələri siləcək.

3-dən sonra xətt çəkilməyən ilk rəqəm 5-dir. Bu rəqəm əsasdır. İndi 5 rəqəmindən ardıcıl olaraq 5 rəqəmlə sağa keçirik (əvvəllər kəsilmiş nömrələri də nəzərə alırıq) və onları kəsirik. Bu, beşə çox olan bütün nömrələri siləcək.

Sonra, 7-nin, sonra 11-in qatlarının və s. olan ədədləri kəsirik. Artıq kəsiləcək nömrə qalmadıqda proses başa çatır. Aşağıda Eratosthenes ələkindən istifadə edərək əldə edilmiş 50-yə qədər sadə ədədlərin tamamlanmış cədvəli verilmişdir. Bütün çarpaz ədədlər sadədir, üzərindən xətt çəkilmiş bütün ədədlər isə mürəkkəbdir.

Eratosfen süzgəcindən istifadə edərək sadə ədədlər cədvəlinin tərtib edilməsi prosesini sürətləndirəcək bir teoremi də formalaşdıraq və sübut edək.

Teorem.

Mürəkkəb ədədin birdən fərqli olan ən kiçik müsbət bölən a-dan çox deyil, burada a-dandır.

Sübut.

Birdən fərqli olan a kompozit ədədinin ən kiçik bölənini b hərfi ilə işarə edək (b ədədi əvvəlki abzasın lap əvvəlində sübut edilmiş teoremdən aşağıdakı kimi sadədir). Onda q tam ədədi var ki, a=b·q (burada q tam ədədlərin vurulması qaydalarından irəli gələn müsbət tam ədəddir) və (b>q üçün b-nin a-nın ən kiçik bölücü olması şərti pozulur) , çünki a=q·b ) bərabərliyinə görə q həm də a ədədinin bölənidir. Bərabərsizliyin hər iki tərəfini müsbətə və birdən böyük tam ədədə vurmaqla (bunu etməyə icazə verilir) , hansı və .

Sübut edilmiş teorem Eratosthenes ələk ilə bağlı bizə nə verir?

Birincisi, b ədədinin çoxluğu olan mürəkkəb ədədlərin üstündən xətt çəkmək ona bərabər olan ədədlə başlamalıdır (bu bərabərsizlikdən irəli gəlir). Məsələn, ikiyə çarpan olan ədədlərin üstündən xətt çəkmək 4 rəqəmi ilə, üçə vurmaq 9 rəqəmi ilə, beşə vurmaq 25 rəqəmi və s. ilə başlamalıdır.

İkincisi, Eratosthenes ələkindən istifadə edərək n ədədinə qədər sadə ədədlər cədvəlini tərtib etmək, sadə ədədlərin qatları olan bütün mürəkkəb ədədlər -dən çox olmayan zaman tam hesab edilə bilər. Nümunəmizdə n=50 (çünki biz 50-yə qədər sadə ədədlər cədvəli hazırlayırıq) və buna görə də Eratosfen ələk 2, 3, 5 və 7 sadə ədədlərinin qatları olan bütün mürəkkəb ədədləri aradan qaldırmalıdır. arifmetik kvadrat kökdən 50-dən çox olmamalıdır. Yəni, 11, 13, 17, 19, 23 və s. 47-yə qədər olan sadə ədədləri axtarmağa və üzərindən xətt çəkməyə ehtiyac yoxdur, çünki onlar artıq kiçik sadə ədədlərin 2 qatları kimi üzərindən xətt çəkiləcək. , 3, 5 və 7.

Bu ədəd sadədir, yoxsa kompozit?

Bəzi tapşırıqlar verilmiş ədədin sadə və ya mürəkkəb olduğunu öyrənməyi tələb edir. Ümumiyyətlə, bu tapşırıq sadə deyil, xüsusən yazısı əhəmiyyətli sayda simvoldan ibarət olan nömrələr üçün. Əksər hallarda, onu həll etmək üçün müəyyən bir yol axtarmaq lazımdır. Bununla belə, sadə hallar üçün düşüncə qatarına istiqamət verməyə çalışacağıq.

Əlbəttə ki, verilmiş ədədin kompozit olduğunu sübut etmək üçün bölünmə testlərindən istifadə etməyə cəhd edə bilərsiniz. Əgər, məsələn, bəzi bölünmə testi verilmiş ədədin birdən böyük müsbət tam ədədə bölündüyünü göstərirsə, onda ilkin ədəd mürəkkəbdir.

Misal.

898,989,898,989,898,989-un mürəkkəb ədəd olduğunu sübut edin.

Həll.

Bu ədədin rəqəmlərinin cəmi 9·8+9·9=9·17-dir. 9·17-ə bərabər olan ədəd 9-a bölündüyü üçün 9-a bölünmə ilə ilkin ədədin də 9-a bölündüyünü deyə bilərik. Buna görə də kompozitdir.

Bu yanaşmanın əhəmiyyətli çatışmazlığı ondan ibarətdir ki, bölünmə meyarları ədədin sadəliyini sübut etməyə imkan vermir. Buna görə də, bir ədədin sadə və ya mürəkkəb olduğunu yoxlamaq üçün test edərkən, fərqli şəkildə hərəkət etməlisiniz.

Ən məntiqli yanaşma verilmiş ədədin bütün mümkün bölənlərini sınamaqdır. Mümkün bölənlərdən heç biri verilmiş ədədin həqiqi bölməsi deyilsə, bu ədəd sadə, əks halda isə mürəkkəb olacaqdır. Əvvəlki paraqrafda sübut edilmiş teoremlərdən belə çıxır ki, verilmiş a ədədinin bölənlərini -dən çox olmayan sadə ədədlər arasında axtarmaq lazımdır. Beləliklə, verilmiş a ədədini ardıcıl olaraq sadə ədədlərə bölmək olar (onlar sadə ədədlər cədvəlindən rahat şəkildə götürülür), a ədədinin bölənini tapmağa çalışırlar. Bölən tapılarsa, a sayı mürəkkəbdir. -dən çox olmayan sadə ədədlər arasında a ədədinin bölməsi yoxdursa, a ədədi sadədir.

Misal.

Nömrə 11 723 sadə yoxsa mürəkkəb?

Həll.

11.723 ədədinin bölənlərinin hansı sadə ədədə qədər ola biləcəyini öyrənək. Bunu etmək üçün gəlin qiymətləndirək.

Bu olduqca aydındır , 200-dən 2 =40.000 və 11.723<40 000 (при необходимости смотрите статью ədədlərin müqayisəsi). Beləliklə, 11,723-ün mümkün əsas amilləri 200-dən azdır. Bu artıq işimizi xeyli asanlaşdırır. Əgər bunu bilməsəydik, onda 200-ə qədər deyil, 11.723-ə qədər olan bütün sadə ədədləri nəzərdən keçirməli olardıq.

İstəsəniz, daha dəqiq qiymətləndirə bilərsiniz. 108 2 =11,664 və 109 2 =11,881 olduğundan 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . Beləliklə, 109-dan kiçik sadə ədədlərdən hər hansı biri potensial olaraq verilmiş 11,723 ədədinin sadə amilidir.

İndi 11.723 ədədini ardıcıl olaraq 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 sadə ədədlərə böləcəyik. , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . 11.723 ədədi yazılmış sadə ədədlərdən birinə bölünsə, o, mürəkkəb olacaqdır. Yazılan sadə ədədlərdən heç birinə bölünmürsə, ilkin ədəd sadədir.

Bütün bu monoton və monoton bölünmə prosesini təsvir etməyəcəyik. Dərhal deyək ki, 11.723

Tərif 1. Baş nömrə− yalnız özünə və 1-ə bölünən birdən böyük natural ədəddir.

Başqa sözlə, bir ədəd yalnız iki fərqli təbii faktora malik olduqda sadə sayılır.

Tərif 2. Özündən başqa və bir bölənləri olan istənilən natural ədədə deyilir kompozit nömrə.

Başqa sözlə, sadə ədədlər olmayan natural ədədlərə mürəkkəb ədədlər deyilir. 1-ci tərifdən belə çıxır ki, mürəkkəb ədədin ikidən çox təbii faktoru var. 1 rəqəmi nə əsas, nə də mürəkkəbdir, çünki yalnız bir bölən 1-ə malikdir və əlavə olaraq, sadə ədədlərlə bağlı bir çox teoremlər birliyə uyğun gəlmir.

1 və 2-ci təriflərdən belə nəticə çıxır ki, 1-dən böyük hər bir müsbət tam ədəd sadə və ya mürəkkəb ədəddir.

Aşağıda 5000-ə qədər sadə ədədləri göstərmək üçün proqram var. Hüceyrələri doldurun, "Yarat" düyməsini basın və bir neçə saniyə gözləyin.

Sadə ədədlər cədvəli

Bəyanat 1. Əgər səh- əsas ədəd və a hər hansı bir tam, sonra ya a bölünür səh, və ya səh Və aümumi ədədlər.

Həqiqətən. Əgər səh Sadə ədəd yalnız özünə və 1-ə bölünür a ilə bölünmür səh, sonra ən böyük ortaq bölən a Və səh 1-ə bərabərdir. Sonra səh Və aümumi ədədlər.

Bəyanat 2. Əgər ədədlərin bir neçə ədədinin hasili a 1 , a 2 , a 3, ... sadə ədədə bölünür səh, sonra nömrələrdən ən azı biri a 1 , a 2 , a 3, ... ilə bölünür səh.

Həqiqətən. Rəqəmlərin heç biri bölünməsəydi səh, sonra rəqəmlər a 1 , a 2 , a 3, ... ilə bağlı ümumi ədədlər olardı səh. Lakin 3-cü nəticədən () belə çıxır ki, onların məhsulu a 1 , a 2 , a 3, ... ilə bağlı da nisbətən üstündür səh, bəyanatın şərti ilə ziddiyyət təşkil edir. Buna görə də ədədlərdən ən azı biri bölünür səh.

Teorem 1. İstənilən mürəkkəb ədəd həmişə sonlu sayda sadə ədədlərin hasili kimi unikal şəkildə təmsil oluna bilər.

Sübut. Qoy k kompozit nömrə və icazə verin a 1 onun 1-dən və özündən fərqli bölənlərindən biridir. Əgər a 1 kompozitdir, onda 1-ə əlavə və var a 1 və başqa bölən a 2. Əgər a 2 mürəkkəb ədəddir, onda 1 və əlavə olaraq var a 2 və başqa bir bölən a 3. Rəqəmləri bu şəkildə və nəzərə alaraq a 1 , a 2 , a 3 , ... azalır və bu sıra sonlu sayda şərtləri ehtiva edir, biz bəzi sadə ədədlərə çatacağıq səh 1 . Sonra kşəklində təmsil oluna bilər

Tutaq ki, bir ədədin iki parçalanması var k:

Çünki k=p 1 səh 2 səh 3 ... sadə ədədə bölünən q 1, sonra amillərdən ən azı biri, məsələn səh 1-ə bölünür q 1 . Amma səh 1 sadə ədəddir və yalnız 1-ə və özünə bölünür. Beləliklə səh 1 =q 1 (çünki q 1 ≠1)

Sonra (2) dən istisna edə bilərik səh 1 və q 1:

Beləliklə, biz əminik ki, birinci genişlənmədə bir və ya bir neçə dəfə faktor kimi görünən hər bir sadə ədəd ikinci genişlənmədə də ən azı bir o qədər görünür və əksinə, ikinci genişlənmədə faktor kimi görünən hər hansı sadə ədəd. bir və ya bir neçə dəfə ilk genişlənmədə də ən azı eyni sayda görünür. Buna görə də, istənilən sadə ədəd hər iki genişlənmədə eyni sayda amil kimi görünür və beləliklə, bu iki genişlənmə eynidir.■

Kompozit ədədin genişləndirilməsi k aşağıdakı formada yazmaq olar

Harada səh 1 , səh 2, ... müxtəlif sadə ədədlər, α, β, γ ... müsbət tam ədədlər.

Genişlənmə (3) adlanır kanonik genişlənmə nömrələri.

Sadə ədədlər natural ədədlər seriyasında qeyri-bərabər olur. Sıranın bəzi yerlərində daha çox, digərlərində isə daha azdır. Nömrələr seriyası boyunca nə qədər irəliləsək, sadə ədədlər bir o qədər az olur. Sual yaranır, ən böyük sadə ədəd varmı? Qədim yunan riyaziyyatçısı Evklid sonsuz sayda sadə ədədlərin olduğunu sübut etdi. Bu sübutu aşağıda təqdim edirik.

Teorem 2. Sadə ədədlərin sayı sonsuzdur.

Sübut. Tutaq ki, sonlu sayda sadə ədədlər var və ən böyük sadə ədəd olsun səh. Bütün rəqəmləri daha böyük hesab edək səh. Bəyanatın fərziyyəsinə əsasən, bu ədədlər mürəkkəb olmalı və ən azı sadə ədədlərdən birinə bölünməlidir. Gəlin bütün bu sadə ədədlərin hasili üstəgəl 1 olan bir ədəd seçək:

Nömrə z daha çox səhçünki 2p artıq daha çox səh. səh bu sadə ədədlərin heç birinə bölünmür, çünki onların hər biri bölündükdə 1-in qalığını verir. Beləliklə, bir ziddiyyətə gəlirik. Buna görə də sonsuz sayda sadə ədədlər var.

Bu teorem daha ümumi bir teoremin xüsusi halıdır:

Teorem 3. Arifmetik irəliləyiş verilsin

Sonra istənilən sadə ədəd daxil edilir n, daxil edilməlidir m, buna görə də n daxil edilməyən digər əsas amillər m və üstəlik, bu əsas amillər n-dən çox olmayan dəfə daxil edilir m.

Bunun əksi də doğrudur. Əgər ədədin hər bir sadə amili n sayına ən azı bir neçə dəfə daxil edilir m, Bu m bölünür n.

Bəyanat 3. Qoy a 1 ,a 2 ,a 3,... daxil olan müxtəlif sadə ədədlər m Belə ki

Harada i=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . qeyd et ki αi qəbul edir α +1 dəyərlər, β j qəbul edir β +1 dəyərlər, γ k qəbul edir γ +1 dəyərlər, ... .

Bölənlərin sadalanması. Tərifinə görə, sayı n yalnız 2-yə və 1 və özündən başqa digər tam ədədlərə bərabər bölünmədikdə sadədir. Yuxarıdakı düstur lazımsız addımları aradan qaldırır və vaxta qənaət edir: məsələn, ədədin 3-ə bölünüb-bölünmədiyini yoxladıqdan sonra onun 9-a bölünüb-bölünmədiyini yoxlamağa ehtiyac yoxdur.

• mərtəbə(x) funksiyası x-i x-dən kiçik və ya ona bərabər olan ən yaxın tam ədədə yuvarlaqlaşdırır.

Modul arifmetika haqqında məlumat əldə edin.“x mod y” əməliyyatı (mod latın “modulo”, yəni “modul” sözünün abbreviaturasıdır) “x-i y-yə bölmək və qalanı tapmaq” deməkdir. Başqa sözlə, modul arifmetikada müəyyən bir dəyərə çatdıqdan sonra deyilir modul, ədədlər yenidən sıfıra “çevrilir”. Məsələn, saat 12 modulu ilə vaxtı saxlayır: 10, 11 və 12-ni göstərir və sonra 1-ə qayıdır.

• Bir çox kalkulyatorda mod açarı var. Bu bölmənin sonunda bu funksiyanın böyük ədədlər üçün əl ilə necə qiymətləndirilməsi göstərilir.