Təlimatlar

Tərəflər və bucaqlar əsas elementlər hesab olunur A. Üçbucaq tamamilə onun aşağıdakı əsas elementlərindən hər hansı biri ilə müəyyən edilir: ya üç tərəf, ya bir tərəf və iki bucaq, ya da iki tərəf və onların arasındakı bucaq. Varlıq üçün üçbucaq a, b, c üç tərəfi ilə verilmiş, bərabərsizliklər adlanan bərabərsizlikləri təmin etmək üçün zəruri və kifayətdir. üçbucaq:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Tikinti üçün üçbucaqüç tərəfdən a, b, c, CB = a seqmentinin C nöqtəsindən kompasdan istifadə edərək b radiuslu dairəni çəkmək lazımdır. Sonra eyni şəkildə B nöqtəsindən c tərəfinə bərabər radiuslu bir dairə çəkin. Onların kəsişmə nöqtəsi A arzu olunanın üçüncü təpəsidir üçbucaq ABC, burada AB=c, CB=a, CA=b - tərəflər üçbucaq. Problem a, b, c tərəfləri bərabərsizlikləri ödəyirsə üçbucaq 1-ci addımda göstərilmişdir.

S sahəsi bu şəkildə qurulmuşdur üçbucaq Tərəfləri məlum olan a, b, c olan ABC Heron düsturu ilə hesablanır:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
burada a, b, c tərəflərdir üçbucaq, p – yarım perimetr.
p = (a+b+c)/2

Əgər üçbucaq bərabərtərəflidirsə, yəni onun bütün tərəfləri bərabərdir (a=b=c).Sahə üçbucaq düsturla hesablanır:
S=(a^2 v3)/4

Üçbucaq düzbucaqlıdırsa, yəni bucaqlarından biri 90°-yə bərabərdirsə və onu meydana gətirən tərəflər ayaqlardırsa, üçüncü tərəf hipotenuzdur. Bu halda kvadrat ikiyə bölünən ayaqların hasilinə bərabərdir.
S=ab/2

Tapmaq kvadrat üçbucaq, bir çox düsturlardan birini istifadə edə bilərsiniz. Artıq məlum olan məlumatlardan asılı olaraq düstur seçin.

Sizə lazım olacaq

• üçbucağın sahəsini tapmaq üçün düsturları bilmək

Təlimatlar

Əgər siz tərəflərdən birinin ölçüsünü və ona əks bucaqdan bu tərəfə endirilən hündürlüyün qiymətini bilirsinizsə, onda aşağıdakılardan istifadə edərək sahəni tapa bilərsiniz: S = a*h/2, burada S sahədir üçbucağın, a üçbucağın tərəflərindən biridir və h - hündürlüyü, a tərəfinə.

Üç tərəfi məlumdursa, üçbucağın sahəsini təyin etmək üçün məlum bir üsul var. Bu Heron düsturudur. Onun qeydini sadələşdirmək üçün aralıq dəyər təqdim olunur - yarım perimetr: p = (a+b+c)/2, burada a, b, c - . Onda Heronun düsturu belədir: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ eksponentasiya.

Tutaq ki, siz üçbucağın tərəflərindən birini və üç bucağını bilirsiniz. Sonra üçbucağın sahəsini tapmaq asandır: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), burada β a tərəfinə qarşı olan bucaq, α və γ isə tərəfə bitişik bucaqlardır.

Mövzu ilə bağlı video

Qeyd

Bütün hallar üçün uyğun olan ən ümumi düstur Heron düsturudur.

Mənbələr:

İpucu 3: Üç tərəfə əsaslanan üçbucağın sahəsini necə tapmaq olar

Üçbucağın sahəsini tapmaq məktəb planimetriyasında ən çox rast gəlinən problemlərdən biridir. Hər hansı bir üçbucağın sahəsini təyin etmək üçün üçbucağın üç tərəfini bilmək kifayətdir. Bərabər üçbucaqların xüsusi hallarında müvafiq olaraq iki və bir tərəfin uzunluqlarını bilmək kifayətdir.

Sizə lazım olacaq

• üçbucaqların tərəflərinin uzunluqları, Heron düsturu, kosinus teoremi

Təlimatlar

Üçbucağın sahəsi üçün Heronun düsturu belədir: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Yarım perimetri p yazsaq, alarıq: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Mülahizələrdən, məsələn, kosinus teoremini tətbiq etməklə üçbucağın sahəsi üçün bir düstur əldə edə bilərsiniz.

Kosinus teoremi ilə AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Təqdim edilmiş qeydlərdən istifadə edərək, bunlar da formada yazıla bilər: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Beləliklə, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Üçbucağın sahəsi də iki tərəfdən və aralarındakı bucaqdan istifadə edərək S = a*c*sin(ABC)/2 düsturu ilə tapılır. ABC bucağının sinusu onun vasitəsilə əsas triqonometrik eynilikdən istifadə etməklə ifadə oluna bilər: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Sinunu sahənin düsturunda əvəz edib onu yazmaqla ifadə etmək olar. , ABC üçbucağının sahəsinin düsturuna gələ bilərsiniz.

Mövzu ilə bağlı video

Təmir işləri aparmaq üçün ölçmək lazım ola bilər kvadrat divarlar Bu, lazımi miqdarda boya və ya divar kağızı hesablamağı asanlaşdırır. Ölçmə üçün bir lent ölçüsü və ya ölçmə lentindən istifadə etmək yaxşıdır. Ölçmələr bundan sonra aparılmalıdır divarlar hamarlanmışdılar.

Sizə lazım olacaq

• -rulet;
• - nərdivan.

Təlimatlar

Saymaq kvadrat divarlar, siz tavanların dəqiq hündürlüyünü bilmək, həmçinin döşəmə boyunca uzunluğu ölçmək lazımdır. Bu aşağıdakı kimi edilir: bir santimetr götürün və lövhənin üstünə qoyun. Adətən bir santimetr bütün uzunluğu üçün kifayət deyil, ona görə də küncdə bərkidin, sonra maksimum uzunluğa qədər açın. Bu nöqtədə, qələmlə bir işarə qoyun, əldə edilən nəticəni yazın və son ölçmə nöqtəsindən başlayaraq eyni şəkildə əlavə ölçmələri aparın.

Standart tavanlar evdən asılı olaraq 2 metr 80 santimetr, 3 metr və 3 metr 20 santimetrdir. Ev 50-ci illərdən əvvəl tikilibsə, çox güman ki, həqiqi hündürlük göstəriləndən bir qədər aşağıdır. Əgər hesablayırsansa kvadrat təmir işləri üçün, sonra kiçik bir tədarük zərər verməyəcək - standart əsasında düşünün. Əgər hələ də həqiqi hündürlüyü bilmək lazımdırsa, ölçmə aparın. Prinsip uzunluğu ölçməyə bənzəyir, ancaq bir pilləkən lazımdır.

Yaranan göstəriciləri çoxaldın - bu kvadrat sizin divarlar. Düzdür, rəsm çəkərkən və ya rəngləmək üçün çıxarmaq lazımdır kvadrat qapı və pəncərə açılışları. Bunu etmək üçün açılış boyunca bir santimetr qoyun. Sonradan dəyişdirəcəyiniz bir qapıdan danışırıqsa, yalnız nəzərə alınmaqla qapı çərçivəsini çıxarmağa davam edin. kvadrat birbaşa açılışın özünə. Pəncərənin sahəsi onun çərçivəsinin perimetri boyunca hesablanır. sonra kvadrat pəncərə və qapı hesablanmış, nəticəni otağın ümumi nəticə sahəsindən çıxarın.

Nəzərə alın ki, otağın uzunluğunu və enini ölçmək iki nəfər tərəfindən həyata keçirilir, bu, santimetr və ya lent ölçüsünü düzəltməyi asanlaşdırır və müvafiq olaraq daha dəqiq nəticə əldə edir. Aldığınız rəqəmlərin dəqiq olduğundan əmin olmaq üçün eyni ölçməni bir neçə dəfə aparın.

Mövzu ilə bağlı video

Üçbucağın həcmini tapmaq həqiqətən əhəmiyyətsiz bir işdir. Fakt budur ki, üçbucaq iki ölçülü bir fiqurdur, yəni. tamamilə bir müstəvidə yerləşir, yəni onun sadəcə həcmi yoxdur. Təbii ki, olmayanı tapa bilməzsən. Amma gəlin təslim olmayaq! Aşağıdakı fərziyyəni qəbul edə bilərik: iki ölçülü fiqurun həcmi onun sahəsidir. Üçbucağın sahəsini axtaracağıq.

Sizə lazım olacaq

• kağız vərəqi, qələm, hökmdar, kalkulyator

Təlimatlar

Bir hökmdar və qələmdən istifadə edərək bir kağız parçasına çəkin. Üçbucağı diqqətlə araşdıraraq, müstəvidə çəkildiyi üçün həqiqətən üçbucağın olmadığına əmin ola bilərsiniz. Üçbucağın tərəflərini etiketləyin: bir tərəfi "a", digər tərəfi "b", üçüncü tərəfi isə "c" olsun. Üçbucağın təpələrini "A", "B" və "C" hərfləri ilə etiketləyin.

Üçbucağın istənilən tərəfini xətkeşlə ölçün və nəticəni yazın. Bundan sonra, ona qarşı olan təpədən ölçülmüş tərəfə bir perpendikulyar bərpa edin, belə bir perpendikulyar üçbucağın hündürlüyü olacaqdır. Şəkildə göstərilən halda, perpendikulyar "h" "A" təpəsindən "c" tərəfinə bərpa olunur. Yaranan hündürlüyü bir hökmdarla ölçün və ölçmə nəticəsini yazın.

Dəqiq perpendikulyarın bərpası sizin üçün çətin ola bilər. Bu vəziyyətdə fərqli bir formula istifadə etməlisiniz. Üçbucağın bütün tərəflərini bir hökmdarla ölçün. Bundan sonra, yaranan tərəflərin uzunluqlarını əlavə edərək və onların cəmini yarıya bölməklə "p" üçbucağının yarım perimetrini hesablayın. Yarım perimetrin dəyəri sizin ixtiyarınızdadır, siz Heron düsturundan istifadə edə bilərsiniz. Bunun üçün aşağıdakıların kvadrat kökünü götürməlisiniz: p(p-a)(p-b)(p-c).

Siz üçbucağın tələb olunan sahəsini aldınız. Üçbucağın həcminin tapılması məsələsi həll olunmayıb, lakin yuxarıda qeyd edildiyi kimi, həcmi həll olunmayıb. Siz üçölçülü dünyada mahiyyətcə üçbucaq olan bir həcm tapa bilərsiniz. İlkin üçbucağımızın üçölçülü piramidaya çevrildiyini təsəvvür etsək, onda belə bir piramidanın həcmi onun əsasının uzunluğu ilə əldə etdiyimiz üçbucağın sahəsinin məhsulu olacaqdır.

Qeyd

Nə qədər diqqətlə ölçsəniz, hesablamalarınız bir o qədər dəqiq olacaqdır.

Mənbələr:

• Kalkulyator "Hər şey hər şeyə" - istinad dəyərləri üçün portal
• 2019-cu ildə üçbucaq həcmi

Dekart koordinat sistemində üçbucağı unikal şəkildə təyin edən üç nöqtə onun təpələridir. Koordinat oxlarının hər birinə nisbətən onların mövqeyini bilməklə, bu düz fiqurun istənilən parametrlərini, o cümlədən perimetri ilə məhdud olanları hesablaya bilərsiniz. kvadrat. Bu bir neçə yolla edilə bilər.

Təlimatlar

Sahəni hesablamaq üçün Heron düsturundan istifadə edin üçbucaq. Bu, rəqəmin üç tərəfinin ölçülərini əhatə edir, ona görə də hesablamalara ilə başlayın. Hər tərəfin uzunluğu onun koordinat oxlarına proyeksiyalarının uzunluqlarının kvadratlarının cəminin kökünə bərabər olmalıdır. A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) və C(X₃,Y₃,Z₃) koordinatlarını qeyd etsək, onların tərəflərinin uzunluqlarını aşağıdakı kimi ifadə etmək olar: AB = √((X₁-) X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Hesablamaları sadələşdirmək üçün köməkçi dəyişən təqdim edin - semiperimetr (P). Bunun bütün tərəflərin uzunluqlarının cəminin yarısı olması faktından: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-) Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Üçbucağın sahəsi - düsturlar və problemin həlli nümunələri

Aşağıda ixtiyari üçbucağın sahəsini tapmaq üçün düsturlar xassələrindən, bucaqlarından və ölçülərindən asılı olmayaraq istənilən üçbucağın sahəsini tapmaq üçün uyğundur. Düsturlar şəkil şəklində təqdim olunur və onların tətbiqi və ya düzgünlüyünün əsaslandırılmasının izahları da burada verilir. Həmçinin, ayrıca rəqəm formullardakı hərf simvolları ilə rəsmdəki qrafik simvollar arasındakı uyğunluğu göstərir.

Qeyd . Üçbucağın xüsusi xassələri varsa (ikitərəfli, düzbucaqlı, bərabərtərəfli), siz aşağıda verilmiş düsturlardan, həmçinin yalnız bu xüsusiyyətlərə malik üçbucaqlar üçün etibarlı olan əlavə xüsusi düsturlardan istifadə edə bilərsiniz:

• "Bərabərtərəfli üçbucağın sahəsi üçün düsturlar"

Üçbucaq sahəsi düsturları

Düsturlar üçün izahatlar:
a, b, c- sahəsini tapmaq istədiyimiz üçbucağın tərəflərinin uzunluqları
r- üçbucağa yazılmış dairənin radiusu
R- üçbucağın ətrafına çəkilmiş dairənin radiusu
h- yan tərəfə endirilmiş üçbucağın hündürlüyü
səh- üçbucağın yarım perimetri, tərəflərinin cəminin 1/2 hissəsi (perimetri)
α - üçbucağın a tərəfinə əks olan bucaq
β - üçbucağın b tərəfinə əks olan bucaq
γ - üçbucağın c tərəfinə əks olan bucaq
h a, h b , h c- a, b, c tərəfinə endirilmiş üçbucağın hündürlüyü

Nəzərə alın ki, verilmiş qeydlər yuxarıdakı şəklə uyğundur ki, həqiqi həndəsə problemini həll edərkən düsturun lazımi yerlərdə düzgün dəyərləri əvəz etmək vizual olaraq daha asan olsun.

• Üçbucağın sahəsi üçbucağın hündürlüyünün məhsulunun yarısı və bu hündürlüyün aşağı salındığı tərəfin uzunluğu(Formula 1). Bu formulun düzgünlüyünü məntiqlə başa düşmək olar. Bazaya endirilən hündürlük ixtiyari üçbucağı iki düzbucaqlıya böləcəkdir. Əgər onların hər birini b və h ölçüləri olan düzbucaqlı halına gətirsəniz, bu üçbucaqların sahəsi düzbucaqlının tam yarısına bərabər olacaqdır (Spr = bh)
• Üçbucağın sahəsi onun iki tərəfinin yarısı və aralarındakı bucağın sinusunun hasilidir(Formula 2) (aşağıda bu düsturdan istifadə etməklə problemin həlli nümunəsinə baxın). Əvvəlkidən fərqli görünməsinə baxmayaraq, asanlıqla ona çevrilə bilər. Hündürlüyü B bucağından b tərəfinə endirsək, düzgün üçbucağın sinusunun xüsusiyyətlərinə görə a tərəfinin və γ bucağının sinusunun hasilinin çəkdiyimiz üçbucağın hündürlüyünə bərabər olduğu ortaya çıxır. , bu bizə əvvəlki düsturu verir
• İxtiyari üçbucağın sahəsi tapıla bilər vasitəsilə iş bütün tərəflərinin uzunluqlarının cəmi ilə daxil edilmiş dairənin radiusunun yarısı(Formula 3), sadəcə olaraq, üçbucağın yarım perimetrini yazılmış dairənin radiusuna vurmaq lazımdır (bunu xatırlamaq daha asandır)
• İxtiyari üçbucağın sahəsi onun bütün tərəflərinin məhsulunu onun ətrafında çəkilmiş dairənin 4 radiusuna bölmək yolu ilə tapıla bilər (Formula 4)
• Formula 5 üçbucağın sahəsini tərəflərinin uzunluqları və yarım perimetri (bütün tərəflərinin cəminin yarısı) vasitəsilə tapmaqdır.
• Heron düsturu(6) eyni formulun yarımperimetr anlayışından istifadə etmədən, yalnız tərəflərin uzunluqları vasitəsilə təsviridir.
• İxtiyari üçbucağın sahəsi üçbucağın tərəfinin kvadratının və bu tərəfə bitişik bucaqların sinuslarının bu tərəfə qarşı olan bucağın ikiqat sinusuna bölünməsinə bərabərdir (Formula 7)
• İxtiyari üçbucağın sahəsi, hər bucağının sinusları ilə ətrafına çəkilmiş dairənin iki kvadratının məhsulu kimi tapıla bilər. (Formula 8)
• Bir tərəfin uzunluğu və iki bitişik bucağın dəyərləri məlumdursa, üçbucağın sahəsi bu tərəfin kvadratının bu bucaqların kotangentlərinin ikiqat cəminə bölünməsi kimi tapıla bilər (Formula 9)
• Yalnız üçbucağın hər hündürlüyünün uzunluğu məlumdursa (Formula 10), onda belə üçbucağın sahəsi Heron düsturuna görə bu hündürlüklərin uzunluqlarına tərs mütənasibdir.
• Formula 11 hesablamağa imkan verir təpələrinin koordinatlarına əsaslanan üçbucağın sahəsi təpələrin hər biri üçün (x;y) dəyərlər kimi müəyyən edilir. Nəzərə alın ki, nəticədə alınan dəyər modul olaraq qəbul edilməlidir, çünki ayrı-ayrı (və ya hətta bütün) təpələrin koordinatları mənfi dəyərlər bölgəsində ola bilər.

Qeyd. Aşağıda üçbucağın sahəsini tapmaq üçün həndəsə məsələlərinin həlli nümunələri verilmişdir. Əgər burada oxşar olmayan həndəsə məsələsini həll etmək lazımdırsa, bu barədə forumda yazın. Həlllərdə "kvadrat kök" simvolu əvəzinə sqrt () funksiyasından istifadə edilə bilər, burada sqrt kvadrat kök simvoludur və radikal ifadə mötərizədə göstərilir..Bəzən sadə radikal ifadələr üçün simvoldan istifadə edilə bilər √

Tapşırıq. Verilmiş iki tərəfin sahəsini və onların arasındakı bucağı tapın

Üçbucağın tərəfləri 5 və 6 sm-dir, aralarındakı bucaq 60 dərəcədir. Üçbucağın sahəsini tapın.

Həll.

Bu problemi həll etmək üçün dərsin nəzəri hissəsindən ikinci düsturdan istifadə edirik.
Üçbucağın sahəsi iki tərəfin uzunluqları və aralarındakı bucağın sinusu ilə tapıla bilər və ona bərabər olacaqdır.
S=1/2 ab sin γ

Həll üçün bütün lazımi məlumatlara malik olduğumuz üçün (düstura görə), biz yalnız problem şərtlərindəki dəyərləri düstura əvəz edə bilərik:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

Triqonometrik funksiyaların qiymətləri cədvəlində 60 dərəcə sinusun dəyərini tapıb ifadəyə əvəz edəcəyik. Üç dəfə ikinin kökünə bərabər olacaq.
S = 15 √3 / 2

Cavab verin: 7.5 √3 (müəllimin tələblərindən asılı olaraq, yəqin ki, 15 √3/2 buraxa bilərsiniz)

Tapşırıq. Bərabər üçbucağın sahəsini tapın

Tərəfi 3 sm olan bərabərtərəfli üçbucağın sahəsini tapın.

Həll .

Üçbucağın sahəsini Heron düsturu ilə tapmaq olar:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

a = b = c olduğundan, bərabərtərəfli üçbucağın sahəsi üçün düstur aşağıdakı formanı alır:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Cavab verin: 9 √3 / 4.

Tapşırıq. Tərəflərin uzunluğunu dəyişdirərkən sahəni dəyişdirin

Tərəfləri 4 dəfə artırsa, üçbucağın sahəsi neçə dəfə artar?

Həll.

Üçbucağın tərəflərinin ölçüləri bizə məlum olmadığı üçün məsələni həll etmək üçün tərəflərin uzunluqlarının müvafiq olaraq a, b, c ixtiyari ədədlərinə bərabər olduğunu qəbul edəcəyik. Sonra məsələnin sualına cavab vermək üçün verilmiş üçbucağın sahəsini tapacağıq, sonra tərəfləri dörd dəfə böyük olan üçbucağın sahəsini tapacağıq. Bu üçbucaqların sahələrinin nisbəti bizə məsələnin cavabını verəcəkdir.

Aşağıda problemin həllinin addım-addım mətn izahını təqdim edirik. Bununla belə, ən sonunda, eyni həll daha rahat qrafik formada təqdim olunur. Maraqlananlar dərhal həll yollarına gedə bilərlər.

Həll etmək üçün Heron düsturundan istifadə edirik (yuxarıda dərsin nəzəri hissəsində baxın). Bu belə görünür:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(aşağıdakı şəklin ilk sətirinə baxın)

İxtiyari üçbucağın tərəflərinin uzunluqları a, b, c dəyişənləri ilə müəyyən edilir.
Tərəflər 4 dəfə artırılarsa, yeni c üçbucağının sahəsi:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(aşağıdakı şəkildəki ikinci sətirə baxın)

Gördüyünüz kimi, 4 ümumi riyaziyyat qaydalarına uyğun olaraq dörd ifadənin hamısından mötərizədən çıxarıla bilən ümumi bir amildir.
Sonra

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - şəklin üçüncü sətirində
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - dördüncü xətt

256 rəqəminin kvadrat kökü mükəmməl şəkildə çıxarılıb, ona görə də kökün altından çıxaraq
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(aşağıdakı şəklin beşinci sətrinə baxın)

Problemdə verilən suala cavab vermək üçün ortaya çıxan üçbucağın sahəsini orijinalın sahəsinə bölmək kifayətdir.
İfadələri bir-birinə bölmək və yaranan kəsri azaltmaqla sahə nisbətlərini təyin edək.

Bəzən həyatda çoxdan unudulmuş məktəb biliklərini axtarmaq üçün yaddaşınızı araşdırmalı olduğunuz vəziyyətlər olur. Məsələn, üçbucaqlı bir torpaq sahəsinin sahəsini təyin etməlisiniz və ya bir mənzildə və ya fərdi evdə başqa bir təmir üçün vaxt gəldi və bir səth üçün nə qədər material lazım olacağını hesablamalısınız. üçbucaqlı forma. Belə bir problemi bir neçə dəqiqəyə həll edə bildiyiniz vaxt var idi, amma indi ümidsizcə üçbucağın sahəsini necə təyin edəcəyinizi xatırlamağa çalışırsınız?

Bu barədə narahat olmayın! Axı, bir insanın beyni uzun müddət istifadə edilməmiş bilikləri harasa uzaq bir küncə köçürmək qərarına gəldikdə, bu, olduqca normaldır, bəzən onu çıxarmaq o qədər də asan deyil. Belə bir problemi həll etmək üçün unudulmuş məktəb biliklərini axtarmaqda çətinlik çəkməmək üçün bu məqalədə üçbucağın tələb olunan sahəsini tapmağı asanlaşdıran müxtəlif üsullar var.

Məlumdur ki, üçbucaq tərəflərin minimum mümkün sayı ilə məhdudlaşan çoxbucaqlı növüdür. Prinsipcə, hər hansı çoxbucaqlının təpələrini tərəflərini kəsməyən seqmentlərlə birləşdirərək bir neçə üçbucağa bölmək olar. Buna görə də, üçbucağı bilməklə, demək olar ki, hər hansı bir fiqurun sahəsini hesablaya bilərsiniz.

Həyatda baş verən bütün mümkün üçbucaqlar arasında aşağıdakı xüsusi növləri ayırd etmək olar: və düzbucaqlı.

Üçbucağın sahəsini hesablamağın ən asan yolu, bucaqlarından birinin düzgün olmasıdır, yəni düz üçbucaq vəziyyətində. Yarım düzbucaqlı olduğunu görmək asandır. Buna görə də onun sahəsi bir-biri ilə düz bucaq təşkil edən tərəflərin məhsulunun yarısına bərabərdir.

Təpələrinin birindən qarşı tərəfə endirilən üçbucağın hündürlüyünü və əsas adlanan bu tərəfin uzunluğunu biliriksə, onda sahə hündürlüyü ilə təməlin hasilinin yarısı kimi hesablanır. Bu aşağıdakı formula ilə yazılır:

S = 1/2*b*h, burada

S üçbucağın tələb olunan sahəsidir;

b, h - müvafiq olaraq, üçbucağın hündürlüyü və əsası.

İkitərəfli üçbucağın sahəsini hesablamaq çox asandır, çünki hündürlük qarşı tərəfi ikiyə böləcək və asanlıqla ölçülə bilər. Sahə müəyyən edilərsə, hündürlük kimi düzgün bucaq meydana gətirən tərəflərdən birinin uzunluğunu götürmək rahatdır.

Bütün bunlar əlbəttə yaxşıdır, amma üçbucağın bucaqlarından birinin düz olub-olmadığını necə müəyyən etmək olar? Fiqurumuzun ölçüsü kiçikdirsə, onda bir tikinti bucağı, rəsm üçbucağı, kartpostal və ya düzbucaqlı formalı başqa bir obyektdən istifadə edə bilərik.

Bəs bizdə üçbucaqlı torpaq sahəsi olsa nə olar? Bu halda, aşağıdakı kimi hərəkət edin: bir tərəfdən ehtimal olunan düz bucağın yuxarısından 3-ə (30 sm, 90 sm, 3 m) çox olan məsafəni hesablayın, digər tərəfdən isə eyni şəkildə 4-ə çox olan məsafəni ölçün. nisbət (40 sm, 160 sm, 4 m). İndi bu iki seqmentin son nöqtələri arasındakı məsafəni ölçməlisiniz. Nəticə 5-ə (50 sm, 250 sm, 5 m) qatdırsa, bucağın düzgün olduğunu söyləyə bilərik.

Fiqurumuzun üç tərəfinin hər birinin uzunluğu məlumdursa, üçbucağın sahəsi Heron düsturu ilə müəyyən edilə bilər. Daha sadə formada olması üçün yeni bir dəyər istifadə olunur ki, bu da yarım perimetr adlanır. Bu, üçbucağımızın yarıya bölünmüş bütün tərəflərinin cəmidir. Yarım perimetr hesablandıqdan sonra düsturdan istifadə edərək ərazini təyin etməyə başlaya bilərsiniz:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), burada

sqrt - kvadrat kök;

p - yarım perimetr dəyəri (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - üçbucağın kənarları (yanları).

Bəs üçbucağın nizamsız bir forması varsa nə etməli? Burada iki mümkün yol var. Bunlardan birincisi, belə bir rəqəmi iki düzbucaqlı üçbucağa bölməyə çalışmaqdır, bunun sahələrinin cəmi ayrıca hesablanır və sonra əlavə olunur. Və ya iki tərəf arasındakı bucaq və bu tərəflərin ölçüsü məlumdursa, düsturu tətbiq edin:

S = 0,5 * ab * sinC, burada

a,b - üçbucağın tərəfləri;

c bu tərəflər arasındakı bucağın ölçüsüdür.

Sonuncu hal praktikada nadirdir, lakin buna baxmayaraq, həyatda hər şey mümkündür, buna görə də yuxarıdakı düstur artıq olmaz. Hesablamalarınızda uğurlar!

Üçbucağın sahəsini təyin etmək üçün müxtəlif düsturlardan istifadə edə bilərsiniz. Bütün üsullardan ən asan və tez-tez istifadə olunan hündürlüyü bazanın uzunluğuna vurmaq və sonra nəticəni ikiyə bölməkdir. Ancaq bu üsul yeganə üsuldan uzaqdır. Aşağıda müxtəlif düsturlardan istifadə edərək üçbucağın sahəsini necə tapacağınızı oxuya bilərsiniz.

Ayrı-ayrılıqda, üçbucaqların xüsusi növlərinin sahəsini hesablamaq yollarına baxacağıq - düzbucaqlı, ikitərəfli və bərabərtərəfli. Hər bir formulun mahiyyətini anlamağa kömək edəcək qısa izahatla müşayiət edirik.

Üçbucağın sahəsini tapmaq üçün universal üsullar

Aşağıdakı düsturlar xüsusi qeydlərdən istifadə edir. Onların hər birini deşifrə edəcəyik:

• a, b, c – nəzərdən keçirdiyimiz fiqurun üç tərəfinin uzunluqları;
• r - üçbucağımıza daxil edilə bilən dairənin radiusu;
• R onun ətrafında təsvir edilə bilən dairənin radiusudur;
• α - b və c tərəflərinin əmələ gətirdiyi bucağın böyüklüyü;
• β - a və c arasındakı bucağın böyüklüyü;
• γ - a və b tərəflərinin əmələ gətirdiyi bucağın böyüklüyü;
• h üçbucağımızın hündürlüyüdür, α bucağından a tərəfinə endirilir;
• p – a, b və c tərəflərinin cəminin yarısı.

Üçbucağın sahəsini niyə bu şəkildə tapa biləcəyiniz məntiqi olaraq aydındır. Üçbucaq asanlıqla üçbucağın bir tərəfinin diaqonal rolunu oynayacağı bir paraleloqrama tamamlana bilər. Paraleloqramın sahəsi onun tərəflərindən birinin uzunluğunu ona çəkilmiş hündürlüyün dəyərinə vurmaqla tapılır. Diaqonal bu şərti paraleloqramı 2 eyni üçbucağa bölür. Buna görə də, ilkin üçbucağın sahəsinin bu köməkçi paraleloqramın sahəsinin yarısına bərabər olması tamamilə aydındır.

S=½ a b sin γ

Bu düstura görə, üçbucağın sahəsi onun iki tərəfinin uzunluğunu, yəni a və b-ni onların yaratdığı bucağın sinusuna vurmaqla tapılır. Bu düstur məntiqi olaraq əvvəlkindən götürülüb. Əgər hündürlüyü β bucağından b tərəfinə endirsək, onda düzbucaqlı üçbucağın xassələrinə uyğun olaraq a tərəfinin uzunluğunu γ bucağın sinusuna vurduqda üçbucağın hündürlüyünü, yəni h alırıq. .

Sözügedən fiqurun sahəsi onun perimetri ilə daxil edilə bilən dairənin radiusunun yarısını vurmaqla tapılır. Başqa sözlə, qeyd olunan dairənin yarımperimetri ilə radiusunun hasilini tapırıq.

S= a b c/4R

Bu düstura görə bizə lazım olan dəyəri fiqurun tərəflərinin hasilini onun ətrafında təsvir olunan çevrənin 4 radiusuna bölməklə tapmaq olar.

Bu düsturlar universaldır, çünki hər hansı üçbucağın (miqyaslı, ikitərəfli, bərabərtərəfli, düzbucaqlı) sahəsini təyin etməyə imkan verir. Bu, daha ətraflı şəkildə dayanmayacağımız daha mürəkkəb hesablamalardan istifadə etməklə edilə bilər.

Xüsusi xassələri olan üçbucaqların sahələri

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsini necə tapmaq olar? Bu fiqurun özəlliyi ondan ibarətdir ki, onun iki tərəfi eyni zamanda onun hündürlüyüdür. Əgər a və b ayaqdırsa və c hipotenuza çevrilirsə, onda sahəni belə tapırıq:

İkitərəfli üçbucağın sahəsini necə tapmaq olar? Uzunluğu a olan iki tərəfi və b uzunluğu olan bir tərəfi var. Nəticə etibarilə, onun sahəsi a tərəfinin kvadratının hasilini γ bucağın sinusuna 2-yə bölmək yolu ilə müəyyən edilə bilər.

Bərabər üçbucağın sahəsini necə tapmaq olar? Orada bütün tərəflərin uzunluğu a-ya bərabərdir və bütün bucaqların böyüklüyü α-dır. Onun hündürlüyü a tərəfinin uzunluğunun və 3-ün kvadrat kökünün hasilinin yarısına bərabərdir. Düzgün üçbucağın sahəsini tapmaq üçün a tərəfinin kvadratını 3-ün kvadrat kökünə vurub bölmək lazımdır. 4.

Ərazi anlayışı

Hər hansı bir həndəsi fiqurun, xüsusən də üçbucağın sahəsi anlayışı kvadrat kimi bir fiqurla əlaqələndiriləcəkdir. Hər hansı bir həndəsi fiqurun vahid sahəsi üçün tərəfi birinə bərabər olan kvadratın sahəsini alacağıq. Tamlıq üçün həndəsi fiqurların sahələri anlayışının iki əsas xassəsini xatırlayaq.

Mülk 1: Həndəsi fiqurlar bərabərdirsə, onların sahələri də bərabərdir.

Mülk 2:İstənilən rəqəmi bir neçə rəqəmə bölmək olar. Üstəlik, orijinal fiqurun sahəsi onun bütün tərkib fiqurlarının sahələrinin cəminə bərabərdir.

Bir nümunəyə baxaq.

Misal 1

Aydındır ki, üçbucağın tərəflərindən biri düzbucaqlının diaqonalıdır, bir tərəfinin uzunluğu 5$ ($5$ xanalar olduğu üçün), digəri isə $6$-dır (çünki $6$ xanalar var). Beləliklə, bu üçbucağın sahəsi belə bir düzbucağın yarısına bərabər olacaqdır. Düzbucaqlının sahəsi

Sonra üçbucağın sahəsi bərabərdir

Cavab: 15 dollar.

Bundan sonra, üçbucaqların sahələrini tapmaq üçün bir neçə üsulu nəzərdən keçirəcəyik, yəni hündürlüyü və əsasını istifadə edərək, Heron düsturu və bərabərtərəfli üçbucağın sahəsini istifadə edərək.

Hündürlüyü və əsasını istifadə edərək üçbucağın sahəsini necə tapmaq olar

Teorem 1

Üçbucağın sahəsini bir tərəfin uzunluğu ilə həmin tərəfə olan hündürlüyün məhsulunun yarısı kimi tapmaq olar.

Riyazi olaraq belə görünür

$S=\frac(1)(2)αh$

burada $a$ tərəfin uzunluğu, $h$ ona çəkilmiş hündürlükdür.

Sübut.

$AC=α$ olan $ABC$ üçbucağını nəzərdən keçirək. Bu tərəfə $BH$ hündürlüyü çəkilir ki, bu da $h$-a bərabərdir. Gəlin onu Şəkil 2-də olduğu kimi $AXYC$ kvadratına qədər quraq.

$AXBH$ düzbucağının sahəsi $h\cdot AH$, $HBYC$ düzbucağının sahəsi isə $h\cdot HC$-dır. Sonra

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Buna görə də, üçbucağın tələb olunan sahəsi 2 xüsusiyyətinə görə bərabərdir

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorem sübut edilmişdir.

Misal 2

Hüceyrənin sahəsi 1-ə bərabərdirsə, aşağıdakı şəkildəki üçbucağın sahəsini tapın

Bu üçbucağın əsası $9$-a bərabərdir (çünki $9$$9$ kvadratlardır). Hündürlüyü də 9 dollardır. Sonra 1-ci teoremə görə alırıq

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

Cavab: $40.5$.

Heron düsturu

Teorem 2

Əgər bizə $α$, $β$ və $γ$ üçbucağının üç tərəfi verilmişdirsə, onda onun sahəsini aşağıdakı kimi tapmaq olar.

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

burada $ρ$ bu üçbucağın yarım perimetri deməkdir.

Sübut.

Aşağıdakı rəqəmi nəzərdən keçirin:

Pifaqor teoremi ilə $ABH$ üçbucağından alırıq

$CBH$ üçbucağından Pifaqor teoreminə görə bizdə var

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Bu iki münasibətdən bərabərliyi əldə edirik

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

$ρ=\frac(α+β+γ)(2)$ olduğundan $α+β+γ=2ρ$ deməkdir.

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Teorem 1-ə görə alırıq

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$