Üçbucaqda isosceles trapezoidinin degenerasiyası. Trapezoidin xüsusiyyətlərini xatırlayın və tətbiq edin

Həndəsə dərslərində inamlı hiss etmək və problemləri uğurla həll etmək üçün düsturları öyrənmək kifayət deyil. Əvvəlcə onları başa düşmək lazımdır. Qorxmaq və daha çox düsturlara nifrət etmək səmərəsizdir. Bu məqalə trapezoidin sahəsini tapmağın müxtəlif yollarını əlçatan dildə təhlil edəcəkdir. Müvafiq qayda və teoremləri daha yaxşı başa düşmək üçün onun xassələrinə bir qədər diqqət yetirəcəyik. Bu, qaydaların necə işlədiyini və hansı hallarda müəyyən düsturların tətbiq edilməli olduğunu başa düşməyə kömək edəcək.

Trapezoidin təyini

Bu ümumi olaraq hansı rəqəmdir? Trapesiya dörd küncü və iki paralel tərəfi olan çoxbucaqlıdır. Trapezoidin digər iki tərəfi müxtəlif bucaqlarda meylli ola bilər. Onun paralel tərəfləri əsas adlanır və paralel olmayan tərəflər üçün "yanlar" və ya "itburnu" adı istifadə olunur. Bu cür rəqəmlər gündəlik həyatda olduqca yaygındır. Trapezoidin konturlarını geyim, daxili əşyalar, mebel, qab-qacaq və bir çox başqa şeylərin siluetlərində görmək olar. Trapezoidlərin müxtəlif növləri var: skalen, bərabərtərəfli və düzbucaqlı. Onların növlərini və xüsusiyyətlərini daha sonra məqalədə daha ətraflı araşdıracağıq.

Trapezoidin xüsusiyyətləri

Bu rəqəmin xüsusiyyətləri üzərində qısaca dayanaq. İstənilən tərəfə bitişik bucaqların cəmi həmişə 180°-dir. Qeyd etmək lazımdır ki, trapezoidin bütün bucaqları 360°-ə çatır. Trapezoidin orta xətt anlayışı var. Tərəflərin orta nöqtələrini bir seqmentlə birləşdirsəniz, bu orta xətt olacaqdır. m təyin edilmişdir. Orta xətt mühüm xüsusiyyətlərə malikdir: o, həmişə əsaslara paraleldir (xatırlayırıq ki, əsaslar da bir-birinə paraleldir) və onların yarım cəminə bərabərdir:

Bu tərif öyrənilməli və başa düşülməlidir, çünki bir çox problemlərin həllinin açarıdır!

Trapezoid ilə hündürlüyü həmişə bazaya endirə bilərsiniz. Hündürlük bir bazanın hər hansı bir nöqtəsindən digər bazaya və ya onun uzantısına çəkilən, çox vaxt h simvolu ilə işarələnən perpendikulyardır. Orta xətt və hündürlük trapezoidin sahəsini tapmağa kömək edəcəkdir. Bu cür problemlər məktəb həndəsə kursunda ən çox rast gəlinir və mütəmadi olaraq test və imtahan sənədləri arasında rast gəlinir.

Trapezoidin sahəsi üçün ən sadə düsturlar

Trapezoidin sahəsini tapmaq üçün istifadə olunan iki ən məşhur və sadə formullara baxaq. Axtardığınızı asanlıqla tapmaq üçün hündürlüyü əsasların cəminin yarısına vurmaq kifayətdir:

S = h*(a + b)/2.

Bu düsturda a, b trapezoidin əsaslarını, h - hündürlüyünü göstərir. Qavrama asanlığı üçün bu məqalədə vurma işarələri düsturlarda (*) simvolu ilə qeyd olunur, baxmayaraq ki, rəsmi arayış kitablarında vurma işarəsi adətən buraxılır.

Bir nümunəyə baxaq.

Verilmişdir: iki əsası 10 və 14 sm-ə bərabər olan trapezoid, hündürlüyü 7 sm-dir.

Gəlin bu problemin həllinə baxaq. Bu düsturdan istifadə edərək əvvəlcə əsasların yarım cəmini tapmaq lazımdır: (10+14)/2 = 12. Beləliklə, yarım cəmi 12 sm-ə bərabərdir. 12*7 = 84. Axtardığımız tapıldı. Cavab: Trapezoidin sahəsi 84 kvadratmetrdir. santimetr.

İkinci məşhur düsturda deyilir: trapezoidin sahəsi orta xəttin və trapezoidin hündürlüyünün məhsuluna bərabərdir. Yəni əslində orta xəttin əvvəlki konsepsiyasından irəli gəlir: S=m*h.

Hesablamalar üçün diaqonallardan istifadə

Trapezoidin sahəsini tapmağın başqa bir yolu əslində o qədər də mürəkkəb deyil. Onun diaqonallarına bağlıdır. Bu düsturdan istifadə edərək, sahəni tapmaq üçün onun diaqonallarının yarı məhsulunu (d 1 d 2) aralarındakı bucağın sinusuna vurmalısınız:

S = ½ d 1 d 2 günah a.

Bu metodun tətbiqini göstərən bir problemi nəzərdən keçirək. Verilmişdir: diaqonalların uzunluğu müvafiq olaraq 8 və 13 sm-ə bərabər olan bir trapesiya, diaqonallar arasındakı bucaq a 30 °-dir. Trapezoidin sahəsini tapın.

Həll. Yuxarıdakı düsturdan istifadə edərək, tələb olunanları hesablamaq asandır. Bildiyiniz kimi, günah 30° 0,5-dir. Buna görə də S = 8*13*0,5=52. Cavab: sahəsi 52 kvadratmetrdir. santimetr.

İkitərəfli trapesiya sahəsinin tapılması

Trapezoid isosceles (izoceles) ola bilər. Onun tərəfləri eynidir və əsaslardakı bucaqlar bərabərdir, bu rəqəmlə yaxşı təsvir edilmişdir. İkitərəfli trapesiya adi ilə eyni xüsusiyyətlərə malikdir və bir sıra xüsusi xüsusiyyətlərə malikdir. Bir dairə ikitərəfli trapesiya ətrafında çəkilə bilər və onun içərisində bir dairə yazıla bilər.

Belə bir rəqəmin sahəsini hesablamaq üçün hansı üsullar var? Aşağıdakı üsul çoxlu hesablamalar tələb edəcəkdir. Onu istifadə etmək üçün trapezoidin altındakı bucağın sinusunun (sin) və kosinusunun (cos) dəyərlərini bilməlisiniz. Onları hesablamaq üçün sizə ya Bradis cədvəlləri, ya da mühəndislik kalkulyatoru lazımdır. Budur formula:

S= c*günah a*(a - c*cos a),

Harada ilə- yanal bud, a- alt bazada bucaq.

Bərabərtərəfli trapezoidin diaqonalları bərabər uzunluqdadır. Bunun əksi də doğrudur: trapezoidin diaqonalları bərabərdirsə, o, ikitərəflidir. Beləliklə, trapezoidin sahəsini - diaqonalların kvadratının yarım hasilini və aralarındakı bucağın sinusunu tapmağa kömək etmək üçün aşağıdakı düstur: S = ½ d 2 sin a.

Düzbucaqlı trapezoidin sahəsinin tapılması

Düzbucaqlı trapezoidin xüsusi halı məlumdur. Bu, bir tərəfinin (onun budunun) əsaslara düzgün bir açı ilə bitişik olduğu bir trapesiyadır. Adi trapesiya xüsusiyyətlərinə malikdir. Bundan əlavə, çox maraqlı bir xüsusiyyətə malikdir. Belə bir trapezoidin diaqonallarının kvadratlarının fərqi onun əsaslarının kvadratlarının fərqinə bərabərdir. Bunun üçün ərazinin hesablanması üçün əvvəllər təsvir edilmiş bütün üsullardan istifadə olunur.

Biz ixtiraçılıqdan istifadə edirik

Xüsusi düsturları unutsanız, kömək edə biləcək bir hiylə var. Trapezoidin nə olduğunu daha ətraflı nəzərdən keçirək. Onu zehni olaraq hissələrə bölsək, tanış və başa düşülən həndəsi formalar alacağıq: kvadrat və ya düzbucaqlı və üçbucaq (bir və ya iki). Trapezoidin hündürlüyü və tərəfləri məlumdursa, üçbucağın və düzbucaqlının sahəsi üçün düsturlardan istifadə edə və sonra bütün əldə edilən dəyərləri əlavə edə bilərsiniz.

Bunu aşağıdakı misalla izah edək. Düzbucaqlı trapesiya verilir. Bucaq C = 45°, A, D bucaqları 90°-dir. Trapezoidin yuxarı əsası 20 sm, hündürlüyü 16 sm-dir, fiqurun sahəsini hesablamaq lazımdır.

Bu rəqəm açıq şəkildə düzbucaqlıdan (əgər iki bucaq 90°-yə bərabərdirsə) və üçbucaqdan ibarətdir. Trapesiya düzbucaqlı olduğundan, onun hündürlüyü tərəfinə bərabərdir, yəni 16 sm, tərəfləri müvafiq olaraq 20 və 16 sm olan düzbucaqlıya sahibik. İndi bucağı 45° olan üçbucağı nəzərdən keçirək. Bilirik ki, onun bir tərəfi 16 sm-dir, çünki bu tərəfi də trapezoidin hündürlüyünə bərabərdir (və hündürlüyün əsasa düz bucaq altında endiyini bilirik), ona görə də üçbucağın ikinci bucağı 90°-dir. Beləliklə, üçbucağın qalan bucağı 45°-dir. Bunun nəticəsi odur ki, iki bərabər tərəfi olan düz ikitərəfli üçbucaq əldə edirik. Bu o deməkdir ki, üçbucağın digər tərəfi hündürlüyə, yəni 16 sm-ə bərabərdir, üçbucağın və düzbucağın sahəsini hesablamaq və nəticədə alınan dəyərləri əlavə etmək qalır.

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi onun ayaqlarının hasilinin yarısına bərabərdir: S = (16*16)/2 = 128. Düzbucaqlının sahəsi onun eni və uzunluğunun hasilinə bərabərdir: S = 20*16 = 320. Lazım olanı tapdıq: trapezoidin sahəsi S = 128 + 320 = 448 kv. yuxarıdakı düsturlardan istifadə edərək özünüzü asanlıqla yoxlaya bilərsiniz, cavab eyni olacaq.

Seçim düsturundan istifadə edirik

S = M/2 + N - 1,

bu düsturda M qovşaqların sayıdır, yəni. fiqurun xətlərinin trapezoidin hüdudlarında hüceyrə xətləri ilə kəsişmələri (şəkildəki narıncı nöqtələr), N - fiqurun daxilindəki qovşaqların sayı (mavi nöqtələr). Düzensiz çoxbucaqlının sahəsini taparkən ondan istifadə etmək ən rahatdır. Bununla belə, istifadə olunan texnikaların arsenalı nə qədər böyükdürsə, səhvlər bir o qədər az olur və nəticələr daha yaxşı olur.

Əlbəttə ki, verilən məlumatlar trapezoidin növlərini və xassələrini, həmçinin onun sahəsini tapmaq üsullarını tükəndirmir. Bu məqalə onun ən vacib xüsusiyyətlərinə ümumi baxış verir. Həndəsi məsələləri həll edərkən, tədricən hərəkət etmək, asan düsturlar və problemlərlə başlamaq, anlayışınızı ardıcıl olaraq möhkəmləndirmək və başqa bir mürəkkəblik səviyyəsinə keçmək vacibdir.

Birlikdə toplanan ən ümumi düsturlar tələbələrə trapezoidin sahəsini hesablamağın müxtəlif yollarını tapmağa və bu mövzuda testlərə və tapşırıqlara daha yaxşı hazırlaşmağa kömək edəcəkdir.

Məxfiliyinizi qorumaq bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik təcrübələrimizi nəzərdən keçirin və hər hansı sualınız varsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

• Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, e-poçt ünvanınız və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

• Topladığımız şəxsi məlumatlar bizə unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlərlə bağlı sizinlə əlaqə saxlamağa imkan verir.
• Zaman-zaman biz sizin şəxsi məlumatlarınızdan vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün istifadə edə bilərik.
• Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlər, məlumatların təhlili və müxtəlif araşdırmalar aparmaq kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
• Əgər siz uduş tirajında, müsabiqədə və ya oxşar təşviqatda iştirak edirsinizsə, biz bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə məlumatların açıqlanması

Sizdən alınan məlumatları üçüncü şəxslərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

• Zəruri hallarda - qanuna uyğun olaraq, məhkəmə qaydasında, məhkəmə prosesində və/və ya ictimai sorğular və ya Rusiya Federasiyasının ərazisində dövlət orqanlarının sorğuları əsasında - şəxsi məlumatlarınızı açıqlamaq. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai əhəmiyyətli məqsədlər üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
• Yenidən təşkil etmə, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq varis üçüncü tərəfə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilməkdən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirləri görürük.

Şirkət səviyyəsində məxfiliyinizə hörmət etmək

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz əməkdaşlarımıza məxfilik və təhlükəsizlik standartlarını çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.

- (Yunan trapesiya). 1) həndəsədə iki tərəfi paralel, ikisi paralel olmayan dördbucaqlı. 2) gimnastika məşqləri üçün uyğunlaşdırılmış fiqur. Rus dilinə daxil olan xarici sözlərin lüğəti. Çudinov A.N., 1910. TRAPEZA... ... Rus dilinin xarici sözlərin lüğəti

Trapezoid- Trapezoid. TRAPEZA (yunanca trapesiyadan, hərfi mənada cədvəl), iki tərəfi paralel olan qabarıq dördbucaqlı (trapezoidin əsasları). Trapezoidin sahəsi əsasların (orta xətt) və hündürlüyün cəminin yarısının məhsuluna bərabərdir. ... Illustrated Ensiklopedik Lüğət

Dördbucaqlı, mərmi, çarpaz çubuq Rus sinonimlərinin lüğəti. trapezoid adı, sinonimlərin sayı: 3 çarpaz (21) ... Sinonim lüğət

- (Yunan trapesiyasından, hərfi mənada cədvəl), iki tərəfi paralel olan qabarıq dördbucaqlı (trapezoidin əsasları). Trapezoidin sahəsi əsasların (orta xətt) və hündürlüyün yarısının cəminə bərabərdir... Müasir ensiklopediya

- (yunan trapesiyasından, işıqlandırılmış cədvəl), trapezoidin əsasları adlanan iki əks tərəfin paralel olduğu (AD və BC şəklində), digər ikisinin isə paralel olmadığı dördbucaqlı. Əsaslar arasındakı məsafəyə trapezoidin hündürlüyü deyilir (... ... Böyük ensiklopedik lüğət

TRAPEZ, iki əks tərəfi paralel olan dördbucaqlı düz fiqur. Trapezoidin sahəsi paralel tərəflərin cəminin onların arasındakı perpendikulyarın uzunluğuna vurulan yarısına bərabərdir... Elmi-texniki ensiklopedik lüğət

TRAPEZ, trapesiya, qadın (Yunan trapesiya cədvəlindən). 1. İki paralel və iki paralel olmayan tərəfi olan dördbucaqlı (mat.). 2. İki kəndir üzərində asılmış çarpazdan ibarət gimnastika aparatı (idman). Akrobatik ...... Uşakovun izahlı lüğəti

TRAPEZ, və qadın. 1. İki paralel və iki paralel olmayan tərəfi olan dördbucaqlı. Trapezoidin əsasları (onun paralel tərəfləri). 2. Sirk və ya gimnastika aparatı iki kabel üzərində asılmış çarpazdır. Ozheqovun izahlı lüğəti. İLƏ … Ozhegovun izahlı lüğəti

Qadın, geom. ikisi paralel (paralel) olan qeyri-bərabər tərəfləri olan dördbucaqlı. Trapezoid, bütün tərəflərin bir-birindən ayrıldığı oxşar dördbucaqlı. Trapezoedr, trapezoidlərlə üzlənmiş bədən. Dahlın izahlı lüğəti. VƏ. Dahl. 1863-1866… Dahlın izahlı lüğəti

- (Trapesiya), ABŞ, 1956, 105 dəq. Melodrama. Aspirant akrobat Tino Orsini məşhur keçmiş trapesiya rəssamı Mayk Riblın işlədiyi sirk truppasına qoşulur. Mayk bir dəfə Tino atası ilə birlikdə çıxış etdi. Gənc Orsini Maykı istəyir... Kino ensiklopediyası

İki tərəfi paralel, digər iki tərəfi isə paralel olmayan dördbucaqlı. Paralel tərəflər arasındakı məsafə deyilir. hündürlüyü T. Paralel tərəflər və hündürlük a, b və h metrdən ibarətdirsə, T sahəsi kvadrat metrdən ibarətdir ... Brockhaus və Efron ensiklopediyası

\[(\Böyük(\mətn(Sərbəst trapesiya)))\]

Təriflər

Trapesiya iki tərəfi paralel, digər iki tərəfi isə paralel olmayan qabarıq dördbucaqlıdır.

Trapezoidin paralel tərəflərinə onun əsasları, digər iki tərəfinə isə yan tərəfləri deyilir.

Trapezoidin hündürlüyü bir təməlin hər hansı bir nöqtəsindən digər bazaya çəkilmiş perpendikulyardır.

Teoremlər: trapezoidin xassələri

1) Yan tərəfdəki bucaqların cəmi \(180^\circ\) -dir.

2) Diaqonallar trapesiyanı dörd üçbucağa bölür, onlardan ikisi oxşar, digər ikisi isə bərabər ölçüdədir.

Sübut

1) Çünki \(AD\paralel BC\), onda \(\BAD bucağı\) və \(\bucaq ABC\) bu xətlər və eninə \(AB\) üçün birtərəfli olur, buna görə də, \(\bucaq BAD +\bucaq ABC=180^\circ\).

2) Çünki \(AD\paralel BC\) və \(BD\) sekantdır, sonra \(\bucaq DBC=\bucaq BDA\) çarpaz uzanır.
Həmçinin \(\bucaq BOC=\AOD bucağı\) şaquli olaraq.
Buna görə də iki bucaqda \(\üçbucaq BOC \sim \üçbucaq AOD\).

Gəlin bunu sübut edək \(S_(\üçbucaq AOB)=S_(\üçbucaq COD)\). Trapesiyanın hündürlüyü \(h\) olsun. Sonra \(S_(\üçbucaq ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\üçbucaq ACD)\). Sonra: \

Tərif

Trapezoidin orta xətti tərəflərin orta nöqtələrini birləşdirən bir seqmentdir.

Teorem

Trapezoidin orta xətti əsaslara paraleldir və onların yarım cəminə bərabərdir.

Sübut*

1) Gəlin paralelliyi sübut edək.

\(M\) nöqtəsindən \(MN"\paralel AD\) düz xəttini çəkək (\(N"\CD\-də\) ). Sonra Thales teoreminə görə (belə ki \(MN"\paralel AD\paralel BC, AM=MB\)) \(N"\) nöqtəsi \(CD\) seqmentinin ortasıdır. Bu o deməkdir ki, \(N\) və \(N"\) nöqtələri üst-üstə düşəcək.

2) Düsturu sübut edək.

Gəlin \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) edək. Qoy \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Sonra Thales teoremi ilə \(M"\) və \(N"\) müvafiq olaraq \(BB"\) və \(CC"\) seqmentlərinin orta nöqtələridir. Bu o deməkdir ki, \(MM"\) \(\üçbucaq ABB"\) , \(NN"\) \(\ DCC"\) üçbucağının orta xəttidir. Buna görə də: \

Çünki \(MN\paralel AD\paralel BC\) və \(BB", CC"\perp AD\) , sonra \(B"M"N"C"\) və \(BM"N"C\) düzbucaqlıdır. Thales teoreminə görə, \(MN\paralel AD\) və \(AM=MB\) dən belə nəticə çıxır ki, \(B"M"=M"B\) .Deməli, \(B"M"N"C "\) və \(BM"N"C\) bərabər düzbucaqlıdır, buna görə də \(M"N"=B"C"=BC\) .

Beləliklə:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\sağ)=\dfrac12\left(AD+BC\sağ)\]

Teorem: ixtiyari trapezoidin xassəsi

Əsasların orta nöqtələri, trapezoidin diaqonallarının kəsişmə nöqtəsi və yan tərəflərin uzantılarının kəsişmə nöqtəsi eyni düz xətt üzərində yerləşir.

Sübut*
“Üçbucaqların oxşarlığı” mövzusunu öyrəndikdən sonra sübutla tanış olmanız tövsiyə olunur.

1) \(P\), \(N\) və \(M\) nöqtələrinin eyni xətt üzərində olduğunu sübut edək.

Düz xətt çəkək \(PN\) (\(P\) yan tərəflərin uzantılarının kəsişmə nöqtəsidir, \(N\) \(BC\) ortasıdır). \(AD\) tərəfi ilə \(M\) nöqtəsində kəsilsin. Sübut edək ki, \(M\) \(AD\) -in orta nöqtəsidir.

\(\triangle BPN\) və \(\triangle APM\) nəzərdən keçirin. Onlar iki bucaqda oxşardırlar (\(\bucaq APM\) – ümumi, \(\bucaq PAM=\bucaq PBN\) \(AD\paralel BC\) və \(AB\) sekanta uyğundur). O deməkdir: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

\(\triangle CPN\) və \(\triangle DPM\) nəzərə alın. Onlar iki bucaqda oxşardırlar (\(\bucaq DPM\) – ümumi, \(\bucaq PDM=\bucaq PCN\) \(AD\paralel BC\) və \(CD\) sekanta uyğundur). O deməkdir: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Buradan \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Lakin \(BN=NC\) buna görə də \(AM=DM\) .

2) Sübut edək ki, \(N, O, M\) nöqtələri eyni xətt üzərində yerləşir.

\(N\) \(BC\)-nin orta nöqtəsi və \(O\) diaqonalların kəsişmə nöqtəsi olsun. Gəlin düz xətt çəkək \(NO\) , o, \(AD\) tərəfini \(M\) nöqtəsində kəsəcək. Sübut edək ki, \(M\) \(AD\) -in orta nöqtəsidir.

\(\üçbucaq BNO\sim \üçbucaq DMO\) iki bucaq boyunca (\(\bucaq OBN=\bucaq ODM\) \(BC\paralel AD\) və \(BD\) sekanta çarpaz uzanır; \(\bucaq BON=\DOM bucağı) şaquli olaraq). O deməkdir: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Eynilə \(\üçbucaq CON\sim \üçbucaq AOM\). O deməkdir: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Buradan \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Lakin \(BN=CN\) buna görə də \(AM=MD\) .

\[(\Böyük(\mətn(İzoceles trapesiya)))\]

Təriflər

Bucaqlarından biri düzdürsə, trapesiya düzbucaqlı adlanır.

Tərəfləri bərabərdirsə, trapesiya ikitərəfli adlanır.

Teoremlər: ikitərəfli trapezoidin xassələri

1) İkitərəfli trapezoidin əsas bucaqları bərabərdir.

2) İkitərəfli trapezoidin diaqonalları bərabərdir.

3) Diaqonalların və əsasın əmələ gətirdiyi iki üçbucaq ikitərəflidir.

Sübut

1) \(ABCD\) ikitərəfli trapesiyanı nəzərdən keçirək.

\(B\) və \(C\) təpələrindən müvafiq olaraq \(BM\) və \(CN\) perpendikulyarlarını \(AD\) tərəfinə salırıq. \(BM\perp AD\) və \(CN\perp AD\) olduğundan, \(BM\paralel CN\) ; \(AD\paralel BC\) , onda \(MBCN\) paraleloqramdır, buna görə də \(BM = CN\) .

Düzgün üçbucaqları nəzərdən keçirin \(ABM\) və \(CDN\) . Onların hipotenuzları bərabər və \(BM\) ayağı \(CN\) ayağına bərabər olduğundan, bu üçbucaqlar bərabərdir, deməli, \(\bucaq DAB = \bucaq CDA\) .

2)

Çünki \(AB=CD, \bucaq A=\bucaq D, AD\)– ümumi, sonra birinci işarəyə görə. Beləliklə, \(AC=BD\) .

3) Çünki \(\üçbucaq ABD=\üçbucaq ACD\), sonra \(\bucaq BDA=\bucaq CAD\) . Buna görə \(\üçbucaq AOD\) üçbucağı ikitərəflidir. Eynilə, \(\üçbucaq BOC\) ikitərəfli olduğu sübut edilmişdir.

Teoremlər: ikitərəfli trapezoidin əlamətləri

1) Trapezoidin əsas bucaqları bərabərdirsə, o, ikitərəflidir.

2) Trapezoidin diaqonalları bərabərdirsə, o, ikitərəflidir.

Sübut

\(ABCD\) trapesiyasını nəzərə alın ki, \(\bucaq A = \bucaq D\) .

Şəkildə göstərildiyi kimi \(AED\) üçbucağına trapesiyanı tamamlayaq. \(\bucaq 1 = \bucaq 2\) olduğundan, üçbucaq \(AED\) ikitərəflidir və \(AE = ED\) . \(1\) və \(3\) bucaqları \(AD\) və \(BC\) paralel xətlər və \(AB\) xətləri üçün uyğun bucaqlara bərabərdir. Eynilə, \(2\) və \(4\) bucaqları bərabərdir, lakin \(\bucaq 1 = \bucaq 2\), onda \(\bucaq 3 = \bucaq 1 = \bucaq 2 = \bucaq 4\), buna görə də, üçbucaq \(BEC\) də ikitərəflidir və \(BE = EC\) .

Nəhayət \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), yəni \(AB = CD\), sübut edilməli olan şeydir.

2) \(AC=BD\) olsun. Çünki \(\üçbucaq AOD\sim \üçbucaq BOC\), onda biz onların oxşarlıq əmsalını \(k\) kimi işarə edirik. Əgər \(BO=x\) , onda \(OD=kx\) . \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) kimi.

Çünki \(AC=BD\) , sonra \(x+kx=y+ky \Sağ ox x=y\) . Bu o deməkdir ki, \(\üçbucaq AOD\) ikitərəflidir və \(\bucaq OAD=\bucaq ODA\) .

Beləliklə, ilk əlamətə görə \(\üçbucaq ABD=\üçbucaq ACD\) (\(AC=BD, \bucaq OAD=\bucaq ODA, AD\)- ümumi). Beləliklə, \(AB=CD\), niyə.

Həyatda trapesiya kimi bir forma ilə tez-tez qarşılaşırıq. Məsələn, beton bloklardan hazırlanmış hər hansı bir körpü buna misaldır. Daha vizual seçim hər bir avtomobilin sükanı və s. Fiqurun xüsusiyyətləri Qədim Yunanıstanda məlum idi Aristotel özünün “Elementlər” elmi əsərində daha ətraflı təsvir etmişdir. Min illər əvvəl inkişaf etdirilən biliklər bu gün də aktualdır. Buna görə də gəlin onlara daha yaxından nəzər salaq.

ilə təmasda

Əsas anlayışlar

Şəkil 1. Klassik trapesiya forması.

Trapezoid əslində iki paralel seqmentdən və paralel olmayan digər iki seqmentdən ibarət dördbucaqlıdır. Bu rəqəm haqqında danışarkən həmişə belə anlayışları xatırlamaq lazımdır: əsaslar, hündürlük və orta xətt. Dördbucaqlının bir-birinə əsas adlanan iki seqmenti (AD və BC seqmentləri). Hündürlük əsasların hər birinə perpendikulyar olan seqmentdir (EH), yəni. 90° bucaq altında kəsişir (şəkil 1-də göstərildiyi kimi).

Bütün daxili dərəcə ölçülərini toplasaq, onda hər hansı dördbucaqlı kimi, trapezoidin bucaqlarının cəmi 2π-ə (360°) bərabər olacaqdır. Uçları tərəflərin orta nöqtələri olan seqment (IF) orta xətt adlanır. Bu seqmentin uzunluğu BC və AD əsaslarının cəminin 2-yə bölünməsidir.

Üç növ həndəsi fiqur var: düz, düzgün və ikitərəfli. Əgər təməlin təpələrində ən azı bir bucaq düzdürsə (məsələn, ABD = 90° olarsa), onda belə dördbucaqlı düz trapesiya adlanır. Yan seqmentlər bərabərdirsə (AB və CD), o zaman buna isosceles deyilir (müvafiq olaraq, əsaslardakı bucaqlar bərabərdir).

Ərazini necə tapmaq olar

Onun üçün, dördbucağın sahəsini tapmaq üçün ABCD aşağıdakı düsturdan istifadə edir:

Şəkil 2. Sahənin tapılması məsələsinin həlli

Daha aydın bir nümunə üçün asan bir problemi həll edək. Məsələn, yuxarı və aşağı əsaslar müvafiq olaraq 16 və 44 sm, tərəflər isə 17 və 25 sm olsun, D təpəsindən DE II BC (şəkil 2-də göstərildiyi kimi) üçün perpendikulyar bir seqment quraq. Buradan bunu alırıq

DF olsun. ΔADE-dən (ikitərəfli olacaq) aşağıdakıları alırıq:

Yəni sadə dillə desək, biz ilk olaraq ΔADE hündürlüyünü tapdıq ki, bu da trapezoidin hündürlüyüdür. Buradan artıq məlum olan düsturdan istifadə edərək, DF hündürlüyünün artıq məlum olan dəyəri ilə ABCD dördbucağının sahəsini hesablayırıq.

Beləliklə, tələb olunan ABCD sahəsi 450 sm³-dir. Yəni əminliklə deyə bilərik ki, sıra ilə Trapezoidin sahəsini hesablamaq üçün yalnız əsasların cəminə və hündürlüyün uzunluğuna ehtiyacınız var.

Vacibdir! Problemi həll edərkən, uzunluqların dəyərini ayrıca tapmaq lazım deyil, əgər müvafiq sübutla əsasların cəminə bərabər olacaq rəqəmin digər parametrləri istifadə olunarsa, bu olduqca məqbuldur;

Trapezoidlərin növləri

Fiqurun hansı tərəflərindən və əsaslarda hansı bucaqların əmələ gəldiyindən asılı olaraq, dördbucaqlıların üç növü var: düzbucaqlı, qeyri-bərabər və bərabərtərəfli.

Çox yönlü

İki forma var: kəskin və küt. ABCD o zaman kəskin olur ki, əsas bucaqlar (AD) iti olsun və tərəflərin uzunluqları fərqli olsun. Əgər bir bucağın qiyməti Pi/2-dən böyükdürsə (dərəcə ölçüsü 90°-dən çoxdur), onda küt bucaq alırıq.

Əgər tərəflərin uzunluğu bərabərdirsə

Şəkil 3. İkitərəfli trapezoidin görünüşü

Paralel olmayan tərəflərin uzunluğu bərabərdirsə, onda ABCD ikitərəfli (müntəzəm) adlanır. Üstəlik, belə bir dördbucaqlıda təməldəki bucaqların dərəcə ölçüsü eynidir, onların bucağı həmişə düz bucaqdan kiçik olacaqdır. Məhz bu səbəbdən ikitərəfli xətt heç vaxt iti bucaqlı və küt bucaqlıya bölünmür. Bu formanın dördbucağının özünəməxsus fərqləri var, bunlara aşağıdakılar daxildir:

1. Qarşı təpələri birləşdirən seqmentlər bərabərdir.
2. Əsası daha böyük olan kəskin bucaqlar 45°-dir (Şəkil 3-də təsviri nümunə).
3. Əgər əks bucaqların dərəcələrini toplasanız, onlar 180°-ə qədər toplayırlar.
4. İstənilən adi trapezoid ətrafında qura bilərsiniz.
5. Qarşı bucaqların dərəcə ölçüsünü toplasanız, π-ə bərabərdir.

Bundan əlavə, nöqtələrin həndəsi düzülüşünə görə var ikitərəfli trapezoidin əsas xassələri:

90° bazada bucaq dəyəri

Baza tərəfinin perpendikulyarlığı "düzbucaqlı trapezoid" anlayışının tutumlu bir xüsusiyyətidir. Əsasında küncləri olan iki tərəf ola bilməz,çünki əks halda artıq düzbucaqlı olacaq. Bu tip dördbucaqlılarda ikinci tərəf həmişə daha böyük baza ilə kəskin bucaq, kiçik olanı ilə isə küt bucaq təşkil edəcəkdir. Bu vəziyyətdə, perpendikulyar tərəf də hündürlük olacaqdır.

Yan divarların ortaları arasındakı seqment

Əgər tərəflərin orta nöqtələrini birləşdirsək və yaranan seqment əsaslara paralel və uzunluğu onların cəminin yarısına bərabərdirsə, nəticədə düz xətt orta xətt olacaq. Bu məsafənin dəyəri düsturla hesablanır:

Daha aydın bir nümunə üçün mərkəz xəttindən istifadə edərək problemi nəzərdən keçirin.

Tapşırıq. Trapezoidin orta xətti 7 sm-dir, məlumdur ki, tərəflərdən biri digərindən 4 sm böyükdür (şəkil 4). Əsasların uzunluqlarını tapın.

Şəkil 4. Əsasların uzunluqlarının tapılması məsələsinin həlli

Həll. Kiçik DC əsası x sm-ə bərabər olsun, onda daha böyük baza müvafiq olaraq (x+4) sm-ə bərabər olacaq, buradan trapezoidin orta xətti üçün düsturdan istifadə edərək əldə edirik:

Belə çıxır ki, daha kiçik DC əsası 5 sm, böyük olanı isə 9 sm-dir.

Vacibdir! Orta xətt anlayışı bir çox həndəsə problemlərinin həllində açardır. Onun tərifinə əsasən, digər rəqəmlər üçün çoxlu sübutlar qurulur. Konsepsiyadan praktikada istifadə etməklə daha rasional həll yolu və tələb olunan dəyərin axtarışı mümkündür.

Hündürlüyün təyini və onu tapmaq yolları

Daha əvvəl qeyd edildiyi kimi, hündürlük əsasları 2Pi/4 bucaq altında kəsən və aralarındakı ən qısa məsafə olan seqmentdir. Trapezoidin hündürlüyünü tapmazdan əvvəl, hansı giriş qiymətlərinin verildiyini müəyyən etmək lazımdır. Daha yaxşı başa düşmək üçün problemə baxaq. Əsasları 8 və 28 sm, tərəfləri müvafiq olaraq 12 və 16 sm olmaq şərti ilə trapezoidin hündürlüyünü tapın.

Şəkil 5. Trapesiyanın hündürlüyünün tapılması məsələsinin həlli

AD əsasına düz bucaq altında DF və CH seqmentlərini çəkək. Tərifə əsasən, onların hər biri verilmiş trapesiyanın hündürlüyünə bərabər olacaqdır (şək. 5). Bu halda, hər bir yan divarın uzunluğunu bilməklə, Pifaqor teoremindən istifadə edərək, AFD və BHC üçbucaqlarında hündürlüyün nəyə bərabər olduğunu tapacağıq.

AF və HB seqmentlərinin cəmi əsasların fərqinə bərabərdir, yəni:

AF uzunluğu x sm, sonra seqmentin uzunluğu HB= (20 – x) sm olsun. Müəyyən olunduğu kimi, DF=CH, buradan.

Sonra aşağıdakı tənliyi alırıq:

Belə çıxır ki, AFD üçbucağında AF seqmenti 7,2 sm-ə bərabərdir, buradan eyni Pifaqor teoremindən istifadə edərək DF trapesiyasının hündürlüyünü hesablayırıq:

Bunlar. trapesiya ADCB hündürlüyü 9,6 sm-ə bərabər olacaq hündürlüyün hesablanması daha çox mexaniki prosesdir və üçbucaqların tərəflərini və bucaqlarını hesablamağa əsaslanır. Ancaq bir sıra həndəsə məsələlərində yalnız bucaqların dərəcələrini bilmək olar, bu halda hesablamalar daxili üçbucaqların tərəflərinin nisbəti ilə aparılacaqdır.

Vacibdir!Əslində, trapesiya çox vaxt iki üçbucaq və ya düzbucaqlı ilə üçbucağın birləşməsi kimi düşünülür. Məktəb dərsliklərində olan bütün problemlərin 90% -ni həll etmək, bu rəqəmlərin xüsusiyyətləri və xüsusiyyətləri. Bu GMT üçün düsturların əksəriyyəti göstərilən iki növ rəqəm üçün "mexanizmlərə" əsaslanaraq əldə edilmişdir.

Baza uzunluğunu necə tez hesablamaq olar

Trapezoidin əsasını tapmazdan əvvəl, artıq hansı parametrlərin verildiyini və onlardan rasional olaraq necə istifadə olunacağını müəyyən etmək lazımdır. Praktik yanaşma, orta xətt düsturundan naməlum bazanın uzunluğunu çıxarmaqdır. Şəklin daha aydın başa düşülməsi üçün bunun necə edilə biləcəyini göstərmək üçün nümunə tapşırıqdan istifadə edək. Bilin ki, trapesiyanın orta xətti 7 sm, əsaslarından biri isə 10 sm-dir.

Həlli: Orta xəttin əsasların cəminin yarısına bərabər olduğunu bilərək, onların cəminin 14 sm olduğunu deyə bilərik.

(14 sm = 7 sm × 2). Məsələnin şərtlərindən bilirik ki, onlardan biri 10 sm-ə bərabərdir, deməli, trapezoidin kiçik tərəfi 4 sm-ə bərabər olacaqdır (4 sm = 14 – 10).

Üstəlik, bu cür problemlərin daha rahat həlli üçün kimi düsturları trapesiya sahəsindən hərtərəfli öyrənməyinizi tövsiyə edirik:

• orta xətt;
• kvadrat;
• hündürlük;
• diaqonallar.

Bu hesablamaların mahiyyətini (dəqiq mahiyyətini) bilməklə, istədiyiniz dəyəri asanlıqla tapa bilərsiniz.

Video: trapesiya və onun xüsusiyyətləri

Video: trapezoidin xüsusiyyətləri

Nəticə

Baxılan məsələlər nümunələrindən sadə bir nəticəyə gəlmək olar ki, trapesiya məsələlərin hesablanması baxımından həndəsənin ən sadə fiqurlarından biridir. Problemləri uğurla həll etmək üçün, ilk növbədə, təsvir olunan obyekt haqqında hansı məlumatların bilindiyinə, hansı düsturlarda tətbiq oluna biləcəyinə qərar verməməli və nə tapmaq lazım olduğuna qərar verməməlisiniz. Bu sadə alqoritmə əməl etməklə, bu həndəsi fiqurdan istifadə etməklə heç bir tapşırıq asan olmayacaq.