De las fórmulas (6.22) - (6.25) se deduce que cuando los ejes giran, los momentos de inercia cambian, pero la suma de los momentos axiales permanece constante.
Por lo tanto, si respecto a un eje el valor del momento de inercia es El más largo, entonces relativamente diferente - el mas pequeño. En este caso momento centrífugo en relación con estos ejes resulta igual a cero.
Ejes centrales principales se llaman ejes que pasan por el centro de gravedad y respecto de los cuales el momento centrífugo es igual a cero, y los momentos axiales relativos a ellos (ejes) tienen propiedades extremas y se llaman Principales momentos centrales de inercia. En relación con un eje principal, el momento de inercia tiene el menor significado – , en relación con el otro – el más grande.
Denotaremos estos ejes con letras. tu Y v. Probemos la afirmación anterior. Deja que los ejes X Y y– ejes centrales de una sección asimétrica (Fig. 6.12).
Determinemos la posición de los ejes principales girando los ejes centrales en un ángulo en el que el momento centrífugo se vuelve igual a cero.
.
Luego de la fórmula (6.25)
. (6.26)
La fórmula (6.26) determina la posición de los ejes principales, donde es el ángulo en el que se deben girar los ejes centrales para que se conviertan en los principales. Los ángulos negativos se trazan en el sentido de las agujas del reloj desde el eje. X.
Ahora demostraremos que con respecto a los ejes principales, los momentos de inercia axiales tienen la propiedad de ser extremos. Calculemos la derivada de la expresión (fórmula 6.22) y equiparémosla a cero:
(6.27)
Comparando las expresiones (6.27) con (6.25) establecemos que
.
De ello se deduce que la derivada desaparece cuando , lo que significa que los valores extremos tienen momentos de inercia con respecto a los ejes principales. tu Y v. Luego según las fórmulas (6.22) y (6.23):
(6.28)
Usando las fórmulas (6.28) determinamos Principales momentos centrales de inercia.
Si sumamos las fórmulas (6.28) término por término, entonces, obviamente, . Si excluimos el ángulo de las fórmulas (6.28), obtenemos una fórmula más conveniente para los principales momentos de inercia centrales:
El signo “+” antes del segundo término en (6.29) se refiere a , el signo “-” se refiere a .
Es útil tener en cuenta casos especiales:
Si la figura tiene dos ejes de simetría, entonces estos ejes son ejes centrales principales.
2. Para figuras regulares – triángulo equilátero, cuadrado, círculo, etc., que tengan más de dos ejes de simetría, todos los ejes centrales son principales, y los momentos de inercia con respecto a ellos son iguales entre sí.
La capacidad de encontrar la posición de los ejes centrales principales y calcular y es necesaria para determinar. plano de mayor rigidez de la sección(cuya traza coincide con el eje) al calcular la flexión (Capítulo 7).
35. Procedimiento general para determinar la central principal.
Momentos.
Que sea requerido encontrar la posición de los ejes centrales principales y calcule los momentos de inercia con respecto a ellos para una sección plana que consta de un canal y una tira (figura 6.13):
Dibujar un sistema de coordenadas arbitrario. xoy.
Divida la sección en figuras simples y use las fórmulas (6.5) para determinar la posición del centro de gravedad. CON.
Encuentre los momentos de inercia de figuras simples con respecto a sus propios ejes centrales utilizando un surtido o fórmulas.
a través del punto CON dibuja los ejes centrales xc Y yc paralelo a los ejes de figuras simples.
Determine los momentos de inercia de figuras simples con respecto a los ejes centrales de la sección utilizando las fórmulas de traslación paralela (6.13).
Determine los momentos centrales de inercia de toda la sección como la suma de los momentos correspondientes de figuras simples encontradas en el paso 5.
Calcule el ángulo usando la fórmula (6.26) y, girando los ejes xc Y yc en ángulo, represente los ejes principales tu Y v.
Usando las fórmulas (6.29) calcule y .
Comprobación:
b) si;
36) Procedimiento general para la determinación de los principales momentos centrales de inercia. Ejemplo:
1. Si una figura tiene dos ejes de simetría, entonces estos ejes serán el GCO.
2. Para figuras regulares (que tienen más de 2 ejes), todos los ejes serán los principales.
3. Dibujar ejes auxiliares (X’ O’ Y’)
4. Dividimos esta sección en cifras simples y mostramos sus propios CO.
5. Encuentre la posición del GCO usando la fórmula (21)
6. Calcule los valores de GCM usando la fórmula (23)
Imáx + Imín = Ix + Iy
· Imax >Ix>Iy>Iminif Ix>Iy
Iuv = Ix-Iy/2 sen2a + Ixycos2a +0
Fórmula 21:Tg2a = - 2Ixy/Ix - Iy
Fórmula 23: Imáx, Imín = *
37) Doblar. Clasificación de tipos de plegado. Curva recta y limpia. Imagen de la deformación de la viga. Capa neutra y eje. Supuestos básicos.
La flexión es una deformación en la que se produce un momento flector Mx en la sección transversal. Viga que funciona sobre viga doblada.
Tipos de flexión:
La flexión pura ocurre si solo ocurre un momento flector en la sección.
Flexión transversal: si se produce una fuerza transversal simultáneamente con el momento
Plano: todas las cargas se encuentran en el mismo plano.
Espacial: si todas las cargas se encuentran en diferentes planos longitudinales
Directo: si el plano de fuerza coincide con uno de los principales ejes de inercia.
Oblicuo: si el plano de fuerza no coincide con ninguno de los ejes principales.
Como resultado de la deformación en el área de flexión pura, se puede ver:
Las fibras longitudinales se doblan a lo largo de un arco circular: algunas se acortan, otras se alargan; entre ellos hay una capa de fibras que no cambian su longitud: la capa neutra (n.s.), la línea de su intersección con el plano de la sección transversal se llama eje neutro (n.a.)
La distancia entre las fibras longitudinales no cambia.
Las secciones transversales, aunque permanecen rectas, giran en un cierto ángulo.
Supuestos:
1. Presionando las fibras longitudinales entre sí, es decir cada fibra se encuentra en un estado de simple tensión o compresión, lo que se acompaña de la aparición de tensiones normales Ϭ
2. Sobre la validez de la hipótesis de Bernouli, es decir. Las secciones de viga que son planas y normales al eje antes de la deformación permanecen planas y normales a su eje después de la deformación.
ejes, sobre el cual el momento centrífugo de inercia es igual a cero se llama ejes principales(aveces llamado principales ejes de inercia). Por cualquier punto tomado en el plano de sección, en el caso general, se pueden trazar un par de ejes principales (en algunos casos especiales puede haber un número infinito de ellos). Para verificar la validez de esta afirmación, consideremos cómo cambia el momento de inercia centrífugo cuando los ejes giran 90" (Fig. b.7). Para un área arbitraria dA, tomada en el primer cuadrante del xOy sistema de ejes, ambas coordenadas, y por tanto su producto es positivo. En el nuevo sistema de coordenadas x,Oy, rotado con respecto al original 90", el producto de las coordenadas del sitio en cuestión es negativo. Valor absoluto este producto no cambia, es decir xy = - x1y,. Obviamente , Lo mismo ocurre con cualquier otro sitio de primaria. Esto significa que el signo de la suma dAxy, que es el momento de inercia centrífugo de la sección, cambia al contrario cuando los ejes se giran 90", es decir, J = = - J.
Durante la rotación de los ejes, el momento de inercia centrífugo cambia. continuamente, por tanto, en una determinada posición de los ejes se vuelve igual a cero. Estos ejes son los principales.
Aunque hemos establecido que los ejes principales se pueden trazar por cualquier punto de la sección, sólo tienen interés práctico aquellos que pasan por el centro de gravedad de la sección: ejes centrales principales. En lo que sigue, por regla general, por razones de brevedad, los llamaremos simplemente ejes principales, omitiendo la palabra "central".
En el caso general de secciones de forma arbitraria, para determinar la posición de los ejes principales es necesario realizar un estudio especial. Aquí nos limitaremos a considerar casos especiales de secciones que tienen al menos un eje de simetría (figura 6.8).
Nosotros te guiaremos. el centro de gravedad de la sección es el eje Ox, perpendicular al eje de simetría Oy, y determinamos el momento de inercia centrífugo J. Usemos la propiedad de una integral definida conocida en el curso de matemáticas (la integral de una suma es igual a la suma de integrales) y representa J s en forma de dos términos:
ya que, para cualquier área elemental situada a la derecha del eje de simetría, existe una correspondiente a la izquierda, para la cual el producto de coordenadas difiere sólo en signo.
Por lo tanto, el momento de inercia centrífugo con respecto a los ejes Ox y Oy resultó ser igual a cero, es decir, este ejes principales. Entonces, para encontrar los ejes principales de una sección simétrica, basta con encontrar la posición de su centro de gravedad. Uno de los ejes centrales principales es el eje de simetría, el segundo eje es perpendicular a él. Por supuesto, la prueba anterior sigue siendo válida si el eje perpendicular al eje de simetría no pasa por el centro de gravedad de la sección, es decir El eje de simetría y cualquiera de los perpendiculares a él forman un sistema de ejes principales.
Los ejes principales no centrales, como ya se indicó, no son de interés.
Los momentos axiales de inercia respecto de los ejes centrales principales se denominan central principal(o principales para abreviar) Momentos de inercia. El momento de inercia es máximo con respecto a uno de los ejes principales y mínimo con respecto al otro. Por ejemplo, para la sección que se muestra en la Fig. 6.8, el momento máximo de inercia J
(en relación con el eje Buey). Por supuesto, cuando hablamos de la extremidad de los principales momentos de inercia, solo nos referimos a su comparación con otros momentos de inercia calculados con respecto a los ejes que pasan por ese el mismo punto de sección. Así, el hecho de que uno de los momentos de inercia principales sea máximo y el otro mínimo puede considerarse como una explicación del hecho de que ellos (y los ejes correspondientes) se denominen principales. La igualdad a cero del momento de inercia centrífugo con respecto a los ejes principales es un signo conveniente para encontrarlo. Algunos tipos de secciones, por ejemplo círculo, cuadrado, hexágono regular, etc. (Fig. 6.9), tienen innumerables ejes centrales principales. Para estos tramos, cualquier eje central es el principal.
Sin aportar pruebas, señalamos que si los dos principales momentos de inercia centrales de una sección son iguales, entonces para esta sección cualquier eje central es el principal y todos los principales momentos de inercia centrales son iguales.
De las fórmulas (6.29) - (6.31) se desprende claramente que cuando se giran los ejes de coordenadas, el momento centrífugo de inercia cambia de signo y, por tanto, existe una posición de los ejes en la que el momento centrífugo es igual a cero.
Los ejes alrededor de los cuales desaparece el momento de inercia centrífugo de la sección se denominan ejes principales, y los ejes principales que pasan por el centro de gravedad de la sección se denominan principales ejes centrales de inercia de la sección.
Los momentos de inercia con respecto a los ejes principales de inercia de la sección se denominan principales momentos de inercia de la sección y se denotan por I 1 Y I 2 y I 1 > I 2 . Normalmente, cuando se habla de momentos principales, se refiere a momentos de inercia axiales respecto de los principales ejes centrales de inercia.
Supongamos que los ejes tu Y v principales. Entonces
|
|
.La ecuación (6.32) determina la posición de los principales ejes de inercia de la sección en un punto dado con respecto a los ejes de coordenadas originales. Al girar los ejes de coordenadas, los momentos de inercia axiales también cambian. Encontremos la posición de los ejes respecto de los cuales los momentos de inercia axiales alcanzan valores extremos. Para hacer esto, tomamos la primera derivada de Itu Por α y lo igualamos a cero:
.
La condición conduce al mismo resultado. yov/dα . Comparando la última expresión con la fórmula (6.32), llegamos a la conclusión de que los principales ejes de inercia son aquellos ejes alrededor de los cuales los momentos axiales de inercia de la sección alcanzan valores extremos.
Para simplificar el cálculo de los principales momentos de inercia, se transforman las fórmulas (6.29) - (6.31), excluyendo de ellas las funciones trigonométricas utilizando la relación (6.32):
|
|
.El signo más delante del radical corresponde a mayor I 1 , y el signo menos es más pequeño I 2 de los momentos de inercia de la sección.
Señalemos una propiedad importante de las secciones en las que los momentos axiales de inercia con respecto a los ejes principales son los mismos. Supongamos que los ejes y Y z principal ( Iyz=0), y Iy=Iz. Luego, según las igualdades (6.29) - (6.31), para cualquier ángulo de rotación de los ejes α momento centrífugo de inercia Iultravioleta=0, y axial Itu= Iv.
Entonces, si los momentos de inercia de la sección con respecto a los ejes principales son los mismos, entonces todos los ejes que pasan por el mismo punto de la sección son los principales y los momentos de inercia axiales con respecto a todos estos ejes son los mismos: Itu= Iv= Iy= Iz. Esta propiedad la poseen, por ejemplo, las secciones cuadradas, redondas y anulares.
La fórmula (6.33) es similar a la fórmula (3.25) para tensiones principales. En consecuencia, los principales momentos de inercia se pueden determinar gráficamente mediante el método de Mohr.
Las fórmulas (31.5), (32.5) y (34.5) nos permiten establecer cómo cambian los valores de los momentos de inercia de la sección cuando los ejes giran un ángulo arbitrario a. Para algunos valores del ángulo a, los valores de los momentos de inercia axiales alcanzan un máximo y un mínimo. Los valores extremos (máximo y mínimo) de los momentos de inercia axial de la sección se denominan momentos de inercia principales. Los ejes alrededor de los cuales los momentos axiales de inercia tienen valores extremos se denominan ejes principales de inercia.
De la fórmula (33.5) se deduce que si el momento de inercia axial con respecto a un determinado eje es máximo (es decir, este eje es el principal), entonces el momento de inercia axial con respecto al eje perpendicular a él es mínimo (es decir, este eje también es el principal), de modo que la suma de los momentos axiales de inercia alrededor de dos ejes mutuamente perpendiculares no depende del ángulo a.
Por tanto, los principales ejes de inercia son mutuamente perpendiculares.
Para encontrar los principales momentos de inercia y la posición de los principales ejes de inercia, determinamos la primera derivada con respecto al ángulo a del momento de inercia [ver. Fórmula (31.5) y Fig. 19.5]:
Igualamos este resultado a cero:
¿Dónde está el ángulo con el que se deben girar los ejes de coordenadas y para que coincidan con los ejes principales?
Comparando las expresiones (35.5) y (34.5), establecemos que
En consecuencia, con respecto a los principales ejes de inercia, el momento de inercia centrífugo es cero. Por tanto, los principales ejes de inercia pueden denominarse ejes alrededor de los cuales el momento de inercia centrífugo es igual a cero.
Como ya se sabe, el momento de inercia centrífugo de la sección con respecto a los ejes, uno o ambos coinciden con los ejes de simetría, es igual a cero.
En consecuencia, los ejes principales de inercia son siempre ejes mutuamente perpendiculares, uno o ambos de los cuales coinciden con los ejes de simetría de la sección. Esta regla permite en muchos casos establecer directamente (sin cálculo) la posición de los ejes principales.
Resolvamos la ecuación (35.5) con respecto al ángulo.
En cada caso específico, la ecuación (36.5) se satisface con una serie de valores y se selecciona cualquiera de ellos. Si es positivo, entonces para determinar la posición de uno de los principales ejes de inercia a partir de él, el eje debe girarse en un ángulo en sentido contrario a las agujas del reloj, y si es negativo, en el sentido de las agujas del reloj; el otro eje principal de inercia es perpendicular al primero. Uno de los principales ejes de inercia es el eje máximo (con respecto a él, el momento de inercia axial de la sección es máximo), y el otro es el eje mínimo (con respecto a él, el momento de inercia axial de la sección es mínimo ).
El eje máximo siempre forma un ángulo menor con el de los ejes (y o ), respecto a los cuales el momento de inercia axial tiene un valor mayor. Esta circunstancia facilita establecer cuál de los principales ejes de inercia es el eje máximo y cuál es el eje mínimo. Entonces, por ejemplo, si los principales ejes de inercia y y v están ubicados, como se muestra en la Fig. 20.5, entonces el eje es el eje máximo (ya que forma un ángulo menor con el eje y que con el eje), y el eje v es el eje mínimo.
Al resolver un problema numérico específico para determinar los principales momentos de inercia, puede sustituir el valor del ángulo seleccionado y el valor en la fórmula (31.5) o (32.5).
Resolvamos este problema en forma general. Usando fórmulas de trigonometría, usando la expresión (36.5), encontramos
Sustituyendo estas expresiones en la fórmula (31.5), después de transformaciones simples obtenemos
Los principales ejes de inercia se pueden trazar a través de cualquier punto tomado en el plano de sección. Sin embargo, sólo los ejes principales que pasan por el centro de gravedad de la sección, es decir, las principales inercias centrales, tienen importancia práctica para los cálculos de elementos estructurales. Los momentos de inercia relativos a estos ejes (los principales momentos de inercia centrales) se denominarán además como
Consideremos varios casos especiales.
1. Si entonces la fórmula (34.5) da el valor del momento de inercia centrífugo con respecto a cualquier par de ejes mutuamente perpendiculares igual a cero y, por lo tanto, cualquier eje obtenido al girar el sistema de coordenadas son los principales ejes de inercia (también como los ejes). En este caso
2. Para figuras con más de dos ejes de simetría, los momentos axiales de inercia con respecto a todos los ejes centrales son iguales. De hecho, dirijamos uno de los ejes () a lo largo de uno de los ejes de simetría y el otro, perpendicular a él. Para estos ejes Si una figura tiene más de dos ejes de simetría, entonces uno de ellos forma un ángulo agudo con el eje. Denotemos dicho eje y el eje perpendicular a él.
Momento de inercia centrífugo ya que el eje es el eje de simetría. Según la fórmula (34.5).
Tarea 5.3.1: Para la sección, se conocen los momentos de inercia axial de la sección con respecto a los ejes. x1, y1, x2: , . Momento de inercia axial respecto del eje. y2 igual...
1) 1000 cm4; 2) 2000 cm4; 3) 2500 cm4; 4) 3000cm4.
Solución: La respuesta correcta es 3). La suma de los momentos axiales de inercia de la sección con respecto a dos ejes mutuamente perpendiculares cuando los ejes se giran en un cierto ángulo permanece constante, es decir
Después de sustituir los valores dados, obtenemos:
Tarea 5.3.2: De los ejes centrales indicados de la sección de un ángulo igual, los principales son...
1) x3; 2) todo; 3) x1; 4) x2.
Solución: La respuesta correcta es 4). Para secciones simétricas, los ejes de simetría son los principales ejes de inercia.
Tarea 5.3.3: Principales ejes de inercia...
- 1) sólo se puede dibujar a través de puntos que se encuentran en el eje de simetría;
- 2) sólo se puede dibujar a través del centro de gravedad de una figura plana;
- 3) estos son los ejes alrededor de los cuales los momentos de inercia de una figura plana son iguales a cero;
- 4) se puede dibujar a través de cualquier punto de una figura plana.
Solución: La respuesta correcta es 4). La figura muestra una figura plana arbitraria. a través del punto CON Se dibujan dos ejes mutuamente perpendiculares. Ud. Y V.
En el curso sobre resistencia de materiales se ha demostrado que si se giran estos ejes, se puede determinar su posición, en la que el momento de inercia centrífugo de la zona se vuelve cero y los momentos de inercia alrededor de estos ejes toman valores extremos. Estos ejes se denominan ejes principales.
Tarea 5.3.4: De los ejes centrales indicados, los ejes de sección principal son...
1) todo; 2) x1 Y x3; 3) x2 Y x3; 4)x2 Y x4.
Solución: La respuesta correcta es 1). Para secciones simétricas, los ejes de simetría son los principales ejes de inercia.
Tarea 5.3.5: Los ejes alrededor de los cuales el momento de inercia centrífugo es cero y los momentos axiales toman valores extremos se llaman...
- 1) ejes centrales; 2) ejes de simetría;
- 3) ejes centrales principales; 4) ejes principales.
Solución: La respuesta correcta es 4). Cuando los ejes de coordenadas se giran un ángulo b, los momentos de inercia de la sección cambian.
Sean dados los momentos de inercia de la sección con respecto a los ejes de coordenadas. X, y. Entonces los momentos de inercia de la sección en el sistema de ejes de coordenadas. tu, v, girado en un cierto ángulo con respecto a los ejes X, y, son iguales
A un cierto valor del ángulo, el momento de inercia centrífugo de la sección se vuelve cero y los momentos de inercia axiales toman valores extremos. Estos ejes se denominan ejes principales.
Tarea 5.3.6: Momento de inercia de la sección respecto al eje central principal. xC igual...
1); 2) ; 3) ; 4) .
Solución: La respuesta correcta es 2)
Para calcular utilizamos la fórmula
