Inglés: Wikipedia está haciendo que el sitio sea más seguro. Estás utilizando un navegador web antiguo que no podrá conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o comuníquese con su administrador de TI.

中文: The以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。

Español: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web antiguo que no podrá conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrador informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Francés: Wikipédia va bientôt aumenta la seguridad de su sitio. Actualmente utiliza un navegador web antiguo, que no podrá conectarse a Wikipédia cuando lo haga. Merci de mettre à jour su aparato o de contactar su administrador informático à este fin. Hay información complementaria y técnicas en inglés disponibles aquí.

日本語: ? ??? IT情報は以下に英語で提供しています.

Alemán: Wikipedia contiene la seguridad del sitio web. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen zugreifen wird. Bitte actualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch Detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Italiano: Wikipedia está rendendo el sitio más seguro. Siga usando un navegador web que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Por favor, actualice su dispositivo o comuníquese con su administrador informático. Más en bajo está disponible un aggiornamento más detallado y técnico en inglés.

Magiar: Biztonságosabb lesz en Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenská: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Actualícese desde cualquier lugar o póngase en contacto con el administrador de TI. Det finns en langre och mer teknisk förklaring på engelska langre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Estamos eliminando la compatibilidad con versiones inseguras del protocolo TLS, específicamente TLSv1.0 y TLSv1.1, en las que se basa el software de su navegador para conectarse a nuestros sitios. Esto suele deberse a navegadores obsoletos o teléfonos inteligentes Android más antiguos. O podría ser interferencia del software de "seguridad web" personal o corporativo, que en realidad degrada la seguridad de la conexión.

Debe actualizar su navegador web o solucionar este problema para acceder a nuestros sitios. Este mensaje permanecerá hasta el 1 de enero de 2020. Después de esa fecha, su navegador no podrá establecer una conexión con nuestros servidores.

En esta lección veremos dos operaciones más con vectores: producto vectorial de vectores Y producto mixto de vectores (enlace inmediato para quienes lo necesiten). Está bien, a veces sucede que para la felicidad total, además de producto escalar de vectores, cada vez se necesitan más. Esta es la adicción a los vectores. Puede parecer que nos adentramos en la jungla de la geometría analítica. Esto está mal. En esta sección de matemáticas superiores generalmente hay poca madera, excepto quizás suficiente para Pinocho. De hecho, el material es muy común y simple, apenas más complicado que el mismo. producto escalar, habrá incluso menos tareas típicas. Lo principal en geometría analítica, como muchos estarán convencidos o ya lo han estado, es NO COMETIR ERRORES EN LOS CÁLCULOS. Repite como un hechizo y serás feliz =)

Si los vectores brillan en algún lugar lejano, como un rayo en el horizonte, no importa, comienza con la lección. Vectores para tontos recuperar o readquirir conocimientos básicos sobre vectores. Los lectores más preparados pueden familiarizarse con la información de forma selectiva; traté de recopilar la colección más completa de ejemplos que se encuentran a menudo en el trabajo práctico.

¿Qué te hará feliz de inmediato? Cuando era pequeña podía hacer malabarismos con dos y hasta tres pelotas. Funcionó bien. Ahora no tendrás que hacer ningún malabarismo, ya que consideraremos solo vectores espaciales, y se omitirán los vectores planos con dos coordenadas. ¿Por qué? Así nacieron estas acciones: el vector y el producto mixto de vectores se definen y funcionan en un espacio tridimensional. ¡Ya es más fácil!

Esta operación, al igual que el producto escalar, implica dos vectores. Que estas sean letras imperecederas.

La acción en sí denotado por de la siguiente manera: . Hay otras opciones, pero estoy acostumbrado a denotar el producto vectorial de vectores de esta manera, entre corchetes con una cruz.

Y de inmediato pregunta: si en producto escalar de vectores están involucrados dos vectores, y aquí también se multiplican dos vectores, entonces cuál es la diferencia? La diferencia obvia está, en primer lugar, en el RESULTADO:

El resultado del producto escalar de vectores es NÚMERO:

El resultado del producto cruzado de vectores es VECTOR: , es decir, multiplicamos los vectores y obtenemos un vector nuevamente. Club cerrado. En realidad, de aquí proviene el nombre de la operación. En diferentes literatura educativa, las designaciones también pueden variar, usaré la letra.

Definición de producto cruzado

Primero habrá una definición con una imagen, luego comentarios.

Definición: Producto vectorial no colineal vectores, tomado en este orden, llamado VECTOR, longitud que es numéricamente igual al área del paralelogramo, construido sobre estos vectores; vector ortogonal a vectores, y está dirigido para que la base tenga una orientación correcta:

Analicemos la definición pieza por pieza, ¡hay muchas cosas interesantes aquí!

Así, se pueden destacar los siguientes puntos importantes:

1) Los vectores originales, indicados por flechas rojas, por definición. no colineal. Será apropiado considerar el caso de los vectores colineales un poco más adelante.

2) Se toman vectores en un orden estrictamente definido: – "a" se multiplica por "be", no "ser" con "a". El resultado de la multiplicación de vectores. es VECTOR, que se indica en azul. Si los vectores se multiplican en orden inverso, obtenemos un vector de igual longitud y de dirección opuesta (color frambuesa). Es decir, la igualdad es verdadera. .

3) Ahora conozcamos el significado geométrico del producto vectorial. ¡Este es un punto muy importante! La LONGITUD del vector azul (y, por lo tanto, del vector carmesí) es numéricamente igual al ÁREA del paralelogramo construido sobre los vectores. En la figura, este paralelogramo está sombreado en negro.

Nota : el dibujo es esquemático y, naturalmente, la longitud nominal del producto vectorial no es igual al área del paralelogramo.

Recordemos una de las fórmulas geométricas: El área de un paralelogramo es igual al producto de los lados adyacentes por el seno del ángulo entre ellos. Por lo tanto, con base en lo anterior, es válida la fórmula para calcular la LONGITUD de un producto vectorial:

Hago hincapié en que la fórmula trata sobre la LONGITUD del vector y no sobre el vector en sí. ¿Cuál es el significado práctico? Y el significado es que en problemas de geometría analítica, el área de un paralelogramo a menudo se encuentra mediante el concepto de producto vectorial:

Obtengamos la segunda fórmula importante. La diagonal de un paralelogramo (línea de puntos roja) lo divide en dos triángulos iguales. Por lo tanto, el área de un triángulo construido sobre vectores (sombreado en rojo) se puede encontrar usando la fórmula:

4) Un hecho igualmente importante es que el vector es ortogonal a los vectores, es decir . Por supuesto, el vector dirigido en sentido opuesto (flecha de frambuesa) también es ortogonal a los vectores originales.

5) El vector se dirige de modo que base Tiene bien orientación. En la lección sobre transición a una nueva base Hablé con suficiente detalle sobre orientación plana, y ahora descubriremos qué es la orientación espacial. te lo explicaré en tus dedos mano derecha. combinar mentalmente dedo índice con vectores y dedo medio con vectores. Dedo anular y meñique presiónelo en su palma. Como resultado pulgar– el producto vectorial buscará hacia arriba. Ésta es una base orientada a la derecha (es ésta en la figura). Ahora cambia los vectores ( dedos índice y medio) en algunos lugares, como resultado el pulgar se girará y el producto vectorial ya mirará hacia abajo. Esta es también una base orientada hacia los derechos. Quizás tengas una pregunta: ¿qué base ha dejado la orientación? “Asignar” a los mismos dedos mano izquierda vectores, y obtener la base izquierda y la orientación izquierda del espacio (en este caso, el pulgar estará ubicado en la dirección del vector inferior). En sentido figurado, estas bases “tuercen” u orientan el espacio en diferentes direcciones. Y este concepto no debe considerarse algo inverosímil o abstracto; por ejemplo, el espejo más común cambia la orientación del espacio, y si "saca el objeto reflejado del espejo", entonces, en el caso general, No será posible combinarlo con el “original”. Por cierto, acerca tres dedos al espejo y analiza el reflejo ;-)

...qué bueno que ahora sepas orientado a la derecha y a la izquierda bases, porque las declaraciones de algunos profesores sobre un cambio de orientación dan miedo =)

Producto cruzado de vectores colineales

La definición se ha discutido en detalle, queda por descubrir qué sucede cuando los vectores son colineales. Si los vectores son colineales, entonces se pueden colocar en una línea recta y nuestro paralelogramo también se "dobla" en una línea recta. El área de tal, como dicen los matemáticos, degenerar paralelogramo es igual a cero. Lo mismo se desprende de la fórmula: el seno de cero o 180 grados es igual a cero, lo que significa que el área es cero

Así, si , entonces Y . Tenga en cuenta que el producto vectorial en sí es igual al vector cero, pero en la práctica esto a menudo se descuida y se escribe que también es igual a cero.

Un caso especial es el producto cruzado de un vector consigo mismo:

Utilizando el producto vectorial se puede comprobar la colinealidad de vectores tridimensionales, y también analizaremos este problema, entre otros.

Para resolver ejemplos prácticos es posible que necesites tabla trigonométrica para encontrar los valores de los senos a partir de él.

Bueno, encendamos el fuego:

Ejemplo 1

a) Encuentre la longitud del producto vectorial de vectores si

b) Encuentra el área de un paralelogramo construido sobre vectores si

Solución: No, esto no es un error tipográfico, deliberadamente hice los mismos datos iniciales en las cláusulas. ¡Porque el diseño de las soluciones será diferente!

a) Según la condición, necesitas encontrar longitud vector (producto cruzado). Según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

Si le preguntaron sobre la longitud, en la respuesta indicamos la dimensión: unidades.

b) Según la condición, es necesario encontrar cuadrado paralelogramo construido sobre vectores. El área de este paralelogramo es numéricamente igual a la longitud del producto vectorial:

Respuesta:

Tenga en cuenta que la respuesta no habla en absoluto del producto vectorial; nos preguntaron sobre área de la figura, en consecuencia, la dimensión son unidades cuadradas.

Siempre miramos QUÉ necesitamos encontrar según la condición y, en base a esto, formulamos claro respuesta. Puede parecer literalismo, pero hay muchos literalistas entre los profesores y la tarea tiene muchas posibilidades de ser devuelta para revisión. Aunque no se trata de una objeción especialmente descabellada, si la respuesta es incorrecta, da la impresión de que la persona no comprende cosas simples y/o no ha comprendido la esencia de la tarea. Este punto siempre debe mantenerse bajo control al resolver cualquier problema en matemáticas superiores, y también en otras materias.

¿A dónde se fue la letra grande “en”? En principio, se podría haber adjuntado adicionalmente a la solución, pero para acortar la entrada no lo hice. Espero que todos entiendan eso y es una designación para lo mismo.

Un ejemplo popular de solución de bricolaje:

Ejemplo 2

Encuentra el área de un triángulo construido sobre vectores si

La fórmula para encontrar el área de un triángulo a través del producto vectorial se da en los comentarios a la definición. La solución y la respuesta están al final de la lección.

En la práctica, la tarea es realmente muy común; los triángulos generalmente pueden atormentarte.

Para resolver otros problemas necesitaremos:

Propiedades del producto vectorial de vectores.

Ya hemos considerado algunas propiedades del producto vectorial, sin embargo, las incluiré en esta lista.

Para vectores arbitrarios y un número arbitrario, las siguientes propiedades son verdaderas:

1) En otras fuentes de información, este elemento no suele destacarse en las propiedades, pero es muy importante en términos prácticos. Pues dejalo ser.

2) – la propiedad también se analiza anteriormente, a veces se la llama anticonmutatividad. En otras palabras, el orden de los vectores importa.

3) – asociativo o de asociación leyes de productos vectoriales. Las constantes se pueden mover fácilmente fuera del producto vectorial. Realmente, ¿qué deberían hacer allí?

4) – distribución o distributivo leyes de productos vectoriales. Tampoco hay problemas para abrir los soportes.

Para demostrarlo, veamos un breve ejemplo:

Ejemplo 3

encontrar si

Solución: La condición nuevamente requiere encontrar la longitud del producto vectorial. Pintemos nuestra miniatura:

(1) Según leyes asociativas, sacamos las constantes del alcance del producto vectorial.

(2) Sacamos la constante fuera del módulo y el módulo "se come" el signo menos. La longitud no puede ser negativa.

(3) El resto está claro.

Respuesta:

Es hora de echar más leña al fuego:

Ejemplo 4

Calcula el área de un triángulo construido sobre vectores si

Solución: Encuentra el área del triángulo usando la fórmula . El problema es que los vectores “tse” y “de” se presentan como sumas de vectores. El algoritmo aquí es estándar y recuerda algo a los ejemplos 3 y 4 de la lección. Producto escalar de vectores. Para mayor claridad, dividiremos la solución en tres etapas:

1) En el primer paso, expresamos el producto vectorial a través del producto vectorial, de hecho, expresemos un vector en términos de un vector. ¡Aún no se sabe nada sobre las longitudes!

(1) Sustituir las expresiones de los vectores.

(2) Utilizando leyes distributivas, abrimos los corchetes según la regla de multiplicación de polinomios.

(3) Usando leyes asociativas, movemos todas las constantes más allá de los productos vectoriales. Con un poco de experiencia, los pasos 2 y 3 se pueden realizar simultáneamente.

(4) El primer y último término son iguales a cero (vector cero) debido a la propiedad nice. En el segundo término utilizamos la propiedad de anticonmutatividad de un producto vectorial:

(5) Presentamos términos similares.

Como resultado, el vector resultó expresarse a través de un vector, que es lo que se necesitaba lograr:

2) En el segundo paso, encontramos la longitud del producto vectorial que necesitamos. Esta acción es similar al Ejemplo 3:

3) Encuentra el área del triángulo requerido:

Las etapas 2 y 3 de la solución podrían haberse escrito en una línea.

Respuesta:

El problema considerado es bastante común en las pruebas, aquí hay un ejemplo para resolverlo usted mismo:

Ejemplo 5

encontrar si

Una breve solución y respuesta al final de la lección. A ver qué tan atento estuviste al estudiar los ejemplos anteriores ;-)

Producto cruzado de vectores en coordenadas.

La fórmula es realmente sencilla: en la línea superior del determinante escribimos los vectores de coordenadas, en la segunda y tercera línea “ponemos” las coordenadas de los vectores, y ponemos en estricto orden– primero las coordenadas del vector “ve”, luego las coordenadas del vector “doble-ve”. Si es necesario multiplicar los vectores en un orden diferente, entonces se deben intercambiar las filas:

Ejemplo 10

Compruebe si los siguientes vectores espaciales son colineales:
A)
b)

Solución: La verificación se basa en una de las afirmaciones de esta lección: si los vectores son colineales, entonces su producto vectorial es igual a cero (vector cero): .

a) Encuentre el producto vectorial:

Por tanto, los vectores no son colineales.

b) Encuentra el producto vectorial:

Respuesta: a) no colineal, b)

Aquí, quizás, esté toda la información básica sobre el producto vectorial de vectores.

Esta sección no será muy extensa, ya que hay pocos problemas en los que se utiliza el producto mixto de vectores. De hecho, todo dependerá de la definición, el significado geométrico y un par de fórmulas de trabajo.

Un producto mixto de vectores es el producto de tres vectores.:

Así que se alinearon como un tren y no pueden esperar a ser identificados.

Primero, de nuevo, una definición y una imagen:

Definición: Trabajo mixto no coplanar vectores, tomado en este orden, llamado volumen paralelepípedo, construido sobre estos vectores, equipado con un signo "+" si la base está a la derecha y un signo "-" si la base está a la izquierda.

Hagamos el dibujo. Las líneas invisibles para nosotros se dibujan con líneas de puntos:

Profundicemos en la definición:

2) Se toman vectores en un cierto orden, es decir, la reordenación de vectores en el producto, como se puede adivinar, no ocurre sin consecuencias.

3) Antes de comentar el significado geométrico, señalaré un hecho obvio: el producto mixto de vectores es un NÚMERO: . En la literatura educativa, el diseño puede ser ligeramente diferente, estoy acostumbrado a denotar un producto mixto con , y el resultado de los cálculos con la letra "pe".

priorato el producto mezclado es el volumen del paralelepípedo, construido sobre vectores (la figura está dibujada con vectores rojos y líneas negras). Es decir, el número es igual al volumen de un paralelepípedo determinado.

Nota : El dibujo es esquemático.

4) No nos preocupemos más por el concepto de orientación de la base y el espacio. El significado de la parte final es que se puede agregar un signo menos al volumen. En palabras simples, un producto mixto puede ser negativo: .

Directamente de la definición se desprende la fórmula para calcular el volumen de un paralelepípedo construido sobre vectores.

Antes de dar el concepto de producto vectorial, pasemos a la cuestión de la orientación de un triple ordenado de vectores a →, b →, c → en el espacio tridimensional.

Para empezar, apartemos los vectores a → , b → , c → de un punto. La orientación de la tripleta a → , b → , c → puede ser derecha o izquierda, dependiendo de la dirección del propio vector c →. El tipo de triple a → , b → , c → se determinará a partir de la dirección en la que se realiza el giro más corto desde el vector a → hasta b → desde el final del vector c → .

Si el giro más corto se realiza en sentido antihorario, entonces el triple de los vectores a → , b → , c → se llama bien, si en el sentido de las agujas del reloj – izquierda.

A continuación, tome dos vectores no colineales a → y b →. Tracemos entonces los vectores A B → = a → y A C → = b → desde el punto A. Construyamos un vector A D → = c →, que es simultáneamente perpendicular a A B → y A C →. Así, al construir el propio vector A D → = c →, podemos hacer dos cosas, dándole una dirección o la opuesta (ver ilustración).

Un triple ordenado de vectores a → , b → , c → puede ser, como descubrimos, hacia la derecha o hacia la izquierda dependiendo de la dirección del vector.

De lo anterior podemos introducir la definición de producto vectorial. Esta definición se da para dos vectores definidos en un sistema de coordenadas rectangular de un espacio tridimensional.

Definición 1

El producto vectorial de dos vectores a → y b → Llamaremos a dicho vector definido en un sistema de coordenadas rectangular de espacio tridimensional tal que:

• si los vectores a → y b → son colineales, será cero;
• será perpendicular tanto al vector a → ​​​​ como al vector b → es decir ∠ una → c → = ∠ segundo → c → = π 2 ;
• su longitud está determinada por la fórmula: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• el triple de vectores a → , b → , c → tiene la misma orientación que el sistema de coordenadas dado.

El producto vectorial de los vectores a → y b → tiene la siguiente notación: a → × b →.

Coordenadas del producto vectorial.

Dado que cualquier vector tiene ciertas coordenadas en el sistema de coordenadas, podemos introducir una segunda definición de producto vectorial, que nos permitirá encontrar sus coordenadas usando las coordenadas dadas de los vectores.

Definición 2

En un sistema de coordenadas rectangular del espacio tridimensional. producto vectorial de dos vectores a → = (a x ; a y ; a z) y b → = (b x ; b y ; b z) se llama vector c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , donde i → , j → , k → son vectores de coordenadas.

El producto vectorial se puede representar como el determinante de una matriz cuadrada de tercer orden, donde la primera fila contiene los vectores vectoriales i → , j → , k → , la segunda fila contiene las coordenadas del vector a → y la tercera fila contiene las coordenadas del vector b → en un sistema de coordenadas rectangular dado, este es el determinante de la matriz que se ve así: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Ampliando este determinante a los elementos de la primera fila, obtenemos la igualdad: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Propiedades de un producto cruzado

Se sabe que el producto vectorial en coordenadas se representa como el determinante de la matriz c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , luego sobre la base propiedades del determinante de la matriz se muestran los siguientes propiedades de un producto vectorial:

1. anticonmutatividad a → × b → = - b → × a → ;
2. distributividad a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → o a → × b (1) → + b (2) → = a → × segundo (1) → + a → × segundo (2) → ;
3. asociatividad λ a → × b → = λ a → × b → o a → × (λ b →) = λ a → × b →, donde λ es un número real arbitrario.

Estas propiedades tienen pruebas simples.

Como ejemplo, podemos demostrar la propiedad anticonmutativa de un producto vectorial.

Prueba de anticonmutatividad

Por definición, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z y b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Y si las dos líneas de la matriz se reorganizan en lugares, entonces el valor del determinante de la matriz debería cambiar al opuesto, por lo tanto, a → → × b → J → K → K → A X A Y A Z B X B Y B Z = - I → K → B Y B Yb Z A X A Y A Z = - B → × A →, lo cual y demuestra que el producto vectorial es anticonmutativo.

Producto vectorial: ejemplos y soluciones

En la mayoría de los casos, existen tres tipos de problemas.

En los problemas del primer tipo, generalmente se dan las longitudes de dos vectores y el ángulo entre ellos, y es necesario encontrar la longitud del producto vectorial. En este caso, utilice la siguiente fórmula c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Ejemplo 1

Encuentra la longitud del producto vectorial de los vectores a → y b → si sabes a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Solución

Determinando la longitud del producto vectorial de los vectores a → y b →, resolvemos este problema: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Respuesta: 15 2 2 .

Los problemas del segundo tipo tienen relación con las coordenadas de los vectores, en ellos el producto vectorial, su longitud, etc. se buscan a través de las coordenadas conocidas de vectores dados a → = (a x; a y; a z) Y segundo → = (segundo x; segundo y; segundo z) .

Para este tipo de problema, puedes resolver muchas opciones de tareas. Por ejemplo, no se pueden especificar las coordenadas de los vectores a → y b →, sino sus expansiones en vectores de coordenadas de la forma b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → y c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, o los vectores a → y b → se pueden especificar por las coordenadas de su inicio y puntos finales.

Considere los siguientes ejemplos.

Ejemplo 2

En un sistema de coordenadas rectangular, se dan dos vectores: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Encuentra su producto cruzado.

Solución

Según la segunda definición, encontramos el producto vectorial de dos vectores en coordenadas dadas: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Si escribimos el producto vectorial a través del determinante de la matriz, entonces la solución de este ejemplo se ve así: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 yo → - 2 j → - 2 k → .

Respuesta: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Ejemplo 3

Encuentre la longitud del producto vectorial de los vectores i → - j → e i → + j → + k →, donde i →, j →, k → son los vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesiano rectangular.

Solución

Primero, encontremos las coordenadas de un producto vectorial dado i → - j → × i → + j → + k → en un sistema de coordenadas rectangular dado.

Se sabe que los vectores i → - j → e i → + j → + k → tienen coordenadas (1; - 1; 0) y (1; 1; 1), respectivamente. Encontremos la longitud del producto vectorial usando el determinante de la matriz, entonces tenemos i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Por lo tanto, el producto vectorial i → - j → × i → + j → + k → tiene coordenadas (- 1 ; - 1 ; 2) en el sistema de coordenadas dado.

Encontramos la longitud del producto vectorial usando la fórmula (consulte la sección sobre cómo encontrar la longitud de un vector): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Respuesta: yo → - j → × yo → + j → + k → = 6 . .

Ejemplo 4

En un sistema de coordenadas cartesiano rectangular, se dan las coordenadas de tres puntos A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Encuentre algún vector perpendicular a A B → y A C → al mismo tiempo.

Solución

Los vectores A B → y A C → tienen las siguientes coordenadas (- 1 ; 2 ; 2) y (0 ; 4 ; 1) respectivamente. Habiendo encontrado el producto vectorial de los vectores A B → y A C →, es obvio que es un vector perpendicular por definición tanto a A B → como a A C →, es decir, es una solución a nuestro problema. Encontrémoslo A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Respuesta: - 6 yo → + j → - 4 k → . - uno de los vectores perpendiculares.

Los problemas del tercer tipo se centran en el uso de las propiedades del producto vectorial de vectores. Luego de aplicarlo, obtendremos una solución al problema planteado.

Ejemplo 5

Los vectores a → y b → son perpendiculares y sus longitudes son 3 y 4, respectivamente. Encuentre la longitud del producto vectorial 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Solución

Por la propiedad distributiva de un producto vectorial, podemos escribir 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Por la propiedad de asociatividad, sacamos los coeficientes numéricos del signo de los productos vectoriales en la última expresión: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Los productos vectoriales a → × a → y b → × b → son iguales a 0, ya que a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 y b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, entonces 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

De la anticonmutatividad del producto vectorial se deduce - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × segundo → . .

Usando las propiedades del producto vectorial, obtenemos la igualdad 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Por condición, los vectores a → y b → son perpendiculares, es decir, el ángulo entre ellos es igual a π 2. Ahora solo queda sustituir los valores encontrados en las fórmulas apropiadas: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · pecado (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · pecado π 2 = 60 .

Respuesta: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

La longitud del producto vectorial de vectores por definición es igual a a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Como ya se sabe (del curso escolar) que el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de las longitudes de sus dos lados multiplicado por el seno del ángulo entre estos lados. En consecuencia, la longitud del producto vectorial es igual al área del paralelogramo, un triángulo duplicado, es decir, el producto de los lados en forma de los vectores a → y b →, establecidos desde un punto, por el seno de el ángulo entre ellos sen ∠ a →, b →.

Este es el significado geométrico de un producto vectorial.

Significado físico del producto vectorial.

En la mecánica, una de las ramas de la física, gracias al producto vectorial se puede determinar el momento de una fuerza con respecto a un punto del espacio.

Definición 3

Por el momento de la fuerza F → aplicada al punto B, con respecto al punto A, entenderemos el siguiente producto vectorial A B → × F →.

Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter

Ángulo entre vectores

Para que podamos introducir el concepto de producto vectorial de dos vectores, primero debemos entender un concepto como el ángulo entre estos vectores.

Se nos dan dos vectores $\overline(α)$ y $\overline(β)$. Tomemos algún punto $O$ en el espacio y tracemos los vectores $\overline(α)=\overline(OA)$ y $\overline(β)=\overline(OB)$ a partir de él, luego el ángulo $AOB$ se llamará ángulo entre estos vectores (Fig. 1).

Notación: $∠(\overline(α),\overline(β))$

El concepto de producto vectorial de vectores y la fórmula para encontrar.

Definición 1

El producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a ambos vectores dados, y su longitud será igual al producto de las longitudes de estos vectores por el seno del ángulo entre estos vectores, y además este vector con dos iniciales tiene el misma orientación que el sistema de coordenadas cartesiano.

Notación: $\overline(α)х\overline(β)$.

Matemáticamente se ve así:

1. $|\overline(α)х\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)х\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)х\overline(β)⊥\overline(β)$
3. $(\overline(α)х\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ y $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ son la misma orientación (Fig.2)

Obviamente, el producto exterior de los vectores será igual al vector cero en dos casos:

1. Si la longitud de uno o ambos vectores es cero.
2. Si el ángulo entre estos vectores es igual a $180^\circ$ o $0^\circ$ (ya que en este caso el seno es cero).

Para ver claramente cómo se encuentra el producto vectorial de vectores, considere los siguientes ejemplos de soluciones.

Ejemplo 1

Encuentra la longitud del vector $\overline(δ)$, que será el resultado del producto vectorial de vectores, con coordenadas $\overline(α)=(0,4,0)$ y $\overline(β) =(3,0,0 )$.

Solución.

Representemos estos vectores en el espacio de coordenadas cartesiano (Fig.3):

Figura 3. Vectores en el espacio de coordenadas cartesiano. Author24 - intercambio en línea de trabajos de estudiantes

Vemos que estos vectores se encuentran en los ejes $Ox$ y $Oy$, respectivamente. Por lo tanto, el ángulo entre ellos será $90^\circ$. Encontremos las longitudes de estos vectores:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Luego, por la Definición 1, obtenemos el módulo $|\overline(δ)|$

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Respuesta: $12$.

Calcular el producto cruzado a partir de coordenadas vectoriales

La definición 1 implica inmediatamente un método para encontrar el producto vectorial de dos vectores. Dado que un vector, además de su valor, también tiene dirección, es imposible encontrarlo utilizando únicamente una cantidad escalar. Pero además de esto, también hay una manera de encontrar los vectores que nos dan usando las coordenadas.

Se nos darán los vectores $\overline(α)$ y $\overline(β)$, que tendrán coordenadas $(α_1,α_2,α_3)$ y $(β_1,β_2,β_3)$, respectivamente. Entonces el vector del producto vectorial (es decir, sus coordenadas) se puede encontrar usando la siguiente fórmula:

$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

En caso contrario, ampliando el determinante, obtenemos las siguientes coordenadas

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Ejemplo 2

Encuentre el vector del producto vectorial de vectores colineales $\overline(α)$ y $\overline(β)$ con coordenadas $(0,3,3)$ y $(-1,2,6)$.

Solución.

Usemos la fórmula dada anteriormente. Obtenemos

$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k )=(12,-3,3)$

Respuesta: $(12,-3,3)$.

Propiedades del producto vectorial de vectores.

Para tres vectores mixtos arbitrarios $\overline(α)$, $\overline(β)$ y $\overline(γ)$, así como $r∈R$, se cumplen las siguientes propiedades:

Ejemplo 3

Encuentra el área de un paralelogramo cuyos vértices tienen coordenadas $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ y $(3,8,0) ps

Solución.

Primero, representemos este paralelogramo en el espacio de coordenadas (Fig.5):

Figura 5. Paralelogramo en el espacio de coordenadas. Author24 - intercambio en línea de trabajos de estudiantes

Vemos que los dos lados de este paralelogramo se construyen usando vectores colineales con coordenadas $\overline(α)=(3,0,0)$ y $\overline(β)=(0,8,0)$. Usando la cuarta propiedad, obtenemos:

$S=|\overline(α)х\overline(β)|$

Encontremos el vector $\overline(α)х\overline(β)$:

$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

Por eso

$S=|\overline(α)х\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$

Definición. El producto vectorial del vector a (multiplicando) y un vector no colineal (multiplicando) es el tercer vector c (producto), que se construye de la siguiente manera:

1) su módulo es numéricamente igual al área del paralelogramo de la Fig. 155), construido sobre vectores, es decir, es igual a la dirección perpendicular al plano del mencionado paralelogramo;

3) en este caso, se elige la dirección del vector c (entre dos posibles) de modo que los vectores c formen un sistema diestro (§ 110).

Designación: o

Adición a la definición. Si los vectores son colineales, entonces considerando que la figura es (condicionalmente) un paralelogramo, es natural asignarle un área cero. Por tanto, el producto vectorial de vectores colineales se considera igual al vector nulo.

Dado que al vector nulo se le puede asignar cualquier dirección, este acuerdo no contradice los párrafos 2 y 3 de la definición.

Observación 1. En el término “producto vectorial”, la primera palabra indica que el resultado de la acción es un vector (a diferencia de un producto escalar; cf. § 104, observación 1).

Ejemplo 1. Encuentre el producto vectorial donde están los vectores principales del sistema de coordenadas correcto (Fig. 156).

1. Dado que las longitudes de los vectores principales son iguales a una unidad de escala, el área del paralelogramo (cuadrado) es numéricamente igual a uno. Esto significa que el módulo del producto vectorial es igual a uno.

2. Dado que la perpendicular al plano es un eje, el producto vectorial deseado es un vector colineal al vector k; y dado que ambos tienen módulo 1, el producto vectorial deseado es igual a k o -k.

3. De estos dos vectores posibles se debe elegir el primero, ya que los vectores k forman un sistema diestro (y los vectores zurdos).

Ejemplo 2. Encuentra el producto cruzado

Solución. Como en el ejemplo 1, concluimos que el vector es igual a k o -k. Pero ahora necesitamos elegir -k, ya que los vectores forman un sistema diestro (y los vectores forman uno zurdo). Entonces,

Ejemplo 3. Los vectores tienen longitudes iguales a 80 y 50 cm, respectivamente, y forman un ángulo de 30°. Tomando el metro como unidad de longitud, encuentre la longitud del producto vectorial a

Solución. El área de un paralelogramo construido sobre vectores es igual a La longitud del producto vectorial deseado es igual a

Ejemplo 4. Encuentre la longitud del producto vectorial de los mismos vectores, tomando centímetros como unidad de longitud.

Solución. Dado que el área de un paralelogramo construido sobre vectores es igual, la longitud del producto vectorial es igual a 2000 cm, es decir

De una comparación de los ejemplos 3 y 4 queda claro que la longitud del vector depende no sólo de las longitudes de los factores sino también de la elección de la unidad de longitud.

Significado físico de un producto vectorial. De las numerosas cantidades físicas representadas por el producto vectorial, consideraremos sólo el momento de fuerza.

Sea A el punto de aplicación de la fuerza. El momento de la fuerza con respecto al punto O se llama producto vectorial. Dado que el módulo de este producto vectorial es numéricamente igual al área del paralelogramo (Fig. 157), entonces el El módulo del momento es igual al producto de la base por la altura, es decir, la fuerza multiplicada por la distancia desde el punto O a la recta a lo largo de la cual actúa la fuerza.

En mecánica está demostrado que para que un cuerpo rígido esté en equilibrio es necesario que no solo la suma de los vectores que representan las fuerzas aplicadas al cuerpo sea igual a cero, sino también la suma de los momentos de las fuerzas. En el caso de que todas las fuerzas sean paralelas a un plano, la suma de vectores que representan momentos se puede reemplazar por la suma y resta de sus magnitudes. Pero con direcciones arbitrarias de fuerzas, tal reemplazo es imposible. De acuerdo con esto, el producto vectorial se define precisamente como un vector y no como un número.