Мастер-класс новогодней поделки из бумаги «Новогодние шары»

Новогодние украшения интерьера и ёлки из бумаги

Приятные новогодние хлопоты – это одна из самых замечательных составляющих зимнего праздника. Среди этих хлопот обязательно присутствует украшение дома и новогодней елки. Игрушки, гирлянды и прочие украшения можно купить в магазине. Ну, а если есть желание и небольшое количество времени, то можно взяться за самостоятельное изготовление оригинальных и удивительных украшений. Например, сделать из цветной бумаги елочные шары.
Такой разноцветный объемный шар украсит не только елку, но и стены, двери и окна.
Новый год - пора игры,
Здесь простор воображенью.
Что за чудо-украшенье
Новогодние шары!
Скажете, шары - привычный,
Вечный елочный наряд?
Это так, но на обычный,
Не совсем глубокий взгляд.
А фантазией заветной
Взгляд вы поменяйте свой:
Это ж - малые планеты
Из галактики иной
Здесь случайно оказались .
Для работы необходимо приготовить :
Картон цветной, старые открытки, ножницы, карандаш, клей, трафарет круга и треугольника.

Пошаговый процесс выполнения работы:

1. Из цветной бумаги при помощи трафарета вырезаем 8 кругов. И еще нужно вырезать два круга меньшего размера.

Вот такие шары из бумаги можно сделать на елку своими руками.

Статья о том, что такое геодезический купол простыми словами

В этой статье мы постараемся описать что такое простыми словами. По сути – геодезический купол – это сетка, построенная из множества “граней” (многогранников), максимально близкая к форме сферы.

Если приглядеться, то именно треугольники стали основой сетки, а не ромбы, квадраты или шестигранники. Треугольник был выбран как самая стабильная и прочная геометрическая структура из всех известных. И поэтому, структура из треугольников (в нашем случае геокупол), очень прочная и обладает самонесущими способностями. Она “держит” сама себя, являясь целостной структурой. Чем больше граней мы используем для построения, тем прочнее наша сетка, и более сглажена форма.

Рассмотрев геодезический купол внимательно, становится заметно, что структура построения геодезической сетки не является хаотичной, а представляет собой строгую математическую модель. Эта модель берет свое начало из геометрии Платоновых тел, правильных многогранников, открытых учеными еще в далеком прошлом.

В основе построения геодезического купола лежат Платоновы Тела, всего которых насчитывается пять, но мы рассмотрим детально только Икосаэдр, как наиболее распространенный вариант. Икосаэдр – это правильный многогранник, состоящий из 30 одинаковых ребер, которые создают 20 равносторонних треугольников.

Итак, рассмотрим построение геодезического купола поэтапно:

1. Для начала мы строим сферу с заданным радиусом

3. Т.к. все треугольники в икосаэдре равны, мы выбираем любой из них и разбиваем его на более мелкие равносторонние треугольники. В нашем случае разбивка происходит в пятой частоте (об этом пойдет речь позже). Выбранный изначальный треугольник икосаэдра делиться на 5 “рядов” более мелких треугольников. Так получается наша “плоская” разбивка сетки.

4. На этом этапе мы строим отрезки исходящие из центра сферы. Эти отрезки должны проходить через точки соединения получившейся сетки и заканчиваться на поверхности сферы.

5. Далее мы соединяем все вершины отрезков, лежащие теперь на поверхности сферы. У нас получилась структура из треугольников, вершины которых лежат на поверхности сферы, практически повторяя ее форму. Т.к. все изначальные треугольники икосаэдра одинаковые, то мы можем смело копировать нашу получившуюся сетку, получая желаемый геодезический купол или сферу.

Частота триангуляции геодезического купола

Понятие “частота” или “частота триангуляции” часто встречается в расчетах геокупола. Она подразумевает плотность разбивки купола на треугольники. Т.е. один и тот же купол можно “описать” разным количеством треугольников. К примеру, для менее плотной разбивки потребуется меньше треугольников, но с большей длиной ребра и форма будет более угловатой. Для более плотной разбивки потребуется большее количество треугольников с меньшей длиной ребра, но форма получится боле ровной и близкой к сферической.

В мире используется стандартное обозначение частоты латинской буковкой “V”. Ниже приведены примеры триангуляции до пятого значения. Как Вы заметите, число значения частоты равняется количеству “рядов”, на которые делиться один из треугольников икосаэдра.

Какую частоту выбрать Вам для своего геодезического купола – решать Вам. Этот параметр зависит от многих параметров: размеров купола, несущих и прочих характеристик материалов, длины ребер, экономичности и эстетики.

Сечение сферы

Следующий параметр, который следует знать всем при расчете геодезического купола – это значение сечения сферы. Если мы рассмотрим сферу как целое, мы можем поделить ее на различное количество частей. Т.к. геодезическая “разбивка” состоит из “рядов”, то разбить купола удобнее всего по этим рядам. У куполов с разной частотой “V” – разное количество “рядов”, поэтому сечение для них всегда индивидуальное. Ниже приведены некоторые примеры сечения куполов разной частоты.

Вы можете посмотреть и изучить способы построения геодезических куполов, основанных на других платоновых телах (октаэдр, куб и т.д.) по этой ссылке

Надеемся, что статья оказалась для Вас полезной! Желаем Вам приятного Творчества!

Для представления в компьютере информации об образе на гауссовой сфере имеет смысл разбить ее поверхность на ячейки.

При этом с каждой ячейкой связывается площадь той части исходной поверхности, которая ориентирована внутри конуса направлений, определяемых ячейкой разбиения. Такая дискретная аппроксимация расширенного сферического образа называется гистограммой ориентации. В идеале ячейки должны удовлетворять следующим требованиям:

Иметь одну и ту же площадь;

Быть одинаковой формы;

Быть регулярно расположенными;

Обладать округлой формой;

Разбиение должно обеспечивать достаточно хорошее угловое разрешение;

Должны существовать повороты, которые переводят разбиение само в себя.

Вытянутые ячейки необходимо исключить, поскольку им будет соответствовать информация об участках поверхности, ориентация на которых изменяется сильнее, чем в случае более округлых ячеек той же площади. В то же время если ячейки будут располагаться регулярно, то их расположение по отношению к соседям будет одинаковым для всех ячеек, и такие конфигурации весьма желательны. К сожалению, удовлетворить всем перечисленным требованиям одновременно невозможно.

Одно из возможных разбиений образуется широтными поясами, каждый из которых затем подразделяется меридиональными полосами (рис. 16.13). Получающиеся в результате ячейки можно сделать почти равными по площади, если число таких полос на больших широтах будет уменьшаться. Одно из преимуществ такой схемы - простота нахождения ячейки, к которой необходимо приписать определенную нормаль к поверхности. Все же подобный способ слишком далек от того, чтобы удовлетворять перечисленным выше требованиям. Например, не существует поворотов, с помощью которых построенное разбиение сферы переводится само в себя (кроме вращений относительно оси, соединяющей полюса).

Более подходящие разбиения можно получить путем проекции на единичную сферу правильных многогранников, центры которых совпадают с центром сферы. Грани правильного многогранника являются правильными многоугольниками (причем все они одинаковы). Следовательно, разбиение, полученное проекцией правильного многогранника, обладает тем свойством, что все ячейки обладают одной и той же формой и площадью. Кроме того, геометрическое расположение всех ячеек по отношению к соседям одинаково. К сожалению,

Рис. 16.13. Разбиение сферы на элементы меридианами и параллелями. К сожалению, такое разбиение обладает лишь немногими свойствами, требуемыми для хранения гистограммы ориентации.

Рис. 16.14. (см. скан) Проектирование додекаэдра и икосаэдра на единичную сферу для получения разбиения на и ячеек.

известно лишь пять правильных тел, из которых и приходится выбирать (тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр). Для додекаэдра ячейки достаточно округлы (рис. 16.14, а). Додекаэдр, однако, обладает всего двенадцатью гранями. Даже икосаэдр дает весьма грубое представление ориентации (рис. 16.14, б). К тому же двадцать его ячеек не слишком округлы.

Мы можем пойти дальше и рассмотреть полуправильные многогранники. Их грани также правильные многоугольники, но при этом необязательно одинаковые. Не равны и площади всех граней. В некоторых случаях удается построить новый многогранник, имеющий ту же топологию связей между гранями, что и исходный полуправильный многогранник, но площади граней которого равны между собой. При этом

Рис. 16.15. а - усеченный икосаэдр, представляющий собой полуправильный многогранник с 32 гранями; б - пента до декаэдр, состоящий из 60 треугольных граней. Более мелкие разбиеиия поверхности единичной сферы могут основываться на таких полуправильных многа-гранниках.

Рис. 16.16. Возможность построения геодезических сетей, основанных на любой из проекций правильных или полуправильных многогранников.

Каждая грань подразделяется на треугольные ячейки. Приведенная здесь сеть базируется на икосаэдре и имеет 12 вершин, к которым примыкают 5 ячеек. В остальных вершинах сходятся шесть ячеек.

форма некоторых граней уже перестает быть правильной. Пример разбиения, основанного на полуправильном многограннике, дает футбольный мяч (рис. 16.15, а). В качестве исходного здесь взят усеченный икосаэдр, т. е. тело, имеющее 12 пятиугольных и 20 шестиугольных граней. К сожалению, существует лишь 13 полуправильных многогранников (пять усеченных правильных многогранников, кубооктаэдр, икосододекаэдр, плосконосый куб, плосконосый икосододекаэдр, усеченный кубооктаэдр, ромбоокубоктаэдр, усеченный икосододекаэдр и ромбоикосододекаэдр). Они не приводят к достаточно мелким для наших целей разбиениям.

Если нам все же желательно получить более мелкое разбиение, то мы можем попытаться разложить уже имеющееся на треугольные элементы. Например, если разбить каждую из пятиугольных граней додекаэдра на пять равных треугольников, то получим пентадодекаэдр с 60 гранями (рис. 16.15, б). Ом является двойственным по отношению к усеченному икосаэдру.

Действуя в том же направлении, можно подразделить каждый из полученных треугольников на четыре меньших треугольника в полном соответствии с хорошо известными в геодезии куполообразными конструкциями (рис. 16.16). Смягчением некоторых из перечисленных выше требований можно достичь высокого разрешения. На самом деле, лучше использовать двойственные конструкции, так как их грани в подавляющем большинстве являются (неправильными) шестиугольниками с рассредоточенными между ними 12 пятиугольниками (рис. 16.15, б). Этим способом можно обеспечить сколь угодно мелкие разбиения.

Чтобы использовать этот подход, необходимо уметь эффективно определять тот элемент, которому соответствует заданная нормаль к поверхности. В случае разбиений, полученных на основе правильных многогранников, легко вычислить косинусы углов между заданным единичным вектором и векторами, соответствующими центрам ячеек. (Последние соответствуют вершинам двойственного

правильного многогранника.) Затем заданный вектор приписывается той ячейке, центр которой оказывается ближе всего. В случае разбиения, подобного геодезической сети, можно действовать иерархическим методом. В основе такого разбиения лежит некоторый правильный многогранник. Ячейка с ближайшим центром находится описанным выше способом. После этого определяем, в который из треугольников, ее подразделяющих, попадает единичный вектор нормали. Этот процесс продолжается для следующих четырех треугольников, подразделяющих найденный, и т. д. На практике можно использовать методы просмотра таблиц, которые, хотя и не являются точными, зато очень быстры.

Пусть телесный угол, заполненный одной ячейкой на сфере, равняется (в случае икосаэдра ). Ожидаемое число нормалей, которые попадут внутрь такой ячейки, для выпуклого объекта составляет

Ясно, что гистограмму ориентации, т. е. дискретную аппроксимацию расширенного сферического образа, можно вычислить локально. Мы просто подсчитываем количество нормалей, принадлежащих каждой ячейке. В то же время гауссова кривизна выражается через первые и вторые частные производные функции, задающей поверхность. Практически оценки этих производных из-за наличия помех оказываются ненадежными. Поэтому то обстоятельство, что расширенный сферический образ можно вычислить без вычисления производных, является весьма важным.

История этой демки такова: однажды один мой друг сделал для своей игры генератор карт планет и захотел, чтобы созданные таким образом карты показывались в виде вращающейся сферы. Однако, при этом он не хотел использовать 3D-графику, а вместо этого сгенерировал множество кадров с этой самой сферой, повёрнутой на разные углы. Количество используемой памяти было… скажем так, избыточным, ну а скорость генерации кадров (как и качество их исполнения) сильно страдала. Чуть подумав, мне удалось помочь ему оптимизировать этот процесс, но в целом меня не покидало справедливое ощущение того, что это задача для OpenGL, а вовсе не для 2D-графики.

И вот, однажды, когда меня мучила бессонница, я решил попробовать совместить эти два подхода: нарисовать вращающуюся сферу (с натянутой на неё картой планеты) через OpenGL, но при этом оставив её плоской.

И должен сказать, что у меня это получилось. Но обо всём по порядку.

Математика процесса

Для начала определимся с собственно задачей. Для каждой точки на экране у нас имеются две экранные координаты в декартовой системе координат, и нам необходимо найти для неё сферические координаты (фактически, широту и долготу), которые по сути и являются текстурными координатами для карты планеты.

Итак. Переход от декартовой системы координат к сферической задаётся системой уравнений (взято с Википедии):

а обратный переход - такими уравнениями:

Координату Z мы легко можем получить из X и Y , зная радиус, а сам радиус мы можем принять равным единице.
В дальнейшем договоримся о том, что приведённые выше уравнения мы слегка изменим, поменяв местами понятия Y (у нас это будет экранная вертикаль) и Z (это будет глубина сцены).

Техническая часть

Реализация идеи потребует от нас применения квада (я уже писал о том, как его использовать, поэтому повторяться не буду, тем более что ниже приведена ссылка на полный исходный код проекта), а также двух текстур: собственно карты планеты (я использовал текстуру Земли размера 2048x1024) и карты текстурных координат. Код генерации второй текстуры аккуратно повторяет математику преобразования из декартовых координат в сферические:

Int texSize = 1024; double r = texSize * 0.5; int pixels = new int; for (int row = 0, idx = 0; row < texSize; row++) { double y = (r - row) / r; double sin_theta = Math.sqrt(1 - y*y); double theta = Math.acos(y); long v = Math.round(255 * theta / Math.PI); for (int col = 0; col < texSize; col++) { double x = (r - col) / r; long u = 0, a = 0; if (x >= -sin_theta && x <= sin_theta) { double z = Math.sqrt(1 - y*y - x*x); double phi = Math.atan2(z, x); u = Math.round(255 * phi / (2 * Math.PI)); a = Math.round(255 * z); } pixels = (int) ((a << 24) + (v << 8) + u); } } GLES20.glGenTextures(1, genbuf, 0); offsetTex = genbuf; if (offsetTex != 0) { GLES20.glBindTexture(GLES20.GL_TEXTURE_2D, offsetTex); GLES20.glTexParameteri(GLES20.GL_TEXTURE_2D, GLES20.GL_TEXTURE_MIN_FILTER, GLES20.GL_NEAREST); GLES20.glTexParameteri(GLES20.GL_TEXTURE_2D, GLES20.GL_TEXTURE_MAG_FILTER, GLES20.GL_NEAREST); GLES20.glTexParameteri(GLES20.GL_TEXTURE_2D, GLES20.GL_TEXTURE_WRAP_S, GLES20.GL_NONE); GLES20.glTexParameteri(GLES20.GL_TEXTURE_2D, GLES20.GL_TEXTURE_WRAP_T, GLES20.GL_NONE); GLES20.glTexImage2D(GLES20.GL_TEXTURE_2D, 0, GLES20.GL_RGBA, texSize, texSize, 0, GLES20.GL_RGBA, GLES20.GL_UNSIGNED_BYTE, IntBuffer.wrap(pixels)); }

Отметим, что координаты X и Y переводятся из диапазона в диапазон [-1..1], а текстурные координаты U и V переводятся из радианов в диапазон , после чего записываются соответственно в красную и зелёную компоненты 32-битной текстуры. Альфа-канал используется для сохранения «глубины» (координаты Z ), а синий пока остаётся незадействованным. Отключение билинейной фильтрации также не случайно: на данном этапе она не даёт какого-либо эффекта (соседние точки в любом случае имеют одни и те же значения, с довольно резкими скачками), а в том, что я собираюсь показать дальше, она и вовсе будет вредна. Но об этом ниже.

Private final String quadFS = "precision mediump float;n" + "uniform sampler2D uTexture0;n" + "uniform sampler2D uTexture1;n" + "uniform float uOffset;n" + "varying vec4 TexCoord0;n" + "void main() {n" + " vec4 vTex = texture2D(uTexture0, TexCoord0.xy);n" + " vec3 vOff = vTex.xyz * 255.0;n" + " float hiY = floor(vOff.y / 16.0);n" + " float loY = vOff.y - 16.0 * hiY;n" + " vec2 vCoord = vec2(n" + " (256.0 * loY + vOff.x) / 4095.0 + uOffset,n" + " (vOff.z * 16.0 + hiY) / 4095.0);n" + " vec3 vCol = texture2D(uTexture1, vCoord).rgb;n" + " gl_FragColor = vec4(vCol * vTex.w, (vTex.w > 0.0 ? 1.0: 0.0));n" + "}n";

Ну это же совсем другое дело! С небольшими изменениями (добавив масштабирование «щипком» и вращение пальцем) я эту программу показывал своим друзьям и колегам, и при этом спрашивал, сколько, по их мнению, в этой сцене треугольников. Результаты варьировались, да и сам вопрос вызывал подозрение в наличии подвоха (в этом случае респонденты шутили «один», что было недалеко от истины), но правильный ответ стабильно удивлял. И все, как один, спрашивали: а почему сферу можно крутить вокруг одной оси, но нельзя наклонять?.. Хм.

Наклон

А дело в том, что наклон в этой схеме реализовать существенно труднее. На самом деле, задача не является неразрешимой, и я с ней даже справился, но не обошлось без нюансов.

В сущности, задача сводится к тому, чтобы взять смещённую координату V , тогда как координата U не меняется: это происходит потому, что мы добавляем вращение вокруг оси X . План такой: преобразуем текстурные координаты в экранные (в диапазоне [-1..1]), применяем к ним матрицу поворота вокруг горизонтальной оси (для этого заранее запишем в новую константу uTilt синус и косинус угла наклона), а дальше воспользуемся новой координатой Y для выборки в нашей шаблонной текстуре. «Повёрнутая» координата Z нам тоже пригодится, с её помощью мы отзеркалим долготу для обратной стороны шарика). Экранную координату Z придётся посчитать явно, чтобы не делать две текстурных выборки из одной текстуры, заодно это повысит её точность.

Private final String quadFS = "precision mediump float;n" + "uniform sampler2D uTexture0;n" + "uniform sampler2D uTexture1;n" + "uniform float uOffset;n" + "uniform vec2 uTilt;n" + "varying vec4 TexCoord0;n" + "void main() {n" + " float sx = 2.0 * TexCoord0.x - 1.0;n" + " float sy = 2.0 * TexCoord0.y - 1.0;n" + " float z2 = 1.0 - sx * sx - sy * sy;n" + " if (z2 > 0.0) {;n" + " float sz = sqrt(z2);n" + " float y = (sy * uTilt.y - sz * uTilt.x + 1.0) * 0.5;n" + " float z = (sy * uTilt.x + sz * uTilt.y);n" + " vec4 vTex = texture2D(uTexture0, vec2(TexCoord0.x, y));n" + " vec3 vOff = vTex.xyz * 255.0;n" + " float hiY = floor(vOff.y / 16.0);n" + " float loY = vOff.y - 16.0 * hiY;n" + " vec2 vCoord = vec2(n" + " (256.0 * loY + vOff.x) / 4095.0,n" + " (vOff.z * 16.0 + hiY) / 4095.0);n" + " if (z < 0.0) { vCoord.x = 1.0 - vCoord.x; }n" + " vCoord.x += uOffset;n" + " vec3 vCol = texture2D(uTexture1, vCoord).rgb;n" + " gl_FragColor = vec4(vCol * sz, 1.0);n" + " } else {n" + " gl_FragColor = vec4(0.0, 0.0, 0.0, 0.0);n" + " }n" + "}n";

Ура, наклон удался! Вот только странный шум на границе полушарий немного смущает. Увы, с этим мне пока не удалось справиться. Очевидно, проблема кроется в недостаточной точности адресации в граничных точках (точки на самой окружности соответствуют слишком большому диапазону координат, один тексель расползается на интервал довольно заметной длины), и с этим вряд ли что-то можно поделать. Что ж, зато можно приближать и скроллить шарик почти так же, как в Google Earth. С тем отличием, что здесь - всего-навсего два треугольника.

Сферическая тригонометрия

Сферические треугольники. На поверхности шара кратчайшее расстояние между двумя точками измеряется вдоль окружности большого круга, т. е. окружности, плоскость которой проходит через центр шара. Вершины сферического треугольника являются точками пересечения трех лучей, выходящих из центра шара и сферической поверхности. Сторонами a , b , c сферического треугольника называют те углы между лучами, которые меньше (если один из этих углов равен , то сферический треугольник вырождается в полуокружность большого круга). Каждой стороне треугольника соответствует дуга большого круга на поверхности шара (см. рисунок).

Углы A , B , C сферического треугольника, противолежащие сторонам a , b , c соответственно, представляют собой, по определению, меньшие, чем , углы между дугами больших кругов, соответствующими сторонам треугольника, или углы между плоскостями, определяемыми данными лучами.

Сферическая тригонометрия занимается изучением соотношений между сторонами и углами сферических треугольников (например, на поверхности Земли и на небесной сфере). Однако физики и инженеры во многих задачах предпочитают использовать преобразования вращения, а не сферическую тригонометрию.

Свойства сферических треугольников. Каждая сторона и угол сферического треугольника по определению меньше .

Геометрия на поверхности шара является неевклидовой; в каждом сферическом треугольнике сумма сторон заключена между 0 и , сумма углов заключена между и . В каждом сферическом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Сумма любых двух сторон больше третьей стороны, сумма любых двух углов меньше, чем плюс третий угол.