Línea recta en un avión: información necesaria. La posición relativa de un punto y una línea.

Línea recta en un avión: información necesaria.

En este artículo nos detendremos en detalle en uno de los conceptos principales de la geometría: el concepto de línea recta en un plano. Primero, definamos los términos y designaciones básicos. A continuación, analizaremos la posición relativa de una recta y un punto, así como de dos rectas en un plano, y presentaremos los axiomas necesarios. En conclusión, consideraremos formas de definir una línea recta en un plano y proporcionaremos ilustraciones gráficas.

Navegación de páginas.

Una línea recta en un avión es un concepto.
La posición relativa de una línea recta y un punto.
La posición relativa de las líneas en un plano.
Métodos para definir una línea recta en un plano.

Una línea recta en un avión es un concepto.

Antes de dar el concepto de línea recta en un avión, debes entender claramente qué es un avión. Concepto de avión permite conseguir, por ejemplo, una superficie plana sobre una mesa o una pared de casa. Sin embargo, hay que tener en cuenta que las dimensiones de la mesa son limitadas y el plano se extiende más allá de estos límites hasta el infinito (como si tuviéramos una mesa arbitrariamente grande).

Si cogemos un lápiz bien afilado y tocamos con su punta la superficie de la “mesa”, obtendremos la imagen de un punto. Así es como llegamos representación de un punto en un plano.

Ahora puedes pasar a el concepto de línea recta en un avión.

Coloque una hoja de papel limpio sobre la superficie de la mesa (en un plano). Para trazar una línea recta, necesitamos tomar una regla y trazar una línea con un lápiz hasta donde el tamaño de la regla y la hoja de papel que estemos usando nos lo permita. Cabe destacar que de esta forma solo conseguiremos parte de la línea. Sólo podemos imaginar una línea recta entera que se extiende hasta el infinito.

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La posición relativa de una línea recta y un punto.

Deberíamos empezar con el axioma: en toda recta y en todo plano hay puntos.

Los puntos generalmente se indican con letras latinas mayúsculas, por ejemplo, puntos A Y F. A su vez, las líneas rectas se denotan con minúsculas latinas, por ejemplo, líneas rectas a Y d.

Posible dos opciones para la posición relativa de una línea y un punto en un plano: o el punto está en la recta (en este caso también se dice que la recta pasa por el punto), o el punto no está en la recta (también se dice que el punto no pertenece a la recta ni a la recta) recta no pasa por el punto).

Para indicar que un punto pertenece a una determinada recta se utiliza el símbolo “ ”. Por ejemplo, si el punto A se encuentra en una línea recta A, entonces podemos escribir . si el punto A no pertenece a la linea A, luego escríbalo.

La siguiente afirmación es cierta: sólo hay una línea recta que pasa por dos puntos cualesquiera.

Esta afirmación es un axioma y debe aceptarse como un hecho. Además, esto es bastante obvio: marcamos dos puntos en papel, les aplicamos una regla y dibujamos una línea recta. Una línea recta que pasa por dos puntos dados (por ejemplo, por puntos A Y EN), se puede denotar con estas dos letras (en nuestro caso, la línea recta AB o Virginia).

Debe entenderse que en una línea recta definida en un plano hay infinitos puntos diferentes, y todos estos puntos se encuentran en el mismo plano. Esta afirmación se establece mediante el axioma: si dos puntos de una línea se encuentran en un plano determinado, entonces todos los puntos de esta línea se encuentran en este plano.

El conjunto de todos los puntos situados entre dos puntos dados en una recta, junto con estos puntos, se llama segmento de recta o simplemente segmento. Los puntos que limitan el segmento se llaman extremos del segmento. Un segmento se indica con dos letras correspondientes a los puntos finales del segmento. Por ejemplo, deje que los puntos A Y EN son los extremos de un segmento, entonces este segmento se puede denotar AB o Virginia. Tenga en cuenta que esta designación de un segmento coincide con la designación de una línea recta. Para evitar confusiones, recomendamos agregar la palabra "segmento" o "recta" a la designación.

Para registrar brevemente si un determinado punto pertenece o no a un determinado segmento, se utilizan los mismos símbolos y. Para mostrar que un determinado segmento se encuentra o no en una línea, use los símbolos y, respectivamente. Por ejemplo, si el segmento AB pertenece a la linea A, se puede escribir brevemente.

También debemos detenernos en el caso en que tres puntos diferentes pertenecen a la misma línea. En este caso, entre los otros dos se encuentra uno y sólo un punto. Esta afirmación es otro axioma. deja que los puntos A, EN Y CON se encuentran en la misma línea recta, y el punto EN se encuentra entre los puntos A Y CON. Entonces podemos decir que los puntos A Y CON están en lados opuestos del punto EN. También se puede decir que los puntos EN Y CON los puntos están en un lado A y los puntos A Y EN acuéstese a un lado del punto CON.

Para completar el cuadro, observamos que cualquier punto de una recta divide esta recta en dos partes: dos haz. Para este caso se da el axioma: punto arbitrario ACERCA DE, perteneciente a una línea, divide esta línea en dos rayos, y dos puntos cualesquiera de un rayo se encuentran en el mismo lado del punto ACERCA DE, y dos puntos cualesquiera de rayos diferentes están en lados opuestos del punto ACERCA DE.

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El artículo habla sobre el concepto de línea recta en un avión. Veamos los términos básicos y sus designaciones. Trabajemos con la posición relativa de una recta y un punto y dos rectas en un plano. Hablemos de axiomas. Finalmente, discutiremos métodos y métodos para definir una línea recta en un plano.

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Línea recta en un avión - concepto

Primero debes tener una idea clara de qué es un avión. Cualquier superficie de algo puede clasificarse como plano, solo que se diferencia de los objetos en su ilimitación. Si imaginamos que el avión es una mesa, entonces en nuestro caso no tendrá límites, sino que será infinitamente grande.

Si tocas la mesa con un lápiz, quedará una marca, que se puede llamar "punto". Así, nos hacemos una idea de un punto del plano.

Consideremos el concepto de línea recta en un plano. Si dibuja una línea recta en una hoja, aparecerá en ella con una longitud limitada. No obtuvimos toda la línea recta, sino solo una parte, ya que en realidad no tiene fin, como un avión. Por tanto, la representación de líneas y planos en el cuaderno es formal.

Tenemos un axioma:

Definición 1

Se pueden marcar puntos en cada línea recta y en cada plano.

Los puntos se designan con letras latinas grandes y pequeñas. Por ejemplo, A y D o ay d.

Para un punto y una recta sólo se conocen dos ubicaciones posibles: un punto sobre una recta, es decir, que la recta pasa por él, o un punto que no está sobre una recta, es decir, que la recta no pasa por él.

Para indicar si un punto pertenece a un plano o un punto a una recta, utilice el signo “∈”. Si se da la condición de que el punto A se encuentre sobre la recta a, entonces tiene la siguiente forma de escritura A ∈ a. En el caso de que el punto A no pertenezca, entonces otra entrada A ∉ a.

Juicio justo:

Definición 2

Por dos puntos cualesquiera situados en cualquier plano pasa una única recta que los atraviesa.

Esta afirmación se considera un akisoma y, por lo tanto, no requiere prueba. Si considera esto usted mismo, puede ver que con dos puntos existentes solo hay una opción para conectarlos. Si tenemos dos puntos dados A y B, entonces la línea que pasa por ellos se puede llamar con estas letras, por ejemplo, línea A B. Considere la siguiente figura.

Una recta situada en un plano tiene una gran cantidad de puntos. De aquí proviene el axioma:

Definición 3

Si dos puntos de una recta se encuentran en un plano, entonces todos los demás puntos de esta recta pertenecen al plano.

El conjunto de puntos ubicados entre dos puntos dados se llama un segmento recto. Tiene un principio y un final. Se ha introducido una designación de dos letras.

Si se da que los puntos A y P son los extremos de un segmento, entonces su designación tomará la forma P A o A P. Dado que las designaciones de un segmento y una recta coinciden, se recomienda agregar o terminar las palabras "segmento ", "línea recta".

Una notación abreviada de membresía implica el uso de los signos ∈ y ∉. Para fijar la ubicación de un segmento con respecto a una línea dada, use ⊂. Si la condición establece que el segmento A P pertenece a la línea b, entonces la entrada se verá así: A P ⊂ b.

Se da el caso en el que tres puntos pertenecen simultáneamente a una recta. Esto es cierto cuando un punto se encuentra entre otros dos. Esta afirmación se considera un axioma. Si se dan los puntos A, B, C, que pertenecen a la misma recta, y el punto B se encuentra entre A y C, se sigue que todos los puntos dados se encuentran en la misma recta, ya que se encuentran a ambos lados del punto B.

Un punto divide una recta en dos partes, llamadas rayos. Tenemos un axioma:

Definición 4

Cualquier punto O ubicado en una línea recta lo divide en dos rayos, con dos puntos cualesquiera de un rayo que se encuentran en un lado del rayo con respecto al punto O, y otros en el otro lado del rayo.

La disposición de líneas rectas en un plano puede tomar la forma de dos estados.

Definición 5

coincidir.

Esta oportunidad surge cuando las líneas rectas tienen puntos en común. Con base en el axioma escrito anteriormente, tenemos que una línea recta pasa por dos puntos y solo uno. Esto significa que cuando 2 rectas pasan por 2 puntos dados, coinciden.

Definición 6

Dos líneas rectas en un avión pueden cruz.

Este caso muestra que hay un punto común, que se llama intersección de líneas. La intersección está designada por el signo ∩. Si hay una notación de la forma a ∩ b = M, entonces se deduce que las líneas dadas a y b se cruzan en el punto M.

Cuando las líneas rectas se cruzan, nos ocupamos del ángulo resultante. La sección donde las líneas rectas se cruzan en un plano para formar un ángulo de 90 grados, es decir, un ángulo recto, está sujeta a consideración por separado. Entonces las rectas se llaman perpendiculares. La forma de escribir dos rectas perpendiculares es la siguiente: a ⊥ b, lo que significa que la recta a es perpendicular a la recta b.

Definición 7

Dos líneas rectas en un plano pueden ser paralelo.

Sólo si dos rectas dadas no tienen intersecciones comunes y, por tanto, no tienen puntos, son paralelas. Se utiliza una notación que se puede escribir para un paralelismo dado de las líneas a y b: a ∥ b.

Una línea recta en un plano se considera junto con los vectores. Se concede especial importancia a los vectores cero que se encuentran en una recta dada o en cualquiera de las rectas paralelas; se denominan vectores directores de una recta; Considere la siguiente figura.

Los vectores distintos de cero ubicados en líneas perpendiculares a una determinada también se denominan vectores de líneas normales. Hay una descripción detallada en el artículo del vector normal de una recta en un plano. Considere la imagen a continuación.

Si hay 3 líneas en un avión, su ubicación puede ser muy diferente. Hay varias opciones para su ubicación: la intersección de todos, el paralelismo o la presencia de diferentes puntos de intersección. La figura muestra la intersección perpendicular de dos líneas con respecto a una.

Para ello, presentamos los factores necesarios que prueban su posición relativa:

si dos rectas son paralelas a una tercera, entonces todas son paralelas;
si dos rectas son perpendiculares a una tercera, entonces estas dos rectas son paralelas;
Si en un plano una línea recta corta a una línea paralela, también cortará a otra.

Miremos esto en las fotos.

Una línea recta en un plano se puede especificar de varias maneras. Todo depende de las condiciones del problema y de en qué se basará su solución. Este conocimiento puede ayudar a la disposición práctica de líneas rectas.

Definición 8

La línea recta se define utilizando los dos puntos especificados ubicados en el plano.

Del axioma considerado se deduce que a través de dos puntos es posible trazar una línea recta y, además, solo uno. Cuando un sistema de coordenadas rectangular especifica las coordenadas de dos puntos divergentes, entonces es posible fijar la ecuación de una línea recta que pasa por los dos puntos dados. Considere un dibujo donde tenemos una línea que pasa por dos puntos.

Definición 9

Una recta se puede definir a través de un punto y una recta a la que es paralela.

Este método existe porque a través de un punto es posible trazar una recta paralela a uno dado, y solo uno. La prueba ya se conoce en un curso escolar de geometría.

Si se da una recta con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas, entonces es posible construir una ecuación para una recta que pasa por un punto dado paralela a una recta dada. Consideremos el principio de definir una línea recta en un plano.

Definición 10

La línea recta se especifica a través del punto especificado y el vector de dirección.

Cuando se especifica una línea recta en un sistema de coordenadas rectangular, es posible componer ecuaciones canónicas y paramétricas en el plano. Consideremos en la figura la ubicación de la línea recta en presencia de un vector director.

El cuarto punto al especificar una línea recta tiene sentido cuando se indican el punto a través del cual se debe trazar y la línea recta perpendicular a él. Del axioma tenemos:

Definición 11

Por un punto dado ubicado en un plano solo pasará una recta, perpendicular a la dada.

Y el último punto relacionado con la especificación de una línea en un plano se da en el punto especificado por el cual pasa la línea, y en presencia de un vector normal de la línea. Dadas las coordenadas conocidas de un punto ubicado en una recta dada y las coordenadas del vector normal, es posible escribir la ecuación general de la recta.

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Navegación de páginas.

Una línea recta en un avión es un concepto.

Si cogemos un lápiz bien afilado y tocamos con su punta la superficie de la “mesa”, obtendremos la imagen de un punto. Así es como llegamos representación de un punto en un plano.

Ahora puedes pasar a el concepto de línea recta en un avión.

La posición relativa de una línea recta y un punto.

Deberíamos empezar con el axioma: en toda recta y en todo plano hay puntos.

Los puntos generalmente se indican con letras latinas mayúsculas, por ejemplo, los puntos A y F. A su vez, las líneas rectas se denotan con letras latinas minúsculas, por ejemplo, las líneas rectas a y d.

Para indicar que un punto pertenece a una determinada línea, utilice el símbolo “”. Por ejemplo, si el punto A se encuentra en la línea a, entonces podemos escribir . Si el punto A no pertenece a la línea a, entonces escribe .

La siguiente afirmación es cierta: sólo hay una línea recta que pasa por dos puntos cualesquiera.

Esta afirmación es un axioma y debe aceptarse como un hecho. Además, esto es bastante obvio: marcamos dos puntos en papel, les aplicamos una regla y dibujamos una línea recta. Una línea recta que pasa por dos puntos dados (por ejemplo, por los puntos A y B) se puede denotar con estas dos letras (en nuestro caso, la línea recta AB o BA).

El conjunto de todos los puntos situados entre dos puntos dados en una recta, junto con estos puntos, se llama segmento de recta o simplemente segmento. Los puntos que limitan el segmento se llaman extremos del segmento. Un segmento se indica con dos letras correspondientes a los puntos finales del segmento. Por ejemplo, si los puntos A y B son los extremos de un segmento, entonces este segmento puede designarse AB o BA. Tenga en cuenta que esta designación de un segmento coincide con la designación de una línea recta. Para evitar confusiones, recomendamos agregar la palabra "segmento" o "recta" a la designación.

Para registrar brevemente si un determinado punto pertenece o no a un determinado segmento, se utilizan los mismos símbolos y. Para mostrar que un determinado segmento se encuentra o no en una recta, utilice los símbolos y, respectivamente. Por ejemplo, si el segmento AB pertenece a la línea a, puedes escribir brevemente .

También debemos detenernos en el caso en que tres puntos diferentes pertenecen a la misma línea. En este caso, entre los otros dos se encuentra uno y sólo un punto. Esta afirmación es otro axioma. Sean los puntos A, B y C en la misma recta y el punto B entre los puntos A y C. Entonces podemos decir que los puntos A y C están en lados opuestos del punto B. También podemos decir que los puntos B y C están del mismo lado del punto A, y los puntos A y B están del mismo lado del punto C.

Para completar el cuadro, observamos que cualquier punto de una recta divide esta recta en dos partes: dos haz. Para este caso, se da un axioma: un punto arbitrario O, perteneciente a una línea recta, divide esta línea en dos rayos, y dos puntos cualesquiera de un rayo se encuentran en el mismo lado del punto O, y dos puntos cualesquiera de diferentes rayos se encuentran en lados opuestos del punto O.

La posición relativa de las líneas en un plano.

Ahora respondamos la pregunta: "¿Cómo se pueden ubicar dos líneas rectas en un plano entre sí?"

En primer lugar, dos líneas rectas en un avión pueden coincidir.

Esto es posible cuando las líneas tienen al menos dos puntos en común. En efecto, en virtud del axioma expuesto en el párrafo anterior, sólo existe una línea recta que pasa por dos puntos. En otras palabras, si dos rectas pasan por dos puntos dados, entonces coinciden.

En segundo lugar, dos líneas rectas en un avión pueden cruz.

En este caso, las rectas tienen un punto común, que se llama punto de intersección de las rectas. La intersección de líneas se indica con el símbolo "", por ejemplo, la entrada significa que las líneas a y b se cruzan en el punto M. Las líneas que se cruzan nos llevan al concepto de ángulo entre líneas que se cruzan. Por separado, vale la pena considerar la ubicación de líneas rectas en un plano cuando el ángulo entre ellas es de noventa grados. En este caso, las líneas se llaman perpendicular(recomendamos el artículo líneas perpendiculares, perpendicularidad de líneas). Si la línea a es perpendicular a la línea b, entonces se puede utilizar notación corta.

En tercer lugar, dos rectas en un plano pueden ser paralelas.

Desde un punto de vista práctico, conviene considerar una recta en un plano junto con los vectores. De particular importancia son los vectores distintos de cero que se encuentran en una recta dada o en cualquiera de las rectas paralelas; vectores directores de una recta. El artículo Vector director de una línea recta en un plano ofrece ejemplos de vectores directores y muestra opciones para su uso en la resolución de problemas.

También debes prestar atención a los vectores distintos de cero que se encuentran en cualquiera de las líneas perpendiculares a ésta. Estos vectores se llaman Vectores de linea normal. El uso de vectores de línea normal se describe en el artículo Vector de línea normal en un plano.

Cuando se dan tres o más líneas rectas en un plano, surgen muchas opciones diferentes para sus posiciones relativas. Todas las rectas pueden ser paralelas, de lo contrario algunas o todas se cruzan. En este caso, todas las líneas pueden cruzarse en un solo punto (ver el artículo sobre un montón de líneas), o pueden tener diferentes puntos de intersección.

No nos detendremos en esto en detalle, pero presentaremos sin pruebas algunos hechos notables y muy utilizados:

si dos rectas son paralelas a una tercera, entonces son paralelas entre sí;
si dos rectas son perpendiculares a una tercera, entonces son paralelas entre sí;
Si una determinada línea en un plano cruza una de dos líneas paralelas, entonces también cruza la segunda línea.

Métodos para definir una línea recta en un plano.

Ahora enumeraremos las principales formas en que se puede definir una línea recta específica en un plano. Este conocimiento es muy útil desde un punto de vista práctico, ya que en él se basa la solución de muchos ejemplos y problemas.

En primer lugar, se puede definir una línea recta especificando dos puntos en un plano.

De hecho, por el axioma discutido en el primer párrafo de este artículo, sabemos que una línea recta pasa por dos puntos, y solo uno.

Si las coordenadas de dos puntos divergentes se indican en un sistema de coordenadas rectangular en un plano, entonces es posible escribir la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados.

En segundo lugar, una línea se puede especificar especificando el punto por el que pasa y la línea a la que es paralela. Este método es justo, ya que por un punto dado del plano pasa una sola recta paralela a una recta dada. La prueba de este hecho se llevó a cabo en las lecciones de geometría en la escuela secundaria.

Si una línea recta en un plano se define de esta manera en relación con el sistema de coordenadas cartesiano rectangular introducido, entonces es posible componer su ecuación. Esto está escrito en el artículo ecuación de una línea que pasa por un punto dado paralela a una línea dada.

En tercer lugar, se puede especificar una línea recta especificando el punto por el que pasa y su vector director.

Si se da una línea recta en un sistema de coordenadas rectangular de esta manera, entonces es fácil construir su ecuación canónica de una línea recta en un plano y ecuaciones paramétricas de una línea recta en un plano.

La cuarta forma de especificar una línea es indicar el punto por el que pasa y la línea a la que es perpendicular. En efecto, por un punto dado del plano pasa una sola recta perpendicular a la recta dada. Dejemos este hecho sin pruebas.

Finalmente, una línea en un plano se puede especificar especificando el punto por el que pasa y el vector normal de la línea.

Si se conocen las coordenadas de un punto que se encuentra en una recta dada y las coordenadas del vector normal de la recta, entonces es posible escribir la ecuación general de la recta.

Bibliografía.

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Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matemáticas avanzadas. Volumen uno: elementos de álgebra lineal y geometría analítica.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometría analítica.

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El punto puede ser cualquiera en recto, o afuera su.

a) Si el punto es en línea recta, entonces, según la propiedad de pertenencia, sus proyecciones pertenecerán a las proyecciones de la línea recta - punto A (Figura 7-2);

b) Si el punto está situado afuera línea recta, entonces en al menos una de las vistas el punto no estará en línea recta:

· el punto B en la vista superior no está en línea recta yo , pero se encuentra cerca , que el punto que le compite frontalmente, marcado con una cruz; por lo tanto el punto B se encuentra antes derecho yo ;

· el punto C, como se muestra desde la vista frontal, está situado abajo derecho yo , porque está ubicado debajo de un punto que compite horizontalmente con él, marcado con una cruz y en línea recta;

· analizar la posición del punto D con respecto a la línea recta yo , llegamos a la conclusión de que el punto D se encuentra arriba derecho yo , que está determinada por la posición del punto D en la vista frontal. Desde la vista superior observamos que el punto D se encuentra detrás derecho yo .

No es posible determinar la posición relativa de un punto y una línea de posición de perfil p desde dos vistas, porque dicha línea recta en las vistas frontal y superior coincide con las líneas de comunicación en dirección (Figura 7-3).

Puede obtener la respuesta construyendo una proyección de perfil (vista izquierda).

Entonces, desde la vista de la izquierda determinamos que M está ubicado. antes recto (Δ F) Y arriba ella (ΔН), porque se encuentra más cerca del punto de competencia frontal y por encima de los puntos de competencia horizontal marcados con cruces.

El punto N se encuentra abajo (bajo) recto yo Y detrás (más) ella.

POSICIÓN RELATIVA DE PUNTO Y PLANO

Puede haber dos opciones:

· el punto está ubicado V aviones;

· el punto está ubicado afuera avión.

Un punto está en un plano si pertenece a cualquier recta de ese plano.

Por lo tanto, para construir un punto en un plano, primero debes construir una línea recta arbitraria en este plano (o tomar una existente) y tomar un punto en ella.

Plano parcial

Si el punto está en el plano. situación privada (oblicuo, vertical, perfilado), entonces su construcción es más sencilla. En este caso, el punto en una de las vistas estará ubicado en la imagen del plano, y en la otra vista su posición puede ser arbitraria (Figura 7-4). Aquí se muestra el punto A, que pertenece al plano inclinado B, porque en la vista frontal está en línea recta, que es la imagen de un avión; y en la vista superior la posición del punto se toma arbitrariamente en la línea de comunicación.

El punto B se encuentra bajo avión, porque se encuentra debajo del punto marcado con una cruz, con el que compite horizontalmente,

plano general

Es algo más difícil construir un punto perteneciente a un plano en un dibujo complejo. general provisiones.

Dejemos que se especifique el plano B(ΔАВС) (Figura 7-5). A construir en el dibujo cualquier punto que se encuentre en el plano B, se traza una línea recta arbitraria yo claramente perteneciente al plano (ya que pasa por dos puntos del plano A y 1). Luego en esta línea tomamos t.

Consideremos contrarrestar tarea. Sean dados dos tipos de punto N. Necesitamos. definir posición del punto N con respecto al plano.

Para resolver este problema, necesitas dibujar una línea auxiliar en el avión, compitiendo con un punto dado en cualquiera de las vistas (por ejemplo, en la vista frontal, como en la Figura 7-5) y determine la posición relativa de este punto N y la línea recta.

Entonces, dibujemos una línea recta que compita frontalmente con el punto N. metro , cuya posición está determinada por los puntos planos A y 2. Con base en la profundidad del punto N, determinamos que está ubicado antes derecho yo y por tanto delante del avión.

Dado que el plano B desciende (lo determinamos por diferentes direcciones de recorrido en las vistas), y teniendo en cuenta que el punto N está delante del plano, al mismo tiempo se ubicará bajo avión .

TAREAS POSICIONALES.

1. POSICIÓN MUTUA DE DOS PUNTOS.

2. POSICIÓN MUTUA DE UN PUNTO Y UNA RECTA.

3. POSICIÓN MUTUA DE PUNTO Y PLANO.

4. POSICIÓN MUTUA DE DOS RECTAS.

Tareas posicionales - Se trata de tareas en las que se determina la posición relativa de varias formas geométricas entre sí.

Hay problemas posicionales directos e inversos:

· derecho – tareas de pertenencia mutua ( construcción puntos en una línea o superficie, llevando a cabo rectas sobre una superficie o una superficie a través de rectas dadas, problemas de intersección);

· contrarrestar - en el cual determinado disposición mutua de puntos, rectas, planos.

19. POSICIÓN MUTUA DE DOS PUNTOS

Consideremos posibles opciones para la posición relativa de dos puntos (Figura 7-1).

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d) De la Figura 7-1d determinamos que el punto A es mayor que el punto B en la cantidad ΔН; desde la vista superior observamos que desde el punto de vista del observador el punto A está más lejos que el punto B en la cantidad Δ F; en ambas vistas se determina que el punto A está a la izquierda del punto B por la cantidad Δ R.

20. POSICIÓN RELATIVA DE UN PUNTO Y UNA RECTA

https://pandia.ru/text/80/056/images/image003_97.gif" alt=" Título: Figura 7-3" align="left" width="166" height="45">DIV_ADBLOCK125"> !}

El punto N se encuentra abajo (bajo) recto yo Y detrás (más) ella.

21. POSICIÓN MUTUA DE PUNTO Y PLANO

Puede haber dos opciones:

· el punto está ubicado V aviones;

· el punto está ubicado afuera avión.

Un punto está en un plano si pertenece a cualquier recta de ese plano.

Por lo tanto, para construir un punto en un plano, primero debes construir una línea recta arbitraria en este plano (o tomar una existente) y tomar un punto en ella.

21.1 Plano parcial

https://pandia.ru/text/80/056/images/image006_56.gif" align="left" width="356" height="327 src=">Dejemos que se dé el plano B(ΔАВС) (Figura 7- 5).A construir en el dibujo cualquier punto que se encuentre en el plano B, se traza una línea recta arbitraria yo claramente perteneciente al plano (ya que pasa por dos puntos del plano A y 1). Luego en esta línea tomamos t.

Consideremos contrarrestar tarea. Sean dados dos tipos de punto N. Necesitamos. definir posición del punto N con respecto al plano.

22. POSICIÓN MUTUA DE DOS RECTAS

Las líneas en el espacio pueden:

· coincidir ;

· cruzarse;

· ser paralelo;

· mestizarse.

Las dos rectas son pareo , si en vistas frontales

y desde arriba se fusionan (Figura 7-6a).

intersección las líneas rectas tienen un punto común: K, cuya imagen en las vistas frontal y superior se encuentra en la misma línea de conexión (Figura 7-6b).

Las proyecciones de líneas que se cruzan en una de las vistas pueden coincidir (Figura 7-6c), dichas líneas se denominan compitiendo . Como aquí coinciden en la vista superior (proyección horizontal), en este caso es horizontal - líneas en competencia.

si es heterosexual A Y b paralelo , entonces, basándose en la propiedad de la proyección paralela, sus proyecciones del mismo nombre serán paralelas (Figura 7-7a).

Las proyecciones de líneas paralelas en una de las vistas pueden coincidir, en este caso las líneas se llaman líneas paralelas en competencia . La figura 7-7b muestra líneas a y b que compiten frontalmente, porque sus imágenes coinciden en la vista frontal.

a B C)

La posición relativa de las líneas en competencia está determinada por la vista en la que se muestran sus imágenes. no coinciden.

Cruce Las líneas rectas son líneas que no se cruzan o son paralelas entre sí (Figura 7-7c). Si las líneas paralelas y que se cruzan siempre se encuentran en el mismo plano (definen un plano), entonces las líneas que se cruzan no se encuentran en el mismo plano. Los puntos de intersección aparente de las líneas 1 y 2, 3 y 4 competirán por parejas; ellos tienen solo uno coincide de las proyecciones del mismo nombre: t. 1 y 2 - compiten en la vista frontal, t 3 y 4 - compiten en la vista superior.

Entonces, la posición relativa de las líneas en la posición general está determinada por dos tipos de líneas dadas.

22.1 Posiciones de perfil recto

La situación es diferente con las posiciones de perfil recto. Para determinar la posición relativa de estas líneas, se debe construir una vista a la izquierda.

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Habiendo medido las profundidades de los puntos A, B, C, D desde la base en la vista superior, trazamos los valores obtenidos en las líneas de comunicación horizontales correspondientes desde la base en la vista izquierda.

Habiendo construido los puntos y conectados correctamente, llegamos a la conclusión de que las rectas pag 1 Y R 2 se cruzan en el punto K. Habiéndolo encontrado en la vista de la izquierda, construimos el punto K en las otras dos vistas.

23. POSICIÓN MUTUA DE RECTA Y PLANO

Una línea recta con relación al avión puede ocupar las siguientes posiciones:

· pertenecen al avión;

· ser paralelo a un plano dado;

· intersecar este plano.

Derecho pertenece plano si dos de sus puntos se encuentran en un plano dado (Figura 7-9).

Línea recta paralelo plano, si esta línea es paralela a alguna línea que se encuentra en un plano dado (Figura 7-10a).

https://pandia.ru/text/80/056/images/image011_24.gif" align="left" width="337" height="369 src="> Ejemplo 1. Por este punto A, dibuje una línea recta paralela al plano inclinado B (Figura 7-10b). La recta requerida metro pertenecerá a un plano inclinado que pasa por el punto A y es paralelo al plano B. Por tanto, en la vista frontal la recta metro paralelo. vista degenerada del plano B, y en la vista superior ocupa una posición arbitraria.

Ejemplo 2. Trazar una línea recta que pase por el punto M. PAG , paralelo al plano B (a//b), (Figura 7-10c).

Construyamos una línea recta arbitraria en el plano B. Con, y luego trazar una línea recta que pase por el punto M PAG paralela a la recta Con.

2. Intersección de una recta y un plano.

problema en intersección de una recta con un plano es una de las principales tareas de la geometría descriptiva.

Para resolver este problema en general, es necesario conocer la técnica, el método de solución (algoritmo). Pero si el problema contiene tipos de originales degenerados, entonces esa tarea simplemente requiere una imaginación espacial desarrollada.

Todos los problemas que implican la intersección de una recta y un plano se pueden dividir en varios tipos:

· Primer tipo de tareas- los aviones tienen forma degenerada , es decir, están proyectando, y la línea recta es recta general provisiones.

El método principal para resolver problemas de este tipo es método accesorios. Veamos una serie de ejemplos.

Ejemplo 3. Construye el punto K de la intersección de la recta. yo con el plano vertical B (Figura

https://pandia.ru/text/80/056/images/image013_17.gif" align="left" width="258" height="286"> Ejemplo 4. Construir el punto de intersección de la línea vertical. i con el plano B (DABC), (Figura 7-12). Dado que la forma degenerada de la línea se encuentra en la vista superior, comenzamos la solución con ella.

Punto de intersección de la línea. i con el plano B coincide aquí con la forma degenerada de la propia recta ; i = k.

Para construir t. K en la vista frontal, dibuje una línea recta arbitraria en el plano que pasa por K (vista superior), por ejemplo C-1. Construyamos esta línea recta en la vista frontal, y en la intersección de la línea recta C-1 y yo encontramos el punto K. Determinamos la visibilidad presentando (usando la reconstrucción del dibujo) la posición relativa de los originales.

· Tercer tipo de tareas- los problemas no contienen elementos de una posición particular, es decir, línea recta y plano general provisiones (no hay forma degenerada ).

En este caso (Figura 7-13), la solución del problema se reduce a considerar la posición relativa de dos líneas: esta línea yo y algo de linea recta t , situada en el plano B.

https://pandia.ru/text/80/056/images/image015_15.gif" align="left" width="290" height="350">Dibuja una línea recta en el plano B t (1.2) competir frontalmente con una línea recta dada yo .

Desde la vista superior determinamos que las líneas en competencia se cruzan en el punto K, que es el punto de intersección de la línea. yo con el plano B . La visibilidad se determina utilizando dos pares de puntos en competencia: 1=3 en la vista frontal; punto 3 (perteneciente a yo ) cerca; en la vista superior de dos puntos 4=5, el punto 4 es más alto que el punto 5.

En una de las vistas, la visibilidad también puede estar determinada por la posición del plano B.