Un trapezoide está inscrito de lado en un círculo. Material sobre geometría sobre el tema "trapezoide y sus propiedades".

\[(\Large(\text(Trapezoide libre)))\]

Definiciones

Un trapezoide es un cuadrilátero convexo en el que dos lados son paralelos y los otros dos no son paralelos.

Los lados paralelos de un trapezoide se llaman bases y los otros dos lados se llaman lados laterales.

La altura de un trapezoide es la perpendicular trazada desde cualquier punto de una base a otra base.

Teoremas: propiedades de un trapecio

1) La suma de los ángulos laterales es \(180^\circ\) .

2) Las diagonales dividen el trapezoide en cuatro triángulos, dos de los cuales son semejantes y los otros dos son iguales en tamaño.

Prueba

1) porque \(AD\parallel BC\), entonces los ángulos \(\angle BAD\) y \(\angle ABC\) son unilaterales para estas rectas y la transversal \(AB\), por lo tanto, \(\angle MAL +\angle ABC=180^\circ\).

2) porque \(AD\parallel BC\) y \(BD\) son secantes, entonces \(\angle DBC=\angle BDA\) se encuentran transversalmente.
También \(\angle BOC=\angle AOD\) como vertical.
Por lo tanto, en dos ángulos \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\).

Probemos que \(S_(\triángulo AOB)=S_(\triángulo COD)\). Sea \(h\) la altura del trapezoide. Entonces \(S_(\triangle ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\triangle ACD)\). Entonces: \

Definición

La línea media de un trapezoide es un segmento que conecta los puntos medios de los lados.

Teorema

La línea media del trapezoide es paralela a las bases e igual a su media suma.

Prueba*

1) Demostremos el paralelismo.

Dibujemos por el punto \(M\) la recta \(MN"\parallel AD\) (\(N"\in CD\) ). Entonces, según el teorema de Tales (ya que \(MN"\paralelo AD\paralelo BC, AM=MB\)) el punto \(N\) es el medio del segmento \(CD\). Esto significa que los puntos \(N\) y \(N"\) coincidirán.

2) Probemos la fórmula.

Hagamos \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Dejar \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Entonces, según el teorema de Tales, \(M"\) y \(N"\) son los puntos medios de los segmentos \(BB"\) y \(CC"\), respectivamente. Esto significa que \(MM"\) es la línea media de \(\triangle ABB"\) , \(NN"\) es la línea media de \(\triangle DCC"\) . Es por eso: \

Porque \(MN\paralelo AD\paralelo BC\) y \(BB", CC"\perp AD\), entonces \(B"M"N"C"\) y \(BM"N"C\) son rectángulos. Según el teorema de Tales, de \(MN\parallel AD\) y \(AM=MB\) se sigue que \(B"M"=M"B\) . Por lo tanto, \(B"M"N"C "\) y \(BM"N"C\) son rectángulos iguales, por lo tanto, \(M"N"=B"C"=BC\) .

De este modo:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Teorema: propiedad de un trapecio arbitrario

Los puntos medios de las bases, el punto de intersección de las diagonales del trapezoide y el punto de intersección de las extensiones de los lados laterales se encuentran en la misma línea recta.

Prueba*
Se recomienda familiarizarse con la demostración después de estudiar el tema "Semejanza de triángulos".

1) Demostremos que los puntos \(P\), \(N\) y \(M\) se encuentran en la misma recta.

Dibujemos una línea recta \(PN\) (\(P\) es el punto de intersección de las extensiones de los lados laterales, \(N\) es el medio de \(BC\)). Deja que interseca el lado \(AD\) en el punto \(M\) . Demostremos que \(M\) es el punto medio de \(AD\) .

Considere \(\triangle BPN\) y \(\triangle APM\) . Son similares en dos ángulos (\(\angle APM\) – general, \(\angle PAM=\angle PBN\) correspondientes en \(AD\parallel BC\) y \(AB\) secante). Medio: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Considere \(\triangle CPN\) y \(\triangle DPM\) . Son similares en dos ángulos (\(\angle DPM\) – general, \(\angle PDM=\angle PCN\) correspondientes en \(AD\parallel BC\) y \(CD\) secante). Medio: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

De aquí \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Pero \(BN=NC\) por lo tanto \(AM=DM\) .

2) Demostremos que los puntos \(N, O, M\) se encuentran en la misma recta.

Sea \(N\) el punto medio de \(BC\) y \(O\) el punto de intersección de las diagonales. Dibujemos una línea recta \(NO\) , cortará el lado \(AD\) en el punto \(M\) . Demostremos que \(M\) es el punto medio de \(AD\) .

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) a lo largo de dos ángulos (\(\angle OBN=\angle ODM\) que se encuentran transversalmente en \(BC\parallel AD\) y \(BD\) secante; \(\angle BON=\angle DOM\) como vertical). Medio: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Asimismo \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). Medio: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

De aquí \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Pero \(BN=CN\) por lo tanto \(AM=MD\) .

\[(\Large(\text(trapezoide isósceles)))\]

Definiciones

Un trapezoide se dice rectangular si uno de sus ángulos es recto.

Un trapezoide se llama isósceles si sus lados son iguales.

Teoremas: propiedades de un trapecio isósceles

1) Un trapezoide isósceles tiene ángulos base iguales.

2) Las diagonales de un trapezoide isósceles son iguales.

3) Dos triángulos formados por diagonales y una base son isósceles.

Prueba

1) Considere el trapezoide isósceles \(ABCD\).

Desde los vértices \(B\) y \(C\), dejamos caer las perpendiculares \(BM\) y \(CN\) al lado \(AD\), respectivamente. Dado que \(BM\perp AD\) y \(CN\perp AD\) , entonces \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , entonces \(MBCN\) es un paralelogramo, por lo tanto, \(BM = CN\) .

Considere los triángulos rectángulos \(ABM\) y \(CDN\). Dado que sus hipotenusas son iguales y el cateto \(BM\) es igual al cateto \(CN\) , entonces estos triángulos son iguales, por lo tanto, \(\angle DAB = \angle CDA\) .

2)

Porque \(AB=CD, \ángulo A=\ángulo D, AD\)- general, luego según el primer signo. Por lo tanto, \(AC=BD\) .

3) porque \(\triángulo ABD=\triángulo ACD\), entonces \(\angle BDA=\angle CAD\) . Por lo tanto, el triángulo \(\triangle AOD\) es isósceles. De manera similar, se demuestra que \(\triangle BOC\) es isósceles.

Teoremas: signos de un trapecio isósceles

1) Si un trapezoide tiene ángulos en la base iguales, entonces es isósceles.

2) Si un trapezoide tiene diagonales iguales, entonces es isósceles.

Prueba

Considere el trapezoide \(ABCD\) tal que \(\angle A = \angle D\) .

Completemos el trapecio hasta el triángulo \(AED\) como se muestra en la figura. Dado que \(\angle 1 = \angle 2\) , entonces el triángulo \(AED\) es isósceles y \(AE = ED\) . Los ángulos \(1\) y \(3\) son iguales a los ángulos correspondientes de las rectas paralelas \(AD\) y \(BC\) y secante \(AB\). De manera similar, los ángulos \(2\) y \(4\) son iguales, pero \(\angle 1 = \angle 2\), entonces \(\ángulo 3 = \ángulo 1 = \ángulo 2 = \ángulo 4\), por lo tanto, el triángulo \(BEC\) también es isósceles y \(BE = EC\) .

Eventualmente \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), es decir, \(AB = CD\), que es lo que faltaba demostrar.

2) Sea \(AC=BD\) . Porque \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\), entonces denotamos su coeficiente de similitud como \(k\) . Entonces, si \(BO=x\) , entonces \(OD=kx\) . Similar a \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

Porque \(AC=BD\) , entonces \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Esto significa que \(\triangle AOD\) es isósceles y \(\angle OAD=\angle ODA\) .

Así, según el primer signo \(\triángulo ABD=\triángulo ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\)- general). Entonces, \(AB=CD\) , ¿por qué?

En este artículo intentaremos reflejar las propiedades de un trapezoide de la forma más completa posible. En particular, hablaremos de las características y propiedades generales de un trapezoide, así como de las propiedades de un trapezoide inscrito y de un círculo inscrito en un trapezoide. También tocaremos las propiedades de un trapecio isósceles y rectangular.

Un ejemplo de cómo resolver un problema utilizando las propiedades analizadas le ayudará a clasificarlo en lugares en su cabeza y a recordar mejor el material.

Trapecio y todo-todo-todo

Para empezar, recordemos brevemente qué es un trapezoide y qué otros conceptos están asociados con él.

Entonces, un trapecio es una figura cuadrilátera, dos de cuyos lados son paralelos entre sí (estas son las bases). Y los dos no son paralelos: estos son los lados.

En un trapezoide, la altura se puede reducir, perpendicular a las bases. Se dibujan la línea central y las diagonales. También es posible dibujar una bisectriz desde cualquier ángulo del trapezoide.

Ahora hablaremos de las diversas propiedades asociadas a todos estos elementos y sus combinaciones.

Propiedades de las diagonales trapezoidales.

Para que quede más claro, mientras lees, dibuja el trapezoide ACME en una hoja de papel y dibuja diagonales en él.

1. Si encuentras los puntos medios de cada una de las diagonales (llamémoslos puntos X y T) y los conectas, obtendrás un segmento. Una de las propiedades de las diagonales de un trapezoide es que el segmento HT se encuentra en la línea media. Y su longitud se puede obtener dividiendo la diferencia de las bases por dos: ХТ = (a – b)/2.
2. Ante nosotros está el mismo trapezoide ACME. Las diagonales se cruzan en el punto O. Veamos los triángulos AOE y MOK, formados por segmentos de las diagonales junto con las bases del trapezoide. Estos triángulos son similares. El coeficiente de similitud k de triángulos se expresa mediante la relación de las bases del trapezoide: k = AE/KM.
   La relación de las áreas de los triángulos AOE y MOK se describe mediante el coeficiente k 2 .
3. El mismo trapezoide, las mismas diagonales que se cruzan en el punto O. Solo que esta vez consideraremos los triángulos que formaron los segmentos de las diagonales junto con los lados del trapezoide. Las áreas de los triángulos AKO y EMO son iguales en tamaño: sus áreas son iguales.
4. Otra propiedad de un trapezoide implica la construcción de diagonales. Entonces, si continúas los lados de AK y ME en la dirección de la base más pequeña, tarde o temprano se cruzarán en un punto determinado. Luego, dibuja una línea recta que pase por el centro de las bases del trapezoide. Interseca las bases en los puntos X y T.
   Si ahora extendemos la línea XT, conectará el punto de intersección de las diagonales del trapezoide O, el punto en el que se cruzan las extensiones de los lados y la mitad de las bases X y T.
5. A través del punto de intersección de las diagonales dibujaremos un segmento que conectará las bases del trapezoide (T se encuentra en la base más pequeña KM, X en la base más grande AE). El punto de intersección de las diagonales divide este segmento en la siguiente proporción: A/OX = KM/AE.
6. Ahora, por el punto de intersección de las diagonales, trazaremos un segmento paralelo a las bases del trapezoide (a y b). El punto de intersección lo dividirá en dos partes iguales. Puedes encontrar la longitud del segmento usando la fórmula. 2ab/(a+b).

Propiedades de la línea media de un trapecio

Dibuja la línea media en el trapezoide paralela a sus bases.

1. La longitud de la línea media de un trapezoide se puede calcular sumando las longitudes de las bases y dividiéndolas por la mitad: metro = (a + b)/2.
2. Si dibujas cualquier segmento (altura, por ejemplo) a través de ambas bases del trapezoide, la línea media lo dividirá en dos partes iguales.

Propiedad de la bisectriz del trapezoide

Selecciona cualquier ángulo del trapezoide y dibuja una bisectriz. Tomemos, por ejemplo, el ángulo KAE de nuestro trapezoide ACME. Habiendo completado la construcción usted mismo, puede verificar fácilmente que la bisectriz corta de la base (o su continuación en línea recta fuera de la figura misma) un segmento de la misma longitud que el lado.

Propiedades de los ángulos trapezoidales.

1. Cualquiera de los dos pares de ángulos adyacentes al lado que elijas, la suma de los ángulos del par siempre es 180 0: α + β = 180 0 y γ + δ = 180 0.
2. Conectemos los puntos medios de las bases del trapezoide con un segmento TX. Ahora veamos los ángulos en las bases del trapezoide. Si la suma de los ángulos de cualquiera de ellos es 90 0, la longitud del segmento TX se puede calcular fácilmente a partir de la diferencia en las longitudes de las bases, divididas por la mitad: TX = (AE – KM)/2.
3. Si se dibujan líneas paralelas a través de los lados de un ángulo trapezoide, dividirán los lados del ángulo en segmentos proporcionales.

Propiedades de un trapecio isósceles (equilátero)

1. En un trapezoide isósceles, los ángulos en cualquier base son iguales.
2. Ahora construye un trapezoide nuevamente para que sea más fácil imaginar de qué estamos hablando. Mire cuidadosamente la base AE: el vértice de la base opuesta M se proyecta hacia un cierto punto en la línea que contiene AE. La distancia desde el vértice A hasta el punto de proyección del vértice M y la línea media de un trapezoide isósceles son iguales.
3. Algunas palabras sobre la propiedad de las diagonales de un trapecio isósceles: sus longitudes son iguales. Y también los ángulos de inclinación de estas diagonales hacia la base del trapezoide son los mismos.
4. Sólo alrededor de un trapezoide isósceles se puede describir un círculo, ya que la suma de los ángulos opuestos de un cuadrilátero es 180 0, un requisito previo para ello.
5. La propiedad de un trapezoide isósceles se desprende del párrafo anterior: si se puede describir un círculo cerca del trapezoide, es isósceles.
6. De las características de un trapecio isósceles se desprende la propiedad de la altura de un trapezoide: si sus diagonales se cruzan en ángulo recto, entonces la longitud de la altura es igual a la mitad de la suma de las bases: h = (a + b)/2.
7. Nuevamente, dibuja el segmento TX a través de los puntos medios de las bases del trapezoide; en un trapezoide isósceles es perpendicular a las bases. Y al mismo tiempo TX es el eje de simetría de un trapezoide isósceles.
8. Esta vez, baje la altura desde el vértice opuesto del trapezoide hasta la base más grande (llamémosla a). Obtendrás dos segmentos. La longitud de uno se puede encontrar si se suman las longitudes de las bases y se dividen por la mitad: (a+b)/2. El segundo lo obtenemos cuando restamos el más pequeño de la base mayor y dividimos la diferencia resultante entre dos: (a-b)/2.

Propiedades de un trapezoide inscrito en un círculo.

Como ya estamos hablando de un trapezoide inscrito en un círculo, analicemos este tema con más detalle. En particular, dónde está el centro del círculo en relación con el trapezoide. Aquí también es recomendable que te tomes el tiempo de coger un lápiz y dibujar lo que se comenta a continuación. De esta manera entenderás más rápido y recordarás mejor.

1. La ubicación del centro del círculo está determinada por el ángulo de inclinación de la diagonal del trapezoide hacia su lado. Por ejemplo, una diagonal puede extenderse desde la parte superior de un trapezoide en ángulo recto hacia un lado. En este caso, la base más grande corta el centro del círculo circunstante exactamente en el centro (R = ½AE).
2. La diagonal y el lado también pueden encontrarse en un ángulo agudo; entonces el centro del círculo está dentro del trapezoide.
3. El centro del círculo circunscrito puede estar fuera del trapezoide, más allá de su base mayor, si existe un ángulo obtuso entre la diagonal del trapezoide y el lado.
4. El ángulo formado por la diagonal y la base grande del trapecio ACME (ángulo inscrito) es la mitad del ángulo central que le corresponde: MAE = ½MOE.
5. Brevemente sobre dos formas de encontrar el radio de un círculo circunscrito. Método uno: mira atentamente tu dibujo, ¿qué ves? Puedes notar fácilmente que la diagonal divide el trapezoide en dos triángulos. El radio se puede encontrar mediante la relación entre el lado del triángulo y el seno del ángulo opuesto, multiplicado por dos. Por ejemplo, R = AE/2*senAME. De manera similar, la fórmula se puede escribir para cualquiera de los lados de ambos triángulos.
6. Método dos: encuentra el radio del círculo circunscrito a través del área del triángulo formado por la diagonal, el lado y la base del trapezoide: R = SOY*YO*AE/4*S AME.

Propiedades de un trapecio circunscrito a una circunferencia

Puedes encajar un círculo en un trapezoide si se cumple una condición. Lea más sobre esto a continuación. Y en conjunto, esta combinación de figuras tiene una serie de propiedades interesantes.

1. Si un círculo está inscrito en un trapezoide, la longitud de su línea media se puede encontrar fácilmente sumando las longitudes de los lados y dividiendo la suma resultante por la mitad: metro = (c + d)/2.
2. Para el trapezoide ACME, descrito sobre un círculo, la suma de las longitudes de las bases es igual a la suma de las longitudes de los lados: AK + YO = KM + AE.
3. De esta propiedad de las bases de un trapezoide se desprende la afirmación inversa: se puede inscribir una circunferencia en un trapezoide cuya suma de bases sea igual a la suma de sus lados.
4. El punto tangente de una circunferencia de radio r inscrita en un trapezoide divide el lado en dos segmentos, llamémoslos a y b. El radio de un círculo se puede calcular mediante la fórmula: r = √ ab.
5. Y una propiedad más. Para evitar confusiones, dibuja este ejemplo tú mismo también. Tenemos el viejo trapezoide ACME, descrito alrededor de un círculo. Contiene diagonales que se cruzan en el punto O. Los triángulos AOK y EOM formados por los segmentos de las diagonales y los lados laterales son rectangulares.
   Las alturas de estos triángulos, rebajadas hasta las hipotenusas (es decir, los lados laterales del trapezoide), coinciden con los radios del círculo inscrito. Y la altura del trapezoide coincide con el diámetro del círculo inscrito.

Propiedades de un trapecio rectangular

Un trapezoide se dice rectangular si uno de sus ángulos es recto. Y sus propiedades parten de esta circunstancia.

1. Un trapecio rectangular tiene uno de sus lados perpendicular a su base.
2. La altura y el lado de un trapecio adyacente a un ángulo recto son iguales. Esto le permite calcular el área de un trapezoide rectangular (fórmula general S = (a + b) * h/2) no solo por la altura, sino también por el lado adyacente al ángulo recto.
3. Para un trapezoide rectangular, las propiedades generales de las diagonales del trapezoide ya descritas anteriormente son relevantes.

Evidencia de algunas propiedades del trapezoide.

Igualdad de ángulos en la base de un trapezoide isósceles:

• Probablemente ya hayas adivinado que aquí necesitaremos nuevamente el trapezoide AKME: dibuja un trapezoide isósceles. Traza una línea recta MT desde el vértice M, paralela al lado de AK (MT || AK).

El cuadrilátero AKMT resultante es un paralelogramo (AK || MT, KM || AT). Como ME = KA = MT, ∆ MTE es isósceles y MET = MTE.

Alaska || MT, por lo tanto MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

¿Dónde AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME?

Q.E.D.

Ahora, basándonos en la propiedad de un trapezoide isósceles (igualdad de diagonales), demostramos que trapezoide ACME es isósceles:

• Para empezar, tracemos una línea recta MX – MX || KE. Obtenemos un paralelogramo KMHE (base – MX || KE y KM || EX).

∆AMX es isósceles, ya que AM = KE = MX y MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MHE, por lo tanto MAE = MHE.

Resultó que los triángulos AKE y EMA son iguales entre sí, ya que AM = KE y AE son el lado común de los dos triángulos. Y también MAE = MXE. Podemos concluir que AK = ME, y de esto se deduce que el trapezoide AKME es isósceles.

Revisar tarea

Las bases del trapecio ACME miden 9 cm y 21 cm, el lado lateral KA, igual a 8 cm, forma un ángulo de 150 0 con la base más pequeña. Necesitas encontrar el área del trapezoide.

Solución: Desde el vértice K bajamos la altura hasta la base mayor del trapezoide. Y comencemos a mirar los ángulos del trapezoide.

Los ángulos AEM y KAN son unilaterales. Esto quiere decir que en total dan 180 0. Por lo tanto, KAN = 30 0 (basado en la propiedad de los ángulos trapezoidales).

Consideremos ahora el ∆ANC rectangular (creo que este punto es obvio para los lectores sin evidencia adicional). A partir de ahí encontraremos la altura del trapezoide KH; en un triángulo es el cateto que se encuentra opuesto al ángulo de 30 0. Por tanto, KN = ½AB = 4 cm.

Encontramos el área del trapezoide usando la fórmula: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Epílogo

Si estudió este artículo detenida y cuidadosamente, no fue demasiado vago para dibujar trapecios para todas las propiedades dadas con un lápiz en sus manos y analizarlos en la práctica, debería haber dominado bien el material.

Por supuesto, aquí hay mucha información, variada y a veces incluso confusa: no es tan difícil confundir las propiedades del trapezoide descrito con las propiedades del inscrito. Pero tú mismo has visto que la diferencia es enorme.

Ahora tienes un resumen detallado de todas las propiedades generales de un trapezoide. Así como propiedades y características específicas de los trapecios isósceles y rectangulares. Es muy conveniente utilizarlo para prepararse para pruebas y exámenes. ¡Pruébalo tú mismo y comparte el enlace con tus amigos!

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¡Buenas noches! Oh, estas figuras geométricas circunscritas o inscritas en círculos. Es muy difícil confundirse. qué y cuándo.

Intentemos resolverlo primero con la redacción. Se nos da un círculo circunscrito alrededor de . En otras palabras, este trapezoide está inscrito en un círculo.

Recordemos que sólo podemos describir un círculo alrededor. Un trapezoide isósceles, a su vez, es un trapezoide cuyos lados son iguales.

Intentemos solucionar el problema. Sabemos que las bases del trapecio isósceles ADCB son 6 (DC) y 4 (AB). Y el radio del círculo circunscrito es 4. Necesitas encontrar la altura del trapezoide FK.

FK es la altura del trapezoide. Necesitamos encontrarlo, pero antes recuerda que el punto O es el centro del círculo. Y OS, OD, OA, OB son radios conocidos.

En OFC conocemos la hipotenusa, que es el radio del círculo, y el cateto FC = la mitad de la base DC = 3 cm (ya que DF = FC).

Ahora busquemos OF:

Y en el triángulo rectángulo OKB también conocemos la hipotenusa, ya que es el radio del círculo. Y KB es igual a la mitad de AB; KB = 2 cm Y, usando el teorema de Pitágoras, calculamos el segmento OK:

Trabajo de proyecto “Propiedades interesantes de un trapezoide” Realizado por: Estudiantes de décimo grado Kudzaeva Ellina Bazzaeva Diana MCOU Escuela secundaria s. N.Batako Responsable: Gagieva A.O. 20 de noviembre de 2015

Objeto del trabajo: Considerar las propiedades del trapezoide, que no se estudian en el curso de geometría de la escuela, pero al resolver problemas geométricos del Examen Estatal Unificado de la parte ampliada C 4, puede ser necesario saber y poder aplicar precisamente estas propiedades.

Propiedades de un trapezoide: Si un trapezoide se divide por una recta paralela a sus bases igual a a y b, en dos trapecios iguales. Entonces el segmento de esta recta, encerrado entre los lados laterales, es igual a B para

Propiedad de un segmento que pasa por el punto de intersección de las diagonales de un trapezoide. El segmento paralelo a las bases que pasa por el punto de intersección de las diagonales es igual a: a en c

Propiedades de un trapezoide: Un segmento de recta paralela a las bases de un trapezoide, encerrado dentro del trapezoide, se divide en tres partes por sus diagonales. Entonces los segmentos adyacentes a los lados son iguales entre sí. MP=OK R M O K

Propiedades de un trapezoide isósceles: Si un círculo se puede inscribir en un trapezoide, entonces el radio del círculo es el promedio proporcional a los segmentos en los que el punto tangente divide el lado. O S V A D. E O

Propiedades de un trapezoide isósceles: si el centro del círculo circunscrito se encuentra en la base del trapezoide, entonces su diagonal es perpendicular al lado O A B C D

Propiedades de un trapezoide isósceles: Se puede inscribir un círculo en un trapezoide isósceles si el lado del lado es igual a su línea media. S V A D h

1) Si el enunciado del problema dice que un círculo está inscrito en un trapezoide rectangular, puedes usar las siguientes propiedades: 1. La suma de las bases del trapezoide es igual a la suma de los lados. 2. Las distancias desde el vértice del trapezoide a los puntos tangentes del círculo inscrito son iguales. 3. La altura de un trapezoide rectangular es igual a su lado menor e igual al diámetro del círculo inscrito. 4. El centro del círculo inscrito es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos del trapezoide. 5. Si el punto tangente divide el lado en segmentos myn, entonces el radio del círculo inscrito es igual a

Propiedades de un trapezoide rectangular en el que está inscrito un círculo: 1) Un cuadrilátero formado por el centro del círculo inscrito, los puntos de contacto y el vértice del trapecio: un cuadrado cuyo lado es igual al radio. (AMOE y BKOM son cuadrados de lado r). 2) Si un círculo está inscrito en un trapezoide rectangular, entonces el área del trapezoide es igual al producto de sus bases: S=AD*BC

Demostración: El área de un trapezoide es igual al producto de la mitad de la suma de sus bases por su altura: denotemos CF=m, FD=n. Como las distancias de los vértices a los puntos tangentes son iguales, la altura del trapezoide es igual a dos radios del círculo inscrito, y

I. Las bisectrices de los ángulos en el lado lateral del trapezoide se cortan en un ángulo de 90º. 1)∠ABC+∠BAD=180º (como unilateral interna con AD∥BC y secante AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º (ya que las bisectrices bisecan los ángulos). 3) Como la suma de los ángulos de un triángulo es 180º, en el triángulo ABK tenemos: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, por lo tanto ∠AKB=180-90=90º. Conclusión: Las bisectrices del lado lateral de un trapezoide se cortan en ángulo recto. Esta afirmación se utiliza al resolver problemas sobre un trapezoide en el que está inscrito un círculo.

I I. El punto de intersección de las bisectrices del trapezoide adyacente al lado lateral se encuentra en la línea media del trapezoide. Deje que la bisectriz del ángulo ABC interseque el lado AD en el punto S. Entonces el triángulo ABS es isósceles con base BS. Esto significa que su bisectriz AK también es una mediana, es decir, el punto K es el punto medio de BS. Si M y N son los puntos medios de los lados laterales del trapezoide, entonces MN es la línea media del trapezoide y MN∥AD. Dado que M y K son los puntos medios de AB y BS, entonces MK es la línea media del triángulo ABS y MK∥AS. Como sólo se puede trazar una línea paralela a ésta a través del punto M, el punto K se encuentra en la línea media del trapezoide.

III. El punto de intersección de las bisectrices de ángulos agudos en la base de un trapezoide pertenece a otra base. En este caso, los triángulos ABK y DCK son isósceles con bases AK y DK, respectivamente. Por lo tanto, BC=BK+KC=AB+CD. Conclusión: Si las bisectrices de los ángulos agudos de un trapezoide se cortan en un punto que pertenece a la base más pequeña, entonces la base más pequeña es igual a la suma de los lados laterales del trapezoide. Un trapezoide isósceles en este caso tiene una base más pequeña que duplica el tamaño de su lado.

I V. El punto de intersección de las bisectrices de ángulos obtusos en la base del trapezoide pertenece a otra base. En este caso, los triángulos ABF y DCF son isósceles con bases BF y CF, respectivamente. Por lo tanto AD=AF+FD=AB+CD. Conclusión: Si las bisectrices de los ángulos obtusos de un trapezoide se cruzan en un punto que pertenece a la base mayor, entonces la base mayor es igual a la suma de los lados laterales del trapezoide. En este caso, un trapezoide isósceles tiene una base más grande que mide el doble de su lado.

Si se puede inscribir un trapezoide isósceles con lados a, b, c, d y se pueden dibujar círculos a su alrededor, entonces el área del trapezoide es

"APROBADO"

Jefe de una disciplina separada

(matemáticas, informática y TIC)

Yu.V.Krylova _____________

"___" _____________ 2015

« Trapecio y sus propiedades.»

Desarrollo metodológico

Profesor de matemáticas

Shatalina Elena Dmítrievna

Revisado y

en la reunión de la PMO de fecha _______________

Protocolo No.______

Moscú

2015

Tabla de contenido

Introducción 2

Definiciones 3

Propiedades de un trapezoide isósceles 4

Círculos inscritos y circunscritos 7

Propiedades de los trapecios inscritos y circunscritos 8

Valores medios en el trapezoide 12

Propiedades de un trapezoide arbitrario 15

Signos del trapezoide 18.

Construcciones adicionales en trapezoide 20.

Área trapezoidal 25

10. Conclusión

Bibliografía

Solicitud

Evidencia de algunas propiedades del trapezoide 27.

Tareas para el trabajo independiente.

Problemas sobre el tema "Trapezoide" de mayor complejidad.

Prueba de detección sobre el tema "Trapezoide"

Introducción

Esta obra está dedicada a una figura geométrica llamada trapezoide. “Una cifra corriente”, dices, pero no es así. Está plagado de muchos secretos y misterios; si lo miras más de cerca y lo estudias más a fondo, descubrirás muchas cosas nuevas en el mundo de la geometría, problemas que no se han resuelto antes y te parecerán fáciles.

Trapezoide - la palabra griega trapecio - "mesa". Préstamo en el siglo 18 de lat. idioma, donde trapecio es griego. Es un cuadrilátero cuyos dos lados opuestos son paralelos. El trapecio fue encontrado por primera vez por el antiguo científico griego Posidonio (siglo II a. C.). Hay muchas figuras diferentes en nuestras vidas. En séptimo grado conocimos de cerca el triángulo; en octavo grado, según el plan de estudios de la escuela, comenzamos a estudiar el trapezoide. Esta figura nos interesó y en el libro de texto hay muy poco escrito sobre ella. Por eso, decidimos tomar este asunto en nuestras manos y buscar información sobre el trapezoide. sus propiedades.

El trabajo examina propiedades familiares para los estudiantes a partir del material cubierto en el libro de texto, pero en su mayoría propiedades desconocidas que son necesarias para resolver problemas complejos. Cuanto mayor es el número de problemas que se resuelven, más preguntas surgen a la hora de resolverlos. La respuesta a estas preguntas a veces parece un misterio; al aprender nuevas propiedades del trapezoide, métodos inusuales para resolver problemas, así como la técnica de construcciones adicionales, poco a poco vamos descubriendo los secretos del trapezoide. En Internet, si lo escribe en un motor de búsqueda, hay muy poca literatura sobre métodos para resolver problemas sobre el tema "trapezoide". En el proceso de trabajo en el proyecto se encontró una gran cantidad de información que ayudará a los estudiantes en un estudio en profundidad de la geometría.

Trapezoide.

Definiciones

trapezoide – un cuadrilátero en el que sólo un par de lados es paralelo (y el otro par de lados no es paralelo).

Los lados paralelos de un trapecio se llaman razones. .
Los otros dos son los lados. Si los lados son iguales se llama trapezoide.

isósceles Un trapezoide que tiene ángulos rectos en sus lados se llama

rectangularEl segmento que une los puntos medios de los lados se llama.

línea media del trapezoide

2 La distancia entre las bases se llama altura del trapezoide.

3. Propiedades de un trapezoide isósceles

4

1
. Las diagonales de un trapecio isósceles son iguales.

0. La proyección del lado lateral de un trapezoide isósceles sobre la base mayor es igual a la mitad de la diferencia de las bases, y la proyección de la diagonal es igual a la suma de las bases.

3. Círculo inscrito y circunscrito

Si la suma de las bases de un trapezoide es igual a la suma de los lados, entonces se puede inscribir en él un círculo.
mi

Si el trapezoide es isósceles, entonces se puede describir un círculo a su alrededor.

4 . Propiedades de los trapecios inscritos y circunscritos.

2. Si se puede inscribir un círculo en un trapezoide isósceles, entonces

4 . la suma de las longitudes de las bases es igual a la suma de las longitudes de los lados. Por tanto, la longitud del lado lateral es igual a la longitud de la línea media del trapezoide.

Si un círculo está inscrito en un trapecio, entonces los lados desde su centro son visibles en un ángulo de 90°. Si un círculo está inscrito en un trapezoide y toca uno de sus lados, lo divide en segmentos. metro , y N

1

0 entonces el radio del círculo inscrito es igual a la media geométrica de estos segmentos.

. Si se construye un círculo sobre la base más pequeña de un trapezoide como diámetro, pasa por los puntos medios de las diagonales y toca la base inferior, entonces los ángulos del trapezoide son 30°, 30°, 150°, 150°.

5. Valores medios en un trapecio

Significado geometrico En cualquier trapezoide con bases. a Y b Para > ab :

la desigualdad es cierta

b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a

1
. Los puntos medios de las diagonales de un trapezoide y los puntos medios de los lados laterales se encuentran en la misma línea recta.

El punto de intersección de la continuación de los lados de un trapezoide arbitrario, el punto de intersección de sus diagonales y los puntos medios de las bases se encuentran en la misma línea recta.

6. La suma de los cuadrados de las diagonales de un trapezoide arbitrario es igual a la suma de los cuadrados de los lados laterales sumados al doble del producto de las bases.

d 1 2 + d 2 2 = C 2 + d 2 + 2 ab

7
. En un trapezoide rectangular, la diferencia de los cuadrados de las diagonales es igual a la diferencia de los cuadrados de las bases. d 1 2 - d 2 2 = En cualquier trapezoide con bases. 2 – Y 2

8 . Las líneas rectas que cortan los lados de un ángulo cortan segmentos proporcionales de los lados del ángulo.

9. Un segmento paralelo a las bases y que pasa por el punto de intersección de las diagonales se divide por la mitad por estas últimas.

7. Signos de un trapecio

8 . Construcciones adicionales en trapecio.

1. El segmento que conecta los puntos medios de los lados es la línea media del trapezoide.

2
. Segmento paralelo a uno de los lados laterales de un trapezoide, uno de cuyos extremos coincide con la mitad del otro lado lateral, el otro pertenece a la recta que contiene la base.

3
. Si se dan todos los lados de un trapezoide, se traza una línea recta paralela al lado que pasa por el vértice de la base más pequeña. El resultado es un triángulo con lados iguales a los lados laterales del trapezoide y la diferencia de las bases. Usando la fórmula de Heron, encuentra el área del triángulo, luego la altura del triángulo, que es igual a la altura del trapezoide.

4

. La altura de un trapezoide isósceles, tomada desde el vértice de la base menor, divide la base mayor en segmentos, uno de los cuales es igual a la mitad de la diferencia de las bases y el otro a la mitad de la suma de las bases del trapecio. es decir, la línea media del trapezoide.

5. Las alturas del trapezoide, bajadas de los vértices de una base, se recortan en línea recta que contiene la otra base, un segmento igual a la primera base.

6
. Un segmento paralelo a una de las diagonales del trapezoide se dibuja a través de un vértice, un punto que es el final de la otra diagonal. El resultado es un triángulo con dos lados iguales a las diagonales del trapezoide y el tercero igual a la suma de las bases.

7
.El segmento que conecta los puntos medios de las diagonales es igual a la mitad de la diferencia de las bases del trapezoide.

8. Las bisectrices de los ángulos adyacentes a uno de los lados laterales del trapezoide son perpendiculares y se cruzan en un punto que se encuentra en la línea media del trapezoide, es decir, cuando se cruzan, se forma un triángulo rectángulo con una hipotenusa igual a la lateral. lado.

9. La bisectriz de un ángulo trapezoide corta un triángulo isósceles.

1
0. Las diagonales de un trapecio arbitrario, cuando se cruzan, forman dos triángulos similares con un coeficiente de similitud igual a la relación de las bases, y dos triángulos iguales adyacentes a los lados laterales.

1
1. Las diagonales de un trapezoide arbitrario, cuando se cruzan, forman dos triángulos similares con un coeficiente de similitud igual a la relación de las bases, y dos triángulos iguales adyacentes a los lados laterales.

1
2. La continuación de los lados del trapezoide hasta la intersección permite considerar triángulos semejantes.

13. Si un círculo está inscrito en un trapezoide isósceles, entonces calcule la altura del trapezoide: la media geométrica del producto de las bases del trapezoide o el doble de la media geométrica del producto de los segmentos del lado lateral en el que se encuentra. se divide por el punto de tangencia.

9. Área de un trapezoide

1 . El área de un trapezoide es igual al producto de la mitad de la suma de las bases por la altura. S = ½( Para + a) h o

PAG

El área de un trapezoide es igual al producto de la línea media del trapezoide por su altura S = Si un círculo está inscrito en un trapezoide y toca uno de sus lados, lo divide en segmentos. h .

2. El área de un trapezoide es igual al producto de un lado por una perpendicular trazada desde la mitad del otro lado hasta la línea que contiene el primer lado.

Área de un trapezoide isósceles con radio de círculo inscrito igual a ry ángulo en la baseα :

10. Conclusión

¿DÓNDE, CÓMO Y PARA QUÉ SE UTILIZA EL TRAPECIO?

Trapecio en el deporte: El trapecio es sin duda un invento progresista de la humanidad. Está diseñado para aliviar nuestras manos y hacer de la práctica del windsurf un descanso cómodo y fácil. Caminar sobre una tabla corta no tiene ningún sentido sin un trapecio, ya que sin él es imposible distribuir correctamente la tracción entre el escalón y las piernas y acelerar de manera efectiva.

El trapecio en la moda: El trapecio en la ropa era popular en la Edad Media, en la época románica de los siglos IX-XI. En ese momento, la base de la ropa de las mujeres eran las túnicas hasta el suelo; hacia abajo, la túnica se expandía mucho, lo que creaba un efecto trapezoidal. El resurgimiento de la silueta se produjo en 1961 y se convirtió en un canto a la juventud, la independencia y la sofisticación. La frágil modelo Leslie Hornby, conocida como Twiggy, jugó un papel muy importante en la popularización del trapecio. Una chica baja, de complexión anoréxica y ojos enormes se convirtió en un símbolo de la época, y sus conjuntos favoritos eran los vestidos cortos de corte A.

Trapezoide en la naturaleza: El trapezoide también se encuentra en la naturaleza. Los humanos tienen un músculo trapecio y algunas personas tienen una cara en forma de trapecio. Los pétalos de flores, las constelaciones y, por supuesto, el monte Kilimanjaro también tienen forma trapezoidal.

Trapezoide en la vida cotidiana: El trapezoide también se utiliza en la vida cotidiana porque su forma es práctica. Se encuentra en objetos tales como: cucharón de excavadora, mesa, tornillo, máquina.

El trapezoide es un símbolo de la arquitectura inca. La forma estilística dominante en la arquitectura inca es simple pero elegante: el trapezoide. No sólo tiene un significado funcional, sino también un diseño artístico estrictamente limitado. Puertas, ventanas y nichos de pared trapezoidales se encuentran en edificios de todo tipo, tanto en templos como en edificios menores de construcción más tosca, por así decirlo. El trapezoide también se encuentra en la arquitectura moderna. Esta forma de construcción es inusual, por lo que estos edificios siempre atraen la atención de los transeúntes.

Trapezoide en tecnología: El trapezoide se utiliza en el diseño de piezas en tecnología espacial y aviación. Por ejemplo, algunos paneles solares de las estaciones espaciales tienen forma de trapezoide porque tienen una gran superficie, lo que significa que acumulan más energía solar.

En el siglo XXI, la gente prácticamente ya no piensa en el significado de las formas geométricas en sus vidas. No les importa en absoluto la forma que tengan su escritorio, sus gafas o su teléfono. Simplemente eligen la forma que les resulte práctica. Pero el uso del objeto, su finalidad y el resultado del trabajo pueden depender de la forma de tal o cual cosa. Hoy les presentamos uno de los mayores logros de la humanidad: el trapecio. Te abrimos la puerta al maravilloso mundo de las figuras, te contamos los secretos del trapezoide y te mostramos que la geometría nos rodea.

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Solicitud

1. Demostración de algunas propiedades del trapezoide.

1. Una línea recta que pasa por el punto de intersección de las diagonales de un trapezoide paralela a sus bases corta los lados laterales del trapezoide en los puntosk Y l . Demuestre que si las bases de un trapezoide son iguales A a Y , Eso longitud del segmento kl igual a la media geométrica de las bases del trapezoide. Prueba

DejarACERCA DE - punto de intersección de diagonales,ANUNCIO = un sol = Y . Directo kl paralelo a la baseANUNCIO , por eso,k ACERCA DE║ ANUNCIO , triangulosEN k ACERCA DE YMALO son similares, por lo tanto

(1)

(2)

Sustituyamos (2) en (1), obtenemos KO =

Asimismo L.O.= Entonces k l = K.O. + L.O. =

EN Para cualquier trapezoide, el punto medio de las bases, el punto de intersección de las diagonales y el punto de intersección de la continuación de los lados laterales se encuentran en la misma línea recta.

Prueba: Dejemos que las extensiones de los lados se crucen en el puntoA. a través del puntoA y puntoACERCA DE intersecciones diagonalesdibujemos una línea recta CO.

k

Demostremos que esta línea divide las bases por la mitad.

ACERCA DE significativomáquina virtual = x, EM = y, UN = Y, DAKOTA DEL NORTE = v . Tenemos:

∆ VKM ~ ∆AKN →

METRO

X

B

C

Y