Teori singkat

Biarkan percobaan independen dilakukan, yang masing-masing peluang terjadinya suatu peristiwa sama dengan . Untuk menentukan peluang terjadinya suatu peristiwa dalam pengujian ini digunakan rumus Bernoulli. Jika besar, gunakan atau. Namun formula ini kurang cocok jika ukurannya kecil. Dalam kasus ini (besar, kecil) mereka menggunakan cara asimtotik rumus Poisson.

Mari kita tentukan sendiri tugas untuk menemukan probabilitas bahwa, dengan jumlah percobaan yang sangat besar, yang masing-masing percobaan memiliki probabilitas suatu peristiwa yang sangat kecil, peristiwa tersebut akan terjadi tepat satu kali. Mari kita membuat asumsi penting: hasil kali mempertahankan nilai konstan, yaitu . Artinya rata-rata banyaknya kemunculan suatu peristiwa dalam rangkaian percobaan yang berbeda, yaitu. untuk nilai yang berbeda, tetap tidak berubah.

Contoh penyelesaian masalah

Masalah 1

Pangkalan tersebut menerima 10.000 lampu listrik. Peluang lampu pecah selama perjalanan adalah 0,0003. Tentukan peluang bahwa di antara lampu yang diterima, lima lampu akan rusak.

Larutan

Syarat penerapan rumus Poisson:

Jika probabilitas suatu peristiwa terjadi dalam satu percobaan mendekati nol, bahkan untuk nilai jumlah percobaan yang besar, probabilitas yang dihitung menggunakan teorema lokal Laplace ternyata kurang akurat. Dalam kasus seperti itu, gunakan rumus yang diturunkan oleh Poisson.

Biarkan acara - 5 lampu rusak

Mari kita gunakan rumus Poisson:

Dalam kasus kami:

Menjawab

Masalah 2

Perusahaan mempunyai 1000 unit peralatan jenis tertentu. Peluang suatu peralatan rusak dalam waktu satu jam adalah 0,001. Buatlah hukum distribusi jumlah kegagalan peralatan per jam. Temukan karakteristik numerik.

Larutan

Variabel acak - jumlah kegagalan peralatan, dapat mengambil nilai

Mari kita gunakan hukum Poisson:

Mari kita cari probabilitas berikut:

Ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak yang terdistribusi menurut hukum Poisson sama dengan parameter distribusi ini:

Rata-rata biaya penyelesaian tes adalah 700 - 1200 rubel (tetapi tidak kurang dari 300 rubel untuk seluruh pesanan). Harga sangat dipengaruhi oleh urgensi keputusan (dari sehari hingga beberapa jam). Biaya bantuan online untuk ujian/tes mulai dari 1000 rubel. untuk memecahkan tiket.

Anda dapat meninggalkan permintaan langsung di obrolan, setelah sebelumnya mengirimkan ketentuan tugas dan memberi tahu Anda jangka waktu solusi yang Anda butuhkan. Waktu respons adalah beberapa menit.

Perkenalan

Apakah fenomena acak tunduk pada hukum apa pun? Ya, tapi hukum-hukum ini berbeda dengan hukum fisika yang kita kenal. Nilai SV tidak dapat diprediksi bahkan dalam kondisi eksperimen yang diketahui; kita hanya dapat menunjukkan probabilitas bahwa SV akan mengambil nilai tertentu. Namun dengan mengetahui distribusi probabilitas SV, kita dapat menarik kesimpulan tentang peristiwa yang melibatkan variabel acak ini. Benar, kesimpulan ini juga bersifat probabilistik.

Biarkan beberapa SV menjadi diskrit, mis. hanya dapat mengambil nilai tetap Xi. Dalam hal ini, rangkaian nilai probabilitas P(Xi) untuk semua (i=1…n) nilai yang diperbolehkan dari besaran ini disebut hukum distribusinya.

Hukum distribusi SV adalah hubungan yang membentuk hubungan antara kemungkinan nilai SV dan probabilitas diterimanya nilai-nilai tersebut. Hukum distribusi sepenuhnya menjadi ciri SV.

Ketika membangun model matematika untuk menguji hipotesis statistik, perlu diperkenalkan asumsi matematis tentang hukum distribusi SV (cara parametrik membangun model).

Pendekatan nonparametrik dalam mendeskripsikan model matematika (SV tidak memiliki hukum distribusi parametrik) kurang akurat, namun memiliki cakupan yang lebih luas.

Sama seperti peluang suatu kejadian acak, untuk hukum distribusi SV hanya ada dua cara untuk mencarinya. Entah kita membuat diagram kejadian acak dan menemukan ekspresi analitis (rumus) untuk menghitung probabilitas (mungkin seseorang telah atau akan melakukan ini untuk kita!), atau kita harus menggunakan eksperimen dan, berdasarkan frekuensi pengamatan, membuat beberapa asumsi (mengajukan hipotesis) tentang hukum distribusi.

Tentu saja, untuk setiap distribusi “klasik”, pekerjaan ini telah dilakukan sejak lama - yang dikenal luas dan sangat sering digunakan dalam statistik terapan adalah distribusi binomial dan polinomial, distribusi geometri dan hipergeometri, distribusi Pascal dan Poisson dan banyak lainnya.

Untuk hampir semua distribusi klasik, tabel statistik khusus segera dibuat dan diterbitkan, disempurnakan seiring dengan peningkatan akurasi penghitungan. Tanpa penggunaan banyak tabel ini, tanpa pelatihan tentang aturan penggunaannya, penggunaan statistik secara praktis tidak mungkin dilakukan selama dua abad terakhir.

Saat ini situasinya telah berubah - tidak perlu menyimpan data perhitungan menggunakan rumus (tidak peduli betapa rumitnya rumus tersebut!), waktu untuk menggunakan hukum distribusi untuk latihan telah dikurangi menjadi menit, atau bahkan detik. Sudah terdapat cukup banyak paket perangkat lunak aplikasi yang berbeda untuk tujuan ini.

Di antara semua distribusi probabilitas, ada distribusi yang sering digunakan dalam praktik. Distribusi ini telah dipelajari secara rinci dan sifat-sifatnya telah diketahui dengan baik. Banyak dari distribusi ini mendasari seluruh bidang pengetahuan - seperti teori antrian, teori keandalan, pengendalian kualitas, teori permainan, dll.

Di antara mereka, kita tidak bisa tidak memperhatikan karya Poisson (1781-1840), yang membuktikan bentuk hukum bilangan besar yang lebih umum daripada Jacob Bernoulli, dan juga untuk pertama kalinya menerapkan teori probabilitas pada masalah menembak. . Nama Poisson dikaitkan dengan salah satu hukum distribusi yang berperan penting dalam teori probabilitas dan penerapannya.

Hukum distribusi inilah yang menjadi fokus makalah ini. Kita akan membahas langsung tentang hukum, sifat matematika, sifat khusus, dan hubungannya dengan distribusi binomial. Beberapa kata akan dikatakan tentang penerapan praktis dan beberapa contoh dari praktik akan diberikan.

Tujuan esai kami adalah untuk memperjelas esensi teorema distribusi Bernoulli dan Poisson.

Tugasnya adalah mempelajari dan menganalisis literatur tentang topik esai.

1. Distribusi Binomial (Distribusi Bernoulli)

Distribusi binomial (distribusi Bernoulli) - distribusi probabilitas banyaknya kejadian suatu peristiwa selama percobaan independen berulang, jika peluang terjadinya peristiwa ini dalam setiap percobaan sama dengan p (0

SV X dikatakan terdistribusi menurut hukum Bernoulli dengan parameter p jika mengambil nilai 0 dan 1 dengan probabilitas pX(x)ºP(X=x) = pxq1-x; p+q=1; x=0,1.

Distribusi binomial muncul ketika pertanyaan diajukan: berapa kali suatu peristiwa tertentu terjadi dalam serangkaian sejumlah pengamatan independen (percobaan) yang dilakukan dalam kondisi yang sama.

Untuk memudahkan dan kejelasan, kita asumsikan kita mengetahui nilai p – peluang pengunjung yang masuk ke toko akan menjadi pembeli dan (1– p) = q – peluang pengunjung yang masuk ke toko tidak akan menjadi pembeli. seorang pembeli.

Jika X adalah banyaknya pembeli dari jumlah n pengunjung, maka peluang terdapat k pembeli di antara n pengunjung tersebut adalah

P(X= k) = , dimana k=0,1,…n 1)

Rumus (1) disebut rumus Bernoulli. Dengan jumlah pengujian yang banyak, distribusi binomial cenderung normal.

Tes Bernoulli adalah percobaan probabilitas dengan dua hasil, yang biasanya disebut “sukses” (biasanya dilambangkan dengan simbol 1) dan “gagal” (masing-masing dilambangkan dengan simbol 0). Peluang sukses biasanya dilambangkan dengan huruf p, kegagalan - dengan huruf q; tentu saja q=1-p. Nilai p disebut parameter uji Bernoulli.

Variabel acak binomial, geometrik, pascal, dan binomial negatif diperoleh dari rangkaian percobaan Bernoulli bebas jika barisan tersebut diakhiri dengan satu atau lain cara, misalnya setelah percobaan ke-n atau keberhasilan ke-x. Terminologi berikut ini umum digunakan:

– Parameter uji Bernoulli (probabilitas keberhasilan dalam satu pengujian);

– jumlah tes;

– jumlah keberhasilan;

– jumlah kegagalan.

Variabel acak binomial (m|n,p) – jumlah m keberhasilan dalam n percobaan.

Variabel acak geometris G(m|p) – jumlah m percobaan hingga keberhasilan pertama (termasuk keberhasilan pertama).

Variabel acak pascal C(m|x,p) – jumlah m percobaan hingga keberhasilan ke-x (tidak termasuk, tentu saja, keberhasilan ke-x itu sendiri).

Variabel acak binomial negatif Y(m|x,p) – jumlah m kegagalan sebelum keberhasilan ke-x (tidak termasuk keberhasilan ke-x).

Catatan: terkadang distribusi binomial negatif disebut distribusi Pascal dan sebaliknya.

Distribusi racun

2.1. Definisi hukum Poisson

Dalam banyak permasalahan praktis, kita harus berhadapan dengan variabel acak yang terdistribusi menurut hukum khusus, yang disebut hukum Poisson.

Mari kita pertimbangkan variabel acak diskontinyu X, yang hanya dapat mengambil nilai bilangan bulat dan non-negatif: 0, 1, 2, ... , m, ... ; dan urutan nilai-nilai ini secara teori tidak terbatas. Suatu variabel acak X dikatakan terdistribusi menurut hukum Poisson jika peluang munculnya nilai m tertentu dinyatakan dengan rumus:

dimana a adalah besaran positif yang disebut parameter hukum Poisson.

Deret distribusi variabel acak X, yang terdistribusi menurut hukum Poisson, terlihat seperti ini:

2.2.Karakteristik utama distribusi Poisson

Pertama, pastikan barisan probabilitas dapat berupa deret distribusi, yaitu. bahwa jumlah semua probabilitas Рm sama dengan satu.

Kami menggunakan perluasan fungsi ex dalam deret Maclaurin:

Diketahui deret ini konvergen untuk sembarang nilai x, oleh karena itu, dengan mengambil x = a, kita peroleh

karena itu

Mari kita tentukan karakteristik utama - ekspektasi matematis dan dispersi - dari variabel acak X yang terdistribusi menurut hukum Poisson. Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit adalah jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dan probabilitasnya. Menurut definisi, ketika variabel acak diskrit mengambil sekumpulan nilai yang dapat dihitung:

Suku pertama penjumlahan (sesuai dengan m=0) sama dengan nol, oleh karena itu, penjumlahannya dapat dimulai dengan m=1:

Jadi, parameter a tidak lain adalah ekspektasi matematis dari variabel acak X.

Varians suatu variabel acak X adalah ekspektasi matematis dari deviasi kuadrat suatu variabel acak dari ekspektasi matematisnya:

Namun, lebih mudah menghitungnya menggunakan rumus:

Oleh karena itu, mari kita cari dulu momen awal kedua dari nilai X:

Menurut terbukti sebelumnya

Di samping itu,

2.3.Karakteristik tambahan dari distribusi Poisson

I. Momen awal orde k suatu variabel acak X adalah ekspektasi matematis dari nilai Xk:

Secara khusus, momen awal orde pertama sama dengan ekspektasi matematis:

II. Momen sentral orde k dari variabel acak X adalah ekspektasi matematis dari nilai k:

Khususnya, momen sentral orde pertama adalah 0:

μ1=M=0,

momen sentral orde 2 sama dengan dispersi:

μ2=M2=sebuah.

AKU AKU AKU. Untuk variabel acak X yang terdistribusi menurut hukum Poisson, kita mencari peluang bahwa variabel tersebut akan mengambil nilai tidak kurang dari k yang diberikan. Kami menyatakan probabilitas ini dengan Rk:

Jelasnya, probabilitas Rk dapat dihitung sebagai penjumlahan

Namun, lebih mudah untuk menentukannya berdasarkan kemungkinan kejadian sebaliknya:

Secara khusus, probabilitas bahwa nilai X akan bernilai positif dinyatakan dengan rumus

Seperti telah disebutkan, banyak soal latihan menghasilkan distribusi Poisson. Mari kita pertimbangkan salah satu masalah umum seperti ini.

Gambar.2

Biarkan titik-titik terdistribusi secara acak pada sumbu x Sapi (Gbr. 2). Mari kita asumsikan bahwa distribusi poin secara acak memenuhi kondisi berikut:

1) Peluang jatuhnya sejumlah titik tertentu pada suatu ruas l hanya bergantung pada panjang ruas tersebut, tetapi tidak bergantung pada posisinya pada sumbu absis. Dengan kata lain, titik-titik tersebut tersebar pada sumbu x dengan kepadatan rata-rata yang sama. Mari kita nyatakan kepadatan ini, mis. ekspektasi matematis dari jumlah titik per satuan panjang, dinyatakan melalui λ.

2) Titik-titik didistribusikan pada sumbu x secara independen satu sama lain, yaitu. peluang sejumlah titik tertentu jatuh pada suatu ruas tertentu tidak bergantung pada berapa banyak titik tersebut yang jatuh pada ruas lain yang tidak tumpang tindih dengannya.

3) Peluang jatuhnya dua titik atau lebih pada area kecil Δx dapat diabaikan dibandingkan dengan peluang jatuhnya satu titik (kondisi ini berarti ketidakmungkinan praktis dua titik atau lebih berhimpitan).

Mari kita pilih segmen tertentu dengan panjang l pada sumbu absis dan pertimbangkan variabel acak diskrit X - jumlah titik yang jatuh pada segmen ini. Nilai kuantitas yang mungkin adalah 0,1,2,...,m,... Karena titik-titik terletak pada segmen secara independen satu sama lain, secara teori mungkin saja akan ada sebanyak mungkin titik-titik tersebut diinginkan, yaitu seri ini berlanjut tanpa batas waktu.

Mari kita buktikan bahwa variabel acak X terdistribusi menurut hukum Poisson. Untuk melakukan ini, Anda perlu menghitung probabilitas Pm bahwa tepat m titik akan jatuh pada segmen tersebut.

Mari kita selesaikan masalah yang lebih sederhana terlebih dahulu. Mari kita perhatikan area kecil Δx pada sumbu Ox dan hitung probabilitas bahwa paling sedikit satu titik akan jatuh pada area tersebut. Kami akan beralasan sebagai berikut. Ekspektasi matematis dari jumlah titik yang jatuh pada bagian ini jelas sama dengan λ·Δх (karena rata-rata λ titik jatuh per satuan panjang). Berdasarkan kondisi 3, untuk segmen kecil Δx kita dapat mengabaikan kemungkinan jatuhnya dua titik atau lebih pada segmen tersebut. Oleh karena itu, ekspektasi matematis λ·Δх dari jumlah titik yang jatuh pada area Δх kira-kira sama dengan probabilitas satu titik jatuh pada area tersebut (atau, yang setara dalam kondisi ini, setidaknya satu).

Jadi, hingga tingkat yang sangat kecil, untuk Δx→0 kita dapat mempertimbangkan probabilitas bahwa satu (setidaknya satu) titik akan jatuh pada bagian Δx sama dengan λ·Δx, dan probabilitas bahwa tidak ada satu titik pun yang jatuh sama dengan 1 -c ·Δх.

Mari kita gunakan ini untuk menghitung probabilitas Pm tepat m titik yang jatuh pada segmen l. Mari kita bagi segmen l menjadi n bagian yang sama panjangnya. Kita sepakat untuk menyebut segmen dasar Δx “kosong” jika tidak memuat satu titik pun, dan “terisi” jika setidaknya ada satu titik. Berdasarkan penjelasan di atas, probabilitas bahwa segmen Δх akan “dihuni” kira-kira sama dengan λ·Δх= ; probabilitas bahwa itu akan "kosong" adalah 1-. Karena, menurut kondisi 2, titik-titik yang termasuk dalam segmen yang tidak tumpang tindih adalah independen, maka n segmen kita dapat dianggap sebagai n “percobaan” independen, yang masing-masing segmen tersebut dapat “diisi” dengan probabilitas p=. Mari kita cari peluang bahwa di antara n segmen akan terdapat tepat m "terisi". Menurut teorema percobaan independen berulang, probabilitas ini sama dengan

,

atau mari kita nyatakan λl=a:

.

Untuk n yang cukup besar, probabilitas ini kira-kira sama dengan probabilitas tepat m titik jatuh pada segmen l, karena peluang jatuhnya dua titik atau lebih pada ruas Δx dapat diabaikan. Untuk mencari nilai pasti dari Рm, Anda harus mencari limitnya sebagai n→∞:

Mengingat bahwa

,

kami menemukan bahwa probabilitas yang diinginkan dinyatakan dengan rumus

dimana a=λl, yaitu nilai X terdistribusi menurut hukum Poisson dengan parameter a=λl.

Perlu diperhatikan bahwa nilai a dalam arti mewakili jumlah rata-rata titik per segmen l. Nilai R1 (peluang bahwa nilai X akan mengambil nilai positif) dalam hal ini menyatakan peluang paling sedikit satu titik akan jatuh pada ruas l: R1=1-ea.

Jadi, kami yakin bahwa distribusi Poisson terjadi ketika beberapa titik (atau elemen lain) menempati posisi acak secara independen satu sama lain, dan jumlah titik-titik yang termasuk dalam suatu area dihitung. Dalam kasus kami, luas tersebut adalah segmen l pada sumbu absis. Namun, kesimpulan ini dapat dengan mudah diperluas ke kasus distribusi titik-titik pada bidang (bidang titik datar acak) dan dalam ruang (bidang titik spasial acak). Tidak sulit untuk membuktikannya jika syaratnya terpenuhi:

1) titik-titik terdistribusi secara merata secara statistik di lapangan dengan kepadatan rata-rata λ;

2) titik-titik tersebut jatuh ke dalam wilayah-wilayah yang tidak tumpang tindih secara mandiri;

3) titik-titik muncul sendiri-sendiri, tidak berpasangan, kembar tiga, dsb,

maka banyaknya titik X yang jatuh pada suatu wilayah D (datar atau spasial) didistribusikan menurut hukum Poisson:

,

dimana a adalah jumlah rata-rata titik yang jatuh pada area D.

Untuk kasus datar a=SD λ, dimana SD adalah luas daerah D,

untuk spasial a= VD λ, dimana VD adalah volume daerah D.

Untuk distribusi Poisson jumlah titik yang termasuk dalam suatu segmen atau wilayah, kondisi kepadatan konstan (λ=const) tidak penting. Jika dua kondisi lainnya terpenuhi, maka hukum Poisson tetap berlaku, hanya parameter a di dalamnya yang memiliki ekspresi berbeda: diperoleh tidak hanya dengan mengalikan massa jenis dengan panjang, luas, atau volume, tetapi dengan mengintegrasikan variabel massa jenis. atas segmen, luas atau volume.

Distribusi Poisson memainkan peran penting dalam sejumlah masalah fisika, teori komunikasi, teori reliabilitas, teori antrian, dll. Di mana saja di mana sejumlah peristiwa acak (peluruhan radioaktif, panggilan telepon, kegagalan peralatan, kecelakaan, dll.) dapat terjadi dalam jangka waktu tertentu.

Mari kita perhatikan situasi paling umum di mana distribusi Poisson muncul. Biarkan beberapa peristiwa (pembelian di toko) terjadi pada waktu yang acak. Mari kita tentukan banyaknya kejadian peristiwa tersebut dalam selang waktu dari 0 sampai T.

Banyaknya kejadian acak yang terjadi selama waktu dari 0 hingga T didistribusikan menurut hukum Poisson dengan parameter l=aT, dimana a>0 merupakan parameter masalah yang mencerminkan frekuensi rata-rata kejadian. Probabilitas k pembelian dalam interval waktu yang besar (misalnya, satu hari) adalah

Kesimpulan

Sebagai kesimpulan, saya ingin mencatat bahwa distribusi Poisson adalah distribusi yang cukup umum dan penting yang memiliki penerapan baik dalam teori probabilitas dan penerapannya, serta dalam statistik matematika.

Banyak masalah praktis yang akhirnya timbul pada distribusi Poisson. Sifat khususnya, yang terdiri dari persamaan ekspektasi dan varians matematis, sering digunakan dalam praktik untuk menyelesaikan pertanyaan apakah suatu variabel acak terdistribusi menurut hukum Poisson atau tidak.

Yang juga penting adalah fakta bahwa hukum Poisson memungkinkan seseorang menemukan probabilitas suatu peristiwa dalam percobaan independen yang berulang dengan jumlah pengulangan percobaan yang besar dan probabilitas tunggal yang kecil.

Namun, distribusi Bernoulli sangat jarang digunakan dalam praktik perhitungan ekonomi dan, khususnya, dalam analisis stabilitas. Hal ini disebabkan oleh kesulitan komputasi dan fakta bahwa distribusi Bernoulli adalah untuk besaran diskrit, dan fakta bahwa kondisi skema klasik (independensi, jumlah pengujian yang dapat dihitung, invarian kondisi yang mempengaruhi kemungkinan terjadinya suatu peristiwa) tidak selalu dipenuhi dalam situasi praktis. Penelitian lebih lanjut dalam bidang analisis skema Bernoulli, dilakukan pada abad 18-19. Laplace, Moivre, Poisson dan lain-lain bertujuan untuk menciptakan kemungkinan penggunaan skema Bernoulli dalam kasus sejumlah besar pengujian yang cenderung tak terbatas.

Literatur

1. Ventzel E.S. Teori probabilitas. - M, "Sekolah Tinggi" 1998

2. Gmurman V.E. Panduan untuk memecahkan masalah dalam teori probabilitas dan statistik matematika. - M, "Sekolah Tinggi" 1998

3. Kumpulan soal-soal matematika untuk perguruan tinggi. Ed. Efimova A.V. - M, Sains 1990

Distribusi racun.

Mari kita perhatikan situasi paling umum di mana distribusi Poisson muncul. Biarkan acaranya A muncul beberapa kali dalam suatu luas ruang tetap (interval, luas, volume) atau jangka waktu tertentu dengan intensitas tetap. Untuk lebih spesifiknya, pertimbangkan kejadian berurutan dari waktu ke waktu, yang disebut aliran peristiwa. Secara grafis, alur peristiwa dapat digambarkan dengan banyak titik yang terletak pada sumbu waktu.

Ini bisa berupa aliran panggilan di sektor jasa (perbaikan peralatan rumah tangga, panggilan ambulans, dll.), aliran panggilan ke sentral telepon, kegagalan beberapa bagian sistem, peluruhan radioaktif, potongan kain atau logam. lembar dan jumlah cacat pada masing-masing lembar, dll. Distribusi Poisson paling berguna dalam permasalahan di mana Anda hanya perlu menentukan jumlah hasil positif (“keberhasilan”).

Bayangkan roti dengan kismis, dibagi menjadi potongan-potongan kecil dengan ukuran yang sama. Karena distribusi kismis yang acak, semua potongan tidak dapat diharapkan mengandung jumlah kismis yang sama. Ketika jumlah rata-rata kismis yang terkandung dalam potongan-potongan tersebut diketahui, maka distribusi Poisson memberikan probabilitas bahwa setiap potongan tertentu mengandung kismis. X=k(k= 0,1,2,...,)jumlah kismis.

Dengan kata lain, distribusi Poisson menentukan bagian mana dari rangkaian potongan panjang yang berisi 0, atau 1, atau 2, atau seterusnya. sejumlah sorotan.

Mari kita buat asumsi berikut.

1. Peluang terjadinya sejumlah peristiwa tertentu dalam selang waktu tertentu hanya bergantung pada panjang selang waktu tersebut, dan bukan pada posisinya pada sumbu waktu. Ini adalah sifat stasioneritas.

2. Terjadinya lebih dari satu peristiwa dalam jangka waktu yang cukup singkat praktis tidak mungkin terjadi, yaitu. probabilitas bersyarat terjadinya peristiwa lain dalam interval yang sama cenderung nol karena ® 0. Ini adalah sifat kewajaran.

3. Peluang terjadinya sejumlah kejadian tertentu dalam kurun waktu tertentu tidak bergantung pada banyaknya kejadian yang muncul pada kurun waktu lain. Ini adalah sifat kurangnya efek samping.

Alur peristiwa yang memenuhi proposisi di atas disebut yang paling sederhana.

Mari kita pertimbangkan jangka waktu yang cukup singkat. Berdasarkan properti 2, peristiwa tersebut mungkin muncul satu kali dalam interval ini atau tidak muncul sama sekali. Mari kita nyatakan probabilitas suatu peristiwa terjadi dengan R, dan non-penampilan – melalui q = 1-P. Kemungkinan R adalah konstan (properti 3) dan hanya bergantung pada nilai (properti 1). Ekspektasi matematis dari banyaknya kemunculan suatu peristiwa dalam interval tersebut akan sama dengan 0× Q+ 1× P = P. Maka rata-rata banyaknya terjadinya peristiwa per satuan waktu disebut intensitas aliran dan dilambangkan dengan A, itu. A = .

Pertimbangkan periode waktu yang terbatas T dan membaginya dengan N bagian = . Kemunculan peristiwa pada masing-masing interval ini bersifat independen (properti 2). Mari kita tentukan probabilitasnya dalam jangka waktu tertentu T pada intensitas aliran konstan A acara tersebut akan muncul dengan tepat X = k tidak akan muncul lagi n–k. Karena suatu peristiwa bisa di masing-masing N kesenjangan muncul tidak lebih dari 1 kali, maka untuk kemunculannya k sekali dalam satu segmen durasi T itu akan muncul di mana saja k interval dari total N. Ada total kombinasi seperti itu, dan probabilitas masing-masingnya sama. Akibatnya, dengan menjumlahkan teorema probabilitas kita memperoleh rumus Bernoulli yang terkenal untuk probabilitas yang diinginkan

Persamaan ini ditulis sebagai persamaan perkiraan, karena premis awal penurunannya adalah sifat 2, yang dipenuhi dengan lebih akurat jika semakin kecil . Untuk mendapatkan persamaan eksak, mari kita lanjutkan ke limit di ® 0 atau, yang sama, N® . Kami akan mendapatkannya setelah penggantian.

P = A= dan Q = 1 – .

Mari kita perkenalkan parameter baru = pada, artinya jumlah rata-rata kemunculan suatu peristiwa dalam suatu segmen T. Setelah transformasi sederhana dan meneruskan ke limit faktornya, kita peroleh.

= 1, = ,

Akhirnya kita dapatkan

, k = 0, 1, 2, ...

e = 2.718... adalah basis logaritma natural.

Definisi. Variabel acak X, yang hanya mengambil bilangan bulat, nilai positif 0, 1, 2, ... memiliki hukum distribusi Poisson dengan parameter if

Untuk k = 0, 1, 2, ...

Distribusi Poisson diusulkan oleh matematikawan Perancis S.D. Poisson (1781-1840). Ini digunakan untuk memecahkan masalah penghitungan probabilitas kejadian yang relatif jarang, acak, saling independen per satuan waktu, panjang, luas dan volume.

Untuk kasus ketika a) besar dan b) k= , rumus Stirling yang valid:

Untuk menghitung nilai selanjutnya, rumus berulang digunakan

P(k + 1) = P(k).

Contoh 1. Berapa peluang lahirnya dari 1000 orang pada hari tertentu: a) tidak ada, b) satu, c) dua, d) tiga orang?

Larutan. Karena P= 1/365, maka Q= 1 – 1/365 = 364/365 "1.

Kemudian

A) ,

B) ,

V) ,

G) .

Jadi, jika sampelnya 1000 orang, maka rata-rata jumlah orang yang lahir pada hari tertentu adalah 65 orang; 178; 244; 223.

Contoh 2. Tentukan nilai dengan probabilitas R acara tersebut muncul setidaknya sekali.

Larutan. Peristiwa A= (muncul minimal satu kali) dan = (tidak muncul satu kali pun). Karena itu .

Dari sini Dan .

Misalnya untuk R= 0,5, untuk R= 0,95 .

Contoh 3. Pada alat tenun yang dioperasikan oleh satu penenun, terjadi 90 kali putusnya benang dalam waktu satu jam. Temukan probabilitas bahwa setidaknya satu utas putus akan terjadi dalam 4 menit.

Larutan. Dengan syarat t = 4 menit. dan rata-rata jumlah istirahat per menit, dari mana . Peluang yang diperlukan adalah .

Properti. Ekspektasi matematis dan varians suatu variabel acak yang berdistribusi Poisson dengan parameternya sama dengan:

M(X) = D(X) = .

Ekspresi ini diperoleh dengan perhitungan langsung:

Di sinilah penggantian dilakukan N = k– 1 dan fakta bahwa .

Dengan melakukan transformasi serupa dengan yang digunakan pada output M(X), kita dapatkan

Distribusi Poisson digunakan untuk memperkirakan distribusi binomial secara luas N

Kasus paling umum dari berbagai jenis distribusi probabilitas adalah distribusi binomial. Mari kita gunakan keserbagunaannya untuk menentukan jenis distribusi tertentu yang paling umum ditemui dalam praktik.

Distribusi binomial

Misalkan ada suatu peristiwa A. Peluang terjadinya kejadian A sama dengan P, peluang tidak terjadinya kejadian A adalah 1 P, terkadang disebut sebagai Q. Membiarkan N jumlah tes, M frekuensi terjadinya peristiwa A dalam hal ini N tes.

Diketahui peluang total semua kemungkinan kombinasi hasil sama dengan satu, yaitu:

1 = P N + N · P N 1 (1 P) + C N N 2 · P N 2 (1 P) 2++ C N M · P M· (1 P) N – M++ (1 P) N .

Ekspektasi M distribusi binomial sama dengan:

M = N · P ,

Di mana N jumlah tes, P peluang terjadinya kejadian A.

Deviasi standar σ :

σ = persegi( N · P· (1 P)) .

Contoh 1. Hitung peluang suatu kejadian yang mempunyai peluang P= 0,5, masuk N= 10 percobaan akan terjadi M= 1 kali. Kami memiliki: C 10 1 = 10, dan selanjutnya: P 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,0098. Seperti yang bisa kita lihat, kemungkinan terjadinya peristiwa ini cukup rendah. Hal ini dijelaskan, pertama, oleh fakta bahwa sama sekali tidak jelas apakah peristiwa tersebut akan terjadi atau tidak, karena probabilitasnya adalah 0,5 dan peluangnya adalah “50 banding 50”; dan kedua, perlu dihitung bahwa peristiwa tersebut akan terjadi tepat satu kali (tidak lebih dan tidak kurang) dari sepuluh.

Contoh 2. Hitung peluang suatu kejadian yang mempunyai peluang P= 0,5, masuk N= 10 percobaan akan terjadi M= 2 kali. Kami memiliki: C 10 2 = 45, dan selanjutnya: P 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,044. Kemungkinan terjadinya peristiwa ini telah meningkat!

Contoh 3. Mari kita tingkatkan kemungkinan terjadinya peristiwa itu sendiri. Mari kita membuatnya lebih mungkin terjadi. Hitung peluang suatu kejadian yang mempunyai peluang P= 0,8, masuk N= 10 percobaan akan terjadi M= 1 kali. Kami memiliki: C 10 1 = 10, dan selanjutnya: P 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,000004. Kemungkinannya menjadi lebih kecil dibandingkan contoh pertama! Jawabannya sekilas tampak aneh, namun karena peristiwa tersebut memiliki probabilitas yang cukup tinggi, kecil kemungkinannya terjadi hanya sekali. Kemungkinan besar hal ini akan terjadi lebih dari satu kali. Memang, menghitung P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10 (probabilitas suatu kejadian masuk N= 10 percobaan akan terjadi 0, 1, 2, 3, , 10 kali), kita akan melihat:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,8 0 (1 0,8) 10 0 = 1 1 0,2 10 = 0,0000…;
P 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,0000…;
P 2 = 45 0,8 2 (1 0,8) 10 2 = 45 0,8 2 0,2 ​​8 = 0,0000…;
P 3 = 120 0,8 3 (1 0,8) 10 3 = 120 0,8 3 0,2 7 = 0,0008…;
P 4 = 210 0,8 4 (1 0,8) 10 4 = 210 0,8 4 0,2 6 = 0,0055…;
P 5 = 252 0,8 5 (1 0,8) 10 5 = 252 0,8 5 0,2 5 = 0,0264…;
P 6 = 210 0,8 6 (1 0,8) 10 6 = 210 0,8 6 0,2 4 = 0,0881…;
P 7 = 120 0,8 7 (1 0,8) 10 7 = 120 0,8 7 0,2 3 = 0,2013…;
P 8 = 45 0,8 8 (1 0,8) 10 8 = 45 0,8 8 0,2 2 = 0,3020…(probabilitas tertinggi!);
P 9 = 10 0,8 9 (1 0,8) 10 9 = 10 0,8 9 0,2 1 = 0,2684…;
P 10 = 1 0,8 10 (1 0,8) 10 10 = 1 0,8 10 0,2 0 = 0,1074…

Tentu saja P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Distribusi biasa

Jika kita menggambarkan jumlahnya P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10 yang kita hitung pada contoh 3, pada grafik ternyata distribusinya mempunyai bentuk yang mendekati hukum distribusi normal (lihat Gambar 27.1) (lihat kuliah 25. Pemodelan variabel acak berdistribusi normal).

Hukum binomial menjadi normal jika peluang terjadinya dan tidak terjadinya kejadian A kira-kira sama, yaitu kita dapat menulis secara kondisional: P≈ (1 P) . Sebagai contoh, mari kita ambil N= 10 dan P= 0,5 (yaitu P= 1 P = 0.5 ).

Kita akan sampai pada masalah seperti itu jika, misalnya, kita ingin menghitung secara teoritis berapa banyak anak laki-laki dan berapa banyak perempuan dari 10 anak yang lahir di rumah sakit bersalin pada hari yang sama. Lebih tepatnya kita tidak akan menghitung anak laki-laki dan perempuan, tetapi peluang lahirnya hanya anak laki-laki, lahir 1 laki-laki dan 9 perempuan, lahir 2 laki-laki dan 8 perempuan, dan seterusnya. Mari kita asumsikan secara sederhana bahwa kemungkinan memiliki anak laki-laki dan perempuan adalah sama dan sama dengan 0,5 (tetapi kenyataannya, sejujurnya, hal ini tidak terjadi, lihat kursus “Pemodelan Sistem Kecerdasan Buatan”).

Jelas bahwa distribusinya akan simetris, karena peluang munculnya 3 anak laki-laki dan 7 anak perempuan sama dengan peluang munculnya 7 anak laki-laki dan 3 anak perempuan. Kemungkinan terbesar untuk melahirkan adalah 5 anak laki-laki dan 5 anak perempuan. Probabilitas ini sama dengan 0,25, namun nilai absolutnya tidak terlalu besar. Selanjutnya, peluang lahirnya 10 atau 9 anak laki-laki sekaligus jauh lebih kecil dibandingkan peluang lahirnya 5 ± 1 anak laki-laki dari 10 anak. Distribusi binomial akan membantu kita melakukan perhitungan ini. Jadi.

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,5 0 (1 0,5) 10 0 = 1 1 0,5 10 = 0,000977…;
P 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,009766…;
P 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,043945…;
P 3 = 120 0,5 3 (1 0,5) 10 3 = 120 0,5 10 = 0,117188…;
P 4 = 210 0,5 4 (1 0,5) 10 4 = 210 0,5 10 = 0,205078…;
P 5 = 252 0,5 5 (1 0,5) 10 5 = 252 0,5 10 = 0,246094…;
P 6 = 210 0,5 6 (1 0,5) 10 6 = 210 0,5 10 = 0,205078…;
P 7 = 120 0,5 7 (1 0,5) 10 7 = 120 0,5 10 = 0,117188…;
P 8 = 45 0,5 8 (1 0,5) 10 8 = 45 0,5 10 = 0,043945…;
P 9 = 10 0,5 9 (1 0,5) 10 9 = 10 0,5 10 = 0,009766…;
P 10 = 1 0,5 10 (1 0,5) 10 10 = 1 0,5 10 = 0,000977…

Tentu saja P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Mari kita tampilkan besaran pada grafik P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10 (lihat Gambar 27.2).

Jadi, dalam kondisi M ≈ N/2 dan P≈ 1 P atau P≈ 0,5 daripada distribusi binomial, Anda dapat menggunakan distribusi normal. Untuk nilai yang besar N grafik bergeser ke kanan dan menjadi semakin datar, seiring dengan meningkatnya ekspektasi matematis dan varians N : M = N · P , D = N · P· (1 P) .

Omong-omong, hukum binomial cenderung normal dan meningkat N, yang cukup alami, menurut teorema limit pusat (lihat kuliah 34. Mencatat dan mengolah hasil statistik).

Sekarang perhatikan bagaimana hukum binomial berubah jika P ≠ Q, itu P> 0 . Dalam hal ini hipotesis distribusi normal tidak dapat diterapkan, dan distribusi binomial menjadi distribusi Poisson.

Distribusi racun

Distribusi Poisson merupakan kasus khusus dari distribusi binomial (dengan N>> 0 dan pada P>0 (kejadian langka)).

Sebuah rumus diketahui dari matematika yang memungkinkan Anda menghitung secara kasar nilai setiap anggota distribusi binomial:

Di mana A = N · P Parameter Poisson (ekspektasi matematis), dan variansnya sama dengan ekspektasi matematis. Mari kita sajikan perhitungan matematis yang menjelaskan transisi ini. Hukum distribusi binomial

P M = C N M · P M· (1 P) N – M

dapat ditulis jika Anda menempatkan P = A/N , dalam bentuk

Karena P sangat kecil, maka hanya angka saja yang diperhitungkan M, kecil dibandingkan dengan N. Bekerja

sangat dekat dengan kesatuan. Hal yang sama berlaku untuk ukurannya

Besarnya

sangat dekat dengan e – A. Dari sini kita mendapatkan rumusnya:

Contoh. Kotak itu berisi N= 100 bagian, baik berkualitas tinggi maupun cacat. Kemungkinan menerima produk cacat adalah P= 0,01 . Katakanlah kita mengeluarkan suatu produk, menentukan apakah produk tersebut cacat atau tidak, dan memasangnya kembali. Dengan melakukan hal tersebut, ternyata dari 100 produk yang kami periksa, ada dua produk yang cacat. Seberapa besar kemungkinannya?

Dari distribusi binomial kita peroleh:

Dari distribusi Poisson kita peroleh :

Seperti yang Anda lihat, nilainya ternyata dekat, sehingga dalam kasus kejadian yang jarang terjadi, penerapan hukum Poisson cukup dapat diterima, terutama karena memerlukan lebih sedikit upaya komputasi.

Mari kita tunjukkan secara grafis bentuk hukum Poisson. Mari kita ambil parameternya sebagai contoh P = 0.05 , N= 10 . Kemudian:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,05 0 (1 0,05) 10 0 = 1 1 0,95 10 = 0,5987…;
P 1 = 10 0,05 1 (1 0,05) 10 1 = 10 0,05 1 0,95 9 = 0,3151…;
P 2 = 45 0,05 2 (1 0,05) 10 2 = 45 0,05 2 0,95 8 = 0,0746…;
P 3 = 120 0,05 3 (1 0,05) 10 3 = 120 0,05 3 0,95 7 = 0,0105…;
P 4 = 210 0,05 4 (1 0,05) 10 4 = 210 0,05 4 0,95 6 = 0,00096…;
P 5 = 252 0,05 5 (1 0,05) 10 5 = 252 0,05 5 0,95 5 = 0,00006…;
P 6 = 210 0,05 6 (1 0,05) 10 6 = 210 0,05 6 0,95 4 = 0,0000…;
P 7 = 120 0,05 7 (1 0,05) 10 7 = 120 0,05 7 0,95 3 = 0,0000…;
P 8 = 45 0,05 8 (1 0,05) 10 8 = 45 0,05 8 0,95 2 = 0,0000…;
P 9 = 10 0,05 9 (1 0,05) 10 9 = 10 0,05 9 0,95 1 = 0,0000…;
P 10 = 1 0,05 10 (1 0,05) 10 10 = 1 0,05 10 0,95 0 = 0,0000…

Tentu saja P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Pada N> ∞ distribusi Poisson berubah menjadi hukum normal, menurut teorema limit pusat (lihat.

Misalnya, dicatat jumlah kecelakaan lalu lintas per minggu pada suatu ruas jalan tertentu. Angka ini merupakan variabel acak yang dapat mengambil nilai berikut: (tanpa batas atas). Jumlah kecelakaan di jalan raya bisa sebanyak yang Anda inginkan. Jika kita mempertimbangkan jangka waktu singkat dalam seminggu, katakanlah satu menit, maka suatu kejadian akan terjadi dalam jangka waktu tersebut atau tidak. Kemungkinan terjadinya kecelakaan lalu lintas dalam satu menit sangat kecil, dan kira-kira sama untuk semua menit.

Distribusi probabilitas jumlah kejadian dijelaskan dengan rumus:

dimana m adalah rata-rata jumlah kecelakaan per minggu pada suatu ruas jalan tertentu; e adalah konstanta yang sama dengan 2,718...

Karakteristik data yang paling sesuai dengan distribusi Poisson adalah:

1. Setiap interval waktu yang kecil dapat dianggap sebagai suatu pengalaman, yang hasilnya merupakan salah satu dari dua hal: suatu kejadian (“sukses”) atau ketidakhadirannya (“kegagalan”). Intervalnya sangat kecil sehingga hanya ada satu “kesuksesan” dalam satu interval, yang probabilitasnya kecil dan konstan.

2. Jumlah “keberhasilan” dalam satu interval besar tidak bergantung pada jumlah “keberhasilan” lainnya, yaitu. “kesuksesan” tersebar secara acak dalam interval waktu.

3. Jumlah rata-rata “keberhasilan” adalah konstan sepanjang waktu. Distribusi probabilitas Poisson dapat digunakan tidak hanya ketika bekerja dengan variabel acak dalam interval waktu tertentu, tetapi juga ketika memperhitungkan cacat permukaan jalan per kilometer perjalanan atau kesalahan ketik per halaman teks. Rumus umum distribusi probabilitas Poisson adalah:

dimana m adalah jumlah rata-rata “keberhasilan” per unit.

Dalam tabel distribusi probabilitas Poisson, nilai-nilai ditabulasikan untuk nilai m dan tertentu

Contoh 2.7. Rata-rata, tiga percakapan telepon dilakukan di sentral telepon dalam waktu lima menit. Berapa probabilitas bahwa 0, 1,2, 3, 4 atau lebih dari empat panggilan akan dipesan dalam waktu lima menit?

Mari kita terapkan distribusi probabilitas Poisson, karena:

1. Ada jumlah eksperimen yang tidak terbatas, mis. jangka waktu kecil ketika perintah untuk percakapan telepon mungkin muncul, kemungkinannya kecil dan konstan.

2. Permintaan panggilan telepon diasumsikan terdistribusi secara acak sepanjang waktu.

3. Dipercaya bahwa jumlah rata-rata percakapan telepon dalam jangka waktu satu menit adalah sama.

Dalam contoh ini, rata-rata jumlah pesanan adalah 3 dalam 5 menit. Oleh karena itu, distribusi Poisson:

Dengan distribusi probabilitas Poisson, mengetahui jumlah rata-rata “keberhasilan” dalam periode 5 menit (misalnya seperti pada contoh 2.7), untuk mengetahui jumlah rata-rata “keberhasilan” dalam satu jam, Anda hanya perlu kalikan dengan 12. Pada contoh 2.7, rata-rata jumlah pesanan dalam satu jam adalah: 3 x 12 = 36. Demikian pula jika ingin menentukan rata-rata jumlah pesanan per menit:

Contoh 2.8. Rata-rata, 3,4 malfungsi terjadi pada saluran otomatis per lima hari dalam seminggu kerja. Berapa peluang terjadinya dua masalah setiap hari pengoperasian? Larutan.

Anda dapat menerapkan distribusi Poisson:

1. Ada jumlah eksperimen yang tidak terbatas, mis. periode waktu yang singkat, di mana masing-masing periode tersebut mungkin terjadi malfungsi atau tidak terjadi pada saluran otomatis. Kemungkinan terjadinya hal ini pada setiap periode waktu adalah kecil dan konstan.

2. Diasumsikan bahwa permasalahan terdistribusi secara acak dalam waktu.

3. Jumlah rata-rata kegagalan selama lima hari diasumsikan konstan.

Rata-rata jumlah masalah adalah 3,4 dalam lima hari. Maka jumlah masalah per hari:

Karena itu,