Sifat-sifat garis lurus dalam geometri Euclidean.

Garis lurus yang jumlahnya tak terhingga dapat ditarik melalui suatu titik.

Melalui dua titik yang tidak berhimpitan dapat ditarik sebuah garis lurus.

Dua garis divergen pada suatu bidang berpotongan di satu titik atau berpotongan

paralel (mengikuti dari yang sebelumnya).

Dalam ruang tiga dimensi, ada tiga pilihan posisi relatif dua garis:

garis berpotongan;

garis sejajar;

garis lurus berpotongan.

Lurus garis— kurva aljabar orde pertama: garis lurus dalam sistem koordinat Cartesian

diberikan pada bidang dengan persamaan derajat pertama (persamaan linier).

Persamaan umum garis lurus.

Definisi. Setiap garis lurus pada bidang dapat ditentukan dengan persamaan orde pertama

Kapak + Wu + C = 0,

dan konstan A, B tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan. Persamaan orde pertama ini disebut umum

persamaan garis lurus. Tergantung pada nilai konstanta A, B Dan DENGAN Kasus-kasus khusus berikut mungkin terjadi:

. C = 0, SEBUAH ≠0, B ≠ 0- garis lurus melalui titik asal

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Oleh + C = 0)- garis lurus sejajar sumbu Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Kapak + C = 0)- garis lurus sejajar sumbu kamu

. B = C = 0, SEBUAH ≠0- garis lurus berimpit dengan sumbu kamu

. SEBUAH = C = 0, B ≠0- garis lurus berimpit dengan sumbu Oh

Persamaan garis lurus dapat disajikan dalam berbagai bentuk tergantung pada bentuk yang diberikan

kondisi awal.

Persamaan garis lurus dari suatu titik dan vektor normal.

Definisi. Dalam sistem koordinat persegi panjang kartesius, vektor dengan komponen (A, B)

tegak lurus terhadap garis yang diberikan oleh persamaan

Kapak + Wu + C = 0.

Contoh. Temukan persamaan garis yang melalui suatu titik SEBUAH(1, 2) tegak lurus terhadap vektor (3, -1).

Larutan. Dengan A = 3 dan B = -1, mari kita buat persamaan garis lurus: 3x - y + C = 0. Mencari koefisien C

Mari kita substitusikan koordinat titik A ke dalam ekspresi yang dihasilkan. Kita mendapatkan: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Total : persamaan yang dibutuhkan: 3x - y - 1 = 0.

Persamaan garis yang melalui dua titik.

Biarkan dua titik diberikan dalam ruang M 1 (x 1 , kamu 1 , z 1) Dan M2 (x 2, kamu 2, z 2), Kemudian persamaan suatu garis,

melewati titik-titik ini:

Jika salah satu penyebutnya nol, maka pembilangnya harus sama dengan nol. Pada

bidang, persamaan garis lurus yang ditulis di atas disederhanakan:

Jika x 1 ≠ x 2 Dan x = x 1, Jika x 1 = x 2 .

Pecahan = k ditelepon lereng lurus.

Contoh. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Larutan. Menerapkan rumus yang tertulis di atas, kita mendapatkan:

Persamaan garis lurus menggunakan titik dan kemiringan.

Jika persamaan umum garis Kapak + Wu + C = 0 menuju ke:

dan menunjuk , maka persamaan yang dihasilkan disebut

persamaan garis lurus dengan kemiringan k.

Persamaan garis lurus dari suatu titik dan vektor arah.

Dengan analogi titik dengan mempertimbangkan persamaan garis lurus yang melalui vektor normal, Anda dapat memasukkan tugas

garis lurus yang melalui suatu titik dan vektor pengarah suatu garis lurus.

Definisi. Setiap vektor bukan nol (α 1 , α 2), yang komponennya memenuhi kondisi tersebut

Aα 1 + Bα 2 = 0 ditelepon vektor pengarah suatu garis lurus.

Kapak + Wu + C = 0.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Larutan. Kita akan mencari persamaan garis yang diinginkan dalam bentuk: Kapak + Oleh + C = 0. Menurut definisinya,

koefisien harus memenuhi ketentuan berikut:

1 * A + (-1) * B = 0, mis. SEBUAH = B.

Maka persamaan garis lurusnya berbentuk: Kapak + Ay + C = 0, atau x + y + C / A = 0.

pada x = 1, kamu = 2 kita mendapatkan C/A = -3, yaitu persamaan yang diperlukan:

x + kamu - 3 = 0

Persamaan garis lurus dalam ruas-ruas.

Jika pada persamaan umum garis lurus Ах + Ву + С = 0 С≠0, maka dibagi dengan -С diperoleh:

atau dimana

Arti geometri dari koefisien adalah koefisien a merupakan koordinat titik potong

lurus dengan sumbu Oh, A B- koordinat titik potong garis dengan sumbu kamu.

Contoh. Persamaan umum garis lurus diberikan x - kamu + 1 = 0. Temukan persamaan garis ini dalam segmen.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Persamaan garis normal.

Jika kedua sisi persamaan Kapak + Wu + C = 0 bagi dengan nomor yang disebut

faktor normalisasi, lalu kita dapatkan

xcosφ + ysinφ - p = 0 -persamaan garis normal.

Tanda ± faktor normalisasi harus dipilih sedemikian rupa μ*C< 0.

R- panjang garis tegak lurus turun dari titik asal ke garis lurus,

A φ - sudut yang dibentuk tegak lurus ini dengan arah sumbu positif Oh.

Contoh. Persamaan umum garis diberikan 12x - 5 tahun - 65 = 0. Diperlukan untuk menulis berbagai jenis persamaan

garis lurus ini.

Persamaan garis ini dalam segmen:

Persamaan garis ini dengan kemiringannya: (bagi dengan 5)

Persamaan sebuah garis:

karena φ = 12/13; dosa φ= -5/13; hal = 5.

Perlu diperhatikan bahwa tidak semua garis lurus dapat direpresentasikan dengan persamaan dalam segmen-segmen, misalnya garis lurus,

sejajar dengan sumbu atau melewati titik asal.

Sudut antara garis lurus pada suatu bidang.

Definisi. Jika dua baris diberikan kamu = k 1 x + b 1 , kamu = k 2 x + b 2, maka sudut lancip antara garis-garis tersebut

akan didefinisikan sebagai

Dua garis sejajar jika k 1 = k 2. Dua garis tegak lurus

Jika k 1 = -1/ k 2 .

Dalil.

Langsung Kapak + Wu + C = 0 Dan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralel ketika koefisiennya proporsional

A 1 = λA, B 1 = λB. Jika juga С 1 = λС, maka garis-garisnya berhimpitan. Koordinat titik potong dua garis

ditemukan sebagai solusi sistem persamaan garis-garis tersebut.

Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu tegak lurus terhadap suatu garis tertentu.

Definisi. Garis yang melalui suatu titik M 1 (x 1, kamu 1) dan tegak lurus terhadap garis kamu = kx + b

diwakili oleh persamaan:

Jarak suatu titik ke suatu garis.

Dalil. Jika suatu poin diberikan M(x 0, kamu 0), maka jarak ke garis lurus Kapak + Wu + C = 0 didefinisikan sebagai:

Bukti. Biarkan intinya M 1 (x 1, kamu 1)- alas tegak lurus dijatuhkan dari suatu titik M untuk tertentu

langsung. Kemudian jarak antar titik M Dan M 1:

(1)

Koordinat x 1 Dan di 1 dapat dicari solusi sistem persamaannya:

Persamaan kedua sistem ini adalah persamaan garis lurus yang melalui suatu titik M 0 secara tegak lurus

diberi garis lurus. Jika kita mengubah persamaan pertama sistem menjadi bentuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Kapak 0 + Oleh 0 + C = 0,

kemudian, menyelesaikannya, kita mendapatkan:

Mengganti ekspresi ini ke persamaan (1), kita menemukan:

Teorema tersebut telah terbukti.

Artikel ini mengungkap turunan persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu dalam sistem koordinat persegi panjang yang terletak pada suatu bidang. Mari kita turunkan persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu dalam sistem koordinat persegi panjang. Kami akan dengan jelas menunjukkan dan memecahkan beberapa contoh terkait materi yang dibahas.

Yandex.RTB RA-339285-1

Sebelum memperoleh persamaan garis yang melalui dua titik tertentu, perlu memperhatikan beberapa fakta. Ada aksioma yang mengatakan bahwa melalui dua titik berbeda pada suatu bidang dapat ditarik garis lurus dan hanya satu saja. Dengan kata lain, dua titik tertentu pada suatu bidang ditentukan oleh garis lurus yang melalui titik-titik tersebut.

Jika bidang didefinisikan oleh sistem koordinat persegi panjang Oxy, maka setiap garis lurus yang digambarkan di dalamnya akan sesuai dengan persamaan garis lurus pada bidang tersebut. Ada juga hubungannya dengan vektor pengarah garis lurus. Data ini cukup untuk menyusun persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu.

Mari kita lihat contoh penyelesaian masalah serupa. Perlu dibuat persamaan garis lurus a yang melalui dua titik divergen M 1 (x 1, y 1) dan M 2 (x 2, y 2), yang terletak pada sistem koordinat Kartesius.

Dalam persamaan kanonik suatu garis pada suatu bidang yang berbentuk x - x 1 a x = y - y 1 a y, sistem koordinat persegi panjang O x y ditentukan dengan garis yang berpotongan dengannya di suatu titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1) dengan vektor pemandu a → = (ax , a y) .

Perlu dibuat persamaan kanonik garis lurus a yang melalui dua titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1) dan M 2 (x 2, y 2).

Lurus a mempunyai vektor arah M 1 M 2 → dengan koordinat (x 2 - x 1, y 2 - y 1), karena memotong titik M 1 dan M 2. Kami telah memperoleh data yang diperlukan untuk mengubah persamaan kanonik dengan koordinat vektor arah M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) dan koordinat titik M 1 yang terletak di atasnya (x 1, kamu 1) dan M 2 (x 2 , kamu 2) . Kita peroleh persamaan berbentuk x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 atau x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Perhatikan gambar di bawah ini.

Berikut perhitungannya, kita tuliskan persamaan parametrik garis pada bidang yang melalui dua titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1) dan M 2 (x 2, y 2). Kita peroleh persamaan berbentuk x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ atau x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ kamu = kamu 2 + (kamu 2 - kamu 1) · λ .

Mari kita lihat lebih dekat penyelesaian beberapa contoh.

Contoh 1

Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui 2 titik tertentu dengan koordinat M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Larutan

Persamaan kanonik garis yang berpotongan di dua titik dengan koordinat x 1, y 1 dan x 2, y 2 berbentuk x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Berdasarkan kondisi soal, kita mendapatkan x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Nilai numerik tersebut perlu disubstitusikan ke dalam persamaan x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Dari sini kita peroleh persamaan kanoniknya berbentuk x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Jawaban: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Jika Anda perlu menyelesaikan masalah dengan jenis persamaan yang berbeda, maka pertama-tama Anda dapat melanjutkan ke persamaan kanonik, karena lebih mudah untuk beralih dari persamaan tersebut ke persamaan lainnya.

Contoh 2

Tulislah persamaan umum garis lurus yang melalui titik-titik dengan koordinat M 1 (1, 1) dan M 2 (4, 2) pada sistem koordinat O xy.

Larutan

Pertama, Anda perlu menuliskan persamaan kanonik suatu garis yang melalui dua titik tertentu. Kita memperoleh persamaan berbentuk x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Mari kita bawa persamaan kanonik ke bentuk yang diinginkan, lalu kita dapatkan:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Menjawab: x - 3 tahun + 2 = 0 .

Contoh tugas-tugas tersebut dibahas dalam buku teks sekolah selama pelajaran aljabar. Soal sekolah berbeda karena diketahui persamaan garis lurus dengan koefisien sudut berbentuk y = k x + b. Jika Anda perlu mencari nilai kemiringan k dan bilangan b yang persamaan y = k x + b mendefinisikan garis pada sistem O x y yang melalui titik M 1 (x 1, y 1) dan M 2 ( x 2, y 2) , dimana x 1 ≠ x 2. Ketika x 1 = x 2 , maka koefisien sudutnya bernilai tak terhingga, dan garis lurus M 1 M 2 ditentukan oleh persamaan umum tidak lengkap berbentuk x - x 1 = 0 .

Karena poinnya M 1 Dan M 2 berada pada suatu garis lurus, maka koordinatnya memenuhi persamaan y 1 = k x 1 + b dan y 2 = k x 2 + b. Sistem persamaan y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b untuk k dan b harus diselesaikan.

Untuk melakukan ini, kita cari k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 atau k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = kamu 2 - kamu 2 - kamu 1 x 2 - x 1 x 2 .

Dengan nilai k dan b tersebut, persamaan garis yang melalui dua titik tertentu menjadi y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 atau y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Mustahil mengingat rumus sebanyak itu sekaligus. Untuk melakukan hal ini, perlu untuk meningkatkan jumlah pengulangan dalam menyelesaikan masalah.

Contoh 3

Tuliskan persamaan garis lurus dengan koefisien sudut yang melalui titik-titik dengan koordinat M 2 (2, 1) dan y = k x + b.

Larutan

Untuk menyelesaikan soal tersebut, kita menggunakan rumus dengan koefisien sudut berbentuk y = k x + b. Koefisien k dan b harus mengambil nilai sedemikian rupa sehingga persamaan ini sesuai dengan garis lurus yang melalui dua titik dengan koordinat M 1 (- 7, - 5) dan M 2 (2, 1).

Poin M 1 Dan M 2 terletak pada suatu garis lurus, maka koordinatnya harus menjadikan persamaan y = k x + b menjadi persamaan yang benar. Dari sini kita peroleh bahwa - 5 = k · (- 7) + b dan 1 = k · 2 + b. Mari kita gabungkan persamaan tersebut ke dalam sistem - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b dan selesaikan.

Setelah substitusi kita mendapatkan itu

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Sekarang nilai k = 2 3 dan b = - 1 3 disubstitusikan ke dalam persamaan y = k x + b. Kami menemukan bahwa persamaan yang diperlukan melalui titik-titik tertentu akan menjadi persamaan berbentuk y = 2 3 x - 1 3 .

Metode penyelesaian ini menentukan pemborosan banyak waktu. Ada cara untuk menyelesaikan tugas secara harfiah dalam dua langkah.

Mari kita tuliskan persamaan kanonik garis yang melalui M 2 (2, 1) dan M 1 (- 7, - 5), berbentuk x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Sekarang mari kita beralih ke persamaan kemiringan. Kita peroleh: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Jawaban: y = 2 3 x - 1 3 .

Jika dalam ruang tiga dimensi terdapat sistem koordinat persegi panjang O x y z dengan dua titik tertentu yang tidak berimpit dengan koordinat M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2), maka garis lurus M melewatinya 1 M 2 , maka perlu diperoleh persamaan garis tersebut.

Kita mempunyai persamaan kanonik berbentuk x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z dan persamaan parametrik berbentuk x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ mampu mendefinisikan suatu garis pada sistem koordinat O x y z yang melalui titik-titik yang mempunyai koordinat (x 1, y 1, z 1) dengan vektor arah a → = (ax, a y, a z).

Lurus M 1 M 2 mempunyai vektor arah berbentuk M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), dimana garis lurus melalui titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2 , y 2 , z 2), maka persamaan kanoniknya dapat berbentuk x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 atau x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, selanjutnya parametrik x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ atau x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - kamu 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Perhatikan gambar yang menunjukkan 2 titik tertentu dalam ruang dan persamaan garis lurus.

Contoh 4

Tuliskan persamaan garis yang didefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang O x y z ruang tiga dimensi, melalui dua titik tertentu dengan koordinat M 1 (2, - 3, 0) dan M 2 (1, - 3, - 5).

Larutan

Penting untuk menemukan persamaan kanonik. Karena kita berbicara tentang ruang tiga dimensi, artinya ketika sebuah garis melewati titik-titik tertentu, persamaan kanonik yang diinginkan akan berbentuk x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Dengan syarat x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Oleh karena itu persamaan yang diperlukan akan ditulis sebagai berikut:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Jawaban: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Pelajaran dari seri “Algoritma Geometris”

Halo pembaca yang budiman!

Hari ini kita akan mulai mempelajari algoritma yang berhubungan dengan geometri. Faktanya, banyak sekali soal-soal olimpiade ilmu komputer yang berkaitan dengan geometri komputasi, dan penyelesaian soal-soal tersebut seringkali menimbulkan kesulitan.

Selama beberapa pelajaran, kita akan mempertimbangkan sejumlah subtugas dasar yang menjadi dasar solusi sebagian besar masalah geometri komputasi.

Dalam pelajaran ini kita akan membuat program untuk mencari persamaan garis, melewati yang diberikan dua poin. Untuk menyelesaikan masalah geometri, kita memerlukan pengetahuan tentang geometri komputasi. Kami akan mencurahkan sebagian pelajaran untuk mengenal mereka.

Wawasan dari Geometri Komputasi

Geometri komputasi adalah cabang ilmu komputer yang mempelajari algoritma untuk memecahkan masalah geometri.

Data awal untuk soal-soal tersebut dapat berupa himpunan titik-titik pada suatu bidang, himpunan segmen, poligon (ditentukan, misalnya, dengan daftar simpul-simpulnya dalam urutan searah jarum jam), dll.

Hasilnya dapat berupa jawaban atas beberapa pertanyaan (seperti apakah suatu titik termasuk dalam suatu segmen, apakah dua segmen berpotongan, ...), atau suatu objek geometris (misalnya, poligon cembung terkecil yang menghubungkan titik-titik tertentu, luasnya poligon, dll.).

Kami akan mempertimbangkan masalah geometri komputasi hanya pada bidang dan hanya dalam sistem koordinat Cartesian.

Vektor dan koordinat

Untuk menerapkan metode geometri komputasi, perlu menerjemahkan gambar geometris ke dalam bahasa angka. Kita asumsikan bahwa bidang tersebut diberi sistem koordinat kartesius, yang arah putarannya berlawanan arah jarum jam disebut positif.

Sekarang objek geometris menerima ekspresi analitis. Jadi, untuk menentukan suatu titik, cukup dengan menunjukkan koordinatnya: sepasang angka (x; y). Suatu segmen dapat ditentukan dengan menentukan koordinat ujung-ujungnya; garis lurus dapat ditentukan dengan menentukan koordinat sepasang titiknya.

Namun alat utama kita untuk memecahkan masalah adalah vektor. Oleh karena itu izinkan saya mengingat beberapa informasi tentang mereka.

Segmen garis AB, yang ada benarnya A dianggap sebagai awal (titik penerapan), dan titik DI DALAM– akhir, disebut vektor AB dan dilambangkan dengan salah satu atau dengan huruf kecil tebal, misalnya A .

Untuk menyatakan panjang suatu vektor (yaitu, panjang segmen yang bersesuaian), kita akan menggunakan simbol modulus (misalnya, ).

Vektor sembarang akan memiliki koordinat yang sama dengan selisih antara koordinat akhir dan awal yang bersesuaian:

inilah poinnya A Dan B memiliki koordinat masing-masing.

Untuk perhitungannya kita akan menggunakan konsep sudut berorientasi, yaitu sudut yang memperhitungkan posisi relatif vektor.

Sudut berorientasi antar vektor A Dan B positif jika putarannya dari vektor A ke vektor B dilakukan dalam arah positif (berlawanan arah jarum jam) dan negatif dalam kasus lain. Lihat Gambar.1a, Gambar.1b. Dikatakan juga sepasang vektor A Dan B berorientasi positif (negatif).

Jadi, nilai sudut orientasi bergantung pada urutan pencatatan vektor dan dapat mengambil nilai dalam interval.

Banyak permasalahan dalam geometri komputasi yang menggunakan konsep perkalian vektor (skew atau pseudoscalar) dari vektor.

Hasil kali vektor dari vektor a dan b adalah hasil kali panjang vektor-vektor tersebut dan sinus sudut di antara keduanya:

Perkalian silang vektor-vektor dalam koordinat:

Ekspresi di sebelah kanan adalah determinan orde kedua:

Berbeda dengan definisi yang diberikan dalam geometri analitik, ini adalah skalar.

Tanda perkalian vektor menentukan posisi vektor-vektor relatif satu sama lain:

A Dan B berorientasi positif.

Jika nilainya , maka sepasang vektor A Dan B berorientasi negatif.

Perkalian silang vektor-vektor tak nol adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut segaris ( ). Artinya keduanya terletak pada satu garis atau sejajar.

Mari kita lihat beberapa masalah sederhana yang diperlukan saat menyelesaikan masalah yang lebih kompleks.

Mari kita tentukan persamaan garis lurus dari koordinat dua titik.

Persamaan garis yang melalui dua titik berbeda ditentukan oleh koordinatnya.

Misalkan terdapat dua titik yang tidak berhimpitan pada suatu garis lurus: dengan koordinat (x1; y1) dan dengan koordinat (x2; y2). Dengan demikian, vektor yang berawal di suatu titik dan berakhir di suatu titik mempunyai koordinat (x2-x1, y2-y1). Jika P(x, y) adalah titik sembarang pada garis kita, maka koordinat vektornya adalah (x-x1, y – y1).

Dengan menggunakan hasil kali vektor, syarat kolinearitas vektor dapat dituliskan sebagai berikut:

Itu. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Kami menulis ulang persamaan terakhir sebagai berikut:

kapak + kali + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Jadi, garis lurus dapat ditentukan dengan persamaan bentuk (1).

Soal 1. Koordinat dua titik diberikan. Tentukan representasinya dalam bentuk ax + by + c = 0.

Dalam pelajaran ini kita mempelajari beberapa informasi tentang geometri komputasi. Kami memecahkan masalah menemukan persamaan garis dari koordinat dua titik.

Pada pelajaran selanjutnya, kita akan membuat program untuk mencari titik potong dua garis yang diberikan oleh persamaan kita.

Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu dan arah tertentu. Persamaan garis yang melalui dua titik tertentu. Sudut antara dua garis lurus. Kondisi paralelisme dan tegak lurus dua garis lurus. Menentukan titik potong dua garis

1. Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu A(X 1 , kamu 1) dalam arah tertentu, ditentukan oleh kemiringannya k,

kamu - kamu 1 = k(X - X 1). (1)

Persamaan ini mendefinisikan pensil garis yang melalui suatu titik A(X 1 , kamu 1), yang disebut pusat berkas.

2. Persamaan garis yang melalui dua titik: A(X 1 , kamu 1) dan B(X 2 , kamu 2), ditulis seperti ini:

Koefisien sudut suatu garis lurus yang melalui dua titik tertentu ditentukan oleh rumus

3. Sudut antar garis lurus A Dan B adalah sudut dimana garis lurus pertama harus diputar A mengelilingi titik potong garis-garis tersebut berlawanan arah jarum jam hingga berhimpitan dengan garis kedua B. Jika dua garis lurus diberikan persamaan dengan kemiringan

kamu = k 1 X + B 1 ,

Definisi. Setiap garis lurus pada bidang dapat ditentukan dengan persamaan orde pertama

Kapak + Wu + C = 0,

Selain itu, konstanta A dan B tidak sama dengan nol pada waktu yang bersamaan. Persamaan orde pertama ini disebut persamaan umum garis lurus. Bergantung pada nilai konstanta A, B, dan C, kasus khusus berikut mungkin terjadi:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – garis lurus melalui titik asal

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - garis lurus sejajar sumbu Ox

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – garis lurus sejajar sumbu Oy

B = C = 0, A ≠0 – garis lurus berimpit dengan sumbu Oy

A = C = 0, B ≠0 – garis lurus berimpit dengan sumbu Ox

Persamaan garis lurus dapat disajikan dalam berbagai bentuk tergantung pada kondisi awal tertentu.

Persamaan garis lurus dari suatu titik dan vektor normal

Definisi. Pada sistem koordinat persegi panjang kartesius, suatu vektor dengan komponen (A, B) tegak lurus terhadap garis lurus yang diberikan oleh persamaan Ax + By + C = 0.

Contoh. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) tegak lurus (3, -1).

Larutan. Dengan A = 3 dan B = -1, mari kita buat persamaan garis lurus: 3x – y + C = 0. Untuk mencari koefisien C, kita substitusikan koordinat titik A ke dalam ekspresi yang dihasilkan. 3 – 2 + C = 0, maka C = -1 . Total : persamaan yang dibutuhkan: 3x – y – 1 = 0.

Persamaan garis yang melalui dua titik

Misalkan dua titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2) diberikan dalam ruang, maka persamaan garis yang melalui titik-titik tersebut adalah:

Jika salah satu penyebutnya sama dengan nol, maka pembilangnya harus sama dengan nol. Pada bidang tersebut, persamaan garis yang ditulis di atas disederhanakan:

jika x 1 ≠ x 2 dan x = x 1, jika x 1 = x 2.

Pecahan = k disebut lereng lurus.

Contoh. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Larutan. Menerapkan rumus yang tertulis di atas, kita mendapatkan:

Persamaan garis lurus dari suatu titik dan kemiringan

Jika total Ax + Bu + C = 0, maka diperoleh bentuk:

dan menunjuk , maka persamaan yang dihasilkan disebut persamaan garis lurus dengan kemiringank.

Persamaan garis lurus dari suatu titik dan vektor arah

Dengan analogi titik dengan memperhatikan persamaan garis lurus yang melalui vektor normal, Anda dapat memasukkan definisi garis lurus yang melalui suatu titik dan vektor pengarah garis lurus.

Definisi. Setiap vektor bukan nol (α 1, α 2) yang komponen-komponennya memenuhi syarat A α 1 + B α 2 = 0 disebut vektor pengarah garis

Kapak + Wu + C = 0.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Larutan. Kita akan mencari persamaan garis yang diinginkan berupa: Ax + By + C = 0. Sesuai dengan definisinya, koefisien harus memenuhi syarat:

1 * A + (-1) * B = 0, mis. SEBUAH = B.

Maka persamaan garis lurus berbentuk: Ax + Ay + C = 0, atau x + y + C / A = 0. untuk x = 1, y = 2 kita peroleh C/ A = -3, yaitu persamaan yang diperlukan:

Persamaan garis dalam segmen

Jika pada persamaan umum garis lurus Ах + Ву + С = 0 С≠0, maka dibagi dengan –С diperoleh: atau

Arti geometri dari koefisien adalah koefisien A adalah koordinat titik potong garis dengan sumbu Sapi, dan B– koordinat titik potong garis lurus dengan sumbu Oy.

Contoh. Persamaan umum garis x – y + 1 = 0 Diberikan.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Persamaan garis normal

Jika kedua ruas persamaan Ax + By + C = 0 dikalikan dengan bilangan tersebut yang disebut faktor normalisasi, lalu kita dapatkan

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

persamaan garis normal. Tanda ± faktor normalisasi harus dipilih sehingga μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Contoh. Persamaan umum garis 12x – 5y – 65 = 0 Diberikan.

persamaan garis ini dalam segmen:

persamaan garis ini dengan kemiringannya: (bagi 5)

; karena φ = 12/13; dosa φ= -5/13; hal = 5.

Perlu diperhatikan bahwa tidak setiap garis lurus dapat direpresentasikan dengan persamaan dalam segmen-segmen, misalnya garis lurus yang sejajar sumbu atau melalui titik asal koordinat.

Contoh. Garis lurus memotong segmen positif yang sama besar pada sumbu koordinat. Tuliskan persamaan garis lurus jika luas segitiga yang dibentuk oleh ruas-ruas tersebut adalah 8 cm 2.

Larutan. Persamaan garis lurus berbentuk: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. sebuah = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Contoh. Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui titik A(-2, -3) dan titik asal.

Larutan. Persamaan garis lurusnya adalah: , dimana x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; kamu 2 = -3.

Sudut antar garis lurus pada suatu bidang

Definisi. Jika diberikan dua garis y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, maka sudut lancip antara garis-garis tersebut didefinisikan sebagai

Dua garis sejajar jika k 1 = k 2. Dua garis tegak lurus jika k 1 = -1/ k 2.

Dalil. Garis Ax + Bу + C = 0 dan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sejajar jika koefisien A 1 = λA, B 1 = λB sebanding. Jika juga C 1 = λC, maka garis-garisnya berimpit. Koordinat titik potong dua garis dicari sebagai penyelesaian sistem persamaan garis tersebut.

Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu tegak lurus terhadap suatu garis tertentu

Definisi. Garis lurus yang melalui titik M 1 (x 1, y 1) dan tegak lurus terhadap garis lurus y = kx + b dinyatakan dengan persamaan:

Jarak dari titik ke garis

Dalil. Jika diberikan titik M(x 0, y 0), maka jarak ke garis Ax + Bу + C = 0 ditentukan sebagai

Bukti. Misalkan titik M 1 (x 1, y 1) adalah alas garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik M ke suatu garis lurus tertentu. Maka jarak antara titik M dan M 1 :

(1)

Koordinat x 1 dan y 1 dapat dicari dengan menyelesaikan sistem persamaan:

Persamaan kedua sistem ini adalah persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu M 0 tegak lurus terhadap suatu garis tertentu. Jika kita mengubah persamaan pertama sistem menjadi bentuk:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Kapak 0 + Oleh 0 + C = 0,

kemudian, menyelesaikannya, kita mendapatkan:

Mengganti ekspresi ini ke persamaan (1), kita menemukan:

Teorema tersebut telah terbukti.

Contoh. Tentukan sudut antar garis: y = -3 x + 7; kamu = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Contoh. Tunjukkan bahwa garis 3x – 5y + 7 = 0 dan 10x + 6y – 3 = 0 tegak lurus.

Larutan. Diketahui: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, jadi garis-garisnya tegak lurus.

Contoh. Diketahui titik sudut segitiga A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Tentukan persamaan tinggi yang ditarik dari titik sudut C.

Larutan. Kita cari persamaan sisi AB: ; 4 x = 6 tahun – 6;

2 x – 3 tahun + 3 = 0;

Persamaan tinggi badan yang dibutuhkan berbentuk: Ax + By + C = 0 atau y = kx + b. k = . Maka kamu = . Karena tingginya melewati titik C, maka koordinatnya memenuhi persamaan berikut: dari mana b = 17. Jumlah : .