いわゆる調和振動です。高調波振動 - ナレッジハイパーマーケット

力学における物体の並進運動と回転運動に加えて、振動運動も非常に興味深いものです。 機械振動 一定の間隔で正確に (またはほぼ) 繰り返される体の動きと呼ばれます。振動体の運動の法則は、時間の周期関数によって与えられます。バツ = へ (t）。この関数のグラフィック表現は、振動プロセスの経過を視覚的に表現します。

単純な振動系の例は、バネや数学的な振り子にかかる荷重です (図 2.1.1)。

機械的振動は、他の物理的性質の振動プロセスと同様に、自由と強制. 自由振動 影響を受けて作られる内力システムが平衡を失った後のシステム。ばね上のおもりの振動または振り子の振動は、自由振動です。アクション下の振動 外部の定期的に変化する力が呼び出されます強制 .

最も単純なタイプの振動プロセスは単純です 高調波振動 、式によって記述されます

バツ = バツ m cos (ω t + φ 0).

ここバツ- 平衡位置からの体の変位、バツ m - 振動振幅、つまり平衡位置からの最大変位 ω - 循環または循環周波数 ためらい、 t- 時間。余弦記号 φ = ω の下の値 t+ φ 0 と呼ばれる段階調和プロセス。で t= 0 φ = φ 0 なので、φ 0 が呼び出されます 初期段階. 体の動きが繰り返される最小の時間間隔は呼び出されます 振動周期 T. 振動周期の逆数の物理量を 発振周波数:

発振周波数へ 1秒間に何回振動したかを示します。周波数単位 - ヘルツ(ヘルツ)。発振周波数へ周期周波数 ω と振動周期に関連しています T比率:

図上。 2.1.2 は調和振動を伴う等間隔での体の位置を示しています。このような画像は、振動体を短い周期的な光の閃光で照らすことによって実験的に得ることができます ( ストロボ照明）。矢印は、さまざまな時点での物体の速度ベクトルを表します。

米。 2.1.3 は、振動の振幅が変化した場合に調和プロセスのグラフで発生する変化を示しています。バツ m 、またはピリオド T(または頻度へ）、または初期位相φ 0 。

体が直線（軸）に沿って振動するとき牛) 速度ベクトルは常にこの直線に沿って方向付けられます。速度 υ = υ バツ体の動きは表情で決まる

数学では、Δ での比率の極限を見つける手順 t→ 0 は関数の導関数の計算と呼ばれますバツ (t) 時間別 tまたはとして示されます バツ"(t) または最後に . 運動の調和法則の場合、導関数の計算により、次の結果が得られます。

余弦引数の項 + π / 2 の出現は、初期位相の変化を意味します。速度の最大モジュロ値 υ = ω バツ mは、体が平衡位置を通過する瞬間に達成されます（バツ= 0)。加速度も同様に定義されます a = aバツ調和振動を伴う物体:

したがって、加速 aは、関数 υ ( t) 時間別 t、または関数の二次導関数バツ (t）。計算結果は次のとおりです。

この式のマイナス記号は、加速度が a (t) は常にオフセットの反対の符号を持ちますバツ (t)、したがって、ニュートンの第 2 法則によれば、物体に調和振動を実行させる力は、常に平衡位置に向けられます ( バツ = 0).

機械高調波振動- これは、時間に応じて余弦または正弦法則に従って振動体 (質点) の座標が変化する、直線的な不均一な動きです。

この定義によれば、時間に応じた座標変化の法則は次の形式をとります。

ここで、wt はコサインまたはサイン記号の下の値です。 w-係数、以下で明らかにする物理的意味。 A は、機械的高調波振動の振幅です。

式 (4.1) は、機械的な高調波振動の主な運動方程式です。

次の例を考えてみましょう。 Ox 軸を見てみましょう (図 64)。点 0 から半径 R = A の円を描きます。点 M を位置 1 から円の周りを一定の速度で移動させます。 v(または一定の角速度で w, v = wA）。しばらくすると、半径はある角度だけ回転します f: f=wt.

点Mの円周に沿ったこのような動きにより、x軸への投影M xはx軸に沿って移動し、その座標xはx \u003d A cosに等しくなります f = = Aコス重量. したがって、中心が原点と一致する半径 A の円に沿って質点が移動する場合、x 軸 (および y 軸) 上のこの点の射影は調和機械振動を実行します。

余弦符号の下にある値 wt と振幅 A が既知の場合、式 (4.1) で x を決定することもできます。

与えられた振幅での振動点の座標を一意に決定する余弦 (または正弦) 符号の下にある値 wt は、 発振位相. 円に沿って移動する点 M の場合、値 w はその角速度を意味します。機械的調和振動を行う点 M x の値 w の物理的な意味は何ですか? 振動点 M x の座標は、(周期 T の定義から) ある時刻 t と (T +1) で同じです。つまり、A cos 重量= cos w (t + T)、つまり、 w(t + T) - 重量 = 2 PI(余弦関数の周期性から)。したがって、

したがって、調和機械振動を実行する質点の場合、w の値は、特定の時間の振動数として解釈できます。 サイクルに等しい時間 2リットル. したがって、値 wと呼ばれる 周期的な（また 循環）頻度.

点 M が点 1 からではなく点 2 から動き始める場合、式 (4.1) は次の形式になります。

値 f 0と呼ばれる 初期段階.

時間に関する座標の導関数として点 M x の速度を見つけます。

調和則に従って振動する点の加速度を速度の導関数として定義します。

式 (4.4) から、調和振動を行う点の速度も余弦則に従って変化することがわかります。しかし、位相の速度は座標よりも進んでいます。 PI/2. 高調波振動時の加速度は余弦則に従って変化しますが、位相が座標より進んでいます。 P. 式 (4.5) は、x 座標に関して次のように記述できます。

調和振動中の加速度は、符号が反対の変位に比例します。式 (4.5) の右部分と左部分に振動質点 m の質量を掛けると、次の関係が得られます。

ニュートンの第 2 法則によると、式 (4.6) の右辺の物理的な意味は、力 F x の射影であり、調和的な機械運動を提供します。

F x の値は、変位 x に比例し、変位 x とは反対の方向を向いています。このような力の例として弾性力があり、その大きさは変形に比例し、変形とは逆向きになります (フックの法則)。

変位に対する加速度の依存性の規則性は、式 (4.6) から導かれ、機械的な高調波振動について考慮したものであり、一般化して、異なる物理的性質の振動を考慮するときに適用できます (たとえば、振動中の電流の変化)。回路、電荷の変化、電圧、磁場誘導など) d.)。したがって、式 (4.8) は主方程式と呼ばれます。 調和振動のダイナミクス.

ばねの動きと数学的な振り子を考えてみましょう。

水平に配置され、点 0 に固定されたばね (図 63) の一端に質量 m の物体が取り付けられており、摩擦なしで x 軸に沿って移動できるとします。ばね定数を k とします。体 m を外力によって平衡状態から外し、放してみましょう。次に、x 軸に沿って弾性力のみが物体に作用します。フックの法則によれば、弾性力は F ypr = -kx に等しくなります。

この物体の運動方程式は次のようになります。

式 (4.6) と (4.9) を比較すると、次の 2 つの結論が導き出されます。

式 (4.2) と (4.10) から、ばねにかかる荷重の振動周期の式を導き出します。

数学的振り子は、無視できる質量の長く伸びない糸に吊り下げられた質量 m の物体です。平衡位置では、重力と糸の弾性力がこのボディに作用します。これらの力は互いにバランスします。

糸が斜めに曲がっている場合 a平衡位置から、同じ力が体に作用しますが、それらは互いにバランスを取りなくなり、体は弧の接線に沿って向けられ、mg sinに等しい重力成分の作用の下で弧に沿って動き始めます a.

振り子の運動方程式は、次の形式になります。

右側のマイナス記号は、力 F x = mg sin a が変位に対して向けられていることを意味します。高調波振動は、偏差の小さな角度で発生します。つまり、次の条件下で 2*罪 a.

罪を置き換える そして式 (4.12) より、次の式が得られます。

高調波振動 - 正弦と余弦の法則に従って実行される振動。次の図は、コサインの法則に従った時間の経過に伴うポイントの座標の変化のグラフを示しています。

写真

振動振幅

調和振動の振幅は、平衡位置からの物体の変位の最大値です。振幅は異なる値を取ることができます。それは、最初の瞬間に体を平衡位置からどれだけ変位させるかによって異なります。

振幅は、初期条件、つまり、最初の瞬間に体に与えられるエネルギーによって決まります。サインとコサインは -1 から 1 の範囲の値を取ることができるため、式には振動の振幅を表す係数 Xm を含める必要があります。調和振動の運動方程式:

x = Xm*cos(ω0*t)。

振動周期

振動の周期は、1 回の完全な振動にかかる時間です。振動の周期は文字 T で表されます。周期の単位は時間の単位に対応します。つまり、SI では秒です。

振動周波数 - 単位時間あたりの振動数。発振周波数は文字νで表されます。発振周波数は発振周期で表すことができます。

v = 1/T。

SI 1/秒の周波数単位。この測定単位はヘルツと呼ばれます。 2 * pi 秒の時間内の振動数は次のようになります。

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T。

発振周波数

この値を周期発振周波数と呼びます。一部の文献では、循環周波数という名前が見られます。振動系の固有振動数は、自由振動の振動数です。

固有振動の周波数は、次の式で計算されます。

固有振動の周波数は、材料の特性と負荷の質量に依存します。ばねの剛性が高いほど、固有振動の周波数が高くなります。負荷の質量が大きいほど、固有振動の周波数は低くなります。

この 2 つの結論は明らかです。スプリングが硬ければ硬いほど、システムがアンバランスなときに身体に与える加速度が大きくなります。体の質量が大きいほど、この体の速度の変化は遅くなります。

自由振動の周期:

T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)

たわみ角が小さい場合、ばね上の本体の振動周期と振り子の振動周期が振動の振幅に依存しないことは注目に値します。

数学的振り子の自由振動の周期と周波数の式を書き留めましょう。

その後、期間は

T = 2*pi*√(l/g)。

この式は、偏向角が小さい場合にのみ有効です。式から、振り子の糸の長さに応じて振動の周期が増加することがわかります。長さが長いほど、体の振動は遅くなります。

振動の周期は負荷の質量に依存しません。しかし、それは自由落下の加速度に依存します。 g が減少すると、振動周期が増加します。この性質は実際に広く使われています。たとえば、自由加速度の正確な値を測定します。

高調波振動は、ある量の周期的な変化の現象であり、引数への依存は正弦関数または余弦関数の性質を持っています。たとえば、次のように時間とともに変化する量は調和的に変動します。

ここで、x は変化量の値、t は時間、残りのパラメーターは一定です。A は振動の振幅、ω は振動の周期周波数、は振動の全位相、は初期位相です。振動。

微分形式の一般化調和振動

(この微分方程式の自明ではない解は、周期的な周波数を持つ調和振動です)

振動の種類

システムが平衡から外れた後、システムの内力の作用下で自由振動が実行されます。自由振動が調和的であるためには、振動系が線形 (運動の線形方程式によって記述される) であることが必要であり、エネルギー散逸があってはなりません (後者は減衰を引き起こします)。

強制振動は、外部の周期的な力の影響下で実行されます。それらが調和的であるためには、振動系が線形 (運動の線形方程式によって記述される) であり、外力自体が時間とともに調和振動として変化する (つまり、この力の時間依存性が正弦波である) ことで十分です。 .

調和振動方程式

式 (1)

変動値 S の時間 t への依存性を示します。これは明示的な形式の自由調和振動の方程式です。しかし、振動の方程式は通常、微分形式でのこの方程式の別の記録として理解されます。明確にするために、式（1）を次の形式でとります。

これを時間で2回微分します。

次の関係が成り立つことがわかります。

これは、自由調和振動の方程式 (微分形式) と呼ばれます。式 (1) は、微分方程式 (2) の解です。式 (2) は 2 階微分方程式であるため、完全な解を得る (つまり、式 (1) に含まれる定数 A と   を決定する) には、2 つの初期条件が必要です。たとえば、t = 0 における振動系の位置と速度。

数学的振り子は振動子であり、重力の均一な場にある無重力の非伸縮性の糸または無重力のロッド上にある質点からなる機械システムです。長さ l の数学的振り子の小さな固有振動の周期は、自由落下加速度 g の均一な重力場で静止しており、次の値に等しくなります。

振り子の振幅と質量に依存しません。

物理的な振り子は振動子です。これは、この物体の重心ではない点、または力の方向に垂直で、中心を通過しない固定軸ではない点を中心に、力の場で振動する剛体です。この体の重心。

最も単純なタイプの振動は次のとおりです。 高調波振動- 正弦または余弦の法則に従って、平衡位置からの振動点の変位が時間とともに変化する変動。

そのため、ボールが円周上で均一に回転すると、その投影 (平行光線の影) が垂直スクリーン上で調和振動運動を実行します (図 1)。

調和振動中の平衡位置からの変位は、次の形式の方程式 (調和運動の運動学的法則と呼ばれます) によって記述されます。

どこで x - 変位 - 平衡位置に対する時間 t での振動点の位置を特徴付ける値であり、平衡位置から所定の時間での点の位置までの距離によって測定されます。 A - 振動振幅 - 平衡位置からの本体の最大変位。 T - 振動周期 - 1 回の完全な振動の時間。それらの。振動を特徴付ける物理量の値が繰り返されるまでの最小期間。 - 初期段階;