機能の違いを簡単に説明します。 差分を見つける方法

講義 10. 関数の差分。 フェルマー、ロール、ラグランジュ、コーシーの定理。

1. 機能微分

1.1. 関数の微分の定義

から 導関数の概念は、数学解析のもう 1 つの基本的な概念である関数の微分と密接に関連しています。

定義 1. 点 x のある近傍で定義された関数 y = f (x) は、点 x でインクリメントが増加する場合、点 x で微分可能であると呼ばれます。

y = f (x + x) − f (x)

フォームを持っています

y = A x + α(Δx) x、

ここで、A は定数で、関数 α(Δx) → 0 as x → 0 です。

y = f (x) を微分可能な関数とすると、次のように定義します。

ステートメント 1. 関数 y = f (x) が点 x で微分可能であるためには、この点で微分があることが必要かつ十分です。

証拠。 必要。 関数 f (x) をある点で微分可能とする

y = f' (x)Δx + α(Δx) x.

最後の等式は、関数 y = f (x) が微分可能であることを意味します。

1.2. 微分の幾何学的意味

点 M (x, f (x)) における関数 y = f (x) のグラフの接線を l とする (図 1)。 dy がセグメント P Q の値であることを示しましょう。

したがって、点 x での関数 f (x) の微分 dy は、その点での接線 l の縦座標の増分に等しくなります。

1.3. 微分形状不変性

x が独立変数の場合、

dy = f' (x)dx.

x = ϕ(t) と仮定します。ここで、t は独立変数 y = f (ϕ(t)) です。 それで

dy = (f (φ(t))' dt = f' (x)φ' (t)dt = f' (x)dx (φ' (t)dt = dx)。

したがって、x は独立変数ではありませんが、微分の形式は変わっていません。 この性質は、微分の形の不変性と呼ばれます。

1.4. 近似計算における微分の適用

式 y = dy + α(Δx) x から、α(Δx) x を破棄すると、

y ≈ dy = f ' (x)Δx.

ここから、

f (x + x) − f (x) ≈ f′ (x)Δx、

f (x + x) ≈ f (x) + f' (x)Δx。 (1) 式 (1) は近似計算に使用されます。

1.5. 高階微分

定義により、点 x での関数 y = f (x) の 2 次微分は、その点での 1 次微分の微分であり、次のように表されます。

d2y = d(dy)。

2 階微分を計算してみましょう。

d2 y = d(dy) = d(f' (x)dx) = (f' (x)dx)' dx = (f'' (x)dx)dx = f'' (x)dx2

(導関数 (f ' (x)dx)' を計算するとき、値 dx は x に依存しないため、微分中は一定であることを考慮しました)。

一般に、関数 y = f (x) の n 次の微分は、最初の

例 4. 半径 3.02 m の円の面積の近似値を計算します。

解決。 式 S = πr2 を使用しましょう。 r = 3、r = 0.02 と設定すると、

S ≈ dS = 2πr r = 2π 3 0.02 = 0.12π。

したがって、円の面積のおおよその値は、9π+0、12π=9、12π≒

28、66（m 2 ）。

例 5. arcsin 0.51 の近似値を 0.001 の精度で計算します。 解決。 関数 y = arcsin x を考えてみましょう。 x = 0.5 、 x = 0.01 とし、

式（1）を適用

2. フェルマー、ロール、ラグランジュ、コーシーの定理

定義 3. 関数 y = f (x) は、点 α の近傍 U (α) がすべての x U (α ) :

f (α) ≥ f (x) (f (α) ≤ f (x))。

極大値と極小値は通称で統一

ローカルエクストリーム。

グラフが図 1 に示されている関数。 図４は、点β、β１で局所最大値を有し、点α、α１で局所最小値を有する。

ステートメント 2. (フェルマー) 関数 y = f (x) が点 α で微分可能であり、この点で極値を持つとします。 その場合、f ' (α) = 0 です。

フェルマーの定理の証明の背後にあるアイデアは次のとおりです。 明確にするために、f (x) が点 α で極小値を持つとします。 定義により、f ′ (α) は次の関係の x → 0 としての極限です。

証拠。 線分上で連続な関数の性質により、点 x1 , x2 が存在し、

極値。 定理の仮説により、f (x) は点 α で微分可能です。 フェルマーの定理より、f ′ (α) = 0 です。この定理は証明されています。

Rolle の定理には単純な幾何学的意味があります (図 5): 曲線 y = f (x) の極端な縦座標が等しい場合、曲線 y = f (x) 上の点で曲線の接線がは Ox 軸に平行です。

証拠。 g(a) =6 g(b) であることに注意してください。 そうでなければ、関数 g(x) はロルの定理のすべての条件を満たします。 したがって、g′ (β) = 0 となるような点 β (a, b) が存在します。しかし、これは定理の仮説と矛盾します。

次のヘルパー関数を検討してください。

F (x) = f (x) - f (a) - f (b) - f (a) (g(x) - g(a))。 g(b) − g(a)

定理は証明されました。

ステートメント 5. (ラグランジュ) y = f (x) が で連続、(a, b) で微分可能である場合、α (a, b) が存在し、

F' (α)。

証拠。 ラグランジュの定理は、g(x) = に対するコーシーの定理から直接導かれます。

幾何学的には、ラグランジュの定理は、曲線上で y = f (x) の点の間を意味します。

A と B には、そのような点 C があり、その接線は弦 AB に平行です。 y

等式 y(b) − y(a) = (b − a) y′ (c) を満たす x = c、ここで y′ = 2 − 2x。 対応する値を代入すると、次のようになります。

y(3) − y(1) = (3 − 1) y (c),

(2 3 - 32 ) - (2 1 - 12 ) = (3 - 1) (2 - 2c)、

したがって、c = 2、y(2) = 0 です。

したがって、点 M の座標は (2; 0) です。

例 9. パラメトリック方程式によって与えられる曲線の円弧 AB 上

つまり、c = 13/6 です。

見つかった値 c は不等式 1 を満たします。< c < 3. Подставив значение t = c в параметрические уравнения кривой, получаем x = 169/36, y = 2197/216. Итак искомая точка M (169/36; 2197/216).

微分... 一部の人にとっては、これは美しい遠いものであり、他の人にとっては、数学に関連する理解できない言葉です。 しかし、これがあなたの厳しいプレゼントである場合、私たちの記事は、差分を適切に「準備」する方法と、それを「提供」するものを学ぶのに役立ちます.

この記事では、典型的な微分問題について説明します。 大学生向けの高等数学のコースには、微分方程式の解の探索だけでなく、近似計算での微分の使用に関するタスクも含まれていることがよくあります。 しかし、重要なことは、基本を明確に理解していれば、すべての新しいタスクを簡単に処理できるということです。

関数の場合 点で微分可能 , その増分は 2 つの項の和として表すことができます。

. これらの項は、
.最初の項は に関して線形です
、2番目はそれよりも無限小の高次です
。本当、

.

したがって、第 2 項
関数のインクリメントを見つけると、より速くゼロになる傾向があります
第一期が主役
または（だから
)
.

意味 . 関数インクリメントの主要部分
その時点で 、 に関して線形
,微分と呼ばれる 機能 この時点でダイまたdf(バツ)

. (2)

したがって、次のように結論付けることができます。 独立変数の微分はその増分と一致します。つまり、
.

関係 (2) は次の形式になります。

(3)

コメント . 簡潔にするための式 (3) は、多くの場合、次の形式で記述されます。

(4)

微分の幾何学的意味

微分可能な関数のグラフを考えてみましょう
. ポイント
関数のグラフに属します。 その時点で M接線 に軸の正の方向との角度が関数のグラフに
で表す
. まっすぐに描こう ミネソタ州 軸に平行 牛 と
軸に平行 オイ. 関数のインクリメントはセグメントの長さに等しい
. 直角三角形から
、ここで
、 我々が得る

上記の理由から、次のように結論付けることができます。

機能微分
その時点で 対応する点におけるこの関数のグラフへの接線の縦座標の増分によって表されます
.

微分と微分の関係

式（4）を考える

.

この等式の両辺を DX、 それから

.

この上、 関数の導関数は、その微分と独立変数の微分との比に等しい.

こういう態度はよくある 関数の導関数を表す記号として単純に扱われる で引数による バツ.

導関数の便利な表記法は次のとおりです。

,
等々。

エントリも使用されます

,
,

これは、複雑な式の導関数を取得する場合に特に便利です。

2. 和、積、商の微分。

導関数に独立変数の微分を掛けることで微分が得られるので、基本的な初等関数の導関数と導関数を見つけるための規則を知っていれば、微分を見つけるための同様の規則にたどり着くことができます。

1 0 . 定数の微分はゼロです

.

2 0 . 有限個の微分可能な関数の代数和の微分は、これらの関数の微分の代数和に等しい

3 0 . 2 つの微分可能な関数の積の微分は、最初の関数の積と 2 番目の関数の微分、および 2 番目の関数と最初の関数の微分の積の合計に等しくなります。

.

結果. 定数係数は、微分の符号から取り出すことができます

.

例. 関数 の微分を求めます。

解決策. この関数を次の形式で記述します。

,

それから私たちは得る

.

4. パラメトリックに与えられた関数、それらの微分。

意味 . 関数
両方の変数の場合、パラメトリックに呼び出されます バツ と で 同じ補助変数の単一値関数としてそれぞれ個別に定義されます - パラメータt:

どこt範囲内で異なります
.

コメント . 関数のパラメトリック割り当ては、理論力学で広く使用されています。 t は時間を表し、式は
移動点の投影における変化の法則です
車軸上
と
.

コメント . 円と楕円のパラメトリック方程式を提示します。

a) 原点と半径を中心とする円 r パラメトリック方程式があります:

どこ
.

b) 楕円のパラメトリック方程式を書きましょう:

どこ
.

パラメータを除外することにより t 検討中の線のパラメトリック方程式から、標準方程式に到達できます。

定理 . 関数の場合 y 引数から x は次の方程式によってパラメトリックに与えられます。
、 どこ
と
で微分可能t関数と
、 それから

.

例. 関数の微分を求める でから バツパラメトリック方程式によって与えられます。

解決。
.

両者は密接に関連しているため、人間の科学的および技術的活動の過程で発生したほとんどすべての問題を解決するために、数世紀にわたって積極的に使用されてきました。

微分の概念の出現

微分とは何かを初めて説明したのは、(アイザック ニュートンと共に) 微分計算の創始者の 1 人である、有名なドイツの数学者ゴットフリート ヴィルヘルム ライプニッツです。 これに先立ち、数学者17 Art。 非常にファジーで漠然としたアイデアが、既知の関数の無限に小さい「分割できない」部分で使用され、非常に小さな定数値を表しますが、ゼロには等しくなく、関数の値がそれ未満になることはありません。 ここから、関数の引数の無限小増分の概念と、後者の導関数によって表現される関数自体の対応する増分の概念の導入への 1 つのステップしかありませんでした。 そして、このステップは、前述の 2 人の偉大な科学者によってほぼ同時に行われました。

ニュートンとライプニッツは、急速に発展する産業と技術が科学にもたらした力学の緊急の実際的な問題を解決する必要性に基づいて、機能の変化率を見つけるための一般的な方法を作成しました (主に、物体が移動する機械的速度に関連して)。関数の導関数や微分などの概念の導入につながり、既知の (可変) 速度から移動した距離を見つける方法である逆問題を解くためのアルゴリズムも発見されました。積分の概念の出現に。

ライプニッツとニュートンの作品では、初めて、微分が引数Δxの増分に比例する関数Δyの増分の主要部分であるという考えが現れました。これは、の値を計算するためにうまく適用できます。後者。 言い換えれば、彼らは、関数のインクリメントが (その定義域内の) 任意の点で、その微分を 0 として表現できることを発見しました。これは、Δx 自体よりもはるかに高速です。

数学的分析の創始者によると、微分は関数の増分を表す式の最初の項にすぎません。 数列の極限について明確に定式化された概念をまだ持っていなかった彼らは、微分の値が Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x) として関数の導関数になる傾向があることを直感的に理解しました。

主に物理学者であり、数学的装置を物理的な問題を研究するための補助ツールと見なしていたニュートンとは異なり、ライプニッツはこのツールキット自体により多くの注意を払いました。これには、数学的量の視覚的でわかりやすい表記法が含まれます。 関数dy \u003d y "（x）dx、引数dx、およびそれらの比率yの形式での関数の導関数の一般的に受け入れられている表記法を提案したのは彼でした"（x）\u003d dy / dx .

現代の定義

現代数学における微分とは何ですか? これは、可変インクリメントの概念と密接に関連しています。 変数 y が最初に値 y = y 1 を取り、次に y = y 2 をとる場合、差 y 2 ─ y 1 は y の増分と呼ばれます。

増分は正の場合があります。 負でゼロに等しい。 「増分」という単語は Δ で示され、表記 Δy (「デルタ y」と読む) は y の増分を示します。 したがって Δу = y 2 ─ y 1 .

任意の関数 y = f (x) の値 Δу を Δу = A Δх + α として表すことができる場合、ここで A は Δх に依存しません。 Δx自体よりもさらに速い場合、Δxに比例する最初の（「メイン」）項は、y \u003d f（x）の微分であり、dyまたはdf（x）で示されます（「de y」、「xからのdefを読みます」）。 したがって、微分は、Δx に関する関数の増分の「主要な」線形成分です。

機械的解釈

s = f(t) を開始位置からの距離とします (t は移動時間)。 増分 Δs は、時間間隔 Δt 内の点の経路であり、微分 ds = f "(t) Δt は、点が速度 f を維持していた場合、同じ時間 Δt で移動したであろう経路です" (t ) 時間 t までに到達します。 無限に小さい Δt の場合、仮想パス ds は真の Δs とは極小の値だけ異なります。この値は Δt に対して次数が高くなります。 時間 t での速度がゼロに等しくない場合、ds は点の小さな変位の近似値を返します。

幾何学的解釈

直線 L をグラフ y = f(x) とする。 次に、Δ x \u003d MQ、Δy \u003d QM "（下の図を参照）。接線 MN は、セグメント Δy を QN と NM の 2 つの部分に分割します". 1 つ目は Δх に比例し、QN = MQ∙tg (角度 QMN) = Δх f "(x) に等しくなります。つまり、QN は微分 dy です。

2 番目の部分 NM" は差 Δу ─ dy を与え、Δх→0 で NM の長さ" は、引数の増分よりもさらに速く減少します。 検討中のケースでは、f "(x) ≠ 0 (接線は OX に平行ではない) の場合、線分 QM" と QN は等価です。 言い換えれば、NM" は総増分 Δу = QM" よりも速く減少します (小さい方が大きい)。 これは図で見ることができます (M が M に近づくにつれて、セグメント NM はセグメント QM のますます小さなパーセンテージを構成します)。

したがって、グラフィカルに、任意の関数の微分は、そのタンジェントの縦座標の増分の大きさに等しくなります。

微分と微分

関数のインクリメントの式の最初の項の係数 A は、その導関数 f "(x) の値に等しくなります。したがって、次の関係が成立します - dy \u003d f" (x) Δx、または df （x）\u003d f "（x）Δx。

独立引数の増分は、その微分 Δх = dx に等しいことが知られています。 したがって、次のように書くことができます： f "(x) dx \u003d dy.

微分の検索 (「解法」と呼ばれることもあります) は、微分の場合と同じ規則に従って実行されます。 それらのリストを以下に示します。

より普遍的なもの：引数の増分またはその微分

ここで、いくつかの説明をする必要があります。 値 f "(x) Δx による表現は、x を引数と見なす場合に可能です。ただし、関数は複素数になる可能性があり、x は何らかの引数 t の関数になる可能性があります。次に、式による微分の表現f "(x) Δx は原則として不可能です。 ただし、線形依存 x = at + b の場合は除きます。

式 f "(x) dx \u003d dy については、独立した引数 x (dx \u003d Δx) の場合、および x が t にパラメトリックに依存する場合、微分を表します。

たとえば、式 2 x Δx は、x が引数の場合、y = x 2 の微分を表します。 x= t 2 と設定し、t を引数として取ります。 次に、y = x 2 = t 4 です。

この式は Δt に比例しないため、2xΔх は微分ではありません。 これは、式 y = x 2 = t 4 から求めることができます。 dy=4t 3 Δtに等しいことがわかります。

式 2xdx を使用すると、任意の引数 t の微分 y = x 2 を表します。 実際、x= t 2 では、dx = 2tΔt が得られます。

これは、2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt、つまり、2 つの異なる変数に関して書かれた微分式が一致したことを意味します。

インクリメントをディファレンシャルに置き換える

f "(x) ≠ 0 の場合、Δу と dy は等価です (Δх→0 の場合); f "(x) = 0 (つまり dy = 0) の場合、それらは等価ではありません。

たとえば、y \u003d x 2 の場合、Δy \u003d (x + Δx) 2 ─ x 2 \u003d 2xΔx + Δx 2、および dy \u003d 2xΔx となります。 x=3 の場合、Δу = 6Δх + Δх 2 と dy = 6Δх があり、これらは Δх 2 →0 により等価です。x=0 では、値 Δу = Δх 2 と dy=0 は等価ではありません。

この事実は、微分の単純な構造 (つまり、Δx に関する直線性) とともに、小さな Δx に対して Δy ≈ dy を仮定して、近似計算でよく使用されます。 通常、関数の微分を求める方が、増分の正確な値を計算するよりも簡単です。

例えば、一辺が x = 10.00 cm の金属の立方体があり、加熱すると一辺が Δx = 0.001 cm 伸びたとすると、立方体の体積 V はどのくらい増加したか? V \u003d x 2 があるので、dV \u003d 3x 2 Δx \u003d 3 10 2 0 / 01 \u003d 3 (cm 3) となります。 体積の増加 ΔV は微分 dV に相当するため、ΔV = 3 cm 3 となります。 完全な計算では、ΔV = 10.01 3 ─ 10 3 = 3.003001 が得られます。 しかし、この結果では、最初の数字を除くすべての数字は信頼できません。 とにかく、3 cm 3 に丸める必要があります。

導入されたエラーの大きさを推定できる場合にのみ、このようなアプローチが有用であることは明らかです。

関数の差分: 例

導関数を見つけずに、関数 y = x 3 の微分を見つけてみましょう。 引数を増やして Δу を定義しましょう。

Δy \u003d (Δx + x) 3 ─ x 3 \u003d 3x 2 Δx + (3xΔx 2 + Δx 3).

ここで、係数 A= 3x 2 は Δх に依存しないため、最初の項は Δх に比例し、他方の項 3xΔх 2 + Δх 3 は Δх→0 で引数の増分よりも速く減少します。 したがって、項 3x 2 Δx は微分 y = x 3 です。

dy \u003d 3x 2 Δx \u003d 3x 2 dx または d (x 3) \u003d 3x 2 dx.

この場合、d(x 3) / dx \u003d 3x 2.

関数 y = 1/x の dy を導関数で求めましょう。 すると、d(1/x) / dx = ─1/x 2 . したがって、dy = ─ Δх/х 2 です。

基本的な代数関数の微分を以下に示します。

微分による近似計算

関数 f (x) とその導関数 f "(x) を x=a について計算することは、多くの場合難しくありませんが、点 x=a の近くで同じことを行うことは容易ではありません。近似式が助けになる

f (a + Δх) ≈ f "(a) Δх + f (a).

微分 f "(a)Δх を通じて、小さな増分 Δх で関数の近似値が得られます。

したがって、この式は、長さ Δx の区間の終点での関数の近似式を、この区間の始点 (x=a) での値と同じ始点での微分との和として与えます。 関数の値を決定するこの方法のエラーを下の図に示します。

ただし、x=a+Δх の関数の値の正確な式も知られており、有限増分の式 (つまり、ラグランジュの式) で与えられます。

f (a + Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f (a)、

ここで、点 x = a + ξ は x = a から x = a + Δx までの線分上にありますが、その正確な位置は不明です。 正確な式により、近似式の誤差を見積もることができます。 ξ = Δх /2 をラグランジュの式に入れると、正確ではなくなりますが、微分により元の式よりもはるかに優れた近似が通常得られます。

微分を適用して式の誤差を推定する

原則として、それらは不正確であり、対応するエラーが測定データに導入されます。 それらは、限界誤差、つまり限界誤差によって特徴付けられます。正の数であり、絶対値でこの誤差を明らかに超えています（または少なくともそれに等しい）。 制限は、測定値の絶対値で割った商と呼ばれます。

正確な式 y= f (x) を使用して関数 y を計算するとしますが、x の値は測定結果であるため、y に誤差が生じます。 次に、関数 y の極限絶対誤差 │‌‌Δу│ を求めるには、次の式を使用します。

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│=│ f "(x)││Δх│,

ここで、│Δх│ は引数の限界誤差です。 値 │‌‌Δу│ は四捨五入する必要があります。 不正確とは、増分の計算を差分の計算に置き換えることです。

24.1. 関数微分の概念

関数 y=ƒ(x) が点 x で非ゼロ導関数を持つとします。

次に、関数、その極限、および無限に小さい関数の接続に関する定理に従って、D y / D x \u003d ƒ "(x) + α と書くことができます。ここで、Δx → 0 に対して α → 0、またはΔy \u003d ƒ" (x) Δх+α Δх.

したがって、関数 ∆у の増分は、∆x→0 で無限小となる 2 つの項 ƒ "(х) ∆х と a ∆х の和です。この場合、最初の項は次の無限に小さい関数です。 ∆х と同じ次数です。 第 2 項は、Δx よりも高次の無限に小さい関数です。

したがって、最初の項 ƒ "(x) ∆x は インクリメントの主要部分関数 Δу。

関数微分ポイント x での y \u003d ƒ (x) は、その増分の主要部分と呼ばれ、関数の導関数と引数の増分の積に等しく、dу (または dƒ (x)) で表されます。

dy \u003d ƒ "(x) ∆x. (24.1)

微分 dу とも呼ばれます 一次微分。独立変数 x の微分、つまり関数 y=x の微分を求めましょう。

y"=x"=1 なので、式 (24.1) によれば、dy=dx=Δx が得られます。つまり、独立変数の微分は、この変数の増分に等しくなります: dx=Δx.

したがって、式 (24.1) は次のように記述できます。

dy \u003d ƒ "(x) dx、(24.2)

つまり、関数の微分は、この関数の導関数と独立変数の微分との積に等しくなります。

式 (24.2) から、等式 dy / dx \u003d ƒ "(x) が続きます。

導関数 dy/dx は、微分 dy と dx の比と見なすことができます。

<< Пример 24.1

関数 ƒ(x)=3x 2 -sin(l+2x) の微分を求めます。

解決策：式 dy \u003d ƒ "(x) dx によると、

dy \u003d (3x 2 -sin (l + 2x)) "dx \u003d (6x-2cos (l + 2x)) dx.

<< Пример 24.2

関数の微分を求める

x=0、dx=0.1 で dy を計算します。

解決：

x=0 と dx=0.1 を代入すると、

24.2. 関数の微分の幾何学的意味

微分の幾何学的な意味を調べてみましょう。

これを行うには、点M（x; y）で関数y \u003d ƒ（x）のグラフに接線MTを描画し、点x + Δxに対するこの接線の縦座標を考慮します（図138を参照） ）。 図 ½ AM½ =Δx では、|AM 1 |=Δy です。 直角三角形 MAB から、次のことがわかります。

しかし、導関数の幾何学的な意味によれば、tga \u003d ƒ "(x)。したがって、AB \u003d ƒ" (x) Δx.

式 (24.1) で得られた結果を比較すると、dy=AB が得られます。つまり、点 x での関数 y=ƒ(x) の微分は、関数のグラフの接線の縦座標の増分に等しくなります。この時点で、x がインクリメント Δx を受け取ったときです。

これが微分の幾何学的な意味です。

24.3 基本微分定理

微分に関する主要な定理は、微分と関数 (dy=f"(x)dx) の導関数との関係、および導関数に関する対応する定理を使用して簡単に取得できます。

たとえば、関数 y \u003d c の導関数はゼロに等しいため、定数値の微分はゼロに等しくなります: dy \u003d c "dx \u003d 0 dx \u003d 0.

定理 24.1. 2 つの微分可能な関数の和、積、商の微分は、次の式で定義されます。

たとえば、2 番目の公式を証明してみましょう。 微分の定義により、次のようになります。

d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu

定理 24.2.複素関数の微分は、中間引数に関するこの関数の導関数と、この中間引数の微分との積に等しくなります。

ｙ＝ｆ（ｕ）およびｕ＝φ（ｘ）を、複素関数ｙ＝ｆ（φ（ｘ））を形成する２つの微分可能な関数とする。 複合関数の導関数に関する定理により、次のように書くことができます。

y" x = y" u u" x .

この等式の両方の部分に dx を掛けると、y "x dx \u003d y" u u "x dx. しかし、y" x dx \u003d dy および u "x dx \u003d du. したがって、最後の等式は次のように書き換えることができます。次のとおりです。

dy=y" u du.

式 dy=y "x dx と dy=y" u du を比較すると、関数 y=ƒ(x) の一次微分は、その引数が独立変数であるか、または別の引数の関数。

この微分の性質を一次微分の形の不変性（不変性）といいます。

式 dy \u003d y "x dx の外観は、式 dy \u003d y" u du と一致しますが、それらの間には基本的な違いがあります。最初の式では、x は独立変数であるため、dx \u003d Δx、 2番目の式には x の関数があるため、一般的に言えば、du≠Δuです。

微分の定義と微分に関する基本定理の助けを借りて、導関数の表を微分の表に変換するのは簡単です。

例: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu

24.4. 微分表

24.5. 微分を近似計算に適用する

すでに知られているように、点 x における関数 y=ƒ(х) の増分 ∆у は ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х として表すことができます。ここで、α→0 は ∆х→0 として、または dy+α ∆x ∆x よりも高次の微小な α ∆x を破棄すると、近似等式が得られます。

Δу≈dy, (24.3)

さらに、この等式は正確であるほど、Δx が小さくなります。

この等式により、微分可能な関数のインクリメントを非常に正確に計算することができます。

通常、微分は関数のインクリメントよりもはるかに簡単であることがわかっているため、式 (24.3) は計算の実践で広く使用されています。

<< Пример 24.3

x \u003d 2およびΔx \u003d 0.001に対する関数y \u003d x 3 -2x + 1の増分の近似値を見つけます。

解決策: 式 (24.3) を適用します: ∆у≈dy=(х 3 -2х+1)" ∆х=(3х 2 -2) ∆х.

したがって、Δу» 0.01 です。

関数のインクリメントではなく微分を計算して、どのようなエラーが発生したかを見てみましょう。 これを行うには、Δу を見つけます。

Δy \u003d ((x + Δx) 3 -2 (x + Δx) + 1) - (x 3 -2x + 1) \u003d x 3 + 3x 2 Δx + 3x (Δx) 2 + ( Δx ) 3 -2x-2 Δx + 1-x 3 + 2x-1 \u003d Δx (3x 2 + 3x Δx + (Δx) 2 -2);

絶対近似誤差は次のようになります。

|Δу-dy|=|0.010006-0.011=0.000006.

値 ∆у と dy を等式 (24.3) に代入すると、次のようになります。

ƒ(х+∆х)-ƒ(х)≈ƒ"(х)∆х

ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ"(х) ∆х. (24.4)

式（24.4）は、関数の近似値を計算するために使用されます。

<< Пример 24.4

おおよその arctg(1.05) を計算します。

解決策: 関数 ƒ(х)=arctgx を考えてみましょう。 式 (24.4) によると、次のようになります。

arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)" ∆х,

すなわち

x+Δx=1.05 なので、x=1 と Δx=0.05 の場合、次のようになります。

式 (24.4) の絶対誤差は、値 M (Δx) 2 を超えないことが示されます。ここで、M は、セグメント [x;x+Δx] 上の |ƒ"(x)| の最大値です。

<< Пример 24.5

落下開始から 10.04 秒で、月面の自由落下で物体が移動する距離は? ボディ自由落下式

H \u003d g l t 2 / 2、g l \u003d 1.6 m / s 2。

解決策: H(10,04) を見つける必要があります。 近似式 (ΔH≈dH) を使用します。

H(t+Δt)≈H(t)+H"(t) Δt. t=10 秒および Δt=dt=0.04 秒で、H"(t)=g l t を見つけます。

タスク (独立したソリューション用)。質量 m=20 kg の物体は速度 ν=10.02 m/s で移動します。 体の運動エネルギーを概算する

24.6. 高階微分

y=ƒ(x) を微分可能な関数とし、その引数 x を 独立変数。その場合、その一次微分 dy=ƒ"(x)dx も x の関数であり、この関数の微分を見つけることができます。

関数 y=ƒ(x) の微分からの微分を 彼女の二階微分(または 2 次微分) であり、d 2 y または d 2 ƒ(x) と表されます。

従って、定義により、ｄ ２ ｙ＝ｄ（ｄｙ）である。 関数 y=ƒ(x) の 2 階微分の式を見つけてみましょう。

dx=Δx は x に依存しないため、微分するときに dx は一定であると仮定します。

ｄ ２ ｙ＝ｄ（ｄｙ）＝ｄ（ｆ”（ｘ）ｄｘ）＝（ｆ”（ｘ）ｄｘ）”​​ ｄｘ＝ｆ”（ｘ）ｄｘ ｄｘ＝ｆ”（ｘ）（ｄｘ） ２ すなわち．

d 2 y \u003d ƒ "(x) dx 2. (24.5)

ここで、dx 2 は (dx) 2 を表します。

3 階微分も同様に定義および検出されます。

d 3 y \u003d d (d 2 y) \u003d d (ƒ "(x) dx 2) ≈ f" (x) (dx) 3.

そして、一般に、n 次の微分は (n-1) 次の微分の微分です: d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n .

したがって、特に n=1,2,3 の場合

それぞれ次のようになります。

つまり、関数の導関数は、対応する次数の微分と、対応する独立変数の微分の累乗との比と見なすことができます。

上記の式はすべて、x が独立変数の場合にのみ有効であることに注意してください。 関数y \u003d ƒ（x）の場合、x - 他の独立変数の関数の場合、2 次以上の微分は形状不変性の性質を持たず、他の式を使用して計算されます。 二階微分の例でこれを示しましょう。

積微分式 (d(uv)=vdu+udv) を使用すると、次のようになります。

d 2 y \u003d d (f "(x) dx) \u003d d (ƒ "(x)) dx + ƒ" (x) d (dx) \u003d ƒ "(x) dx dx + ƒ" (x) d 2 x 、つまり

d 2 y \u003d ƒ "(x) dx 2 + ƒ" (x) d 2 x。 (24.6)

式 (24.5) と (24.6) を比較すると、複素関数の場合、2 階微分式が変化することがわかります。

x が独立変数の場合、

d 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0

式 (24.6) は式 (24.5) に入ります。

<< Пример 24.6

y=e 3x で x が独立変数の場合、d 2 y を求めます。

解決策: y"=3e 3x, y"=9e 3x なので、式 (24.5) により、d 2 y=9e 3x dx 2 が得られます。

<< Пример 24.7

y=x 2 かつ x=t 3 +1 で、t が独立変数の場合、d 2 y を求めます。

解決策: 式 (24.6) を使用します。

y"=2x, y"=2, dx=3t 2 dt, d 2 x=6tdt 2,

それから d 2 y=2dx 2 +2x 6tdt 2 =2(3t 2 dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt 2

別の解: y=x 2 、x=t 3 +1。 したがって、y \u003d (t 3 +1) 2. 次に、式（24.5）によって

d 2 y=y ¢¢ dt 2 、

ｄ ２ ｙ＝（３０ｔ ４ ＋１２ｔ）ｄｔ ２ ．