వ్యవస్థ యొక్క గతి శక్తిలో మార్పుపై సిద్ధాంతం. మాస్కో స్టేట్ యూనివర్శిటీ ఆఫ్ ప్రింటింగ్ సిద్ధాంతం మెటీరియల్ సిస్టమ్ యొక్క గతిశక్తిలో మార్పుపై

ఈ సిద్ధాంతం శక్తి యొక్క పని (కారణం) మరియు పదార్థ బిందువు (ప్రభావం) యొక్క గతి శక్తి మధ్య పరిమాణాత్మక సంబంధాన్ని ఏర్పరుస్తుంది.

మెటీరియల్ పాయింట్ యొక్క గతి శక్తిఒక బిందువు ద్రవ్యరాశి మరియు దాని వేగం యొక్క చతురస్రం యొక్క సగం ఉత్పత్తికి సమానమైన స్కేలార్ పరిమాణం

. (43)

గతి శక్తి శక్తి యొక్క యాంత్రిక చర్యను వర్గీకరిస్తుంది, అది ఇతర రకాల శక్తిగా మార్చబడుతుంది, ఉదాహరణకు, థర్మల్.

శక్తి యొక్క పనిఇచ్చిన స్థానభ్రంశం వద్ద వేగం మాడ్యూల్‌లో మార్పుకు దారితీసే శక్తి చర్య యొక్క లక్షణం.

శక్తి యొక్క ప్రాథమిక పనిఫోర్స్ వెక్టర్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి మరియు దాని అప్లికేషన్ యొక్క పాయింట్ వద్ద ప్రాథమిక స్థానభ్రంశం వెక్టర్‌గా నిర్వచించబడింది

, (44)

ఎక్కడ
- ప్రాథమిక ఉద్యమం.

ప్రాథమిక పని యొక్క మాడ్యూల్ సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

ఎక్కడ  - ఫోర్స్ వెక్టర్ మరియు ఎలిమెంటరీ డిస్ప్లేస్‌మెంట్ వెక్టర్ మధ్య కోణం; - టాంజెంట్‌పై ఫోర్స్ వెక్టర్ ప్రొజెక్షన్.

కొంత పరిమిత స్థానభ్రంశంపై మొత్తం పని సమగ్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

. (46)

(46) నుండి మొత్తం పనిని రెండు సందర్భాలలో లెక్కించవచ్చు, శక్తి స్థిరంగా ఉన్నప్పుడు లేదా స్థానభ్రంశంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

వద్ద ఎఫ్= మనకు లభించే స్థితి
.

సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, శక్తిని లెక్కించే విశ్లేషణాత్మక పద్ధతిని ఉపయోగించడం తరచుగా సౌకర్యంగా ఉంటుంది

ఎక్కడ ఎఫ్ x , ఎఫ్ వై , ఎఫ్ z- కోఆర్డినేట్ అక్షాలపై శక్తి యొక్క అంచనాలు.

కింది సిద్ధాంతాన్ని నిరూపిద్దాం.

సిద్ధాంతం: పదార్థ బిందువు యొక్క కొంత స్థానభ్రంశం వద్ద దాని గతి శక్తిలో మార్పు అదే స్థానభ్రంశం వద్ద బిందువుపై పనిచేసే శక్తి యొక్క పనికి సమానం.

ద్రవ్యరాశి యొక్క పదార్థ బిందువు Mని తెలియజేయండి mశక్తి ప్రభావంతో కదులుతుంది ఎఫ్స్థానం M 0 నుండి స్థానం M 1 వరకు.

OUD:
. (47)

ప్రత్యామ్నాయాన్ని పరిచయం చేద్దాం
మరియు ప్రాజెక్ట్ (47) టాంజెంట్‌పైకి

. (48)

మేము (48)లో వేరియబుల్స్‌ను వేరు చేస్తాము మరియు ఇంటిగ్రేట్ చేస్తాము

ఫలితంగా మనకు లభిస్తుంది

. (49)

సమీకరణం (49) పైన రూపొందించిన సిద్ధాంతాన్ని రుజువు చేస్తుంది.

ఇచ్చిన మరియు కోరిన పారామితులు ఒక బిందువు యొక్క ద్రవ్యరాశి, దాని ప్రారంభ మరియు చివరి వేగం, శక్తులు మరియు స్థానభ్రంశం కలిగి ఉన్నప్పుడు సిద్ధాంతం ఉపయోగించడానికి సౌకర్యంగా ఉంటుంది.

లక్షణ శక్తుల పని యొక్క గణన.

1. గురుత్వాకర్షణ పనిఫోర్స్ మాడ్యులస్ మరియు దాని అప్లికేషన్ యొక్క పాయింట్ యొక్క నిలువు స్థానభ్రంశం యొక్క ఉత్పత్తిగా లెక్కించబడుతుంది

. (50)

పైకి కదిలేటప్పుడు, పని సానుకూలంగా ఉంటుంది, క్రిందికి కదులుతున్నప్పుడు, పని ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.

2. ఒక వసంత సాగే శక్తి యొక్క పని ఎఫ్=-cxసమానంగా

, (51)

ఎక్కడ x 0 - వసంతకాలం యొక్క ప్రారంభ పొడుగు (కంప్రెషన్);

x 1 - వసంత చివరి పొడుగు (కంప్రెషన్).

గురుత్వాకర్షణ మరియు సాగే శక్తి యొక్క పని వారి అప్లికేషన్ పాయింట్ల కదలిక పథంపై ఆధారపడి ఉండదు. అటువంటి శక్తులు, పథంపై ఆధారపడని పనిని పిలుస్తారు సంభావ్య శక్తులు.

3. ఘర్షణ శక్తి యొక్క పని.

ఘర్షణ శక్తి ఎల్లప్పుడూ కదలిక దిశకు వ్యతిరేక దిశలో దర్శకత్వం వహించినందున, దాని పని సమానంగా ఉంటుంది

ఘర్షణ శక్తి ద్వారా చేసే పని ఎల్లప్పుడూ ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. పని ఎప్పుడూ ప్రతికూలంగా ఉండే శక్తులను అంటారు వెదజల్లే.

చలనం యొక్క మరొక ప్రాథమిక డైనమిక్ లక్షణం యొక్క భావనను పరిచయం చేద్దాం - గతి శక్తి. పదార్థ బిందువు యొక్క గతిశక్తి అనేది పాయింట్ యొక్క ద్రవ్యరాశి మరియు దాని వేగం యొక్క వర్గానికి చెందిన సగం ఉత్పత్తికి సమానమైన స్కేలార్ పరిమాణం.

గతి శక్తి కోసం కొలత యూనిట్ పని వలె ఉంటుంది (SI - 1 J లో). ఈ రెండు పరిమాణాలను కలిపే సంబంధాన్ని కనుగొనండి.

ద్రవ్యరాశి దాని వేగం ఉన్న స్థానం నుండి దాని వేగం ఉన్న స్థానానికి కదులుతున్న మెటీరియల్ పాయింట్‌ను పరిశీలిద్దాం

కావలసిన ఆధారపడటాన్ని పొందడానికి, డైనమిక్స్ యొక్క ప్రాథమిక నియమాన్ని వ్యక్తీకరించే సమీకరణానికి వెళ్దాం.దాని రెండు భాగాలను కదలిక దిశలో నిర్దేశించబడిన పాయింట్ M యొక్క పథానికి టాంజెంట్‌పై ప్రొజెక్ట్ చేస్తే, మేము పొందుతాము

ఇక్కడ ఫారమ్‌లో చేర్చబడిన పాయింట్ యొక్క టాంజెన్షియల్ యాక్సిలరేషన్‌ని సూచిస్తాము

ఫలితంగా, మేము దానిని కనుగొంటాము

ఈ సమానత్వం యొక్క రెండు వైపులా గుణించి, అవకలన చిహ్నం క్రింద నమోదు చేద్దాం. అప్పుడు, శక్తి యొక్క ప్రాథమిక పని ఎక్కడ ఉందో గమనించి, అవకలన రూపంలో ఒక బిందువు యొక్క గతి శక్తిలో మార్పుపై మేము సిద్ధాంతం యొక్క వ్యక్తీకరణను పొందుతాము:

పాయింట్ల వద్ద వేరియబుల్స్ యొక్క విలువలకు సంబంధించిన పరిమితుల్లో ఈ సమానత్వం యొక్క రెండు వైపులా ఇప్పుడు ఏకీకృతం చేసిన తర్వాత, మేము చివరకు కనుగొంటాము

సమీకరణం (52) తుది రూపంలో ఒక బిందువు యొక్క గతిశక్తిలో మార్పు గురించి సిద్ధాంతాన్ని వ్యక్తీకరిస్తుంది: కొంత స్థానభ్రంశం సమయంలో ఒక బిందువు యొక్క గతిశక్తిలో మార్పు పాయింట్‌పై పనిచేసే అన్ని శక్తుల పని యొక్క బీజగణిత మొత్తానికి సమానం అదే స్థానభ్రంశం.

స్వేచ్ఛలేని ఉద్యమం కేసు. పాయింట్ రహిత పద్ధతిలో కదులుతున్నప్పుడు, సమానత్వం యొక్క కుడి వైపు (52) ఇచ్చిన (క్రియాశీల) శక్తుల పని మరియు కలపడం ప్రతిచర్య యొక్క పనిని కలిగి ఉంటుంది. నిశ్చల మృదువైన (ఘర్షణ లేని) ఉపరితలం లేదా వక్రరేఖ వెంట ఒక బిందువు యొక్క కదలికను పరిగణలోకి తీసుకోవడానికి మనల్ని మనం పరిమితం చేసుకుందాం. ఈ సందర్భంలో, ప్రతిచర్య N (Fig. 233 చూడండి) పాయింట్ యొక్క పథానికి సాధారణ దర్శకత్వం వహించబడుతుంది మరియు. అప్పుడు, ఫార్ములా (44) ప్రకారం, పాయింట్ యొక్క ఏదైనా కదలిక కోసం స్థిరమైన మృదువైన ఉపరితలం (లేదా వక్రత) యొక్క ప్రతిచర్య పని సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది మరియు సమీకరణం (52) నుండి మనం పొందుతాము

పర్యవసానంగా, నిశ్చల మృదువైన ఉపరితలం (లేదా వక్రరేఖ) వెంట కదులుతున్నప్పుడు, ఒక బిందువు యొక్క గతి శక్తిలో మార్పు, బిందువుకు వర్తించే క్రియాశీల శక్తుల యొక్క ఈ కదలికపై చేసిన పని మొత్తానికి సమానం.

ఉపరితలం (వక్రత) మృదువైనది కానట్లయితే, అప్పుడు ఘర్షణ శక్తి యొక్క పని క్రియాశీల శక్తుల పనికి జోడించబడుతుంది (§ 88 చూడండి). ఉపరితలం (వక్రత) కదులుతున్నట్లయితే, పాయింట్ M యొక్క సంపూర్ణ స్థానభ్రంశం N కి లంబంగా ఉండకపోవచ్చు మరియు అప్పుడు ప్రతిచర్య పని N సున్నాకి సమానంగా ఉండదు (ఉదాహరణకు, ఎలివేటర్ ప్లాట్‌ఫారమ్ యొక్క ప్రతిచర్య పని).

సమస్య పరిష్కారం. గతి శక్తిలో మార్పుపై సిద్ధాంతం [ఫార్ములా (52)] ఒక పాయింట్ కదిలినప్పుడు పాయింట్ యొక్క వేగం ఎలా మారుతుందో తెలుసుకోవడం, నటనా శక్తుల పనిని నిర్ణయించడం (డైనమిక్స్ యొక్క మొదటి సమస్య) లేదా పనిని తెలుసుకోవడం. కదులుతున్నప్పుడు బిందువు యొక్క వేగం ఎలా మారుతుందో నిర్ణయించడానికి నటనా శక్తులు (డైనమిక్స్ యొక్క రెండవ సమస్య). రెండవ సమస్యను పరిష్కరించేటప్పుడు, దళాలు ఇచ్చినప్పుడు, వారి పనిని లెక్కించడం అవసరం. ఫార్ములాలు (44), (44) నుండి చూడగలిగినట్లుగా, శక్తులు స్థిరంగా ఉన్నప్పుడు లేదా సాగే బిందువు యొక్క స్థానం (కోఆర్డినేట్‌లు)పై ఆధారపడి ఉన్నప్పుడు మాత్రమే చేయవచ్చు, ఉదాహరణకు స్థితిస్థాపకత లేదా గురుత్వాకర్షణ శక్తి (§ 88 చూడండి )

అందువల్ల, డైనమిక్స్ యొక్క రెండవ సమస్యను పరిష్కరించడానికి సూత్రం (52) నేరుగా ఉపయోగించబడుతుంది, సమస్యలో డేటా మరియు అవసరమైన పరిమాణాలు ఉన్నప్పుడు: నటనా శక్తులు, ఒక బిందువు యొక్క స్థానభ్రంశం మరియు దాని ప్రారంభ మరియు చివరి వేగాలు (అనగా, పరిమాణాలు ) మరియు శక్తులు స్థిరంగా ఉండాలి లేదా పాయింట్ యొక్క స్థానం (కోఆర్డినేట్‌లు)పై మాత్రమే ఆధారపడి ఉండాలి.

అవకలన రూపంలో ఉన్న సిద్ధాంతం [ఫార్ములా (51)] వాస్తవానికి, ఏదైనా నటనా శక్తులకు వర్తించవచ్చు.

సమస్య 98. ఎత్తులో ఉన్న పాయింట్ A (Fig. 235) నుండి వేగంతో విసిరివేయబడిన కిలోల బరువున్న లోడ్, పతనం సమయంలో ఒక వేగాన్ని కలిగి ఉంటుంది. దాని కదలిక సమయంలో

పరిష్కారం. లోడ్ కదులుతున్నప్పుడు, గురుత్వాకర్షణ శక్తి P మరియు గాలి నిరోధకత R యొక్క శక్తి లోడ్‌పై పనిచేస్తాయి. గతి శక్తిలో మార్పుపై సిద్ధాంతం ప్రకారం, లోడ్‌ను మెటీరియల్ పాయింట్‌గా పరిగణించి, మనకు

ఈ సమానత్వం నుండి, సూత్రం ప్రకారం మనం కనుగొన్నాము

సమస్య 99. సమస్య 96 పరిస్థితులలో (చూడండి [§ 84), ఆపడానికి ముందు లోడ్ ఏ మార్గంలో ప్రయాణిస్తుందో నిర్ణయించండి (అంజీర్ 223 చూడండి, లోడ్ యొక్క ప్రారంభ స్థానం మరియు చివరి స్థానం).

పరిష్కారం. లోడ్, సమస్య 96లో వలె, P, N, F శక్తులచే పని చేయబడుతుంది. బ్రేకింగ్ దూరాన్ని నిర్ణయించడానికి, ఈ సమస్య యొక్క పరిస్థితుల్లో స్థిరమైన శక్తి F కూడా ఉందని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము మార్పుపై సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగిస్తాము గతి శక్తి

పరిశీలనలో ఉన్న సందర్భంలో - ఆపే సమయంలో లోడ్ వేగం). అదనంగా, P మరియు N శక్తులు స్థానభ్రంశానికి లంబంగా ఉన్నందున, ఫలితంగా, మనం ఎక్కడ నుండి పొందుతాము

సమస్య 96 ఫలితాల ప్రకారం, బ్రేకింగ్ సమయం ప్రారంభ వేగానికి అనులోమానుపాతంలో పెరుగుతుంది మరియు బ్రేకింగ్ దూరం, మేము కనుగొన్నట్లుగా, ప్రారంభ వేగం యొక్క వర్గానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. భూ రవాణాకు వర్తించినప్పుడు, పెరుగుతున్న వేగంతో ప్రమాదం ఎలా పెరుగుతుందో ఇది చూపిస్తుంది.

సమస్య 100. బరువు P యొక్క లోడ్ పొడవు యొక్క థ్రెడ్‌పై సస్పెండ్ చేయబడింది l లోడ్‌తో కలిసి థ్రెడ్ ఒక కోణంలో నిలువు నుండి విక్షేపం చెందుతుంది (Fig. 236, a) మరియు ప్రారంభ వేగం లేకుండా విడుదల చేయబడుతుంది. కదులుతున్నప్పుడు, లోడ్‌పై ప్రతిఘటన శక్తి R పని చేస్తుంది, దానిని మనం దాని సగటు విలువతో ఇంచుమించుగా భర్తీ చేస్తాము. థ్రెడ్ నిలువుతో కోణాన్ని రూపొందించే సమయంలో లోడ్ యొక్క వేగాన్ని కనుగొనండి

పరిష్కారం. సమస్య యొక్క పరిస్థితులను పరిగణనలోకి తీసుకుని, మేము మళ్ళీ సిద్ధాంతాన్ని (52) ఉపయోగిస్తాము:

లోడ్ గురుత్వాకర్షణ శక్తి ద్వారా పని చేయబడుతుంది, ప్రతిఘటన థ్రెడ్ యొక్క ప్రతిచర్య, దాని సగటు విలువ R ద్వారా సూచించబడుతుంది. శక్తి P కోసం, శక్తి N కోసం సూత్రం (47) ప్రకారం, మేము శక్తి కోసం చివరకు పొందుతాము. నుండి, ఫార్ములా (45) ప్రకారం ఇది ఉంటుంది (ఆర్క్ యొక్క పొడవు s కేంద్ర కోణానికి ఉత్పత్తి వ్యాసార్థం lకు సమానంగా ఉంటుంది). అదనంగా, సమస్య యొక్క పరిస్థితుల ప్రకారం, ఫలితంగా, సమానత్వం (ఎ) ఇస్తుంది:

ప్రతిఘటన లేనప్పుడు, మేము ఇక్కడ నుండి బాగా తెలిసిన గెలీలియో సూత్రాన్ని పొందుతాము, ఇది స్వేచ్ఛగా పడిపోయే లోడ్ (Fig. 236, b) యొక్క వేగం కోసం స్పష్టంగా చెల్లుతుంది.

పరిశీలనలో ఉన్న సమస్యలో, మరొక సంజ్ఞామానాన్ని పరిచయం చేస్తూ - లోడ్ యొక్క యూనిట్ బరువుకు సగటు నిరోధక శక్తి), మేము చివరకు పొందుతాము

సమస్య 101. ఒక undeformed రాష్ట్రంలో, వాల్వ్ వసంత సెం.మీ పొడవును కలిగి ఉంటుంది.వాల్వ్ పూర్తిగా తెరిచినప్పుడు, దాని పొడవు cm, మరియు వాల్వ్ లిఫ్ట్ యొక్క ఎత్తు cm (Fig. 237). స్ప్రింగ్ దృఢత్వం వాల్వ్ బరువు కిలో. గురుత్వాకర్షణ మరియు నిరోధక శక్తుల ప్రభావాలను నిర్లక్ష్యం చేయడం, అది మూసివేయబడిన క్షణంలో వాల్వ్ యొక్క వేగాన్ని నిర్ణయించండి.

పరిష్కారం, సమీకరణాన్ని ఉపయోగించుకుందాం

సమస్య యొక్క పరిస్థితుల ప్రకారం, పని వసంతకాలం యొక్క సాగే శక్తి ద్వారా మాత్రమే నిర్వహించబడుతుంది. అప్పుడు, ఫార్ములా (48) ప్రకారం అది ఉంటుంది

ఈ విషయంలో

అదనంగా, ఈ అన్ని విలువలను సమీకరణం (a) లోకి భర్తీ చేయడం ద్వారా, మేము చివరకు పొందుతాము

సమస్య 102. సాగే పుంజం (Fig. 238) మధ్యలో ఉన్న ఒక లోడ్ దానిని మొత్తం (పుంజం యొక్క గణాంక విక్షేపం) ద్వారా విక్షేపం చేస్తుంది. H ఎత్తు నుండి పుంజం మీద పడుతుంది.

పరిష్కారం. మునుపటి సమస్యలో వలె, మేము పరిష్కరించడానికి సమీకరణం (52) ఉపయోగిస్తాము. ఈ సందర్భంలో, లోడ్ యొక్క ప్రారంభ వేగం మరియు దాని చివరి వేగం (పుంజం యొక్క గరిష్ట విక్షేపం సమయంలో) సున్నాకి సమానం మరియు సమీకరణం (52) రూపాన్ని తీసుకుంటుంది

ఇక్కడ పని స్థానభ్రంశంపై గురుత్వాకర్షణ శక్తి P మరియు స్థానభ్రంశంపై పుంజం F యొక్క సాగే శక్తి ద్వారా నిర్వహించబడుతుంది.అంతేకాకుండా, పుంజం కోసం ఈ పరిమాణాలను సమానత్వం (a)గా మార్చడం వలన, మేము పొందుతాము

కానీ పుంజంపై లోడ్ సమతౌల్యంలో ఉన్నప్పుడు, గురుత్వాకర్షణ శక్తి స్థితిస్థాపకత శక్తితో సమతుల్యమవుతుంది, కాబట్టి, మునుపటి సమానత్వాన్ని రూపంలో సూచించవచ్చు

ఈ క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం మరియు సమస్య యొక్క పరిస్థితుల ప్రకారం మనం కనుగొనవలసి ఉంటుందని పరిగణనలోకి తీసుకోవడం

ఇది మారినప్పుడు గమనించడం ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది, అందువల్ల, క్షితిజ సమాంతర పుంజం మధ్యలో ఒక లోడ్ ఉంచినట్లయితే, లోడ్ని తగ్గించేటప్పుడు దాని గరిష్ట విక్షేపం స్టాటిక్ ఒకటి కంటే రెండు రెట్లు సమానంగా ఉంటుంది. తదనంతరం, లోడ్ సమతౌల్య స్థానం చుట్టూ ఉన్న పుంజంతో కలిసి డోలనం చేయడం ప్రారంభమవుతుంది. ప్రతిఘటన ప్రభావంతో, ఈ డోలనాలు మందగిస్తాయి మరియు పుంజం యొక్క విక్షేపం సమానంగా ఉండే స్థితిలో వ్యవస్థ సమతుల్యమవుతుంది.

సమస్య 103. భూమి యొక్క ఉపరితలం నుండి ఇచ్చిన ఎత్తు H (Fig. 239) వరకు శరీరానికి అందజేయవలసిన కనిష్ట నిలువుగా నిర్దేశించబడిన ప్రారంభ వేగాన్ని నిర్ణయించండి. భూమి మధ్యలో నుండి దూరం. గాలి నిరోధకతను నిర్లక్ష్యం చేయండి.

పరిష్కారం. శరీరాన్ని ద్రవ్యరాశితో కూడిన పదార్థ బిందువుగా పరిగణించి, మేము సమీకరణాన్ని ఉపయోగిస్తాము

ఇక్కడ పని గురుత్వాకర్షణ శక్తి F ద్వారా చేయబడుతుంది. అప్పుడు, ఫార్ములా (50) ఉపయోగించి, R భూమి యొక్క వ్యాసార్థం అయిన ఈ సందర్భంలో, మనం పొందుతాము

అత్యధిక పాయింట్ వద్ద, పని యొక్క కనుగొనబడిన విలువతో, సమీకరణం (a) ఇస్తుంది

ప్రత్యేక సందర్భాలను పరిశీలిద్దాం:

ఎ) Rతో పోలిస్తే H చాలా చిన్నదిగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు - సున్నాకి దగ్గరగా ఉండే విలువ. న్యూమరేటర్ మరియు హారంను విభజించడం వల్ల మనకు లభిస్తుంది

అందువలన, చిన్న H కోసం మేము గెలీలియో సూత్రానికి చేరుకుంటాము;

బి) విసిరిన శరీరం ఏ ప్రారంభ వేగంతో అనంతానికి వెళ్తుందో తెలుసుకుందాం. న్యూమరేటర్ మరియు హారంను A ద్వారా భాగిస్తే, మనకు లభిస్తుంది

2.4.1 యాంత్రిక వ్యవస్థ యొక్క గతి శక్తి.వేగంతో కదిలే ద్రవ్యరాశి పదార్థ బిందువు యొక్క గతిశక్తిని పరిమాణం అంటారు

యాంత్రిక వ్యవస్థ యొక్క గతి శక్తి అనేది ఈ వ్యవస్థలో చేర్చబడిన పదార్థ బిందువుల గతి శక్తుల మొత్తం:

సిస్టమ్ యొక్క ద్రవ్యరాశి నిరంతరం పంపిణీ చేయబడిన సందర్భాలలో, వ్యక్తీకరణ (7)లోని సమ్మషన్ పంపిణీ ప్రాంతంపై ఏకీకరణ ద్వారా భర్తీ చేయబడుతుంది.

రెండు రిఫరెన్స్ సిస్టమ్‌లలోని యాంత్రిక వ్యవస్థ యొక్క గతి శక్తి యొక్క విలువల మధ్య సంబంధం, వాటిలో ఒకటి స్థిరంగా ఉంటుంది మరియు మరొకటి అనువాదపరంగా వేగంతో కదులుతుంది, ఇక్కడ పాయింట్ C అనేది యాంత్రిక వ్యవస్థ యొక్క ద్రవ్యరాశికి కేంద్రంగా ఉంటుంది. కోనిగ్ సిద్ధాంతం:

. (8)

ఇక్కడ - కదిలే కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో యాంత్రిక వ్యవస్థ యొక్క గతిశక్తి.

వ్యక్తీకరణలను ఉపయోగించడం (6, 7, 8) ఘన శరీరం యొక్క గతి శక్తిని లెక్కించడానికి సూత్రాలను వ్రాయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది:

ద్రవ్యరాశి శరీరం వేగంతో ముందుకు సాగినప్పుడు

ఒక క్షణం జడత్వంతో శరీరం యొక్క స్థిర అక్షం చుట్టూ కోణీయ వేగంతో తిరిగేటప్పుడు

చలన సమతలానికి లంబంగా ఉండే అక్షానికి సంబంధించి జడత్వం యొక్క కేంద్ర క్షణం యొక్క విలువ వద్ద కోణీయ వేగంతో దృఢమైన శరీరం యొక్క సమతల-సమాంతర చలనంలో మరియు భ్రమణ తక్షణ అక్షానికి సంబంధించి జడత్వం యొక్క క్షణం యొక్క విలువ

. (11)

2.4.2 శక్తి లక్షణాలు. శక్తి యొక్క శక్తి లక్షణాలు దాని శక్తి, పని మరియు సంభావ్య శక్తిని కలిగి ఉంటాయి.

శక్తిశక్తి, వేగంతో కదులుతున్న అప్లికేషన్ యొక్క పాయింట్, పరిమాణం అంటారు

ఉద్యోగంబలం ప్రాథమిక విరామంలోసమయం మరియు ఈ కాలానికి సంబంధించిన అప్లికేషన్ పాయింట్ యొక్క ప్రాథమిక స్థానభ్రంశం నియమం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

పనిబలం పరిమిత విరామంలోసమయం మరియు వ్యాసార్థంలో సంబంధిత మార్పు - ఈ శక్తి యొక్క దరఖాస్తు పాయింట్ యొక్క వెక్టర్ నుండి వరకు - పరిమాణం అంటారు

. (14)

ఒక జత శక్తుల క్షణం ద్వారా చేసిన పని ఇదే విధంగా లెక్కించబడుతుంది.

వ్యక్తీకరణ (13) మొత్తం భేదం అయిన సందర్భాలలో మాత్రమే సంభావ్య శక్తి నిర్వచించబడుతుంది:

పరిస్థితి (15) నెరవేరినప్పుడు, శక్తి సంభావ్యతగా చెప్పబడుతుంది. ఎంచుకున్న కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క అక్షంపై శక్తి యొక్క అంచనాలను ఫంక్షన్‌తో అనుసంధానించే సంబంధాలు:

శక్తి యొక్క దరఖాస్తు స్థానం స్థానం నుండి స్థానానికి మారినట్లయితే, (15) సమగ్రపరచడం ద్వారా మనం పొందవచ్చు

. (17)

గమనిక: సంభావ్య శక్తి స్థిరమైన పదం వరకు నిర్ణయించబడుతుంది; గుర్తించబడిన లక్షణం మనం ఎంచుకున్న పాయింట్ వద్ద సంభావ్య శక్తి సున్నాకి సమానం అని భావించడానికి అనుమతిస్తుంది (ఉదాహరణకు, కోఆర్డినేట్‌ల మూలం వద్ద).

యాంత్రిక వ్యవస్థపై పనిచేసే శక్తుల సమితి కోసం, సంభావ్య శక్తి కోసం వ్యక్తీకరణను వ్రాయడం సాధ్యమైనప్పుడు, యాంత్రిక వ్యవస్థ అంటారు. సంప్రదాయవాది. ఇటువంటి యాంత్రిక వ్యవస్థలు ముఖ్యమైన లక్షణాలను కలిగి ఉంటాయి - నటనా దళాల పని పథం యొక్క రకాన్ని మరియు దానితో పాటు చలన చట్టంపై ఆధారపడి ఉండదు; క్లోజ్డ్ లూప్‌తో కదులుతున్నప్పుడు పని సున్నా.

ఫంక్షన్ ఉనికిలో ఉన్న పరిస్థితులు:

2.4.3 గతి శక్తిలో మార్పుపై సిద్ధాంతం.అవకలన రూపంలో యాంత్రిక వ్యవస్థ యొక్క గతి శక్తిలో మార్పుపై సిద్ధాంతాన్ని వ్రాయడం:

యాంత్రిక వ్యవస్థ యొక్క గతి శక్తి యొక్క సమయ ఉత్పన్నం బాహ్య మరియు అంతర్గత శక్తుల శక్తికి సమానం.

గతి శక్తిలో మార్పుపై సిద్ధాంతాన్ని వ్రాయడం యొక్క సమగ్ర రూపం

, (20)

ఎక్కడ ; ; ; .

ఒక నిర్దిష్ట సందర్భంలో, సంభావ్య శక్తి యొక్క వ్యక్తీకరణ వ్యవస్థ యొక్క బాహ్య మరియు అంతర్గత శక్తుల మొత్తం కోసం వ్రాయబడినప్పుడు, మొత్తం యాంత్రిక శక్తి పరిరక్షణ చట్టం సంతృప్తి చెందుతుంది.

మరియు వ్యవస్థ కూడా సంప్రదాయవాదంగా మారుతుంది.

ఉదాహరణ 3. అంజీర్ 2లో చూపిన యాంత్రిక వ్యవస్థ కోసం, లోడ్ యొక్క కదలిక కోసం అవకలన సమీకరణాన్ని పొందండి.

పరిష్కారం. అవకలన రూపంలో గతి శక్తిలో మార్పుపై సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించుకుందాం (19). మెకానికల్ సిస్టమ్ యొక్క శరీరాలకు తగిన ప్రతిచర్యలను వర్తింపజేయడం ద్వారా మానసికంగా కనెక్షన్ల నుండి మనల్ని మనం విడిపించుకుందాం (Fig. 2 చూడండి). గమనిక: ఏకాక్షక బ్లాక్ యొక్క ద్రవ్యరాశి యొక్క స్థిర కేంద్రం వద్ద వర్తించే శక్తులు వర్ణించబడవు, ఎందుకంటే వాటి శక్తి సున్నా.

యాంత్రిక వ్యవస్థ యొక్క గతిశక్తికి వ్యక్తీకరణను సృష్టిద్దాం.

శక్తిఅనేది స్కేలార్ భౌతిక పరిమాణం, ఇది పదార్థం యొక్క వివిధ రకాల కదలికల యొక్క ఏకీకృత కొలత మరియు పదార్థం యొక్క కదలిక ఒక రూపం నుండి మరొక రూపానికి మారడం యొక్క కొలత.

పదార్థం యొక్క వివిధ రకాల కదలికలను వర్గీకరించడానికి, సంబంధిత రకాలైన శక్తి పరిచయం చేయబడింది, ఉదాహరణకు: యాంత్రిక, అంతర్గత, ఎలెక్ట్రోస్టాటిక్ శక్తి, ఇంట్రాన్యూక్లియర్ ఇంటరాక్షన్స్ మొదలైనవి.

శక్తి పరిరక్షణ నియమాన్ని పాటిస్తుంది, ఇది ప్రకృతి యొక్క అత్యంత ముఖ్యమైన చట్టాలలో ఒకటి.

మెకానికల్ ఎనర్జీ E అనేది శరీరాల కదలిక మరియు పరస్పర చర్యను వర్ణిస్తుంది మరియు ఇది శరీరాల వేగం మరియు సాపేక్ష స్థానాల యొక్క విధి. ఇది గతి మరియు సంభావ్య శక్తుల మొత్తానికి సమానం.

గతి శక్తి

మాస్ శరీరం ఉన్నప్పుడు కేసును పరిశీలిద్దాం mస్థిరమైన శక్తి \(~\vec F\) (ఇది అనేక శక్తుల ఫలితంగా ఉండవచ్చు) మరియు శక్తి \(~\vec F\) మరియు స్థానభ్రంశం \(~\vec s\) యొక్క వెక్టర్స్ ఒకదాని వెంట నిర్దేశించబడతాయి ఒక దిశలో సరళ రేఖ. ఈ సందర్భంలో, శక్తి చేసిన పనిని ఇలా నిర్వచించవచ్చు ఎ = ఎఫ్∙లు. న్యూటన్ రెండవ నియమం ప్రకారం శక్తి యొక్క మాడ్యులస్ సమానంగా ఉంటుంది ఎఫ్ = m∙a, మరియు స్థానభ్రంశం మాడ్యూల్ లుఏకరీతిలో వేగవంతమైన రెక్టిలినియర్ మోషన్ ప్రారంభ మాడ్యూళ్ళతో అనుబంధించబడుతుంది υ 1 మరియు చివరి υ 2 వేగం మరియు త్వరణాలు ఎవ్యక్తీకరణ \(~s = \frac(\upsilon^2_2 - \upsilon^2_1)(2a)\) .

ఇక్కడ నుండి మేము పని చేస్తాము

\(~A = F \cdot s = m \cdot a \cdot \frac(\upsilon^2_2 - \upsilon^2_1)(2a) = \frac(m \cdot \upsilon^2_2)(2) - \frac (m \cdot \upsilon^2_1)(2)\) . (1)

శరీర ద్రవ్యరాశి యొక్క సగం ఉత్పత్తికి సమానమైన భౌతిక పరిమాణం మరియు దాని వేగం యొక్క వర్గాన్ని అంటారు శరీరం యొక్క గతి శక్తి.

గతి శక్తి అక్షరం ద్వారా సూచించబడుతుంది ఇకె.

\(~E_k = \frac(m \cdot \upsilon^2)(2)\) . (2)

అప్పుడు సమానత్వం (1) క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

\(~A = E_(k2) - E_(k1)\) . (3)

గతి శక్తి సిద్ధాంతం

శరీరానికి వర్తించే ఫలిత శక్తుల పని శరీరం యొక్క గతి శక్తిలో మార్పుకు సమానం.

గతి శక్తిలో మార్పు శక్తి యొక్క పనికి సమానం (3), శరీరం యొక్క గతి శక్తి పని వలె అదే యూనిట్లలో వ్యక్తీకరించబడుతుంది, అనగా, జూల్స్‌లో.

ద్రవ్యరాశి శరీరం యొక్క కదలిక యొక్క ప్రారంభ వేగం ఉంటే mసున్నా మరియు శరీరం దాని వేగాన్ని విలువకు పెంచుతుంది υ , అప్పుడు శక్తి ద్వారా చేసే పని శరీరం యొక్క గతి శక్తి యొక్క తుది విలువకు సమానంగా ఉంటుంది:

\(~A = E_(k2) - E_(k1)= \frac(m \cdot \upsilon^2)(2) - 0 = \frac(m \cdot \upsilon^2)(2)\) . (4)

గతి శక్తి యొక్క భౌతిక అర్థం

v వేగంతో కదులుతున్న శరీరం యొక్క గతిశక్తి ఈ వేగాన్ని అందించడానికి విశ్రాంతిగా ఉన్న శరీరంపై పనిచేసే శక్తి ఎంత పని చేయాలో చూపిస్తుంది.

సంభావ్య శక్తి

సంభావ్య శక్తిశరీరాల మధ్య పరస్పర చర్య యొక్క శక్తి.

భూమి పైన పెరిగిన శరీరం యొక్క సంభావ్య శక్తి గురుత్వాకర్షణ శక్తుల ద్వారా శరీరం మరియు భూమి మధ్య పరస్పర చర్య యొక్క శక్తి. సాగే వికృతమైన శరీరం యొక్క సంభావ్య శక్తి అనేది సాగే శక్తుల ద్వారా శరీరంలోని వ్యక్తిగత భాగాల పరస్పర చర్య యొక్క శక్తి.

సంభావ్యఅంటారు బలం, దీని పని కదిలే మెటీరియల్ పాయింట్ లేదా బాడీ యొక్క ప్రారంభ మరియు చివరి స్థానంపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుంది మరియు పథం యొక్క ఆకృతిపై ఆధారపడి ఉండదు.

సంవృత పథంలో, సంభావ్య శక్తి ద్వారా చేసే పని ఎల్లప్పుడూ సున్నాగా ఉంటుంది. సంభావ్య శక్తులలో గురుత్వాకర్షణ శక్తులు, సాగే శక్తులు, ఎలెక్ట్రోస్టాటిక్ శక్తులు మరియు మరికొన్ని ఉన్నాయి.

అధికారాలు, పథం యొక్క ఆకృతిపై ఆధారపడిన పనిని పిలుస్తారు సంభావ్యత లేని. మెటీరియల్ పాయింట్ లేదా బాడీ మూసి ఉన్న పథంలో కదులుతున్నప్పుడు, నాన్‌పోటెన్షియల్ ఫోర్స్ చేసే పని సున్నాకి సమానంగా ఉండదు.

భూమితో శరీరం యొక్క పరస్పర చర్య యొక్క సంభావ్య శక్తి

గురుత్వాకర్షణ శక్తి ద్వారా జరిగే పనిని కనుగొనండి ఎఫ్ t ద్రవ్యరాశి శరీరాన్ని కదిలేటప్పుడు mఎత్తు నుండి నిలువుగా క్రిందికి hభూమి యొక్క ఉపరితలం నుండి 1 ఎత్తు వరకు h 2 (Fig. 1). తేడా ఉంటే h 1 – h 2 అనేది భూమి మధ్యలో ఉన్న దూరం, ఆపై గురుత్వాకర్షణ శక్తితో పోలిస్తే చాలా తక్కువ ఎఫ్శరీర కదలిక సమయంలో t స్థిరంగా మరియు సమానంగా పరిగణించబడుతుంది mg.

స్థానభ్రంశం గురుత్వాకర్షణ వెక్టర్‌తో దిశలో సమానంగా ఉంటుంది కాబట్టి, గురుత్వాకర్షణ ద్వారా చేసే పని సమానంగా ఉంటుంది

\(~A = F \cdot s = m \cdot g \cdot (h_1 - h_2)\) . (5)

వంపుతిరిగిన విమానం వెంట శరీరం యొక్క కదలికను ఇప్పుడు పరిశీలిద్దాం. ఒక వంపుతిరిగిన విమానం (Fig. 2), గురుత్వాకర్షణ శక్తి క్రిందికి శరీరాన్ని కదిలేటప్పుడు ఎఫ్ t = m∙ gపని చేస్తుంది

\(~A = m \cdot g \cdot s \cdot \cos \alpha = m \cdot g \cdot h\) , (6)

ఎక్కడ h- వంపుతిరిగిన విమానం యొక్క ఎత్తు, లు- వంపుతిరిగిన విమానం పొడవుకు సమానమైన స్థానభ్రంశం మాడ్యూల్.

ఒక పాయింట్ నుండి శరీరం యొక్క కదలిక INసరిగ్గా తోఏదైనా పథం వెంట (Fig. 3) వివిధ ఎత్తులతో వంపుతిరిగిన విమానాల విభాగాల వెంట కదలికలను కలిగి ఉన్నట్లు మానసికంగా ఊహించవచ్చు h’, h'' మొదలైనవి పని ఎగురుత్వాకర్షణ అన్ని మార్గం నుండి INవి తోమార్గంలోని వ్యక్తిగత విభాగాలపై పని మొత్తానికి సమానం:

\(~A = m \cdot g \cdot h" + m \cdot g \cdot h"" + \ldots + m \cdot g \cdot h^n = m \cdot g \cdot (h" + h"" + \ldots + h^n) = m \cdot g \cdot (h_1 - h_2)\), (7)

ఎక్కడ h 1 మరియు h 2 - పాయింట్లు వరుసగా ఉన్న భూమి ఉపరితలం నుండి ఎత్తులు INమరియు తో.

సమానత్వం (7) గురుత్వాకర్షణ పని శరీరం యొక్క పథంపై ఆధారపడి ఉండదు మరియు ఎల్లప్పుడూ గురుత్వాకర్షణ మాడ్యులస్ యొక్క ఉత్పత్తికి మరియు ప్రారంభ మరియు చివరి స్థానాల్లో ఎత్తుల వ్యత్యాసంతో సమానంగా ఉంటుంది.

క్రిందికి కదులుతున్నప్పుడు, గురుత్వాకర్షణ పని సానుకూలంగా ఉంటుంది, పైకి కదులుతున్నప్పుడు అది ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. సంవృత పథంలో గురుత్వాకర్షణ ద్వారా చేసే పని సున్నా.

సమానత్వం (7)ని ఈ క్రింది విధంగా సూచించవచ్చు:

\(~A = - (m \cdot g \cdot h_2 - m \cdot g \cdot h_1)\) . (8)

స్వేచ్ఛా పతనం యొక్క త్వరణం మాడ్యులస్ ద్వారా శరీరం యొక్క ద్రవ్యరాశి యొక్క ఉత్పత్తికి సమానమైన భౌతిక పరిమాణం మరియు భూమి యొక్క ఉపరితలంపై శరీరాన్ని పెంచే ఎత్తు అంటారు. సంభావ్య శక్తిశరీరం మరియు భూమి మధ్య పరస్పర చర్య.

ద్రవ్యరాశి శరీరాన్ని కదిలేటప్పుడు గురుత్వాకర్షణ ద్వారా చేసే పని mఎత్తులో ఉన్న పాయింట్ నుండి h 2, ఎత్తులో ఉన్న ఒక బిందువుకు hభూమి యొక్క ఉపరితలం నుండి 1, ఏదైనా పథం వెంట, వ్యతిరేక సంకేతంతో తీసుకున్న శరీరం మరియు భూమి మధ్య పరస్పర చర్య యొక్క సంభావ్య శక్తిలో మార్పుకు సమానం.

\(~A = - (E_(p2) - E_(p1))\) . (9)

సంభావ్య శక్తి అక్షరం ద్వారా సూచించబడుతుంది ఇ p.

భూమి పైన పెరిగిన శరీరం యొక్క సంభావ్య శక్తి యొక్క విలువ సున్నా స్థాయి ఎంపికపై ఆధారపడి ఉంటుంది, అనగా, సంభావ్య శక్తి సున్నాగా భావించబడే ఎత్తు. భూమి యొక్క ఉపరితలంపై శరీరం యొక్క సంభావ్య శక్తి సున్నా అని సాధారణంగా భావించబడుతుంది.

సున్నా స్థాయి ఈ ఎంపికతో, సంభావ్య శక్తి ఇఎత్తులో ఉన్న శరీరం యొక్క p hభూమి యొక్క ఉపరితలం పైన, స్వేచ్ఛా పతనం యొక్క సంపూర్ణ త్వరణం ద్వారా శరీరం యొక్క ద్రవ్యరాశి m యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం gమరియు దూరం hఇది భూమి యొక్క ఉపరితలం నుండి:

\(~E_p = m \cdot g \cdot h\) . (10)

భూమితో శరీరం యొక్క పరస్పర చర్య యొక్క సంభావ్య శక్తి యొక్క భౌతిక అర్థం

గురుత్వాకర్షణ పని చేసే శరీరం యొక్క సంభావ్య శక్తి శరీరాన్ని సున్నా స్థాయికి తరలించేటప్పుడు గురుత్వాకర్షణ ద్వారా చేసే పనికి సమానం.

అనువాద చలనం యొక్క గతిశక్తి వలె కాకుండా, ఇది సానుకూల విలువలను మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది, శరీరం యొక్క సంభావ్య శక్తి సానుకూలంగా మరియు ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. శరీర ద్రవ్యరాశి m, ఎత్తులో ఉంది h, ఎక్కడ h < h 0 (h 0 - సున్నా ఎత్తు), ప్రతికూల సంభావ్య శక్తిని కలిగి ఉంటుంది:

\(~E_p = -m \cdot g \cdot h\) .

గురుత్వాకర్షణ పరస్పర చర్య యొక్క సంభావ్య శక్తి

ద్రవ్యరాశితో రెండు పదార్థ బిందువుల వ్యవస్థ యొక్క గురుత్వాకర్షణ పరస్పర చర్య యొక్క సంభావ్య శక్తి mమరియు ఎందూరంలో ఉన్న ఆర్ఒకదాని నుండి మరొకటి సమానం

\(~E_p = G \cdot \frac(M \cdot m)(r)\) . (పదకొండు)

ఎక్కడ జిగురుత్వాకర్షణ స్థిరాంకం మరియు సంభావ్య శక్తి సూచన యొక్క సున్నా ( ఇ p = 0) వద్ద ఆమోదించబడింది ఆర్ = ∞.

ద్రవ్యరాశితో శరీరం యొక్క గురుత్వాకర్షణ పరస్పర చర్య యొక్క సంభావ్య శక్తి mభూమితో, ఎక్కడ h- భూమి యొక్క ఉపరితలం పైన శరీరం యొక్క ఎత్తు, ఎంఇ - భూమి యొక్క ద్రవ్యరాశి, ఆర్ e అనేది భూమి యొక్క వ్యాసార్థం, మరియు సంభావ్య శక్తి పఠనం యొక్క సున్నా ఎంపిక చేయబడుతుంది h = 0.

\(~E_e = G \cdot \frac(M_e \cdot m \cdot h)(R_e \cdot (R_e +h))\) . (12)

సున్నా సూచనను ఎంచుకునే అదే పరిస్థితిలో, ద్రవ్యరాశితో శరీరం యొక్క గురుత్వాకర్షణ పరస్పర చర్య యొక్క సంభావ్య శక్తి mతక్కువ ఎత్తుల కోసం భూమితో h (h « ఆర్ఇ) సమానం

\(~E_p = m \cdot g \cdot h\) ,

ఇక్కడ \(~g = G \cdot \frac(M_e)(R^2_e)\) అనేది భూమి యొక్క ఉపరితలం దగ్గర గురుత్వాకర్షణ త్వరణం యొక్క మాడ్యూల్.

సాగే వికృతమైన శరీరం యొక్క సంభావ్య శక్తి

ఒక నిర్దిష్ట ప్రారంభ విలువ నుండి స్ప్రింగ్ యొక్క వైకల్యం (పొడుగు) మారినప్పుడు సాగే శక్తి ద్వారా చేసే పనిని గణిద్దాం. x 1 నుండి తుది విలువ x 2 (Fig. 4, b, c).

వసంత వైకల్యంతో సాగే శక్తి మారుతుంది. సాగే శక్తి ద్వారా చేసిన పనిని కనుగొనడానికి, మీరు శక్తి మాడ్యులస్ యొక్క సగటు విలువను తీసుకోవచ్చు (ఎలాస్టిక్ ఫోర్స్ సరళంగా ఆధారపడి ఉంటుంది కాబట్టి x) మరియు స్థానభ్రంశం మాడ్యూల్ ద్వారా గుణించండి:

\(~A = F_(upr-cp) \cdot (x_1 - x_2)\) , (13)

ఇక్కడ \(~F_(upr-cp) = k \cdot \frac(x_1 - x_2)(2)\) . ఇక్కడనుంచి

\(~A = k \cdot \frac(x_1 - x_2)(2) \cdot (x_1 - x_2) = k \cdot \frac(x^2_1 - x^2_2)(2)\) లేదా \(~A = -\left(\frac(k \cdot x^2_2)(2) - \frac(k \cdot x^2_1)(2) \కుడి)\) . (14)

శరీర వైకల్యం యొక్క స్క్వేర్ ద్వారా శరీరం యొక్క దృఢత్వం యొక్క సగం ఉత్పత్తికి సమానమైన భౌతిక పరిమాణాన్ని అంటారు సంభావ్య శక్తిసాగే వికృతమైన శరీరం:

\(~E_p = \frac(k \cdot x^2)(2)\) . (15)

సూత్రాల నుండి (14) మరియు (15) సాగే శక్తి యొక్క పని ఒక సాగే వికృతమైన శరీరం యొక్క సంభావ్య శక్తిలో మార్పుకు సమానం, వ్యతిరేక సంకేతంతో తీసుకోబడింది:

\(~A = -(E_(p2) - E_(p1))\) . (16)

ఉంటే x 2 = 0 మరియు x 1 = X, అప్పుడు, సూత్రాలు (14) మరియు (15) నుండి చూడవచ్చు,

\(~E_p = A\) .

వికృతమైన శరీరం యొక్క సంభావ్య శక్తి యొక్క భౌతిక అర్థం

స్థితిస్థాపకంగా వైకల్యంతో ఉన్న శరీరం యొక్క సంభావ్య శక్తి, శరీరం వైకల్యం సున్నాగా ఉన్న స్థితికి మారినప్పుడు సాగే శక్తి ద్వారా చేసే పనికి సమానం.

సంభావ్య శక్తి పరస్పర చర్య చేసే శరీరాలను వర్గీకరిస్తుంది మరియు గతి శక్తి కదిలే శరీరాలను వర్గీకరిస్తుంది. శరీరాలపై పనిచేసే శక్తులు సున్నా కాకుండా పని చేసే శరీరాల పరస్పర చర్య ఫలితంగా మాత్రమే సంభావ్య మరియు గతి శక్తి రెండూ మారుతాయి. క్లోజ్డ్ సిస్టమ్‌ను రూపొందించే శరీరాల పరస్పర చర్యల సమయంలో శక్తి మార్పుల ప్రశ్నను పరిశీలిద్దాం.

క్లోజ్డ్ సిస్టమ్- ఇది బాహ్య శక్తులచే పని చేయని వ్యవస్థ లేదా ఈ శక్తుల చర్య భర్తీ చేయబడుతుంది. అనేక శరీరాలు ఒకదానితో ఒకటి గురుత్వాకర్షణ మరియు సాగే శక్తుల ద్వారా మాత్రమే సంకర్షణ చెందుతాయి మరియు వాటిపై ఎటువంటి బాహ్య శక్తులు పని చేయకపోతే, శరీరాల యొక్క ఏదైనా పరస్పర చర్యల కోసం, సాగే లేదా గురుత్వాకర్షణ శక్తుల పని శరీరాల సంభావ్య శక్తిలో మార్పుకు సమానం. వ్యతిరేక గుర్తుతో:

\(~A = -(E_(p2) - E_(p1))\) . (17)

గతి శక్తి సిద్ధాంతం ప్రకారం, అదే శక్తులు చేసే పని గతి శక్తిలో మార్పుకు సమానం:

\(~A = E_(k2) - E_(k1)\) . (18)

సమానత్వాల (17) మరియు (18) పోలిక నుండి, క్లోజ్డ్ సిస్టమ్‌లోని శరీరాల గతి శక్తిలో మార్పు అనేది శరీరాల వ్యవస్థ యొక్క సంభావ్య శక్తిలో మార్పుకు సంపూర్ణ విలువలో సమానంగా ఉంటుంది మరియు సంకేతంలో విరుద్ధంగా ఉంటుంది:

\(~E_(k2) - E_(k1) = -(E_(p2) - E_(p1))\) లేదా \(~E_(k1) + E_(p1) = E_(k2) + E_(p2) \) . (19)

యాంత్రిక ప్రక్రియలలో శక్తి పరిరక్షణ చట్టం:

ఒక సంవృత వ్యవస్థను తయారు చేసే మరియు గురుత్వాకర్షణ మరియు సాగే శక్తుల ద్వారా ఒకదానితో ఒకటి సంకర్షణ చెందే శరీరాల గతి మరియు సంభావ్య శక్తి మొత్తం స్థిరంగా ఉంటుంది.

శరీరాల గతి మరియు సంభావ్య శక్తి మొత్తాన్ని అంటారు మొత్తం యాంత్రిక శక్తి.

ఒక సాధారణ ప్రయోగాన్ని ఇద్దాం. ఒక స్టీల్ బాల్ పైకి విసిరేద్దాం. ప్రారంభ వేగాన్ని υ అంగుళం ఇవ్వడం ద్వారా, మనం దానికి గతిశక్తిని అందిస్తాము, అందుకే అది పైకి ఎదగడం ప్రారంభమవుతుంది. గురుత్వాకర్షణ చర్య బంతి వేగం తగ్గడానికి దారితీస్తుంది మరియు అందుకే దాని గతి శక్తి. కానీ బంతి మరింత ఎక్కువగా పెరుగుతుంది మరియు మరింత ఎక్కువ సంభావ్య శక్తిని పొందుతుంది ( ఇ p = m∙g∙ h) అందువలన, గతి శక్తి ఒక ట్రేస్ లేకుండా అదృశ్యం కాదు, కానీ సంభావ్య శక్తిగా మార్చబడుతుంది.

పథం యొక్క అగ్ర స్థానానికి చేరుకునే సమయంలో ( υ = 0) బంతి పూర్తిగా గతిశక్తిని కోల్పోతుంది ( ఇ k = 0), కానీ అదే సమయంలో దాని సంభావ్య శక్తి గరిష్టంగా మారుతుంది. అప్పుడు బంతి దిశను మారుస్తుంది మరియు పెరుగుతున్న వేగంతో క్రిందికి కదులుతుంది. ఇప్పుడు సంభావ్య శక్తి తిరిగి గతి శక్తిగా మార్చబడుతుంది.

శక్తి పరిరక్షణ చట్టం వెల్లడిస్తుంది భౌతిక అర్థంభావనలు పని:

గురుత్వాకర్షణ మరియు సాగే శక్తుల పని, ఒక వైపు, గతి శక్తి పెరుగుదలకు సమానం, మరియు మరోవైపు, శరీరాల సంభావ్య శక్తిలో తగ్గుదల. అందువల్ల, పని అనేది ఒక రకం నుండి మరొకదానికి మార్చబడిన శక్తికి సమానం.

మెకానికల్ ఎనర్జీ మార్పు చట్టం

పరస్పర చర్య చేసే శరీరాల వ్యవస్థ మూసివేయబడకపోతే, దాని యాంత్రిక శక్తి సంరక్షించబడదు. అటువంటి వ్యవస్థ యొక్క యాంత్రిక శక్తిలో మార్పు బాహ్య శక్తుల పనికి సమానం:

\(~A_(vn) = \Delta E = E - E_0\) . (20)

ఎక్కడ ఇమరియు ఇ 0 - చివరి మరియు ప్రారంభ స్థితులలో సిస్టమ్ యొక్క మొత్తం యాంత్రిక శక్తులు వరుసగా.

అటువంటి వ్యవస్థకు ఉదాహరణ, ఒక వ్యవస్థ, దీనిలో సంభావ్య శక్తులతో పాటు, సంభావ్య రహిత శక్తులు పనిచేస్తాయి. సంభావ్యత లేని శక్తులు ఘర్షణ శక్తులను కలిగి ఉంటాయి. చాలా సందర్భాలలో, ఘర్షణ శక్తి మధ్య కోణం ఉన్నప్పుడు ఎఫ్ ఆర్శరీరం ఉంది π రేడియన్లు, ఘర్షణ శక్తి ద్వారా చేసే పని ప్రతికూలంగా మరియు సమానంగా ఉంటుంది

\(~A_(tr) = -F_(tr) \cdot s_(12)\) ,

ఎక్కడ లు 12 - పాయింట్లు 1 మరియు 2 మధ్య శరీర మార్గం.

వ్యవస్థ యొక్క కదలిక సమయంలో ఘర్షణ శక్తులు దాని గతి శక్తిని తగ్గిస్తాయి. దీని ఫలితంగా, క్లోజ్డ్ నాన్-కన్సర్వేటివ్ సిస్టమ్ యొక్క యాంత్రిక శక్తి ఎల్లప్పుడూ తగ్గుతుంది, ఇది యాంత్రిక రహిత చలన రూపాల శక్తిగా మారుతుంది.

ఉదాహరణకు, రహదారి యొక్క క్షితిజ సమాంతర విభాగంలో కదులుతున్న కారు, ఇంజిన్‌ను ఆపివేసిన తర్వాత, కొంత దూరం ప్రయాణించి ఘర్షణ శక్తుల ప్రభావంతో ఆగిపోతుంది. కారు యొక్క ఫార్వర్డ్ మోషన్ యొక్క గతి శక్తి సున్నాకి సమానంగా మారింది మరియు సంభావ్య శక్తి పెరగలేదు. కారు బ్రేకింగ్ చేస్తున్నప్పుడు, బ్రేక్ ప్యాడ్లు, కారు టైర్లు మరియు తారు వేడెక్కింది. పర్యవసానంగా, ఘర్షణ శక్తుల చర్య ఫలితంగా, కారు యొక్క గతి శక్తి అదృశ్యం కాలేదు, కానీ అణువుల ఉష్ణ కదలిక యొక్క అంతర్గత శక్తిగా మారింది.

శక్తి పరిరక్షణ మరియు పరివర్తన చట్టం

ఏదైనా భౌతిక పరస్పర చర్యలో, శక్తి ఒక రూపం నుండి మరొక రూపానికి రూపాంతరం చెందుతుంది.

కొన్నిసార్లు ఘర్షణ శక్తి మధ్య కోణం ఎఫ్ tr మరియు ప్రాథమిక స్థానభ్రంశం Δ ఆర్సున్నాకి సమానం మరియు ఘర్షణ శక్తి యొక్క పని సానుకూలంగా ఉంటుంది:

\(~A_(tr) = F_(tr) \cdot s_(12)\) ,

ఉదాహరణ 1. బాహ్య శక్తిని అనుమతించండి ఎఫ్బ్లాక్‌లో పనిచేస్తుంది IN, ఇది కార్ట్‌పై జారవచ్చు డి(Fig. 5). బండి కుడివైపుకు కదులుతుంటే, స్లైడింగ్ రాపిడి శక్తి ద్వారా జరిగే పని ఎఫ్బ్లాక్ వైపు నుండి కార్ట్‌పై పనిచేసే tr2 సానుకూలంగా ఉంటుంది:

ఉదాహరణ 2. చక్రం రోల్ చేసినప్పుడు, దాని రోలింగ్ ఘర్షణ శక్తి కదలిక వెంట దర్శకత్వం వహించబడుతుంది, ఎందుకంటే క్షితిజ సమాంతర ఉపరితలంతో చక్రం యొక్క సంపర్క స్థానం చక్రం యొక్క కదలిక దిశకు వ్యతిరేక దిశలో కదులుతుంది మరియు ఘర్షణ శక్తి యొక్క పని సానుకూలంగా ఉంటుంది. (Fig. 6):

సాహిత్యం

1. కబార్డిన్ O.F. భౌతిక శాస్త్రం: సూచన. పదార్థాలు: పాఠ్య పుస్తకం. విద్యార్థులకు మాన్యువల్. – M.: ఎడ్యుకేషన్, 1991. – 367 p.
2. కికోయిన్ ఐ.కె., కికోయిన్ ఎ.కె. భౌతిక శాస్త్రం: పాఠ్య పుస్తకం. 9వ తరగతి కోసం. సగటు పాఠశాల – M.: Prosveshchenie, 1992. – 191 p.
3. ఎలిమెంటరీ ఫిజిక్స్ పాఠ్య పుస్తకం: ప్రో. భత్యం. 3 వాల్యూమ్‌లలో / ఎడ్. జి.ఎస్. ల్యాండ్స్‌బర్గ్: వాల్యూమ్. 1. మెకానిక్స్. వేడి. పరమాణు భౌతిక శాస్త్రం. – M.: Fizmatlit, 2004. – 608 p.
4. యావోర్స్కీ B.M., సెలెజ్నెవ్ యు.ఎ. విశ్వవిద్యాలయాలు మరియు స్వీయ-విద్యలో ప్రవేశించే వారికి భౌతిక శాస్త్రానికి సూచన గైడ్. – M.: నౌకా, 1983. – 383 p.

స్కేలార్ పరిమాణం T, వ్యవస్థ యొక్క అన్ని బిందువుల గతి శక్తుల మొత్తానికి సమానం, వ్యవస్థ యొక్క గతి శక్తి అంటారు.

గతి శక్తి అనేది వ్యవస్థ యొక్క అనువాద మరియు భ్రమణ చలనం యొక్క లక్షణం. దాని మార్పు బాహ్య శక్తుల చర్య ద్వారా ప్రభావితమవుతుంది మరియు ఇది స్కేలార్ అయినందున, ఇది వ్యవస్థ యొక్క భాగాల కదలిక దిశపై ఆధారపడి ఉండదు.

వివిధ కదలికల కోసం గతి శక్తిని కనుగొనండి:

1.ముందుకు ఉద్యమం

వ్యవస్థ యొక్క అన్ని బిందువుల వేగాలు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం యొక్క వేగానికి సమానంగా ఉంటాయి. అప్పుడు

అనువాద చలన సమయంలో వ్యవస్థ యొక్క గతి శక్తి వ్యవస్థ యొక్క ద్రవ్యరాశి యొక్క సగం ఉత్పత్తికి మరియు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం యొక్క వేగం యొక్క వర్గానికి సమానం.

2. భ్రమణ ఉద్యమం(చిత్రం 77)

శరీరంపై ఏదైనా పాయింట్ యొక్క వేగం: . అప్పుడు

లేదా సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం (15.3.1):

భ్రమణ సమయంలో శరీరం యొక్క గతి శక్తి భ్రమణ అక్షం మరియు దాని కోణీయ వేగం యొక్క చతురస్రానికి సంబంధించి శరీరం యొక్క జడత్వం యొక్క క్షణం యొక్క సగం ఉత్పత్తికి సమానం.

3. విమానం-సమాంతర చలనం

ఇచ్చిన కదలిక కోసం, గతి శక్తి అనేది అనువాద మరియు భ్రమణ కదలికల శక్తిని కలిగి ఉంటుంది

చలనం యొక్క సాధారణ సందర్భం గతానికి సమానమైన గతి శక్తిని లెక్కించడానికి ఒక సూత్రాన్ని ఇస్తుంది.

మేము చాప్టర్ 14 యొక్క పేరా 3లో పని మరియు శక్తి యొక్క నిర్వచనాన్ని చేసాము. ఇక్కడ మేము యాంత్రిక వ్యవస్థపై పనిచేసే శక్తుల పని మరియు శక్తిని లెక్కించే ఉదాహరణలను పరిశీలిస్తాము.

1.గురుత్వాకర్షణ శక్తుల పని. లెట్ , శరీరం యొక్క పాయింట్ k యొక్క ప్రారంభ మరియు చివరి స్థానాల అక్షాంశాలు. ఈ బరువు కణంపై పనిచేసే గురుత్వాకర్షణ శక్తి ద్వారా చేసే పని ఉంటుంది . అప్పుడు పూర్తి పని:

ఇక్కడ P అనేది మెటీరియల్ పాయింట్ల వ్యవస్థ యొక్క బరువు, గురుత్వాకర్షణ C యొక్క నిలువు స్థానభ్రంశం.

2. తిరిగే శరీరానికి వర్తించే శక్తుల పని.

సంబంధం (14.3.1) ప్రకారం, మనం వ్రాయవచ్చు , కానీ ఫిగర్ 74 ప్రకారం ds, దాని అనంతమైన చిన్నతనం కారణంగా, రూపంలో సూచించవచ్చు - శరీరం యొక్క భ్రమణ యొక్క అనంతమైన కోణం. అప్పుడు

పరిమాణం టార్క్ అని.

మేము ఫార్ములా (19.1.6) గా తిరిగి వ్రాస్తాము

ఎలిమెంటరీ వర్క్ అనేది టార్క్ టైమ్స్ ఎలిమెంటరీ రొటేషన్ యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం.

చివరి కోణం ద్వారా తిరిగేటప్పుడు మనకు ఉంటుంది:

టార్క్ స్థిరంగా ఉంటే, అప్పుడు

మరియు మేము సంబంధం నుండి శక్తిని నిర్ణయిస్తాము (14.3.5)

శరీరం యొక్క టార్క్ మరియు కోణీయ వేగం యొక్క ఉత్పత్తిగా.

ఒక పాయింట్ (§ 14.4) కోసం నిరూపించబడిన గతి శక్తిలో మార్పుపై సిద్ధాంతం సిస్టమ్‌లోని ఏ పాయింట్‌కైనా చెల్లుబాటు అవుతుంది

సిస్టమ్ యొక్క అన్ని పాయింట్ల కోసం అటువంటి సమీకరణాలను కంపోజ్ చేయడం ద్వారా మరియు వాటిని పదం వారీగా జోడించడం ద్వారా, మేము పొందుతాము:

లేదా, (19.1.1) ప్రకారం:

ఇది అవకలన రూపంలో వ్యవస్థ యొక్క గతి శక్తిపై సిద్ధాంతం యొక్క వ్యక్తీకరణ.

సమగ్రపరచడం (19.2.2) మనకు లభిస్తుంది:

దాని తుది రూపంలో గతి శక్తిలో మార్పుపై సిద్ధాంతం: కొంత తుది స్థానభ్రంశం సమయంలో వ్యవస్థ యొక్క గతి శక్తిలో మార్పు అనేది సిస్టమ్‌కు వర్తించే అన్ని బాహ్య మరియు అంతర్గత శక్తుల ఈ స్థానభ్రంశంపై చేసిన పని మొత్తానికి సమానం.

అంతర్గత శక్తులు మినహాయించబడవని మేము నొక్కిచెప్పాము. మార్చలేని వ్యవస్థ కోసం, అన్ని అంతర్గత శక్తులు చేసిన పని మొత్తం సున్నా మరియు

సిస్టమ్‌పై విధించిన పరిమితులు కాలక్రమేణా మారకపోతే, బాహ్య మరియు అంతర్గత శక్తులను క్రియాశీల మరియు ప్రతిచర్య పరిమితులుగా విభజించవచ్చు మరియు సమీకరణం (19.2.2) ఇప్పుడు వ్రాయవచ్చు:

డైనమిక్స్లో, "ఆదర్శ" యాంత్రిక వ్యవస్థ యొక్క భావన పరిచయం చేయబడింది. ఇది కనెక్షన్ల ఉనికి గతి శక్తిలో మార్పును ప్రభావితం చేయని వ్యవస్థ, అనగా

కాలానుగుణంగా మారని మరియు ప్రాథమిక స్థానభ్రంశంలో పని మొత్తం సున్నా అయిన అటువంటి కనెక్షన్‌లను ఆదర్శంగా పిలుస్తారు మరియు సమీకరణం (19.2.5) వ్రాయబడుతుంది:

ఇచ్చిన స్థానం Mలోని మెటీరియల్ పాయింట్ యొక్క సంభావ్య శక్తి స్కేలార్ పరిమాణం P, పాయింట్‌ను M స్థానం నుండి సున్నాకి తరలించేటప్పుడు ఫీల్డ్ ఫోర్స్ ఉత్పత్తి చేసే పనికి సమానం.

P = A (mo) (19.3.1)

సంభావ్య శక్తి పాయింట్ M యొక్క స్థానంపై ఆధారపడి ఉంటుంది, అంటే దాని కోఆర్డినేట్‌లపై ఆధారపడి ఉంటుంది

P = P(x,y,z) (19.3.2)

శక్తి క్షేత్రం అనేది ప్రాదేశిక వాల్యూమ్‌లో ఒక భాగమని ఇక్కడ వివరిస్తాము, ప్రతి పాయింట్ వద్ద ఒక నిర్దిష్ట పరిమాణం మరియు దిశ యొక్క శక్తి ఒక కణంపై పనిచేస్తుంది, ఇది కణం యొక్క స్థానంపై ఆధారపడి ఉంటుంది, అంటే, కోఆర్డినేట్‌లపై x, y, z. ఉదాహరణకు, భూమి యొక్క గురుత్వాకర్షణ క్షేత్రం.

పనికి సమానమైన అవకలన కోఆర్డినేట్‌ల ఫంక్షన్ U అంటారు శక్తి ఫంక్షన్. ఫోర్స్ ఫంక్షన్ ఉన్న ఫోర్స్ ఫీల్డ్ అంటారు సంభావ్య శక్తి క్షేత్రం, మరియు ఈ రంగంలో పనిచేసే శక్తులు సంభావ్య శక్తులు.

P(x,y,z) మరియు U(x,y,z) అనే రెండు ఫోర్స్ ఫంక్షన్‌ల కోసం సున్నా పాయింట్లు ఏకకాలంలో ఉండనివ్వండి.

ఫార్ములా (14.3.5) ఉపయోగించి మనం పొందుతాము, అనగా. dA = dU(x,y,z) మరియు

ఇక్కడ U అనేది పాయింట్ M వద్ద ఉన్న ఫోర్స్ ఫంక్షన్ యొక్క విలువ. అందుకే

П(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)

ఫోర్స్ ఫీల్డ్ యొక్క ఏదైనా పాయింట్ వద్ద సంభావ్య శక్తి ఈ పాయింట్ వద్ద ఫోర్స్ ఫంక్షన్ యొక్క విలువకు సమానం, వ్యతిరేక గుర్తుతో తీసుకోబడుతుంది.

అంటే, ఫోర్స్ ఫీల్డ్ యొక్క లక్షణాలను పరిగణనలోకి తీసుకున్నప్పుడు, ఫోర్స్ ఫంక్షన్‌కు బదులుగా, మనం సంభావ్య శక్తిని పరిగణించవచ్చు మరియు ప్రత్యేకించి, సమీకరణం (19.3.3) ఇలా తిరిగి వ్రాయబడుతుంది

సంభావ్య శక్తి ద్వారా చేసే పని ప్రారంభ మరియు చివరి స్థానాల్లో కదిలే పాయింట్ యొక్క సంభావ్య శక్తి విలువల మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానం.

ముఖ్యంగా, గురుత్వాకర్షణ పని:

వ్యవస్థపై పనిచేసే అన్ని శక్తులు సంభావ్యంగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు సిస్టమ్ యొక్క ప్రతి పాయింట్ k కోసం పని సమానంగా ఉంటుంది

అప్పుడు అన్ని శక్తులకు, బాహ్య మరియు అంతర్గత రెండూ ఉంటాయి

మొత్తం వ్యవస్థ యొక్క సంభావ్య శక్తి ఎక్కడ ఉంది.

మేము ఈ మొత్తాలను గతి శక్తికి (19.2.3) వ్యక్తీకరణలో ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:

లేదా చివరకు:

సంభావ్య శక్తుల ప్రభావంతో కదులుతున్నప్పుడు, వ్యవస్థ యొక్క ప్రతి స్థానంలోని గతి మరియు సంభావ్య శక్తి యొక్క మొత్తం స్థిరంగా ఉంటుంది. ఇది యాంత్రిక శక్తి పరిరక్షణ చట్టం.

x = 0.1sinl0t చట్టం ప్రకారం 1 కిలోల బరువున్న లోడ్ స్వేచ్ఛగా ఊగిసలాడుతుంది. స్ప్రింగ్ దృఢత్వం గుణకం c = 100 N/m. x = 0 వద్ద సంభావ్య శక్తి సున్నా అయితే, లోడ్ యొక్క మొత్తం యాంత్రిక శక్తిని x = 0.05 m వద్ద నిర్ణయించండి . (0,5)

ద్రవ్యరాశి m = 4 కిలోల లోడ్, క్రిందికి పడిపోవడం, థ్రెడ్ సహాయంతో R = 0.4 m వ్యాసార్థం గల సిలిండర్‌ను తిప్పడానికి కారణమవుతుంది.భ్రమణం యొక్క అక్షానికి సంబంధించి సిలిండర్ యొక్క జడత్వం యొక్క క్షణం I = 0.2. లోడ్ v = 2m/s వేగం ఉన్నప్పుడు శరీరాల వ్యవస్థ యొక్క గతి శక్తిని నిర్ణయించండి . (10,5)