Анализ временных рядов. Параметры уравнения тренда

В главе 2 было рассмотрено понятие о тенденции временного ряда, т.е. тенденции динамики развития изучаемого показате­ля. Задача данной главы состоит в том, чтобы рассмотреть ос­новные типы таких тенденций, их свойства, отражаемые с большей или меньшей степенью полноты уравнением линии тренда. Укажем при этом, что в отличие от простых систем ме­ханики тенденции изменения показателей сложных социальных, экономических, биологических и технических систем только с некоторым приближением отражаются тем или иным уравне­нием, линией тренда.

В данной главе рассматриваются далеко не все известные в математике линии и их уравнения, а лишь набор их сравнитель­но простых форм, который мы считаем достаточным для ото­бражения и анализа большинства встречающихся на практике тенденций временных рядов. При этом желательно всегда вы­бирать из нескольких типов линий, достаточно близко выра­жающих тенденцию, более простую линию. Этот «принцип простоты» обоснован тем, что чем сложнее уравнение линии тренда, чем большее число параметров оно содержит, тем при равной степени приближения труднее дать надежную оценку этих параметров по ограниченному числу уровней ряда и тем больше ошибка оценки этих параметров, ошибки прогнозиру­емых уровней.

4.1. Прямолинейный тренд и его свойства

Самым простым типом линии тренда является прямая ли­ния, описываемая линейным (т.е. первой степени) уравнением тренда:

где - выровненные, т.е. лишенные колебаний, уровни тренда для лет с номеромi;

а - свободный член уравнения, численно равный среднему выровненному уровню для момента или периода времени, принятого за начало отсчета, т.е. для

t = 0;

b - средняя величина изменения уровней ряда за единицу из­менения времени;

ti - номера моментов или периодов времени, к которым от­носятся уровни временного ряда (год, квартал, месяц, дата).

Среднее изменение уровней ряда за единицу времени - глав­ный параметр и константа прямолинейного тренда. Следова­тельно, этот тип тренда подходит для отображения тенденции примерно равномерных изменений уровней: равных в среднем абсолютных приростов или абсолютных сокращений уровней за равные промежутки времени. Практика показывает, что та­кой характер динамики встречается достаточно часто. Причи­на близких к равномерному абсолютных изменений уровней ряда состоит в следующем: многие явления, как, например, урожай­ность сельскохозяйственных культур, численность населения региона, города, сумма дохода населения, среднее потребление какого-либо продовольственного товара и др., зависят от боль­шого числа различных факторов. Одни из них влияют в сторо­ну ускоренного роста изучаемого явления, другие - в сторону замедленного роста, третьи - в направлении сокращения уров­ней и т.д. Влияние разнонаправленных и разноускоренных (за­медленных) сил факторов взаимно усредняется, частично взаимно погашается, а равнодействующая их влияний приобре­тает характер, близкий к равномерной тенденции. Итак, равно­мерная тенденция динамики (или застоя) - это результат сложения влияния большого количества факторов на изменение изучаемого показателя.

Графическое изображение прямолинейного тренда - прямая линия в системе прямоугольных координат с линейным (ариф­метическим) масштабом на обеих осях. Пример линейного тренда дан на рис. 4.1.

Абсолютные изменения уровней в разные годы не были точно одинаковыми, но общая тенденция сокращения численности занятых в народном хозяйстве очень хорошо отражает­ся прямолинейным трендом. Его параметры вычислены в гл. 5 (табл. 5.3).

Основные свойства тренда в форме прямой линии таковы:

Равные изменения за равные промежутки времени;

Если средний абсолютный прирост - положительная вели­чина, то относительные приросты или темпы прироста посте­пенно уменьшаются;

Если среднее абсолютное изменение - отрицательная вели­чина, то относительные изменения или темпы сокращения по­степенно увеличиваются по абсолютной величине снижения к предыдущему уровню;

Если тенденция к сокращению уровней, а изучаемая вели­чина является по определению положительной, то среднее изме­нение b не может быть больше среднего уровняа;

При линейном тренде ускорение, т.е. разность абсолютных изменений за последовательные периоды, равно нулю.

Свойства линейного тренда иллюстрирует табл. 4.1. Урав­нение тренда: = 100 +20 *ti.

Показатели динамики при наличии тенденции сокращения уровней приведены в табл. 4.2.

Таблица 4.1

Показатели динамики при линейном тренде к увеличению уровней = 100 +20 *ti.

Таблица 4.2

Показатели динамики при линейном тренде сокращения уровней: = 200 -20 *ti.

Является тренд . Одним из наиболее популярных способов моделирования тенденции временного ряда является нахождение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени. Этот способ называется аналитическим выравниванием временного ряда.

Зависимость показателя от времени может принимать разные формы, поэтому находят различные функции: линейную, гиперболу, экспоненту, степенную функцию, полиномы различных степеней. Временной ряд исследуют аналогично линейной регрессии.

Параметры любого тренда можно определить обычным методом наименьших квадратов, используя в качестве фактора время t = 1, 2,…, n, а в качестве зависимой переменной используют уровни временного ряда. Для нелинейных трендов сначала проводят процедуру линеаризации.

К числу наиболее распространенных способов определения типа тенденции относят качественный анализ изучаемого ряда , построение и анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчет основных показателей динамики. В этих же целях можно часто используют и .

Линейный тренд

Тип тенденции определяют путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка. Если временной ряд имеет линейный тренд, то его соседние уровни yt и yt-1 тесно коррелируют. В таком случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть максимальный. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, то чем сильнее выделена нелинейная тенденция во временном ряду, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит , можно осуществить перебором основных видов тренда, расчета по каждому уравнению коэффициента корреляции и выбора уравнения тренда с максимальным значением коэффициента.

Параметры тренда

Наиболее простую интерпретацию имеют параметры экспоненциального и линейного трендов.

Параметры линейного тренда интерпретируют так: а — исходный уровень временного ряда в момент времени t = 0; b - средний за период абсолютный прирост уровней рада.

Параметры экспоненциального тренда имеют такую интерпретацию. Параметр а - это исходный уровень временного ряда в момент времени t = 0. Величина exp(b) - это средний в расчете на единицу времени коэффициент роста уровней ряда.

По аналогии с линейной моделью расчетные значения уровней рада по экспоненциальному тренду можно определить путем подстановки в уравнение тренда значений времени t = 1,2,…, n, либо в соответствии с интерпретацией параметров экспоненциального тренда: каждый последующий уровень такого ряда есть произведение предыдущего уровня на соответствующий коэффициент роста

При наличии неявной нелинейной тенденции нужно дополнять описанные выше методы выбора лучшего уравнения тренда качественным анализом динамики изучаемого показателя, для того, чтобы избежать ошибок спецификации при выборе вида тренда. Качественный анализ предполагает изучение проблем возможного наличия в исследуемом ряду поворотных точек и изменения темпов прироста, начиная с определенного момента времени под влиянием ряда факторов, и т. д. В том случае если уравнение тренда выбрано неправильно при больших значениях t, результаты прогнозирования динамики временного ряда с использованием исследуемого уравнения будут недостоверными по причине ошибки спецификации.

Иллюстрация возможного появления ошибки спецификации приведем на рисунке

Если оптимальной формой тренда является парабола, в то время как на самом деле имеет место линейная тенденция, то при больших t парабола и линейная функция естественно будут по разному описывать тенденцию в уровнях ряда.

Тренд - это закономерность описывающая подъем или падение показателя в динамике. Если изобразить любой динамический ряд (статистические данные, представляющие собой список зафиксированных значений изменяемого показателя во времени) на графике, часто выделяется определенный угол – кривая либо постепенно идет на увеличение или на уменьшение, в таких случаях принято говорить, что ряд динамики имеет тенденцию (к росту или падению соответственно).

Тренд как модель

Если же построить модель, описывающую это явление, то получается довольно простой и очень удобный инструмент для прогнозирования не требующий каких-либо сложных вычислений или временных затрат на проверку значимости или адекватности влияющих факторов.

Итак, что же собой представляет тренд как модель? Это совокупность расчетных коэффициентов уравнения, которые выражают регрессионную зависимость показателя (Y) от изменения времени (t). То есть, это точно такая же регрессия, как и те, что мы рассматривали ранее, только влияющим фактором здесь выступает именно показатель времени.

Важно!

В расчетах под t обычно подразумевается не год, номер месяца или недели, а именно порядковый номер периода в изучаемой статистической совокупности – динамическом ряде. К примеру, если динамический ряд изучается за несколько лет, а данные фиксировались ежемесячно, то использовать обнуляющуюся нумерацию месяцев, с 1 по 12 и опять сначала, в корне неверно. Также неверно в случае, если изучение ряда начинается, к примеру, с марта месяца в качестве значения t использовать 3 (третий месяц в году), если это первое значение в изучаемой совокупности, то его порядковый номер должен быть 1.

Модель линейного тренда

Как и любая другая регрессия, тренд может быть как линейным (степень влияющего фактора t равна 1) так и нелинейным (степень больше или меньше единицы). Так как линейная регрессия является самой простейшей, хотя далеко не всегда самой точной, то рассмотрим более детально именно этот тип тренда.

Общий вид уравнения линейного тренда:

Y(t) = a 0 + a 1 *t + Ɛ

Где a 0 – это нулевой коэффициент регрессии, то есть, то каким будет Y в случае, если влияющий фактор будет равен нулю, a 1 – коэффициент регрессии, который выражает степень зависимости исследуемого показателя Y от влияющего фактора t, Ɛ – случайная компонента или стандартная ошибка, по сути являет собой разницу между реально существующими значениями Y и расчетными. t – это единственный влияющий фактор – время.

Чем более выраженная тенденция роста показателя или его падения, тем будет больше коэффициент a 1 . Соответственно, предполагается, что константа a 0 совместно со случайной компонентой Ɛ отражают остальные регрессионные влияния, помимо времени, то есть всех прочих возможных влияющих факторов.

Рассчитать коэффициенты модели можно стандартным Методом наименьших квадратов (МНК). Со всеми этими расчетами Microsoft Excel справляется на ура самостоятельно, при чем, чтобы получить модель линейного тренда либо готовый прогноз существует целых пять способов, которые мы по отдельности разберем ниже.

Графический способ получения линейного тренда

В этом и во всех дальнейших примерах будем использовать один и тот же динамический ряд – уровень ВВП, который вычисляется и фиксируется ежегодно, в нашем случае исследование будет проходить на периоде с 2004-го по 2012-й гг.

Добавим к исходным данным еще один столбец, который назовем t и пометим цифрами по возрастающей порядковые номера всех зафиксированных значений ВВП за указанный период с 2004-го по 2012-й гг. – 9 лет или 9 периодов .

Эксель добавит пустое поле – разметку под будущий график, выделяем этот график и активируем появившуюся вкладку в панели меню – Конструктор , ищем кнопку Выбрать данные , в отрывшемся окне жмем кнопочку Добавить . Всплывшее окошко предложит выбрать данные для построения диаграммы. В качестве значения поля Имя ряда выбираем ячейку, которая содержит текст, наиболее полно отвечающий названию графика. В поле Значения X указываем интервал ячеек стобца t – влияющего фактора. В поле Значения Y указываем интервал ячеек столбца с известными значениями ВВП (Y) – исследуемого показателя.

Заполнив указанные поля, несколько раз нажимаем кнопку ОК и получаем готовый график динамики. Теперь выделяем правой кнопкой мыши саму линию графика и из появившегося контекстного меню выбираем пункт Добавить линию тренда

Откроется окошко для настройки параметров построения линии тренда, где среди типов моделей выбираем Линейная , ставим галочки напротив пунктов Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации R2 , этого будет достаточно чтобы на графике отобразилась уже построенная линия тренда, а также математический вариант отображения модели в виде готового уравнения и показатель качества модели R 2 . Если вас интересует отображение на графике прогноза, чтобы визуально оценить отрыв исследуемого показателя укажите в поле Прогноз вперед на количество интересующих периодов.

Собственно это все, что касается этого способа, можно конечно добавить, что отображаемое уравнение линейного тренда это и есть непосредственно сама модель, которую можно использовать, в качестве формулы, чтобы получить расчетные значения по модели и соответственно точные значения прогноза (прогноз отображаемый на графике, оценить можно лишь приблизительно), что мы и сделали в приложенному к статье примере.

Построение линейного тренда с помощью формулы ЛИНЕЙН

Суть этого метода сводится к поиску коэффициентов линейного тренда с помощью функции ЛИНЕЙН , затем, подставляя эти влияющие коэффициенты в уравнение, получим прогнозную модель.

Нам потребуется выделить две рядом стоящие ячейки (на скриншоте это ячейки A38 и B38), далее в строке формул вверху (выделено красным на скриншоте выше) вызываем функцию, написав «=ЛИНЕЙН(», после чего эксель выведет подсказки того, что требуется для этой функции, а именно:

1. выделяем диапазон с известными значениями описываемого показателя Y (в нашем случае ВВП, на скриншоте диапазон выделен синим) и ставим точку с запятой
2. указываем диапазон влияющих факторов X (в нашем случае это показатель t, порядковый номер периодов, на скриншоте выделено зеленым) и ставим точку с запятой
3. следующий по порядку требуемый параметр для функции – это определение того нужно ли рассчитывать константу, так как мы изначально рассматриваем модель с константой (коэффициент a 0 ), то ставим либо «ИСТИНА» либо «1» и точку с запятой
4. далее нужно указать требуется ли расчет параметров статистики (в случае, если бы мы рассматривали этот вариант, то изначально пришлось бы выделить диапазон «под формулу» на несколько строк ниже). Указывать необходимость расчета параметров статистики, а именно стандартного значение ошибки для коэффициентов, коэффициента детерминированности, стандартной ошибки для Y, критерия Фишера, степеней свободы и пр. , есть смысл только тогда, когда вы понимаете, что они означают, в этом случае ставим либо «ИСТИНА», либо «1». В случае упрощенного моделирования, которому мы пытаемся научиться, на этом этапе прописывания формулы, ставим «ЛОЖЬ» либо «0» и добавляем после закрывающую скобочку «)»
5. чтобы «оживить» формулу, то есть заставить ее работать после прописывания всех необходимых параметров, не достаточно нажать кнопку Enter, необходимо последовательно зажать три клавиши: Ctrl, Shift, Enter

Как видим на скриншоте выше, выделенные нами под формулу ячейки заполнились расчетными значениями коэффициентов регрессии для линейного тренда, в ячейке B38 находится коэффициент a 0 , а в ячейке A38 - коэффициент зависимости от параметра t (или x ), то есть a 1 . Подставляем полученные значения в уравнение линейной функции и получаем готовую модель в математическом выражении – y = 169 572,2+138 454,3*t

Чтобы получить расчетные значения Y по модели и, соответственно, чтобы получить прогноз, нужно просто подставить формулу в ячейку экселя, а вместо t указать ссылку на ячейку с требуемым номером периода (смотрите на скриншоте ячейку D25 ).

Для сравнения полученной модели с реальными данными, можно построить два графика, где в качестве Х указать порядковый номер периода, а в качестве Y в одном случае – реальный ВВП, а, в другом – расчетный (на скриншоте диаграмма справа).

Построение линейного тренда с помощью инструмента Регрессия в Пакете анализа

В статье , по сути, полностью описан этот метод, единственная же разница в том, что в наших исходных данных только один влияющий фактор Х (номер периода – t ).

Как видно на рисунке выше, диапазон данных с известными значениями ВВП выделен как входной интервал Y , а соответствующий ему диапазон с номерами периодов t – как входной интервал Х . Итоги расчетов Пакетом анализа выносятся на отдельный лист и выглядит как набор таблиц (см. рисунок ниже) на котором нас интересуют ячейки, которые были закрашены мною в желтый и зеленый цвета. По аналогии с порядком, расписанным в указанной выше статье, из полученных коэффициентов собирается модель линейного тренда y=169 572,2+138 454,3*t , на основе которой и делаются прогнозы.

Прогнозирование с помощью линейного тренда через функцию ТЕНДЕНЦИЯ

Этот метод отличается от предыдущих тем, что он пропускает необходимые ранее этапы расчета параметров модели и подстановки полученных коэффициентов вручную в качестве формулы в ячейку, чтобы получить прогноз, эта функция как раз и выдает уже готовое рассчитанное прогнозное значение на основе известных исходных данных.

В целевую ячейку (ту ячейку, где хотим видеть результат) ставим знак равно и вызываем волшебную функцию, прописав «ТЕНДЕНЦИЯ(», далее необходимо выделить , то есть , после ставим точку с запятой и выделяем диапазон с известными значениями Х, то есть с номерами периодов t , которые соответствуют столбцу с известными значениями ВВП, опять ставим точку с запятой и выделяем ячейку с номером периода, для которого мы делаем прогноз (правда, в нашем случае, номер периода можно указать не ссылкой на ячейку, а просто цифрой прямо в формуле), далее ставим еще одну точку с запятой и указываем ИСТИНА или 1 , в качестве подтверждения для расчета коэффициента a 0 , наконец, ставим закрывающую скобочку и нажимаем клавишу Enter .

Минус данного метода в том, что он не показывает ни уравнения модели, ни его коэффициентов, из-за чего нельзя сказать, что на основе такой-то модели мы получили такой-то прогноз, также как и нет какого-либо отражения параметров качества модели, того таки коэффициента детерминации, по которому можно было бы сказать имеет ли смысл брать во внимание полученный прогноз или нет.

Прогнозирование с помощью линейного тренда через функцию ПРЕДСКАЗ

Суть данной функции целиком и полностью идентична предыдущей, разница лишь в порядке прописывания исходных данных в формуле и в том, что нет настройки для наличия или отсутствия коэффициента a 0 (то есть функция подразумевает, что этот коэффициент, в любом случае, есть)

Как видно с рисунка выше, в целевую ячейку прописываем «=ПРЕДСКАЗ(» и затем указываем ячейку с номером периода , для которого необходимо просчитать значение по линейному тренду, то есть прогноз, после ставим точку с запятой, далее выделяем диапазон известных значений Y , то есть столбец с известными значениями ВВП , после ставим точку с запятой и выделяем диапазон с известными значениями Х , то есть с номерами периодов t , которые соответствуют столбцу с известными значениями ВВП и, наконец, ставим закрывающую скобочку и жмем клавишу Enter .

Полученные результаты, как и в методе выше, это лишь готовый результат расчета прогнозного значения по линейной трендовой модели, он не выдает ни погрешностей, ни самой модели в математическом выражении.

Подводя итог к статье

Можно сказать, что каждый из методов может быть наиболее приемлемым среди прочих в зависимости от текущей цели, которую мы ставим перед собой. Первые три метода пересекаются между собой как по смыслу, так и по результату, и годятся для любой более или менее серьезной работы, где необходимо описание модели и ее качества. В свою очередь, последние два метода также идентичны между собой и максимально быстро вам дадут ответ, например, на вопрос: «Какой прогноз продаж на следующий год?».

Прямая линия - трендовые значения рентабельности (линейный тренд, построенный по данным фактических значений рентабельности).  

Пример 14.6. Построим линейный тренд процентных ставок по кредитам на основе статистических данных, опубликованных в Бюллетене банковской статистики № 4 (47) за 1997 г.  

Вторым этапом является поиск значений параметров уравнения. Параметры трендовых моделей определяются с помощью системы нормальных уравнений . В случае применения линейного тренда используют следующую систему уравнений, которую решают способом наименьших квадратов  

Пример 14.7. Предполагая наличие циклических колебаний , проведем гармонический анализ динамики отклонений от линейного тренда данных о ставках по кредитам (у, - у,).  

Линейный тренд хорошо отражает тенденцию изменений при действии множества разнообразных факторов, изменяющихся различным образом по разным закономерностям. Равнодействующая этих факторов при взаимопогашении особенностей отдельных фак-  

При b = 1 имеем линейный тренд, b = 2 - параболический и т.п. Степенная форма - гибкая, пригодная для отображения изменений с разной мерой пропорциональности изменений во времени. Жестким условием является обязательное прохождение через начало координат при t = 0, у = 0. Можно усложнить форму тренда у = а + th или у = а + th, но эти уравнения нельзя логарифмировать, трудно вычислять параметры, и они крайне редко применяются.  

Для линейного тренда нормальные уравнения МНК имеют вид  

В формуле (9.33) суммирование от = -(л-1) 2до/ = (л- 1) 2 в целом формула (9.33) аналогична формуле для линейного тренда (9.29).  

Согласно формуле (9.29) параметры линейного тренда равны а = 1894/11 = 172,2 ц/га 2>Л= 486/110 = 4,418 ц/га. Уравнение линейного тренда имеет вид у = 172,2 + 4,418/, где (= 0 в 1987 г. Это означает, что средний фактический и выравненный уровень, отнесенный к середине периода, т.е. к 1991 г., равен 172 ц с 1 га, а среднегодовой прирост составляет 4,418 ц/га в год.  

Поскольку по данным табл. 9.4, уже было установлено, что тренд имеет линейную форму , проводим расчет среднегодового абсолютного прироста , т. е. параметра Ъ уравнения линейного тренда сколь-  

Колеблемость умеренная, не сильная. Для сравнения приводим показатели (без расчета) по колебаниям урожайности картофеля, данные таблиц 9.1 и 9.5 - отклонение от линейного тренда s(t) = 14,38 ц с 1 га, v(t) = 8,35%.  

Для получения достаточно надежных границ прогноза положения тренда, скажем, с вероятностью 0,9 того, что ошибка будет не более указанной, следует среднюю ошибку умножить на величину /-критерия Стьюдента при указанной вероятности (или значимости 1 - 0,9 = 0,1) и при числе степеней свободы , равном, для линейного тренда, N- 2, т. е. 15. Эта величина равна 1,753. Получаем предельную с данной вероятностью ошибку  

Другим приемом измерения корреляции в рядах динамики может служить корреляция между теми из цепных показателей рядов, которые являются константами их трендов. При линейных трендах - это цепные абсолютные приросты . Вычислив их по исходным рядам динамики (axl, ayi), находим коэффициент корреляции между абсолютными изменениями по формуле (9.52) или, что более точно, по формуле (9.51), так как средние изменения не равны нулю в отличие от средних отклонений от трендов. Допустимость данного способа основана на том, что разность между соседними уровнями в основном состоит из колебаний, а доля тренда в них невелика, следовательно, искажение корреляции от тренда очень большое при кумулятивном эффекте на протяжении длительного периода , весьма мало - за каждый год в отдельности. Однако нужно помнить, что это справедливо лишь для рядов с с-показателем, существенно меньшим единицы. В нашем примере для ряда урожайности с-по-казатель равен 0,144, для себестоимости он равен 0,350. Коэффициент корреляции цепных абсолютных изменений составил 0,928, что очень близко к коэффициенту корреляции отклонений от трендов.  

В одном из предыдущих примеров мы рассмотрели прогноз по объему производства за два месяца некой компании из Дублина. Были получены оценки на 1997 год, при этом использовался линейный тренд и метод сложения . Прогнозные значения даны в тоннах  

Значения k для оценки доверительных интервалов прогноза относительно линейного тренда с вероятностью 0,8  

Адаптивное моделирование линейного тренда с помощью экспоненциальных скользящих средних.  

Алгоритм вычисления параметров линейного тренда  

Вычислить в первом приближении параметры линейного тренда  

Определить окончательные значения параметров линейного тренда  

ЕМА ошибок могут ухудшить качество прогноза. В этом случае при расчете параметров линейного тренда нужно остановиться на шаге 2 этого алгоритма.  

LN - линейный тренд, сезонность не учитывается  

Если считать, что изменения цен, вопреки соображениям эффективности на продолжительных отрезках времени, определяются многочисленными и часто нелинейными обратными связями , то на основе теории хаоса можно построить улучшенные модели, описывающие влияние прошлого на настоящее (см. -). Драматические обвалы рынка при отсутствии существенных изменений информации, резкие изменения условий доступа и сроков при пересечении компанией какого-то невидимого порога в кредитной сфере - все это проявления нелинейности. Реальное поведение финансовых рынков , скорее, противоречит правилам обращения линейных трендов, чем подтверждает их.  

Метод последовательных разностей заключается в следующем если ряд содержит линейный тренд, тогда исходные данные заменяются первыми разностями  

Значения Лу не имеют четко выраженной тенденции, они варьируют вокруг среднего уровня, что означает наличие в ряде динамики линейного тренда (линейной тенденции). Аналогичный вывод можно сделать и по ряду х абсолютные приросты не имеют систематической направленности, они примерно стабильны, а следовательно, ряд характеризуется линейной тенденцией.  

Это привело к идее измерения корреляции не самих уровней х, иу а первых разностей Дх, = х, - , 6у, - у, - у,.., (при линейных трендах). В общем случае было признано необходимым коррелировать отклонения от трендов (за вычетом циклической компоненты) Еу -у, - %, Ех = х, - %, (у,% - тренды временных рядов).  

На графике рис. 5.3 наглядно видно наличие возрастающей тенденции. Возможно существование линейного тренда.  

Параметры линейного тренда можно интерпретировать так а - начальный уровень временного ряда в момент времени t = 0 b - средний за период абсолютный прирост уровней ряда. Применительно к данному временному ряду можно сказать, что темпы роста номинальной месячной заработной платы за 10 месяцев 1999 г. изменялись от уровня 82,66% со средним за месяц абсолютным приростом , равным 4,72 проц. пункта. Расчетные по линейному тренду значения уровней временного ряда определяются двумя способами. Во-первых, можно последовательно подставлять в найденное уравнение тренда значения / = 1, 2,..., л, т.е.  

Во-вторых, в соответствии с интерпретацией параметров линейного тренда каждый последующий уровень ряда есть сумма предыдущего уровня и среднего цепного абсолютного прироста, т. е.  

Таким образом, начальный уровень ряда в соответствии с уравнением экспоненциального тренда составляет 83,96 (сравните с начальным уровнем 82,66 в линейном тренде), а средний цепной коэффициент роста - 1,046. Следовательно, можно сказать, что

Тренд (от англ. trend - тенденция ) - это долговременная тенденция изменения исследуемого временного ряда. Тренды могут быть описаны различными уравнениями - линейными, логарифмическими, степенными и так далее. Фактический тип тренда устанавливают на основе подбора его функциональной модели статистическими методами либо сглаживанием исходного временного ряда.

Тренд в экономике - это направление преимущественного движения показателей. Обычно рассматривается в рамках технического анализа, где подразумевают направленность движения цен или значений индексов. Чарльз Доу отмечал, что при восходящем тренде последующий пик на графике должен быть выше предыдущих, при нисходящем тренде последующие спады на графике должны быть ниже предыдущих.