Данная теорема позволяет рассчитывать циркуляцию вектора по контуру конечной длины с помощью ротора этого вектора.
Циркуляция векторного поля по замкнутому положительно ориентированному контуруL равна потоку ротора этого поля через любую гладкую поверхность S , опирающуюся на данный контур:
.
(2.12)
Для доказательства теоремы рассмотрим контур с охватываемой им площадью (рис. 2.6). Весь контур разбивается на элементарные контуры той же ориентации (рис. 2.10).
Циркуляция по элементарному контуру
равна
.
Все смежные контура (1 и2 на рис. 2.10) имеют такую особенность: на общей границе при том же значении поля вклад в циркуляцию по каждому из смежных контуров будет происходить с изменением знака (для контура1 -a b , а для2 - b a ). В результате вклад в циркуляцию всех внутренних участков контуров взаимно компенсируется, и нескомпенсированными останутся только участки принадлежащие контуруL , что в итоге дает (2.12) .
Частным случаем (2.12) в случае расположения контура на плоскости является формула Д. Грина (М. Остроградского- Д. Грина ):
.
(2.13)
Формулы (2.12) и (2.13) позволяют свести вычисление криволинейного интеграла второго рода к вычислению двойного интеграла по области S .
Обратный переход по (2.12) осуществляется аналогично (2.8).
2.4. Оператор набла и оператор п. Лапласа
Написание
формул векторного анализа упрощается
при использовании оператора
набла
(оператора У. Гамильтона), представляющего
собой вектор
.
Сам по себе этот вектор смысла не имеет,
но позволяет компактно записать формулы
(2.3), (2.5) и (2.9):
;
;
. (2.14)
Кроме того, оператор набла позволяет упростить вычисление дифференциальных операторов более высоких порядков.
Следует отметить, что с следует обращаться осторожно, а при его использовании нужно помнить о том, что данный оператор является не только векторным , но и дифференциальным .
Например,
найдем
.
С помощью
получаем
.
По правиламдифференцирования
произведения оператор действует сначала
на первый
множитель, а затем на второй
:
.
В результате получаем.
Процедура вычисления через координаты
вектора потребовала бы на порядок больше
операций.
Попробуйте
получить самостоятельно не включенную
в (2.15) формулу для разложения
.
Правильный ответ приведен в концеприложения
1
.
Некоторые тождества и операции второго порядка.
;
;
;
;
Оператор Лапласа ( , лапласиан ) является оператором второго порядка.
Как и , применяется как к скаляру, так и к вектору.
.
(2.17)
В случае декартовой системы координат (2.18) упрощается :
Сведения о часто применяемых в теории ЭМП криволинейных системах координат (цилиндрической и сферической ) и векторных операциях в них приведены в Приложении 2 .
2.5. Классификация векторных полей
Векторное
поле 
задано однозначно, если известны его
ротор и дивергенция как функции
пространственных координат.
В зависимости от значений данных функций различают потенциальное , вихревое (соленоидальное ) поле и поле общего типа .
Векторное поле
потенциально
, если существует
некоторая скалярная функцияU
,
которая связана с
следующим образом:
.
ФункциюU
называютскалярным потенциалом
поля
.
Необходимым и достаточным условием
потенциальности
являетсяравенство ротора нулю
(
).
Соленоидальным
(вихревым
)
называется векторное поле
,
в каждой точке которого
(необходимое и достаточное условие),
.
Соленоидальное векторное поле
можно представить как
.
В этом случае векторную величину
называютвекторным потенциалом поля
(
).
Название поля данного типа можно объяснить тем, что оно было обнаружено в соленоиде , – катушке индуктивности (она может быть как с сердечником, так и без сердечника), длина которой значительно превышает диаметр.
Если у векторного поля
и
,
то это –поле общего типа
.
Произвольное векторное поле общего
типа можно представить в виде суммы
потенциальной и вихревой частей:
, – где в
включеныисточники поля
(
),
а в
–вихри поля
(
).
Теперь, после изучения интегральных и дифференциальных операций и основных теорем векторного анализа, можно приступить к изучению базиса теории ЭМП – системы уравнений Максвелла .
Пусть в некоторой области G задано непрерывное векторное поле а) к и замкнутый ориентированный контур L. Определение 1. Циркуляцией вектора а по замкнутому контуру L называется криволинейный интеграл 2-го рода от оектора а по контуру L Здесь dr - вектор, длина которого равна дифференциалу дуги L, а направление совпадаете направлением касательной к L, оп- Рис. 31 ределяемымориентацией контура (рис. 31); символ f означает, что интеграл берется по зам1«угому контуру L. ь Пример 1. вычислить циркуляцию векторного поля вдоль эллипса L: По определению циркуляции имеем Параметрические уравнения данного эллипса имеют вид: , и, значит, . Подставляя эти выражения в формулу (2), найдем Циркуляция векторного поля. Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля Правила вычисления ротора 8.1. Ротор (вихрь) векторного поля Рассмотрим поле вектора Р, Q, R которого непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по всем своим аргументам. Огределенив 2. Ротором вектора »(М) называется вектор, обозначаемый символом rot а и определяемый равенством или, в символической, удобной для запоминания форме, Этот определитель раскрывают по элементам первой строки, при этом операции умножения элементов второй строки на элементы третьей строки понимаются как операции дифференцирования, например, Определение 3. Если в некоторой области G имеем rot а = 0, то поле вектора а в области G называете я безвихревым. Пример 2. Найти ротор вектора 4 Согласно формуле (3) имеем Так как rot а - вектор, то мы можем рассматривать векторное поле - поле ротора вектора а. Предполагая, что координаты вектора а имеют непрерывные частные производные второго порядка, вычислим дивергенцию вектора rot а. Получим Таким образом, поле вектора rot а соленоида л ьно. Теорема 7 (Стокса). Циркуляция вектора а вдоль ориентированного замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность Е, натянутую на контур L, При этом предполагается, что координаты вектора а имеют непрерывные частные производные в некоторой области G пространства, содержащей поверхность Е, и что ориентация орта нормали п° к поверхности ЕС G согласована с ориентацией контура L так, что из конца нормши обход контура в заданном направлении виден совершающимся против часовой стрелки. Учитывая, что, и пользуясь определением ротора (3), перепишем формулу (4) в следующем виде: Рассмотрим сначала случай, когда гладкая поверхность Е и ее контур L однозначно проектируются на область D плоскости хОу и ее границу - контур А соответственно (рис. 32). Ориентация контура L порождает определенную ориентацию контура А. Для определенности будем считать, что контур L ориентирован так, что поверхность Е остается слева, так что веетор нормали п к поверхности Е составдя етсосью Oz острый угол 7 (cos 7 >0). Пусть - уравнение поверхности Е и функция ф(х}у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные gf и ^ в замкнутой области D. Рассмотрим интеграл Линия L лежит на поверхности Е. Поэтому, пользуясь уравнением этой поверхности, мы можем заменить г под знаком интеграла на ^(ж, у). Координаты перемсннойточки кривой А равны координатам соответствующей точки на кривой L, а потому интегрирование по L можно заменить интегрированием по А, Применим к интегралу, стоящему справа, формулу Грина. Имеем Перейдем теперь от интеграла по области D к интегралу по поверхности Е. Так как dS = cos 7 da, то из формулы (8) получим, что Вектор нормали п° к поверхности Е определяется выражением к. Отсюда видно, что. Поэтому равенсгво (9) можно переписать так: Считая Е гладкой поверхностью, однозначно проектирующейся на все три координатные плоскости, аналогично убеждаемся в справедливости формул Циркуляция векторного поля. Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля Правила вычисления ротора Складывая равенства почленно, получим формулу Стокса (5), или, короче, Замечание 1. Мы показали, что поле вектора rote - соленоидальное, и потому поток вектора rota не зависит от вида поверхности Е, натянутой на контур L. Замечание 2. Формула (4) выведена в предположении, что поверхность £ однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Бели это условие не выполнено, то разбиваем £ на частя так, чтобы каждая часть указанному условию удовлетворяла, а затем пользуемся аддитивностью интегралов. Пример 3. Вычислить циркуляцию вектора по линии 1) пользуясь определением; 2) по теореме Стокса. 4 1) Зададим линию L параметрически: Тогда 2) Найдем rota: Натянем на контур L кусок плосхости Тогда. Инвариантное определение ротора поля Из теоремы Стокса можно получить инвариантное определение ротора поля, не связанное с выбором системы координат. Теорема 8. Проекция ротора а на любое направление не зависит от выбора системы координат и равна поверхностной плотности циркуляции вектора а по контуру площадки, перпендикулярной этому направлению, Здесь (Е) - плоская площадка, перпендикулярная вектору л; 5 - площадь этой площадки; L - контур площадки, ориентированный так, чтобы обход контура был виден из конца вектора п против хода часовой стрелки; (Е) М означает, что площадка (Е) стягивается к точке М, в которой рассматривается вектор rot а, причем вектор нормали п к этой площадке остается все время одним и тем же (рис. 33). 4 Применим сначала к циркуляции (a,dr) вектора а теорему Стокса, а затем к полученному двойному интегралу - теорему о среднем значении: откуда (скалярное произведение берется в некоторой средней точке Мф площадки (Е)). Пристягивании площадки (Е) кточке М средняяточка Л/ср тоже стремится кточ-ке М и, в силу предполагаемой непрерывности частных производных от координат вектора а (а значит, и непрерывности rot а), мы получаем Поскольку проекция вектора rot а на произвольное направление не зависитотвы-бора системы координат,то и сам вектор rota инвариантен относительно этого выбора. Отсюда получаем следующее инвариантное определение ротора поля: ротор поля есть вектор, длина которого равна наибольшей поверхностной плотности циркуляции в данной точке, направленный перпендикулярно той площадке, на которой эта наибольшая плотность циркуляции достигается; при этом ориентация вектора rota согласуется с ориентацией контура, при которой циркуляция положительна, по правилу правого винта. 8.3. Физический смысл ротора поля Пустьтвердое тело вращается вокруг неподвижной оси I с угловой скоростью и. Не нарушая общности, можно считать, что ось I совпадает с осью Oz (рис. 34). Пусть М(г) - изучаемая точка тела, где Вектор угловой скорости в нашем случае равен из = wk, вычислим вектор v линейной скорости точки М, Отсюда Циркуляция векторного поля. Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля Правила вычисления ротора Итак, вихрь поля скоростей вращающегося твердого тела одинаков во всех точках поля, параллелен оси вращения и равен удвоенной угловой скорости вращения. 8.4. Правила вычисления ротора 1. Ротор постоянного вектора с равен нулевому вектору, 2. Ротор обладает свойством линейности постоянные числа. 3. Ротор произведения скалярной функции и{М) на векторную а(М) вычисляется по формуле
Зная в каждой точкеS , можно найти циркуляцию поГ вокругS . РазобьемS на S :
и
- нормаль к элементу
поверхности
S
.
Пусть все S 0 , тогда:
Теорема Стокса:
Циркуляции вектора
по произвольному контуруГ
равна
потоку вектора
через произвольную поверхностьS
,
ограниченную данным контуром.
3.7 Циркуляция и ротор электростатического поля
Работа электростатических сил по любому замкнутому контуру равна нулю.
т.е. циркуляция электростатического поля по любому контуру равна нулю.
Возьмем любую поверхность S , опирающуюся на контурГ .
По теореме Стокса:
;
так как это для любой поверхности S , то
Существует тождество:
т.е. силовые линии
электростатического поля не циркулируют
в пространстве.
3.8 Теорема Гаусса
Найдем
электростатического поля. Для точечного
заряда густота линий численно равна
Поток
через любую замкнутую поверхность равен
числу линий, выходящих наружу, т.е.
начинающихся на заряде “+” и заканчивающихся
на заряде ”-“ :
Знак потока совпадает со знаком q , размерности одинаковы.
Пусть есть N точечных зарядовq i .
Поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на 0 .
4 Вычисление полей с помощью теоремы Гаусса
4.1 Поле равномерно заряженной бесконечной пластины.
4.2 Поле равномерно заряженной сферической поверхности.
4.3 Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей
4.4 Поле объемно заряженного шара
4.1 Поле равномерно заряженной бесконечной пластины
В
ведем
понятие поверхностной плотности
-заряд на единичную
поверхность.
Бесконечная пластина заряжена с постоянной поверхностной плотностью + . Линии напряженности перпендикулярны рассмотренной плоскости и направлены от нее в обе стороны.
В качестве замкнутой поверхности построим цилиндр, основания которого параллельны плоскости, а ось перпендикулярна ей, т.к. образующие цилиндра параллельны E , тоcos =0 и поток сквозь боковую поверхность равен 0, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основание.
E’=E’’=E,
То Ф = 2E S ;
q = S
Отсюда следует, что E не зависит от длины цилиндра, т.е. поверхность поля на любом расстоянии одинакова по модулю, т.е. поле равномерно заряженной пластины однородно.
4.2 Поле равномерно заряженной сферической поверхности
С
ферическая
поверхность радиусаR
с общим зарядомq
.
Т.к. заряд распределен равномерно, то поле обладает сферической симметрией, т.е. линии плоскости направлены радиально.
Построим мысленно сферу радиуса r R . Т.к.r R , то весь заряд попадает внутрь поверхности, по теореме Гаусса:
При r R поле убывает с расстоянияr по такому же закону, как у точечного заряда.
Если r’ R , то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, отсюда следует что внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатического поля отсутствуетЕ=0 .
4.3 Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей
Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями + и - .
Поле найдем как суперпозицию, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности.
Вне пластины Е = 0 (поля вычитаются, т.к. линии направлены на встречу друг другу).
В области между плоскостями
Е = Е + + Е -
тогда
Зная ротор вектора а в каждой точке некоторой (не обязательно плоской) поверхности S, можно вычислить циркуляцию этого вектора по контуру Г, ограничивающему S (контур также может быть неплоским). Для этого разобьем поверхность на очень малые элементы . Ввиду их малости эти элементы можно считать плоскими.
Поэтому в соответствии с (11.23) циркуляция вектора а по контуру, ограничивающему может быть представлена в виде
где - положительная нормаль к элементу поверхности
В соответствии с формулой (11.21), просуммировав выражение (11.29) по всем , получим циркуляцию вектора а по контуру Г, ограничивающему
Осуществив предельный переход, при котором все AS стремятся к нулю (число их при этом неограниченно растет), придем к формуле
(11.30)
Соотношение (11.30) носит название теоремы Стокса. Смысл ее состоит в том, что циркуляция вектора а по произвольному контуру Г равна потоку вектора rota через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром.
Оператор набла. Написание формул векторного анализа значительно упрощается и облегчается, если ввести векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом и носящий название оператора набла или оператора Гамильтона. Под этим оператором подразумевается вектор с компонентами Следовательно,
Сам по себе этот вектор смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую он символически умножается. Так, если умножить вектор у на скаляр , то получится вектор
который представляет собой градиент функции (см. (11.1)).
Если вектор у умножить скалярно на вектор а, получится скаляр
который есть не что иное, как дивергенция вектора а (см. (11.14)).
Наконец, если умножить у на а векторно, получится вектор с компонентами: и т. д., которые совпадают с компонентами rota (см. (11.25) - (11.27)).
Следовательно, воспользовавшись записью векторного произведения с помощью определителя, можно написать
(11-34)
Таким образом, существует два способа обозначений градиента, дивергенции и ротора:
Обозначения с помощью у обладают рядом преимуществ. Поэтому мы в дальнейшем будем применять такие обозначения. Следует приучить себя отождествлять символ со словами «градиент (т. е. говорить не «набла а «градиент фи»), символ - со словами «дивергенция а» и, наконец, символ - со словами «ротор а».
Пользуясь вектором у, нужно помнить, что он является дифференциальным оператором, действующим на все функции, стоящие справа от него. Поэтому при преобразовании выражений, в которые входит у, нужно учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференциального исчисления. Например, производная произведения функций равна
В соответствии с этим
Аналогично
Градиент некоторой функции представляет собой векторную функцию. Поэтому к нему могут быть применены операции дивергенции и ротора.
