Как найти точки прямой по уравнению. Уравнение прямой на плоскости

Общее уравнение прямой:

Частные случаи общего уравнения прямой:

а) Если C = 0, уравнение (2) будет иметь вид

Ax + By = 0,

и прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат, так как координаты начала координат x = 0, y = 0 удовлетворяют этому уравнению.

б) Если в общем уравнении прямой (2) B = 0, то уравнение примет вид

Ax + С = 0, или .

Уравнение не содержит переменной y , а определяемая этим уравнением прямая параллельна оси Oy .

в) Если в общем уравнении прямой (2) A = 0, то это уравнение примет вид

By + С = 0, или ;

уравнение не содержит переменной x , а определяемая им прямая параллельна оси Ox .

Следует запомнить: если прямая параллельна какой-нибудь координатной оси, то в ее уравнении отсутствует член, содержащий координату, одноименную с этой осью.

г) При C = 0 и A = 0 уравнение (2) принимает вид By = 0, или y = 0.

Это уравнение оси Ox .

д) При C = 0 и B = 0 уравнение (2) запишется в виде Ax = 0 или x = 0.

Это уравнение оси Oy .

Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми на плоскости. Условие параллельности прямых. Условие перпендикулярности прямых.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Вектора S 1 и S 2 называются направляющими для своих прямых.

Угол между прямыми l 1 и l 2 определяется углом между направляющими векторами.
Теорема 1: cos угла между l 1 и l 2 = cos(l 1 ; l 2) =

Теорема 2: Для того, чтобы 2 прямые были равны необходимо и достаточно:

Теорема 3: чтобы 2 прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Общее уравнение плоскости и его частные случаи. Уравнение плоскости в отрезках.

Общее уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0

Частные случаи:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – плоскость проходит через начало координат

2. С=0 Ax+By+D = 0 – плоскость || OZ

3. В=0 Ax+Cz+d = 0 – плоскость || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – плоскость || OX

5. A=0 и D=0 By+Cz = 0 – плоскость проходит через OX

6. В=0 и D=0 Ax+Cz = 0 – плоскость проходит через OY

7. C=0 и D=0 Ax+By = 0 – плоскость проходит через OZ

Взаимное расположение плоскостей и прямых линий в пространстве:

1. Углом между прямыми в пространстве называется угол между их направляющими векторами.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. Углом между плоскостями определяется через угол между их нормальными векторами.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. Косинус угла между прямой и плоскостью можно найти через sin угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.

4. 2 прямые || в пространстве, когда их || направляющие вектора

5. 2 плоскости || когда || нормальные вектора

6. Аналогично вводятся понятия перпендикулярности прямых и плоскостей.

Вопрос №14

Различные виды уравнения прямой линии на плоскости(уравнение прямой в отрезках, с угловым коэффициентом и др.)

Уравнение прямой в отрезках:
Допустим, что в общем уравнении прямой:

1. С = 0 Ах + Ву = 0 – прямая проходит через начало координат.

2. а = 0 Ву + С = 0 у =

3. в = 0 Ах + С = 0 х =

4. в=С=0 Ах = 0 х = 0

5. а=С=0 Ву = 0 у = 0

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Любая прямая, не равная оси ОУ (В не=0), может быть записана в след. виде:

k = tgα α – угол между прямой и положительно направленной линией ОХ

b – точка пересечения прямой с осью ОУ

Док-во:

Ах+Ву+С = 0

Ву= -Ах-С |:В

Уравнение прямой по двум точкам:

Вопрос №16

Конечный предел функции в точке и при x→∞

Конечный предел в точке х 0:

Число А называется пределом функции y = f(x) при x→х­ 0­ , если для любого Е > 0 существует б > 0 такое, что при х ≠x 0 , удовлетворяющее неравенству |х – х 0 | < б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Предел обозначается: = A

Конечный предел в точке +∞:

Число А называется пределом функции y = f(x) при x→ + ∞ , если для любого Е > 0 существует С > 0, такое что при x > C выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Предел обозначается: = A

Конечный предел в точке -∞:

Число А называется пределом функции y = f(x) при x→-∞, если для любого Е < 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Прямая, проходящая через точку K(x 0 ; y 0) и параллельная прямой y = kx + a находится по формуле:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Где k - угловой коэффициент прямой.

Альтернативная формула:
Прямая, проходящая через точку M 1 (x 1 ; y 1) и параллельная прямой Ax+By+C=0 , представляется уравнением

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Пример №2 . Написать уравнение прямой, параллельной прямой 2x + 5y = 0 и образующей вместе с осями координат треугольник, площадь которого равна 5.
Решение . Так как прямые параллельны, то уравнение искомой прямой 2x + 5y + C = 0. Площадь прямоугольного треугольника , где a и b его катеты. Найдем точки пересечения искомой прямой с осями координат:
;
.
Итак, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Подставим в формулу для площади: . Получаем два решения: 2x + 5y + 10 = 0 и 2x + 5y – 10 = 0 .

Пример №3 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2; 5) и параллельной прямой 5x-7y-4=0 .
Решение. Данную прямую можно представить уравнением y = 5 / 7 x – 4 / 7 (здесь a = 5 / 7). Уравнение искомой прямой есть y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), т.е. 7(y-5)=5(x+2) или 5x-7y+45=0 .

Пример №4 . Решив пример 3 (A=5, B=-7) по формуле (2), найдем 5(x+2)-7(y-5)=0.

Пример №5 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2;5) и параллельной прямой 7x+10=0.
Решение. Здесь A=7, B=0. Формула (2) дает 7(x+2)=0, т.е. x+2=0. Формула (1) неприменима, так как данное уравнение нельзя разрешить относительно y (данная прямая параллельна оси ординат).

Каноническими уравнениями прямой в пространстве называются уравнения, определяющие прямую, проходящую через заданную точку коллинеарно направляющему вектору.

Пусть дана точка и направляющий вектор . Произвольная точка лежит на прямой l только в том случае, если векторы и коллинеарны, т. е. для них выполняется условие:

.

Приведённые выше уравнения и есть канонические уравнения прямой.

Числа m , n и p являются проекциями направляющего вектора на координатные оси. Так как вектор ненулевой, то все числа m , n и p не могут одновременно равняться нулю. Но одно или два из них могут оказаться равными нулю. В аналитической геометрии допускается, например, такая запись:

,

которая означает, что проекции вектора на оси Oy и Oz равны нулю. Поэтому и вектор , и прямая, заданная каноническими уравнениями, перпендикулярны осям Oy и Oz , т. е. плоскости yOz .

Пример 1. Составить уравнения прямой в пространстве, перпендикулярной плоскости и проходящей через точку пересечения этой плоскости с осью Oz .

Решение. Найдём точку пересечения данной плоскости с осью Oz . Так как любая точка, лежащая на оси Oz , имеет координаты , то, полагая в заданном уравнении плоскости x = y = 0 , получим 4z - 8 = 0 или z = 2 . Следовательно, точка пересечения данной плоскости с осью Oz имеет координаты (0; 0; 2) . Поскольку искомая прямая перпендикулярна плоскости, она параллельна вектору её нормали . Поэтому направляющим вектором прямой может служить вектор нормали заданной плоскости.

Теперь запишем искомые уравнения прямой, проходящей через точку A = (0; 0; 2) в направлении вектора :

Уравнения прямой, проходящей через две данные точки

Прямая может быть задана двумя лежащими на ней точками и В этом случае направляющим вектором прямой может служить вектор . Тогда канонические уравнения прямой примут вид

.

Приведённые выше уравнения и определяют прямую, проходящую через две заданные точки.

Пример 2. Составить уравнение прямой в пространстве, проходящей через точки и .

Решение. Запишем искомые уравнения прямой в виде, приведённом выше в теоретической справке:

.

Так как , то искомая прямая перпендикулярна оси Oy .

Прямая как линия пересечения плоскостей

Прямая в пространстве может быть определена как линия пересечения двух непараллельных плоскостей и , т. е. как множество точек, удовлетворяющих системе двух линейных уравнений

Уравнения системы называются также общими уравнениями прямой в пространстве.

Пример 3. Составить канонические уравнения прямой в пространстве, заданной общими уравнениями

Решение. Чтобы написать канонические уравнения прямой или, что то же самое, уравнения прямой, проходящей через две данные точки, нужно найти координаты каких-либо двух точек прямой. Ими могут служить точки пересечения прямой с какими-нибудь двумя координатными плоскостями, например yOz и xOz .

Точка пересечения прямой с плоскостью yOz имеет абсциссу x = 0 . Поэтому, полагая в данной системе уравнений x = 0 , получим систему с двумя переменными:

Её решение y = 2 , z = 6 вместе с x = 0 определяет точку A (0; 2; 6) искомой прямой. Полагая затем в заданной системе уравнений y = 0 , получим систему

Её решение x = -2 , z = 0 вместе с y = 0 определяет точку B (-2; 0; 0) пересечения прямой с плоскостью xOz .

Теперь запишем уравнения прямой, проходящей через точки A (0; 2; 6) и B (-2; 0; 0) :

,

или после деления знаменателей на -2:

,

В данной статье мы рассмотрим общее уравнение прямой на плоскости. Приведем примеры построения общего уравнения прямой, если известны две точки этой прямой или если известна одна точка и нормальный вектор этой прямой. Представим методы преобразования уравнения в общем виде в канонический и параметрический виды.

Пусть задана произвольная декартова прямоугольная система координат Oxy . Рассмотрим уравнение первой степени или линейное уравнение:

где A, B, C − некоторые постоянные, причем хотя бы один из элементов A и B отлично от нуля.

Мы покажем, что линейное уравнение на плоскости определяет прямую. Докажем следующую теорему.

Теорема 1. В произвольной декартовой прямоугольной системе координат на плоскости каждая прямая линия может быть задана линейным уравнением. Обратно, каждое линейное уравнение (1) в произвольной декартовой прямоугольной системе координат на плоскости определяет прямую линию.

Доказательство. Достаточно доказать, что прямая L определяется линейным уравнением при какой нибудь одной декартовой прямоугольной системе координат, поскольку тогда она будет определяться линейным уравнением и при любом выборе декартовой прямоугольной системы координат.

Пусть на плоскости задана прямая L . Выберем систему координат так, чтобы ось Ox совпадал с прямой L , а ось Oy был перпендикулярной к ней. Тогда уравнение прямой L примет следующий вид:

Все точки на прямой L будут удовлетворять линейному уравнению (2), а все точки вне этой прямой, не будут удовлетворять уравнению (2). Первая часть теоремы доказана.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат и пусть задана линейное уравнение (1), где хотя бы один из элементов A и B отличен от нуля. Найдем геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1). Так как хотя бы один из коэффициентов A и B отличен от нуля, то уравнение (1) имеет хотя бы одно решение M (x 0 ,y 0). (Например, при A ≠0, точка M 0 (−C/A , 0) принадлежит данному геометрическому месту точек). Подставляя эти координаты в (1) получим тождество

Вычтем из (1) тождество (3):

Очевидно, что уравнение (4) эквивалентно уравнению (1). Поэтому достаточно доказать, что (4) определяет некоторую прямую.

Поскольку мы рассматриваем декартову прямоугольную систему координат, то из равенства (4) следует, что вектор с компонентами {x−x 0 , y−y 0 } ортогонален вектору n с координатами {A,B }.

Рассмотрим некоторую прямую L , проходящую через точку M 0 (x 0 , y 0) и перпендикулярной вектору n (Рис.1). Пусть точка M (x ,y) принадлежит прямой L . Тогда вектор с координатами x−x 0 , y−y 0 перпендикулярен n и уравнение (4) удовлетворено (скалярное произведение векторов n и равно нулю). Обратно, если точка M (x ,y) не лежит на прямой L , то вектор с координатами x−x 0 , y−y 0 не ортогонален вектору n и уравнение (4) не удовлетворено. Теорема доказана.

Доказательство. Так как прямые (5) и (6) определяют одну и ту же прямую, то нормальные векторы n 1 ={A 1 ,B 1 } и n 2 ={A 2 ,B 2 } коллинеарны. Так как векторы n 1 ≠0, n 2 ≠0, то существует такое число λ , что n 2 =n 1 λ . Отсюда имеем: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Докажем, что C 2 =C 1 λ . Очевидно, что совпадающие прямые имеют общую точку M 0 (x 0 , y 0). Умножая уравнение (5) на λ и вычитая из него уравнение (6) получим:

Так как выполнены первые два равенства из выражений (7), то C 1 λ −C 2 =0. Т.е. C 2 =C 1 λ . Замечание доказано.

Заметим, что уравнение (4) определяет уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0 , y 0) и имеющий нормальный вектор n ={A,B }. Поэтому, если известен нормальный вектор прямой и точка, принадлежащая этой прямой, то можно построить общее уравнение прямой с помощью уравнения (4).

Пример 1. Прямая проходит через точку M =(4,−1) и имеет нормальный вектор n ={3, 5}. Построить общее уравнение прямой.

Решение. Имеем: x 0 =4, y 0 =−1, A =3, B =5. Для построения общего уравнения прямой, подставим эти значения в уравнение (4):

Ответ:

Вектор параллелен прямой L и, следовательно, перпердикулярен нормальному вектору прямой L . Построим нормальный вектор прямой L , учитывая, что скалярное произведение векторов n и равно нулю. Можем записать, например, n ={1,−3}.

Для построения общего уравнения прямой воспользуемся формулой (4). Подставим в (4) координаты точки M 1 (можем взять также координаты точки M 2) и нормального вектора n :

Подставляя координаты точек M 1 и M 2 в (9) можем убедится, что прямая заданная уравнением (9) проходит через эти точки.

Ответ:

Вычтем (10) из (1):

Мы получили каноническое уравнение прямой. Вектор q ={−B , A } является направляющим вектором прямой (12).

Обратное преобразование смотрите .

Пример 3. Прямая на плоскости представлена следующим общим уравнением:

Переместим на право вторую слагаемую и разделим обе части уравнения на 2·5.

Уравнение прямой проходящей через две точки. В статье " " я обещал вам разобрать второй способ решения представленных задач на нахождение производной, при данном графике функции и касательной к этому графику. Этот способ мы разберём в , не пропустите! Почему в следующей?

Дело в том, что там будет использоваться формула уравнения прямой. Конечно, можно было бы просто показать данную формулу и посоветовать вам её выучить. Но лучше объяснить – от куда она исходит (как выводится). Это необходимо! Если вы её забудете, то быстро восстановить её не представит труда. Ниже подробно всё изложено. Итак, у нас на координатной плоскости имеется две точки А (х 1 ;у 1) и В(х 2 ;у 2), через указанные точки проведена прямая:

Вот сама формула прямой:

*То есть при подстановке конкретных координат точек мы получим уравнение вида y=kx+b.

**Если данную формулу просто «зазубрить», то имеется большая вероятность запутаться с индексами при х . Кроме того, индексы могут обозначаться по разному, например:

Поэтому-то и важно понимать смысл.

Теперь вывод этой формулы. Всё очень просто!

Треугольники АВЕ и ACF подобны по острому углу (первый признак подобия прямоугольных треугольников). Из этого следует, что отношения соответственных элементов равны, то есть:

Теперь просто выражаем данные отрезки через разность координат точек:

Конечно, не будет никакой ошибки если вы запишите отношения элементов в другом порядке (главное соблюдать соответствие):

В результате получится одно и тоже уравнение прямой. Это всё!

То есть, как бы не были обозначены сами точки (и их координаты), понимая данную формулу вы всегда найдёте уравнение прямой.

Формулу можно вывести используя свойства векторов, но принцип вывода будет тот же, так как речь будет идти о пропорциональности их координат. В этом случае работает всё то же подобие прямоугольных треугольников. На мой взгляд описанный выше вывод более понятнее)).

Посмотреть вывод через координаты векторов >>>

Пусть на координатной плоскости построена прямая, проходящая через две заданные точки А(х 1 ;у 1) и В(х 2 ;у 2). Отметим на прямой произвольную точку С с координатами (x ; y ). Также обозначим два вектора:

Известно, что у векторов лежащих на параллельных прямых (либо на одной прямой), их соответствующие координаты пропорциональны, то есть:

— записываем равенство отношений соответствующих координат:

Рассмотрим пример:

Найти уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами (2;5) и (7:3).

Можно даже не строить саму прямую. Применяем формулу:

Важно, чтобы вы уловили соответствие, при составлении соотношения. Вы не ошибётесь, если запишите:

Ответ: у=-2/5x+29/5 иди у=-0,4x+5,8

Для того, чтобы убедится, что полученное уравнение найдено верно, обязательно делайте проверку — подставьте в него координаты данных в условии точек. Должны получится верные равенства.

На этом всё. Надеюсь, материал был вам полезен.

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.