1°. Уравнения касательной плоскости и нормали для случая явного задания поверхности.

Рассмотрим одно из геометрических приложений частных производных функции двух переменных. Пусть функция z = f (x ; y ) дифференцируема в точке (x 0 ; у 0) некоторой области D Î R 2 . Рассечем поверхность S , изображающую функцию z, плоскостями х = х 0 и у = у 0 (рис. 11).

Плоскость х = x 0 пересекает поверхность S по некоторой линии z 0 (y ), уравнение которой получается подстановкой в выражение исходной функции z = =f (x ; y ) вместо х числа x 0 . Точка M 0 (x 0 ; y 0, f (x 0 ; y 0)) принадлежит кривой z 0 (y ). В силу дифференцируемой функции z в точке М 0 функция z 0 (y ) также является дифференцируемой в точке у =у 0 . Следовательно, в этой точке в плоскости х = х 0 к кривой z 0 (y ) может быть проведена касательная l 1 .

Проводя аналогичные рассуждения для сечения у = у 0 , построим касательную l 2 к кривой z 0 (x ) в точке х = x 0 - Прямые 1 1 и 1 2 определяют плоскость , которая называется касательной плоскостью к поверхности S в точке М 0 .

Составим ее уравнение. Так как плоскость проходит через точку Mo (x 0 ; y 0 ; z 0), то ее уравнение может быть записано в виде

А(х - хо) + В(у - уо) + C (z - zo ) = 0,

которое можно переписать так:

z -z 0 = A 1 (x – х 0) + B 1 (y – у 0) (1)

(разделив уравнение на -С и обозначив ).

Найдем A 1 и B 1 .

Уравнения касательных 1 1 и 1 2 имеют вид

соответственно.

Касательная l 1 лежит в плоскости a , следовательно, координаты всех точек l 1 удовлетворяют уравнению (1). Этот факт можно записать в виде системы

Разрешая эту систему относительно B 1 , получим, что .Проводя аналогичные рассуждения для касательной l 3 , легко установить, что .

Подставив значения А 1 и B 1 в уравнение (1), получаем искомое уравнение касательной плоскости:

Прямая, проходящая через точку М 0 и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется еенормалью.

Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости, легко получить канонические уравнения нормали:

Замечание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверхности получены для обыкновенных, т. е. не особых, точек поверхности. Точка М 0 поверхности называется особой, если в этой точке все частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует. Такие точки мы не рассматриваем.

Пример. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в ее точке М(2; -1; 1).

Решение. Найдем частные производные данной функции и их значения в точке М

Отсюда, применяя формулы (2) и (3), будем иметь: z-1=2(х-2)+2(у+1) или 2х+2у-z-1=0 - уравнение касательной плоскости и - уравнения нормали.

2°. Уравнения касательной плоскости и нормали для случая неявного задания поверхности.

Если поверхность S задана уравнением F (x ; у; z ) = 0, то уравнения (2) и (3), с учетом того, что частные производные могут быть найдены как производные неявной функции.

Определение 1 : Касательной плоскостью к поверхности в данной точке P (x 0 , y 0 , z 0) называется плоскость, проходящая через точку Р и содержащая в себе все касательные, построенные в точке Р ко всевозможным кривым на этой поверхности, проходящим через точку Р.

Пусть поверхность s задана уравнением F (х , у , z ) = 0 и точка P (x 0 , y 0 , z 0) принадлежит этой поверхности. Выберем на поверхности какую-либо кривую L , проходящую через точку Р .

Пусть х = х (t ), у = у (t ), z = z (t ) - параметрические уравнения линии L .

Предположим, что: 1) функция F (х , у , z ) дифференцируема в точке Р и не все её частные производные в этой точке равны нулю; 2) функции х (t ), у (t ), z (t ) также дифференцируемы.

Поскольку кривая принадлежит поверхности s, то координаты любой точки этой кривой, будучи подставленными в уравнение поверхности, обратят его в тождество. Таким образом, справедливо тождественное равенство: F [x (t ), у (t ), z (t )]= 0.

Продифференцировав это тождество по переменной t , используя цепное правило, получим новое тождественное равенство, справедливое во всех точках кривой, в том числе и в точке P (x 0 , y 0 , z 0):

Пусть точке Р соответствует значение параметра t 0 , то есть x 0 = x (t 0), y 0 = y (t 0), z 0 = z (t 0). Тогда последнее соотношение, вычисленное в точке Р , примет вид

Данная формула представляет собой скалярное произведение двух векторов. Первый из них - постоянный вектор

не зависящий от выбора кривой на поверхности.

Второй вектор - касательный в точке Р к линии L , а значит, зависящий от выбора линии на поверхности, то есть является переменным вектором.

При введённых обозначениях равенство:

перепишем как.

Его смысл таков: скалярное произведение равно нулю, следовательно, векторы и перпендикулярны. Выбирая всевозможные кривые, проходящие через точку Р на поверхности s, мы будем иметь различные касательные векторы, построенные в точке Р к этим линиям; вектор же от этого выбора не зависит и будет перпендикулярен любому из них, то есть все касательные векторы расположены в одной плоскости, которая, по определению, является касательной к поверхности s, а точка Р в этом случае называется точкой касания. Вектор является направляющим вектором нормали к поверхности.

Определение 2: Нормалью к поверхности s в точке Р называется прямая, проходящая через точку Р и перпендикулярная к касательной плоскости, построенной в этой точке.

Мы доказали существование касательной плоскости, а, следовательно, и нормали к поверхности. Запишем их уравнения:

Уравнение касательной плоскости, построенной в точке P (x0, y0, z0) к поверхности s, заданной уравнением F(х, у, z) = 0;

Уравнение нормали, построенной в точке Р к поверхности s.

Пример: Найти уравнение поверхности, образованной вращением параболы:

z 2 = 2p (y +2)

вокруг оси оу, вычислить при условии, что точка М(3, 1, - 3) принадлежит поверхности. Найти уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности в точке М.

Решение. Используя правило записи поверхности вращения, получим:

z 2 + x 2 = 2p (y +2) .

Подставив координаты точки М в это уравнение, вычислим значение параметра р: 9 + 9 = 2р(1 + 2) . Записываем окончательный вид поверхности вращения, проходящей через точку М:

z 2 + x 2 = 6 (y +2).

Теперь найдём уравнения нормали и касательной плоскости по формулам, для чего вычислим сначала частные производные функции:

F(x, y) = z 2 + x 2- 6 (y +2):

Тогда уравнение касательной плоскости примет вид 6(х - 3) - 6(y - 1) - 6(z + 3) = 0 или x - y - z - 5 = 0;

Уравнение нормальной плоскости

1.

4.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть дана некоторая поверхность, A — фиксированная точка поверхности и B — переменная точка поверхности,

Ненулевой вектор

Точка поверхности F (x , y , z) = 0 называется обыкновенной , если в этой точке

1. частные производные F " x , F " y , F " z непрерывны;
2. (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .

При нарушении хотя бы одного из этих условий точка поверхности называется особой точкой поверхности .

Теорема 1. Если M (x 0 , y 0 , z 0 ) — обыкновенная точка поверхности F (x , y , z) = 0 , то вектор

является нормальным к этой поверхности в точке M (x 0 , y 0 , z 0 ) .

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова ``Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МЭИ, 2002 (стр. 128).

Нормалью к поверхности в некоторой ее точке называется прямая, направляющий вектор которой является нормальным к поверхности в этой точке и которая проходит через эту точку.

Канонические уравнения нормали можно представить в виде

Касательной плоскостью к поверхности в некоторой точке называется плоскость, которая проходит через эту точку перпендикулярно нормали к поверхности в этой точке.

Из этого определения следует, что уравнение касательной плоскости имеет вид:

Если точка поверхности является особой, то в этой точке нормальный к поверхности вектор может не существовать, и, следовательно, поверхность может не иметь нормали и касательной плоскости.

Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных

Пусть функция z = f (x , y) дифференцируема в точке a (x 0 , y 0 ) . Ее графиком является поверхность

f (x , y) − z = 0.

Положим z 0 = f (x 0 , y 0 ) . Тогда точка A (x 0 , y 0 , z 0 ) принадлежит поверхности.

Частные производные функции F (x , y , z) = f (x , y) − z суть

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

и в точке A (x 0 , y 0 , z 0 )

1. они непрерывны;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0 .

Следовательно, A — обыкновенная точка поверхности F (x , y , z) и в этой точке существует касательная плоскость к поверхности. Согласно (3), уравнение касательной плоскости имеет вид:

f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.

Вертикальное смещение точки на касательной плоскости при переходе из точки a (x 0 , y 0 ) в произвольную точку p (x , y) есть B Q (рис. 2). Соответствующее приращение аппликаты есть

(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )

Здесь в правой части стоит дифференциалd z функции z = f (x , y) в точке a (x 0 , x 0 ). Следовательно,
d f (x 0 , y 0 ). есть приращение аппликаты точки плоскости касательной к графику функции f (x , y) в точке (x 0 , y 0 , z 0 = f (x 0 , y 0 )).

Из определения дифференциала следует, что расстояние между точкой P на графике функции и точкой Q на касательной плоскости есть бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояние от точки p до точки a .

Пусть имеем поверхность, заданную уравнением вида

Введем следующее определение.

Определение 1. Прямая линия называется касательной к поверхности в некоторой точке , если она является

касательной к какой-либо кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку .

Так как через точку Р проходит бесконечное число различных кривых, лежащих на поверхности, то и касательных к поверхности, проходящих через эту точку, будет, вообще говоря, бесконечное множество.

Введем понятие об особых и обыкновенных точках поверхности

Если в точке все три производные равны нулю или хотя бы одна из этих производных не существует, то точка М называется особой точкой поверхности. Если в точке все три производные существуют и непрерывны, причем хотя бы одна из них отлична от нуля, то точка М называется обыкновенной точкой поверхности.

Теперь мы можем сформулировать следующую теорему.

Теорема. Все касательные прямые к данной поверхности (1) в ее обыкновенной точке Р лежат в одной плоскости.

Доказательство. Рассмотрим на поверхности некоторую линию L (рис. 206), проходящую через данную точку Р поверхности. Пусть рассматриваемая кривая задана параметрическими уравнениями

Касательная к кривой будет касательной к поверхности. Уравнения этой касательной имеют вид

Если выражения (2) подставить в уравнение (1), то это уравнение превратится в тождество относительно t, так как кривая (2) лежит на поверхности (1). Дифференцируя его по получим

Проекции этого вектора зависят от - координат точки Р; заметим, что так как точка Р обыкновенная, то эти проекции в точке Р одновременно не обращаются в нуль и потому

касательный к кривой, проходящей через точку Р и лежащей на поверхности. Проекции этого вектора вычисляются на основании уравнений (2) при значении параметра t, соответствующем точке Р.

Вычислим скалярное произведение векторов N и которое равно сумме произведений одноименных проекций:

На основании равенства (3) выражение, стоящее в правой части, равно нулю, следовательно,

Из последнего равенства следует, что вектор ЛГ и касательный вектор к кривой (2) в точке Р перпендикулярны. Проведенное рассуждение справедливо для любой кривой (2), проходящей через точку Р и лежащей на поверхности. Следовательно, каждая касательная к поверхности в точке Р перпендикулярна к одному и тому же вектору N и потому все эти касательные лежат в одной плоскости, перпендикулярной к вектору ЛГ. Теорема доказана.

Определение 2. Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную ее точку Р, называется касательной плоскостью к поверхности в точке Р (рис. 207).

Заметим, что в особых точках поверхности может не существовать касательной плоскости. В таких точках касательные прямые к поверхности могут не лежать в одной плоскости. Так, например, вершина конической поверхности является особой точкой.

Касательные к конической поверхности в этой точке не лежат в одной плоскости (они сами образуют коническую поверхность).

Напишем уравнение касательной плоскости к поверхности (1) в обыкновенной точке. Так как эта плоскость перпендикулярна вектору (4), то, следовательно, ее уравнение имеет вид

Если уравнение поверхности задано в форме или уравнение касательной плоскости в этом случае примет вид

Замечание. Если в формуле (6) положим , то эта формула примет вид

ее правая часть представляет собой полный дифференциал функции . Следовательно, . Таким образом, полный дифференциал функции двух переменных в точке соответствующий приращениям независимых переменных х и у, равен соответствующему приращению аппликаты касательной плоскости к поверхности, которая является графиком данной функции.

О пределение 3. Прямая, проведенная через точку поверхности (1) перпендикулярно к касательной плоскости, называется нормалью к поверхности (рис. 207).

Напишем уравнения нормали. Так как ее направление совпадает с направлением вектора N, то ее уравнения будут иметь вид

Рассмотрим геометрические приложения производной функции нескольких переменных. Пусть функция двух переменных задана неявно: . Эта функция в области своего определения изображается некоторой поверхностью (п. 5.1). Возьмем на данной поверхности произвольную точку , в которой все три частных производных , , существуют и непрерывны, причем хотя бы одна из них не равна нулю.

Точка с такими характеристиками называется обыкновенной точкой поверхности. Если хотя бы одно из указанных выше требований не выполняется, то точка называется особой точкой поверхности.

Через выбранную на поверхности точку можно провести множество кривых, к каждой из которых может быть проведена касательная.

Определение 5.8.1 . Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через некоторую точку , называется касательной плоскостью к данной поверхности в точке .

Чтобы провести данную плоскость достаточно иметь две касательных прямых, то есть две кривых на поверхности. Это могут быть кривые, полученные в результате сечения данной поверхности плоскостями , (рис. 5.8.1).

Запишем уравнение касательной линии к кривой, лежащей на пересечении поверхности и плоскости . Поскольку данная кривая лежит в системе координат , то уравнение касательной к ней в точке , в соответствии с п. 2.7, имеет вид:

. (5.8.1)

Соответственно, уравнение касательной к кривой, лежащей на пересечении поверхности и плоскости , в системе координат в той же точке имеет вид:

. (5.8.2)

Воспользуемся выражением для производной неявно заданной функции (п. 5.7). Тогда , а . Подставляя эти производные в (5.8.1) и (5.8.2), получим, соответственно:

; (5.8.3)

. (5.8.4)

Поскольку полученные выражения не что иное, как уравнения прямых в канонической форме (п. 15), то из (5.8.3) получаем направляющий вектор , а из (5.8.4) – . Векторное произведение даст вектор, нормальный к данным касательным линиям, а, следовательно, и к касательной плоскости:

Отсюда следует, что уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид (п. 14):

Определение 5.8.2 . Прямая, проведенная через точку поверхности перпендикулярно касательной плоскости в этой точке, называется нормалью к поверхности .

Так как направляющий вектор нормали к поверхности совпадает с нормалью к касательной плоскости , то уравнение нормали имеет вид:

.

Скалярное поле

Пусть в пространстве задана область , занимающая часть или все это пространство. Пусть каждой точке этой области по какому-то закону поставлена в соответствие некоторая скалярная величина (число).

Определение 5.9.1 . Область в пространстве, каждой точке которой ставится в соответствие по известному закону некоторая скалярная величина , называется скалярным полем .

Если с областью связана какая-то система координат, например, прямоугольная декартовая, то каждая точка приобретает свои координаты. В этом случае скалярная величина становится функцией координат: на плоскости – , в трехмерном пространстве – . Скалярным полем часто называют и саму функцию , описывающую данное поле. В зависимости от размерности пространства, скалярное поле может быть плоским, трехмерным и т.д.

Необходимо подчеркнуть, что величина скалярного поля зависит лишь от положения точки в области , но не зависит от выбора системы координат.

Определение 5.9.2 . Скалярное поле, зависящее только от положения точки в области , но не зависящее от времени, называется стационарным .

Нестационарные скалярные поля, то есть зависящие от времени, в данном разделе нами рассматриваться не будут.

В качестве примеров скалярных полей можно назвать поле температур, поле давлений в атмосфере, поле высот над уровнем океана.

Геометрически скалярные поля часто изображаются с помощью так называемых линий или поверхностей уровня.

Определение 5.9.3 . Множество всех точек пространства, в которых скалярное поле имеет одно и то же значение называется поверхностью уровня или эквипотенциальной поверхностью. В плоском случае для скалярного поля это множество называется линией уровня или эквипотенциальной линией .

Очевидно, что уравнение поверхности уровня имеет вид , линии уровня – . Придавая в данных уравнениях константе разные значения, получаем семейство поверхностей или линий уровня. Например, (вложенные друг в друга сферы с разными радиусами) или (семейство эллипсов).

В качестве примеров линий уровня из физики можно привести изотермы (линии равных температур), изобары (линии равных давлений); из геодезии – линии равных высот и т.д.