Рациональная функция - это дробь вида , числитель и знаменатель которой - многочлены или произведения многочленов.
Пример 1. Шаг 2.
.
Умножаем неопределённые коэффициенты на многочлены, которых нет в данной отдельной дроби, но которые есть в других полученных дробях:
Раскрываем скобки и приравниваем полученое к полученному выражению числитель исходной подынтегральной дроби:
В обеих частях равенства отыскиваем слагаемые с одинаковыми степенями икса и составляем из них систему уравнений:
.
Сокращаем все иксы и получаем эквивалентную систему уравнений:
.
Таким образом, окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Пример 2. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
.
Теперь начинаем искать неопределённые коэффициенты. Для этого числитель исходной дроби в выражении функции приравниваем к числителю выражения, полученного после приведения суммы дробей к общему знаменателю:
Теперь требуется составить и решить систему уравнений. Для этого приравниваем коэффициенты при переменной в соответствующей степени в числителе исходного выражения функции и аналогичные коэффициенты в полученном на предыдущем шаге выражения:
Решаем полученную систему:
Итак, , отсюда
.
Пример 3. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
Начинаем искать неопределённые коэффициенты. Для этого числитель исходной дроби в выражении функции приравниваем к числителю выражения, полученного после приведения суммы дробей к общему знаменателю:
Как и в предыдущих примерах составляем систему уравнений:
Сокращаем иксы и получаем эквивалентную систему уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Пример 4. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
.
Как приравнивать числитель исходной дроби к выражению в числителе, полученному после разложения дроби на сумму простых дробей и приведения этой суммы к общему знаменателю, мы уже знаем из предыдуших примеров. Поэтому лишь для контроля приведём получившуюся систему уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
Пример 5. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
.
Самостоятельно приводим к общему знаменателю эту сумму, приравнивать числитель этого выражения к числителю исходной дроби. В результате должна получиться следующая система уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
.
Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Пример 6. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
Производим с этой суммой те же действия, что и в предыдущих примерах. В результате должна получиться следующая система уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
.
Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Пример 7. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
.
После известных действий с полученной суммой должна получиться следующая система уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
.
Пример 8. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
.
Внесём некоторые изменения в уже доведённые до автоматизма действия для получения системы уравнений. Есть искусственный приём, который в некоторых случаях помогает избежать лишних вычислений. Приводя сумму дробей к общему знаменателю получаем и приравнивая числитель этого выражения к числителю исходной дроби, получаем.
«Математик так же, как художник или поэт, создает узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей... Узоры математика так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идеи так же, как цвета или слова, должны соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики ».
Г.Х.Харди
В первой главе отмечалось, что существуют первообразные довольно простых функций, которые уже нельзя выразить через элементарные функции. В связи с этим, огромное практическое значение приобретают те классы функций, о которых можно точно сказать, что их первообразные – элементарные функции. К такому классу функций относятся рациональные функции , представляющие собой отношение двух алгебраических многочленов. К интегрированию рациональных дробей приводят многие задачи. Поэтому очень важно уметь интегрировать такие функции.
2.1.1. Дробно-рациональные функции
Рациональной дробью (или дробно-рациональной функцией )называется отношение двух алгебраических многочленов:
где и – многочлены.
Напомним, что многочленом (полиномом , целой рациональной функцией ) n -й степени называется функция вида
где
– действительные числа. Например,
– многочлен первой степени;
– многочлен четвертой степени и т.д.
Рациональная дробь (2.1.1) называется правильной , если степень ниже степени , т.е. n <m , в противном случае дробь называется неправильной .
Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби (дробной части). Выделение целой и дробной частей неправильной дроби можно производить по правилу деления многочленов «уголком».
Пример 2.1.1. Выделить целую и дробную части следующих неправильных рациональных дробей:
а) 
, б) 
.
Решение . а) Используя алгоритм деления «уголком», получаем
Таким образом, получаем
.
б) Здесь также используем алгоритм деления «уголком»:
В результате, получаем
.
Подведём итоги. Неопределённый интеграл от рациональной дроби в общем случае можно представить суммой интегралов от многочлена и от правильной рациональной дроби. Нахождение первообразных от многочленов не представляет трудностей. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать в основном правильные рациональные дроби.
2.1.2. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование
Среди правильных рациональных дробей выделяют четыре типа, которые относят кпростейшим (элементарным) рациональным дробям:
|
3) |
4) |
,
,где – целое число, 
, т.е. квадратный трёхчлен 
не
имеет действительных корней.
Интегрирование простейших дробей 1-го и 2-го типа не представляет больших трудностей:
, (2.1.3)
. (2.1.4)
Рассмотрим теперь интегрирование простейших дробей 3-го типа, а дроби 4-го типа рассматривать не будем.
Начнём с интегралов вида
.
Данный интеграл обычно вычисляют путем выделения полного квадрата в знаменателе. В результате получается табличный интеграл следующего вида
или 
.
Пример 2.1.2. Найти интегралы:
а) 
, б) 
.
Решение . а) Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат:
Отсюда находим
б) Выделив из квадратного трёхчлена полный квадрат, получаем:
Таким образом,
.
Для нахождения интеграла
можно
выделить в числителе производную знаменателя и разложить интеграл на сумму двух
интегралов: первый из них подстановкой 
сводится
к виду
,
а второй – к рассмотренному выше.
Пример 2.1.3. Найти интегралы:
.
Решение
. Заметим,
что 
. Выделим в числителе производную
знаменателя:
Первый
интеграл вычисляется при помощи подстановки 
:
Во втором интеграле выделим полный квадрат в знаменателе
Окончательно, получаем
2.1.3. Разложение правильной рациональный
дроби
на сумму простейших дробей
Любую правильную рациональную дробь 
можно представить единственным
образом в виде суммы простейших дробей. Для этого знаменатель нужно разложить на множители. Из высшей алгебры известно, что каждый многочлен с
действительными коэффициентами
ТЕМА: Интегрирование рациональных дробей.
Внимание! При изучении одного из основных приемов интегрирования: интегрирования рациональных дробей – требуется для проведения строгих доказательств рассматривать многочлены в комплексной области. Поэтому необходимо изучить предварительно некоторые свойства комплексных чисел и операций над ними.
Интегрирование простейших рациональных дробей.
Если P (z ) и Q (z ) – многочлены в комплексной области, то - рациональная дробь. Она называется правильной , если степень P (z ) меньше степени Q (z ) , и неправильной , если степень Р не меньше степени Q .
Любую
неправильную дробь можно представить
в виде: 
,
P(z) = Q(z) S(z) + R(z),
a R (z ) – многочлен, степень которого меньше степени Q (z ).
Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов, то есть степенных функций, и правильных дробей, так как является правильной дробью.
Определение 5. Простейшими (или элементарными) дробями называются дроби следующих видов:
1) , 2) , 3) , 4) 
.
Выясним, каким образом они интегрируются.
3) 
(изучен
ранее).
Теорема 5. Всякую правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей (без доказательства).
Следствие 1. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только простые действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го типа:
Пример 1.
Следствие 2. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только кратные действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го и 2-го типов:
Пример 2.
Следствие 3. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только простые комплексно - сопряженные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 3-го типа:
Пример 3.
Следствие 4. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только кратные комплексно - сопряженные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 3-го и 4-го типов:
Для определения неизвестных коэффициентов в приведенных разложениях поступают следующим образом. Левую и правую часть разложения , содержащего неизвестные коэффициенты, умножают на Получается равенство двух многочленов. Из него получают уравнения на искомые коэффициенты, используя, что:
1. равенство справедливо при любых значениях Х (метод частных значений). В этом случае получается сколько угодно уравнений, любые m из которых позволяют найти неизвестные коэффициенты.
2. совпадают коэффициенты при одинаковых степенях Х (метод неопределенных коэффициентов). В этом случае получается система m – уравнений с m – неизвестными, из которых находят неизвестные коэффициенты.
3. комбинированный метод.
Пример
5. Разложить дробь 
на
простейшие.
Решение:
Найдем коэффициенты А и В.
1 способ - метод частных значений:
2 способ – метод неопределенных коэффициентов:
Ответ: 
Интегрирование рациональных дробей.
Теорема 6. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором ее знаменатель не равен нулю, существует и выражается через элементарные функции, а именно рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.
Доказательство.
Представим
рациональную дробь в
виде: 
.
При этом последнее слагаемое является
правильной дробью, и по теореме 5 ее
можно представить в виде линейной
комбинации простейших дробей. Таким
образом, интегрирование рациональной
дроби сводится к интегрированию
многочлена S
(x
)
и
простейших дробей, первообразные
которых, как было показано, имеют вид,
указанный в теореме.
Замечание. Основную трудность при этом составляет разложение знаменателя на множители, то есть поиск всех его корней.
Пример 1. Найти интеграл
Как известно, любую рациональную функцию от некоторой переменной x
можно разложить на многочлен и простейшие, элементарные, дроби. Имеется четыре типа простейших дробей:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Здесь a, A, B, b, c
- действительные числа. Уравнение x 2
+ bx + c = 0
не имеет действительных корней.
Интегрирование дробей первых двух типов
Интегрирование первых двух дробей выполняется с помощью следующих формул из таблицы интегралов :
,
,
n ≠ - 1
.
1. Интегрирование дроби первого типа
Дробь первого типа подстановкой t = x - a
приводится к табличному интегралу:
.
2. Интегрирование дроби второго типа
Дробь второго типа приводится к табличному интегралу той же подстановкой t = x - a
:
.
3. Интегрирование дроби третьего типа
Рассмотрим интеграл от дроби третьего типа:
.
Будем вычислять его в два приема.
3.1. Шаг 1. Выделим в числителе производную знаменателя
Выделим в числителе дроби производную от знаменателя. Обозначим: u = x 2
+ bx + c
.
Дифференцируем: u′ = 2
x + b
.
Тогда
;
.
Но
.
Мы опустили знак модуля, поскольку .
Тогда:
,
где
.
3.2. Шаг 2. Вычисляем интеграл с A = 0, B=1
Теперь вычисляем оставшийся интеграл:
.
Приводим знаменатель дроби к сумме квадратов:
,
где .
Мы считаем, что уравнение x 2
+ bx + c = 0
не имеет корней. Поэтому .
Сделаем подстановку
,
.
.
Итак,
.
Тем самым мы нашли интеграл от дроби третьего типа:
,
где .
4. Интегрирование дроби четвертого типа
И наконец, рассмотрим интеграл от дроби четвертого типа:
.
Вычисляем его в три приема.
4.1) Выделяем в числителе производную знаменателя:
.
4.2) Вычисляем интеграл
.
4.3) Вычисляем интегралы
,
используя формулу приведения:
.
4.1. Шаг 1. Выделение в числителе производной знаменателя
Выделим в числителе производную знаменателя, как мы это делали в . Обозначим u = x 2
+ bx + c
.
Дифференцируем: u′ = 2
x + b
.
Тогда
.
.
Но
.
Окончательно имеем:
.
4.2. Шаг 2. Вычисление интеграла с n = 1
Вычисляем интеграл
.
Его вычисление изложено в .
4.3. Шаг 3. Вывод формулы приведения
Теперь рассмотрим интеграл
.
Приводим квадратный трехчлен к сумме квадратов:
.
Здесь .
Делаем подстановку.
.
.
Выполняем преобразования и интегрируем по частям.
.
Умножим на 2(n - 1)
:
.
Возвращаемся к x
и I n
.
,
;
;
.
Итак, для I n
мы получили формулу приведения:
.
Последовательно применяя эту формулу, мы сведем интеграл I n
к I 1
.
Пример
Вычислить интеграл
Решение
1.
Выделим в числителе производную знаменателя.
;
;
.
Здесь
.
2.
Вычисляем интеграл от самой простой дроби.
.
3.
Применяем формулу приведения:
для интеграла .
В нашем случае b = 1
,
c = 1
,
4
c - b 2 = 3
.
Выписываем эту формулу для n = 2
и n = 3
:
;
.
Отсюда
.
Окончательно имеем:
.
Находим коэффициент при .
.
