Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки F и заданной прямой d , не проходящей через заданную точку. Это геометрическое определение выражает директориальное свойство параболы .
Директориальное свойство параболы
Точка F называется фокусом параболы, прямая d - директрисой параболы, середина O перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису, - вершиной параболы, расстояние p от фокуса до директрисы - параметром параболы, а расстояние \frac{p}{2} от вершины параболы до её фокуса - фокусным расстоянием (рис.3.45,а). Прямая, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус, называется осью параболы (фокальной осью параболы). Отрезок FM , соединяющий произвольную точку M параболы с её фокусом, называется фокальным радиусом точки M . Отрезок, соединяющий две точки параболы, называется хордой параболы.
Для произвольной точки параболы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы равно единице. Сравнивая директориальные свойства , и параболы, заключаем, что эксцентриситет параболы по определению равен единице (e=1) .
Геометрическое определение параболы , выражающее её директориальное свойство, эквивалентно её аналитическому определению - линии, задаваемой каноническим уравнением параболы:
Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.45,б). Вершину O параболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокус перпендикулярно директрисе, примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки O к точке F ); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через вершину параболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).
Составим уравнение параболы, используя её геометрическое определение, выражающее директориальное свойство параболы. В выбранной системе координат определяем координаты фокуса F\!\left(\frac{p}{2};\,0\right) и уравнение директрисы x=-\frac{p}{2} . Для произвольной точки M(x,y) , принадлежащей параболе, имеем:
FM=MM_d,
где M_d\!\left(\frac{p}{2};\,y\right) - ортогональная проекция точки M(x,y) на директрису. Записываем это уравнение в координатной форме:
\sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)\!}^2+y^2}=x+\frac{p}{2}.
Возводим обе части уравнения в квадрат: {\left(x-\frac{p}{2}\right)\!}^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} . Приводя подобные члены, получаем каноническое уравнение параболы
y^2=2\cdot p\cdot x, т.е. выбранная система координат является канонической.
Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.51), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому параболой. Таким образом, аналитическое определение параболы эквивалентно его геометрическому определению, выражающему директориальное свойство параболы.
Уравнение параболы в полярной системе координат
Уравнение параболы в полярной системе координат Fr\varphi (рис.3.45,в) имеет вид
r=\frac{p}{1-e\cdot\cos\varphi}, где p - параметр параболы, а e=1 - её эксцентриситет.
В самом деле, в качестве полюса полярной системы координат выберем фокус F параболы, а в качестве полярной оси - луч с началом в точке F , перпендикулярный директрисе и не пересекающий её (рис.3.45,в). Тогда для произвольной точки M(r,\varphi) , принадлежащей параболе, согласно геометрическому определению (директориальному свойству) параболы, имеем MM_d=r . Поскольку MM_d=p+r\cos\varphi , получаем уравнение параболы в координатной форме:
p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{p}{1-\cos\varphi},
что и требовалось доказать. Заметим, что в полярных координатах уравнения эллипса, гиперболы и параболы совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 для ).
Геометрический смысл параметра в уравнении параболы
Поясним геометрический смысл параметра p в каноническом уравнении параболы. Подставляя в уравнение (3.51) x=\frac{p}{2} , получаем y^2=p^2 , т.е. y=\pm p . Следовательно, параметр p - это половина длины хорды параболы, проходящей через её фокус перпендикулярно оси параболы.
Фокальным параметром параболы , так же как для эллипса и для гиперболы, называется половина длины хорды, проходящей через её фокус перпендикулярно фокальной оси (см. рис.3.45,в). Из уравнения параболы в полярных координатах при \varphi=\frac{\pi}{2} получаем r=p , т.е. параметр параболы совпадает с её фокальным параметром.
Замечания 3.11.
1. Параметр p параболы характеризует её форму. Чем больше p , тем шире ветви параболы, чем ближе p к нулю, тем ветви параболы уже (рис.3.46).
2. Уравнение y^2=-2px (при p>0 ) определяет параболу, которая расположена слева от оси ординат (рис. 3.47,a). Это уравнение сводится к каноническому при помощи изменения направления оси абсцисс (3.37). На рис. 3.47,a изображены заданная система координат Oxy и каноническая Ox"y" .
3. Уравнение (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0 определяет параболу с вершиной O"(x_0,y_0) , ось которой параллельна оси абсцисс (рис.3.47,6). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36).
Уравнение (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0 , также определяет параболу с вершиной O"(x_0,y_0) , ось которой параллельна оси ординат (рис.3.47,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36) и переименования координатных осей (3.38). На рис. 3.47,б,в изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат Ox"y" .
4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0 является параболой с вершиной в точке O"\!\left(-\frac{b}{2a};\,-\frac{b^2-4ac}{4a}\right) , ось которой параллельна оси ординат, ветви параболы направлены вверх (при a>0 ) или вниз (при a<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение
y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{1}{a}\left(y+\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\!,
которое приводится к каноническому виду (y")^2=2px" , где p=\left|\frac{1}{2a}\right| , при помощи замены y"=x+\frac{b}{2a} и x"=\pm\!\left(y+\frac{b^2-4ac}{4a}\right) .
Знак выбирается совпадающим со знаком старшего коэффициента a . Эта замена соответствует композиции: параллельного переноса (3.36) с x_0=-\frac{b}{2a} и y_0=-\frac{b^2-4ac}{4a} , переименования координатных осей (3.38), а в случае a<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 и a<0 соответственно.
5. Ось абсцисс канонической системы координат является осью симметрии параболы , поскольку замена переменной y на -y не изменяет уравнения (3.51). Другими словами, координаты точки M(x,y) , принадлежащей параболе, и координаты точки M"(x,-y) , симметричной точке M относительно оси абсцисс, удовлетворяют уравнению (3.S1). Оси канонической системы координат называются главными осями параболы .
Пример 3.22. Изобразить параболу y^2=2x в канонической системе координат Oxy . Найти фокальный параметр, координаты фокуса и уравнение директрисы.
Решение. Строим параболу, учитывая её симметрию относительно оси абсцисс (рис.3.49). При необходимости определяем координаты некоторых точек параболы. Например, подставляя x=2 в уравнение параболы, получаем y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2 . Следовательно, точки с координатами (2;2),\,(2;-2) принадлежат параболе.
Сравнивая заданное уравнение с каноническим (3.S1), определяем фокальный параметр: p=1 . Координаты фокуса x_F=\frac{p}{2}=\frac{1}{2},~y_F=0 , т.е. F\!\left(\frac{1}{2},\,0\right) . Составляем уравнение директрисы x=-\frac{p}{2} , т.е. x=-\frac{1}{2} .
Общие свойства эллипса, гиперболы, параболы
1. Директориальное свойство может быть использовано как единое определение эллипса, гиперболы, параболы (см. рис.3.50): геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки F (фокуса) к расстоянию до заданной прямой d (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету e , называется:
а) , если 0\leqslant e<1 ;
б) , если e>1 ;
в) параболой , если e=1 .
2. Эллипс, гипербола, парабола получаются в сечениях кругового конуса плоскостями и поэтому называются коническими сечениями . Это свойство также может служить геометрическим определением эллипса, гиперболы, параболы.
3. К числу общих свойств эллипса, гиперболы и параболы можно отнести биссекториальное свойство их касательных. Под касательной к линии в некоторой её точке K понимается предельное положение секущей KM , когда точка M , оставаясь на рассматриваемой линии, стремится к точке K . Прямая, перпендикулярная касательной к линии и проходящая через точку касания, называется нормалью к этой линии.
Биссекториальное свойство касательных (и нормалей) к эллипсу, гиперболе и параболе формулируется следующим образом: касательная (нормаль) к эллипсу или к гиперболе образует равные углы с фокальными радиусами точки касания (рис.3.51,а,б); касательная (нормаль) к параболе образует равные углы с фокальным радиусом точки касания и перпендикуляром, опущенным из нее на директрису (рис.3.51,в). Другими словами, касательная к эллипсу в точке K является биссектрисой внешнего угла треугольника F_1KF_2 (а нормаль - биссектрисой внутреннего угла F_1KF_2 треугольника); касательная к гиперболе является биссектрисой внутреннего угла треугольника F_1KF_2 (а нормаль - биссектрисой внешнего угла); касательная к параболе является биссектрисой внутреннего угла треугольника FKK_d (а нормаль - биссектрисой внешнего угла). Биссекториальное свойство касательной к параболе можно сформулировать так же, как для эллипса и гиперболы, если считать, что у параболы имеется второй фокус в бесконечно удаленной точке.
4. Из биссекториальных свойств следуют оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы , поясняющие физический смысл термина "фокус". Представим себе поверхности, образованные вращением эллипса, гиперболы или параболы вокруг фокальной оси. Если на эти поверхности нанести отражающее покрытие, то получаются эллиптическое, гиперболическое и параболическое зеркала. Согласно закону оптики, угол падения луча света на зеркало равен углу отражения, т.е. падающий и отраженный лучи образуют равные углы с нормалью к поверхности, причем оба луча и ось вращения находятся в одной плоскости. Отсюда получаем следующие свойства:
– если источник света находится в одном из фокусов эллиптического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, собираются в другом фокусе (рис.3.52,а);
– если источник света находится в одном из фокусов гиперболического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, расходятся так, как если бы они исходили из другого фокуса (рис.3.52,б);
– если источник света находится в фокусе параболического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, идут параллельно фокальной оси (рис.3.52,в).
5. Диаметральное свойство эллипса, гиперболы и параболы можно сформулировать следующим образом:
– середины параллельных хорд эллипса (гиперболы) лежат на одной прямой, проходящей через центр эллипса (гиперболы) ;
– середины параллельных хорд параболы лежат на прямой, коллинеарной оси симметрии параболы .
Геометрическое место середин всех параллельных хорд эллипса (гиперболы, параболы) называют диаметром эллипса (гиперболы, параболы) , сопряженным к этим хордам.
Это определение диаметра в узком смысле (см. пример 2.8). Ранее было дано определение диаметра в широком смысле, где диаметром эллипса, гиперболы, параболы, а также других линий второго порядка называется прямая, содержащая середины всех параллельных хорд. В узком смысле диаметром эллипса является любая хорда, проходящая через его центр (рис.3.53,а); диаметром гиперболы является любая прямая, проходящая через центр гиперболы (за исключением асимптот), либо часть такой прямой (рис.3.53,6); диаметром параболы является любой луч, исходящий из некоторой точки параболы и коллинеарный оси симметрии (рис.3.53,в).
Два диаметра, каждый их которых делит пополам все хорды, параллельные другому диаметру, называются сопряженными. На рис.3.53 полужирными линиями изображены сопряженные диаметры эллипса, гиперболы, параболы.
Касательную к эллипсу (гиперболе, параболе) в точке K можно определить как предельное положение параллельных секущих M_1M_2 , когда точки M_1 и M_2 , оставаясь на рассматриваемой линии, стремятся к точке K . Из этого определения следует, что касательная, параллельная хордам, проходит через конец диаметра, сопряженного к этим хордам.
6. Эллипс, гипербола и парабола имеют, кроме приведенных выше, многочисленные геометрические свойства и физические приложения. Например, рис.3.50 может служить иллюстрацией траекторий движения космических объектов, находящихся в окрестности центра F притяжения.
Определение: Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а фиксированная прямая – директрисой параболы.
Для вывода уравнения построим:
С
огласно
определению:
Так
как у 2 >=0
то парабола лежит в правой полуплоскости.
При х возрастающем от 0 до бесконечности
.
Парабола симметрична относительно Ох.
Точка пересечения параболы со своей
осью симметрии называется вершиной
параболы.
45. Кривые второго порядка и их классификация. Основная теорема о квп.
Существует 8 типов КВП:
1.эллипсы
2.гиперболы
3.параболы
Кривые 1,2,3 – канонические сечения. Если пересечь конус плоскостью параллельной оси конуса то получим гиперболу. Если плоскостью параллельной образующей то параболу. Все плоскости не проходят через вершину конуса. Если любой другой плоскостью то эллипс.
4.пара параллельных прямых y 2 +a 2 =0, a0
5.пара пересекающихся прямых y 2 -k 2 x 2 =0
6.одна прямая y 2 =0
7.одна точка x 2 + y 2 =0
8.пустое множество - пустая кривая (кр. без точек) x 2 + y 2 +1=0 или x 2 + 1=0
Теорема(основная теорема о КВП): Уравнение вида
a 11 x 2 + 2 a 12 x y + a 22 y 2 + 2 a 1 x + 2 a 2 y + a 0 = 0
может представлять только кривую одного из указанных восьми типов.
Идея доказательства состоит в том чтобы прейти к такой системе координат в которой уравнение КВП примет наиболее простой вид, когда тип кривой, которую оно представляет становится очевидным. Теорема доказывается с помощью поворота системы координат на такой угол при котором член с произведением координат исчезает. И с помощью параллельного переноса системы координат при котором исчезает или член с переменной х или член с переменной у.
Переход
к новой системе координат:
1.
Параллельный перенос
2.
Поворот
45. Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.
П
ВП
- множество точек прямоугольные координаты
которых удовлетворяют уравнению 2
степени:
(1)
Предполагается, что хотя бы один из коэффициентов при квадратах или при произведениях отличен от 0. Уравнение инвариантно относительно выбора системы координат.
Теорема Любая плоскость пересекает ПВП по КВП за исключением особого случая, когда в сечении – вся плоскость.(ПВП может быть плоскостью или парой плоскостей).
Существует 15 типов ПВП. Перечислим их указав уравнения, которыми они задаются в подходящих системах координат. Эти уравнения называются каноническими(простейшими). Строят геометрические образы соответствующие каноническим уравнениям методом параллельных сечений: Пересекают поверхность координатными плоскостями и плоскостями параллельными им. В результате получают сечения и кривые, которые дают представление о форме поверхности.
1
.
Эллипсоид.
Если a=b=c то получаем сферу.
2. Гиперболоиды.
1).
Однополостный гиперболоид:
Cечение
однополостного гиперболоида координатными
плоскостями: XOZ:
- гипербола.
YOZ:
- гипербола.
Плоскостью
XOY:
- эллипс.
2
).
Двуполостной гиперболоид.
Начало координат – точка симметрии.
Координатные плоскости – плоскости симметрии.
Плоскость
z
=
h
пересекает гиперболоид по эллипсу
,
т.е. плоскость z
=
h
начинает пересекать гиперболоид при
| h
|
c
.
Сечение гиперболоида плоскостями x
= 0
и y
= 0
- это
гиперболы.
Числа a,b,c в уравнениях (2),(3),(4) называются полуосями эллипсоидов и гиперболоидов.
3. Параболоиды.
1).
Эллиптический параболоид:
Сечение
плоскостью z
=
h
есть
,
где
.
Из уравнения видно, что z
0 – это бесконечная чаша.
Пересечение
плоскостями y
=
h
и x
=
h
- это парабола и вообще
2
).
Гиперболический параболоид:
Очевидно,
плоскости XOZ
и YOZ
– плоскости симметрии, ось z
– ось параболоида. Пересечение параболоида
с плоскостью z
=
h
– гиперболы:
,
.
Плоскость z
=0
пересекает гиперболический параболоид
по двум осям
которые являются ассимптотами.
4. Конус и цилиндры второго порядка.
1).
Конус – это поверхность
.
Конус оюразован прямыми линиями,
проходящими через начало координат 0 (0, 0, 0). Сечение конуса – это эллипсы с
полуосями
.
2
).
Цилиндры второго порядка.
Это
эллиптический цилиндр
.
Какую бы прямую мы не взяли пересекающую эллипсы и параллельную оси Oz то она удовлетворяет этому уравнению. Перемещая эту прямую вокруг эллипса получим поверхность.
Г
иперболический
цилиндр:
На
плоскости ХОУ это гипербола. Перемещаем
прямую пересекающую гиперболу параллельно
Oz
вдоль гиперболы.
Параболический
цилиндр:
Н
а
плоскости ХОУ это парабола.
Цилиндрические поверхности образуются прямой(образующей) перемещающейся параллельно самой себе вдоль некоторой прямой(направляющей).
10.
Пара пересекающихся плоскостей
11.Пара
параллельных плоскостей
12.
- прямой
13.Прямая
– «цилиндр», построенный на одной точке
14.Одна
точка
15.Пустое
множество
Основная теорема о ПВП: Каждая ПВП принадлежит к одному из 15 типов рассмотренных выше. Других ПВП нет.
Поверхности
вращения.
Пусть
задана ПДСК Oxyz
и в плоскости Oyz
линия е определяемая уравнением F(y,z)=0
(1). Составим уравнение поверхности
полученной вращением этой линии вокруг
оси Oz.
Возьмем на линии е точку М(y,z).
При вращении плоскости Oyz
вокруг Oz
точка М опишет окружность. Пусть N(X,Y,Z)
– произвольная точка этой окружности.
Ясно что z=Z.
.
Подставив
найденные значения z
и y
в уравнение (1) получим верное равенство:
т.е. координаты точкиN
удовлетворяют уравнению
.
Таким образом любая точка поверхности
вращения удовлетворяет уравнению (2).
Не сложно доказать что если точкаN(x 1 ,y 1 ,z 1)
удовлетворяет уравнению (2) то она
принадлежит рассматриваемой поверхности.
Теперь можно сказать что уравнение (2)
есть искомое уравнение поверхности
вращения.
Парабола - это бесконечная кривая, которая состоит из точек, равноудаленых от заданной прямой, называемой директрисой параболы, и заданной точки - фокуса параболы. Парабола является коническим сечением, то есть представляет собой пересечение плоскости и кругового конуса.
В общем виде математическое уравнение параболы имеет вид: y=ax^2+bx+c, где a не равно нулю, b отражает смещение графика функции по горизонтали относительно начала координат, а c - вертикальное смещение графика функции относительно начала координат. При этом, если a>0, то при построении графика будут направленны вверх, а в случае, если aСвойства параболы
Парабола - это кривая второго порядка, которая имеет ось симметрии, проходящую через фокус параболы и перпендикулярную директрисе параболы.
Парабола обладает особым оптическим свойством, заключающемся в фокусировки параллельных относительно оси ее симметрии световых лучей, направленных в параболу, в вершине параболы и расфокусировки пучка света, направленного в вершину параболы, в параллельные световые лучи относительной той же оси.
Если произвести отражение параболы относительно любой касательной, то образ параболы окажется на ее директрисе. Все параболы подобны между собой, то есть для каждых двух точек A и B одной параболы, найдутся точки A1 и B1, для которых верно утверждение |A1,B1| = |A,B|*k, где k – коэффициент подобия, который в численном значении всегда больше нуля.
Проявление параболы в жизни
Некоторые космические тела, такие как кометы или астероиды, проходящие вблизи крупных космических объектов на высокой скорости имеют траекторию движения в форме параболы. Это свойство малых космических тел используется при гравитационных маневрах космических кораблей.
Для тренировок будущих космонавтов, на земле проводятся специальные полеты самолетов по траектории параболы, чем достигается эффект невесомости в гравитационном поле земли.
В быту параболы можно встретить в различных осветительных приборах. Это связано с оптическим свойством параболы. Одним из последних способов применения параболы, основанных на ее свойствах фокусировки и расфокусировки световых лучей, стали солнечные батареи, которые все больше входят в сферу энергоснабжения в южных регионах России.
Лекции по алгебре и геометрии. Семестр 1.
Лекция 17. Парабола.
Глава 17. Парабола.
п.1. Основные определения.
Определение. Параболой называется ГМТ плоскости равноудаленных от одной фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, и одной фиксированной прямой, называемой директрисой.
Определение. Расстояние от произвольной точки М плоскости до фокуса параболы называется фокальным радиусом точки М.
Обозначения: F– фокус параболы,r– фокальный радиус точки М,d– расстояние от точки М до директрисыD.
По
определению параболы, точка М является
точкой параболы тогда и только тогда,
когда
.
По определению параболы, его фокус и директриса есть фиксированные объекты, поэтому расстояние от фокуса до директрисы есть величина постоянная для данной параболы.
Определение. Расстояние от фокуса параболы до ее директрисы называется фокальным параметром параболы.
Обозначение:
.
Введем на данной плоскости систему координат, которую мы будем называть канонической для параболы.
Определение. Ось, проведенная через фокус параболы перпендикулярно директрисе называется фокальной осью параболы.
Построим каноническую для параболы ПДСК, см. рис.2.
В качестве оси абсцисс выбираем фокальную ось, направление на которой выбираем от директрисы к фокусу.
Ось
ординат проводим через середину отрезка
FNперпендикулярно фокальной
оси. Тогда фокус имеет координаты
.
п.2. Каноническое уравнение параболы.
Теорема. В канонической для параболы системе координат уравнение параболы имеет вид:
.
(1)
Доказательство. Доказательство проведем в два этапа. На первом этапе мы докажем, что координаты любой точки, лежащей на параболе удовлетворяют уравнению (1). На втором этапе мы докажем, что любое решение уравнения (1) дает координаты точки, лежащей на параболе. Отсюда будет следовать, что уравнению (1) удовлетворяют координаты тех и только тех точек координатной плоскости, которые лежат на параболе.
Отсюда и из определения уравнения кривой будет следовать, что уравнение (1) является уравнением параболы.
1) Пусть точка М(х, у) является точкой параболы, т.е.
.
Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на координатной плоскости и найдем по этой формуле фокальный радиус данной точки М:
.
Из
рисунка 2 мы видим, что точка параболы
не может иметь отрицательной абсциссы,
т.к. в этом случае
.
Поэтому
и
.
Отсюда получаем равенство
.
Возведем обе части равенства в квадрат:
и после сокращения получаем:
.
2) Пусть теперь пара чисел (х, у) удовлетворяет уравнению (1) и пусть М(х, у) – соответствующая точка на координатной плоскости Оху.
Тогда подставляем равенство (1) в выражение для фокального радиуса точки М:
,
откуда, по определению параболы, следует,
что точка М(х, у) лежит на параболе.
Здесь
мы воспользовались тем, что из равенства
(1) следует, что
и, следовательно,
.
Теорема доказана.
Определение. Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы.
Определение. Начало канонической для параболы системы координат называется вершиной параболы.
п.3. Свойства параболы.
Теорема. (Свойства параболы.)
1. В канонической для параболы системе координат, в полосе
нет точек параболы.
2. В канонической для параболы системе координат вершина параболы О(0; 0) лежит на параболе.
3. Парабола является кривой, симметричной относительно фокальной оси.
Доказательство. 1, 2) Сразу же следует из канонического уравнения параболы.
3)
Пусть М(х, у) – произвольная точка
параболы. Тогда ее координаты удовлетворяют
уравнению (1). Но тогда координаты точки
также удовлетворяют уравнению (1), и,
следовательно, эта точка также является
точкой параболы, откуда и следует
утверждение теоремы.
Теорема доказана.
п.4. Построение параболы.
В силу симметрии достаточно построить параболу в первой четверти, где она является графиком функции
,
а затем отобразить полученный график симметрично относительно оси абсцисс.
Строим график этой
функции, учитывая, что данная функция
является возрастающей на промежутке
.
п.5. Фокальный параметр гиперболы.
Теорема. Фокальный параметр параболы равен длине перпендикуляра к ее оси симметрии, восстановленного в фокусе параболы до пересечения с параболой.
Доказательство.
Так как точка
является точкой пересечения параболы
с перпендикуляром
(см. рис.3), то ее координаты удовлетворяют
уравнению параболы:
.
Отсюда
находим
,
откуда и следует утверждение теоремы.
Теорема доказана.
п.6. Единое определение эллипса, гиперболы и параболы.
Используя доказанные свойства эллипса и гиперболы, и определение параболы можно дать единое для всех трех кривых определение.
Определение. ГМТ плоскости, для которых отношение расстояния до одной фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, к расстоянию до одной фиксированной прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная, называется:
а) эллипсом, если эта постоянная величина меньше 1;
б) гиперболой, если эта постоянная величина больше 1;
в) параболой, если эта постоянная величина равна 1.
Эта
постоянная величина, о которой идет
речь в определении, называется
эксцентриситетом и обозначается
,
расстояние от данной точки до фокуса
есть ее фокальный радиусr,
расстояние от данной точки до директрисы
обозначается черезd.
Из
определения следует, что те точки
плоскости, для которых отношение
есть величина постоянная образуют
эллипс, гиперболу или параболу,
взависимости от величины этого отношения.
Если
,
то мы получаем эллипс, если
,
то мы получаем гиперболу, если
,
то мы получаем параболу.
п.7. Касательная к параболе.
Теорема.
Пусть
– произвольная точка параболы
.
Тогда уравнение касательной к этой параболе
в
точке
имеет вид:
.
(2)
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда точка касания лежит в первой четверти. Тогда уравнение параболы имеет вид:
и
ее можно рассматривать как график
функции
.
Воспользуемся
уравнением касательной к графику функции
в точке
:
где
– значение производной данной функции
в точке
.
Найдем производную
функции
и ее значение в точке касания:
,
.
Здесь
мы воспользовались тем, что точка касания
является точкой параболы и поэтому ее
координаты удовлетворяют уравнению
параболы, т.е.
.
Подставляем найденное значение производной в уравнение касательной:
,
откуда получаем:
.
Так
как точка
принадлежит параболе, то ее координаты
удовлетворяют ее уравнению, т.е.
,
откуда получаем
или
.
Отсюда следует
.
Теорема доказана.
п.8. Зеркальное свойство параболы.
Теорема. Касательная к параболе образует равные углы с ее осью симметрии и с фокальным радиусом точки касания.
Доказательство.
Пусть
– точка касания,
– ее фокальный радиус. Обозначим черезNточку пересечения
касательной с осью абсцисс. Ордината
точкиNравна нулю и точкаNлежит на касательной,
следовательно, ее координаты удовлетворяют
уравнению касательной. Подставляя
координаты точкиNв
уравнение касательной, получаем:
,
откуда
абсцисса точки Nравна
.
Рассмотрим
треугольник
.
Докажем, что он равнобедренный.
Действительно,
.
Здесь мы воспользовались равенством,
полученным при выводе канонического
уравнения параболы:
.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Отсюда
,
ч.т.д.
Теорема доказана.
Замечание. Доказанную теорему можно сформулировать в виде зеркального свойства параболы.
Луч света, выпущенный из фокуса параболы, после отражения от зеркала параболы, идет параллельно оси симметрии параболы.
Действительно, так как угол падения луча на касательную равен углу отражения от нее, то угол между касательной и отраженным лучом равен углу между касательной и осью абсцисс, откуда следует, что отраженный луч параллелен оси абсцисс.
Замечание. Это свойство параболы получило широкое применение в технике. Если параболу вращать вокруг ее оси симметрии, то получим поверхность, которая называется параболоидом вращения. Если выполнить отражающую поверхность в форме параболоида вращения и в фокусе поместить источник света, то отраженные лучи идут параллельно оси симметрии параболоида. Так устроены прожектора и автомобильные фары. Если же в фокусе поместить устройство принимающее электромагнитные колебания (волны), то они отражаясь от поверхности параболоида попадают в это принимающее устройство. По такому принципу работают спутниковые тарелки.
Существует легенда, что в древности один полководец выстроил своих воинов вдоль берега, придав их строю форму параболы. Солнечный свет, отражаясь от начищенных до блеска щитов воинов собирался в пучок (в фокусе построенной параболы). Таким образом были сожжены корабли неприятеля. Некоторые источники приписывают это Архимеду. Так или иначе, но арабы называли параболоид вращения "зажигательным зеркалом".
Кстати, слово "focus" латинское и в переводе означает огонь, очаг. С помощью "зажигательного зеркала" можно в солнечный день разжечь костер и вскипятить воду. Так что становится понятным происхождение этого термина.
Слово "фокус" означает также некоторый трюк или хитрый прием. Раньше цирк назывался балаганом. Так еще балаганные артисты использовали зеркальное свойство эллипса и зажигая свет в одном фокусе эллипса они разжигали что-нибудь лекговоспламеняющее, помещенное в другом его фокусе. Это зрелище также стали называть фокусом. (Читайте замечательную книжку Виленкина Н.Я. "За страницами учебника математики")
п.9. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы.
Пусть на плоскости дана точка F, которую мы назовем фокусом и прямаяD, которую мы назовем директрисой. Проведем через фокус прямую перпендикулярную директрисе (фокальная ось) и введем полярную систему координат. Полюс поместим в фокус, а в качестве полярного луча возьмем ту часть прямой, которая не пересекает директрису (см. рис.5).
Пусть точка М лежит на эллипсе, гиперболе или параболе. В дальнейшем будем называть зллипс гиперболу или параболу просто кривой.
Теорема.
Пусть
– полярные координаты точки кривой
(эллипса, гиперболы или параболы). Тогда
,
(3)
где
р – фокальный параметр кривой,
– эксцентриситет кривой (для параболы
полагаем
).
Доказательство.
Пусть Q– проекция точки
М на фокальную ось кривой, В – на
директрису кривой. Пусть полярный угол
точки М является тупым, как на рисунке
5. Тогда
,
где
по построению,
– расстояние от точки М до директрисы,и
.
(4)
С другой стороны, по единому определению эллипса, гиперболы и параболы отношение
(5)
равно
эксцентриситету соответствующей кривой
для любой точки М на данной кривой. Пусть
точка
– точка пересечения кривой с перпендикуляром
к фокальной оси, воостановленного в
фокусеFи А – ее проекция
на директрису. Тогда
,
откуда
.
Но
,
откуда
и, подставляя в
равенство (4), получаем
или, учитывая равенство (5),
откуда и следует доказываемое равенство (3).
Заметим, что
равенство (4) остается верным и в случае,
когда полярный угол
точки М является острым, т.к. в этом
случае точкаQнаходится
правее фокусаFи
Теорема доказана.
Определение. Уравнение (3) называется полярным уравнением эллипса, гиперболы и параболы.
Занятие 10 . Кривые второго порядка.
10.1. Эллипс. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, график.
10.2. Гипербола. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, асимптоты, график.
10.3. Парабола. Каноническое уравнение. Параметр параболы, график.
Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, неявное задание которых имеет вид:
где
- заданные вещественные числа,
- координаты точек кривой. Наиболее
важными линиями среди кривых второго
порядка являются эллипс, гипербола,
парабола.
10.1. Эллипс. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, график.
Определение эллипса.
Эллипсом
называется плоская кривая, у которой
сумма расстояний от двух фиксированных
точек
плоскости до любой точки
(т.е.).
Точки
называются фокусами эллипса.
Каноническое уравнение эллипса
:
.
(2)
(или
ось
)
проходит через фокусы
,
а начало координат – точка
-
находится в центре отрезка
(рис.1). Эллипс (2) симметричен относительно
осей координат и начала координат
(центра эллипса). Постоянные
,
называютсяполуосями эллипса
.
Если эллипс задан уравнением (2), то фокусы эллипса находятся так.
1) Сначала определяем, где лежат фокусы: фокусы лежат на той координатной оси, на которой расположены бóльшие полуоси.
2) Затем вычисляется фокусное расстояние
(расстояние от фокусов до начала
координат).
При
фокусы лежат на оси
;
;
.
При
фокусы лежат на оси
;
;
.
Эксцентриситетом
эллипса называется
величина:
(при
);
(при
).
У эллипса всегда
.
Эксцентриситет служит характеристикой
сжатия эллипса.
Если эллипс (2) переместить так, что центр
эллипса попадет в точку
,
,
то уравнение полученного эллипса имеет
вид
.
10.2. Гипербола. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, асимптоты, график.
Определение гиперболы.
Гиперболой
называется плоская кривая, у которой
абсолютная величина разности расстояний
от двух фиксированных точек
плоскости до любой точки
этой кривой есть постоянная величина,
независящая от точки
(т.е.). Точки
называются фокусами гиперболы.
Каноническое уравнение гиперболы
:
или
.
(3)
Такое уравнение получается, если
координатная ось
(или
ось
)
проходит через фокусы
,
а начало координат – точка
-
находится в центре отрезка
.
Гиперболы (3) симметричны относительно
осей координат и начала координат.
Постоянные
,
называютсяполуосями гиперболы
.
Фокусы гиперболы находятся так.
У гиперболы
фокусы лежат на оси
:
(рис. 2.а).
У гиперболы
фокусы лежат на оси
:
(рис. 2.б)
Здесь
-
фокусное расстояние (расстояние от
фокусов до начала координат). Оно
вычисляется по формуле:
.
Эксцентриситетом гиперболы называется величина:
(для
);
(для
).
У гиперболы всегда
.
Асимптотами гипербол
(3) являются
две прямые:
.
Обе ветви гиперболы неограниченно
приближаются к асимптотам с ростом
.
Построение графика гиперболы следует
проводить так: сначала по полуосям
строим вспомогательный прямоугольник
со сторонами, параллельными осям
координат; затем через противоположные
вершины этого прямоугольника проводим
прямые, это – асимптоты гиперболы;
наконец изображаем ветви гиперболы,
они касаются середин соответствующих
сторон вспомогательного прямоугольника
и приближаются с ростом
к асимптотам (рис. 2).
Если гиперболы (3) переместить так, что
их центр попадет в точку
,
а полуоси останутся параллельны осям
,
,
то уравнение полученных гипербол
запишутся в виде
,
.
10.3. Парабола. Каноническое уравнение. Параметр параболы, график.
Определение параболы.
Параболой
называется плоская кривая, у которой
для любой точки
этой кривой расстояние от
до фиксированной точки
плоскости (называемой фокусом параболы)
равно расстоянию от
до фиксированной прямой на плоскости
(называемой директрисой параболы).
Каноническое уравнение параболы
:
,
(4)
где
- постоянная, называемаяпараметром
параболы.
Точка
параболы (4) называется вершиной параболы.
Ось
является осью симметрии. Фокус параболы
(4) находится в точке
,
уравнение директрисы
.
Графики параболы (4) со значениями
и
приведены
на рис. 3.а и 3.б соответственно.
Уравнение
также определяет параболу на плоскости
,
у которой по сравнению с параболой (4),
оси
,
поменялись местами.
Если параболу (4) переместить так, что
ее вершина попадет в точку
,
а ось симметрии останется параллельна
оси
,
то уравнение полученной параболы имеют
вид
.
Перейдем к примерам.
Пример 1
. Кривая второго порядка
задана уравнением
.
Дать название этой кривой. Найти ее
фокусы и эксцентриситет. Изобразить
кривую и ее фокусы на плоскости
.
Решение. Данная кривая является эллипсом
с центром в точке
и полуосями
.
В этом легко убедиться, если провести
замену
.
Это преобразование означает переход
от заданной декартовой системы координат
к новой декартовой системе координат
,
у которой оси
параллельны
осям
,
.
Это преобразование координат называется
сдвигом системы
в точку
.
В новой системе координат
уравнение кривой преобразуется в
каноническое уравнение эллипса
,
его график приведен на рис. 4.
Найдем фокусы.
,
поэтому фокусы
эллипса расположены на оси
..
В системе координат
:
.
Т.к.
,
в старой системе координат
фокусы имеют координаты.
Пример 2 . Дать название кривой второго порядкаи привести ее график.
Решение. Выделим полные квадраты по
слагаемым, содержащим переменные
и
.
Теперь, уравнение кривой можно переписать так:
Следовательно, заданная кривая является
эллипсом с центром в точке
и полуосями
.
Полученные сведения позволяют нарисовать
его график.
Пример 3
. Дать название и привести
график линии
.
Решение.
.
Это – каноническое уравнение эллипса
с центром в точке
и полуосями
.
Поскольку,
,
делаем заключение: заданное уравнение
определяет на плоскости
нижнюю половину эллипса (рис. 5).
Пример 4
. Дать название кривой второго
порядка
.
Найти ее фокусы, эксцентриситет. Привести
график этой кривой.
-
каноническое уравнение гиперболы с
полуосями
.
Фокусное расстояние.
Знак "минус" стоит перед слагаемым
с
,
поэтому фокусы
гиперболы лежат на оси
:.
Ветви гиперболы располагаются над и
под осью
.
- эксцентриситет гиперболы.
Асимптоты гиперболы: .
Построение графика этой гиперболы осуществляется в соответствии с изложенным выше порядком действий: строим вспомогательный прямоугольник, проводим асимптоты гиперболы, рисуем ветви гиперболы (см. рис.2.б).
Пример 5
. Выяснить вид кривой,
заданной уравнением
и построить ее график.
- гипербола с центром в точке
и полуосями.
Т.к.
,
заключаем: заданное уравнение определяет
ту часть гиперболы, которая лежит Справа
от прямой
.
Гиперболу лучше нарисовать во
вспомогательной системе координат
,
полученной из системы координат
сдвигом
,
а затем жирной линией выделить нужную
часть гиперболы
Пример 6 . Выяснить вид кривойи нарисовать ее график.
Решение. Выделим полный квадрат по
слагаемым с переменной
:
Перепишем уравнение кривой.
Это – уравнение параболы с вершиной в
точке
.
Преобразованием сдвигауравнение параболы приводится к
каноническому виду
,
из которого видно, что- параметр параболы. Фокус
параболы в системе
имеет координаты
,,
а в системе
(согласно преобразованию сдвига).
График параболы приведен на рис. 7.
Домашнее задание .
1. Нарисовать эллипсы, заданные уравнениями:
Найти их полуоси, фокусное расстояние,
эксцентриситет и указать на графиках
эллипсов места расположения их фокусов.
2. Нарисовать гиперболы, заданные
уравнениями:
Найти их полуоси, фокусное расстояние,
эксцентриситет и указать на графиках
гипербол места расположения их фокусов.
Написать уравнения асимптот данных
гипербол.
3. Нарисовать параболы, заданные
уравнениями:
.
Найти их параметр, фокусное расстояние
и указать на графиках парабол место
расположения фокуса.
4. Уравнение
определяет часть кривой 2-го порядка.
Найти каноническое уравнение этой
кривой, записать ее название, построить
ее график и выделить на нем ту часть
кривой, которая отвечает исходному
уравнению.
