>Всем привет!!! Существует ли формула, по которой из матрицы можно убрать масштабирование, не зная коэффициентов масштабирования???
Сразу вспомнили полярное разложение. Что-де, матрица M представляется в виде O * P. Где O ортогональная, а P положительно определенная, симметричная – то есть матрица сжатия или растяжения. Вот матрицу O мы и возьмем.
Встает вопрос. А если раскладывать M с другой стороны, то получим P’ * O’. Разложение в другом порядке, с другими априори матричками. Почему бы не взять O’? Я мучался минут пять вопросом, пока не вспомнил, как ставил студентам незачет по этому поводу. Матрица O’ на самом деле совпадает с матрицей O. Если вы недавно закончили университет или еще учитесь – можете даже попытаться доказать сей факт.
Итак, полярное разложение:
Для нахождения положительного квадратного корня из матрицы в позитивной науке предлагается посчитать собственные числа. Для каждого собственного числа найти собственное подространство, потом аккуратно изготовить собственно квадратный корень из оператора.
Я как представил, что получится для матрицы, близкой к единичной, аж вздрогнул. Все умрет на неточностях флоата, ранги у матриц съедут – полный коллапс обещает быть.
А почему бы благородным донам не попробовать итерации, которые божествены, как известно?
Вот, корень из числа ищется методом Ньютона. Последовательность a_{i+1} = 0.5 * (a_i + x / a_i); гордо сходится к квадратному корню из x. Для пробы взял чью-то библиотечку про mat3x3 и наклепал матричный аналог.
Прямой аналог метода Ньютона шустро сходится за 3-4 итерации, тесты проходят как легкий ветерок. Получается полярное разложение для матриц, работоспособность алгоритма очевидна из элементарной спектральной теории операторов. Очевидна после получаса скрипа мозгом.
Итак, полярное разложение мы нашли. Вопрос – зачем? И тут я вынужден перейти к основному поинту своего доклада. Учение – зло. Время, которые вы потратили на вспоминание спектральной теории операторов, успешно потрачено впустую.
Разложение Scale Shear Rotate ищется на раз. Применяем процесс ортогонализации и ортонормализации к матрице. По столбцам. Получаем отличную матрицу. И чем результат будет хуже? Да ничем!
Увидел я пост с кодом на паскале, который и считает это самое Scale Shear Rotate разложение, и внезапно понял, что у меня нет аргументов за полярное разложение. Которое требует хрен знает какой вычислительной техники.
Конечно, есть мелкие возражения, почти придирки. К примеру, что tangent space проще считать ортонормальным. Вычислительно проще. Обычно считают dPosition/du, нормаль, а третий вектор берут перпендикулярным к этой паре. Ясно, что метод несимметричный относительно текстурных координат, какая из них первая, какая вторая – совершенно непонятно. Вроде бы правильно применить полярное разложение к матрице локального преобразования.
Может, заметите вы разницу между “правильным” полярным разложением и “неправильным” процессом ортогонализации по столбцам. Скорее не заметите. И уж точно картинка не станет лучше.
P.S. А вот еще анимации хранить в Scale Shear Rotate очень круто. Три вектора, один кватернион. Shear почти всегда 0, Scale почти всегда 1, константные треки можно выкинуть. А там где неконстантные треки – как-нить выжать за счет специализации шаблона. Или еще чего.
Назначение сервиса . Матричный калькулятор предназначен для решения систем линейных уравнений матричным способом (см. пример решения подобных задач).Инструкция . Для онлайн решения необходимо выбрать вид уравнения и задать размерность соответствующих матриц.
где А, В, С - задаваемые матрицы, Х - искомая матрица. Матричные уравнения вида (1), (2) и (3) решаются через обратную матрицу A -1 . Если задано выражение A·X - B = C , то необходимо, сначала сложить матрицы C + B , и находить решение для выражения A·X = D , где D = C + B (). Если задано выражение A*X = B 2 , то предварительно матрицу B надо возвести в квадрат . Рекомендуется также ознакомиться с основными действиями над матрицами .Пример №1
. Задание
. Найти решение матричного уравнения
Решение
. Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X·B = C.
Определитель матрицы А равен detA=-1
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1:Умножаем обе части этого равенства слева на A -1 и справа на B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B -1 . Так как A·A -1 = B·B -1 = E и E·X = X·E = X, то X = A -1 ·C·B -1
Обратная матрица A -1: 
Найдем обратную матрицу B -1 .
Транспонированная матрица B T:
Обратная матрица B -1: 
Матрицу X ищем по формуле: X = A -1 ·C·B -1
Ответ:
Пример №2
. Задание.
Решить матричное уравнение 
Решение
. Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Определитель матрицы А равен detA=0
Так как A вырожденная матрица (определитель равен 0), следовательно уравнение решения не имеет.
Пример №3
. Задание. Найти решение матричного уравнения
Решение
. Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: X·A = B.
Определитель матрицы А равен detA=-60
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим справа обе части уравнения на A -1: X·A·A -1 = B·A -1 , откуда находим, что X = B·A -1
Найдем обратную матрицу A -1 .
Транспонированная матрица A T: 
Обратная матрица A -1: 
Матрицу X ищем по формуле: X = B·A -1
Ответ: >
1)
Рассмотрим сначала действительные матрицы. Предположим, что из матрицы $%A$% извлекается корень, т.е. существует матрица $%B$% такая, что $%B \cdot B=A$%. Предположим также, что матрица $%B$% может быть приведена к диагональному виду, т.е. существует матрица $%S$% такая что $%S^{-1}BS=B"$%, где $%B"$%- диагональная матрица. Из равенств $%B"B"=S^{-1}BSS^{-1}BS=S^{-1}BBS=S^{-1}AS$% следует, что $%A"=S^{-1}AS$% - тоже диагональная матрица, т.е. матрицы $%A$% и $%B$% приводятся к диагональному виду одним и тем же преобразованием. Т.к. элементы штрихованных матриц - это собственные значения нештрихованных, то из приведенных рассуждений вытекают следующие выводы.
1.1)Если матрица $%A$% является симметричной положительно определенной матрицей, то из нее извлекается корень в виде действительной матрицы.
1.2) Алгоритм вычисления корня из такой матрицы следующий: решить задачу на собственные значения, извлечь из собственных значений корни, составить из них диагональную матрицу, применить к ней преобразование, обратное к преобразованию, переводящему матрицу $%A$% к диагональному виду.
1.3) Количество различных матриц $%B$% равно $%2^n$%, т.к. для каждого собственного значения есть 2 значения корня - положительное и отрицательное.
2) Для комплексной матрицы рассуждения останутся в силе, если заменить симметричность на унитарность. Требование положительной определенности при этом, естественно, снимется.
3)
Решение для общего случая.
Предположим, что преобразование $%S$% приводит матрицу $%B$% не к диагональному, а к верхнему треугольному виду, т.е. матрица $%B"$% является верхней треугольной. Такое преобразование существует для любой квадратной матрицы. Легко убедиться, что матрица $%A"$% при этом тоже получится верхней треугольной, причем, диагональные элементы матрицы $%A"$% будут квадратами соответствующих диагональных элементов матрицы $%B"$%. Это позволяет найти все диагональные элементы матрицы $%B"$% извлечением корня из диагональных элементов матрицы $%A"$%, а затем по цепочке найти и все остальные элементы матрицы $%B"$%. Отсюда получаются следующие выводы.
3.1) Из любой комплексной матрицы извлекается корень, в общем случае таких корней $%2^n$%, но среди них могут быть совпадающие (кратные).
3.2) Алгоритм вычисления корней следующий: преобразовать матрицу $%A$% к верхнему треугольному виду, найти матрицу $%B"$% по сформулированному алгоритму и сделать обратное преобразование.
3.3) Необходимым и достаточным условием вещественности корней из вещественной матрицы является не отрицательность диагональных элементов после преобразования матрицы к треугольному виду. Не отрицательность детерминанта является условием необходимым, но недостаточным.
Дополнение 1 (ответ на комментарий) . Вы имели в виду "к треугольному виду". Вообще, в пп. 1, 2 все абсолютно четко, а над п.3 нужно, видимо, еще подумать. Дело в том, что метод Гаусса может не сводиться к преобразованию $%S^{-1}AS$%, а на этом основано доказательство. Т.е. доказательство применимо только к тем матрицам, которые приводятся к треугольному виду преобразованием $%S^{-1}AS$%.
Дополнение 2 . Похоже, в п.3 в целом все правильно, только нужно использовать преобразование матрицы $%A$% к Жордановой форме - для этого преобразования всегда есть матрица, получающаяся из решения задачи на собственные значения. Проблема в том, что квадрат Жордановой матрицы не является Жордановой матрицей (хотя является треугольной и даже двухдиагональной). Строгое обоснование алгоритма требует доказательства следующей теоремы: "Если $%A"=B"^2$% и $%A"$%- Жорданова матрица, то $%B"$%- треугольная матрица". Утверждение кажется верным, но как доказать - пока не знаю.
