Лексический анализ. Удаление левой рекурсии

Рассмотрим алгоритм построения по регулярному выражению недетерминированного конечного автомата, допускающего тот же язык.

Алгоритм 3.1 . Построение недетерминированного конечного автомата по регулярному выражению.

Вход . Регулярное выражение r в алфавите T .

Выход . НКА M , такой что L(M) = L(r) .

Метод .Автомат для выражения строится композицией из автоматов, соответствующих подвыражениям. На каждом шаге построения строящийся автомат имеет в точности одно заключительное состояние, в начальное состояние нет переходов из других состояний и нет переходов из заключительного состояния в другие.

Построение детерминированного конечного автомата по недетерминированному

Рассмотрим алгоритм построения по недетерминированному конечному автомату детерминированного конечного автомата, допускающего тот же язык.

Алгоритм 3.2 . Построение детерминированного конечного автомата по недетерминированному.

Вход . НКА M = (Q, T, D, q 0 , F) .

Выход . ДКА .

Метод . Каждое состояние результирующего ДКА - это некоторое множество состояний исходного НКА.

В алгоритме будут использоваться следующие функции: - множество состояний НКА, достижимых из состояний, входящих в R , посредством только переходов по e , то есть множество

Множество состояний НКА, в которые есть переход на входе a для состояний из R , то есть множество

Вначале Q" и D" пусты. Выполнить шаги 1-4:

(1) Определить .

(2) Добавить в Q" как непомеченное состояние

(3) Выполнить следующую процедуру:

(4) Определить .

Пример 3.6 . Результат применения алгоритма 3.2 приведен на рис. 3.10 .

Построение детерминированного конечного автомата по регулярному выражению

Приведем теперь алгоритм построения по регулярному выражению детерминированного конечного автомата, допускающего тот же язык [?] .

Пусть дано регулярное выражение r в алфавите T . К регулярному выражению r добавим маркер конца: (r)# . Такое регулярное выражение будем называть пополненным. В процессе своей работы алгоритм будет использовать пополненное регулярное выражение.

Алгоритм будет оперировать с синтаксическим деревом для пополненного регулярного выражения (r)#, каждый лист которого помечен символом , а каждая внутренняя вершина помечена знаком одной из операций: (конкатенация), | (объединение), * (итерация).

Каждому листу дерева (кроме e -листьев) присвоим уникальный номер, называемый позицией, и будем использовать его, с одной стороны, для ссылки на лист в дереве, и, с другой стороны, для ссылки на символ, соответствующий этому листу. Заметим, что если некоторый символ используется в регулярном выражении несколько раз, он имеет несколько позиций.

Обойдем дерево T снизу-вверх слева-направо и вычислим четыре функции: nullable,firstpos, lastpos и followpos . Три первые функции - nullable, firstpos и lastpos - определены на узлах дерева, а followpos - на множестве позиций. Значением всех функций, кроме nullable , является множество позиций. Функция followpos вычисляется через три остальные функции.

Функция firstpos(n) для каждого узла n синтаксического дерева регулярного выражения дает множество позиций, которые соответствуют первым символам в подцепочках , генерируемых подвыражением с вершиной в n . Аналогично, lastpos(n) дает множество позиций, которым соответствуют последние символы в

Базис . Автоматы для выражений длины 1: и показаны на следующем рисунке.

Заметим, что у каждого из этих трех автоматов множество заключительных состояний состоит из одного состояния.

Индукционный шаг . Предположим теперь, что для каждого регулярного выражения длины <= k построен соответствующий НКА, причем у него единственное заключительное состояние. Рассмотрим произвольное регулярное выражение r длины k+1 . В зависимости от последней операции оно может иметь один из трех видов: (r 1 + r 2), (r 1 r 2) или (r 1) * . Пусть и - это НКА, распознающие языки L r1 и L r2 , соответственно. Не ограничивая общности, мы будем предполагать, что у них разные состояния: .

Тогда НКА , диаграмма которого представлена на рис. 5.2 , распознает язык .

У этого автомата множество состояний , где q 0 - это новое начальное состояние, q f - новое (единственное!) заключительное состояние, а программа включает программы автоматов M 1 и M 2 и четыре новых команды -переходов: . Очевидно, что язык, распознаваемый НКА M , включает все слова из L { M 1 } и из L { M 2 } . С другой стороны, каждое слово переводит q 0 в q f , и после первого шага несущий его путь проходит через q 0 1 или q 0 2 . Так как состояния M 1 и M 2 не пересекаются, то в первом случае этот путь может попасть в q f только по -переходу из q f 1 и тогда . Аналогично, во втором случае .

Для выражения диаграмма НКА , распознающего язык L r , представлена на следующем рисунке.

У этого автомата множество состояний , начальное состояние q 0 = q 0 1 , заключительное состояние q f =q f 2 , а программа включает программы автоматов M 1 и M 2 и одну новую команду - -переход из заключительного состояния M 1 в начальное состояние M 2 , т.е. . Здесь также очевидно, что всякий путь из q 0 = q 0 1 в q f =q f 2 проходит через -переход из q f 1 в q 0 2 . Поэтому всякое слово , допускаемое M , представляет конкатенацию некоторого слова из L M1 } с некоторым словом из L M2 } , и любая конкатенация таких слов допускается. Следовательно, НКА M распознает язык .

Пусть r = r 1 * . Диаграмма НКА , распознающего язык L r =L r1* = L M1 * представлена на рис. 5.3 .

У этого автомата множество состояний , где q 0 - это новое начальное состояние, q f - новое (единственное!) заключительное состояние, а программа включает программу автомата M 1 и четыре новых команды -переходов: . Очевидно, . Для непустого слова w по определению итерации для некоторого k >= 1 слово w можно разбить на k подслов: w=w 1 w 2 ... w k и все . Для каждого i= 1,... ,k слово w i переводит q 0 1 в q f 1 . Тогда для слова w в диаграмме M имеется путь

Следовательно, . Обратно, если некоторое слово переводит q 0 в q f , то либо оно есть либо его несет путь , который, перейдя из q 0 в q 0 1 и затем пройдя несколько раз по пути из q 0 1 в q f 1 и вернувшись из q f 1 в q 0 1 по -переходу, в конце концов из q f 1 по -переходу завершается в q f . Поэтому такое слово .

Из теорем 4.2 и 5.1 непосредственно получаем

Следствие 5.1 . Для каждого регулярного выражения можно эффективно построить детерминированный конечный автомат , который распознает язык, представляемый этим выражением.

Это утверждение - один из примеров теорем синтеза : по описанию задания (языка как регулярного выражения ) эффективно строится программа (ДКА), его выполняющая. Справедливо и обратное утверждение - теорема анализа .

Теорема 5.2 . По каждому детерминированному (или недетерминированному) конечному автомату можно построить регулярное выражение , которое представляет язык, распознаваемый этим автоматом.

Доказательство этой теоремы достаточно техническое и выходит за рамки нашего курса.

Таким образом, можно сделать вывод , что класс конечно автоматных языков совпадает с классом регулярных языков . Далее мы будем называть его просто классом автоматных языков .

Автомат M r , который строится в доказательстве теоремы 5.1

ДКА является частным случаем НКА. В нем:

нет состояния с ε-переходами;

для каждого состояния S и входного символа а существует не более одной дуги, исходящей из S и помеченной а.

ДКА имеет лишь максимум один переход для любого входного символа из каждого состояния. Если для представления функции переходов ДКА использовать таблицу, то в каждой записи будет содержаться лишь одно состояние. Таким образом, легко проверить, допускает ли данный ДКА некоторую строчку, так как есть лишь один путь из стартового состояния, который помечен этой строкой.

На рисунке 3 показан граф переходов ДКА, допускающий тот же язык (a|b) * a(a|b)(a|b), что и НКА на рисунке 1.

Рисунок 3. ДКА, допускающий строку (a|b) * a(a|b)(a|b).

Детерминированный конечный автомат M, допускающий данный язык:

M = {{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, {a, b}, D, 1, {3, 5, 6, 8}}

Функция переходов D определяется так:

Построение нка по регулярному выражению

1. Для ε НКА имеет следующий вид (0 – начальное состояние, 1 – конечное):

2. Для а, входящего в данный язык НКА:

3. Пусть N(s) и N(t) – НКА для регулярных выражений s и t.

Для регулярного выражения s|t составной НКА имеет следующий вид:

b. Для регулярного выражения st НКА:

с. Для выражения s* НКА имеет вид:

d. Для выражения в скобках (s) используется НКА N(s) как в пункте а.

Каждое новое состояние получает индивидуальное имя. Построение НКА N(r) имеет следующие свойства:

N(r) имеет количество состояний, которое не превышает количества символов более чем в 2 раза.

N(r) имеет ровно одно начальное и одно конечное состояние. Конечное состояние не имеет исходящих переходов.

Каждое состояние N(r) имеет либо 1 переход для символа из алфавита (), либо не более 2-й исходящих ε-переходов.

Преобразование нка в дка.

НКА на рисунке 1 имеет 2 перехода из состояния 0 для символа а: состояния 0 и 1. Такой переход неоднозначен, как и переход по ε. Моделирование таких НКА с помощью компьютерной программы значительно затрудняется. Определение допустимости утверждает, что должен существовать некоторый путь из начального состояния к конечному, но когда есть несколько путей для одной и той же входной строки, их надо рассматривать все, чтобы найти путь к заключительному состоянию или выяснить, что такого пути нет.

В таблице переходов НКА каждой записи соответствует множество состояний, а в таблице переходов ДКА – лишь одно. Суть преобразования состоит в том, что каждое состояние ДКА соответствует множеству состояний НКА. ДКА использует свои состояния для отслеживания всех возможных состояний, в которых НКА может находиться после чтения очередного входного символа. То есть после чтения входного потока ДКА находится в состоянии, которое представляет некоторое множество состояний НКА, достижимых из начального по пути, соответствующему входной строке. Количество таких состояний ДКА может значительно превышать количество состояний НКА (экспоненциальная зависимость), но на практике это встречается крайне редко, а порой в ДКА даже меньше состояний, чем в НКА.

Рассмотрим подобное преобразование на конкретном примере. На рисунке 4 изображен еще один НКА, который допускает язык (a|b) * a(a|b)(a|b) (как и на рисунках 1 и 3).

Рисунок 4. НКА, допускающий язык (a|b) * a(a|b)(a|b)

Изображенный на рисунке переход из состояния 13 в состояние 14 может быть представлен аналогично переходу из 8-го в 13-е состояние.

Построим ДКА для данного языка. Стартовое состояние эквивалентного ДКА представляет собой состояние A ={0, 1, 2, 4, 7}, то есть те состояния, в которые можно попасть из 0 по ε.

Алфавит входных символов представляет собой {a, b}. Из начального состояния А можно вычислить состояние, достижимое по а. Назовем это состояние В = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 14}.

Среди состояний в А только состояние 4 имеет переход по b в состояние 5, так что ДКА имеет переход по b из А в состояние С = {1, 2, 4, 5, 6, 7}.

Если продолжить этот процесс с состояниями В и С, все множества состояний НКА будут помечены. Таким образом будем иметь множества состояний:

A = {0, 1, 2, 4, 7}

В = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 14}

С = {1, 2, 4, 5, 6, 7}

D = {10, 12, 13, 14}

Состояние А – начальное, а состояния B, D, E – заключительные.

Полностью таблица переходов приведена ниже.

Ниже на рисунке 5 приведен сам ДКА для этого языка.

Рисунок 5. ДКА, допускающий язык (a|b) * a(a|b)(a|b)

Список использованной литературы:

Пентус А. Е., Пентус М. Р. – Теория формальных языков

А. Ахо, Р. Сети, Д, Ульман – Компиляторы: принципы, технологии, инструменты.

Для дальнейшего изучения свойств конечных автоматов и, в частности, для решения задачи синтеза важное значение имеет следующая теорема.

Теорема 7.7 (теорема о детерминизации). Для любого конечного автомата может быть построен эквивалентный ему детерминированный конечный автомат.

Для того чтобы доказать теорему, нужно, во-первых, описать алгоритм построения детерминированного конечного автомата по исходному; во-вторых, обосновать этот алгоритм, строго доказав, что он действительно дает конечный автомат, который является детерминированным и эквивалентным исходному. Здесь мы приведем только сам алгоритм построения детерминированного автомата.

Преобразование произвольного конечного автомата к эквивалентному детерминированному осуществляется в два этапа: сначала удаляются дуги с меткой \lambda , затем проводится собственно детерминизация.

1. Удаление λ-переходов (дуг с меткой \lambda ).

Чтобы перейти от исходного конечного автомата M=(V,Q,q_0,F,\delta) к эквивалентному конечному автомату M"=(V,Q",q_0,F",\delta") без λ-переходов, достаточно в исходном графе M проделать следующие преобразования.

а. Все состояния, кроме начального, в которые заходят только дуги с меткой \lambda , удаляются; тем самым определяется множество Q" конечного автомата M" . Понятно, что Q"\subseteq Q . При этом полагаем, что начальное состояние остается прежним.

б. Множество дуг конечного автомата M" и их меток (тем самым и функция переходов M" ) определяется так: для любых двух состояний p,r\in Q",~ p\to_{a}r имеет место тогда и только тогда, когда a\in V , а в графе M имеет место одно из двух: либо существует дуга из p в r , метка которой содержит символ a , либо существует такое состояние q , что p\Rightarrow_{\lambda}^{+}q и q\to_{a}r . При этом вершина q , вообще говоря, может и не принадлежать множеству Q" , т.е. она может и исчезнуть при переходе к автомату M" (рис. 7.11). Если же q\in Q" , то, естественно, в M" сохранится дуга (q,r) и символ a будет одним из символов, принадлежащих метке этой дуги (рис. 7.12).

Таким образом, в M" сохраняются все дуги M , метки которых отличны от \lambda и которые соединяют пару (вершин) состояний из множества Q" (не удаляемых согласно п. а). Кроме этого, для любой тройки состояний p,q,r (не обязательно различных!), такой, что p,r\in Q" и существует путь ненулевой длины из p в q , метка которого равна \lambda (т.е. путь по λ-переходам), а из q в r ведет дуга, метка которой содержит символ a входного алфавита, в M" строится дуга из p в r , метка которой содержит символ a (см. рис. 7.11).

в. Множество заключительных состояний F" конечного автомата M" содержит все состояния q\in Q" , т.е. состояния конечного автомата M , не удаляемые согласно п. а, для которых имеет место q\Rightarrow_{\lambda}^{\ast}q_f для некоторого q_f\in F (т.е. либо состояние q само является заключительным состоянием конечного автомата M , либо из него ведет путь ненулевой длины по дугам с меткой \lambda в одно из заключительных состояний конечного автомата M ) (рис. 7.13).

2. Собственно детерминизация.

Пусть M=(Q,V,q_0,F,\delta) - конечный автомат без λ-переходов. Построим эквивалентный M детерминированный конечный автомат M_1 .

Этот конечный автомат определяется таким образом, что его множество состояний есть множество всех подмножеств множества состояний конечного автомата M . Это значит, что каждое отдельное состояние конечного автомата M_1 определено как некоторое подмножество множества состояний конечного автомата M . При этом начальным состоянием нового конечного автомата (т.е. M_1 ) является одноэлементное подмножество, содержащее начальное состояние старого конечного автомата (т.е. M ), а заключительными состояниями нового конечного автомата являются все такие подмножества Q , которые содержат хотя бы одну заключительную вершину исходного конечного автомата M .

Впредь, допуская некоторую вольность речи, мы будем иногда называть состояния конечного автомата M_1 состояниями-множествами. Важно, однако, четко усвоить, что каждое такое состояние-множество есть отдельное состояние нового конечного автомата, но никак не множество его состояний. В то же время для исходного ("старого") конечного автомата M это именно множество его состояний. Образно говоря, каждое подмножество состояний старого конечного автомата "свертывается" в одно состояние нового конечного автомата*.

*Формально следовало бы определить множество Q_1 как множество, находящееся во взаимно однозначном соответствии с множеством 2^Q , но нам все-таки удобнее считать, что Q_1 совпадает с 2^Q , - ведь множеством состояний конечного автомата может быть любое непустое конечное множество.

Функция переходов нового конечного автомата определена так, что из состояния-множества S по входному символу а конечный автомат M_1 переходит в состояние-множество, представляющее собой объединение всех множеств состояний старого конечного автомата, в которые этот старый конечный автомат переходит по символу а из каждого состояния множества S . Таким образом, конечный автомат M_1 является детерминированным по построению.

Приведенное выше словесное описание можно перевести в формулы следующим образом: строим конечный автомат M_1 так, что

M_1=(Q_1,V,\{q_0\},F_1,\delta_1) , где

\begin{cases}Q_1=2^Q,\quad F_1=\{T\colon\, T\cap F\ne\varnothing,~T\in2^Q\},\\ (\forall S\subseteq Q)(\forall a\in V)\Bigl(\delta_1(S,a)= \bigcup\limits_{q\in S}\delta(q,a)\Bigr). \end{cases}

Обратим внимание на то, что среди состояний нового конечного автомата есть состояние \varnothing , причем, согласно (7.8), \delta_1(\varnothing,a)=\varnothing для любого входного символа a . Это значит, что, попав в такое состояние, конечный автомат M_1 уже его не покинет. Вообще же любое состояние q конечного автомата, такое, что для любого входного символа a имеем \delta(q,a)=q , называют поглощающим состоянием конечного автомата. Таким образом, состояние \varnothing детерминированного конечного автомата M_1 является поглощающим. Полезно заметить также, что \delta_1(S,a)=\varnothing тогда и только тогда, когда для каждого q\in S (состояния старого конечного автомата из множества состояний S ) \delta(q,a)=\varnothing , т.е. в графе M из каждого такого состояния q не выходит ни одна дуга, помеченная символом a .

Можно доказать, что полученный по такому алгоритму конечный автомат эквивалентен исходному.

Пример 7.9. Детерминизируем конечный автомат, изображенный на рис. 7.14.

Эквивалентный конечный автомат без λ-переходов изображен на рис. 7.15. Заметим, что вершина q_2 исчезает, так как в нее заходят только "пустые" дуги.

Чтобы детерминизировать полученный автомат, совершенно не обязательно выписывать все его 2^3=8 состояний, среди которых многие могут оказаться не достижимыми из начального состояния \{q_0\} . Чтобы получить достижимые из \{q_0\} состояния, и только их, воспользуемся так называемым методом вытягивания.

Этот метод в общем случае можно описать так.

В исходном конечном автомате (без пустых дуг) определяем все множества состояний, достижимых из начального, т.е. для каждого входного символа a находим множество \delta(q_0,a) . Каждое такое множество в новом автомате является состоянием, непосредственно достижимым из начального.

Для каждого из определенных состояний-множеств S и каждого входного символа a находим множество \textstyle{\mathop{\bigcup\limits_{q\in S} \delta(q,a)}\limits^{\phantom{A}^{.}}} . Все полученные на этом шаге состояния будут состояниями нового (детерминированного) автомата, достижимыми из начальной вершины по пути длины 2. Описанную процедуру повторяем до тех пор, пока не перестанут появляться новые состояния-множества (включая пустое!). Можно показать, что при этом получаются все такие состояния конечного автомата M_1 , которые достижимы из начального состояния \{q_0\} .

Для конечного автомата на рис. 7.15 имеем:

\begin{aligned}& \delta_1(\{q_0\},a)=\{q_1\};\qquad \delta_1(\{q_0\},b)=\{q_1,q_3\};\\ & \delta_1(\{q_1\},a)=\{q_1\};\qquad \delta_1(\{q_1\},b)=\{q_1\};\\ & \delta_1(\{q_1,q_3\},a)= \delta(q_1,a)\cup \delta(q_3,a)= \{q_1\}\cup\{q_1\}=\{q_1\};\\ & \delta_1(\{q_1,q_3\},b)= \delta(q_1,b)\cup \delta(q_3,b)= \{q_1\}\cup\{q_1\}=\{q_1\}. \end{aligned}

Так как новых состояний-множеств больше не появилось, процедура "вытягивания" на этом заканчивается, и мы получаем граф, изображенный на рис. 7.16.

Дополнение регулярного языка

Одним из важных теоретических следствий теоремы о детерминизации является следующая теорема.

Теорема 7.8. Дополнение регулярного языка есть регулярный язык.

Пусть L - регулярный язык в алфавите V . Тогда дополнение языка L (как множества слов) есть язык \overline{L}=V^{\ast}\setminus L .

Согласно теореме 7.7, для регулярного языка L может быть построен детерминированный конечный автомат M , допускающий L . Поскольку в детерминированном автомате из каждой вершины по каждому входному символу определен переход в точности в одну вершину, то, какова бы ни была цепочка x в алфавите V , для нее найдется единственный путь в M , начинающийся в начальном состоянии, на котором читается цепочка x . Ясно, что цепочка x допускается автоматом M , то есть x\in L(M) , тогда и только тогда, когда последнее состояние указанного пути является заключительным. Отсюда следует, что цепочка x\notin L(M) тогда и только тогда, когда последнее состояние указанного пути не заключительное. Но нам как раз и нужен конечный автомат M" , который допускает цепочку x тогда и только тогда, когда ее не допускает исходный конечный автомат M . Следовательно, превращая каждое заключительное состояние M в не заключительное и наоборот, получим детерминированный автомат, допускающий дополнение языка L .

Доказанная теорема позволяет строить конечный автомат, не допускающий определенное множество цепочек, следующим методом: строим сначала автомат, допускающий данное множество цепочек, затем детерминизируем его и переходим к автомату для дополнения так, как это указано в доказательстве теоремы 7.8.

Пример 7.10. а. Построим конечный автомат, допускающий все цепочки в алфавите \{0;1\} , кроме цепочки 101.

Сначала построим конечный автомат, допускающий единственную цепочку 101. Этот автомат приведен на рис. 7.17.

Этот автомат квазидетерминированный, но не детерминированный, так как он не полностью определен. Проведем его детерминизацию и получим детерминированный эквивалентный конечный автомат, изображенный на рис. 7.18.

И наконец, переходя к дополнению (и переименовывая состояния), получим автомат, изображенный на рис. 7.19.

Обратим внимание, что в полученном автомате все вершины, кроме вершины s_3 , являются заключительными.

Заметим также, что переход к дополнению, о котором идет речь в доказательстве теоремы 7.8, может быть проведен только в детерминированном автомате. Если бы мы поменяли ролями заключительные и незаключительные вершины в автомате, изображенном на рис. 7.17, то получили бы автомат, допускающий язык \{\lambda,1,10\} , который не является - как нетрудно сообразить - множеством всех цепочек, отличных от цепочки 101.

Отметим также, что конечный автомат на рис. 7.19 допускает все цепочки, содержащие вхождение цепочки 101, но не совпадающие с самой этой цепочкой. Вот, например, путь, несущий цепочку 1011: s_0,s_1,s_2,s_3,t .

б. Построим конечный автомат, допускающий все цепочки в алфавите \{0;1\} , кроме тех, которые содержат вхождение цепочки 101. Рассмотрим язык L , каждая цепочка которого содержит вхождение цепочки 101. Его можно задать так:

L=(0+1)^{\ast}101(0+1)^{\ast}.

Нам нужно построить автомат для дополнения языка L .

Непосредственно по регулярному выражению в этом случае легко построить конечный автомат, допускающий язык L (рис. 7.20).

Затем методом "вытягивания" проведем детерминизацию. Результат детерминизации представлен на рис. 7.21.

Для полного решения задачи осталось только на рис. 7.21 поменять ролями заключительные и не заключительные вершины (рис. 7.22).

в. Обсудим идею построения конечного автомата, допускающего те и только те цепочки в алфавите \{0;1\} , которые не начинаются цепочкой 01 и не заканчиваются цепочкой 11 (т.е. не разрешаются цепочки вида 01x и цепочки вида y11 , каковы бы ни были цепочки x,y\in\{0;1\} ).

В этом случае дополнением языка, для которого нужно построить конечный автомат, является множество всех таких цепочек нулей и единиц, которые начинаются цепочкой 01 или заканчиваются цепочкой 11. Допускающий это множество цепочек автомат строится как автомат для объединения 01(0+1)^{\ast}+(0+1)^{\ast}11 тем способом, который изложен при доказательстве теоремы Клини (см. теорему 7.6).

Из свойства замкнутости класса регулярных языков относительно дополнения (см. теорему 7.8) немедленно вытекает замкнутость этого класса относительно пересечения, теоретико-множественной и симметрической разности.

Следствие 7.3. Для любых двух регулярных языков L_1 и L_2 справедливы следующие утверждения:

1) пересечение L_1\cap L_2 регулярно;
2) разность L_1\setminus L_2 регулярна;
3) симметрическая разность L_1\vartriangle L_2 регулярна.

Справедливость утверждений вытекает из тождеств:

\begin{aligned} &{\scriptstyle{\mathsf{1)}}}\quad L_1\cap L_2= \overline{\overline{L_1} \cup\overline{L_2}}\,;\\ &{\scriptstyle{\mathsf{2)}}}\quad L_1\setminus L_2= L_1\cap \overline{L_2}\,;\\ &{\scriptstyle{\mathsf{3)}}}\quad L_1\,\triangle\,L_2 = (L_1\cup L_2)\setminus (L_1\cap L_2).\end{aligned}

Во-первых, полученные результаты позволяют утверждать, что класс регулярных языков относительно операций объединения, пересечения и дополнения является булевой алгеброй, в которой единицей служит универсальный язык, а нулем - пустой язык. Во-вторых, эти алгебраические свойства семейства регулярных языков позволяют решить важную проблему распознавания эквивалентности двух произвольных конечных автоматов.

Согласно определению 7.10, конечные автоматы эквивалентны, если допускаемые ими языки совпадают. Поэтому, чтобы убедиться в эквивалентности автоматов M_1 и M_2 , достаточно доказать, что симметрическая разность языков L(M_1) и L(M_2) пуста. Для этого, в свою очередь, достаточно построить автомат, допускающий эту разность, и убедиться в том, что допускаемый им язык пуст. В общем случае проблему распознавания того, что язык конечного автомата пуст, называют проблемой пустоты для конечного автомата. Чтобы решить эту проблему, достаточно найти множество заключительных состояний автомата, достижимых из начального состояния. Так как конечный автомат - это ориентированный граф, то решить такую проблему можно, например, с помощью, поиска в ширину. Язык, допускаемый конечным автоматом, пуст тогда и только тогда, когда множество заключительных состояний, достижимых из начального состояния, пусто. Практически эквивалентность конечных автоматов предпочтительнее распознавать, используя алгоритм минимизации, но сейчас нам важно подчеркнуть, что принципиальная возможность решить проблему эквивалентности вытекает из теоремы 7.7 и ее алгебраических следствий.

Основные определения Регулярные выражения в алфавите Σ и регулярные множества, которые они обозначают, определяются рекурсивно следующим образом: 1) – регулярное выражение, обозначающее регулярное множество; 2) e – регулярное выражение, обозначающее регулярное множество {e}; 3) если a Σ, то a – регулярное выражение, обозначающее регулярное множество {a}; 4) если p и q – регулярные выражения, обозначающие регулярные множества P и Q, то а) (p+q) – регулярное выражение, обозначающее P Q; б) pq – регулярное выражение, обозначающее PQ; в) p* – регулярное выражение, обозначающее P*; 5) ничто другое не является регулярным выражением.

Основные определения Расстановка приоритетов: * (итерация) – наивысший приоритет; конкатенация; + (объединение). Таким образом, 0 + 10* = (0 + (1 (0*))). Примеры: 1. 01 означает {01}; 2. 0* – {0*}; 3. (0+1)* – {0, 1}*; 4. (0+1)* 011 – означает множество всех цепочек, составленных из 0 и 1 и оканчивающихся цепочкой 011; 5. (a+b) (a+b+0+1)* означает множество всех цепочек {0, 1, a, b}*, начинающихся с a или b.

Основные определения Леммы: 1) α + β = β + α 2) * = e 3) α + (β + γ) = (α + β) + γ 4) α(βγ) = (αβ)γ 5) α(β + γ) = αβ + αγ 6) (α + β)γ = αγ + βγ 7) αe = eα = α 8) α = 9) α+α* = α* 10) (α*)* = α* 11) α+α = α 12) α+ = α

Связь РВ и РМ РМ – языки, порождаемые РВ. Например: x = a+b, y = c+d, x X = {a, b}, y Y = {c, d}, x + y X Y = {a, b, c, d}. Конкатенация: xy XY = {ac, ad, bc, bd}. к(и+о)т {к}{и, о}{т} = {кит, кот} или по леммам № 5 и № 6 к(и+о)т = кит + кот {кит, кот}. Итерация: x = a, x* X* = {e, a, aaa, …}, т. е. x* = e + xxx + …

Связь РВ и РМ Итерация конкатенации и объединения: (xy)* = e + xyxyxy + … (x + y)* = e + (x + y)(x + y) + … = = e + xx + xy + yx + yy + xxx + … Пример: 0 + 1(0+1)* {0} ({1} {0, 1}*) = {0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111…}. Объединение коммутативно: x + y = y + x Конкатенация – нет: xy ≠ yx

Связь РВ и РМ Примеры на приоритет: x + yz {x, yz}, (x + y)z {xz, yz}, x + y* {e, x, y, yyy, yyyy, …}, (x + y)* {e, x, y, xx, xy, yx, yy, xxx, …}, (xy)* {e, xyxy, …}, xy* {x, xyy, xyyy, …}. Новые леммы: a* + e = a*; (a + e)* = a*; a*a* = a*; e* = e; и т. д.

Регулярные системы уравнений Уравнение с регулярными коэффициентами X = a. X + b имеет решение (наименьшую неподвижную точку) a*b: aa*b + b = (aa* + e)b = a*b Система уравнений с регулярными коэффициентами: X 1 = α 10 + α 11 X 1 + α 12 X 2 + … + α 1 n. Xn X 2 = α 20 + α 21 X 1 + α 22 X 2 + … + α 2 n. Xn …………………………. . Xn = αn 0 + αn 1 X 1 + αn 2 X 2 + … + αnn. Xn Неизвестные – Δ = {X 1, X 2, …, Xn}.

Регулярные системы уравнений Алгоритм решения (метод Гаусса): Шаг 1. Положить i = 1. Шаг 2. Если i = n, перейти к шагу 4. Иначе записать уравнения для Xi в виде Xi = αXi + β (β = β 0 + βi+1 Xi+1 + … + βn. Xn). Затем в правых частях для уравнений Xi+1, …, Xn заменим Xi регулярным выражением α*β. Шаг 3. Увеличить i на 1 и вернуться к шагу 2. Шаг 4. Записать уравнение для Xn в виде Xn = αXn + β. Перейти к шагу 5 (при этом i = n). Шаг 5. Уравнение для Xi имеет вид Xi = αXi + β. Записать на выходе Xi = α*β, в уравнениях для Xi– 1, …, X 1 подставляя α*β вместо Xi. Шаг 6. Если i = 1, остановиться, в противном случае уменьшить i на 1 и вернуться к шагу 5.

Преобразование ДКА в РВ Для ДКА M = (Q, Σ, δ, q 0, F) составим систему с регулярными коэффициентами где Δ = Q: 1. полагаем αij: = ; 2. если δ(Xi, a) = Xj, a Σ, то αij: = αij + a; 3. если Xi F или δ(Xi,) = HALT, то αi 0: = e. После решения искомое РВ будет X 1 = q 0.

Преобразование ДКА в РВ Пример: для числа с фиксированной точкой получим систему q 0 = + q 0 + sq 1 + pq 2 + dq 3 + q 4 q 1 = + q 0 + q 1 + pq 2 + dq 3 + q 4 q 2 = + q 0 + q 1 + q 2 + q 3 + dq 4 q 3 = e + q 0 + q 1 + q 2 + dq 3 + pq 4 = e + q 0 + q 1 + q 2 + q 3 + dq 4 Здесь: s – знак числа, s = "+" + "–"; p – десятичная точка, p = ". "; d – цифры, d = "0" + "1" + … + "9".

Преобразование ДКА в РВ Решение: q 0 = *(sq 1 + pq 2 + dq 3 + q 4 +) = sq 1 + pq 2 + dq 3 q 1 = + q 0 + q 1 + pq 2 + dq 3 + q 4 = pq 2 + dq 3, q 2 = + q 0 + q 1 + q 2 + q 3 + dq 4 = dq 4, q 3 = e + q 0 + q 1 + q 2 + dq 3 + pq 4 = dq 3 + pq 4 + e, q 4 = e + q 0 + q 1 + q 2 + q 3 + dq 4 = dq 4 + e. Из третьего уравнения: q 3 = dq 3 + pq 4 + e = d*(pq 4 + e). Из четвертого уравнения: q 4 = dq 4 + e = d*.

Преобразование ДКА в РВ Обратный ход: q 3 = d*(pq 4 + e) = d*(pd* + e), q 2 = dq 4 = dd*, q 1 = pq 2 + dq 3 = pdd* + dd*(pd* + e), q 0 = sq 1 + pq 2 + dq 3 = s(pdd* + dd*(pd* + e)) + pdd* + dd*(pd* + e). Таким образом, данному ДКА соответствует РВ s(pdd* + dd*(pd* + e)) + pdd* + dd*(pd* + e). Упростим: s(pdd* + dd*(pd* + e)) + pdd* + dd*(pd* + e) = = spdd* + sdd*(pd* + e) + pdd* + dd*(pd* + e) = (s + e)(pdd* + dd*(pd* + e)) Для более короткой записи можно использовать положительную итерацию aa* = a*a = a+: (s + e)(pdd* + dd*(pd* + e)) = (s + e)(pd+ + d+pd* + d+)

Преобразование ДКА в РВ Сопоставление графа функции переходов ДКА основным операциям с регулярными выражениями: q 0 a b a q 1 q 2 q 1 q 0 a+b a b ab q 2 a*

Преобразование ДКА в РВ Более сложные комбинации операций: q 0 a q 1 b b b q 0 a q 2 q 1 (a + e)b c b q 0 q 2 ab(cab)* q 0 (a + b)* q 0 a q 1 aa* = a+ q 0 a q 1 a b a a a (ab)+ q 2 b q 1 c e + (a + b)c*

Преобразование ДКА в РВ Для РВ (s + e)(pd+ + d+(pd* + e)): q 0 p q 2 d s p q 1 d d q 3 d p q 4 d q 5 d

Программирование РВ Регулярные выражения: Встроены во многие языки программирования (PHP, Java. Script, …); Реализованы в виде подключаемых компонентов (например, класс Regex для платформы. NET). Отличия в формах записи: x? = x + e x{1, 3} = x + xxx и т. д.

Программирование РВ Конструкции класса Regex (System. Text. Regular. Expressions): Символ Интерпретация Escape-последовательности b При использовании его в квадратных скобках соответствует символу «←» (u 0008) t, r, n, a, f, v Табуляция (u 0009), возврат каретки (u 000 D), новая строка (u 000 A) и т. д. c. X Управляющий символ (например, c. C – это Ctrl+C, u 0003) e Escape (u 001 B) ooo Символ ASCII в восьмеричной системе xhh Символ ASCII в шестнадцатеричной системе uhhhh Символ Unicode Следующий символ не является специальным символом РВ. Этим символом нужно экранировать все специальные символы Пример (в примере приведен шаблон и строка поиска, в строке найденные совпадения подчеркнуты): @"rnw+" – "rn. Здесь имеютсяnдве строки".

Программирование РВ Подмножества символов. Любой символ, кроме конца строки (n) Любой символ из множества [^xxx] Любой символ, кроме символов из множества Любой символ из диапазона ] Вычитание одного множества или диапазона из другого p{name} Любой символ, заданный категорией Unicode с именем name P{name} Любой символ, кроме заданных категорией Unicode с именем name w Множество символов, используемых при задании идентификаторов W Множество символов, не используемых при задании идентификаторов s Пробелы S Все, кроме пробелов d Цифры D Не цифры Примеры: @". +" – "rn. Здесь имеютсяnдве строки"; @"+" – "0 xabcfx"; @"[^fx]+" – "0 xabcfx"; @"+" – "0 xabcfx"; @"[^a-f]+" – "0 xabcfx"; @"]+" – "0 xabcfx"; @"p{Lu}" – "City Lights"; // Lu – прописные буквы @"P{Lu}" – "City"; @"p{Is. Cyrillic}" – "ха. OS"; // Is. Cyrillic – русские буквы

Программирование РВ Привязка ^, A В начале строки $, Z В конце строки или до символа «n» в конце строки z В конце строки G В том месте, где заканчивается предыдущее соответствие b Граница слова B Любая позиция не на границе слова Примеры: @"G(d)" – "(1)(3)(5)(9) "; // три соответствия (1), (2) и (3) @"bnS*ionb" – "nation donation"; @"Bendw*b" – "end sends endure lender".

Программирование РВ Операции (кванторы) *, *? Итерация +, +? Положительная итерация? , ? ? Ноль или одно соответствие {n}, {n}? Точно n соответствий {n, }, {n, }? По меньшей мере, n соответствий {n, m}, {n, m}? От n до m соответствий Примеры (первые кванторы – жадные, ищут как можно большее число элементов, вторые – ленивые, ищут как можно меньшее число элементов): @"d{3, }" – "888 -5555"; @"^d{3}" – "913 -913"; @"-d{3}$" – "913 -913"; @"5+? 5" – "888 -5555"; // три совпадения – 55, 55 и 55 @"5+5" – "888 -5555".

Программирование РВ Группирование () Группа, автоматически получающая номер (? :) Не сохранять группу (?) или (? "имя") При обнаружении соответствия создается именованная группа (?) или Удаление ранее определенной группы и (? "имя– имя") сохранение в новой группе подстроки между ранее определенной группой и новой группой (? imnsx:) Включает или выключает в группе любую из пяти (? –imnsx:) возможных опций: i – нечувствительность к регистру; s – одна строка (тогда «. » – это любой символ); m – многострочный режим («^» , «$» – начало и конец каждой строки); n – не захватывать неименованные группы; x – исключить не преобразованные в escapeпоследовательность пробелы из шаблона и включить комментарии после знака номера (#) (? =) Положительное утверждение просмотра вперед нулевой длины

Программирование РВ (? !) Отрицательное утверждение просмотра вперед нулевой длины (?) Невозвращаемая (жадная) часть выражения Примеры: @"(an)+" – "bananas annals"; @"an+" – "bananas annals"; // сравните, три совпадения – an, an и ann @"(? i: an)+" – "ba. NAnas annals"; @"+(? =d)" – "abc xyz 12 555 w"; @"(?

Src="https://сайт/presentation/-112203859_437213351/image-24.jpg" alt="Программирование РВ Ссылки число Ссылка на группу k Ссылка на именованную группу Примеры: @"> Программирование РВ Ссылки число Ссылка на группу k Ссылка на именованную группу Примеры: @"(w)1" – "deep"; @"(? w)k " – "deep". Конструкции изменения | Альтернатива (соответствует операции объединения) (? (выражение)да|нет) Сопоставляется с частью «да» , если выражение соответствует; в противном случае сопоставляется с необязательной частью «нет» (? (имя)да|нет), Сопоставляется с частью «да» , если названное имя (? (число)да|нет) захвата имеет соответствие; в противном случае сопоставляется с необязательной частью «нет» Пример: @"th(e|is|at)" – "this is the day";

Программирование РВ Подстановки $число Замещается часть строки, соответствующая группе с указанным номером ${имя} Замещается часть строки, соответствующая группе с указанным именем $$ Подставляется $ $& Замещение копией полного соответствия $` Замещение текста входной строки до соответствия $" Замещение текста входной строки после соответствия $+ Замещение последней захваченной группы $_ Замещение всей строки Комментарии (? #) Встроенный комментарий # Комментарий до конца строки

Программирование РВ Результаты работы Regex: Regex Matches() Match. Collection Match Groups() Group. Collection Group Captures() Capture. Collection Captures()

Программирование РВ Пример на языке C++ CLI (Visual C++/CLR/Консольное приложение CLR): int main() { Regex ^r = gcnew Regex(L"((\d)+)+"); Match ^m = r->Match(L"123 456"); int match. Count = 0; while (m->Success) { Console: : Write. Line(L"Соответствие {0}", ++match. Count); for (int i = 1; i Groups->Count; i++) { Group ^g = m->Groups[i]; Console: : Write. Line(L" Группа {0} = "{1}"", i, g->Value); for (int j = 0; j Captures->Count; j++) { Capture ^c = g->Captures[j]; Console: : Write. Line(L" Захват {0} = "{1}", позиция = {2}, длина = {3}", j, c, c->Index, c->Length); } } m = m->Next. Match(); } return 0; } System: : Text: : Regular. Expressions

Включение действий и поиск ошибок Ограничение количества значащих цифр в числе: (s + e)(pd+ + d+(pd* + e)) s = +|p = . d = d s + e = s? = (+|-)? pd* + e = (pd*)? = (. d*)? @"(+|-)? (. d+|d+(. d*)?)" или @"^(+|-)? (. d+|d+(. d*)?)$" Regex r = new Regex(@"^(+|-)? (. (? "digit"d)+|(? "digit"d)+(. (? "digit"d)*)?)$"); Match m = r. Match("+1. 23456789"); if (m. Success) { Group g = m. Groups["digit"]; if (g. Captures. Count

Включение действий и поиск ошибок Определение позиции ошибки: Regex r = new Regex(@"(+|-)? (. (? "digit"d)+|(? "digit"d)+(. (? "digit"d)*)?)"); string str = "+1. 2345!678"; Match m = r. Match(str); if (m. Success) { Group g = m. Groups["digit"]; if (g. Captures. Count 0) Console. Write. Line("Ошибка в позиции 1: неожиданный символ "{0}"", str); else if (m. Length

Включение действий и поиск ошибок Определение позиции ошибки: 1. первая позиция входной цепочки (1), если первое соответствие не начинается с позиции Index = 0; 2. позиция, следующая за последним соответствием (match. Length + 1), если она не совпадает с последней позицией входной цепочки; 3. позиция первого разрыва между соответствиями (match[i]. Index + match[i]. Length + 1), если символ, следующий за предыдущим соответствием, не является первым символом следующего соответствия.

Index) break; index = m[i]. Index + m[i]. Length; } Console. Write. Line("Ошибка в позиции {0} "{1}"", index + 1, str); } «abc. xyz. pqr» – правильно; «+abc. xyz. pqr» – ошибка в позиции 1 («+»); «abc. xyz. pqr!» – ошибка в позиции 12 («!»); «abc. xyz!. pqr» – ошибка в позиции 8 («!»).

Включение действий и поиск ошибок Но! «abc. xyz. +pqr» – ошибка в позиции 8 («. »). Новый вариант шаблона: @"w+(. w+)*(. (? !$))? " Проверка: «abc. xyz. +pqr» – ошибка в позиции 9 («+»); «abc. xyz. pqr. » – ошибка в позиции 12 («. »).

Сбалансированные определения: «(? "x")» добавляет в коллекцию с именем «x» один элемент; «(? "-x")» убирает из коллекции «x» один элемент; «(? (x)(? !))» проверяет, что в коллекции «x» не осталось элементов. Язык L, описывающий вложенные операторы языка Pascal «begin end; »: @"^s*((? "begins+)+(? "-begin"ends*; s*)+)*(? (begin)(? !))$".