§1. Системы линейных уравнений.
Система вида
называется системой m линейных уравнений сn неизвестными.
Здесь
- неизвестные,
- коэффициенты при неизвестных,
- свободные члены уравнений.
Если все свободные члены уравнений
равны нулю, система называется однородной
.Решением
системы называется
совокупность чисел
,
при подстановке которых в систему вместо
неизвестных все уравнения обращаются
в тождества. Система называетсясовместной
, если она имеет хотя бы
одно решение. Совместная система, имеющая
единственное решение, называетсяопределенной
. Две системы называютсяэквивалентными
, если множества их
решений совпадают.
Система (1) может быть представлена в матричной форме с помощью уравнения
(2)
.
§2. Совместность систем линейных уравнений.
Назовем расширенной матрицей системы (1) матрицу
Теорема Кронекера - Капелли . Система (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы:
.
§3. Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными.
Рассмотрим неоднородную систему n линейных уравнений сn неизвестными:
(3)
Теорема Крамера
.Если главный
определитель системы (3)
,
то система имеет единственное решение,
определяемое по формулам:
т.е. 
,
где
- определитель, получаемый из определителя
заменой
-го
столбца на столбец свободных членов.
Если
,
а хотя бы один из
≠0,
то система решений не имеет.
Если
,
то система имеет бесконечно много
решений.
Систему (3) можно решить, используя ее
матричную форму записи (2). Если ранг
матрицы А
равенn
,
т.е.
,
то матрицаА
имеет обратную
.
Умножив матричное уравнение
на матрицу
слева, получим:
.
Последнее равенство выражает способ решения систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
Пример. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.
Решение.
Матрица
невырожденная, так как
,
значит, существует обратная матрица.
Вычислим обратную матрицу:
.
,
Задание . Решить систему методом Крамера.
§4. Решение произвольных систем линейных уравнений.
Пусть дана неоднородная система линейных уравнений вида (1).
Предположим, что система совместна,
т.е. выполнено условие теоремы
Кронекера-Капелли:
.
Если ранг матрицы
(числу неизвестных), то система имеет
единственное решение. Если
,
то система имеет бесконечно много
решений. Поясним.
Пусть ранг матрицы r
(A
)=
r
<
n
.
Поскольку
,
то существует некоторый ненулевой минор
порядкаr
. Назовем его
базисным минором. Неизвестные, коэффициенты
которых образуют базисный минор, назовем
базисными переменными. Остальные
неизвестные назовем свободными
переменными. Переставим уравнения и
перенумеруем переменные так, чтобы этот
минор располагался в левом верхнем углу
матрицы системы:
.
Первые r строк линейно независимы, остальные выражаются через них. Следовательно, эти строки (уравнения) можно отбросить. Получим:
Дадим свободным переменным произвольные числовые значения: . Оставим в левой части только базисные переменные, свободные перенесем в правую часть.
Получили систему r линейных уравнений сr неизвестными, определитель которой отличен от 0. Она имеет единственное решение.
Эта система называется общим решением
системы линейных уравнений (1). Иначе:
выражение базисных переменных через
свободные называется общим решением
системы. Из него можно получить бесконечное
множествочастных решений
, придавая
свободным переменным произвольные
значения. Частное решение, полученное
из общего при нулевых значениях свободных
переменных называетсябазисным
решением
. Число различных базисных
решений не превосходит
.
Базисное решение с неотрицательными
компонентами называетсяопорным
решением системы.
Пример
.
,r
=2.
Переменные
- базисные,
- свободные.
Сложим уравнения; выразим
через
:
- общее решение.
- частное решение при
.
- базисное решение, опорное.
§5. Метод Гаусса.
Метод Гаусса - это универсальный метод исследования и решения произвольных систем линейных уравнений. Он состоит в приведении системы к диагональному (или треугольному) виду путем последовательного исключения неизвестных с помощью элементарных преобразований, не нарушающих эквивалентности систем. Переменная считается исключенной, если она содержится только в одном уравнении системы с коэффициентом 1.
Элементарными преобразованиями системы являются:
Умножение уравнения на число, отличное от нуля;
Сложение уравнения, умноженного на любое число, с другим уравнением;
Перестановка уравнений;
Отбрасывание уравнения 0 = 0.
Элементарные преобразования можно совершать не над уравнениями, а над расширенными матрицами получающихся эквивалентных систем.
Пример .
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы:
.
Выполняя элементарные преобразования, приведем левую часть матрицы к единичному виду: на главной диагонали будем создавать единицы, а вне ее - нули.
Замечание
. Если при выполнении
элементарных преобразований получено
уравнение вида 0= к
(где к
0),
то система несовместна.
Решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных можно оформлять в виде таблицы .
Левый столбец таблицы содержит информацию об исключенных (базисных) переменных. Остальные столбцы содержат коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнений.
В исходную таблицу записывают расширенную матрицу системы. Далее приступают к выполнению преобразований Жордана:
1. Выбирают переменную
,
которая станет базисной. Соответствующий
столбец называют ключевым. Выбирают
уравнение, в котором эта переменная
останется, будучи исключенной из других
уравнений. Соответствующую строку
таблицы называют ключевой. Коэффициент
,
стоящий на пересечении ключевой строки
и ключевого столбца, называют ключевым.
2. Элементы ключевой строки делят на ключевой элемент.
3. Ключевой столбец заполняют нулями.
4. Остальные элементы вычисляют по правилу прямоугольника. Составляют прямоугольник, в противоположных вершинах которого находятся ключевой элемент и пересчитываемый элемент; из произведения элементов, стоящих на диагонали прямоугольника с ключевым элементом, вычитают произведение элементов другой диагонали, полученную разность делят на ключевой элемент.
Пример . Найти общее решение и базисное решение системы уравнений:
Решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||
|
| ||||||
|
|
Общее решение системы:
Базисное решение:
.
Перейти от одного базиса системы к другому позволяет преобразование однократного замещения: вместо одной из основных переменных в базис вводят одну из свободных переменных. Для этого в столбце свободной переменной выбирают ключевой элемент и выполняют преобразования по указанному выше алгоритму.
§6. Нахождение опорных решений
Опорным решением системы линейных уравнений называется базисное решение, не содержащее отрицательных компонент.
Опорные решения системы находят методом Гаусса при выполнении следующих условий.
1. В исходной системе все свободные члены
должны быть неотрицательны:
.
2. Ключевой элемент выбирают среди положительных коэффициентов.
3. Если при переменной, вводимой в базис, имеется несколько положительных коэффициентов, то в качестве ключевой строки берется та, в которой отношение свободного члена к положительному коэффициенту будет наименьшим.
Замечание 1
. Если в процессе исключения
неизвестных появится уравнение, в
котором все коэффициенты неположительны,
а свободный член
,
то система не имеет неотрицательных
решений.
Замечание 2 . Если в столбцах коэффициентов при свободных переменных нет ни одного положительного элемента, то переход к другому опорному решению невозможен.
Пример.
|
|
|
Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.
Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.
Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.
Линейное уравнение
Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y - это неизвестные, значение которых надо найти, b, a - коэффициенты при переменных, c - свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.
Виды систем линейных уравнений
Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.
F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 - функции, а (x, y) - переменные функций.
Решить систему уравнений - это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.
Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.
Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.
Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака "равенство" часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.
Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.
Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.
Простые и сложные методы решения систем уравнений
Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.
Основная задача при обучении способам решения - это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода
Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.
Решение систем методом подстановки
Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе
Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:
Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.
Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.
Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:
Решение с помощью алгебраического сложения
При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.
Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.
Алгоритм действий решения:
- Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
- Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
- Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.
Способ решения введением новой переменной
Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.
Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.
Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.
Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 - 4*a*c, где D - искомый дискриминант, b, a, c - множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.
Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.
Наглядный метод решения систем
Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.
Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.
Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.
Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.
В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.
Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.
Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.
Матрица и ее разновидности
Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. n*m имеет n - строк и m - столбцов.
Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей - вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.
Обратная матрица - это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.
Правила преобразования системы уравнений в матрицу
Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение - одна строка матрицы.
Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.
Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y - только во второй.
При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.
Варианты нахождения обратной матрицы
Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K -1 = 1 / |K|, где K -1 - обратная матрица, а |K| - определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.
Определитель легко вычисляется для матрицы "два на два", необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта "три на три" существует формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.
Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом
Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.
В примере a nm - коэффициенты уравнений, матрица - вектор x n - переменные, а b n - свободные члены.
Решение систем методом Гаусса
В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса - Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.
Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 - соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.
После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.
В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:
Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных x n .
Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.
Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.
Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:
Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.
Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака "стрелка" и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.
В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.
Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.
Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.
Исследовать систему линейных агебраических уравнений (СЛАУ) на совместность означает выяснить, есть у этой системы решения, или же их нет. Ну и если решения есть, то указать сколько их.
Нам понадобятся сведения из темы "Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи" . В частности, нужны такие понятия, как матрица системы и расширенная матрица системы , поскольку именно на них опирается формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Как обычно, матрицу системы будем обозначать буквой $A$, а расширенную матрицу системы - буквой $\widetilde{A}$.
Теорема Кронекера-Капелли
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $\rang A=\rang\widetilde{A}$.
Напомню, что система называется совместной, если она имеет хоть одно решение. Теорема Кронекера-Капелли говорит вот о чём: если $\rang A=\rang\widetilde{A}$, то решение есть; если $\rang A\neq\rang\widetilde{A}$, то данная СЛАУ не имеет решений (несовместна). Ответ на вопрос о количестве этих решений даёт следствие из теоремы Кронекера-Капелли. В формулировке следствия использована буква $n$, которая равна количеству переменных заданной СЛАУ.
Следствие из теоремы Кронекера-Капелли
- Если $\rang A\neq\rang\widetilde{A}$, то СЛАУ несовместна (не имеет решений).
- Если $\rang A=\rang\widetilde{A} < n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
- Если $\rang A=\rang\widetilde{A} = n$, то СЛАУ является определённой (имеет ровно одно решение).
Заметьте, что сформулированная теорема и следствие из неё не указывают, как найти решение СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить, существуют эти решения или нет, а если существуют - то сколько.
Пример №1
Исследовать СЛАУ $ \left \{\begin{aligned} & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end{aligned}\right.$ на совместность. Если СЛАУ совместна, указать количество решений.
Чтобы выяснить наличие решений заданной СЛАУ, используем теорему Кронекера-Капелли. Нам понадобятся матрица системы $A$ и расширенная матрица системы $\widetilde{A}$, запишем их:
$$ A=\left(\begin{array} {ccc} -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end{array} \right);\; \widetilde{A}=\left(\begin{array} {ccc|c} -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end{array} \right). $$
Нужно найти $\rang A$ и $\rang\widetilde{A}$. Для этого есть много способов, некоторые из которых перечислены в разделе "Ранг матрицы" . Обычно для исследования таких систем применяют два метода: "Вычисление ранга матрицы по определению" или "Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований" .
Способ №1. Вычисление рангов по определению.
Согласно определению, ранг - это наивысший порядок миноров матрицы , среди которых есть хоть один, отличный от нуля. Обычно исследование начинают с миноров первого порядка, но здесь удобнее приступить сразу к вычислению минора третьего порядка матрицы $A$. Элементы минора третьего порядка находятся на пересечении трёх строк и трёх столбцов рассматриваемой матрицы. Так как матрица $A$ содержит всего 3 строки и 3 столбца, то минор третьего порядка матрицы $A$ - это определитель матрицы $A$, т.е. $\Delta A$. Для вычисления определителя применим формулу №2 из темы "Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков" :
$$ \Delta A=\left| \begin{array} {ccc} -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end{array} \right|=-21. $$
Итак, есть минор третьего порядка матрицы $A$, который не равен нулю. Минор четвёртого порядка составить невозможно, так как для него требуется 4 строки и 4 столбца, а в матрице $A$ всего 3 строки и 3 столбца. Итак, наивысший порядок миноров матрицы $A$, среди которых есть хотя бы один не равный нулю, равен 3. Следовательно, $\rang A=3$.
Нам требуется найти также и $\rang\widetilde{A}$. Давайте посмотрим на структуру матрицы $\widetilde{A}$. До черты в матрице $\widetilde{A}$ находятся элементы матрицы $A$, причём мы выяснили, что $\Delta A\neq 0$. Следовательно, у матрицы $\widetilde{A}$ есть минор третьего порядка, который не равен нулю. Миноров четвёртого порядка матрицы $\widetilde{A}$ составить мы не можем, поэтому делаем вывод: $\rang\widetilde{A}=3$.
Так как $\rang A=\rang\widetilde{A}$, то согласно теореме Кронекера-Капелли система совместна, т.е. имеет решение (хотя бы одно). Чтобы указать количество решений, учтём, что наша СЛАУ содержит 3 неизвестных: $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Так как количество неизвестных $n=3$, то делаем вывод: $\rang A=\rang\widetilde{A}=n$, поэтому согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли, система является определённой, т.е. имеет единственное решение.
Задача решена. Какие недостатки и преимущества имеет данный способ? Для начала поговорим о плюсах. Во-первых, нам понадобилось найти всего один определитель. После этого мы сразу сделали вывод о количестве решений. Обычно в стандартных типовых расчётах даются системы уравнений, которые содержат три неизвестных и имеют единственное решение. Для таких систем данный метод очень даже удобен, ибо мы заранее знаем, что решение есть (иначе примера не было бы в типовом расчёте). Т.е. нам остаётся только показать наличие решения наиболее быстрым способом. Во-вторых, вычисленное значение определителя матрицы системы (т.е. $\Delta A$) пригодится после: когда станем решать заданную систему методом Крамера или с помощью обратной матрицы .
Однако метод вычисления ранга по определению нежелательно применять, если матрица системы $A$ является прямоугольной. В этом случае лучше применить второй метод, о котором пойдёт речь ниже. Кроме того, если $\Delta A=0$, то мы ничего не сможем сказать о количестве решений заданной неоднородной СЛАУ. Может, СЛАУ имеет бесконечное количество решений, а может - ни одного. Если $\Delta A=0$, то требуется дополнительное исследование, которое зачастую является громоздким.
Подводя итог сказанному, отмечу, что первый способ хорош для тех СЛАУ, у которых матрица системы квадратна. При этом сама СЛАУ содержит три или четыре неизвестных и взята из стандартных типовых расчетов или контрольных работ.
Способ №2. Вычисление ранга методом элементарных преобразований.
Подробно это метод описан в соответствующей теме . Мы станем вычислять ранг матрицы $\widetilde{A}$. Почему именно матрицы $\widetilde{A}$, а не $A$? Дело в том, что матрица $A$ является частью матрицы $\widetilde{A}$, поэтому вычисляя ранг матрицы $\widetilde{A}$ мы одновременно найдем и ранг матрицы $A$.
\begin{aligned} &\widetilde{A} =\left(\begin{array} {ccc|c} -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end{array} \right) \rightarrow \left|\text{меняем местами первую и вторую строки}\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ \phantom{0}\\ III-2\cdot II \end{array}\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end{array} \right) \end{aligned}
Мы привели матрицу $\widetilde{A}$ к трапециевидной форме . На главной дагонали полученной матрицы $\left(\begin{array} {ccc|c} -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end{array} \right)$ расположены три ненулевых элемента: -1, 3 и -7. Вывод: ранг матрицы $\widetilde{A}$ равен 3, т.е. $\rang\widetilde{A}=3$. Делая преобразования с элементами матрицы $\widetilde{A}$ мы одновременно преобразовывали и элементы матрицы $A$, расположенные до черты. Матрица $A$ также приведена к трапециевидной форме: $\left(\begin{array} {ccc} -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end{array} \right)$. Вывод: ранг матрицы $A$ также равен 3, т.е. $\rang A=3$.
Так как $\rang A=\rang\widetilde{A}$, то согласно теореме Кронекера-Капелли система совместна, т.е. имеет решение. Чтобы указать количество решений, учтём, что наша СЛАУ содержит 3 неизвестных: $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Так как количество неизвестных $n=3$, то делаем вывод: $\rang A=\rang\widetilde{A}=n$, поэтому согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли, система определена, т.е. имеет единственное решение.
Какие преимущества второго способа? Главное преимущество - это его универсальность. Нам совершенно неважно, является ли матрица системы квадратной или нет. Кроме того, мы фактически провели преобразования прямого хода метода Гаусса . Осталось лишь пару действий, и мы смогли бы получить решение данной СЛАУ. Честно говоря, второй способ нравится мне более первого, но выбор - это дело вкуса.
Ответ : Заданная СЛАУ совместна и определена.
Пример №2
Исследовать СЛАУ $ \left\{ \begin{aligned} & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1-2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4. \end{aligned} \right.$ на совместность.
Находить ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы будем методом элементарных преобразований . Расширенная матрица системы: $\widetilde{A}=\left(\begin{array} {ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end{array} \right)$. Найдём требуемые ранги, преобразовывая расширенную матрицу системы:
Расширенная матрица системы приведена к ступенчатой форме . Если матрица приведена к ступенчатой форме, то ранг её равен количеству ненулевых строк. Следовательно, $\rang A=3$. Матрица $A$ (до черты) приведена к трапециевидной форме и ранг её равен 2, $\rang A=2$.
Так как $\rang A\neq\rang\widetilde{A}$, то согласно теореме Кронекера-Капелли система несовместна (т.е. не имеет решений).
Ответ : система несовместна.
Пример №3
Исследовать СЛАУ $ \left\{ \begin{aligned} & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end{aligned} \right.$ на совместность.
Расширенная матрица системы имеет вид: $\widetilde{A}=\left(\begin{array} {ccccc|c} 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end{array} \right)$. Поменяем местами первую и вторую строки данной матрицы, чтобы первым элементом первой строки стала единица: $\left(\begin{array} {ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end{array} \right)$.
Мы привели расширенную матрицу системы и саму матрицу системы к трапециевидной форме . Ранг расширенной матрицы системы равен трём, ранг матрицы системы также равен трём. Так как система содержит $n=5$ неизвестных, т.е. $\rang\widetilde{A}=\rang A < n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.
Ответ : система является неопределённой.
Во второй части мы разберём примеры, которые нередко включают в типовые расчёты или контрольные работы по высшей математике: исследование на совместность и решение СЛАУ в зависимости от значений параметров, входящих в неё.
Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида
где a ij и b i (i =1,…,m ; b =1,…,n ) – некоторые известные числа, а x 1 ,…,x n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.
Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы 
, которую назовём матрицей
системы
.
Числа, стоящие в правых частях уравнений, b 1 ,…,b m называются свободными членами.
Совокупность n чисел c 1 ,…,c n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c 1 ,…,c n вместо соответствующих неизвестных x 1 ,…,x n .
Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:
Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной . В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной .
Рассмотрим способы нахождения решений системы.
МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:
Рассмотрим
матрицу системы 
и матрицы столбцы
неизвестных и свободных членов 
Найдем произведение
т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде
или короче A
∙X=B
.
Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением .
Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A | ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A : . Поскольку A -1 A = E и E ∙X = X , то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B .
Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных . Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B .
Примеры. Решить системы уравнений.
ПРАВИЛО КРАМЕРА
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:
Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,
называется определителем системы .
Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов
Тогда можно доказать следующий результат.
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём
Доказательство . Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A 11 элемента a 11 , 2-ое уравнение – на A 21 и 3-е – на A 31 :
Сложим эти уравнения:
Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца
Аналогично можно показать, что и .
Наконец несложно заметить, что 
Таким образом, получаем равенство: .
Следовательно, .
Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.
Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.
Примеры. Решить систему уравнений
МЕТОД ГАУССА
Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.
Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:
.
Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x 1 . Для этого второе уравнение разделим на а 21 и умножим на –а 11 , а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а 31 и умножим на –а 11 , а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:
Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x 2 . Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:
Отсюда из последнего уравнения легко найти x 3 , затем из 2-го уравнения x 2 и, наконец, из 1-го – x 1 .
При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.
Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:
и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.
К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:
- перестановка строк или столбцов;
- умножение строки на число, отличное от нуля;
- прибавление к одной строке другие строки.
Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.
Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.
Рассмотрим вначале случай, когда число уравнений равно числу переменных, т.е. m = n. Тогда матрица системы - квадратная, а ее определитель называют определителем системы.
Метод обратной матрицы
Рассмотрим в общем виде систему уравнений АХ = В с невырожденной квадратной матрицей А. В этом случае существует обратная матрица А -1 . Домножим слева обе части на А -1 . Получим А -1 АХ = А -1 В. Отсюда ЕХ = А -1 В и
Последнее равенство представляет собой матричную формулу для нахождения решения таких систем уравнений. Использование этой формулы получило название метода обратной матрицы
Например, решим этим методом следующую систему:
;
В конце решения системы можно сделать проверку, подставив найденные значения в уравнения системы. При этом они должны обратиться в верные равенства.
Для рассмотренного примера проведем проверку:
Метод решения систем линейных уравнений с квадратной матрицей по формулам Крамера
Пусть n= 2:
Если обе части первого уравнения умножить на a 22 , а обе части второго – на (-a 12), и затем сложить полученные уравнения, то мы исключим из системы переменнуюx 2 . Аналогично можно исключить переменнуюx 1 (умножив обе части первого уравнения на (-a 21), а обе части второго – наa 11). В результате получим систему:
Выражение в скобках есть определитель системы
Обозначим
Тогда система примет вид:
Из полученной системы следует, что если определитель системы 0, то система будет совместной и определенной. Ее единственное решение можно вычислить по формулам:
Если = 0, а 1 0 и/или 2 0, то уравнения системы примут вид 0*х 1 = 2 и/или0*х 1 = 2 . В этом случае система будет несовместной.
В случае, когда = 1 = 2 = 0, система будет совместной и неопределенной (будет иметь бесконечное множество решений), так как примет вид:
Теорема Крамера (доказательство опустим). Если определитель матрицы системыnуравненийне равен нулю, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:
,
где j - определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов.
Вышеприведенные формулы называют формулами Крамера .
В качестве примера решим этим методом систему, которую до этого решали методом обратной матрицы:
Недостатки рассмотренных методов:
1) существенная трудоемкость (вычисление определителей и нахождение обратной матрицы);
2) ограниченная область применения (для систем с квадратной матрицей).
Реальных экономические ситуации чаще моделируются системами, в которых число уравнений и переменных довольно значительное, причем уравнений больше, чем переменных Поэтому на практике более распространен следующий метод.
Метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных)
Этот метод используется для решения системы m линейных уравнений с n переменными в общем виде. Его суть заключается в применении к расширенной матрице системы равносильных преобразований, с помощью которых система уравнений преобразуется к виду, когда ее решения становится легко найти (если они есть).
Это такой вид, в котором левая верхняя часть матрицы системы будет представлять собой ступенчатую матрицу. Этого добиваются с помощью тех же приемов, с помощью которых получали ступенчатую матрицу с целью определения ранга. При этом применяют к расширенной матрице элементарные преобразования, которые позволят получить равносильную систему уравнений. После этого расширенная матрица примет вид:
Получение такой матрицы называют прямым ходом метода Гаусса.
Нахождение из соответствующей системы уравнений значений переменных называют обратным ходом метода Гаусса. Рассмотрим его.
Отметим, что последние (m – r) уравнений примут вид:
Если хотя бы одно из
чисел
не равно нулю, то соответствующее
равенство будет ложным, а вся система
несовместной.
Поэтому для любой
совместной системы
.
В этом случае последние (m – r) уравнений
при любых значениях переменных будут
тождествами 0 = 0, и их можно не принимать
во внимание при решении системы (просто
отбросить соответствующие строки).
После этого система примет вид:
Рассмотрим вначале случай, когда r=n. Тогда система примет вид:
Из последнего уравнения системы можно однозначно найти x r .
Зная x r , из него можно однозначно выразитьx r -1 . Затем из предыдущего уравнения, знаяx r иx r -1 , можно выразитьx r -2 и т.д. доx 1 .
Итак, в этом случае система будет совместной и определенной.
Теперь рассмотрим
случай, когда r
Из этого уравнения можно выразить базисную переменную x r через небазисные:
Предпоследнее уравнение будет иметь вид:
Подставив в него вместо x r полученное выражение, можно будет выразить базисную переменнуюx r -1 через небазисные. И т.д. до переменнойx 1 . Чтобы получить решение системы, можно приравнять небазисные переменные к произвольным значениям и после этого вычислить базисные переменные по полученным формулам. Таким образом, в этом случае система будет совместной и неопределенной (иметь бесконечное множество решений).
Например, решим систему уравнений:
Совокупность базисных переменных будем называть базисом системы. Совокупность столбцов коэффициентов при них тоже будем называтьбазисом (базисными столбцами), илибазисным минором матрицы системы. То решение системы, в котором все небазисные переменные равны нулю, будем называтьбазисным решением .
В предыдущем примере базисным решением будет (4/5; -17/5; 0; 0) (переменные х 3 и х 4 (с 1 и с 2) приравнены к нулю, а базисные переменные х 1 и х 2 рассчитаны через них). Чтобы привести пример небазисного решения, надо приравнять х 3 и х 4 (с 1 и с 2) к произвольным числам, неравным одновременно нулю, и рассчитать через них остальные переменные. Например, при с 1 = 1 и с 2 = 0 получим небазисное решение – (4/5; -12/5; 1; 0). Подстановкой легко убедиться, что оба решения – верные.
Очевидно, что в
неопределенной системе небазисных
решений может быть бесконечно много.
Сколько может быть базисных решений?
Каждой строке преобразованной матрицы
должна соответствовать одна базисная
переменная. Всего в задаче nпеременных, а базисных строк –r.
Поэтому число всевозможных наборов
базисных переменных не может превысить
число сочетаний изnпоr 2 .
Оно может быть меньше, чем
,
потому что не всегда можно преобразовать
систему к такому виду, чтобы именно этот
набор переменных был базисным.
Что это за вид? Это такой вид, когда матрица, образованная из столбцов коэффициентов при этих переменных, будет ступенчатой, и при этом будет состоять из rстрок. Т.е. ранг матрицы коэффициентов при этих переменных должен быть равенr. Большеrон быть не может, так как число столбцов равноr. Если он окажется меньшеr, то это говорит о линейной зависимости столбцов при переменных. Такие столбцы не могут составить базис.
Рассмотрим, какие еще
базисные решения могут быть найдены в
рассмотренном выше примере. Для этого
рассмотрим всевозможные сочетания из
четырех переменных по две базисных.
Таких сочетаний будет
,
причем одно из них (х 1 и х 2)
уже было рассмотрено.
Возьмем переменные х 1 и х 3 . Найдем ранг матрицы коэффициентов при них:
Так как он равен двум, они могут быть базисными. Приравняем небазисные переменные х 2 и х 4 к нулю: х 2 = х 4 = 0. Тогда из формулы х 1 = 4/5 – (1/5)*х 4 следует, что х 1 = 4/5, а из формулы х 2 = -17/5 + х 3 - - (7/5)*х 4 = -17/5 + х 3 следует, что х 3 = х 2 +17/5 = 17/5. Таким образом, мы получим базисное решение (4/5; 0; 17/5; 0).
Аналогично можно получить базисные решения для базисных переменных х 1 и х 4 – (9/7; 0; 0; -17/7); х 2 и х 4 – (0; -9; 0; 4); х 3 и х 4 – (0; 0; 9; 4).
Переменные х 2 и х 3 в этом примере нельзя взять в качестве базисных, так как ранг соответствующей матрицы равен единице, т.е. меньше двух:
.
Возможен и другой подход к определению того, можно или нет составить базис из некоторых переменных. При решении примера в итоге преобразования матрицы системы к ступенчатому виду она приняла вид:
Выбирая пары переменных,
можно было рассчитать соответствующие
миноры этой матрицы. Легко убедиться,
что для всех пар, кроме х 2 и х 3 ,
они не равны нулю, т.е. столбцы линейно
независимы. И только для столбцов при
переменных х 2 и х 3 
,
что говорит об их линейной зависимости.
Рассмотрим еще один пример. Решим систему уравнений
Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво - оно привелось к неверному равенству 0 = -1, следовательно, данная система несовместна.
Метод Жордана-Гаусса 3 представляет собой развитие метода Гаусса. Суть его состоит в том, что расширенную матрицу системы преобразуют к виду, когда коэффициенты приrпеременных образуют единичную матрицу с точностью до перестановки строк или столбцов 4 (гдеr– ранг матрицы системы).
Решим этим методом систему:
Рассмотрим расширенную матрицу системы:
В этой матрице выберем единичный элемент. Например, коэффициент при х 2 в третьем ограничении 5 . Добьемся, чтобы в остальных строках в этом столбце стояли нули, т.е. сделаем столбец единичным. В процессе преобразований будем называть этотстолбец разрешающим (ведущим, ключевым). Третье ограничение (третьюстроку ) тоже будем называтьразрешающей . Самэлемент , который стоит на пересечении разрешающих строки и столбца (здесь это единица), тоже называютразрешающим .
В первой строке сейчас стоит коэффициент (-1). Чтобы получить на его месте ноль, умножим третью строку на (-1) и вычтем результат из первой строки (т.е. просто сложим первую строку с третьей).
Во второй строке стоит коэффициент 2. Чтобы получить на его месте ноль, умножим третью строку на 2 и вычтем результат из первой строки.
Результат преобразований будет иметь вид:
Из этой матрицы хорошо видно, что одно из первых двух ограничений можно вычеркнуть (соответствующие строки пропорциональны, т.е. эти уравнения следуют друг из друга). Вычеркнем, например, второе:
Итак, в новой системе два уравнения. Получен единичный столбец (второй), причем единица здесь стоит во второй строке. Запомним, что второму уравнению новой системы у нас будет соответствовать базисная переменная х 2 .
Выберем базисную переменную для первой строки. Это может быть любая переменная, кроме х 3 (потому что при х 3 в первом ограничении стоит нулевой коэффициент, т.е. набор переменных х 2 и х 3 здесь базисным быть не может). Можно взять первую или четвертую переменную.
Выберем х 1 . Тогда разрешающим элементом будет 5, и обе части разрешающего уравнения придется разделить на пять, чтобы получить в первом столбце первой строки единицу.
Добьемся, чтобы в остальных строках (т.е. во второй строке) в первом столбце стояли нули. Так как сейчас во второй строке стоит не ноль, а 3, надо вычесть из второй строки элементы преобразованной первой строки, умноженные на 3:
Из полученной матрицы можно непосредственно извлечь одно базисное решение, приравняв небазисные переменные к нулю, а базисные – к свободным членам в соответствующих уравнениях: (0,8; -3,4; 0; 0). Можно также вывести общие формулы, выражающие базисные переменные через небазисные: х 1 = 0,8 – 1,2х 4 ; х 2 = -3,4 + х 3 + 1,6х 4 . Эти формулы описывают все бесконечное множество решений системы (приравнивая х 3 и х 4 к произвольным числам, можно вычислить х 1 и х 2).
Отметим, что суть преобразований на каждом этапе метода Жордана-Гаусса заключалась в следующем:
1) разрешающую строку делили на разрешающий элемент, чтобы получить на его месте единицу,
2) из всех остальных строк вычитали преобразованную разрешающую, умноженную на тот элемент, который стоял в данной строке в разрешающем столбце, чтобы получить на месте этого элемента ноль.
Рассмотрим еще раз преобразованную расширенную матрицу системы:
Из этой записи видно, что ранг матрицы системы А равен r.
В ходе проведенных
рассуждений мы установили, что система
будет совместной тогда и только тогда,
когда
.
Это означает, что расширенная матрица
системы будет иметь вид:
Отбрасывая нулевые строки, мы получим, что ранг расширенной матрицы системы тоже равен r.
Теорема Кронекера-Капелли . Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.
Вспомним, что ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк. Из этого следует, что если ранг расширенной матрицы меньше числа уравнений, то уравнения системы линейно зависимы, и одно или несколько из них могут быть исключены из системы (поскольку являются линейной комбинацией остальных). Система уравнений будет линейно независимой лишь в том случае, если ранг расширенной матрицы равен числу уравнений.
При этом для совместных систем линейных уравнений можно утверждать, что если ранг матрицы равен числу переменных, то система имеет единственное решение, а если он меньше числа переменных, то система неопределенная и имеет бесконечно много решений.
1Например, пусть в матрице пять строк (исходный порядок строк – 12345). Надо поменять вторую строку и пятую. Чтобы вторая строка попала на место пятой, «сдвинулась» вниз, последовательно три раза поменяем соседние строки: вторую и третью (13245), вторую и четвертую (13425) и вторую и пятую (13452). Затем, чтобы пятая строка попала на место второй в исходной матрице, надо «сдвинуть» вверх пятую строку путем только двух последовательных перемен: пятой и четвертой строк (13542) и пятой и третьей (15342).
2Числом
сочетаний из n по r
называют число всех различных
r–элементных подмножеств n–элементного
множества (различными множествами
считаются те, которые имеют различный
состав элементов, порядок отбора при
этом не важен). Его вычисляют по формуле:
.
Напомним смысл знака “!” (факториал):
0!=1.)
3Поскольку этот метод более распространен, чем рассмотренный ранее метод Гаусса, и по своей сути представляет собой сочетание прямого и обратного хода метода Гаусса, его тоже иногда называют методом Гаусса, опуская первую часть названия.
4Например,
.
5Если бы в матрице системы не было единиц, то можно было бы, например, разделить обе части первого уравнения на два, и тогда первый коэффициент стал бы единичным; или т.п.
