Функция распределения в этом случае согласно (5.7), примет вид:
где: m – математическое ожидание, s– среднеквадратическое отклонение.
Нормальное распределение называют еще гауссовским по имени немецкого математика Гаусса . Тот факт, что случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами: m,, обозначают так: N (m,s), где: m =a =M ;
Достаточно часто в формулах математическое ожидание обозначают через а . Если случайная величина распределена по закону N(0,1), то она называется нормированной или стандартизированной нормальной величиной. Функция распределения для нее имеет вид:
|
|
.График плотности нормального распределения, который называют нормальной кривой или кривой Гаусса, изображен на рис.5.4.
Рис. 5.4. Плотность нормального распределения
Определение числовых характеристик случайной величины по её плотности рассматривается на примере.
Пример 6 .
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения:
.
Определить вид распределения, найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).
Сравнивая заданную плотность распределения с (5.16) можно сделать вывод, что задан нормальный закон распределения с m =4. Следовательно, математическое ожидание M(X)=4, дисперсия D(X)=9.
Среднее квадратическое отклонение s=3.
Функция Лапласа, имеющая вид:
|
|
,связана с функцией нормального распределения (5.17), cоотношением:
F 0 (x) = Ф(х) + 0,5.
Функции Лапласа нечётная.
Ф(-x )=-Ф(x ).
Значения функции Лапласа Ф(х) табулированы и берутся из таблицы по значению х (см. Приложение 1).
Нормальное распределение непрерывной случайной величины играет важную роль в теории вероятностей и при описании реальности, имеет очень широкое распространение в случайных явлениях природы. На практике очень часто встречаются случайные величины, образующиеся именно в результате суммирования многих случайных слагаемых. В частности, анализ ошибок измерения показывает, что они являются суммой разного рода ошибок. Практика показывает, что распределение вероятностей ошибок измерения близко к нормальному закону.
С помощью функции Лапласа можно решать задачи вычисления вероятности попадания в заданный интервал и заданного отклонения нормальной случайной величины.
Рассмотрим равномерное непрерывное распределение. Вычислим математическое ожидание и дисперсию. Сгенерируем случайные значения с помощью функции MS EXCEL СЛЧИС() и надстройки Пакет Анализа, произведем оценку среднего значения и стандартного отклонения.
Равномерно распределенная
на отрезке случайная величина имеет :
Сгенерируем массив из 50 чисел из диапазона , если на этом отрезке плотность распределения вероятности случайной величины постоянна, т. е. если дифференциальная функция распределения f (х) имеет следующий вид:
Иногда это распределение называют законом равномерной плотности . Про величину, которая имеет равномерное распределение на некотором отрезке, будем говорить, что она распределена равномерно на этом отрезке.
Найдем значение постоянной с. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох, равна 1, то
откуда с =1/(b - a ).
Теперь функцию f (x ) можно представить в виде
Построим функцию распределения F (x ), для чего найдем выражение F (x ) на интервале [ a , b ]:
Графики функций f (x ) и F (x ) имеют вид:
Найдем числовые характеристики.
Используя формулу для вычисления математического ожидания НСВ, имеем:
Таким образом, математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [ a , b ] совпадает с серединой этого отрезка.
Найдем дисперсию равномерно распределенной случайной величины:
откуда сразу же следует, что среднее квадратическое отклонение:
Найдем
теперь вероятность попадания значения
случайной величины, имеющей равномерное
распределение, на интервал
(a
,
b
)
,
принадлежащий целиком
отрезку [
a
,
b
]:
|
|
Геометрически эта вероятность представляетсобойплощадь заштрихованного прямоугольника. Числа а и
b называются параметрами распределения и однозначно определяют равномерное распределение.Пример1. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке. Будет ожидать очередной автобус менее 3 минут.
Решение:
СВ-
время ожидания автобуса имеет равномерное
распределение. Тогда искомая вероятность
будет равна:
Пример2. Ребро куба х измерено приближенно. Причем
Рассматривая ребро куба как случайную величину, распределенную равномерно в интервале (
a , b ) , найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.Решение:
Объем куба- случайная величина, определяемая выражением У= Х 3 . Тогда математическое ожидание равно:
Дисперсия:
Онлайн сервис:
Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X , принимающей все значения из отрезка , называется равномерным , если её плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю. Таким образом, плотность вероятности непрерывной случайной величины X , распределённой равномерно на отрезке , имеет вид:
Определим математическое ожидание , дисперсию и для случайной величины с равномерным распределением.
, 
, 
.
Пример. Все значения равномерно распределённой случайной величины лежат на отрезке . Найти вероятность попадания случайной величины в промежуток (3;5) .
a=2, b=8, 
.
Биномиальное распределение
Пусть производится n испытаний, причём вероятность появления события A в каждом испытании равна p и не зависит от исхода других испытаний (независимые испытания). Так как вероятность наступления события A в одном испытании равна p , то вероятность его ненаступления равна q=1-p .
Пусть событие A наступило в n испытаниях m раз. Это сложное событие можно записать в виде произведения:
.
Тогда вероятность того, что при n испытаниях событие A наступит m раз , вычисляется по формуле:
или 
(1)
Формула (1) называется формулой Бернулли .
Пусть X – случайная величина, равная числу появлений события A в n испытаниях, которая принимает значения с вероятностями:
Полученный закон распределения случайной величины называется законом биномиального распределения .
| X | m | n | ||||
| P |
Математическое ожидание , дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайных величин, распределённых по биномиальному закону, определяются по формулам:
, , .
Пример. По мишени производятся три выстрела, причём вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Рассматривается случайная величина X – число попаданий в мишень. Найти её закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
p=0,8
, q=0,2
, n=3
, 
, , 
.
- вероятность 0 попаданий;
Вероятность одного попадания;
Вероятность двух попаданий;
- вероятность трёх попаданий.
Получаем закон распределения:
| X | ||||
| P | 0,008 | 0,096 | 0,384 | 0,512 |
Задачи
1. Монету бросают 7 раз. Найти вероятность того, что 4 раза она упадёт гербом вверх.
2. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более трёх раз.
3. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия p=0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.
4. Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причём вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.
