Vidutinė kvadratinė paklaida statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. mean square error vok. mittlerer quadratischer Fehler, m rus. среднеквадратичная ошибка, f pranc. écart quadratique moyen, m; erreur quadratique moyenne, f … Automatikos terminų žodynas

приведённая среднеквадратичная ошибка - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN normalized mean square errorNMSE … Справочник технического переводчика

Среднеквадратичная фазовая ошибка - 1. Среднеквадратичная величина фазовой ошибки во всех отсчетах Употребляется в документе: РД 45.301 2002 Средства измерений электросвязи сетей подвижной связи стандарта GSM 900/1800. Технические требования … Телекоммуникационный словарь

стандартная ошибка - 2.56. стандартная ошибка; среднеквадратичная ошибка Стандартное отклонение оценки Источник: ГОСТ Р 50779.10 2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения …

АНАЛИЗ СТАТИСТИЧЕСКИЙ - STATISTICAL ANALYSISМенеджеры в бизнесе часто используют статистические методы при принятии решений или анализе решаемых проблем. В данном разделе рассматриваются некоторые основные статистические методыАрифметическое среднее. Арифметическое… … Энциклопедия банковского дела и финансов

ГОСТ Р 50779.10-2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения - Терминология ГОСТ Р 50779.10 2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения оригинал документа: 2.3. (генеральная) совокупность Множество всех рассматриваемых единиц. Примечание Для случайной величины… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Радионавигационная система - комплекс из нескольких однотипных или разнотипных радионавигационных устройств, взаимодействующих между собой (по радиоканалам или в рамках единой структурной схемы) и обеспечивающих при совместной работе определение местоположения… … Большая советская энциклопедия

Стандартный квантовый предел - Квантовая механика … Википедия

ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ КАМЕРА - (см. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ СЧЁТЧИК). Физический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983. ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ КАМЕРА … Физическая энциклопедия

ИНФРАКРАСНАЯ АСТРОНОМИЯ - область наблюдательной астрофизики, объединяющая методы и результаты исследований излучения астр, объектов в ИК диапазоне (0,7 мкм 1 мм). Иногда как часть И. а. выделяют субмиллиметровую астрономию (0,1 1 мм). Первым шагом в истории И. а. было… … Физическая энциклопедия

СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ - задача об оценке значений случайного процесса Х(t)на нек ром интервале аМатематическая энциклопедия

Для оценки точности измерений, то есть для определения степени близости результата измерения к истинному значению измеряемой величины, чаще всего определяют среднюю квадратическую ошибку. Эта величина определяется по результатам измерений по формуле, предложенной Гауссом:

Величина m является также случайной величиной, зависит от числа измерений и сама определяется с ошибкой:

Для определения допустимости полученной ошибки вычисляют предельную ошибку Δ пр , больше которой ошибки относятся уже к грубым.

Величину предельной ошибки определяют по формуле:

Δ пр =km , где k = 2 (вероятность 0.95) или 3 (вероятность 0.997).

Точность геодезических измерений характеризуется абсолютными и относительными ошибками. Абсолютными являются истинные, средние квадратические и предельные. Относительной ошибкой ε называется отношение соответствующей абсолютной ошибки к истинному значению измеряемой величины. Ее выражают в виде дроби, где в числителе 1.

Если измеренную величину обозначить Х ср , то

где ε m и ε пр - соответственно относительная средняя квадратическая и предельная ошибки.

Вычисление среднеквадратической ошибки по формуле Гаусса возможно только тогда, когда известны истинные ошибки измерений, однако в большинстве случаев они не известны. Поэтому на практике задача решается через уклонения результатов измерений от их арифметического среднего v (вероятнейшие ошибки), которые вычисляются по результатам многократных измерений. В этом случае среднеквадратическая ошибка вычисляется по формуле Бесселя:

где v - вероятнейшие ошибки: v i = X i - X ср.

Средняя квадратическая ошибка функций

Измеренных величин

В тех случаях, когда используются косвенные методы измерений, ошибка результата зависит как от ошибок измеренных величин, так и от действий (функций), с помощью которых вычислен искомый результат. Поэтому определение ошибок функций измеренных величин m f имеет большое практическое значение. Пусть имеем в общем виде функцию от многих независимых величин:

Z = f(l 1 , l 2 , ….l n).

С учетом ошибок измерений величин l можно записать:

Z+ ΔZ = f(l 1 +Δl 1 , l 2 +Δl 2 ,…. l n +Δl n).

Поскольку Δl 1 ,Δl 2 ,…Δl n , то функцию можно разложить в ряд Тейлора, ограничиваясь членами первого порядка. При разложении в ряд возникают частные производные, поскольку в уравнении имеются несколько переменных аргументов. Не вдаваясь в детализацию вывода, запишем итоговую формулу для определения квадрата средней квадратической ошибки функции нескольких переменных:

Таким образом, квадрат среднеквадратической ошибки функции общего вида равен сумме квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на среднеквадратическую ошибку соответствующего аргумента.

В частности для функции в виде суммы (разности) аргументов вида:

Z = X ± Y ± T ± U ± ... ±V,

будем иметь:

Для функции вида Z = kX , соответственно или .

Среднеквадратическая погрешность

Класс точности СИ

Класс точности - основная метрологическая характеристика прибора, определяющая допустимые значения основных и дополнительных погрешностей, влияющих на точность измерения.

Погрешность может нормироваться, в частности, по отношению к:

результату измерения (по относительной погрешности);

длине (верхнему пределу) шкалы прибора (по приведенной погрешности).

Для стрелочных приборов принято указывать класс точности, записываемый в виде числа, например, 0,05 или 4,0. Это число дает максимально возможную погрешность прибора, выраженную в процентах от наибольшего значения величины, измеряемой в данном диапазоне работы прибора. Так, для вольтметра, работающего в диапазоне измерений 0 - 30 В, класс точности 1,0 определяет, что указанная погрешность при положении стрелки в любом месте шкалы не превышает 0,3 В. Соответственно, среднее квадратичное отклонение s прибора составляет 0,1 В.

Относительная погрешность результата, полученного с помощью указанного вольтметра, зависит от значения измеряемого напряжения, становясь недопустимо высокой для малых напряжений. При измерении напряжения 0,5 В погрешность составит 60 %. Как следствие, такой прибор не годится для исследования процессов, в которых напряжение меняется на 0,1 - 0,5 В.

Обычно цена наименьшего деления шкалы стрелочного прибора согласована с погрешностью самого прибора. Если класс точности используемого прибора неизвестен, за погрешность s прибора всегда принимают половину цены его наименьшего деления. Понятно, что при считывании показаний со шкалы нецелесообразно стараться определить доли деления, так как результат измерения от этого не станет точнее.

Обозначения класса точности могут иметь вид заглавных букв латинского алфавита, римских цифр и арабских цифр с добавлением условных знаков. Если класс точности обозначается латинскими буквами, то класс точности определяется пределами абсолютной погрешности. Если класс точности обозначается арабскими цифрами без условных знаков, то класс точности определяется пределами приведённой погрешности и в качестве нормирующего значения используется наибольший по модулю из пределов измерений. Если класс точности обозначается арабскими цифрами с галочкой, то класс точности определяется пределами приведённой погрешности, но в качестве нормирующего значения используется длина шкалы. Если класс точности обозначается римскими цифрами, то класс точности определяется пределами относительной погрешности.

1. Погрешность измерения

Погрешность измерения - отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) значения. Погрешность измерения является характеристикой точности измерения.

Поскольку выяснить с абсолютной точностью истинное значение никакой величины невозможно, то невозможно и указать величину отклонения измеренного значения от истинного. (Это отклонение принято называть ошибкой измерения. В ряде источников, например в Большой советской энциклопедии, термины ошибка измерения и погрешность измерения используются как синонимы, но согласно РМГ 29-99 термин ошибка измерения не рекомендуется применять как менее удачный). Возможно лишь оценить величину этого отклонения, например, при помощи статистических методов. На практике вместо истинного значения используют действительное значение величины х д, то есть значение физической величины, полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него. Такое значение, обычно, вычисляется как среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому в измерениях необходимо указывать, какова их точность. Для этого вместе с полученным результатом указывается погрешность измерений. Например, запись T=2,8±0,1 c. означает, что истинное значение величины T лежит в интервале от 2,7 с. до 2,9 с . с некоторой оговорённой вероятностью.

Доверительным называется интервал , который с заданной надежностью покрывает оцениваемый параметр.

Доверительный интервал - термин, используемый в математической статистике при интервальной оценке статистических параметров, более предпочтительной при небольшом объёме выборки, чем точечная. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.

Доверительным интервалом параметра распределения случайной величины с уровнем доверия p , порождённым выборкой , называется интервал с границами и , которые являются реализациями случайных величин и , таких, что

Граничные точки доверительного интервала и называются доверительными пределами.

Стандартная ошибка среднего в математической статистике - величина, характеризующая стандартное отклонение выборочного среднего, рассчитанное по выборке размера из генеральной совокупности. Термин был впервые введён Удни Юлом в 1897 году. Величина стандартной ошибки зависит от дисперсии генеральной совокупности и объёма выборки .

Стандартная ошибка среднего вычисляется по формуле:

где - величина среднеквадратического отклонения генеральной совокупности, и - объём выборки.

Поскольку дисперсия генеральной совокупности, как правило, неизвестна, то оценка стандартной ошибки вычисляется по формуле:

где - стандартное отклонение случайной величины на основе несмещённой оценки её выборочной дисперсии и - объём выборки.

Предел погрешности (также предельная погрешность, предел ошибки, доверительная граница или доверительный предел) - статистическая величина, определяющая, с определенной степенью вероятности, максимальное значение, на которое результаты выборки отличаются от результатов генеральной совокупности. Составляет половину длины доверительного интервала. (Генеральная совокупность - совокупность всех объектов (единиц), относительно которых учёный намерен делать выводы при изучении конкретной проблемы. Выборка или выборочная совокупность - часть генеральной совокупности элементов, которая охватывается экспериментом)

Пример использования: «средний рост студента первого курса составляет 180 ± 20 см с вероятностью 95 %»

180 см - среднее значение выборки;

95 % - доверительная вероятность (коэффициент надёжности);

160-200 см - доверительный интервал;

20 см - предел погрешности.

Толкование: «с вероятностью 95 % истинное среднее значение генеральной совокупности лежит в интервале 160-200 см»

Для нормального распределения:

где, - среднее значение, z - Z-оценка (зависит от выбранной доверительной вероятности), - среднеквадратическое отклонение, n - размер выборки.

Пределом относительной погрешности называют величину:

Среднеквадратическая погрешность

Среднеквадратическое отклонение - в теории вероятностей и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания. При ограниченных массивах выборок значений вместо математического ожидания используется среднее арифметическое совокупности выборок.

Метод Корнфельда , заключается в выборе доверительного интервала в пределах от минимального до максимального результата измерений, и погрешность как половина разности между максимальным и минимальным результатом измерения:

Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического :

1. Классификация погрешностей. Принцип неопределенности Гейзенберга

По форме представления

Абсолютная погрешность - является оценкой абсолютной ошибки измерения. Вычисляется разными способами. Способ вычисления определяется распределением случайной величины . Соответственно, величина абсолютной погрешности в зависимости от распределения случайной величины может быть различной. Если - измеренное значение, а - истинное значение, то неравенство должно выполняться с некоторой вероятностью, близкой к 1. Если случайная величина распределена по нормальному закону, то обычно за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.

Существует несколько способов записи величины вместе с её абсолютной погрешностью.

Обычно используется запись со знаком ±. Например, рекорд в беге на 100 метров, установленный в 1983 году, равен 9,930±0,005 с.

Для записи величин, измеренных с очень высокой точностью, используется другая запись: цифры, соответствующие погрешности последних цифр мантиссы, дописываются в скобках. Например, измеренное значение постоянной Больцмана равно 1,3806488(13)×10 −23 Дж/К, что также можно записать значительно длиннее как 1,3806488×10 −23 ±0,0000013×10 −23 Дж/К

Относительная погрешность - погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или среднему значению измеряемой величины (РМГ 29-99):

, .

Относительная погрешность является безразмерной величиной; её численное значение может указываться, например, в процентах.

Приведённая погрешность - погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины, постоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона. Вычисляется по формуле , где - нормирующее значение, которое зависит от типа шкалы измерительного прибора и определяется по его градуировке:

если шкала прибора односторонняя, то есть нижний предел измерений равен нулю, то определяется равным верхнему пределу измерений;

если шкала прибора двухсторонняя, то нормирующее значение равно ширине диапазона измерений прибора.

Приведённая погрешность также является безразмерной величиной.

По причине возникновения

Инструментальные / приборные погрешности - погрешности, которые определяются погрешностями применяемых средств измерений и вызываются несовершенством принципа действия, неточностью градуировки шкалы, ненаглядностью прибора.

Методические погрешности - погрешности, обусловленные несовершенством метода, а также упрощениями, положенными в основу методики.

Субъективные / операторные / личные погрешности - погрешности, обусловленные степенью внимательности, сосредоточенности, подготовленности и другими качествами оператора.

В технике применяют приборы для измерения лишь с определённой заранее заданной точностью - основной погрешностью, допускаемой в нормальных условиях эксплуатации для данного прибора. В различных областях науки и техники могут подразумеваться различные стандартные (нормальные) условия (например, Национальный институт стандартов и технологий США за нормальную температуру принимает 20 °C, а за нормальное давление - 101,325 кПа); кроме того, для прибора могут быть определены специфические требования (например, нормальное рабочее положение). Если прибор работает в условиях, отличных от нормальных, то возникает дополнительная погрешность, увеличивающая общую погрешность прибора - например, температурная (вызванная отклонением температуры окружающей среды от нормальной), установочная (обусловленная отклонением положения прибора от нормального рабочего положения), и т. п.

Обобщённой характеристикой средств измерения является класс точности, определяемый предельными значениями допускаемых основной и дополнительной погрешностей, а также другими параметрами, влияющими на точность средств измерения; значение параметров установлено стандартами на отдельные виды средств измерений. Класс точности средств измерений характеризует их точностные свойства, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполняемых с помощью этих средств, так как точность зависит также от метода измерений и условий их выполнения. Измерительным приборам, пределы допускаемой основной погрешности которых заданы в виде приведённых основных (относительных) погрешностей, присваивают классы точности, выбираемые из ряда следующих чисел: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0)×10n, где показатель степени n = 1; 0; −1; −2 и т. д.

По характеру проявления

Случайная погрешность - составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом в серии повторных измерений одной и той же величины, проведенных в одних и тех же условиях. В появлении таких погрешностей не наблюдается какой-либо закономерности, они обнаруживаются при повторных измерениях одной и той же величины в виде некоторого разброса получаемых результатов. Случайные погрешности неизбежны, неустранимы и всегда присутствуют в результате измерения, однако их влияние обычно можно устранить статистической обработкой. Описание случайных погрешностей возможно только на основе теории случайных процессов и математической статистики.

Математически случайную погрешность, как правило, можно представить белым шумом: как непрерывную случайную величину, симметричную относительно 0, независимо реализующуюся в каждом измерении (некоррелированную по времени).

Основным свойством случайной погрешности является возможность уменьшения искажения искомой величины путем усреднения данных. Уточнение оценки искомой величины при увеличении количества измерений (повторных экспериментов) означает, что среднее случайной погрешности при увеличении объёма данных стремится к 0 (закон больших чисел).

Часто случайные погрешности возникают из-за одновременного действия многих независимых причин, каждая из которых в отдельности слабо влияет на результат измерения. По этой причине часто полагают распределение случайной погрешности «нормальным» (см. Центральная предельная теорема). «Нормальность» позволяет использовать в обработке данных весь арсенал математической статистики.

Однако априорная убежденность в «нормальности» на основании ЦПТ не согласуется с практикой - законы распределения ошибок измерений весьма разнообразны и, как правило, сильно отличаются от нормального.

Случайные погрешности могут быть связаны с несовершенством приборов (трение в механических приборах и т. п.), тряской в городских условиях, с несовершенством объекта измерений (например, при измерении диаметра тонкой проволоки, которая может иметь не совсем круглое сечение в результате несовершенства процесса изготовления).

Систематическая погрешность - погрешность, изменяющаяся во времени по определённому закону (частным случаем является постоянная погрешность, не изменяющаяся с течением времени). Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, калибровка и т. п.), неучтёнными экспериментатором.

Систематическую ошибку нельзя устранить повторными измерениями. Её устраняют либо с помощью поправок, либо «улучшением» эксперимента.

Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность - непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Она представляет собой нестационарный случайный процесс.

Грубая погрешность (промах) - погрешность, возникшая вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры (например, если экспериментатор неправильно прочёл номер деления на шкале прибора или если произошло замыкание в электрической цепи).

Надо отметить, что деление погрешностей на случайные и систематические достаточно условно. Например, ошибка округления при определённых условиях может носить характер как случайной, так и систематической ошибки.

По способу измерения

Погрешность прямых измерений вычисляется по формуле

:

Абсолютная погрешность средства измерения (обычно это число, равное половине цены деления измерительного прибора).

Если задающее воздействие приложенное к линейной системе (рис. 7.2), - случайная стационарная функция, то управляемая величина и ошибка воспроизведения системы являются также случайными стационарными функциями. Ясно, что в этих условиях о точности системы можно судить не по мгновенным, а лишь по некоторым средним значениям ошибки. При статистическом методе анализа и синтезе динамическая точность системы определяется среднеквадратическим значением ее ошибки, т. е. квадратным корнем из среднего значения квадрата ошибки:

Рис. 7.2. Структурная схема САУ.

Рис. 7.3. К понятию о среднеквадратической ошибке.

которым пользуются как критерием, определяющим точность или качество работы системы при наличии стационарных случайных воздействий (связь между и ее иллюстрируется рис. 7.3).

Если известна корреляционная функция или спектральная плотность ошибки, то в соответствии с выражением (7.11) дисперсия ошибки может быть вычислена по формуле

Оптимальной передаточной функцией при использовании критерия СКО является такая передаточная функция системы, при которой среднеквадратическая ошибка имеет минимум.

Отметим достоинства и недостатки оценки точности системы с помощью СКО. При принятии СКО в качестве критерия точности анализ и синтез системы получается сравнительно простой. С помощью СКО (или дисперсии) возможно оценить сверху вероятность появления любой ошибки. Так, например, при нормальном законе распределения ошибок вероятность того, что ошибка (отклонение от среднего значения) превысит весьма мала (меньше 0,003). Согласно критерию СКО нежелательность ошибки возрастает с ее величиной.

Имеется большой класс систем, для которых критерий СКО эффективен. Однако критерий СКО, как и всякий другой критерий, не является универсальным. Он обеспечивает малое значение лишь средней, а не мгновенной ошибки, поэтому в тех системах, где недопустимы большие, хотя и кратковременные ошибки, желательно применение другого критерия. Этот недостаток критерия СКО особо проявляется при расчете САУ с обратной связью. Выражения для корреляционной функции, спектральной плотности и среднеквадратического значения ошибки справедливы только для больших промежутков времени. Поэтому ошибки системы, связанные со сравнительно кратковременными переходными процессами в ней, практически не влияют на среднеквадратическое значение ошибки, т. е. ошибки, усредненной за бесконечно большой промежуток времени. На практике же часто встречаются системы, работающие на ограниченном участке времени, когда нельзя пренебречь ошибками, связанными с переходным процессом. Как правило, если параметры системы выбраны из условия получения минимума СКО при работе на большом промежутке времени, то замкнутая система имеет слабозатухающий переходный процесс. Поэтому на практике задачу о рациональном выборе передаточной функции системы

Среднее арифметическое значение серии измерений определяется как частное от деления арифметической суммы всех результатов измерений в серии Xi на общее число измерений в серии n:

При увеличении n среднее значение стремится к истинному значению измеряемой величины X ист. Поэтому, за наиболее вероятное значение измеряемой величины следует принять ее среднее арифметическое значение, если ошибки подчиняются нормальному закону распределения ошибок -закону Гаусса.

Формула Гаусса может быть выведена из следующих предположений:

• ошибки измерений могут принимать непрерывный ряд значений;
• при большом числе наблюдений ошибки одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто;
• вероятность, то есть относительная частота появления ошибок, уменьшается с увеличением величины ошибки. Иначе говоря, большие ошибки встречаются реже, чем малые.

Нормальный закон распределения описывается следующей функцией:

где σ – средняя квадратичная ошибка; σ2 – дисперсия измерения; Х ист – истинное значение измеряемой величины.

Анализ формулы (1.13) показывает, что функция нормального распределения симметрична относительно прямой X = X ист и имеет максимум при X = Xист. Значение ординаты этого максимума найдем, поставив в правую часть уравнения (1.13) X ист вместо X. Получим

,

откуда следует, что с уменьшением σ возрастает y(X). Площадь под кривой

должна оставаться постоянной и равной 1, так как вероятность того, что измеренное значение величины Х будет заключено в интервале от -∞ до +∞ равно 1 (это свойство называется условием нормировки вероятности).

На рис. 1.1 приведены графики трех функций нормального распределения для трех значений σ (σ 3 > σ 2 > σ 1) и одном Х ист. Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами: средним значением случайной величины, которая при бесконечно большом количестве измерений (n → ∞) совпадает с ее истинным значением, и дисперсией σ. Величина σ характеризует разброс погрешностей относительно среднего значения принимаемого за истинное. При малых значениях σ кривые идут более круто и большие значения ΔХ менее вероятны, то есть отклонение результатов измерений от истинного значения величины в этом случае меньше.

Для оценки величины случайной ошибки измерения существует несколько способов. Наиболее распространена оценка с помощью стандартной или среднеквадратичной ошибки. Иногда применяется средняя арифметическая ошибка.

Стандартная ошибка (среднеквадратическая) среднего в серии из n измерений определяется по формуле:

Если число наблюдений очень велико, то подверженная случайным случайным колебаниям величина Sn стремится к некоторому постоянному значению σ, которое называется статистическим пределом Sn:

Именно этот предел и называется средней квадратичной ошибкой. Как уже было отмечено выше, квадрат этой величины называется дисперсией измерения, которая входит в формулу Гаусса (1.13).

Величина σ имеет большое практическое значение. Пусть в результате измерений некоторой физической величины нашли среднее арифметическое <Х> и некоторую ошибку ΔX. Если измеряемая величина подвержена случайной ошибке, то нельзя безоговорочно считать, что истинное значение измеряемой величины лежит в интервале (<Х> – ΔХ, <Х> + ΔХ) или (<Х> – ΔХ) < Х < (<Х> + ΔХ)). Всегда существует некоторая вероятность того, что истинное значение лежит за пределами этого интервала.

Доверительным интервалом называется интервал значений (<Х> – ΔХ, <Х> + ΔХ) величины X, в который по определению попадает ee истинное значение Х ист с заданной вероятностью.

Надежностью результата серии измерений называют вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал. Надежность результата измерения или доверительная вероятность выражается в долях единицы или процентах.

Пусть α означает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного значения на величину, не большую, чем ΔХ. Это принято записывать в виде:

Р((<Х> – ΔХ) < Х < (<Х> + ΔХ)) = α

Выражение (1.16) означает, что с вероятностью, равной α, результат измерений не выходит за пределы доверительного интервала от <Х> – ΔХ до <Х> + ΔХ. Чем больше доверительный интервал, то есть чем больше задаваемая погрешность результата измерений ΔХ, тем с большей надежностью искомая величина Х попадает в этот интервал. Естественно, что величина α зависит от числа n произведенных измерений. а также от задаваемой погрешности ΔХ.

Таким образом, для характеристики величины случайной ошибки, необходимо задать два числа, а именно:

• величину самой ошибки (или доверительный интервал);
• величину доверительной вероятности (надежности).

Указание одной только величины ошибки без указания соответствующей ей доверительной вероятности в значительной мере лишено смысла, так как при этом мы не знаем, сколь надежны наши данные. Знание доверительной вероятности позволяет оценить степень надежности полученного результата.

Необходимая степень надежности задается характером проводимых изменений. Средней квадратичной ошибке S n соответствует доверительная вероятность 0.68, удвоенной средней квадратичной ошибке (2σ) – доверительная вероятность 0.95, утроенной (3σ) – 0.997.

Если в качестве доверительного интервала выбран интервал (X – σ, X + σ), то мы можем сказать, что из ста результатов измерений 68 будут обязательно находиться внутри этого интервала (рис. 1.2). Если при измерении абсолютная погрешность ∆Х > 3σ, то это измерение стоит отнести к грубым погрешностям или промаху. Величину 3σ обычно принимают за предельную абсолютную погрешность отдельного измерения (иногда вместо 3σ берут абсолютную погрешность измерительного прибора).

Для любой величины доверительного интервала по формуле Гаусса может быть рассчитана соответствующая доверительная вероятность. Эти вычисления проведены и их результаты сведены в табл. 1.1.

Доверительные вероятности α для доверительного интервала, выраженного а долях средней квадратичной ошибки ε = ΔX/σ.