Sistemin kinetik enerjisinin dəyişməsi haqqında teorem. Moskva Dövlət Poliqrafiya Universiteti Material sisteminin kinetik enerjisinin dəyişməsi haqqında teorem

Bu teorem qüvvənin (səbəbin) işi ilə maddi nöqtənin (təsir) kinetik enerjisi arasında kəmiyyət əlaqəsini qurur.

Maddi nöqtənin kinetik enerjisi nöqtənin kütləsi ilə sürətinin kvadratının hasilinin yarısına bərabər olan skalyar kəmiyyətdir

. (43)

Kinetik enerji digər enerji növlərinə, məsələn, termal enerjiyə çevrilə bilən qüvvənin mexaniki hərəkətini xarakterizə edir.

Güc işi verilmiş yerdəyişmədə sürət modulunun dəyişməsinə səbəb olan qüvvənin təsirinin xarakterik xüsusiyyətidir.

Elementar qüvvə işi qüvvə vektorunun və onun tətbiqi nöqtəsində elementar yerdəyişmə vektorunun skalyar hasili kimi müəyyən edilir

, (44)

Harada
- elementar hərəkət.

Elementar işin modulu düsturla müəyyən edilir

Harada  - qüvvə vektoru ilə elementar yerdəyişmə vektoru arasındakı bucaq; - qüvvə vektorunun tangensə proyeksiyası.

Bəzi sonlu yerdəyişmə üzrə ümumi iş inteqralla müəyyən edilir

. (46)

(46)-dan belə nəticə çıxır ki, qüvvə sabit olduqda və ya yerdəyişmədən asılı olduqda ümumi işi iki halda hesablamaq olar.

At F=const alırıq
.

Problemləri həll edərkən, gücün hesablanmasının analitik metodundan istifadə etmək çox vaxt rahatdır

Harada F x , F y , F z– qüvvənin koordinat oxlarına proyeksiyaları.

Aşağıdakı teoremi sübut edək.

Teorem: Bəzi yerdəyişmə zamanı maddi nöqtənin kinetik enerjisinin dəyişməsi eyni yerdəyişmə zamanı nöqtəyə təsir edən qüvvənin işinə bərabərdir.

Maddi nöqtə M kütləsi olsun m qüvvənin təsiri altında hərəkət edir F M 0 mövqeyindən M 1 mövqeyinə.

OUD:
. (47)

Əvəzetməni təqdim edək
və (47) tangens üzərinə çıxarın

. (48)

(48)-dəki dəyişənləri ayırırıq və inteqrasiya edirik

Nəticədə alırıq

. (49)

(49) tənliyi yuxarıda tərtib edilmiş teoremi sübut edir.

Verilmiş və axtarılan parametrlərə nöqtənin kütləsi, onun başlanğıc və son sürəti, qüvvələr və yerdəyişmə daxil olduqda teoremdən istifadə etmək rahatdır.

Xarakterik qüvvələrin işinin hesablanması.

1. Qravitasiya işi qüvvə modulunun və onun tətbiqi nöqtəsinin şaquli yerdəyişməsinin məhsulu kimi hesablanır

. (50)

Yuxarı qalxanda iş müsbət, aşağı enərkən iş mənfi olur.

2. Yayın elastik qüvvəsinin işi F=-cx bərabərdir

, (51)

Harada x 0 – yayın ilkin uzanması (sıxılması);

x 1 – yayın son uzanması (sıxılması).

Cazibə və elastik qüvvənin işi onların tətbiq nöqtələrinin hərəkət trayektoriyasından asılı deyil. İşi trayektoriyadan asılı olmayan belə qüvvələr adlanır potensial qüvvələr.

3. Sürtünmə qüvvəsinin işi.

Sürtünmə qüvvəsi həmişə hərəkət istiqamətinə əks istiqamətə yönəldildiyi üçün onun işi bərabərdir

Sürtünmə qüvvəsinin gördüyü iş həmişə mənfi olur. İşi həmişə mənfi olan qüvvələr deyilir dissipativ.

Hərəkətin başqa bir əsas dinamik xarakteristikası - kinetik enerji anlayışını təqdim edək. Maddi nöqtənin kinetik enerjisi nöqtənin kütləsinin və sürətinin kvadratının məhsulunun yarısına bərabər olan skalyar kəmiyyətdir.

Kinetik enerjinin ölçü vahidi iş ilə eynidir (SI-də - 1 J). Bu iki kəmiyyəti birləşdirən əlaqəni tapaq.

Kütləsi sürətinin olduğu mövqedən sürətinin olduğu mövqeyə hərəkət edən maddi nöqtəni nəzərdən keçirək

İstənilən asılılığı əldə etmək üçün dinamikanın əsas qanununu ifadə edən tənliyə keçək.Onun hər iki hissəsini hərəkət istiqamətinə yönəlmiş M nöqtəsinin trayektoriyasının tangensi üzərinə proyeksiya edərək əldə edirik.

Burada daxil edilmiş nöqtənin tangensial sürətləndirilməsini formada təqdim edək

Nəticədə biz bunu tapırıq

Bu bərabərliyin hər iki tərəfini vurub diferensial işarənin altına daxil edək. Sonra qüvvənin elementar işinin harada olduğunu qeyd edərək, nöqtənin kinetik enerjisinin dəyişməsi ilə bağlı teoremin diferensial formada ifadəsini alırıq:

İndi bu bərabərliyin hər iki tərəfini nöqtələrdə dəyişənlərin dəyərlərinə uyğun olan sərhədlər daxilində birləşdirdikdən sonra nəhayət tapacağıq

Tənlik (52) nöqtənin kinetik enerjisinin dəyişməsi haqqında teoremi son formada ifadə edir: müəyyən yerdəyişmə zamanı nöqtənin kinetik enerjisinin dəyişməsi nöqtəyə təsir edən bütün qüvvələrin işinin cəbri cəminə bərabərdir. eyni yerdəyişmə.

Sərbəst hərəkət halı. Nöqtə qeyri-sərbəst şəkildə hərəkət etdikdə, bərabərliyin sağ tərəfi (52) verilmiş (aktiv) qüvvələrin işini və birləşmə reaksiyasının işini əhatə edəcəkdir. Nöqtənin stasionar hamar (sürtünməsiz) səth və ya əyri boyunca hərəkətini nəzərə almaqla məhdudlaşaq. Bu halda N reaksiyası (bax. Şəkil 233) nöqtənin trayektoriyasına normal istiqamətləndiriləcək və. Sonra (44) düsturuna əsasən, nöqtənin hər hansı bir hərəkəti üçün stasionar hamar səthin (və ya əyrinin) reaksiya işi sıfıra bərabər olacaq və (52) tənliyindən alırıq.

Nəticə etibarilə, stasionar hamar səth (və ya əyri) boyunca hərəkət edərkən nöqtənin kinetik enerjisindəki dəyişiklik nöqtəyə tətbiq olunan aktiv qüvvələrin bu hərəkəti üzərində görülən işlərin cəminə bərabərdir.

Səth (əyri) hamar deyilsə, sürtünmə qüvvəsinin işi aktiv qüvvələrin işinə əlavə olunacaq (bax § 88). Əgər səth (əyri) hərəkət edirsə, onda M nöqtəsinin mütləq yerdəyişməsi N-ə perpendikulyar olmaya bilər və onda N reaksiya işi sıfıra bərabər olmayacaq (məsələn, lift platformasının reaksiya işi).

Problemin həlli. Kinetik enerjinin dəyişməsi haqqında teorem [formula (52)] nöqtənin hərəkəti zamanı nöqtənin sürətinin necə dəyişdiyini bilmək, təsir edən qüvvələrin işini (dinamikanın birinci məsələsi) və ya işini bilməklə müəyyən etməyə imkan verir. hərəkət edən qüvvələr, hərəkət edərkən nöqtənin sürətinin necə dəyişdiyini müəyyən etmək (dinamikanın ikinci problemi). İkinci məsələni həll edərkən, qüvvələr verildikdə, onların işini hesablamaq lazımdır. (44), (44) düsturlarından göründüyü kimi, bu, yalnız qüvvələr sabit olduqda və ya yalnız elastiklik və ya cazibə qüvvəsi kimi hərəkət nöqtəsinin mövqeyindən (koordinatlarından) asılı olduqda edilə bilər (bax § 88). ).

Beləliklə, düstur (52) dinamikanın ikinci problemini həll etmək üçün bilavasitə istifadə oluna bilər, o zaman problemdəki məlumatlara və tələb olunan kəmiyyətlərə aşağıdakılar daxildir: təsir edən qüvvələr, nöqtənin yerdəyişməsi və onun başlanğıc və son sürətləri (yəni, kəmiyyətlər) və qüvvələr sabit və ya yalnız nöqtənin mövqeyindən (koordinatlarından) asılı olmalıdır.

Diferensial formada olan teorem [düstur (51)], təbii ki, istənilən təsir edən qüvvələr üçün tətbiq oluna bilər.

Məsələ 98. A nöqtəsindən sürətlə atılan, hündürlükdə yerləşən (şək. 235) çəkisi kq olan yükün düşmə nöqtəsində sürəti var C. Yükə təsir edən hava müqavimət qüvvəsinin gördüyü işi müəyyən edin. hərəkəti zamanı

Həll. Yük hərəkət etdikcə ağırlıq qüvvəsi P və hava müqaviməti R qüvvəsi yükə təsir edir.Kinetik enerjinin dəyişməsi haqqında teoremə görə yükü maddi nöqtə hesab etsək, bizdə var.

Bu bərabərlikdən, çünki düstura görə tapırıq

Məsələ 99. 96-cı məsələnin şərtlərinə uyğun olaraq (bax [§ 84), dayanmadan əvvəl yükün hansı yolu keçəcəyini müəyyənləşdirin (bax. Şəkil 223, burada yükün ilkin mövqeyi və son mövqedir).

Həll. 96-cı məsələdə olduğu kimi yükə də P, N, F qüvvələri təsir edir. Əyləc məsafəsini təyin etmək üçün bu məsələnin şərtlərinə sabit F qüvvəsinin də daxil olduğunu nəzərə alsaq, onun dəyişməsinə dair teoremdən istifadə edəcəyik. kinetik enerji

Baxılan halda - dayanma anında yükün sürəti). Bundan əlavə, P və N qüvvələri yerdəyişməyə perpendikulyar olduğundan, nəticədə tapdığımız yerdən alırıq.

96-cı məsələnin nəticələrinə görə, əyləc vaxtı ilkin sürətə mütənasib olaraq artır, əyləc məsafəsi isə, tapdığımız kimi, başlanğıc sürətin kvadratına mütənasibdir. Yerüstü nəqliyyata tətbiq edildikdə, bu, artan sürətlə təhlükənin necə artdığını göstərir.

Məsələ 100. Ağırlığı P olan yük l uzunluğunda sap üzərində asılmışdır. İp yüklə birlikdə şaquli istiqamətdən bucaq altında (şək. 236, a) əyilir və ilkin sürət olmadan buraxılır. Hərəkət edərkən yükə R müqavimət qüvvəsi təsir edir ki, biz onu təqribən onun orta qiyməti ilə əvəz edirik.İpin şaquli ilə bucaq əmələ gətirdiyi andakı yükün sürətini tapın.

Həll. Məsələnin şərtlərini nəzərə alaraq, (52) teoremindən yenidən istifadə edirik:

Yükə ağırlıq qüvvəsi P təsir edir, müqavimət sapının reaksiyası, onun orta dəyəri R ilə təmsil olunur. P qüvvəsi üçün, N qüvvəsi üçün düstura (47) uyğun olaraq, nəhayət, qüvvə üçün əldə etdiyimiz üçün çünki (45) düstura görə (qövsün uzunluğu s mərkəzi bucaq üçün hasil radius l-ə bərabərdir) olacaqdır. Bundan əlavə, problemin şərtlərinə görə Nəticədə bərabərlik (a) verir:

Müqavimət olmadıqda, biz buradan sərbəst düşən yükün sürəti üçün də açıq şəkildə etibarlı olan məşhur Qalileo düsturunu alırıq (şək. 236, b).

Nəzərdən keçirilən problemdə Sonra başqa bir qeydi - yükün vahid çəkisi üçün orta müqavimət qüvvəsini təqdim edərək, nəhayət əldə edirik.

Məsələ 101. Deformasiya olunmamış vəziyyətdə klapan yayının uzunluğu sm-dir.Klapan tam açıq olduqda onun uzunluğu sm, klapan qaldırıcısının hündürlüyü isə sm-dir (şəkil 237). Yay sərtliyi klapanının çəkisi kq. Cazibə və müqavimət qüvvələrinin təsirlərini laqeyd qoyaraq, qapağın bağlandığı anda sürətini təyin edin.

Həll, Gəlin tənlikdən istifadə edək

Problemin şərtlərinə uyğun olaraq, iş yalnız yayın elastik qüvvəsi ilə yerinə yetirilir. Sonra (48) düsturuna görə belə olacaq

Bu halda

Bundan əlavə, bütün bu dəyərləri (a) tənliyinə əvəz edərək, nəhayət əldə edirik

Məsələ 102. Elastik tirin ortasında yatan yük (şək. 238) onu müəyyən qədər əyir (tirin statistik əyilməsi). H hündürlüyündən tirin üzərinə düşür.

Həll. Əvvəlki məsələdə olduğu kimi, həll etmək üçün (52) tənliyindən istifadə edəcəyik. Bu halda, yükün ilkin sürəti və onun son sürəti (Şüanın maksimum əyilmə anında) sıfıra bərabərdir və tənlik (52) formasını alır.

Burada işi yerdəyişmə üzərində cazibə qüvvəsi P və yerdəyişmə üzərində olan F şüasının elastik qüvvəsi yerinə yetirir.Bundan başqa, şüa üçün bu kəmiyyətləri (a) bərabərliyi ilə əvəz etdikdə biz əldə edirik.

Lakin yük şüa üzərində tarazlıq vəziyyətində olduqda, cazibə qüvvəsi elastiklik qüvvəsi ilə balanslaşdırılır, buna görə də əvvəlki bərabərlik formada təmsil oluna bilər.

Bu kvadrat tənliyi həll edərək və nəzərə alaraq ki, məsələnin şərtlərinə uyğun olaraq tapmalıyıq

Maraqlıdır ki, ortaya çıxanda Buna görə, bir yük üfüqi bir şüanın ortasına yerləşdirilirsə, yükü endirərkən onun maksimum əyilməsi statik olanın iki qatına bərabər olacaqdır. Sonradan yük, tarazlıq mövqeyi ətrafında şüa ilə birlikdə salınmağa başlayacaq. Müqavimətin təsiri altında bu salınımlar azalacaq və sistem şüanın əyilməsinin bərabər olduğu bir vəziyyətdə balanslaşdırılacaq.

Məsələ 103. Cismə verilməli olan minimum şaquli istiqamətlənmiş ilkin sürəti müəyyən edin ki, o, Yerin səthindən verilmiş H hündürlüyünə qalxsın (şək. 239) Cazibə qüvvəsi cismin kvadratı ilə tərs dəyişən hesab edilir. Yerin mərkəzindən məsafə. Hava müqavimətinə laqeyd yanaşmayın.

Həll. Bədəni kütləsi olan maddi nöqtə kimi nəzərə alaraq tənlikdən istifadə edirik

Burada işi F cazibə qüvvəsi yerinə yetirir. Sonra (50) düsturundan istifadə edərək nəzərə alsaq ki, bu halda R Yerin radiusudur, biz əldə edirik.

Ən yüksək nöqtədə işin tapılmış dəyəri ilə (a) tənliyi verir

Xüsusi halları nəzərdən keçirək:

a) R ilə müqayisədə H çox kiçik olsun. Onda - sıfıra yaxın qiymət. Numerator və məxrəci bölməklə əldə edirik

Beləliklə, kiçik H üçün Qalileonun düsturuna gəlirik;

b) atılan cismin hansı ilkin sürətlə sonsuzluğa gedəcəyini tapaq.Saymanı və məxrəci A-ya bölərək, alarıq.

2.4.1. Mexanik sistemin kinetik enerjisi. Sürətlə hərəkət edən maddi kütlə nöqtəsinin kinetik enerjisinə kəmiyyət deyilir

Mexanik sistemin kinetik enerjisi bu sistemə daxil olan maddi nöqtələrin kinetik enerjilərinin cəmidir:

Sistemin kütləsinin davamlı olaraq paylandığı hallarda (7) ifadəsindəki toplama paylama sahəsi üzərində inteqrasiya ilə əvəz olunur.

Mexanik sistemin kinetik enerjisinin dəyərləri arasındakı əlaqə, biri stasionar, digəri isə translyasiya olaraq sürətlə hərəkət edir, burada C nöqtəsi mexaniki sistemin kütlə mərkəzidir, aşağıdakı kimi verilir: Koeniq teoremi:

. (8)

Burada - hərəkət edən koordinat sistemində mexaniki sistemin kinetik enerjisi.

İfadələrdən (6, 7, 8) istifadə bərk cismin kinetik enerjisini hesablamaq üçün düsturlar yazmağa imkan verir:

Kütləvi bir cisim sürətlə irəlilədikdə

Ətalət anı olan cismin sabit oxu ətrafında bucaq sürəti ilə fırlanarkən

hərəkət müstəvisinə perpendikulyar olan oxa nisbətən mərkəzi ətalət anının qiymətində və ani fırlanma oxuna nisbətən ətalət anının qiymətində bucaq sürəti olan sərt cismin müstəvi-paralel hərəkətində

. (11)

2.4.2. Enerji xüsusiyyətləri. Bir qüvvənin enerji xüsusiyyətlərinə onun gücü, işi və potensial enerjisi daxildir.

Güc Tətbiq nöqtəsi sürətlə hərəkət edən qüvvəyə böyüklük deyilir

İş güc elementar intervalda vaxt və bu müddətə uyğun olan tətbiq nöqtəsinin elementar yerdəyişməsi qayda ilə müəyyən edilir

iş güc sonlu intervalda zaman və radiusda müvafiq dəyişiklik - bu qüvvənin tətbiq nöqtəsinin vektoru - - böyüklük adlanır.

. (14)

Bir cüt qüvvənin anında gördüyü iş oxşar şəkildə hesablanır.

Potensial enerji yalnız (13) ifadəsinin tam diferensial olduğu hallarda müəyyən edilir:

Şərt (15) yerinə yetirildikdə, qüvvənin potensial olduğu deyilir. Seçilmiş koordinat sisteminin oxuna qüvvənin proyeksiyalarını funksiya ilə birləşdirən əlaqələr:

Əgər qüvvənin tətbiq nöqtəsi mövqedən mövqeyə keçibsə, onda (15) inteqral etməklə biz əldə edə bilərik.

. (17)

Qeyd: potensial enerji sabit müddətə qədər müəyyən edilir; Qeyd edilən xüsusiyyət seçdiyimiz nöqtədə (məsələn, koordinatların başlanğıcında) potensial enerjinin sıfıra bərabər olduğunu düşünməyə imkan verir.

Mexanik sistemə təsir edən qüvvələr toplusu üçün potensial enerjinin ifadəsini yazmaq mümkün olduqda, mexaniki sistem adlanır. mühafizəkar. Belə mexaniki sistemlər mühüm xüsusiyyətlərə malikdir - hərəkət edən qüvvələrin işi trayektoriyanın növündən və onun boyunca hərəkət qanunundan asılı deyildir; qapalı döngə boyunca hərəkət edərkən iş sıfırdır.

Bir funksiyanın mövcud olduğu şərtlər:

2.4.3. Kinetik enerjinin dəyişməsi haqqında teorem. Mexanik sistemin kinetik enerjisinin dəyişməsi haqqında teoremin diferensial formada yazılması:

Mexanik sistemin kinetik enerjisinin zaman törəməsi xarici və daxili qüvvələrin gücünə bərabərdir.

Kinetik enerjinin dəyişməsi haqqında teoremin yazılmasının inteqral forması

, (20)

Harada; ; ; .

Potensial enerjinin ifadəsi sistemin xarici və daxili qüvvələrinin cəmi üçün yazıla bilən xüsusi vəziyyətdə, ümumi mexaniki enerjinin saxlanması qanunu yerinə yetirilir.

və sistemin özünün mühafizəkar olduğu ortaya çıxır.

NÜMUNƏ 3. Şəkil 2-də göstərilən mexaniki sistem üçün yükün hərəkəti üçün diferensial tənliyi alın.

HƏLL. Kinetik enerjinin dəyişməsi teoremindən diferensial formada istifadə edək (19). Mexanik sistemin cisimlərinə müvafiq reaksiyalar tətbiq etməklə özümüzü əlaqələrdən əqli cəhətdən azad edək (bax. Şəkil 2). Qeyd: koaksial blokun stasionar kütlə mərkəzində tətbiq olunan qüvvələr təsvir edilmir, çünki onların gücü sıfırdır.

Mexanik sistemin kinetik enerjisi üçün ifadə yaradaq.

Enerji maddənin müxtəlif hərəkət formalarının vahid ölçüsü və maddənin hərəkətinin bir formadan digərinə keçid ölçüsü olan skalyar fiziki kəmiyyətdir.

Maddənin müxtəlif hərəkət formalarını xarakterizə etmək üçün müvafiq enerji növləri təqdim olunur, məsələn: mexaniki, daxili, elektrostatik enerji, nüvədaxili qarşılıqlı təsirlər və s.

Enerji təbiətin ən mühüm qanunlarından biri olan qorunma qanununa tabedir.

Mexanik enerji E cisimlərin hərəkətini və qarşılıqlı təsirini xarakterizə edir və cisimlərin sürətlərinin və nisbi mövqelərinin funksiyasıdır. Kinetik və potensial enerjilərin cəminə bərabərdir.

Kinetik enerji

Kütləvi bir cismin olması halını nəzərdən keçirək m sabit qüvvə var \(~\vec F\) (bir neçə qüvvənin nəticəsi ola bilər) və qüvvə \(~\vec F\) və yerdəyişmə \(~\vec s\) vektorları bir boyunca yönəldilir. bir istiqamətdə düz xətt. Bu halda qüvvənin gördüyü işi belə təyin etmək olar A = F∙s. Nyutonun ikinci qanununa görə qüvvə modulu bərabərdir F = m∙a, və yerdəyişmə modulu s vahid sürətləndirilmiş düzxətli hərəkətdə başlanğıcın modulları ilə əlaqələndirilir υ 1 və final υ 2 sürət və sürətlənmə A ifadə \(~s = \frac(\upsilon^2_2 - \upsilon^2_1)(2a)\) .

Buradan işə başlayırıq

\(~A = F \cdot s = m \cdot a \cdot \frac(\upsilon^2_2 - \upsilon^2_1)(2a) = \frac(m \cdot \upsilon^2_2)(2) - \frac (m \cdot \upsilon^2_1)(2)\) . (1)

Bədənin kütləsi ilə sürətinin kvadratının məhsulunun yarısına bərabər olan fiziki kəmiyyətə deyilir bədənin kinetik enerjisi.

Kinetik enerji hərflə təmsil olunur E k.

\(~E_k = \frac(m \cdot \upsilon^2)(2)\) . (2)

Onda bərabərlik (1) aşağıdakı kimi yazıla bilər:

\(~A = E_(k2) - E_(k1)\) . (3)

Kinetik enerji teoremi

cismə tətbiq olunan nəticə qüvvələrinin işi bədənin kinetik enerjisinin dəyişməsinə bərabərdir.

Kinetik enerjinin dəyişməsi qüvvənin işinə (3) bərabər olduğundan, cismin kinetik enerjisi iş ilə eyni vahidlərlə, yəni joulla ifadə edilir.

Kütləvi cismin ilkin hərəkət sürəti olarsa m sıfırdır və bədən sürətini dəyərinə qədər artırır υ , onda qüvvənin gördüyü iş bədənin kinetik enerjisinin son dəyərinə bərabərdir:

\(~A = E_(k2) - E_(k1)= \frac(m \cdot \upsilon^2)(2) - 0 = \frac(m \cdot \upsilon^2)(2)\) . (4)

Kinetik enerjinin fiziki mənası

v sürəti ilə hərəkət edən cismin kinetik enerjisi sükunət halında olan cismə bu sürəti vermək üçün ona təsir edən qüvvənin nə qədər iş görməli olduğunu göstərir.

Potensial enerji

Potensial enerji cisimlər arasında qarşılıqlı təsir enerjisidir.

Yerdən yuxarı qaldırılmış bir cismin potensial enerjisi, cazibə qüvvələri ilə bədənlə Yer arasında qarşılıqlı təsir enerjisidir. Elastik deformasiyaya uğramış cismin potensial enerjisi bədənin ayrı-ayrı hissələrinin bir-biri ilə elastik qüvvələrin qarşılıqlı təsir enerjisidir.

Potensial adlandırılır güc, işi yalnız hərəkət edən maddi nöqtənin və ya cismin ilkin və son vəziyyətindən asılıdır və trayektoriyanın formasından asılı deyildir.

Qapalı trayektoriyada potensial qüvvənin gördüyü iş həmişə sıfırdır. Potensial qüvvələrə cazibə qüvvələri, elastik qüvvələr, elektrostatik qüvvələr və digərləri daxildir.

Səlahiyyətlər, işi trayektoriyanın formasından asılı olanlar adlanır qeyri-potensial. Maddi bir nöqtə və ya cisim qapalı trayektoriya boyunca hərəkət etdikdə, qeyri-potensial qüvvənin gördüyü iş sıfıra bərabər deyil.

Cismin Yerlə qarşılıqlı təsirinin potensial enerjisi

Cazibə qüvvəsinin gördüyü işi tapaq F t kütləli bir cismi hərəkət etdirərkən m hündürlükdən şaquli olaraq aşağı h Yer səthindən 1 hündürlüyə qədər h 2 (Şəkil 1). Fərq varsa h 1 – h 2, Yerin mərkəzinə qədər olan məsafə, sonra isə cazibə qüvvəsi ilə müqayisədə əhəmiyyətsizdir F t bədən hərəkəti zamanı sabit və bərabər hesab edilə bilər mq.

Yerdəyişmə cazibə vektoru ilə istiqamətdə üst-üstə düşdüyü üçün cazibə qüvvəsinin gördüyü iş bərabərdir

\(~A = F \cdot s = m \cdot g \cdot (h_1 - h_2)\) . (5)

İndi cismin maili müstəvi boyunca hərəkətini nəzərdən keçirək. Cismi maili müstəvidən aşağı saldıqda (şəkil 2), cazibə qüvvəsi F t = m∙g işləyir

\(~A = m \cdot g \cdot s \cdot \cos \alpha = m \cdot g \cdot h\) , (6)

Harada h- maili müstəvinin hündürlüyü, s– maili müstəvinin uzunluğuna bərabər yerdəyişmə modulu.

Bədənin bir nöqtədən hərəkəti IN tam olaraq İLƏ hər hansı bir trayektoriya boyunca (şək. 3) zehni olaraq müxtəlif hündürlüklərə malik maili müstəvilərin bölmələri boyunca hərəkətlərdən ibarət olduğu kimi təsəvvür etmək olar. h’, h'' və s. İş A cazibə qüvvəsi bütün yoldan IN V İLƏ marşrutun ayrı-ayrı hissələri üzrə işlərin cəminə bərabərdir:

\(~A = m \cdot g \cdot h" + m \cdot g \cdot h"" + \ldots + m \cdot g \cdot h^n = m \cdot g \cdot (h" + h"" + \ldots + h^n) = m \cdot g \cdot (h_1 - h_2)\), (7)

Harada h 1 və h 2 – müvafiq olaraq nöqtələrin yerləşdiyi Yer səthindən yüksəkliklər IN Və İLƏ.

Bərabərlik (7) göstərir ki, cazibə qüvvəsinin işi cismin trayektoriyasından asılı deyil və həmişə başlanğıc və son mövqelərdə cazibə modulu ilə hündürlüklər fərqinin hasilinə bərabərdir.

Aşağıya doğru hərəkət edərkən cazibə işi müsbət, yuxarı hərəkət edərkən mənfi olur. Qapalı trayektoriyada cazibə qüvvəsinin gördüyü iş sıfırdır.

Bərabərlik (7) aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:

\(~A = - (m \cdot g \cdot h_2 - m \cdot g \cdot h_1)\) . (8)

Sərbəst düşmənin sürətlənmə modulu ilə cismin kütləsinin məhsuluna və cismin Yer səthindən yuxarı qalxdığı hündürlüyə bərabər fiziki kəmiyyət deyilir. potensial enerji bədən və Yer arasında qarşılıqlı əlaqə.

Kütləvi bir cismi hərəkət etdirərkən cazibə qüvvəsi ilə görülən iş m hündürlükdə yerləşən bir nöqtədən h 2, hündürlükdə yerləşən bir nöqtəyə h Yer səthindən 1, hər hansı bir trayektoriya boyunca, əks işarə ilə alınan cisimlə Yer arasındakı qarşılıqlı təsirin potensial enerjisinin dəyişməsinə bərabərdir.

\(~A = - (E_(p2) - E_(p1))\) . (9)

Potensial enerji hərflə göstərilir E səh.

Yerdən yuxarı qaldırılmış cismin potensial enerjisinin dəyəri sıfır səviyyəsinin seçilməsindən, yəni potensial enerjinin sıfır olduğu qəbul edilən hündürlükdən asılıdır. Adətən Yer səthində cismin potensial enerjisinin sıfır olduğu qəbul edilir.

Sıfır səviyyənin bu seçimi ilə potensial enerji E hündürlükdə yerləşən cismin p h Yer səthindən yuxarı, sərbəst düşmənin mütləq sürətlənməsi ilə bədənin m kütləsinin məhsuluna bərabərdir g və məsafə h Yerin səthindən:

\(~E_p = m \cdot g \cdot h\) . (10)

Cismin Yerlə qarşılıqlı təsirinin potensial enerjisinin fiziki mənası

cazibə qüvvəsinin təsir etdiyi cismin potensial enerjisi cismi sıfır səviyyəyə keçirərkən cazibə qüvvəsinin gördüyü işə bərabərdir.

Yalnız müsbət dəyərlərə malik ola bilən tərcümə hərəkətinin kinetik enerjisindən fərqli olaraq, cismin potensial enerjisi həm müsbət, həm də mənfi ola bilər. Bədən kütləsi m, hündürlükdə yerləşir h, Harada h < h 0 (h 0 – sıfır hündürlük), mənfi potensial enerjiyə malikdir:

\(~E_p = -m \cdot g \cdot h\) .

Qravitasiya qarşılıqlı təsirinin potensial enerjisi

İki maddi nöqtə sisteminin kütlələrlə qravitasiya qarşılıqlı təsirinin potensial enerjisi m Və M, məsafədə yerləşir r biri digərindən bərabərdir

\(~E_p = G \cdot \frac(M \cdot m)(r)\) . (on bir)

Harada G qravitasiya sabiti və potensial enerji istinadının sıfırıdır ( E p = 0) qəbul edilir r = ∞.

Cismin kütlə ilə qravitasiya qarşılıqlı təsirinin potensial enerjisi m Yerlə, harada h- bədənin yer səthindən hündürlüyü; M e - Yerin kütləsi, R e Yerin radiusudur və potensial enerji oxunuşunun sıfırı seçilir h = 0.

\(~E_e = G \cdot \frac(M_e \cdot m \cdot h)(R_e \cdot (R_e +h))\) . (12)

Sıfır istinadı seçməklə eyni şərtlə, cismin kütlə ilə cazibə qüvvəsinin potensial enerjisi m aşağı hündürlüklər üçün Yerlə h (h « R e) bərabərdir

\(~E_p = m \cdot g \cdot h\),

burada \(~g = G \cdot \frac(M_e)(R^2_e)\) Yer səthinə yaxın cazibə sürətləndirilməsi moduludur.

Elastik deformasiyaya uğramış cismin potensial enerjisi

Yayın deformasiyası (uzanması) müəyyən ilkin qiymətdən dəyişdikdə elastik qüvvənin gördüyü işi hesablayaq. x 1 son dəyərə x 2 (Şəkil 4, b, c).

Yayın deformasiyası zamanı elastik qüvvə dəyişir. Elastik qüvvənin gördüyü işi tapmaq üçün qüvvə modulunun orta qiymətini götürə bilərsiniz (çünki elastik qüvvə xətti olaraq asılıdır. x) və yerdəyişmə moduluna vurun:

\(~A = F_(upr-cp) \cdot (x_1 - x_2)\) , (13)

burada \(~F_(upr-cp) = k \cdot \frac(x_1 - x_2)(2)\) . Buradan

\(~A = k \cdot \frac(x_1 - x_2)(2) \cdot (x_1 - x_2) = k \cdot \frac(x^2_1 - x^2_2)(2)\) və ya \(~A = -\left(\frac(k \cdot x^2_2)(2) - \frac(k \cdot x^2_1)(2) \sağ)\) . (14)

Bir cismin sərtliyinin deformasiyasının kvadratına hasilinin yarısına bərabər olan fiziki kəmiyyətə deyilir. potensial enerji elastik deformasiyaya uğramış bədən:

\(~E_p = \frac(k \cdot x^2)(2)\) . (15)

(14) və (15) düsturlarından belə çıxır ki, elastik qüvvənin işi əks işarə ilə qəbul edilən elastik deformasiyaya uğramış cismin potensial enerjisinin dəyişməsinə bərabərdir:

\(~A = -(E_(p2) - E_(p1))\) . (16)

Əgər x 2 = 0 və x 1 = X, onda (14) və (15) düsturlarından göründüyü kimi,

\(~E_p = A\) .

Deformasiyaya uğramış cismin potensial enerjisinin fiziki mənası

elastik deformasiyaya uğramış cismin potensial enerjisi, cismin deformasiyanın sıfır olduğu vəziyyətə keçdiyi zaman elastik qüvvənin gördüyü işə bərabərdir.

Potensial enerji qarşılıqlı təsir göstərən cisimləri, kinetik enerji isə hərəkət edən cisimləri xarakterizə edir. Həm potensial, həm də kinetik enerji yalnız cisimlərə təsir edən qüvvələrin sıfırdan fərqli işlədiyi cisimlərin belə qarşılıqlı təsiri nəticəsində dəyişir. Qapalı sistemi təşkil edən cisimlərin qarşılıqlı təsiri zamanı enerjinin dəyişməsi məsələsini nəzərdən keçirək.

Qapalı sistem- bu, xarici qüvvələr tərəfindən təsirlənməyən və ya bu qüvvələrin hərəkəti kompensasiya olunan bir sistemdir. Əgər bir neçə cisim bir-biri ilə yalnız cazibə və elastik qüvvələrlə qarşılıqlı təsir göstərirsə və onlara heç bir xarici qüvvə təsir etmirsə, onda cisimlərin hər hansı qarşılıqlı təsiri üçün elastik və ya cazibə qüvvələrinin işi qəbul edilmiş cisimlərin potensial enerjisinin dəyişməsinə bərabərdir. əks işarə ilə:

\(~A = -(E_(p2) - E_(p1))\) . (17)

Kinetik enerji teoreminə görə, eyni qüvvələrin gördüyü iş kinetik enerjinin dəyişməsinə bərabərdir:

\(~A = E_(k2) - E_(k1)\) . (18)

(17) və (18) bərabərliklərinin müqayisəsindən məlum olur ki, qapalı sistemdə cisimlərin kinetik enerjisinin dəyişməsi mütləq qiymətcə cisimlər sisteminin potensial enerjisinin dəyişməsinə bərabərdir və işarəsi ilə əksinədir:

\(~E_(k2) - E_(k1) = -(E_(p2) - E_(p1))\) və ya \(~E_(k1) + E_(p1) = E_(k2) + E_(p2) \) . (19)

Mexanik proseslərdə enerjinin saxlanması qanunu:

qapalı sistemi təşkil edən və bir-biri ilə cazibə və elastik qüvvələrin təsirinə məruz qalan cisimlərin kinetik və potensial enerjilərinin cəmi sabit qalır.

Cismlərin kinetik və potensial enerjilərinin cəminə deyilir ümumi mexaniki enerji.

Sadə bir təcrübə verək. Gəlin bir polad top ataq. İlkin sürətə υ düym verərək, ona kinetik enerji verəcəyik, buna görə də o, yuxarı qalxmağa başlayacaq. Cazibə qüvvəsinin hərəkəti topun sürətinin və buna görə də onun kinetik enerjisinin azalmasına səbəb olur. Lakin top daha da yüksəlir və getdikcə daha çox potensial enerji əldə edir ( E p = m∙g∙h). Beləliklə, kinetik enerji izsiz itmir, potensial enerjiyə çevrilir.

Trayektoriyanın ən yüksək nöqtəsinə çatma anında ( υ = 0) top kinetik enerjidən tamamilə məhrumdur ( E k = 0), lakin eyni zamanda onun potensial enerjisi maksimum olur. Sonra top istiqamətini dəyişir və artan sürətlə aşağıya doğru hərəkət edir. İndi potensial enerji yenidən kinetik enerjiyə çevrilir.

Enerjinin saxlanması qanunu ortaya qoyur fiziki məna anlayışlar iş:

qravitasiya və elastik qüvvələrin işi bir tərəfdən kinetik enerjinin artmasına, digər tərəfdən isə cisimlərin potensial enerjisinin azalmasına bərabərdir. Buna görə iş bir növdən digərinə çevrilən enerjiyə bərabərdir.

Mexanik Enerji Dəyişikliyi Qanunu

Əgər qarşılıqlı təsir edən cisimlər sistemi qapalı deyilsə, onun mexaniki enerjisi qorunmur. Belə bir sistemin mexaniki enerjisinin dəyişməsi xarici qüvvələrin işinə bərabərdir:

\(~A_(vn) = \Delta E = E - E_0\) . (20)

Harada E Və E 0 – müvafiq olaraq son və ilkin vəziyyətlərdə sistemin ümumi mexaniki enerjiləri.

Belə bir sistemə misal olaraq potensial qüvvələrlə yanaşı qeyri-potensial qüvvələrin də hərəkət etdiyi sistemi göstərmək olar. Qeyri-potensial qüvvələrə sürtünmə qüvvələri daxildir. Əksər hallarda sürtünmə qüvvəsi arasındakı bucaq olduqda F r bədəndir π radyan, sürtünmə qüvvəsinin gördüyü iş mənfi və bərabərdir

\(~A_(tr) = -F_(tr) \cdot s_(12)\) ,

Harada s 12 - 1 və 2 nöqtələri arasında bədən yolu.

Sistemin hərəkəti zamanı sürtünmə qüvvələri onun kinetik enerjisini azaldır. Bunun nəticəsində qapalı qeyri-mühafizəkar sistemin mexaniki enerjisi həmişə azalaraq qeyri-mexaniki hərəkət formalarının enerjisinə çevrilir.

Məsələn, yolun üfüqi hissəsi ilə hərəkət edən avtomobil mühərriki söndürdükdən sonra müəyyən məsafə qət edir və sürtünmə qüvvələrinin təsiri altında dayanır. Avtomobilin irəliyə doğru hərəkətinin kinetik enerjisi sıfıra bərabər oldu və potensial enerji artmadı. Maşın əyləc edən zaman əyləc balataları, avtomobil təkərləri və asfalt qızdırılıb. Nəticədə, sürtünmə qüvvələrinin təsiri nəticəsində avtomobilin kinetik enerjisi itmədi, molekulların istilik hərəkətinin daxili enerjisinə çevrildi.

Enerjinin saxlanması və çevrilməsi qanunu

İstənilən fiziki qarşılıqlı təsirdə enerji bir formadan digərinə çevrilir.

Bəzən sürtünmə qüvvəsi arasındakı bucaq F tr və elementar yerdəyişmə Δ r sıfıra bərabərdir və sürtünmə qüvvəsinin işi müsbətdir:

\(~A_(tr) = F_(tr) \cdot s_(12)\) ,

Misal 1. Qoy xarici qüvvə olsun F blokda fəaliyyət göstərir IN, arabada sürüşə bilən D(şək. 5). Araba sağa doğru hərəkət edərsə, sürüşmə sürtünmə qüvvəsi tərəfindən görülən iş F Blok tərəfindən arabaya təsir edən tr2 müsbətdir:

Misal 2. Təkər yuvarlandıqda, onun yuvarlanan sürtünmə qüvvəsi hərəkət boyunca yönəldilir, çünki təkərin üfüqi səthlə təmas nöqtəsi təkərin hərəkət istiqamətinə əks istiqamətdə hərəkət edir və sürtünmə qüvvəsinin işi müsbətdir. (Şəkil 6):

Ədəbiyyat

Kabardin O.F. Fizika: İstinad. materiallar: Dərslik. tələbələr üçün dərslik. – M.: Təhsil, 1991. – 367 s.
Kikoin I.K., Kikoin A.K. Fizika: Dərslik. 9-cu sinif üçün. orta məktəb – M.: Prosveshchenie, 1992. – 191 s.
İbtidai fizika dərsliyi: Proc. müavinət. 3 cilddə / Ed. G.S. Landsberq: cild 1. Mexanika. İstilik. Molekulyar fizika. – M.: Fizmətlit, 2004. – 608 s.
Yavorsky B.M., Seleznev Yu.A. Universitetlərə və öz-özünə təhsilə daxil olanlar üçün fizika üzrə istinad bələdçisi. – M.: Nauka, 1983. – 383 s.

Sistemin bütün nöqtələrinin kinetik enerjilərinin cəminə bərabər olan T skalar kəmiyyətinə sistemin kinetik enerjisi deyilir.

Kinetik enerji sistemin ötürmə və fırlanma hərəkətinin xüsusiyyətidir. Onun dəyişməsinə xarici qüvvələrin təsiri təsir edir və skalyar olduğundan sistemin hissələrinin hərəkət istiqamətindən asılı deyildir.

Müxtəlif hərəkət halları üçün kinetik enerjini tapaq:

1.İrəli hərəkət

Sistemin bütün nöqtələrinin sürətləri kütlə mərkəzinin sürətinə bərabərdir. Sonra

Tərcümə hərəkəti zamanı sistemin kinetik enerjisi sistemin kütləsinin və kütlə mərkəzinin sürətinin kvadratının məhsulunun yarısına bərabərdir.

2. Fırlanma hərəkəti(Şəkil 77)

Bədənin istənilən nöqtəsinin sürəti: . Sonra

və ya (15.3.1) düsturundan istifadə etməklə:

Fırlanma zamanı cismin kinetik enerjisi cismin fırlanma oxuna nisbətən ətalət anının və onun bucaq sürətinin kvadratının məhsulunun yarısına bərabərdir.

3. Müstəvi-paralel hərəkət

Müəyyən bir hərəkət üçün kinetik enerji tərcümə və fırlanma hərəkətlərinin enerjisindən ibarətdir

Hərəkətin ümumi vəziyyəti sonuncuya bənzər kinetik enerjinin hesablanması üçün bir düstur verir.

Biz iş və gücün tərifini 14-cü fəslin 3-cü bəndində etdik. Burada mexaniki sistemə təsir edən qüvvələrin işinin və gücünün hesablanması nümunələrinə baxacağıq.

1.Cazibə qüvvələrinin işi. , cismin k nöqtəsinin başlanğıc və son mövqelərinin koordinatları olsun. Bu ağırlıq hissəciyinə təsir edən cazibə qüvvəsinin gördüyü iş olacaq . Sonra tam iş:

burada P maddi nöqtələr sisteminin çəkisi, C ağırlıq mərkəzinin şaquli yerdəyişməsidir.

2. Fırlanan cismə tətbiq edilən qüvvələrin işi.

(14.3.1) münasibətinə görə yaza bilərik, lakin Şəkil 74-ə görə ds sonsuz kiçikliyinə görə formada göstərilə bilər. - bədənin sonsuz kiçik fırlanma bucağı. Sonra

Böyüklük fırlanma anı adlanır.

(19.1.6) düsturu kimi yenidən yazırıq

Elementar iş elementar fırlanma anı dəfələrlə hasilinə bərabərdir.

Son bucaqdan fırlanarkən bizdə:

Tork sabitdirsə, o zaman

və (14.3.5) əlaqədən gücü təyin edirik.

cismin fırlanma momenti və bucaq sürətinin məhsulu kimi.

Bir nöqtə üçün sübut edilmiş kinetik enerjinin dəyişməsi haqqında teorem (§ 14.4) sistemin istənilən nöqtəsi üçün etibarlı olacaqdır.

Sistemin bütün nöqtələri üçün bu cür tənlikləri tərtib edərək və onları terminlər üzrə əlavə etməklə əldə edirik:

və ya (19.1.1)-ə uyğun olaraq:

diferensial formada sistemin kinetik enerjisi haqqında teoremin ifadəsidir.

İnteqrasiya (19.2.2) əldə edirik:

Son formada kinetik enerjinin dəyişməsi haqqında teorem: bəzi son yerdəyişmə zamanı sistemin kinetik enerjisinin dəyişməsi sistemə tətbiq edilən bütün xarici və daxili qüvvələrin bu yerdəyişməsi üzərində görülən işlərin cəminə bərabərdir.

Daxili qüvvələrin də istisna olmadığını vurğulayırıq. Dəyişməz sistem üçün bütün daxili qüvvələrin gördüyü işlərin cəmi sıfıra bərabərdir və

Əgər sistemə qoyulan məhdudiyyətlər zamanla dəyişməzsə, onda həm xarici, həm də daxili qüvvələri aktiv və reaksiya məhdudiyyətlərinə bölmək olar və indi (19.2.2) tənliyini yazmaq olar:

Dinamikada "ideal" mexaniki sistem anlayışı təqdim olunur. Bu, əlaqələrin mövcudluğunun kinetik enerjinin dəyişməsinə təsir etmədiyi bir sistemdir, yəni

Zamanla dəyişməyən və elementar yerdəyişmədə işlərinin cəmi sıfır olan belə əlaqələr ideal adlanır və (19.2.5) tənliyi yazılacaqdır:

Müəyyən M vəziyyətində olan maddi nöqtənin potensial enerjisi nöqtəni M mövqeyindən sıfıra köçürərkən sahə qüvvələrinin əmələ gətirəcəyi işə bərabər olan P skalar kəmiyyətidir.

P = A (ay) (19.3.1)

Potensial enerji M nöqtəsinin mövqeyindən, yəni koordinatlarından asılıdır

P = P(x,y,z) (19.3.2)

Burada izah edək ki, güc sahəsi fəza həcminin bir hissəsidir, onun hər nöqtəsində hissəciyin yerindən, yəni x koordinatlarından asılı olaraq müəyyən böyüklükdə və istiqamətdə qüvvə təsir göstərir. y, z. Məsələn, Yerin qravitasiya sahəsi.

Diferensialı işə bərabər olan koordinatlardan ibarət U funksiyası deyilir güc funksiyası. Qüvvət funksiyasının mövcud olduğu qüvvə sahəsi deyilir potensial qüvvə sahəsi, və bu sahədə fəaliyyət göstərən qüvvələrdir potensial qüvvələr.

P(x,y,z) və U(x,y,z) iki qüvvə funksiyasının sıfır nöqtələri üst-üstə düşsün.

(14.3.5) düsturundan istifadə edərək əldə edirik, yəni. dA = dU(x,y,z) və

burada U M nöqtəsində qüvvə funksiyasının qiymətidir. Deməli

П(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)

Qüvvə sahəsinin istənilən nöqtəsində potensial enerji əks işarə ilə qəbul edilən bu nöqtədəki qüvvə funksiyasının qiymətinə bərabərdir.

Yəni, güc sahəsinin xassələrini nəzərdən keçirərkən, güc funksiyası əvəzinə potensial enerjini nəzərdən keçirə bilərik və xüsusən də (19.3.3) tənliyi belə yenidən yazılacaqdır.

Potensial qüvvənin gördüyü iş başlanğıc və son mövqelərdə hərəkət edən nöqtənin potensial enerji dəyərləri arasındakı fərqə bərabərdir.

Xüsusilə, cazibə işi:

Sistemə təsir edən bütün qüvvələr potensial olsun. Onda sistemin hər bir k nöqtəsi üçün iş bərabərdir

O zaman bütün qüvvələr, istər xarici, istərsə də daxili qüvvələr üçün olacaq

bütün sistemin potensial enerjisi haradadır.

Bu məbləğləri kinetik enerji ifadəsində əvəz edirik (19.2.3):

və ya nəhayət:

Potensial qüvvələrin təsiri altında hərəkət edərkən, sistemin hər bir mövqeyində kinetik və potensial enerjisinin cəmi sabit qalır. Bu mexaniki enerjinin saxlanma qanunudur.

1 kq ağırlığında olan yük x = 0.1sinl0t qanununa əsasən sərbəst salınır. Yayın sərtlik əmsalı c = 100 N/m. X = 0,05 m-də yükün ümumi mexaniki enerjisini təyin edin, əgər x = 0-da potensial enerji sıfırdırsa . (0,5)

Kütləsi m = 4 kq olan yük aşağı düşərək ipin köməyi ilə radiusu R = 0,4 m olan silindrin fırlanmasına səbəb olur Silindr fırlanma oxuna nisbətən ətalət anı I = 0,2-dir. Yükün sürəti v = 2m/s olduğu zaman anında cisimlər sisteminin kinetik enerjisini təyin edin. . (10,5)