1°. Ecuaciones del plano tangente y normal para el caso de definición explícita de la superficie.

Consideremos una de las aplicaciones geométricas de las derivadas parciales de una función de dos variables. Deja que la función z = f (X ;y) diferenciable en el punto (x0; y 0) alguna zona DÎ R 2. cortemos la superficie S, representando la función z, aviones x = x 0 Y y = y 0(Figura 11).

Avión X = x0 intersecta la superficie S a lo largo de alguna línea z 0 (y ), cuya ecuación se obtiene sustituyendo en la expresión de la función original z ==f (X ;y) en lugar de X números x0. Punto METRO 0 (x0;y 0,f (x0;y 0)) pertenece a la curva z 0 (y). Debido a la función diferenciable z en el punto M 0 función z 0 (y) también es diferenciable en el punto y = y 0 . Por lo tanto, en este punto del avión x = x 0 a la curva z 0 (y) se puede trazar una tangente l 1.

Realizando un razonamiento similar para la sección en = y 0, construyamos una tangente yo 2 a la curva z 0 (X) en el punto X = x0 - Directo 1 1 Y 1 2 definir un plano llamado plano de la tangente a la superficie S en el punto M 0.

Creemos su ecuación. Como el avión pasa por el punto Mes(x0;y0;z 0), entonces su ecuación se puede escribir como

A(x - xo) + B(y - yo) + C (z - zo) = 0,

que se puede reescribir así:

z-z 0 = A 1 (x – x 0) + B 1 (y – y 0) (1)

(dividiendo la ecuación por -C y denotando ).

Lo encontraremos un 1 y B1.

Ecuaciones tangentes 1 1 Y 1 2 parece

respectivamente.

Tangente yo 1 se encuentra en el plano a , por lo tanto, las coordenadas de todos los puntos yo 1 satisfacer la ecuación (1). Este hecho se puede escribir en forma de un sistema.

Resolviendo este sistema con respecto a B 1, obtenemos que. Realizando un razonamiento similar para la tangente. yo 3, es fácil establecer eso .

Sustituyendo los valores un 1 y B 1 en la ecuación (1), obtenemos la ecuación del plano tangente deseada:

Línea que pasa por un punto. M 0 y perpendicular al plano tangente construido en este punto de la superficie se llama su normal.

Utilizando la condición de perpendicularidad de la recta y el plano, es fácil obtener las ecuaciones normales canónicas:

Comentario. Las fórmulas para el plano tangente y normal a la superficie se obtienen para puntos ordinarios, es decir, no especiales, de la superficie. Punto M 0 superficie se llama especial, si en este punto todas las derivadas parciales son iguales a cero o al menos una de ellas no existe. No consideramos tales puntos.

Ejemplo. Escribe ecuaciones para el plano tangente y normal a la superficie en su punto. M(2; -1; 1).

Solución. Encontremos las derivadas parciales de esta función y sus valores en el punto M.

De aquí, aplicando las fórmulas (2) y (3), tendremos: z-1=2(x-2)+2(y+1) o 2х+2у-z-1=0- ecuación del plano tangente y - ecuaciones normales.

2°. Ecuaciones del plano tangente y normal para el caso de definición implícita de la superficie.

si la superficie S dado por la ecuación F (X ; y;z)= 0, entonces las ecuaciones (2) y (3), teniendo en cuenta que las derivadas parciales se pueden encontrar como derivadas de una función implícita.

Definición 1 : El plano tangente a la superficie en un punto dado P (x 0, y 0, z 0) es un plano que pasa por el punto P y contiene todas las tangentes construidas en el punto P a todas las curvas posibles en esta superficie que pasan por el punto P.

Sea la superficie s la ecuación F (X, en, z) = 0 y punto PAG (X 0 , y 0 , z 0) pertenece a esta superficie. Seleccionemos alguna curva en la superficie. l, pasando por el punto R.

Dejar X = X(t), en = en(t), z = z(t) - ecuaciones paramétricas de la recta. l.

Supongamos que: 1) función F(X, en, z) es diferenciable en el punto R y no todas sus derivadas parciales en este punto son iguales a cero; 2) funciones X(t), en(t), z(t) también son diferenciables.

Dado que la curva pertenece a la superficie s, las coordenadas de cualquier punto de esta curva, sustituidas en la ecuación de la superficie, la convertirán en una identidad. Por tanto, la igualdad idéntica es cierta: F [X(t), en(t), z (t)]= 0.

Diferenciando esta identidad con respecto a la variable t, usando la regla de la cadena, obtenemos una nueva igualdad idéntica, válida en todos los puntos de la curva, incluido el punto PAG (X 0 , y 0 , z 0):

Sea el punto P el valor del parámetro t 0, eso es X 0 = X (t 0), y 0 = y (t 0), z 0 = z (t 0). Entonces la última relación calculada en el punto R, tomará la forma

Esta fórmula es el producto escalar de dos vectores. El primero es un vector constante.

independiente de la elección de la curva en la superficie.

El segundo vector es tangente al punto R a la linea l, lo que significa que depende de la elección de la línea en la superficie, es decir, es un vector variable.

Con las notaciones introducidas, la igualdad es:

reescribamos cómo.

Su significado es este: el producto escalar es igual a cero, por tanto, los vectores son perpendiculares. Seleccionar todas las curvas posibles que pasan por un punto. R en la superficie s, tendremos diferentes vectores tangentes construidos en el punto R a estas líneas; el vector no depende de esta elección y será perpendicular a cualquiera de ellos, es decir, todos los vectores tangentes se ubican en el mismo plano, que, por definición, es tangente a la superficie s, y el punto R en este caso se llama punto tangente. El vector es el vector de dirección normal a la superficie.

Definición 2: La normal a la superficie s en el punto P es una línea recta que pasa por el punto P y es perpendicular al plano tangente construido en este punto.

Hemos demostrado la existencia de un plano tangente y, en consecuencia, normal a la superficie. Anotemos sus ecuaciones:

Ecuación del plano tangente construido en el punto P (x0, y0, z0) a la superficie s dada por la ecuación F(x, y, z) = 0;

Ecuación de la normal construida en un punto. R a la superficie s.

Ejemplo: Encuentra la ecuación de la superficie formada por la rotación de la parábola:

z 2 = 2p (y +2)

alrededor del eje y, calcule siempre que el punto METRO(3, 1, - 3) pertenece a la superficie. Encuentre las ecuaciones del plano normal y tangente a la superficie en el punto M.

Solución. Usando la regla para escribir una superficie de rotación, obtenemos:

z 2 + X 2 = 2p (y +2) .

Sustituyendo las coordenadas del punto M en esta ecuación, calculamos el valor del parámetro p: 9 + 9 = 2р(1 + 2) . Registramos la vista final de la superficie de revolución que pasa por el punto. METRO:

z 2 + X 2 = 6(y +2).

Ahora encontraremos las ecuaciones del plano normal y tangente usando las fórmulas, para las cuales primero calculamos las derivadas parciales de la función:

F(x,y) = z 2 + X 2- 6 (y +2):

Entonces la ecuación del plano tangente toma la forma 6(x - 3) - 6(y - 1) - 6(z) + 3) = 0 o x - y - z - 5 = 0;

Ecuación del plano normal

1.

4.

Plano tangente y superficie normal.

Sea una superficie dada, A es un punto fijo de la superficie y B es un punto variable de la superficie,

Vector distinto de cero

Un punto de superficie F (x, y, z) = 0 se llama ordinario si en este punto

1. las derivadas parciales F " x , F " y , F " z son continuas;
2. (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .

Si se viola al menos una de estas condiciones, el punto de superficie se llama punto especial de la superficie .

Teorema 1. Si M(x 0 , y 0 , z 0 ) es un punto ordinario de la superficie F (x , y , z) = 0 , entonces el vector

es normal a esta superficie en el punto M (x 0, y 0, z 0).

Prueba dado en el libro de I.M. Petrushko, Los Ángeles. Kuznetsova, V.I. Prokhorenko, V.F. Safonova ``Curso de matemáticas superiores: Cálculo integral. Funciones de varias variables. Ecuaciones diferenciales. M.: Editorial MPEI, 2002 (p. 128).

Normal a la superficie en algún punto hay una recta cuyo vector dirección es normal a la superficie en ese punto y que pasa por este punto.

Canónico ecuaciones normales se puede representar en la forma

Plano de la tangente a la superficie en un cierto punto es un plano que pasa por este punto perpendicular a la normal a la superficie en ese punto.

De esta definición se deduce que ecuación del plano tangente tiene la forma:

Si un punto de una superficie es singular, entonces en ese punto el vector normal a la superficie puede no existir y, por lo tanto, la superficie puede no tener un plano normal y tangente.

Significado geométrico del diferencial total de una función de dos variables

Sea la función z = f (x, y) diferenciable en el punto a (x 0, y 0). Su gráfica es la superficie.

f (x, y) − z = 0.

Pongamos z 0 = f (x 0, y 0). Entonces el punto A (x 0 , y 0 , z 0 ) pertenece a la superficie.

Las derivadas parciales de la función F (x, y, z) = f (x, y) − z son

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

y en el punto A (x 0 , y 0 , z 0 )

1. son continuos;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

En consecuencia, A es un punto ordinario de la superficie F (x, y, z) y en este punto existe un plano tangente a la superficie. Según (3), la ecuación del plano tangente tiene la forma:

f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0) - (z - z 0) = 0.

El desplazamiento vertical de un punto en el plano tangente cuando se mueve desde el punto a (x 0, y 0) a un punto arbitrario p (x, y) es B Q (Fig. 2). El incremento correspondiente de solicitudes es

(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )

Aquí en el lado derecho hay un diferencial. d función z z = f (x, y) en el punto a (x 0, x 0). Por eso,
d f (x 0, y 0). es el incremento de la aplicación de un punto del plano tangente a la gráfica de la función f (x, y) en el punto (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)).

De la definición de diferencial se deduce que la distancia entre el punto P en la gráfica de una función y el punto Q en el plano tangente es un infinitesimal de orden superior que la distancia del punto p al punto a.

Tengamos una superficie definida por una ecuación de la forma

Introduzcamos la siguiente definición.

Definición 1. Una línea recta se llama tangente a la superficie en algún punto si es

tangente a cualquier curva que se encuentre en la superficie y pase por el punto.

Dado que un número infinito de curvas diferentes que se encuentran en la superficie pasan por el punto P, entonces, en términos generales, habrá un número infinito de tangentes a la superficie que pasa por este punto.

Introduzcamos el concepto de puntos singulares y ordinarios de una superficie.

Si en un punto las tres derivadas son iguales a cero o al menos una de estas derivadas no existe, entonces el punto M se llama punto singular de la superficie. Si en un punto las tres derivadas existen y son continuas, y al menos una de ellas es distinta de cero, entonces el punto M se llama punto ordinario de la superficie.

Ahora podemos formular el siguiente teorema.

Teorema. Todas las rectas tangentes a una superficie dada (1) en su punto ordinario P se encuentran en el mismo plano.

Prueba. Consideremos una determinada línea L en la superficie (Fig. 206) que pasa por un punto P dado de la superficie. Dejemos que la curva considerada esté dada por ecuaciones paramétricas.

La tangente a la curva será la tangente a la superficie. Las ecuaciones de esta tangente tienen la forma.

Si las expresiones (2) se sustituyen en la ecuación (1), entonces esta ecuación se convertirá en una identidad con respecto a t, ya que la curva (2) se encuentra en la superficie (1). Diferenciándolo por obtenemos

Las proyecciones de este vector dependen de: las coordenadas del punto P; tenga en cuenta que dado que el punto P es ordinario, estas proyecciones en el punto P no desaparecen simultáneamente y, por lo tanto,

tangente a una curva que pasa por el punto P y se encuentra en la superficie. Las proyecciones de este vector se calculan con base en las ecuaciones (2) en el valor del parámetro t correspondiente al punto P.

Calculemos el producto escalar de los vectores N y que es igual a la suma de los productos de las proyecciones del mismo nombre:

Con base en la igualdad (3), la expresión del lado derecho es igual a cero, por lo tanto,

De la última igualdad se deduce que el vector LG y el vector tangente a la curva (2) en el punto P son perpendiculares. El razonamiento anterior es válido para cualquier curva (2) que pase por el punto P y se encuentre en la superficie. En consecuencia, cada tangente a la superficie en el punto P es perpendicular al mismo vector N y por tanto todas estas tangentes se encuentran en el mismo plano perpendicular al vector LG. El teorema está demostrado.

Definición 2. El plano en el que se ubican todas las líneas tangentes a las líneas de la superficie que pasan por su punto P dado se llama plano tangente a la superficie en el punto P (Fig. 207).

Tenga en cuenta que en puntos singulares de la superficie puede no haber un plano tangente. En tales puntos, las líneas tangentes a la superficie pueden no estar en el mismo plano. Por ejemplo, el vértice de una superficie cónica es un punto singular.

Las tangentes a la superficie cónica en este punto no se encuentran en el mismo plano (ellas mismas forman una superficie cónica).

Escribamos la ecuación del plano tangente a la superficie (1) en un punto ordinario. Dado que este plano es perpendicular al vector (4), su ecuación tiene la forma

Si la ecuación de la superficie se da en la forma o la ecuación del plano tangente en este caso toma la forma

Comentario. Si ponemos la fórmula (6), entonces esta fórmula tomará la forma

su lado derecho es el diferencial completo de la función. Por eso, . Así, el diferencial total de una función de dos variables en un punto correspondiente a los incrementos de las variables independientes x e y es igual al incremento correspondiente de la aplicación del plano tangente a la superficie, que es la gráfica de esta función.

Definición 3. Una línea recta trazada a través de un punto de la superficie (1) perpendicular al plano tangente se llama normal a la superficie (Fig. 207).

Escribamos las ecuaciones normales. Dado que su dirección coincide con la dirección del vector N, sus ecuaciones tendrán la forma

Consideremos aplicaciones geométricas de la derivada de una función de varias variables. Sea especificada implícitamente una función de dos variables: . Esta función en su dominio de definición está representada por una determinada superficie (Sección 5.1). Tomemos un punto arbitrario en esta superficie. , en el que las tres derivadas parciales , existen y son continuas, y al menos una de ellas no es igual a cero.

Un punto con tales características se llama común punto de superficie. Si no se cumple al menos uno de los requisitos anteriores, entonces el punto se llama especial punto de superficie.

A través de un punto seleccionado en la superficie se pueden dibujar muchas curvas, cada una de las cuales puede tener una tangente.

Definición 5.8.1 . El plano en el que se ubican todas las rectas tangentes a las rectas de la superficie que pasan por un punto determinado se llama plano tangente a esta superficie en el punto .

Para dibujar un plano determinado basta con tener dos rectas tangentes, es decir, dos curvas en la superficie. Estas pueden ser curvas obtenidas como resultado de cortar una superficie determinada con planos (Fig. 5.8.1).

Escribamos la ecuación de una recta tangente a una curva que se encuentra en la intersección de la superficie y el plano. Dado que esta curva se encuentra en el sistema de coordenadas, la ecuación de la tangente a ella en el punto, de acuerdo con el párrafo 2.7, tiene la forma:

. (5.8.1)

En consecuencia, la ecuación de la tangente a la curva que se encuentra en la intersección de la superficie y el plano en el sistema de coordenadas en el mismo punto tiene la forma:

. (5.8.2)

Usemos la expresión para la derivada de una función especificada implícitamente (Sección 5.7). Entonces, eh. Sustituyendo estas derivadas en (5.8.1) y (5.8.2), obtenemos, respectivamente:

; (5.8.3)

. (5.8.4)

Dado que las expresiones resultantes no son más que ecuaciones de rectas en forma canónica (sección 15), entonces de (5.8.3) obtenemos el vector director , y de (5.8.4) – . El producto vectorial dará un vector normal a las rectas tangentes dadas y, por tanto, al plano tangente:

De ello se deduce que la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto tiene la forma (elemento 14):

Definición 5.8.2 . Línea recta trazada por un punto. La superficie perpendicular al plano tangente en este punto se llama normal a la superficie..

Dado que el vector de dirección de la normal a la superficie coincide con la normal al plano tangente, la ecuación normal tiene la forma:

.

campo escalar

Sea una región especificada en el espacio, ocupando parte o la totalidad de este espacio. Deje que cada punto de esta área, de acuerdo con alguna ley, esté asociado con una determinada cantidad escalar (número).

Definición 5.9.1 . Un área en el espacio, cada punto del cual está asociado, según una ley bien conocida, con una determinada cantidad escalar, se llama campo escalar..

Si se asocia algún tipo de sistema de coordenadas con el área, por ejemplo, un sistema cartesiano rectangular, entonces cada punto adquiere sus propias coordenadas. En este caso, la cantidad escalar pasa a ser función de coordenadas: en el plano – , en el espacio tridimensional – . La función misma que describe este campo a menudo se denomina campo escalar. Dependiendo de la dimensión del espacio, un campo escalar puede ser plano, tridimensional, etc.

Debe enfatizarse que la magnitud del campo escalar depende sólo de la posición del punto en la región, pero no depende de la elección del sistema de coordenadas.

Definición 5.9.2 . Un campo escalar que depende sólo de la posición de un punto en la región, pero no depende del tiempo, se llama estacionario..

En esta sección no se considerarán campos escalares no estacionarios, es decir, dependientes del tiempo.

Ejemplos de campos escalares incluyen el campo de temperatura, el campo de presión en la atmósfera y el campo de altura sobre el nivel del océano.

Geométricamente, los campos escalares se representan a menudo mediante las llamadas líneas o superficies de nivel.

Definición 5.9.3 . El conjunto de todos los puntos en el espacio en los que el campo escalar tiene el mismo significado se llama superficie nivelada o superficie equipotencial. En el caso plano de un campo escalar, este conjunto se llama línea de nivel o línea equipotencial..

Obviamente, la ecuación de la superficie nivelada tiene la forma , líneas de nivel – . Al dar a las constantes diferentes valores en estas ecuaciones, obtenemos una familia de superficies o líneas de nivel. Por ejemplo, (esferas anidadas unas dentro de otras con diferentes radios) o (familia de elipses).

Ejemplos de líneas de nivel de la física incluyen isotermas (líneas de temperaturas iguales), isobaras (líneas de igual presión); de geodesia: líneas de iguales alturas, etc.