Este teorema establece una relación cuantitativa entre el trabajo de una fuerza (causa) y la energía cinética de un punto material (efecto).
Energía cinética de un punto material. es una cantidad escalar igual a la mitad del producto de la masa de un punto por el cuadrado de su velocidad
.
(43)
La energía cinética caracteriza la acción mecánica de una fuerza que puede convertirse en otros tipos de energía, por ejemplo, térmica.
trabajo de fuerza a un desplazamiento dado es la característica de la acción de la fuerza que conduce a un cambio en el módulo de velocidad.
Trabajo elemental de fuerza. se define como el producto escalar del vector fuerza y el vector desplazamiento elemental en el punto de su aplicación
,
(44)
Dónde 
- movimiento elemental.
El módulo de trabajo elemental está determinado por la fórmula.
Dónde
- el ángulo entre el vector de fuerza y el vector de desplazamiento elemental; 
- proyección del vector de fuerza sobre la tangente.
El trabajo total sobre algún desplazamiento finito está determinado por la integral
.
(46)
De (46) se deduce que el trabajo total se puede calcular en dos casos, cuando la fuerza es constante o depende del desplazamiento.
En F=constante obtenemos 
.
Al resolver problemas, suele ser conveniente utilizar el método analítico para calcular la fuerza.
Dónde F X , F y , F z– proyecciones de fuerza sobre los ejes de coordenadas.
Demostremos el siguiente teorema.
Teorema: El cambio en la energía cinética de un punto material en parte de su desplazamiento es igual al trabajo de la fuerza que actúa sobre el punto en el mismo desplazamiento.
Sea el punto material M de masa. metro se mueve bajo la influencia de la fuerza F desde la posición M 0 a la posición M 1.
OUD: 
.
(47)
Introduzcamos la sustitución. 
y proyectar (47) sobre la tangente
.
(48)
Separamos las variables en (48) e integramos
Como resultado obtenemos
.
(49)
La ecuación (49) demuestra el teorema formulado anteriormente.
Es conveniente utilizar el teorema cuando los parámetros dados y buscados incluyen la masa de un punto, su velocidad inicial y final, fuerzas y desplazamiento.
Cálculo del trabajo de fuerzas características.
1. Trabajo de gravedad se calcula como el producto del módulo de fuerza y el desplazamiento vertical del punto de su aplicación
.
(50)
Al subir, el trabajo es positivo; al bajar, el trabajo es negativo.
2. Trabajo de la fuerza elástica de un resorte. F=-cx igual a
,
(51)
Dónde X 0 – alargamiento (compresión) inicial del resorte;
X 1 – alargamiento (compresión) final del resorte.
El trabajo de la gravedad y la fuerza elástica no depende de la trayectoria de movimiento de sus puntos de aplicación. Estas fuerzas, cuyo trabajo no depende de la trayectoria, se denominan fuerzas potenciales.
3. Trabajo de la fuerza de fricción.
Dado que la fuerza de fricción siempre se dirige en dirección opuesta a la dirección del movimiento, su trabajo es igual a
El trabajo realizado por la fuerza de fricción siempre es negativo.. Las fuerzas cuyo trabajo es siempre negativo se llaman disipativo.
Introduzcamos el concepto de otra característica dinámica básica del movimiento: la energía cinética. La energía cinética de un punto material es una cantidad escalar igual a la mitad del producto de la masa del punto por el cuadrado de su velocidad.
La unidad de medida de la energía cinética es la misma que la del trabajo (en SI - 1 J). Encontremos la relación que conecta estas dos cantidades.
Consideremos un punto material con masa que se mueve desde una posición donde tiene velocidad a una posición donde su velocidad
Para obtener la dependencia deseada, recurramos a la ecuación que expresa la ley básica de la dinámica. Proyectando ambas partes sobre la tangente a la trayectoria del punto M, dirigida en la dirección del movimiento, obtenemos
Representemos la aceleración tangencial del punto incluido aquí en la forma
Como resultado, encontramos que
Multipliquemos ambos lados de esta igualdad por e ingresemos bajo el signo diferencial. Luego, observando dónde está el trabajo elemental de fuerza, obtenemos la expresión del teorema sobre el cambio de energía cinética de un punto en forma diferencial:
Habiendo integrado ahora ambos lados de esta igualdad dentro de los límites correspondientes a los valores de las variables en los puntos, finalmente encontraremos
La ecuación (52) expresa el teorema sobre el cambio en la energía cinética de un punto en su forma final: el cambio en la energía cinética de un punto durante algún desplazamiento es igual a la suma algebraica del trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre el punto en el mismo desplazamiento.
El caso de la falta de libertad de movimiento. Cuando el punto se mueve de manera no libre, el lado derecho de la igualdad (52) incluirá el trabajo de las fuerzas dadas (activas) y el trabajo de la reacción de acoplamiento. Limitémonos a considerar el movimiento de un punto a lo largo de una superficie o curva estacionaria lisa (sin fricción). En este caso, la reacción N (ver Fig. 233) se dirigirá normal a la trayectoria del punto y. Entonces, de acuerdo con la fórmula (44), el trabajo de reacción de una superficie lisa estacionaria (o curva) para cualquier movimiento del punto será igual a cero, y de la ecuación (52) obtenemos
En consecuencia, cuando se mueve a lo largo de una superficie lisa estacionaria (o curva), el cambio en la energía cinética de un punto es igual a la suma del trabajo realizado sobre este movimiento de las fuerzas activas aplicadas al punto.
Si la superficie (curva) no es lisa, entonces el trabajo de la fuerza de fricción se sumará al trabajo de las fuerzas activas (ver § 88). Si la superficie (curva) se está moviendo, entonces el desplazamiento absoluto del punto M puede no ser perpendicular a N y entonces el trabajo de reacción N no será igual a cero (por ejemplo, el trabajo de reacción de la plataforma del ascensor).
Resolución de problemas. El teorema sobre el cambio de energía cinética [fórmula (52)] permite, sabiendo cómo cambia la velocidad de un punto cuando un punto se mueve, determinar el trabajo de las fuerzas actuantes (el primer problema de la dinámica) o, conociendo el trabajo de las fuerzas actuantes, para determinar cómo cambia la velocidad de un punto cuando se mueve (el segundo problema de la dinámica). Al resolver el segundo problema, cuando se dan las fuerzas, es necesario calcular su trabajo. Como puede verse en las fórmulas (44), (44), esto solo se puede hacer cuando las fuerzas son constantes o dependen únicamente de la posición (coordenadas) del punto en movimiento, como la fuerza de elasticidad o la gravedad (ver § 88 ).
Por lo tanto, la fórmula (52) se puede usar directamente para resolver el segundo problema de dinámica, cuando los datos y las cantidades requeridas en el problema incluyen: fuerzas actuantes, el desplazamiento de un punto y sus velocidades inicial y final (es decir, cantidades), y las fuerzas deben ser constantes o depender únicamente de la posición (coordenadas) del punto.
El teorema en forma diferencial [fórmula (51)] puede, por supuesto, aplicarse a cualquier fuerza actuante.
Problema 98. Una carga que pesa kg, lanzada con rapidez desde el punto A, ubicado en una altura (Fig.235), tiene una velocidad en el punto de caída C. Determine cuál es el trabajo realizado por la fuerza de resistencia del aire que actúa sobre la carga. durante su movimiento
Solución. A medida que la carga se mueve, sobre la carga actúan la fuerza de gravedad P y la fuerza de resistencia del aire R. Según el teorema del cambio de energía cinética, considerando la carga como un punto material, tenemos
De esta igualdad, ya que según la fórmula encontramos
Problema 99. En las condiciones del problema 96 (ver [§ 84), determine qué camino recorrerá la carga antes de detenerse (ver Fig. 223, donde está la posición inicial de la carga y es la posición final).
Solución. Sobre la carga, como en el problema 96, actúan las fuerzas P, N, F. Para determinar la distancia de frenado, teniendo en cuenta que las condiciones de este problema también incluyen una fuerza constante F, usaremos el teorema del cambio en energía cinética
En el caso considerado, la velocidad de la carga en el momento de detenerse). Además, dado que las fuerzas P y N son perpendiculares al desplazamiento, como resultado, obtenemos de donde encontramos
Según los resultados del problema 96, el tiempo de frenado aumenta en proporción a la velocidad inicial y la distancia de frenado, como encontramos, es proporcional al cuadrado de la velocidad inicial. Aplicado al transporte terrestre, esto muestra cómo el peligro aumenta al aumentar la velocidad.
Problema 100. Una carga de peso P está suspendida de un hilo de longitud l. El hilo junto con la carga se desvía de la vertical en un ángulo (Fig. 236, a) y se suelta sin velocidad inicial. Al moverse, sobre la carga actúa una fuerza de resistencia R, que reemplazamos aproximadamente con su valor promedio. Encuentre la velocidad de la carga en el momento en que el hilo forma un ángulo con la vertical.
Solución. Teniendo en cuenta las condiciones del problema, volvemos a utilizar el teorema (52):
Sobre la carga actúa la fuerza de gravedad P, reacción del hilo de resistencia, representada por su valor medio R. Para la fuerza P, según la fórmula (47) para la fuerza N, ya que finalmente obtenemos, para la fuerza ya que, según la fórmula (45) lo será (la longitud s del arco es igual al producto del radio l por ángulo central). Además, según las condiciones del problema. Como resultado, la igualdad (a) da:
En ausencia de resistencia, obtenemos de aquí la conocida fórmula de Galileo, que obviamente también es válida para la velocidad de una carga en caída libre (Fig. 236, b).
En el problema considerado Luego, introduciendo otra notación (la fuerza de resistencia promedio por unidad de peso de la carga), finalmente obtenemos
Problema 101. En estado no deformado, el resorte de la válvula tiene una longitud de cm, cuando la válvula está completamente abierta, su longitud es cm y la altura de elevación de la válvula es cm (Fig. 237). Rigidez del muelle peso válvula kg. Despreciando los efectos de las fuerzas de gravedad y resistencia, determine la velocidad de la válvula en el momento en que se cierra.
Solución, usemos la ecuación.
Según las condiciones del problema, el trabajo se realiza únicamente por la fuerza elástica del resorte. Entonces, según la fórmula (48) será
En este caso
Además, Sustituyendo todos estos valores en la ecuación (a), finalmente obtenemos
Problema 102. Una carga que se encuentra en el medio de una viga elástica (Fig.238) la desvía en una cantidad (deflexión estadística de la viga). Despreciando el peso de la viga, determine cuál será su deflexión máxima si la carga cae sobre la viga desde una altura H.
Solución. Como en el problema anterior, usaremos la ecuación (52) para resolver. En este caso, la velocidad inicial de la carga y su velocidad final (en el momento de máxima deflexión de la viga) son iguales a cero y la ecuación (52) toma la forma
El trabajo aquí lo realizan la fuerza gravitacional P sobre el desplazamiento y la fuerza elástica de la viga F sobre el desplazamiento. Además, dado que para la viga Sustituyendo estas cantidades en la igualdad (a), obtenemos
Pero cuando la carga está en equilibrio sobre la viga, la fuerza de gravedad está equilibrada por la fuerza de elasticidad, por lo tanto, la igualdad anterior se puede representar en la forma
Resolviendo esta ecuación cuadrática y teniendo en cuenta que según las condiciones del problema debemos encontrar
Es interesante notar que cuando resulta Por lo tanto, si se coloca una carga en el medio de una viga horizontal, entonces su deflexión máxima al bajar la carga será igual al doble de la estática. Posteriormente, la carga comenzará a oscilar junto con la viga alrededor de la posición de equilibrio. Bajo la influencia de la resistencia, estas oscilaciones se amortiguarán y el sistema se equilibrará en una posición en la que la deflexión de la viga sea igual a
Problema 103. Determine la velocidad inicial mínima dirigida verticalmente que se debe impartir al cuerpo para que se eleve desde la superficie de la Tierra hasta una altura determinada H (Fig. 239). Se considera que la fuerza de atracción varía inversamente con el cuadrado de la distancia del centro de la Tierra. Desprecie la resistencia del aire.
Solución. Considerando el cuerpo como un punto material con masa, utilizamos la ecuación
El trabajo aquí lo realiza la fuerza gravitacional F. Luego, usando la fórmula (50), teniendo en cuenta que en este caso donde R es el radio de la Tierra, obtenemos
Dado que en el punto más alto, con el valor de trabajo encontrado, la ecuación (a) da
Consideremos casos especiales:
a) sea H muy pequeño en comparación con R. Entonces, un valor cercano a cero. Dividiendo el numerador y el denominador obtenemos
Así, para H pequeño llegamos a la fórmula de Galileo;
b) encontramos con qué velocidad inicial el cuerpo lanzado llegará al infinito. Dividiendo el numerador y el denominador por A, obtenemos
2.4.1. Energía cinética de un sistema mecánico. La energía cinética de un punto material de masa que se mueve con velocidad se llama cantidad
La energía cinética de un sistema mecánico es la suma de las energías cinéticas de los puntos materiales incluidos en este sistema:
En los casos en que la masa del sistema se distribuye continuamente, la suma en la expresión (7) se reemplaza por la integración sobre el área de distribución.
La relación entre los valores de la energía cinética de un sistema mecánico en dos sistemas de referencia, uno de los cuales es estacionario y el otro se mueve traslacionalmente con velocidad, donde el punto C es el centro de masa del sistema mecánico, está dada por Teorema de Koenig:
. (8)
Aquí 
- energía cinética de un sistema mecánico en un sistema de coordenadas en movimiento.
El uso de expresiones (6, 7, 8) le permite escribir fórmulas para calcular la energía cinética de un cuerpo sólido:
Cuando un cuerpo de masa avanza con velocidad.
Al girar con velocidad angular alrededor de un eje fijo de un cuerpo con un momento de inercia
en movimiento plano-paralelo de un cuerpo rígido con velocidad angular a un valor del momento de inercia central con respecto al eje perpendicular al plano de movimiento, y un valor del momento de inercia con respecto al eje de rotación instantáneo
. (11)
2.4.2. Características energéticas. Las características energéticas de una fuerza incluyen su potencia, trabajo y energía potencial.
Fuerza La fuerza, cuyo punto de aplicación se mueve con velocidad, se llama magnitud.
Trabajo fortaleza en un intervalo elemental tiempo y el desplazamiento elemental del punto de aplicación correspondiente a este período de tiempo está determinado por la regla
Trabajar fortaleza en un intervalo finito El tiempo y el cambio correspondiente en el radio (el vector del punto de aplicación de esta fuerza desde a) se denomina magnitud.
. (14)
El trabajo realizado por el momento de un par de fuerzas se calcula de forma similar.
La energía potencial se define sólo en los casos en que la expresión (13) es un diferencial total:
Cuando se cumple la condición (15), se dice que la fuerza es potencial. Relaciones que conectan las proyecciones de fuerza sobre el eje del sistema de coordenadas seleccionado con la función:
Si el punto de aplicación de la fuerza se ha movido de una posición a otra, entonces integrando (15) podemos obtener
. (17)
Nota: la energía potencial se determina hasta un término constante; La característica señalada nos permite suponer que la energía potencial es igual a cero en un punto que elijamos (por ejemplo, en el origen de coordenadas).
En el caso de que para el conjunto de fuerzas que actúan sobre un sistema mecánico sea posible escribir la expresión de energía potencial, el sistema mecánico se llama conservador. Dichos sistemas mecánicos tienen características importantes: el trabajo de las fuerzas actuantes no depende del tipo de trayectoria y de la ley del movimiento a lo largo de ella; El trabajo cuando se mueve a lo largo de un circuito cerrado es cero.
Condiciones bajo las cuales existe una función:
2.4.3. Teorema sobre el cambio de energía cinética. Escribiendo el teorema sobre el cambio de energía cinética de un sistema mecánico en forma diferencial:
La derivada temporal de la energía cinética de un sistema mecánico es igual a la potencia de las fuerzas externas e internas.
Forma integral de escribir el teorema sobre el cambio de energía cinética.
, (20)
Dónde ; ; ; .
En el caso particular en el que la expresión de la energía potencial puede escribirse para la totalidad de las fuerzas externas e internas del sistema, se cumple la ley de conservación de la energía mecánica total.
y el sistema en sí resulta conservador.
EJEMPLO 3. Para el sistema mecánico que se muestra en la Fig. 2, obtenga una ecuación diferencial para el movimiento de la carga.
SOLUCIÓN. Usemos el teorema sobre el cambio de energía cinética en forma diferencial (19). Liberémonos mentalmente de las conexiones aplicando reacciones apropiadas a los cuerpos del sistema mecánico (ver Fig. 2). Nota: las fuerzas aplicadas en el centro de masa estacionario del bloque coaxial no se representan, ya que su potencia es cero.
Creemos una expresión para la energía cinética de un sistema mecánico.
Energía es una cantidad física escalar que es una medida unificada de varias formas de movimiento de la materia y una medida de la transición del movimiento de la materia de una forma a otra.
Para caracterizar diversas formas de movimiento de la materia, se introducen los tipos correspondientes de energía, por ejemplo: mecánica, interna, energía de interacciones electrostáticas, intranucleares, etc.
La energía obedece a la ley de conservación, que es una de las leyes más importantes de la naturaleza.
La energía mecánica E caracteriza el movimiento y la interacción de los cuerpos y es función de las velocidades y posiciones relativas de los cuerpos. Es igual a la suma de las energías cinética y potencial.
Energía cinética
Consideremos el caso en que un cuerpo de masa metro hay una fuerza constante \(~\vec F\) (puede ser la resultante de varias fuerzas) y los vectores de fuerza \(~\vec F\) y desplazamiento \(~\vec s\) se dirigen a lo largo de uno línea recta en una dirección. En este caso, el trabajo realizado por la fuerza se puede definir como A = F∙s. El módulo de fuerza según la segunda ley de Newton es igual a F = m∙a, y el módulo de desplazamiento s en movimiento rectilíneo uniformemente acelerado está asociado con los módulos de la inicial υ 1 y final υ 2 velocidades y aceleraciones A expresión \(~s = \frac(\upsilon^2_2 - \upsilon^2_1)(2a)\) .
A partir de aquí nos ponemos manos a la obra
\(~A = F \cdot s = m \cdot a \cdot \frac(\upsilon^2_2 - \upsilon^2_1)(2a) = \frac(m \cdot \upsilon^2_2)(2) - \frac (m \cdot \upsilon^2_1)(2)\) . (1)
Una cantidad física igual a la mitad del producto de la masa de un cuerpo por el cuadrado de su velocidad se llama energía cinética del cuerpo.
La energía cinética está representada por la letra. mi k.
\(~E_k = \frac(m \cdot \upsilon^2)(2)\) . (2)
Entonces la igualdad (1) se puede escribir de la siguiente manera:
\(~A = E_(k2) - E_(k1)\) . (3)
Teorema de la energía cinética
el trabajo de las fuerzas resultantes aplicadas al cuerpo es igual al cambio en la energía cinética del cuerpo.
Dado que el cambio de energía cinética es igual al trabajo de la fuerza (3), la energía cinética del cuerpo se expresa en las mismas unidades que el trabajo, es decir, en julios.
Si la velocidad inicial de movimiento de un cuerpo de masa metro es cero y el cuerpo aumenta su velocidad hasta el valor υ , entonces el trabajo realizado por la fuerza es igual al valor final de la energía cinética del cuerpo:
\(~A = E_(k2) - E_(k1)= \frac(m \cdot \upsilon^2)(2) - 0 = \frac(m \cdot \upsilon^2)(2)\) . (4)
Significado físico de la energía cinética.
La energía cinética de un cuerpo que se mueve con una velocidad v muestra cuánto trabajo debe realizar una fuerza que actúa sobre un cuerpo en reposo para impartirle esta velocidad.
Energía potencial
Energía potencial es la energía de interacción entre cuerpos.
La energía potencial de un cuerpo elevado sobre la Tierra es la energía de interacción entre el cuerpo y la Tierra por las fuerzas gravitacionales. La energía potencial de un cuerpo deformado elásticamente es la energía de interacción de las partes individuales del cuerpo entre sí por fuerzas elásticas.
Potencial son llamados fortaleza, cuyo trabajo depende únicamente de la posición inicial y final de un punto o cuerpo material en movimiento y no depende de la forma de la trayectoria.
En una trayectoria cerrada, el trabajo realizado por la fuerza potencial es siempre cero. Las fuerzas potenciales incluyen fuerzas gravitacionales, fuerzas elásticas, fuerzas electrostáticas y algunas otras.
Potestades, cuyo trabajo depende de la forma de la trayectoria, se llaman no potencial. Cuando un punto o cuerpo material se mueve a lo largo de una trayectoria cerrada, el trabajo realizado por la fuerza no potencial no es igual a cero.
Energía potencial de interacción de un cuerpo con la Tierra.
Encontremos el trabajo realizado por la gravedad. F t al mover un cuerpo de masa metro verticalmente hacia abajo desde una altura h 1 sobre la superficie de la Tierra a una altura h 2 (Figura 1). si la diferencia h 1 – h 2 es insignificante en comparación con la distancia al centro de la Tierra, entonces la fuerza de gravedad F t durante el movimiento del cuerpo puede considerarse constante e igual mg.
Dado que el desplazamiento coincide en dirección con el vector de gravedad, el trabajo realizado por la gravedad es igual a
\(~A = F \cdot s = m \cdot g \cdot (h_1 - h_2)\) . (5)
Consideremos ahora el movimiento de un cuerpo a lo largo de un plano inclinado. Al mover un cuerpo hacia abajo en un plano inclinado (Fig. 2), la fuerza de gravedad F t= mg funciona
\(~A = m \cdot g \cdot s \cdot \cos \alpha = m \cdot g \cdot h\), (6)
Dónde h– altura del plano inclinado, s– módulo de desplazamiento igual a la longitud del plano inclinado.
Movimiento de un cuerpo desde un punto. EN exactamente CON a lo largo de cualquier trayectoria (Fig. 3) se puede imaginar mentalmente como un movimiento a lo largo de secciones de planos inclinados con diferentes alturas. h’, h'' etc. Trabajo A gravedad desde EN V CON igual a la suma del trabajo en secciones individuales de la ruta:
\(~A = m \cdot g \cdot h" + m \cdot g \cdot h"" + \ldots + m \cdot g \cdot h^n = m \cdot g \cdot (h" + h"" + \ldots + h^n) = m \cdot g \cdot (h_1 - h_2)\), (7)
Dónde h 1 y h 2 – alturas desde la superficie de la Tierra en las que se encuentran los puntos, respectivamente EN Y CON.
La igualdad (7) muestra que el trabajo de la gravedad no depende de la trayectoria del cuerpo y siempre es igual al producto del módulo de gravedad por la diferencia de alturas en las posiciones inicial y final.
Cuando se mueve hacia abajo, el trabajo de la gravedad es positivo, cuando se mueve hacia arriba es negativo. El trabajo realizado por la gravedad en una trayectoria cerrada es cero.
La igualdad (7) se puede representar de la siguiente manera:
\(~A = - (m \cdot g \cdot h_2 - m \cdot g \cdot h_1)\) . (8)
Una cantidad física igual al producto de la masa de un cuerpo por el módulo de aceleración de caída libre y la altura a la que se eleva el cuerpo sobre la superficie de la Tierra se llama energía potencial interacción entre el cuerpo y la Tierra.
Trabajo realizado por la gravedad al mover un cuerpo de masa. metro desde un punto situado a una altura h 2, a un punto situado a una altura h 1 desde la superficie de la Tierra, a lo largo de cualquier trayectoria, es igual al cambio en la energía potencial de interacción entre el cuerpo y la Tierra, tomado con el signo opuesto.
\(~A = - (E_(p2) - E_(p1))\) . (9)
La energía potencial se indica con la letra. mi pag.
El valor de la energía potencial de un cuerpo elevado sobre la Tierra depende de la elección del nivel cero, es decir, de la altura a la que se supone que la energía potencial es cero. Generalmente se supone que la energía potencial de un cuerpo en la superficie de la Tierra es cero.
Con esta elección del nivel cero, la energía potencial mi p de un cuerpo situado a una altura h sobre la superficie de la Tierra, igual al producto de la masa m del cuerpo por la aceleración absoluta de caída libre gramo y distancia h desde la superficie de la Tierra:
\(~E_p = m \cdot g \cdot h\) . (10)
El significado físico de la energía potencial de interacción de un cuerpo con la Tierra.
la energía potencial de un cuerpo sobre el que actúa la gravedad es igual al trabajo realizado por la gravedad al mover el cuerpo al nivel cero.
A diferencia de la energía cinética del movimiento de traslación, que sólo puede tener valores positivos, la energía potencial de un cuerpo puede ser tanto positiva como negativa. Masa corporal metro, situado a una altura h, Dónde h < h 0 (h 0 – altura cero), tiene energía potencial negativa:
\(~E_p = -m \cdot g \cdot h\) .
Energía potencial de interacción gravitacional.
Energía potencial de interacción gravitacional de un sistema de dos puntos materiales con masas. metro Y METRO, ubicado a una distancia r uno del otro es igual
\(~E_p = G \cdot \frac(M \cdot m)(r)\) . (once)
Dónde GRAMO es la constante gravitacional y el cero de la referencia de energía potencial ( mi p = 0) aceptado en r = ∞.
Energía potencial de interacción gravitacional de un cuerpo con masa. metro con la Tierra, donde h– altura del cuerpo sobre la superficie de la Tierra, METRO e – masa de la Tierra, R e es el radio de la Tierra, y el cero de la lectura de energía potencial se elige en h = 0.
\(~E_e = G \cdot \frac(M_e \cdot m \cdot h)(R_e \cdot (R_e +h))\) . (12)
Bajo la misma condición de elegir referencia cero, la energía potencial de interacción gravitacional de un cuerpo con masa metro con la Tierra para altitudes bajas h (h « R mi) igual
\(~E_p = m \cdot g \cdot h\) ,
donde \(~g = G \cdot \frac(M_e)(R^2_e)\) es el módulo de aceleración de la gravedad cerca de la superficie de la Tierra.
Energía potencial de un cuerpo elásticamente deformado.
Calculemos el trabajo realizado por la fuerza elástica cuando la deformación (alargamiento) del resorte cambia desde un cierto valor inicial. X 1 al valor final X 2 (Figura 4, b, c).
La fuerza elástica cambia a medida que el resorte se deforma. Para encontrar el trabajo realizado por la fuerza elástica, puede tomar el valor promedio del módulo de fuerza (ya que la fuerza elástica depende linealmente de X) y multiplicar por el módulo de desplazamiento:
\(~A = F_(upr-cp) \cdot (x_1 - x_2)\) , (13)
donde \(~F_(upr-cp) = k \cdot \frac(x_1 - x_2)(2)\) . De aquí
\(~A = k \cdot \frac(x_1 - x_2)(2) \cdot (x_1 - x_2) = k \cdot \frac(x^2_1 - x^2_2)(2)\) o \(~A = -\left(\frac(k \cdot x^2_2)(2) - \frac(k \cdot x^2_1)(2) \right)\) . (14)
Una cantidad física igual a la mitad del producto de la rigidez de un cuerpo por el cuadrado de su deformación se llama energía potencial cuerpo elásticamente deformado:
\(~E_p = \frac(k \cdot x^2)(2)\) . (15)
De las fórmulas (14) y (15) se deduce que el trabajo de la fuerza elástica es igual al cambio en la energía potencial de un cuerpo elásticamente deformado, tomado con el signo opuesto:
\(~A = -(E_(p2) - E_(p1))\) . (dieciséis)
Si X 2 = 0 y X 1 = X, entonces, como se puede ver en las fórmulas (14) y (15),
\(~E_p = A\) .
Significado físico de la energía potencial de un cuerpo deformado.
La energía potencial de un cuerpo deformado elásticamente es igual al trabajo realizado por la fuerza elástica cuando el cuerpo pasa a un estado en el que la deformación es cero.
La energía potencial caracteriza a los cuerpos que interactúan y la energía cinética caracteriza a los cuerpos en movimiento. Tanto la energía potencial como la cinética cambian sólo como resultado de una interacción de cuerpos en la que las fuerzas que actúan sobre los cuerpos realizan un trabajo distinto de cero. Consideremos la cuestión de los cambios de energía durante las interacciones de cuerpos que forman un sistema cerrado.
Sistema cerrado- este es un sistema sobre el que no actúan fuerzas externas o la acción de estas fuerzas está compensada. Si varios cuerpos interactúan entre sí solo por fuerzas gravitacionales y elásticas y ninguna fuerza externa actúa sobre ellos, entonces, para cualquier interacción de cuerpos, el trabajo de las fuerzas elásticas o gravitacionales es igual al cambio en la energía potencial de los cuerpos, tomada con el signo opuesto:
\(~A = -(E_(p2) - E_(p1))\) . (17)
Según el teorema de la energía cinética, el trabajo realizado por las mismas fuerzas es igual al cambio de energía cinética:
\(~A = E_(k2) - E_(k1)\) . (18)
De una comparación de igualdades (17) y (18) se desprende claramente que el cambio en la energía cinética de los cuerpos en un sistema cerrado es igual en valor absoluto al cambio en la energía potencial de un sistema de cuerpos y de signo opuesto:
\(~E_(k2) - E_(k1) = -(E_(p2) - E_(p1))\) o \(~E_(k1) + E_(p1) = E_(k2) + E_(p2) \). (19)
Ley de conservación de la energía en procesos mecánicos.:
la suma de las energías cinética y potencial de los cuerpos que forman un sistema cerrado e interactúan entre sí mediante fuerzas gravitacionales y elásticas permanece constante.
La suma de las energías cinética y potencial de los cuerpos se llama energía mecánica total.
Hagamos un experimento simple. Lancemos una bola de acero. Al darle la velocidad inicial υ pulgada, le daremos energía cinética, por lo que comenzará a ascender. La acción de la gravedad provoca una disminución de la velocidad de la pelota y, por tanto, de su energía cinética. Pero la pelota se eleva cada vez más y adquiere cada vez más energía potencial ( mi pag = m∙g∙h). Así, la energía cinética no desaparece sin dejar rastro, sino que se convierte en energía potencial.
En el momento de alcanzar el punto más alto de la trayectoria ( υ = 0) la pelota está completamente privada de energía cinética ( mi k = 0), pero al mismo tiempo su energía potencial se vuelve máxima. Luego la pelota cambia de dirección y se mueve hacia abajo con velocidad creciente. Ahora la energía potencial se vuelve a convertir en energía cinética.
La ley de conservación de la energía revela significado fisico conceptos trabajar:
El trabajo de las fuerzas gravitacionales y elásticas, por un lado, es igual a un aumento de la energía cinética y, por otro lado, a una disminución de la energía potencial de los cuerpos. Por tanto, el trabajo es igual a la energía convertida de un tipo a otro.
Ley de cambio de energía mecánica
Si un sistema de cuerpos que interactúan no es cerrado, entonces su energía mecánica no se conserva. El cambio de energía mecánica de dicho sistema es igual al trabajo de fuerzas externas:
\(~A_(vn) = \Delta E = E - E_0\) . (20)
Dónde mi Y mi 0 – energías mecánicas totales del sistema en los estados final e inicial, respectivamente.
Un ejemplo de tal sistema es un sistema en el que, junto con las fuerzas potenciales, actúan fuerzas no potenciales. Las fuerzas no potenciales incluyen fuerzas de fricción. En la mayoría de los casos, cuando el ángulo entre la fuerza de fricción F r el cuerpo es π radianes, el trabajo realizado por la fuerza de fricción es negativo e igual a
\(~A_(tr) = -F_(tr) \cdot s_(12)\) ,
Dónde s 12 – recorrido del cuerpo entre los puntos 1 y 2.
Las fuerzas de fricción durante el movimiento de un sistema reducen su energía cinética. Como resultado de esto, la energía mecánica de un sistema cerrado no conservativo siempre disminuye, convirtiéndose en energía de formas de movimiento no mecánicas.
Por ejemplo, un automóvil que circula por un tramo horizontal de la carretera, después de apagar el motor, recorre una cierta distancia y se detiene bajo la influencia de fuerzas de fricción. La energía cinética del movimiento hacia adelante del automóvil se volvió igual a cero y la energía potencial no aumentó. Al frenar el coche, las pastillas de freno, los neumáticos y el asfalto se calentaron. En consecuencia, como resultado de la acción de las fuerzas de fricción, la energía cinética del automóvil no desapareció, sino que se convirtió en energía interna del movimiento térmico de las moléculas.
Ley de conservación y transformación de la energía.
En cualquier interacción física, la energía se transforma de una forma a otra.
A veces el ángulo entre la fuerza de fricción F tr y desplazamiento elemental Δ r es igual a cero y el trabajo de la fuerza de fricción es positivo:
\(~A_(tr) = F_(tr) \cdot s_(12)\) ,
Ejemplo 1. Deja que la fuerza externa F actúa en el bloque EN, que puede deslizarse sobre el carro D(Figura 5). Si el carro se mueve hacia la derecha, entonces el trabajo realizado por la fuerza de fricción por deslizamiento F tr2 que actúa sobre el carro desde el lado del bloque es positivo:
Ejemplo 2. Cuando una rueda rueda, su fuerza de fricción de rodadura se dirige a lo largo del movimiento, ya que el punto de contacto de la rueda con la superficie horizontal se mueve en la dirección opuesta a la dirección del movimiento de la rueda, y el trabajo de la fuerza de fricción es positivo. (Figura 6):
Literatura
- Kabardin O.F. Física: Referencia. Materiales: Libro de texto. manual para estudiantes. – M.: Educación, 1991. – 367 p.
- Kikoin I.K., Kikoin A.K. Física: libro de texto. para noveno grado. promedio escuela – M.: Prosveshchenie, 1992. – 191 p.
- Libro de texto de física elemental: Proc. prestación. En 3 volúmenes / Ed. G.S. Landsberg: volumen 1. Mecánica. Calor. Física molecular. – M.: Fizmatlit, 2004. – 608 p.
- Yavorsky B.M., Seleznev Yu.A. Una guía de referencia de física para quienes ingresan a las universidades y la autoeducación. – M.: Nauka, 1983. – 383 p.
La cantidad escalar T, igual a la suma de las energías cinéticas de todos los puntos del sistema, se llama energía cinética del sistema.
La energía cinética es una característica del movimiento de traslación y rotación de un sistema. Su cambio está influenciado por la acción de fuerzas externas y al ser escalar, no depende de la dirección del movimiento de las partes del sistema.
Encontremos la energía cinética para varios casos de movimiento:
1.Movimiento hacia adelante
Las velocidades de todos los puntos del sistema son iguales a la velocidad del centro de masa. Entonces
La energía cinética del sistema durante el movimiento de traslación es igual a la mitad del producto de la masa del sistema por el cuadrado de la velocidad del centro de masa.
2. movimiento rotacional(Figura 77)
Velocidad de cualquier punto del cuerpo: . Entonces
o usando la fórmula (15.3.1):
La energía cinética de un cuerpo durante la rotación es igual a la mitad del producto del momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y el cuadrado de su velocidad angular.
3. Movimiento plano paralelo
Para un movimiento dado, la energía cinética consiste en la energía de los movimientos de traslación y rotación.
El caso general del movimiento da una fórmula para calcular la energía cinética similar a la anterior.
Hicimos la definición de trabajo y potencia en el párrafo 3 del Capítulo 14. Aquí veremos ejemplos de cálculo del trabajo y la potencia de las fuerzas que actúan sobre un sistema mecánico.
1.Trabajo de las fuerzas de gravedad.. Sean , coordenadas de las posiciones inicial y final del punto k del cuerpo. El trabajo realizado por la fuerza de gravedad que actúa sobre esta partícula de peso será 
. A continuación la obra completa:
donde P es el peso del sistema de puntos materiales, es el desplazamiento vertical del centro de gravedad C.
2. Trabajo de fuerzas aplicadas a un cuerpo en rotación..
Según la relación (14.3.1), podemos escribir , pero ds según la Figura 74, debido a su infinita pequeñez, se puede representar en la forma 
- un ángulo de rotación infinitesimal del cuerpo. Entonces
Magnitud 
llamado par.
Reescribimos la fórmula (19.1.6) como
El trabajo elemental es igual al producto del par por la rotación elemental.
Al rotar el ángulo final tenemos:
Si el par es constante, entonces
y determinamos la potencia a partir de la relación (14.3.5)
como el producto del par por la velocidad angular del cuerpo.
El teorema sobre el cambio de energía cinética demostrado para un punto (§ 14.4) será válido para cualquier punto del sistema.
Al componer tales ecuaciones para todos los puntos del sistema y sumarlas término por término, obtenemos:
o, según (19.1.1):
que es una expresión del teorema sobre la energía cinética de un sistema en forma diferencial.
Integrando (19.2.2) obtenemos:
El teorema sobre el cambio de energía cinética en su forma final: el cambio en la energía cinética de un sistema durante algún desplazamiento final es igual a la suma del trabajo realizado en este desplazamiento de todas las fuerzas externas e internas aplicadas al sistema.
Destacamos que las fuerzas internas no están excluidas. Para un sistema inmutable, la suma del trabajo realizado por todas las fuerzas internas es cero y
Si las restricciones impuestas al sistema no cambian con el tiempo, entonces las fuerzas, tanto externas como internas, se pueden dividir en restricciones activas y de reacción, y ahora se puede escribir la ecuación (19.2.2):
En dinámica se introduce el concepto de sistema mecánico “ideal”. Este es un sistema en el que la presencia de conexiones no afecta el cambio de energía cinética, es decir
Tales conexiones, que no cambian con el tiempo y cuya suma de trabajo sobre un desplazamiento elemental es cero, se denominan ideales y la ecuación (19.2.5) se escribirá:
La energía potencial de un punto material en una posición dada M es la cantidad escalar P, igual al trabajo que producirán las fuerzas del campo al mover el punto de la posición M a cero.
P = A (mes) (19.3.1)
La energía potencial depende de la posición del punto M, es decir, de sus coordenadas.
P = P(x,y,z) (19.3.2)
Expliquemos aquí que un campo de fuerza es parte de un volumen espacial, en cada punto del cual una fuerza de cierta magnitud y dirección actúa sobre una partícula, dependiendo de la posición de la partícula, es decir, de las coordenadas x, y, z. Por ejemplo, el campo gravitacional de la Tierra.
Una función U de coordenadas cuyo diferencial es igual al trabajo se llama función de potencia. Un campo de fuerza para el cual existe una función de fuerza se llama campo de fuerza potencial, y las fuerzas que actúan en este campo son fuerzas potenciales.
Dejemos que los puntos cero de dos funciones de fuerza P(x,y,z) y U(x,y,z) coincidan.
Usando la fórmula (14.3.5) obtenemos, es decir dA = dU(x,y,z) y
donde U es el valor de la función de fuerza en el punto M. Por tanto
П(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)
La energía potencial en cualquier punto del campo de fuerza es igual al valor de la función de fuerza en ese punto, tomado con el signo opuesto.
Es decir, al considerar las propiedades del campo de fuerza, en lugar de la función de fuerza, podemos considerar la energía potencial y, en particular, la ecuación (19.3.3) se reescribirá como
El trabajo realizado por una fuerza potencial es igual a la diferencia entre los valores de energía potencial de un punto en movimiento en las posiciones inicial y final.
En particular, el trabajo de la gravedad:
Sean potenciales todas las fuerzas que actúan sobre el sistema. Entonces para cada punto k del sistema el trabajo es igual a
Entonces, para todas las fuerzas, tanto externas como internas, habrá
¿Dónde está la energía potencial de todo el sistema?
Sustituimos estas sumas en la expresión de energía cinética (19.2.3):
o finalmente:
Cuando se mueve bajo la influencia de fuerzas potenciales, la suma de las energías cinética y potencial del sistema en cada una de sus posiciones permanece constante. Esta es la ley de conservación de la energía mecánica.
Una carga que pesa 1 kg oscila libremente según la ley x = 0,1sinl0t. Coeficiente de rigidez elástica c = 100 N/m. Determine la energía mecánica total de la carga en x = 0,05 m, si en x = 0 la energía potencial es cero 
. (0,5)
Una carga de masa m = 4 kg, al caer, hace girar con ayuda de una rosca un cilindro de radio R = 0,4 m. El momento de inercia del cilindro con respecto al eje de rotación es I = 0,2. Determine la energía cinética del sistema de cuerpos en el momento en que la velocidad de la carga v = 2m/s 
. (10,5)
