微分値を求める操作を微分といいます。
引数の増分に対する増分比の限界として導関数を定義することによって、最も単純な (そしてそれほど単純ではない) 関数の導関数を見つける問題を解決した結果、導関数の表と正確に定義された微分規則が現れました。 。 導関数の発見の分野で最初に取り組んだのは、アイザック ニュートン (1643-1727) とゴットフリート ヴィルヘルム ライプニッツ (1646-1716) でした。
したがって、現代では、関数の導関数を求めるために、関数の増分と引数の増分の比率の上記の制限を計算する必要はなく、次の表を使用するだけで済みます。導関数と微分の法則。 次のアルゴリズムは導関数を見つけるのに適しています。
導関数を求めるには、プライム記号の下に式が必要です 単純な機能をコンポーネントに分解するそしてどのようなアクションを行うかを決定します (積、和、商)これらの機能は関連しています。 次に、導関数の表で初等関数の導関数を見つけ、微分の規則で積、和、商の導関数の公式を見つけます。 導関数テーブルと微分規則は、最初の 2 つの例の後に示されています。
例1.関数の導関数を求める
解決。 微分規則から、関数の和の導関数は関数の導関数の和であることがわかります。
導関数の表から、「x」の導関数は 1 に等しく、サインの導関数はコサインに等しいことがわかります。 これらの値を導関数の合計に代入し、問題の条件に必要な導関数を求めます。
例2。関数の導関数を求める
解決。 第 2 項が定数因数を持つ和の導関数として微分します。これは導関数の符号から取り出すことができます。
何かがどこから来たのかについて依然として疑問が生じた場合、通常は導関数の表と最も単純な微分の規則を理解した後で疑問が解消されます。 私たちは今、それらに向かって進んでいます。
単純な関数の導関数の表
| 1. 定数（数値）の導関数。 関数式内の任意の数値 (1、2、5、200...)。 常にゼロに等しい。 これは非常に頻繁に必要となるため、覚えておくことが非常に重要です。 | |
| 2. 独立変数の導関数。 ほとんどの場合は「X」です。 常に 1 に等しくなります。 これも長く覚えておくことが重要です | |
| 3. 次数の導関数。 問題を解くときは、平方根以外をべき乗に変換する必要があります。 | |
| 4. 変数の -1 乗の導関数 | |
| 5. 平方根の導関数 | |
| 6. サインの微分 | |
| 7. コサインの導関数 |  |
| 8. 接線の導関数 |  |
| 9. コタンジェントの導関数 |  |
| 10. 逆正弦の導関数 |  |
| 11. 逆余弦の導関数 |  |
| 12. 逆正接の導関数 |  |
| 13. 逆余接の導関数 |  |
| 14. 自然対数の導関数 | |
| 15. 対数関数の導関数 |  |
| 16. 指数の導関数 | |
| 17. 指数関数の導関数 |
微分の法則
| 1. 和または差の導関数 |  |
| 2. 製品の派生品 |  |
| 2a. 定数係数を乗算した式の導関数 | |
| 3. 商の導関数 |  |
| 4. 複素関数の導関数 |  |
ルール1。機能の場合
ある点で微分可能である場合、関数は同じ点で微分可能です
そして
それらの。 関数の代数和の導関数は、これらの関数の導関数の代数和に等しい。
結果。 2 つの微分可能な関数が定数項によって異なる場合、それらの導関数は等しい、つまり
ルール2。機能の場合
ある点で微分可能である場合、その積は同じ点で微分可能です
そして
それらの。 2 つの関数の積の導関数は、これらの各関数の積ともう一方の関数の導関数の合計に等しくなります。
帰結 1. 導関数の符号から定数因数を取り出すことができます。:
帰結 2. いくつかの微分可能な関数の積の導関数は、各因子の導関数と他のすべての因子の導関数の積の合計に等しくなります。
たとえば、3 つの乗算器の場合は次のようになります。
ルール3。機能の場合
ある時点で微分可能 そして , この時点で、それらの商も微分可能ですu/v 、および
それらの。 2 つの関数の商の導関数は分数に等しく、分子は分母と分子の導関数、分子と分母の導関数の積の差であり、分母は の 2 乗です。前の分子。
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実際の問題で積と商の導関数を求める場合、常に複数の微分ルールを同時に適用する必要があるため、記事にはこれらの導関数に関する例がさらにあります。「関数の積と商の導関数」.
コメント。定数 (つまり数値) を和の項として、また定数因数として混同しないでください。 項の場合、その導関数はゼロに等しく、定数因数の場合、導関数の符号から取り出されます。 これは、導関数を勉強する初期段階で発生する典型的な間違いですが、平均的な学生は、1 部構成または 2 部構成の例題をいくつか解くにつれて、この間違いを犯さなくなります。
そして、製品や商材を区別するときに、次のような用語があるとします。 あなた"v、 その中で あなた- 数値、たとえば 2 や 5、つまり定数の場合、この数値の導関数はゼロに等しくなり、したがって項全体がゼロに等しくなります (このケースについては例 10 で説明します)。
もう 1 つのよくある間違いは、複雑な関数の導関数を単純な関数の導関数として機械的に解くことです。 それが理由です 複素関数の導関数別の記事を用意します。 しかし、最初に単純な関数の導関数を見つけることを学びます。
その過程で、式を変換することなしにはできません。 これを行うには、マニュアルを新しいウィンドウで開く必要がある場合があります。 力と根を持つアクションそして 分数を使った演算 .
べき乗と根を使った分数の導関数の解を探している場合、つまり関数が次のような場合 
, 次に、「累乗と根を使用した分数の和の微分」のレッスンに進みます。
のようなタスクがある場合 
, 次に、「単純な三角関数の微分」のレッスンを受講します。
ステップバイステップの例 - 導関数を見つける方法
例 3.関数の導関数を求める
解決。 関数式の部分を定義します。式全体は積を表し、その因数は合計であり、2 番目の項の 1 つに定数因数が含まれます。 積微分ルールを適用します。2 つの関数の積の導関数は、これらの各関数の積ともう一方の関数の導関数の合計に等しくなります。
次に、和の微分規則を適用します。つまり、関数の代数和の導関数は、これらの関数の導関数の代数和に等しいということです。 この場合、各合計の 2 番目の項にはマイナス記号が付いています。 それぞれの合計には、導関数が 1 に等しい独立変数と、導関数が 0 に等しい定数 (数値) の両方が表示されます。 したがって、「X」は 1 になり、マイナス 5 は 0 になります。 2 番目の式では、「x」に 2 が乗算されるため、「x」の導関数と同じ単位で 2 を乗算します。 次の導関数値が得られます。
見つかった導関数を積の和に代入し、問題の条件で必要な関数全体の導関数を取得します。
例4.関数の導関数を求める
解決。 商の導関数を見つける必要があります。 商を微分するための公式を適用します。2 つの関数の商の導関数は分数に等しく、その分子は分母と分子の導関数の積と分子と導関数の積の差です。分母は前の分子の 2 乗です。 我々が得る：
例 2 の分子の因数の微分はすでに見つけています。また、現在の例の分子の 2 番目の因数である積がマイナス記号で取られていることも忘れないでください。
関数の導関数を見つける必要がある問題の解決策を探している場合、根と累乗が連続的に山のように存在します。たとえば、次のとおりです。 
では、クラスへようこそ 「分数の累乗と根の合計の微分」 .
サイン、コサイン、タンジェント、その他の三角関数の導関数についてさらに詳しく知りたい場合、つまり関数が次のような場合 では、あなたのためのレッスンです 「単純な三角関数の導関数」 .
例5.関数の導関数を求める
解決。 この関数では積が表示されます。その因子の 1 つは独立変数の平方根であり、その導関数は導関数の表でよく知られています。 積を微分するためのルールと平方根の導関数の表の値を使用すると、次が得られます。
例6。関数の導関数を求める
解決。 この関数では、被除数が独立変数の平方根である商が表示されます。 例 4 で繰り返して適用した商を微分するためのルールと、平方根の導関数の表形式の値を使用すると、次が得られます。
分子の端数を取り除くには、分子と分母に を掛けます。
意味。関数 \(y = f(x)\) を点 \(x_0\) を含む特定の区間で定義するとします。 この間隔を離れないように、引数に増分 \(\Delta x \) を与えてみましょう。 関数 \(\Delta y \) (点 \(x_0 \) から点 \(x_0 + \Delta x \) に移動するとき) の対応する増分を見つけて、関係 \(\frac(\Delta) を構成しましょうy)(\デルタ x) \)。 \(\Delta x \rightarrow 0\) でこの比率に制限がある場合、指定された制限が呼び出されます。 関数の導関数点 \(x_0 \) における \(y=f(x) \) を \(f"(x_0) \) と表します。
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
記号 y は導関数を表すためによく使用されます。 y" = f(x) は新しい関数ですが、当然のことながら、上記の制限が存在するすべての点 x で定義された関数 y = f(x) に関連しています。 この関数は次のように呼び出されます。 関数 y = f(x) の導関数.
導関数の幾何学的意味以下のとおりであります。 関数 y = f(x) のグラフの、y 軸に平行でない横軸 x=a の点で接線を引くことができれば、f(a) は接線の傾きを表します。 :
\(k = f"(a)\)
\(k = tg(a) \) なので、等式 \(f"(a) = Tan(a) \) が成り立ちます。
ここで、近似等式の観点から導関数の定義を解釈してみましょう。 関数 \(y = f(x)\) が特定の点 \(x\) で導関数を持つとします。
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
これは、点 x の近似値 \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \estimate f"(x)\)、つまり \(\Delta y \estimate f"(x) \cdot\) が成り立つことを意味します。デルタ x\)。 結果の近似等価性の意味のある意味は次のとおりです。関数の増分は引数の増分に「ほぼ比例」し、比例係数は特定の点 x における導関数の値です。 たとえば、関数 \(y = x^2\) の場合、近似等価 \(\Delta y \about 2x \cdot \Delta x \) が有効です。 導関数の定義を注意深く分析すると、導関数を見つけるためのアルゴリズムが含まれていることがわかります。
それを定式化しましょう。
関数 y = f(x) の導関数を求めるにはどうすればよいですか?
1. \(x\) の値を修正し、\(f(x)\) を見つけます
2. 引数 \(x\) に増分 \(\Delta x\) を与え、新しい点 \(x+ \Delta x \) に移動し、\(f(x+ \Delta x) \) を見つけます。
3. 関数の増分を求めます: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. リレーション \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) を作成します
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ を計算します。
この制限は、点 x における関数の導関数です。
関数 y = f(x) が点 x で導関数を持つ場合、その関数は点 x で微分可能と呼ばれます。 関数 y = f(x) の導関数を求める手順は次のように呼ばれます。 差別化関数 y = f(x)。
次の質問について説明しましょう: ある点における関数の連続性と微分可能性は互いにどのように関係しているのでしょうか?
関数 y = f(x) が点 x で微分可能であるとします。 次に、関数のグラフの点 M(x; f(x)) に接線を引くことができ、接線の角係数は f "(x) に等しいことを思い出してください。このようなグラフは「ブレイク」できません。つまり、関数は点 x で連続でなければなりません。
これらは「実践的な」議論でした。 より厳密な推論をしてみましょう。 関数 y = f(x) が点 x で微分可能である場合、近似等式 \(\Delta y \estimate f"(x) \cdot \Delta x\) が成り立ちます。この等式の場合 \(\Delta x \) がゼロになる傾向があり、その後 \(\Delta y \) もゼロになる傾向があります。これが、ある点における関数の連続性の条件です。
それで、 関数が点 x で微分可能である場合、その関数はその点で連続です.
逆の記述は真実ではありません。 例: 関数 y = |x| はどこでも、特に点 x = 0 では連続ですが、「接続点」(0; 0) における関数のグラフの接線は存在しません。 ある時点で関数のグラフに接線を引くことができない場合、その時点では導関数は存在しません。
もう 1 つの例。 関数 \(y=\sqrt(x)\) は、点 x = 0 を含む数直線全体で連続です。また、関数のグラフの接線は、点 x = 0 を含む任意の点に存在します。しかし、この時点で接線は y 軸と一致します。つまり、接線は横軸に垂直であり、その方程式は x = 0 の形式になります。このような直線には角度係数がありません。これは \( f"(0)\) が存在しません
そこで、微分可能性という関数の新しい性質を知りました。 関数のグラフから、それが微分可能であるとどのように結論付けることができるでしょうか?
答えは実際には上にあります。 ある時点で、横軸に垂直でない関数のグラフに接線を引くことができる場合、その時点で関数は微分可能です。 ある時点で関数のグラフへの接線が存在しないか、または接線が横軸に垂直である場合、その時点では関数は微分可能ではありません。
微分の法則
微分値を求める操作は次のように呼ばれます。 差別化。 この演算を実行するときは、多くの場合、関数の商、和、積、および「関数の関数」、つまり複素関数を操作する必要があります。 導関数の定義に基づいて、この作業を容易にする微分規則を導き出すことができます。 C が定数で、f=f(x)、g=g(x) が微分可能な関数である場合、次のことが当てはまります。 微分規則:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
いくつかの関数の導関数の表
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $このレッスンでは、微分の公式と規則を適用する方法を学びます。
例。 関数の導関数を求めます。
1. ｙ＝ｘ ７ ＋ｘ ５ −ｘ ４ ＋ｘ ３ −ｘ ２ ＋ｘ−９。 ルールの適用 私、数式 4、2、1。 我々が得る：
y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1。
2. y=3x6-2x+5。 同じ公式と公式を使って同様に解きます 3.
y’=3・6x 5 -2=18x 5 -2。
ルールの適用 私、数式 3, 5
そして 6
そして 1.
ルールの適用 Ⅳ、数式 5 そして 1 .
5 番目の例では、ルールに従って、 私合計の導関数は導関数の合計に等しく、第 1 項の導関数を求めたところです (例 4 ) したがって、導関数を見つけます。 2番目そして 3位条件、および 1番目に summand を使用すると、結果をすぐに書き込むことができます。
差別化しましょう 2番目そして 3位式に従った項 4
。 これを行うには、分母の 3 乗と 4 乗の根を負の指数を持つ乗に変換し、次のようにします。 4
式を使用すると、累乗の導関数が求められます。
この例と結果を見てください。 パターンはつかめましたか？ 大丈夫。 これは、新しい式があり、それをデリバティブ テーブルに追加できることを意味します。
6 番目の例を解いて、別の公式を導いてみましょう。
ルールを使ってみましょう Ⅳそして式 4
。 結果の分数を約してみましょう。
この関数とその派生関数を見てみましょう。 もちろん、パターンを理解しているので、式に名前を付ける準備ができています。
新しい公式を学びましょう！
例。
1. 引数の増分と関数 y= の増分を求めます。 ×2、引数の初期値が次の値に等しい場合 4 、そして新しい - 4,01 .
解決。
新しい引数値 x=x 0 +Δx。 データを代入しましょう: 4.01=4+Δх、したがって引数の増分です Δx=4.01-4=0.01。 関数の増分は、定義上、関数の新しい値と前の値の差に等しいです。 Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0)。 機能があるので y=x2、 それ Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
答え： 引数の増分 Δx=0.01; 関数の増分 Δу=0,0801.
関数の増分は別の方法で見つけることもできます。 Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801。
2. 関数のグラフの接線の傾き角を求めます y=f(x)時点で ×0、 もし f "(x 0) = 1.
解決。
接点における導関数の値 ×0接線角度の正接の値 (導関数の幾何学的意味)。 我々は持っています： f "(x 0) = Tanα = 1 → α = 45°、なぜなら tg45°=1。
答え： この関数のグラフの接線は、Ox 軸の正の方向と等しい角度を形成します。 45°.
3. 関数の導関数の公式を導き出す y=xn.
差別化関数の導関数を見つけるアクションです。
導関数を求めるときは、導関数の次数の式を導出したのと同じ方法で、導関数の定義に基づいて導出された式を使用します。 (x n)" = nx n-1.
これらが公式です。
デリバティブ一覧表口頭で表現することで暗記しやすくなります。
1. 一定量の導関数はゼロに等しくなります。
2. x 素数は 1 に等しい。
3. 定数因数は導関数の符号から取り出すことができます。
4. 次数の導関数は、この次数の指数と同じ基数の次数の積に等しくなりますが、指数は 1 つ減ります。
5. 根の導関数は、1 を 2 つの等しい根で割ったものに等しくなります。
6. 1 を x で割った微分値は、1 を x で割った値を引いた値に等しくなります。
7. サインの導関数はコサインに等しい。
8. コサインの導関数はマイナスサインに等しくなります。
9. タンジェントの導関数は、コサインの 2 乗で割った値に等しくなります。
10. コタンジェントの導関数は、マイナス 1 をサインの 2 乗で割ったものに等しくなります。
私たちが教えます 微分規則.
1.
代数和の導関数は、項の導関数の代数和に等しくなります。
2. 積の導関数は、最初の因子の導関数と 2 番目の因子の積に、最初の因子と 2 番目の因子の導関数の積を加えたものに等しくなります。
3. 「y」を「ve」で割った導関数は、分子が「y 素数に ve を乗じた値から y に ve 素数を乗じた値」を引いたもの、分母が「ve の 2 乗」である分数に等しくなります。
4. 式の特殊なケース 3.
一緒に学びましょう！
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日付: 2015/05/10
導関数を見つけるにはどうすればよいですか?
微分の法則。
関数の導関数を見つけるには、次の 3 つの概念だけを習得する必要があります。
2. 微分の法則。
3. 複素関数の導関数。
まさにその順番です。 ヒントです。）
もちろん、デリバティブ全般についてのアイデアがあると良いでしょう)。 導関数とは何か、および導関数のテーブルを操作する方法については、前のレッスンで明確に説明しました。 ここでは微分の法則を扱います。
微分とは微分値を求める操作です。 この用語の背後にこれ以上隠されたものは何もありません。 それらの。 表現 「関数の導関数を求めます」そして 「関数を微分する」- 同じです。
表現 「微分の法則」導関数を見つけることを指します 算術演算から。この理解は、頭の中の混乱を避けるのに非常に役立ちます。
四則演算をすべて集中して覚えてみましょう。 4つあります）。 足し算（和）、引き算（差）、掛け算（積）、割り算（商）。 微分の法則は次のとおりです。
プレートが示しているのは、 五のルール 四算術演算。 誤解されませんでした。) ルール 4 はルール 3 の基本的な結果であるというだけです。しかし、これは非常に人気があるため、独立した式として書く (そして覚えておく!) ことが理にかなっています。
指定の下で Uそして Vいくつかの（絶対にあらゆる！）関数が暗黙的に含まれています U(x)そして V(x)。
いくつかの例を見てみましょう。 まず、最も単純なものです。
関数 y=sinx - x 2 の導関数を求めます。
ここにあります 違い 2 つの初等関数。 ルール 2 を適用します。sinx が関数であると仮定します。 U、x 2 は関数です V.私たちには次のように書く権利があります。
y" = (sinx - x 2)" = (sinx)" - (x 2)"
その方が良いですよね?) あとは、x の正弦と二乗の導関数を見つけるだけです。 この目的のためにデリバティブの表があります。 テーブル内で必要な関数を探すだけです ( シンクスそして ×2)、どのような導関数があるかを調べて、答えを書き留めます。
y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x
それでおしまい。 和微分のルール 1 もまったく同じように機能します。
複数の用語がある場合はどうなるでしょうか? 問題ありません。) 関数を項に分割し、各項の導関数を他の項とは独立して探します。 例えば：
関数 y=sinx - x 2 +cosx - x +3 の導関数を求めます。
大胆に次のように書きます。
y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"
レッスンの最後に、区別する際に作業を容易にするためのヒントを示します。)
実践的なヒント:
1. 微分する前に、元の関数を単純化できるかどうかを確認します。
2. 複雑な例では、すべての括弧とダッシュを使用して解決策を詳細に説明します。
3. 分母に定数がある分数を微分するときは、割り算を掛け算に変え、ルール 4 を使用します。
