ベクトルのベクトル積は何ですか? 単位ベクトル

単位ベクトル- これ ベクター、その絶対値 (モジュラス) は 1 に等しい。単位ベクトルを表すには、ベクトルが与えられた場合、添え字 e を使用します。あの場合、その単位ベクトルはベクトルになります。あ e. この単位ベクトルはベクトル自体と同じ方向を向いています。あ、そのモジュールは 1、つまり a e = 1 に等しくなります。

明らかに、あ= a あ e ( - ベクトルモジュール A)。これは、スカラーとベクトルを乗算する操作が実行される規則に従います。

単位ベクトル多くの場合、座標系の座標軸 (特にデカルト座標系の軸) に関連付けられます。これらの方向性は、 ベクトルは対応する軸の方向と一致しており、その原点は座標系の原点と組み合わされることがよくあります。

思い出させてください デカルト座標系空間では、座標の原点と呼ばれる点で交差する 3 つの相互に直交する軸を伝統的に呼びます。座標軸は通常 X、Y、Z の文字で表され、それぞれ横軸、縦軸、アプリケーション軸と呼ばれます。デカルト自身は 1 つの軸だけを使用し、その上に横軸がプロットされました。利用のメリット システム軸は彼の生徒のものです。したがって、このフレーズは デカルト座標系歴史的に間違っている。話したほうがいいよ 長方形 座標系または 直交座標系。しかし、私たちは伝統を変えるつもりはなく、将来的には、デカルト座標系と直交座標系は同一のものであると仮定します。

単位ベクトル X 軸に沿った方向のは、次のように表されます。私, 単位ベクトル Y 軸に沿った方向のは、次のように表されます。 j、A 単位ベクトル Z 軸に沿った方向の、で示されます。 k。ベクトル私, j, k呼ばれています オルツ(図 12、左)、それらは単一のモジュールを持っています。
i = 1、j = 1、k = 1。

軸と 単位ベクトル 直交座標系場合によっては、異なる名前や指定が付いている場合もあります。したがって、横軸 X は接線軸と呼ぶことができ、その単位ベクトルは次のように表されます。 τ (ギリシャ語の小文字タウ)、縦軸は法線軸であり、その orth が示されます。 n、適用軸は従法線軸であり、その単位ベクトルは次のように表されます。 b。本質が変わらないのに、なぜ名前を変えるのでしょうか？

実際、たとえば力学では、物体の動きを研究するときに、直交座標系が非常に頻繁に使用されます。したがって、座標系自体が静止していて、移動するオブジェクトの座標の変化がこの静止系で追跡される場合、通常、軸は X、Y、Z で指定され、 単位ベクトルそれぞれ私, j, k.

しかし、多くの場合、オブジェクトがある種の曲線パス (円など) に沿って移動する場合、このオブジェクトとともに移動する座標系内の機械的プロセスを考慮する方が便利です。このような移動座標系では、別の軸名とその単位ベクトルが使用されます。それはまさにその通りです。この場合、X 軸は、このオブジェクトが現在配置されている点の軌跡の接線方向に向けられます。そして、この軸は X 軸ではなく接線軸と呼ばれるようになり、その単位ベクトルは指定されなくなりました。私、A τ 。 Y 軸は、軌道の曲率半径に沿って方向付けられます (円内での動きの場合、円の中心に向かって)。そして、半径は接線に対して垂直であるため、軸は法線軸と呼ばれます（垂直と法線は同じものです）。この軸の単位ベクトルは示されなくなりました j、A n。 3 番目の軸 (以前の Z) は、前の 2 つの軸に対して垂直です。これは直角を持つ従法線です b(図12、右)。ちなみにこの場合はこんな感じ 直交座標系多くの場合、「ナチュラル」または「ナチュラル」と呼ばれます。

意味順序付けされたコレクション (x 1 , x 2 , ... , x n) n の実数が呼び出されます。 n次元ベクトル、および数値 x i (i = ) - コンポーネント、または 座標、

例。たとえば、ある自動車工場がシフトごとに乗用車 50 台、トラック 100 台、バス 10 台、乗用車のスペアパーツ 50 セット、トラックとバスのスペアパーツ 150 セットを生産する必要がある場合、このプラントの生産プログラムはベクトルとして記述することができます。 (50, 100 , 10, 50, 150)、5 つのコンポーネントがあります。

表記。 ベクトルは、太字の小文字、または上部にバーまたは矢印が付いた文字で表されます。あるまたは。 2 つのベクトルは次のように呼ばれます。 等しい、コンポーネントの数が同じで、対応するコンポーネントが等しい場合。

ベクトルコンポーネントは交換できません (例: (3、2、5、0、1))。および (2、3、5、0、1) の異なるベクトル。
ベクトルに対する操作。作品バツ= (x 1 , x 2 , ... ,x n) を実数で計算するλ ベクトルと呼ばれるλ バツ= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n)。

額バツ= (x 1 , x 2 , ... ,x n) および y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) はベクトルと呼ばれます x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n)。

ベクトル空間。 N -次元ベクトル空間 R n は、実数による乗算と加算の演算が定義されるすべての n 次元ベクトルの集合として定義されます。

経済的な図。 n 次元ベクトル空間の経済図: 商品のスペース (品）。下品私たちは、特定の時期に特定の場所で発売された商品やサービスを理解します。有限数 n の入手可能な商品があると仮定します。消費者が購入するそれぞれの数量は、商品のセットによって特徴付けられます。

バツ= (x 1 , x 2 , ..., x n),

ここで、x i は消費者が購入した i 番目の商品の金額を示します。すべての商品には任意の割り算の性質があり、それぞれの商品の非負の数量を購入できると仮定します。この場合、考えられるすべての商品セットは商品空間 C = ( バツ= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0、i = )。

線形独立性。 システム e 1 , e 2 , ... , e m 個の n 次元ベクトルは次のように呼ばれます。 線形依存性、そのような数字がある場合λ 1 、λ 2 、...、λ m 、そのうちの少なくとも 1 つはゼロ以外であり、次の等式が成立します。λ1 e 1 + λ 2 e 2 +... + λ m e m = 0; それ以外の場合、このベクトル系は次のように呼ばれます。 線形独立つまり、示された等価性は、すべての条件が満たされる場合にのみ可能です。。におけるベクトルの線形依存性の幾何学的意味 R 3 は有向線分として解釈され、次の定理を説明します。

定理1. 1 つのベクトルで構成されるシステムは、このベクトルが 0 である場合にのみ線形依存します。

定理2. 2 つのベクトルが線形依存するためには、それらが同一線上 (平行) であることが必要かつ十分です。

定理3 。 3 つのベクトルが線形に依存するためには、それらが同一平面上にある (同じ平面内にある) ことが必要かつ十分です。

ベクトルの左右のトリプル。 非共面ベクトルのトリプル a、b、c呼ばれた右、共通の原点からの観測者がベクトルの端をバイパスする場合 a、b、c指定された順序で時計回りに発生するように見えます。さもないと a、b、c -残り3つ。ベクトルの右 (または左) トリプルがすべて呼び出されます。同じ 指向性のある。

基礎と座標。 トロイカ e 1, e 2 , e 3 つの非共面ベクトル R 3 と呼ばれます基礎、およびベクトル自体 e 1, e 2 , e 3 - 基本的な。任意のベクトルある基底ベクトルに一意に拡張できます。つまり、次の形式で表現できます。

あ=×1 e 1+x2 e 2 + ×3 e 3, (1.1)

展開 (1.1) の数値 x 1 、 x 2 、 x 3 は呼び出されます。座標ある基礎にある e 1, e 2 , e 3と指定されていますある(×1、×2、×3)。

正規直交基準。 ベクトルの場合 e 1, e 2 , e 3 はペアごとに垂直であり、それぞれの長さが 1 に等しい場合、その基底はと呼ばれます。 正規直交、および座標 x 1 、 x 2 、 x 3 - 長方形。正規直交基底の基底ベクトルは次のように表されます。 i、j、k。

宇宙ではそう仮定します R 3 正しいデカルト直交座標系が選択されます (0、 私、j、k}.

ベクターアートワーク。 ベクターアートワーク あベクトルに bベクトルと呼ばれる c、次の 3 つの条件によって決定されます。

1. ベクトルの長さ cベクトル上に構築された平行四辺形の面積に数値的に等しいあるそして b、つまり
c= |a||b|罪（ある^b).

2.ベクトル c各ベクトルに垂直あるそして b.

3. ベクトル ああ、 bそして c、示された順序で取得され、右トリプルを形成します。

外積の場合 c呼称が導入される c =[腹筋] または
c = a × b.

ベクトルの場合あるそして bが共線性がある場合、sin( a^b) = 0 および [ 腹筋] = 0、特に [ ああ] = 0。単位ベクトルのベクトル積: [ ij]=ｋ、 [jk] = 私, [キ]=j.

ベクトルの場合あるそして b根拠に指定されている 私、j、k座標ある(a 1 、a 2 、a 3)、 b(b 1、b 2、b 3)、その後

混合作業。 2 つのベクトルのベクトル積の場合あそして b 3 番目のベクトルでスカラー乗算 c、このような 3 つのベクトルの積は次のように呼ばれます。 混合作業記号で示されていますある b c.

ベクトルの場合 a、bそして c基礎にある 私、j、k座標によって与えられる
ある(a 1 、a 2 、a 3)、 b(b 1、b 2、b 3)、 c(c 1、c 2、c 3)、その後

混合積は単純な幾何学的な解釈を持ちます。これはスカラーであり、絶対値が 3 つの与えられたベクトルで構築された平行六面体の体積に等しいです。

ベクトルが右トリプルを形成する場合、それらの混合積は、指定された体積に等しい正の数になります。 3つなら a、b、c -左、それから a b c<0 и V = - a b cしたがって、V =|a b c|.

最初の章の問題で遭遇するベクトルの座標は、正規直交基底を基準にして与えられると仮定されます。ベクトルと同方向の単位ベクトルあ、記号で示されるあ O. シンボル r=OM点 M の動径ベクトル、記号 a、AB、または|a|, | AB|ベクトルのモジュールは次のように表されます。あそして AB。

例 1.2. ベクトル間の角度を求めるある= 2メートル+4nそして b= ん、どこ メートルそして n-単位ベクトルと間の角度 メートルそして n 120°に等しい。

解決。 cos φ があります。 = 腹筋/ab アブ =(2メートル+4n) (ん) = 2メートル 2 - 4n 2 +2ん=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; ある 2 = (2メートル+4n) (2メートル+4n) =
= 4メートル 2 +16ん+16n 2 = 4+16(-0.5)+16=12、つまり a = です。 b = ; b 2 =
= (m-n)(ん) = メートル 2 -2ん+n 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3、つまり b = になります。最後に次のようになります: cosφ==-1/2、φ=120°。

例1.3。ベクトルを知る AB(-3、-2.6) および 紀元前(-2,4,4)、三角形ABCの高度ADの長さを計算します。

解決。三角形ABCの面積をSで表すと、次のようになります。
S = 紀元前西暦の 1/2。それから AD=2S/BC、BC= = = 6,
S = 1/2| AB×AC|. AC=AB+BC、ベクトルを意味します 交流。座標があります
. .

例 1.4 。 2 つのベクトルが与えられるある(11,10,2) および b(4,0,3)。単位ベクトルを求める c、ベクトルに直交あるそして bそして、ベクトルの順序付けられたトリプルが a、b、c正しかった。

解決。ベクトルの座標を表しましょう c x、y、z に関する特定の正規直交基底に関して。

なぜなら c ⊥ 交流 ⊥b、それ およそ= 0,cb= 0。問題の条件によれば、c = 1 および a b c >0.

x、y、z を求めるための連立方程式があります: 11x +10y + 2z = 0、4x+3z=0、x 2 + y 2 + z 2 = 0。

システムの最初と 2 番目の方程式から、z = -4/3 x、y = -5/6 x が得られます。 y と z を 3 番目の方程式に代入すると、x 2 = 36/125 となります。
x =± 。条件の使用 a b c > 0、不等式が得られます

z と y の式を考慮して、結果の不等式を 625/6 x > 0 の形式に書き換えます。これは x>0 を意味します。したがって、 x = 、 y = - 、 z =- となります。

ついに、私はこの広大で待望のテーマを手に入れることができました。 解析幾何学。まず、高等数学のこのセクションについて少し説明します。きっとあなたは、数多くの定理、その証明、図面などを扱った学校の幾何学のコースを覚えているでしょう。何を隠すか、これはかなりの割合の学生にとって好まれず、曖昧なことが多いテーマです。奇妙なことに、解析幾何学のほうが興味深くて親しみやすいように思えるかもしれません。「分析的な」という形容詞は何を意味しますか？すぐに思い浮かぶのは、「グラフィック解法」と「分析的解法」という 2 つの決まりきった数学的フレーズです。 グラフィカルな方法、もちろん、グラフや図面の作成に関連しています。 分析的または方法問題の解決が含まれる主に代数演算を通じて。この点において、解析幾何学のほぼすべての問題を解決するためのアルゴリズムは単純かつ透明であり、多くの場合、必要な公式を慎重に適用するだけで十分です。そうすれば答えは完成します。いいえ、もちろん図面がまったくないわけではありませんし、内容をよりよく理解していただくために必要以上に図面を引用することにします。

新しく開設された幾何学のレッスンコースは、理論的に完成したふりをするのではなく、実践的な問題を解決することに重点を置いています。私の観点から、実践上重要なことだけを講義に盛り込みます。サブセクションに関するより完全なヘルプが必要な場合は、次の非常にアクセスしやすい文献をお勧めします。

1) 冗談ではなく、何世代にもわたってよく知られているもの: 幾何学に関する学校の教科書、著者 - L.S. アタナシアンとカンパニー。この学校の更衣室用ハンガーはすでに 20 回 (!) 再版されていますが、もちろんこれが制限ではありません。

2) 幾何学 2 巻。著者 L.S. アタナシアン、バジレフ V.T.。これは高校向けの文学です。必要なものです。 最初の巻。滅多に遭遇しないタスクは私の目から消えてしまうかもしれませんが、チュートリアルは非常に役立ちます。

どちらの本もオンラインで無料でダウンロードできます。さらに、私のアーカイブを既製のソリューションとともに使用することもできます。このソリューションは次のページにあります。 高等数学の例をダウンロードする.

そのツールの中で、私は再び独自の開発を提案します - ソフトウェアパッケージ解析幾何学では、作業が大幅に簡素化され、時間を大幅に節約できます。

読者は、点、線、平面、三角形、平行四辺形、平行六面体、立方体などの基本的な幾何学的概念や図形に精通していることを前提としています。いくつかの定理、少なくともピタゴラスの定理を覚えておくことをお勧めします。リピーターの皆様、こんにちは）

ここで、ベクトルの概念、ベクトルを使用したアクション、ベクトル座標を順番に検討していきます。さらに読むことをお勧めします 最も重要な記事 ベクトルの内積、そしてまた ベクトルとベクトルの混合積。この点でのセグメントの分割というローカルタスクも不必要ではありません。上記の情報に基づいて、あなたはマスターすることができます 平面上の直線の方程式と 最も単純な解決策の例、これにより、 幾何学の問題を解く方法を学ぶ。次の記事も役立ちます。 空間における平面の方程式, 空間内の直線の方程式, 直線と平面に関する基本的な問題、解析幾何学の他のセクション。当然のことながら、標準的なタスクも途中で検討されます。

ベクトルの概念。無料ベクター

まず、ベクトルの学校定義を繰り返しましょう。 ベクター呼ばれた指示された開始と終了が示されているセグメント:

この場合、セグメントの始まりが点であり、セグメントの終わりが点です。ベクトル自体はで表されます。方向これは重要です。矢印をセグメントのもう一方の端に移動すると、ベクトルが得られます。これはすでに 全く違うベクトル。ベクトルの概念を物理的な体の動きと同一視すると便利です。同意するはずですが、研究所の扉に入るのと研究所の扉から出るのはまったく別のことです。

平面または空間の個々の点をいわゆる ゼロベクトル。このようなベクトルでは、終わりと始まりが一致します。

!!! 注記： ここでさらに、ベクトルが同じ平面上にあると仮定することも、空間内に位置すると仮定することもできます。提示されたマテリアルの本質は、平面と空間の両方に当てはまります。

指定:多くの人はすぐに、記号に矢印のない棒に気づき、「上部にも矢印があるよ！」と言いました。確かに、矢印を使用して書くこともできます: ですが、それも可能です 今後使用するエントリ。なぜ？どうやら、この習慣は実際的な理由から発達したようで、学校や大学で私の射手はあまりにもサイズが異なり、毛むくじゃらだったことが判明しました。教育文献では、楔形文字をまったく使用せずに、文字を太字で強調表示して、これがベクトルであることを暗示することもあります。

ここまでは文体についてでしたが、今度はベクトルの書き方について説明します。

1) ベクトルは 2 つの大文字のラテン文字で記述できます。
等々。この場合、最初の文字は 必然的にはベクトルの始点を示し、2 番目の文字はベクトルの終点を示します。

2) ベクトルは小さなラテン文字でも書かれます。
特に、私たちのベクトルは、簡潔にするために小さなラテン文字で再指定できます。

長さまたは モジュールゼロ以外のベクトルはセグメントの長さと呼ばれます。ゼロベクトルの長さはゼロです。論理的。

ベクトルの長さは、係数記号 , で示されます。

ベクトルの長さを見つける方法を少し後で学びます (または、人によっては繰り返します)。

これは、小学生なら誰もが知っているベクトルに関する基本的な知識でした。解析幾何学では、いわゆる 無料ベクトル.

簡単に言えば - ベクトルは任意の点からプロットできます:

私たちはそのようなベクトルを等しいと呼ぶことに慣れていますが（等しいベクトルの定義は以下に示します）、純粋に数学的な観点からは、それらは同じベクトルまたは同じベクトルです。 無料ベクトル。なぜ無料なのですか？なぜなら、問題を解決する過程で、必要な平面または空間の任意の点に特定のベクトルを「接続」できるからです。これはとても素晴らしい機能です。任意の長さと方向のベクトルを想像してください。ベクトルは無限に何度でも「複製」でき、空間内の任意の点で、実際にはどこにでも存在します。「どの講師もベクトルのことなど気にしない」というような学生がいます。結局のところ、これは単なる気の利いた韻ではなく、すべてが数学的に正しく、ベクトルもそこに付加することができます。しかし、急いで喜ぶ必要はありません。苦しむのは生徒たち自身です =)

それで、 無料ベクトル- これ たくさんの 同一の有向セグメント。この段落の冒頭にあるベクトルの学校定義「有向セグメントはベクトルと呼ばれます...」は、次のことを意味します。特定の指定されたセットから取得された有向セグメント。平面または空間内の特定の点に関連付けられます。

物理学の観点からは、自由ベクトルの概念は一般的に間違っており、ベクトルの適用点が重要であることに注意してください。実際、同じ力で鼻や額を直接殴ると、私の愚かな例を発展させるのに十分ですが、異なる結果を伴います。しかし、 不自由なベクトルは vyshmat のコースでも見つかります (そこには行かないでください:))。

ベクトルを使用したアクション。ベクトルの共線性

学校の幾何学コースでは、ベクトルを使用した多数のアクションとルールを扱います。 三角則による加算、平行四辺形則による加算、ベクトル差分則、ベクトルと数値の乗算、ベクトルの内積など。出発点として、解析幾何学の問題を解決するのに特に関連する 2 つの規則を繰り返してみましょう。

三角定規を使ったベクトルの足し算のルール

2 つの任意の非ゼロベクトルとを考えてみましょう。

これらのベクトルの合計を見つける必要があります。すべてのベクターは無料とみなされているため、次のベクターは脇に置きます。 終わりベクター：

ベクトルの和がベクトルです。ルールをより深く理解するには、それに物理的な意味を与えることをお勧めします。つまり、ある物体をベクトルに沿って移動させ、次にベクトルに沿って移動させます。ベクトルの合計は、出発点で始まり、到着点で終わる、結果として得られるパスのベクトルになります。同様の規則が、任意の数のベクトルの合計に対して定式化されます。彼らが言うように、体はジグザグに沿って、またはおそらく自動操縦で、合計の結果として生じるベクトルに沿って、非常に傾いた方向に進むことができます。

ちなみに、ベクトルが延期された場合、 始めましたベクトルの場合、同等の値が得られます 平行四辺形の法則ベクトルの追加。

まず、ベクトルの共線性について。 2 つのベクトルは次のように呼ばれます。 同一直線上にある、それらが同じ線上または平行線上にある場合。大まかに言えば、平行ベクトルについて話しています。しかし、それらに関しては、「共線的」という形容詞が常に使用されます。

2 つの同一線上にあるベクトルを想像してください。これらのベクトルの矢印が同じ方向を向いている場合、そのようなベクトルは次のように呼ばれます。 共同監督。矢印が異なる方向を向いている場合、ベクトルは次のようになります。 反対方向.

指定:ベクトルの共線性は通常の並列性記号で記述されますが、詳細化は可能です: (ベクトルが同一方向を向いている) または (ベクトルが反対方向を向いている)。

作品数値上のゼロ以外のベクトルは、長さがに等しいベクトルであり、ベクトルとはと同じ方向を向いており、反対方向を向いています。

ベクトルと数値を乗算するルールは、図を使用すると理解しやすくなります。

さらに詳しく見てみましょう。

1) 方向。乗数が負の場合、ベクトルは 方向を変える反対に。

2) 長さ。乗数がまたは内に含まれる場合、ベクトルの長さ減少する。したがって、ベクトルの長さはベクトルの長さの半分になります。乗数の係数が 1 より大きい場合、ベクトルの長さは増加する間に合うように。

3) ご注意ください すべてのベクトルは同一線上にあります、一方のベクトルは別のベクトルを介して表現されます。たとえば、。 その逆もまた真です: あるベクトルを別のベクトルを通じて表現できる場合、そのようなベクトルは必然的に共線的になります。したがって： ベクトルに数値を乗算すると共線的になります(オリジナルと比較して) ベクター.

4) ベクトルは共同指向性です。ベクトルと共同監督も務める。第 1 グループの任意のベクトルは、第 2 グループの任意のベクトルに対して逆の方向を向いています。

どのベクトルが等しいでしょうか?

2 つのベクトルは、同じ方向にあり、同じ長さであれば等しいです。。同方向性はベクトルの共線性を意味することに注意してください。「2 つのベクトルは、同一直線上にあり、同一方向にあり、同じ長さであれば等しい」という場合、その定義は不正確 (冗長) になります。

前の段落で説明したように、自由ベクトルの概念の観点からは、等しいベクトルは同じベクトルです。

平面および空間上のベクトル座標

1つ目のポイントは平面上のベクトルを考えることです。デカルト直交座標系を描き、それを座標の原点からプロットしてみましょう シングルベクトルと:

ベクターと直交。直交 = 垂直。ゆっくりと用語に慣れることをお勧めします。平行度と直角度の代わりに、それぞれという言葉を使用します。 共線性そして 直交性.

指定：ベクトルの直交性は、次のような通常の直交性記号で表されます。

検討中のベクトルは次のように呼ばれます。 座標ベクトルまたは オルツ。これらのベクトルは、基礎表面的には。根拠が何であるかは、多くの人にとって直感的に明らかだと思います。詳細については、この記事を参照してください。 ベクトルの線形 (非) 依存性。ベクトルの基礎簡単に言うと、座標の基礎と原点はシステム全体を定義します。これは、完全で豊かな幾何学的生命が沸騰する一種の基礎です。

構築された基礎を次のように呼ぶこともあります。 正規直交平面の基底: 「オルト」 - 座標ベクトルが直交しているため、形容詞「正規化された」は単位、つまり単位を意味します。基底ベクトルの長さは 1 に等しい。

指定：根拠は通常括弧内に書かれます。 厳密な順序で基底ベクトルは次のようにリストされます。座標ベクトル それは禁止されています並べ替えます。

どれでも平面ベクトル 唯一の方法以下のように表現：
、どこ - 数字と呼ばれるもの ベクトル座標この根拠で。そしてその表現自体が呼ばれた ベクトル分解根拠によって .

夕食の提供：

アルファベットの最初の文字から始めましょう: 。この図は、ベクトルを基底に分解するときに、今説明したものが使用されることを明確に示しています。
1) ベクトルと数値を乗算するための規則: および ;
2) 三角形の法則に従ったベクトルの加算: 。

次に、平面上の他の点からのベクトルを心の中でプロットします。彼の衰退が「容赦なく彼を追いかける」ことは明らかです。ここに、ベクトルの自由があります。ベクトルは「すべてをそれ自体で運ぶ」のです。もちろん、この性質はどのベクトルにも当てはまります。面白いのは、基底 (自由) ベクトル自体を原点からプロットする必要がないことです。たとえば、一方を左下に描画し、もう一方を右上に描画しても何も変わりません。確かに、先生も独創性を発揮して、予期せぬところであなたに「功績」を与えてくれるでしょうから、そうする必要はありません。

ベクトルは、ベクトルに数値を乗算するための規則を正確に示しています。ベクトルは基本ベクトルと同方向であり、ベクトルは基本ベクトルと反対の方向を向いています。これらのベクトルの場合、座標の 1 つはゼロに等しく、次のように記述できます。

ちなみに、基底ベクトルは次のとおりです: (実際、基底ベクトルはそれ自体を通じて表現されます)。

そして最後に：、。ところで、ベクトルの引き算とは何ですか。なぜ引き算のルールについて話さなかったのでしょうか? 線形代数のどこかで、どこだったか忘れましたが、減算は加算の特殊なケースであると書きました。したがって、ベクトル「de」と「e」の展開は、和として簡単に記述できます。。項を並べ替えて、三角形の法則に従った古き良きベクトルの加算がこのような状況でどのように機能するかを図で確認してください。

考慮されたフォームの分解ベクトル分解と呼ばれることもあります オルトシステムで(つまり、単位ベクトル系で)。ただし、これがベクトルを記述する唯一の方法ではなく、次のオプションが一般的です。

または等号を使用して次のように指定します。

基底ベクトル自体は次のように記述されます。

つまり、ベクトルの座標が括弧内に示されます。実際の問題では、3 つの表記オプションすべてが使用されます。

話すべきか迷ったが、とにかく言っておく。 ベクトル座標は再配置できません. 厳密には1位単位ベクトルに対応する座標を書き留めます。 厳密には2位単位ベクトルに対応する座標を書き留めます。確かに、とは 2 つの異なるベクトルです。

平面上の座標が分かりました。次に、3 次元空間のベクトルを見てみましょう。ここではほとんどすべてが同じです。コーディネートが一つ増えるだけです。 3 次元の図面を作成するのは難しいので、ベクトルを 1 つに限定します。簡単にするために、原点を脇に置きます。

どれでも 3D 空間ベクトル 唯一の方法正規直交ベースで展開する：
, ここで、はこの基底におけるベクトル (数値) の座標です。

写真の例: 。ここでベクトルルールがどのように機能するかを見てみましょう。まず、ベクトルに数値を掛けます: (赤い矢印)、(緑の矢印)、(ラズベリーの矢印)。次に、いくつかのベクトル (この場合は 3 つ) を追加する例を示します。合計ベクトルは、最初の出発点 (ベクトルの始まり) で始まり、最終到着点 (ベクトルの終わり) で終わります。

当然のことながら、3 次元空間のすべてのベクトルも自由です。精神的にそのベクトルを他の点から脇に置こうとすると、その分解が「そのまま残る」ことがわかります。

フラットケース同様、書き込みに加えて、括弧付きのバージョンは広く使用されています: いずれか。

展開で 1 つ (または 2 つ) の座標ベクトルが欠落している場合は、その場所に 0 が配置されます。例:
ベクトル（細心の注意を払って） - かきましょう ;
ベクトル（細心の注意を払って） - かきましょう ;
ベクトル（細心の注意を払って） - かきましょう。

基底ベクトルは次のように記述されます。

おそらく、これは解析幾何学の問題を解決するために必要な最低限の理論的知識のすべてです。用語や定義がたくさんあるかもしれないので、ティーポットの方はこの情報をもう一度読んで理解することをお勧めします。また、読者にとって、内容をよりよく理解するために、基本的なレッスンを時々参照することは有益です。共線性、直交性、正規直交基底、ベクトル分解 - これらおよびその他の概念は、将来よく使用されるでしょう。私はすべての定理を (証明なしで) 注意深く暗号化しているため、サイト上の資料は幾何学に関する理論テストやコロキウムに合格するのに十分ではないことに注意してください。科学的な表現スタイルには悪影響を及ぼしますが、幾何学の理解にはプラスです。件名。詳細な理論情報を入手するには、アタナシアン教授にお辞儀をしてください。

そして実践的な部分に移ります。

解析幾何学の最も単純な問題。
座標内のベクトルを使用したアクション

完全に自動的に考慮されるタスクの解決方法と公式を学ぶことを強くお勧めします。 暗記する、意図的に覚える必要さえありません、彼らはそれを自分で覚えます =) これは非常に重要です。なぜなら、解析幾何学の他の問題は最も単純な初歩的な例に基づいており、ポーンを食べるのに追加の時間を費やすのは面倒だからです。。シャツの一番上のボタンを留める必要はありません。学校でおなじみのものがたくさんあります。

資料のプレゼンテーションは、飛行機と宇宙の両方で並行して行われます。その理由はすべて…あなた自身の目で確かめてください。

2 点からベクトルを求めるにはどうすればよいでしょうか?

平面の 2 点とが指定された場合、ベクトルの座標は次のとおりです。

空間内の 2 点が指定された場合、ベクトルの座標は次のとおりです。

あれは、 ベクトルの端の座標から対応する座標を減算する必要があります ベクトルの始まり.

エクササイズ：同じ点について、ベクトルの座標を求める公式を書き留めます。数式はレッスンの最後にあります。

例1

平面の 2 点とが与えられます。ベクトル座標を見つける

解決：対応する式によると：

あるいは、次のエントリを使用することもできます。

美学者は次のように判断します。

個人的には、最初のバージョンの録音に慣れています。

答え：

条件によれば、図面を作成する必要はありませんでした (これは解析幾何学の問題によくあります) が、ダミーのためにいくつかの点を明確にするために、怠惰にはなりません。

必ず理解する必要があります 点座標とベクトル座標の差:

点座標– これらは直交座標系の通常の座標です。座標平面上に点をプロットする方法は、小学5～6年生で誰でも知っていると思います。各点は平面上の厳密な位置を持ち、どこにも移動できません。

ベクトルの座標– この場合、これは基礎に従った拡張です。どのベクトルも自由なので、必要に応じて、平面内の他の点から簡単に移動できます。興味深いのは、ベクトルの場合、軸や直交座標系をまったく構築する必要がなく、必要なのは基底 (この場合は平面の正規直交基底) だけです。

点の座標とベクトルの座標の記録は似ているようです: 、および 座標の意味絶対に違う、この違いをよく認識する必要があります。もちろん、この違いは空間にも当てはまります。

紳士淑女の皆様、手を尽くしましょう:

例 2

a) ポイントが付与されます。ベクトルとを求めます。
b) ポイントが付与されますそして。ベクトルとを求めます。
c) ポイントが付与されます。ベクトルとを求めます。
d) ポイントが付与されます。ベクトルを検索 .

おそらくそれで十分でしょう。これらはあなた自身で決定するための例であり、無視しないようにしてください。それは報われます ;-)。図面を作成する必要はありません。レッスンの最後に解決策と答えが表示されます。

解析幾何学の問題を解決する際に重要なことは何ですか?「2 足す 2 は 0」という見事な間違いを犯さないように、細心の注意を払うことが重要です。どこかで間違いがあった場合はすぐに謝罪します =)

セグメントの長さを調べるにはどうすればよいですか?

すでに述べたように、長さは係数記号で示されます。

平面の 2 点が指定され、とが与えられた場合、セグメントの長さは次の式を使用して計算できます。

空間内の 2 点が指定されている場合、セグメントの長さは次の式を使用して計算できます。

注記： 対応する座標が交換されても式は正しいままになります: とですが、最初のオプションの方が標準的です。

例 3

解決：対応する式によると：

答え：

わかりやすくするために、図を描きます

線分 - これはベクトルではありません, そしてもちろん、どこにも移動することはできません。また、縮尺通りに描く場合：1単位。 = 1 cm (ノートブックのセル 2 つ)、セグメントの長さを直接測定することで、得られた答えを通常の定規で確認できます。

はい、解決策は短いですが、そこにはさらに明確にしておきたい重要な点がいくつかあります。

まず、答えに「単位」という次元を入れます。状態には、それが何ミリメートル、センチメートル、メートル、キロメートルであるかは記載されていません。したがって、数学的に正しい解決策は、一般的な公式「ユニット」、つまり「ユニット」と略されます。

次に、学校の教材を繰り返してみましょう。これは、検討したタスクに役立つだけではありません。

注意を払う 重要なテクニック – ルートの下から乗数を削除する。計算の結果、結果が得られます。適切な数学的スタイルには、(可能であれば) ルートの下から係数を削除することが含まれます。より詳細なプロセスは次のようになります。。もちろん、答えをそのままにしておくのは間違いではありませんが、それは確かに欠点であり、教師側の屁理屈としては重大な議論となるでしょう。

その他の一般的なケースは次のとおりです。

多くの場合、ルートはかなり大きな数値を生成します (例: )。このような場合はどうすればよいでしょうか? 電卓を使用して、数値が 4 で割り切れるかどうかを確認します。はい、完全に分割されました。次のようになります。。それとも、その数を再び 4 で割ることができるでしょうか? 。したがって：。数値の最後の桁は奇数なので、3 回目の 4 で割っても明らかに機能しません。 9 で割ってみましょう: 。結果として：
準備ができて。

結論：ルートの下に全体として抽出できない数値が得られた場合は、ルートの下から因数を削除しようとします。電卓を使用して、その数値が 4、9、16、25、36 で割り切れるかどうかを確認します。 49など

さまざまな問題を解くときに、根っこに遭遇することがよくあります。教師のコメントに基づいて解答を完成させる際に、成績の低下や不要な問題を避けるために、常に根っこから要素を抽出しようとします。

平方根やその他の累乗も繰り返してみましょう。

一般形式のべき乗を使用するための規則は、学校の代数学の教科書に記載されていますが、与えられた例から、すべて、またはほぼすべてがすでに明らかであると思います。

空間内のセグメントを使用した独立したソリューションのタスク:

例 4

ポイントが付与されます。セグメントの長さを求めます。

解答と答えはレッスンの最後にあります。

ベクトルの長さを調べるにはどうすればよいですか?

平面ベクトルが指定されている場合、その長さは式によって計算されます。

空間ベクトルが与えられた場合、その長さは次の式で計算されます。 .

7.1. 外積の定義

3 つの非同一平面上にあるベクトル a、b、c は、示された順序で取られ、3 番目のベクトル c の端から、最初のベクトル a から 2 番目のベクトル b までの最短の回転が見られる場合、右手系の三つ組を形成します。反時計回り、時計回りの場合は左手の 3 連符になります (図 16 を参照)。

ベクトル a とベクトル b のベクトル積はベクトル c と呼ばれ、次のようになります。

1. ベクトル a および b に垂直、つまり c ^ a および c ^ b ;

2. ベクトル a とベクトル上に構築された平行四辺形の面積に数値的に等しい長さを持ちます。b側面のように（図 17 を参照）、つまり

3. ベクトル a、b、c は右手トリプルを形成します。

外積は a x b または [a,b] で表されます。単位ベクトル i 間の次の関係は、ベクトル積の定義から直接得られます。 jそして k(図 18 を参照):

i x j = k、j x k = i、k x i = j。
たとえば、次のことを証明してみましょう i xj =k。

1) k ^ i, k ^ j;

2) |k |=1 ですが | i×j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) ベクトル i、j、および k右トリプルを形成します (図 16 を参照)。

7.2. 外積の性質

1. 因数を並べ替えると、ベクトル積の符号が変わります。 xb =(b xa) (図 19 を参照)。

ベクトル a xb と b xa は同一直線上にあり、同じモジュールを持ちます (平行四辺形の面積は変化しません) が、反対方向を向いています (トリプル a、b、a xb および a、b、b x a は反対向きです)。あれはアクサ = -(bxa).

2. ベクトル積には、スカラー係数に関する結合特性があります。つまり、l (a xb) = (l a) x b = a x (lb) です。

l >0 とします。ベクトル l (a xb) はベクトル a および b に垂直です。ベクトル ( 私斧 bはベクトル a にも垂直であり、 b(ベクトル a、私ただし、同じ平面上にあります）。これは、ベクトルが私(xb) と ( 私斧 b共線的。両者の方向が一致していることは明らかです。それらは同じ長さです:

それが理由です私(a xb)= 私 xb。についても同様に証明される私<0.

3. 2 つの非ゼロベクトル a と bそれらのベクトル積がゼロベクトルに等しい場合に限り、共線的になります。つまり、 ||b<=>そして、ｘｂ＝０である。