2 次以上の微分方程式。
係数が一定の 2 次の線形微分方程式。
解決策の例。

2階微分方程式と高次微分方程式の考察に移りましょう。微分方程式が何であるかについて漠然としたアイデアがある (またはまったく理解していない) 場合は、レッスンから始めることをお勧めします。 一階微分方程式。解決策の例。一次拡散の多くの解原理と基本概念は自動的に高次の微分方程式に拡張されます。 まず一次方程式を理解することが非常に重要です.

多くの読者は、2 番目、3 番目、その他の命令の遠隔制御は非常に難しく、習得するのが難しいものであるという偏見を持っているかもしれません。これは間違っています 。高次拡散を解く方法を学ぶことは、「通常の」1 次 DE よりも難しいことはほとんどありません。。また、解決策が学校のカリキュラムの内容を積極的に使用しているため、場所によってはさらに簡単です。

最も人気のある 2階微分方程式。 2階微分方程式へ 必然的に二次導関数を含み、 含まれていない

父親が家にいることが重要であるため、一部の赤ちゃんが（一度に全員が）欠けている可能性があることに注意してください。最も原始的な 2 階微分方程式は次のようになります。

実際の課題における 3 次微分方程式はそれほど一般的ではありません。私の主観的な観察によれば、これらは国家院での票の約 3 ～ 4% を獲得するでしょう。

3次微分方程式へ 必然的に三次導関数を含み、 含まれていない高次の導関数:

最も単純な 3 次微分方程式は次のようになります。 – お父さんは家にいて、子供たちは全員散歩に出かけています。

同様の方法で、4 次、5 次、およびそれ以上の次数の微分方程式を定義できます。実際の問題では、このような制御システムが故障することはほとんどありませんが、関連する例を示してみます。

実際の問題で提案される高次の微分方程式は、2 つの主要なグループに分けることができます。

1) 最初のグループ - いわゆる 次数で整理できる方程式。来て！

2) 2番目のグループ – 係数が一定の高次の線形方程式。それを今から検討し始めます。

2次の線形微分方程式
定数係数を使用した場合

理論と実際では、このような方程式は次の 2 種類に区別されます。 同次方程式そして 不均一方程式.

係数が一定の同次二次 DEは次の形式になります。
、ここで、とは定数 (数値) で、右側には – 厳密にゼロ。

ご覧のとおり、同次方程式には特別な困難はありません。重要なことは次のとおりです。 二次方程式を正しく解く.

場合によっては、次の形式の方程式など、標準ではない同次方程式が存在することがあります。ここで、二次導関数には、1 とは異なる (そして当然のことながら、ゼロとは異なる) 定数があります。解のアルゴリズムはまったく変わりません。落ち着いて特性方程式を作成し、その根を見つけてください。特性方程式の場合たとえば、次の 2 つの異なる実ルートがあります。の場合、一般的な解決策は通常のスキームに従って記述されます。 .

場合によっては、条件のタイプミスにより、次のような「悪い」ルートが発生する可能性があります。。どうすればよいか、答えは次のように書く必要があります。

次のような「悪い」共役複素根を使用すると、どちらも問題ありません。一般的な解決策:

あれは、 とにかく一般的な解決策があります。なぜなら、二次方程式には根が 2 つあるからです。

最後の段落では、約束したように、次のことを簡単に検討します。

高次の線形同次方程式

すべてが非常によく似ています。

三次線形同次方程式は次の形式になります。
, ここで、は定数です。
この方程式については、特性方程式を作成し、その根を見つける必要もあります。多くの人が推測しているように、特性方程式は次のようになります。
、そしてそれともかくそれは持っています ちょうど3つ根

たとえば、すべてのルートが実数で別個であるとします。の場合、一般的な解決策は次のように記述されます。

1 つの根が実数で、他の 2 つが共役複素数の場合、一般的な解は次のように書きます。

3 つのルートがすべて倍数 (同じ) である特殊なケース。孤独な父親を持つ 3 次の最も単純な同次 DE を考えてみましょう。特性方程式には、一致する 3 つのゼロ根があります。一般的な解決策は次のように書きます。

特性方程式の場合たとえば、に 3 つの多重ルートがある場合、一般的な解決策は次のようになります。

例9

同次 3 次微分方程式を解く

解決：特性方程式を作成して解いてみましょう。

, – 1 つの実根と 2 つの共役複素根が得られます。

答え：共通の決定

同様に、係数が定数である 4 次の線形同次方程式を考えることができます。、ここで、は定数です。

直接積分によって方程式を解く

次の微分方程式を考えてみましょう。
.
n回積分します。
;
;
等々。次の式を使用することもできます。
.
Cm。直接解ける微分方程式統合 > > >

従属変数 y を明示的に含まない方程式

置換により、方程式の次数が 1 つ下がります。これはの関数です。
Cm。明示的な形式の関数を含まない高次の微分方程式 > > >

独立変数 x を明示的に含まない方程式

.
はの関数であると考えます。それから
.
他のデリバティブについても同様です。その結果、方程式の次数は 1 つ減ります。
Cm。明示的な変数を含まない高次の微分方程式 > > >

y、y'、y''、...に関して同次方程式

この方程式を解くために、次のような代入を行います。
,
ここで、はの関数です。それから
.
導関数なども同様に変換します。その結果、方程式の次数が 1 つ減ります。
Cm。関数とその導関数に関して同次の高次微分方程式 > > >

高次の線形微分方程式

考えてみましょう n次の線形一次微分方程式:
(1) ,
ここで、は独立変数の関数です。この方程式に対して線形に独立した解が n 個あるとします。したがって、方程式 (1) の一般的な解は次の形式になります。
(2) ,
ここで、は任意の定数です。関数自体がソリューションの基本的なシステムを形成します。
根本解決体制 n 次の線形同次方程式のは、この方程式に対する n 個の線形独立解です。

考えてみましょう n次の線形不均一微分方程式:
.
この方程式に対する特定の（任意の）解があるとします。この場合、一般的な解は次の形式になります。
,
ここで、は同次方程式 (1) の一般解です。

係数が一定で、それらに還元可能な線形微分方程式

係数が一定の線形同次方程式

これらは次の形式の方程式です。
(3) .
ここに実数があります。この方程式の一般的な解を見つけるには、基本的な解の系を形成する n 個の線形に独立した解を見つける必要があります。次に、一般解は式 (2) によって決定されます。
(2) .

という形で解決策を探しています。我々が得る 特性方程式:
(4) .

この方程式が次の場合 さまざまな根の場合、基本的な解の系は次の形式になります。
.

可能な場合は 複雑なルート
,
複素共役根も存在します。これら 2 つの根は、解とに対応し、複雑な解との代わりに基本システムに含めます。

根の倍数多重度は線形独立解に対応します: 。

複素根の倍数多重度とその複素共役値は、線形独立解に対応します。
.

特殊な不均一部分を含む線形不均一方程式

次の形式の方程式を考えてみましょう
,
ここで、度 s の多項式は次のとおりです。 1 そして、 2 ; - 永続。

まず、同次方程式 (3) の一般解を探します。特性式(4)の場合 ルートは含まれていません、次に、次の形式で特定の解決策を探します。
,
どこ
;
;
s - 最大の s 1 そして、 2 .

特性式(4)の場合 根がある多重度がある場合、次の形式で特定の解決策を探します。
.

この後、一般的な解決策が得られます。
.

係数が一定の線形不均一方程式

ここで考えられる解決策は 3 つあります。

1) ベルヌーイ法.
まず、一次方程式のゼロ以外の解を見つけます。
.
次に置換を行います
,
ここで、は変数 x の関数です。 u の微分方程式を取得します。これには、x に関する u の導関数のみが含まれます。代入を実行すると、方程式 n が得られます。 - 1 - 番目の注文。

2) 線形置換法.
置き換えをしてみましょう
,
ここで、は特性方程式 (4) の根の 1 つです。その結果、次数の定数係数を持つ線形不均一方程式が得られます。この置換を一貫して適用して、元の方程式を 1 次方程式に還元します。

3) ラグランジュ定数の変化法.
この方法では、まず同次方程式 (3) を解きます。彼の解決策は次のようになります。
(2) .
さらに、定数は変数 x の関数であると仮定します。元の方程式の解は次の形式になります。
,
ここに未知の関数があります。元の式に代入し、いくつかの制限を課すことにより、関数の種類を見つけることができる式が得られます。

オイラーの方程式

代入により、係数が一定の線形方程式に変換されます。
.
ただし、オイラー方程式を解くために、そのような代入を行う必要はありません。次の形式で同次方程式の解をすぐに見つけることができます。
.
その結果、定数係数をもつ方程式と同じルールが得られ、変数の代わりにを代入する必要があります。

参考文献:
V.V. ステパノフ、微分方程式のコース、「LKI」、2015 年。
N.M. ガンター、R.O. クズミン、高等数学の問題集、「Lan」、2003 年。

コンピューティングの理論 不均一微分方程式(DU) については、この出版物には記載されていません。これまでのレッスンから、質問に対する答えを見つけるのに十分な情報が得られます。 「不均一な微分方程式を解くにはどうすればいいですか?」不均一な DE の次数はここでは大きな役割を果たしません。そのような DE の解を計算できる方法はあまりありません。例では答えを読みやすくするために、最終的な関数を導き出すのに役立つ計算方法とヒントのみに重点を置いています。

例1. 微分方程式を解く
解決策: 与えられた 三次の等次微分方程式、また、二次導関数と三次導関数のみが含まれており、関数とその一次導関数は含まれません。そのような場合 次数を減らす方法を適用する微分方程式。これを行うには、パラメータを導入します。パラメータ p を通じて 2 次導関数を表しましょう。

この場合、関数の 3 次導関数は次と等しくなります。

元の同種 DE は次の形式に簡略化されます。

それを微分で書くと、 分離変数方程式に還元する統合によって解決策を見つける

パラメータは関数の二次導関数であることに注意してください。

したがって、関数自体の公式を見つけるには、見つかった微分依存関係を 2 回積分します。

関数中の値C1、C2、C3は任意の値に等しい。
スキームは次のように単純です。 パラメータを導入して同次微分方程式の一般解を求めます。次の問題はより複雑であり、そこから 3 次の不均一微分方程式を解く方法を学びます。これからわかるように、同種制御システムと異種制御システムの間には、計算の点でいくつかの違いがあります。

例2。探す
解決策: 3 番目の注文があります。したがって、その解は、均質方程式の解と不均質方程式の特定の解の 2 つの和の形で求められる必要があります。

まずは決めてみましょう

ご覧のとおり、関数の 2 次導関数と 3 次導関数のみが含まれており、関数自体は含まれていません。この種 差分。方程式はパラメータを導入することで解きます。結果として、方程式の解を求める作業が軽減され、簡素化されます。実際には、次のようになります。二次導関数が特定の関数と等しいとすると、三次導関数は形式的に次の表記になります。

考慮された 3 次の等次微分方程式は 1 次方程式に変換されます。

ここから、変数を分割して積分を求めます。
x*dp-p*dx=0;

このような問題では式に番号を付けることをお勧めします。3 次微分方程式の解には 3 つの定数があり、4 次微分方程式には 4 つの定数があり、同様に同様であるためです。ここで、導入されたパラメータに戻ります。二次導関数には次の形式があるため、関数の導関数に対する依存関係が得られたら、それを統合します。

そして積分を繰り返すことで、 同次関数の一般形式

方程式の部分解対数を掛けた変数として書きましょう。これは、DE の右側 (不均一) 部分が -1/x に等しいという事実から得られ、同等の表記が得られます。

解決策は次の形式で求められるべきです

係数 A を見つけてみましょう。これを行うには、1 次と 2 次の導関数を計算します。

見つかった式を元の微分方程式に代入し、係数を x の同じべき乗で等しくしましょう。

鋼の値は -1/2 に等しく、次の形式になります。

微分方程式の一般解見つかったものの合計として書き留めます

ここで、C 1、C 2、C 3 は、コーシー問題を使用して洗練できる任意の定数です。

例 3. 3次DEの積分を求めます
解決策: 均一および部分不均一方程式の解の和の形式で、3 次の不均一微分方程式の一般積分を求めています。まず、どのようなタイプの方程式でも、まず始めます。 同次微分方程式を解析する

これには、現在不明な関数の 2 次導関数と 3 次導関数のみが含まれています。変数 (パラメーター) の変更を導入します。二次導関数を表します。

この場合、3 次導関数は次と等しくなります。

同じ変換が前のタスクで実行されました。これにより、 3 次の微分方程式を次の形式の 1 次方程式に変形します。

積分により次のことがわかります

変数の変化に従って、これは単なる二次導関数であることを思い出してください。

均一な 3 次微分方程式の解を見つけるには、2 回積分する必要があります。

右辺(不均一部=x+1)の種類に基づき、 次の形式で方程式の部分解を探します。

部分解をどのような形式で探すかを知る方法微分方程式のコースの理論部分で教えられているはずです。そうでない場合は、方程式に代入するときに、最も高い導関数またはそれより若い項を含む項が方程式の不均一部分と同じ次数 (類似) になるような関数の式を選択することを提案することしかできません。

プライベートソリューションの種類がどこから来るのかがより明確になったと思います。係数 A、B を見つけてみましょう。このために、関数の 2 次導関数と 3 次導関数を計算します。

そしてそれを微分方程式に代入します。類似した用語をグループ化した後、次の線形方程式が得られます。

そこから、変数の同じ累乗に対して、 方程式系を構成する

そして未知の鋼材を発見する。置換後は依存関係で表現されます。

微分方程式の一般解同種と部分の合計に等しく、次の形式を持ちます。

ここで、C 1、C 2、C 3 は任意の定数です。

例 4.P 微分方程式を解く
解決策: 合計を通じて見つける解決策があります。計算スキームはわかったので、次の検討に移りましょう 同次微分方程式

標準的な方法によると パラメータを入力してください
元の微分方程式は次の形式になります。変数を分割すると、次のようになります。

パラメータは二次導関数に等しいことに注意してください
DE を積分することにより、関数の一次導関数が得られます。

統合を繰り返すことで 同次微分方程式の一般積分を求めます。

次の形式で方程式の部分解を探します。、右辺が等しいので
係数 A を見つけてみましょう - これを行うには、微分方程式に y* を代入し、係数を変数の同じべき乗に等しくします。

用語の置換とグループ化の後、依存関係が得られます。

このうち鋼は A=8/3 に相当します。
したがって、次のように書くことができます DE の部分的な解決策

微分方程式の一般解見つかったものの合計に等しい

ここで、C 1、C 2、C 3 は任意の定数です。コーシー条件が与えられていれば、それらを非常に簡単に定義できます。

この教材は、実践的な授業、モジュール、テストの準備に役立つと思います。コーシー問題についてはここでは説明しませんでしたが、これまでのレッスンでその方法は大体わかりました。

物理学の問題によっては、プロセスを記述する量の間の直接的な関係を確立することができない場合があります。ただし、研究対象の関数の導関数を含む等式を取得することは可能です。このようにして微分方程式が生じ、未知の関数を見つけるために微分方程式を解く必要があります。

この記事は、未知の関数が 1 つの変数の関数である微分方程式を解く問題に直面している人を対象としています。この理論は、微分方程式の知識がなくても課題に対処できるように構成されています。

微分方程式の種類ごとに解法が関連付けられており、詳細な説明と典型的な例と問題の解決策が示されています。あなたがしなければならないことは、問題の微分方程式のタイプを決定し、同様の分析例を見つけて、同様のアクションを実行することだけです。

微分方程式をうまく解くには、さまざまな関数の逆導関数 (不定積分) のセットを見つける能力も必要です。必要に応じて参照することをお勧めします。

まず、導関数に関して解くことができる 1 次の常微分方程式の種類を検討します。次に 2 次の常微分方程式に進み、次に高次の方程式について詳しく説明し、次の系で終わります。微分方程式。

y が引数 x の関数である場合を思い出してください。

一階微分方程式。

形式の最も単純な 1 次微分方程式。

そんなリモコンの例をいくつか書いてみましょう。 .

微分方程式は、等式の両辺を f(x) で除算することによって導関数に関して解決できます。この場合、f(x) ≠ 0 の元の方程式と等価な方程式が得られます。このような ODE の例は次のとおりです。

関数 f(x) と g(x) が同時に消滅する引数 x の値がある場合、追加の解が表示されます。方程式の追加の解与えられた x は、これらの引数値に対して定義された任意の関数です。このような微分方程式の例には次のものがあります。

二次微分方程式。

係数が一定の 2 次の線形同次微分方程式。

定数係数を使用する LDE は、非常に一般的なタイプの微分方程式です。彼らの解決策は特に難しいものではありません。まず、特性方程式の根を求めます。。異なる p と q については、次の 3 つのケースが考えられます。特性方程式の根は、実数で異なる場合、実数で一致する場合があります。または複素共役。特性方程式の根の値に応じて、微分方程式の一般解は次のように書かれます。、または、またはそれぞれ。

たとえば、係数が一定の線形均質 2 階微分方程式を考えてみましょう。その特性方程式の根は、k 1 = -3 および k 2 = 0 です。根は実数であり、異なるものであるため、定数係数を持つ LODE の一般解は次の形式になります。

係数が一定の 2 次の線形不均一微分方程式。

定数係数 y を持つ 2 次 LDDE の一般解は、対応する LDDE の一般解の合計の形で求められます。元の不均一方程式に対する特定の解、つまり。前の段落では、係数が一定の同次微分方程式の一般解を見つけることに専念しました。そして、特定の解は、元の方程式の右辺の関数 f(x) の特定の形式に対する不定係数の方法、または任意の定数を変更する方法によって決定されます。