通常の分数で実行できるもう 1 つの演算は乗算です。 問題を解く際の基本的なルールを説明し、普通の分数に自然数を掛ける方法と、3 つ以上の普通の分数を正しく掛ける方法を示します。
まず基本的なルールを書き留めましょう。
定義 1
1 つの普通の分数を掛けると、結果の分数の分子は元の分数の分子の積に等しく、分母はそれらの分母の積に等しくなります。 リテラル形式では、2 つの分数 a / b および c / d について、これは a b · c d = a · c b · d として表すことができます。
このルールを正しく適用する方法の例を見てみましょう。 一辺が 1 つの数値単位に等しい正方形があるとします。 すると図形の面積は1平方メートルになります。 ユニット。 この正方形を、辺が 1 4 および 1 8 の数値単位に等しい等しい長方形に分割すると、32 個の長方形で構成されていることがわかります (8 4 = 32 であるため)。 したがって、それらのそれぞれの面積は、図全体の面積の1 32に等しくなります。 1 32平方メートル 単位。
5 8 数値単位と 3 4 数値単位に等しい辺を持つ影付きのフラグメントがあります。 したがって、その面積を計算するには、最初の分数に 2 番目の分数を掛ける必要があります。 5 8 · 3 4 平方になります。 単位。 しかし、断片に含まれる長方形の数を単純に数えることができます。それらは 15 個あり、合計面積は 15 × 32 平方単位であることを意味します。
5 3 = 15 および 8 4 = 32 なので、次の等式を書くことができます。
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
これは、普通の分数を乗算するために定式化した規則 (a b · c d = a · c b · d として表される) を確認します。 これは、適正分数と仮分数の両方で同じように機能します。 異なる分母と同一の分母の両方をもつ分数の乗算に使用できます。
普通の分数の掛け算を含むいくつかの問題の解決策を見てみましょう。
例1
7 11 に 9 8 を掛けます。
解決
まず、7 と 9 を掛けて、指定された分数の分子の積を計算しましょう。 63 になりました。 次に、分母の積を計算すると、11 · 8 = 88 が得られます。 2 つの数字を合成すると、答えは 63 88 になります。
ソリューション全体は次のように記述できます。
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
答え： 7 11 · 9 8 = 63 88。
答えに約分が得られた場合は、計算を完了して約分を実行する必要があります。 不適切な分数が得られた場合は、そこから部分全体を分離する必要があります。
例 2
分数の積を計算する 4 15と55 6．
解決
上で検討したルールによれば、分子と分子を乗算し、分母と分母を乗算する必要があります。 ソリューション レコードは次のようになります。
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
可約分数が得られました。 10で割り切れるもの。
分数を約してみましょう: 220 90 gcd (220, 90) = 10、220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9。 その結果、仮分数が得られ、そこから部分全体を選択して帯分数を取得します: 22 9 = 2 4 9。
答え： 4 15 55 6 = 2 4 9。
計算を容易にするために、乗算演算を実行する前に元の分数を減らすこともできます。そのためには、分数を a · c b · d の形式に減らす必要があります。 変数の値を単純な因子に分解し、同じものを減らしてみましょう。
特定のタスクのデータを使用して、これがどのようなものかを説明してみましょう。
例 3
積 4 15 55 6 を計算します。
解決
掛け算のルールに基づいた計算を書いてみましょう。 私たちは得るだろう：
4 15 55 6 = 4 55 15 6
4 = 2 2、55 = 5 11、15 = 3 5、6 = 2 3 なので、4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3 となります。
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
答え: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 。
通常の分数を乗算する数値式には可換性があります。つまり、必要に応じて因数の順序を変更できます。
a b · c d = c d · a b = a · c b · d
分数と自然数を掛ける方法
早速、基本的なルールを書き留めて、実際に説明してみましょう。
定義 2
共通の分数に自然数を掛けるには、その分数の分子にその数値を掛ける必要があります。 この場合、最後の分数の分母は元の普通分数の分母と等しくなります。 特定の分数 a b と自然数 n の乗算は、公式 a b · n = a · n b として書くことができます。
任意の自然数は、分母が 1 に等しい通常の分数として表現できることを覚えておくと、この式を簡単に理解できます。
a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b
具体的な例を挙げて私たちの考え方を説明しましょう。
例 4
積 2 に 27 を掛けて 5 を計算します。
解決
元の分数の分子に 2 番目の係数を乗算した結果、10 が得られます。 上記のルールにより、結果として 10 27 が得られます。 ソリューション全体はこの投稿に記載されています。
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
答え： 2 27 5 = 10 27
自然数に分数を掛けるとき、結果を省略したり、帯分数として表したりする必要があることがよくあります。
例5
条件: 8 × 5 12 の積を計算します。
解決
上記のルールに従って、自然数に分子を掛けます。 その結果、5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 が得られます。 最後の分数には 2 で割り切れる兆候があるため、これを約分する必要があります。
LCM (40, 12) = 4、つまり 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3
あとは、部分全体を選択して、用意された答えを書き留めるだけです: 10 3 = 3 1 3。
このエントリでは、解全体: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 を確認できます。
分子と分母を素因数分解して分数を減らすこともでき、結果はまったく同じになります。
答え： 5 12 8 = 3 1 3。
自然数に分数を乗算する数値式にも変位の特性があります。つまり、因数の順序は結果に影響しません。
a b · n = n · a b = a · n b
3 つ以上の公分数の掛け算の仕方
自然数の乗算に特徴的なのと同じ性質を、通常の分数の乗算の動作に拡張することができます。 これは、これらの概念の定義そのものから導かれます。
組み合わせと可換性の知識のおかげで、3 つ以上の普通の分数を掛けることができます。 利便性を高めるために係数を再配置したり、数えやすいように括弧を配置したりすることは許容されます。
これがどのように行われるかを例で示してみましょう。
例6
4 つの公用分数 1 20、12 5、3 7、5 8 を掛けます。
解決策: まず、作業を記録しましょう。 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 となります。 すべての分子とすべての分母を掛け合わせる必要があります: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 。
掛け算を開始する前に、作業を少し楽にして、いくつかの数値を素因数に因数分解してさらに削減することができます。 これは、すでに準備ができている結果の部分を減らすよりも簡単です。
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9,280
答え： 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9,280。
例 7
5 つの数字 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 を掛けます。
解決
便宜上、分数 7 8 を数値 8 とグループ化し、数値 12 を分数 5 36 とグループ化することができます。これは、将来の略語が明らかになるためです。 結果として、以下が得られます。
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3
答え： 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3。
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§ 87. 分数の加算。
分数の加算は、整数の加算と多くの類似点があります。 分数の加算は、いくつかの指定された数値 (項) が、すべての単位と項の単位の分数を含む 1 つの数値 (和) に結合されるという事実からなるアクションです。
次の 3 つのケースを順番に検討します。
1. 分母が似ている分数の加算。
2. 分母の異なる分数の加算。
3. 帯分数の加算。
1. 分母が似ている分数の加算。
1/5 + 2/5 の例を考えてみましょう。
セグメント AB (図 17) を 1 つとして 5 つの等しい部分に分割します。すると、このセグメントの部分 AC はセグメント AB の 1/5 に等しく、同じセグメントの部分 CD は以下に等しくなります。 AB 2/5
図面から、セグメント AD を取ると、それは 3/5 AB に等しいことがわかります。 ただし、セグメント AD は正確にセグメント AC と CD の合計です。 したがって、次のように書くことができます。
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
これらの項とその結果の合計を考慮すると、合計の分子は項の分子を加算することによって取得され、分母は変更されていないことがわかります。
これから、次のルールが得られます。 同じ分母を持つ分数を加算するには、それらの分子を加算し、同じ分母を残す必要があります。
例を見てみましょう:
2. 分母の異なる分数の加算。
分数を足してみましょう: 3 / 4 + 3 / 8 まず、それらを最小公倍数に減らす必要があります。
中間リンク 6/8 + 3/8 を書き込めませんでした。 わかりやすくするためにここに書きました。
したがって、分母の異なる分数を加算するには、まず分母を最小公倍数に減算し、分子を加算して、共通分母にラベルを付ける必要があります。
例を見てみましょう (対応する分数の上に追加の因数を書きます)。
3. 帯分数の加算。
数字を足してみましょう: 2 3/8 + 3 5/6。
まず、数値の小数部分を共通の分母にして、再度書き直してみましょう。
次に、整数部分と小数部分を順番に追加します。
§ 88. 分数の引き算。
分数の減算は、整数の減算と同じ方法で定義されます。 これは、2 つの項とそのうちの 1 つの項の合計を考慮して、別の項を見つけるというアクションです。 3 つのケースを続けて考えてみましょう。
1. 分母が似ている分数の引き算。
2. 分母の異なる分数の引き算。
3. 帯分数の引き算。
1. 分母が似ている分数の引き算。
例を見てみましょう:
13 / 15 - 4 / 15
セグメント AB (図 18) を 1 つの単位として、15 等分に分割してみましょう。 この場合、このセグメントの AC 部分は AB の 1/15 を表し、同じセグメントの AD 部分は 13/15 AB に対応します。 4/15 AB に等しい別のセグメント ED を確保しておきます。
13/15 から端数 4/15 を引く必要があります。 図では、これはセグメント AD からセグメント ED を減算する必要があることを意味します。 その結果、セグメント AB の 9/15 であるセグメント AE が残ります。 したがって、次のように書くことができます。
私たちが作成した例は、差の分子は分子を減算することによって得られますが、分母は同じままであることを示しています。
したがって、分母が似ている分数を引くには、被減数の分子から減数の分子を引いて、同じ分母を残す必要があります。
2. 分母の異なる分数の引き算。
例。 3/4～5/8
まず、これらの分数を最小公倍数に分解してみます。
中間の 6 / 8 ～ 5 / 8 はわかりやすくするためにここに書かれていますが、後でスキップできます。
したがって、分数から分数を引くには、まず最小公倍数まで減算し、次に被減数の分子から被減数の分子を引き、その差の下にある共通分母に署名する必要があります。
例を見てみましょう:
3. 帯分数の引き算。
例。 10 3/4 - 7 2/3。
被減数と減数の小数部を最小公倍数に換算してみましょう。
全体から全体を引き、分数から分数を引きました。 ただし、減数の小数部分が被減数の小数部分よりも大きい場合があります。 このような場合は、被減数の全体部分から 1 単位を取り出し、小数部分が表現される部分に分割して、被減数の小数部分に加算する必要があります。 その後、前の例と同じ方法で減算が実行されます。
§ 89. 分数の乗算。
分数の掛け算を学ぶときは、次の質問を考慮します。
1. 分数に整数を掛けます。
2. 指定された数値の小数部を求める。
3. 整数と分数を掛けます。
4. 分数と分数を掛けます。
5.帯分数の掛け算。
6. 興味の概念。
7. 指定された数値のパーセンテージを求める。 順番に考えてみましょう。
1. 分数に整数を掛けます。
分数と整数の乗算は、整数と整数の乗算と同じ意味を持ちます。 分数 (被乗数) と整数 (因数) を乗算することは、各項が被乗数に等しく、項の数が乗数に等しい、同一の項の合計を作成することを意味します。
つまり、1/9 に 7 を掛ける必要がある場合は、次のように行うことができます。
同じ分母を持つ分数を加算するだけの操作なので、簡単に結果が得られました。 したがって、
この動作を考慮すると、分数に整数を掛けることは、この分数を整数内の単位の数だけ増やすことと同じであることがわかります。 そして、分数を増やすことは分子を増やすことによって達成されます。
または分母を減らすことによって 
の場合、分子に整数を掛けるか、分母を整数で割ることが可能であれば、そのどちらかを行うことができます。
ここから次のルールが得られます。
分数に整数を掛けるには、分子にその整数を掛けて分母を同じままにするか、可能であれば、分子を変更せずに分母をその数値で割ります。
乗算する場合は、次のような省略形が可能です。
2. 指定された数値の小数部を求める。与えられた数値の一部を見つけたり、計算したりしなければならない問題がたくさんあります。 これらの問題と他の問題の違いは、いくつかの物体または測定単位の数が与えられ、この数の一部 (ここでも特定の分数で示されています) を見つける必要があることです。 理解を容易にするために、最初にそのような問題の例を挙げ、次にそれらを解決する方法を紹介します。
タスク1。私は60ルーブルを持っていました。 このお金の1/3を本を買うのに使いました。 本の値段はいくらでしたか？
タスク2。列車は都市 A と都市 B の間を 300 km に相当する距離を移動しなければなりません。 彼はすでにこの距離の 2/3 を走行しました。 ここは何キロですか?
タスク3.村には400軒の家があり、その4分の3がレンガ造り、残りが木造です。 レンガ造りの家は全部で何軒ありますか?
これらは、特定の数値の一部を見つけるために遭遇する多くの問題の一部です。 これらは通常、指定された数値の小数部を見つける問題と呼ばれます。
問題 1 の解決策。 60こすりから。 1/3は本に費やしました。 これは、書籍の価格を求めるには、60 を 3 で割る必要があることを意味します。
問題2を解決します。問題のポイントは、300 km の 2/3 を見つける必要があるということです。 まず 300 の 1/3 を計算しましょう。 これは 300 km を 3 で割ることで達成されます。
300: 3 = 100 (つまり 300 の 1/3)。
300 の 3 分の 2 を求めるには、結果の商を 2 倍にする、つまり 2 を掛ける必要があります。
100 x 2 = 200 (つまり 300 の 2/3)。
問題3を解決します。ここでは、400 戸の 3/4 を構成するレンガ造りの家の数を決定する必要があります。まず 400 戸の 1/4 を見つけます。
400: 4 = 100 (400 の 1/4)。
400 の 4 分の 3 を計算するには、結果の商を 3 倍、つまり 3 倍する必要があります。
100 x 3 = 300 (つまり 400 の 3/4)。
これらの問題の解決策に基づいて、次のルールを導き出すことができます。
指定された数値から分数の値を求めるには、この数値を分数の分母で割り、得られた商に分子を掛ける必要があります。
3. 整数と分数を掛けます。
以前に (§ 26)、整数の乗算は同一の項の加算として理解されるべきであることが確立されました (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20)。 この段落 (ポイント 1) では、分数に整数を掛けることは、この分数に等しい同一項の合計を求めることを意味することが確立されました。
どちらの場合も、乗算は同一の項の合計を求めることで構成されます。
次に、整数と分数の掛け算に進みます。 ここでは、たとえば、9 2 / 3 という掛け算に遭遇します。 前述の乗算の定義がこの場合に当てはまらないことは明らかです。 これは、このような乗算を等しい数を加算することで置き換えることができないという事実から明らかです。
このため、私たちは乗算の新しい定義を与える必要があります。つまり、分数による乗算によって何を理解すべきか、この動作をどのように理解すべきかという質問に答える必要があります。
整数に分数を掛けることの意味は、次の定義から明らかです。 整数 (被乗数) に分数 (被乗数) を掛けることは、被乗数のこの分数を求めることを意味します。
つまり、9 に 2/3 を掛けることは、9 単位の 2/3 を求めることを意味します。 前の段落で、そのような問題は解決されました。 したがって、最終的に 6 になることは簡単にわかります。
しかしここで、興味深い重要な疑問が生じます。等しい数の和を求めることと、数値の分数を求めるなど、一見異なる演算が、算術ではなぜ同じ「乗算」という言葉で呼ばれるのでしょうか?
これは、前のアクション (項を使用して数値を数回繰り返す) と新しいアクション (数値の小数部を求める) によって同種の質問に対する答えが得られるために発生します。 これは、ここでは、同種の質問やタスクは同じアクションによって解決されるという考察から進められることを意味します。
これを理解するために、次の問題を考えてみましょう。「1 メートルの布の値段は 50 ルーブルです。 このような布4mはいくらになりますか？
この問題は、ルーブル数 (50) にメートル数 (4) を掛けることで解決されます。つまり、50 x 4 = 200 (ルーブル) となります。
同じ問題を考えてみましょう。ただし、この問題では布の量が分数で表されます。「布 1 メートルの値段は 50 ルーブルです。 このような布は 3/4 メートルでいくらになりますか?」
この問題は、ルーブル数 (50) にメートル数 (3/4) を掛けることによっても解決する必要があります。
問題の意味を変えることなく、その中の数字を何度か変更できます。たとえば、9/10 m や 2 3/10 m などです。
これらの問題は内容が同じで、数値が異なるだけであるため、問題を解くために使用されるアクションを同じ単語、つまり掛け算と呼びます。
整数に分数を掛けるにはどうすればよいですか?
最後の問題で出た数字を見てみましょう。
定義によれば、50 の 3/4 を見つける必要があります。最初に 50 の 1/4、次に 3/4 を見つけましょう。
50 の 1/4 は 50/4 です。
50という数字の3/4は です。
したがって。
別の例を考えてみましょう: 12 5 / 8 =?
12という数字の1/8は12/8、
数字 12 の 5/8 は です。
したがって、
ここから次のルールが得られます。
整数と分数を掛けるには、整数に分数の分子を掛けてこの積を分子にし、この分数の分母を分母として符号を付ける必要があります。
このルールを文字を使って書いてみましょう。
この規則を完全に明確にするために、分数は商とみなされる可能性があることを覚えておく必要があります。 したがって、見つかったルールを、§ 38 で規定されている数値と商の乗算ルールと比較すると便利です。
乗算を実行する前に、(可能であれば) 乗算を実行する必要があることを覚えておくことが重要です。 削減、 例えば：
4. 分数と分数を掛けます。分数と分数の乗算は、整数と分数の乗算と同じ意味を持ちます。つまり、分数と分数を乗算する場合、最初の分数 (被乗数) から因数に含まれる分数を見つける必要があります。
つまり、3/4 に 1/2 (半分) を掛けることは、3/4 の半分を求めることを意味します。
分数と分数をどのように掛けますか?
例を見てみましょう: 3/4 に 5/7 を掛けます。 つまり、3/4 の 5/7 を見つける必要があります。 まず 3/4 の 1/7、次に 5/7 を見つけてみましょう。
3/4 の 1/7 は次のように表されます。
5/7 の数 3/4 は次のように表されます。
したがって、
別の例: 5/8 に 4/9 を掛けます。
5/8の1/9は、
数字 5/8 の 4/9 は です。
したがって、 
これらの例から、次の規則が推測できます。
分数と分数を掛けるには、分子と分子、分母と分母を掛けて、最初の積を分子、2 番目の積を積の分母にする必要があります。
このルールは次のような一般的な形式で書くことができます。
乗算するときは、（可能であれば）リダクションを行う必要があります。 例を見てみましょう:
5.帯分数の掛け算。帯分数は仮分数で簡単に置き換えることができるため、通常、帯分数を乗算するときにこの状況が使用されます。 これは、被乗数、乗数、またはその両方の因数が帯分数として表現されている場合、仮分数に置き換えられることを意味します。 たとえば、帯分数 2 1/2 と 3 1/5 を掛けてみましょう。 それぞれを仮分数に変換し、分数と分数の掛け算のルールに従って、結果の分数を掛けてみましょう。
ルール。帯分数を掛けるには、まず仮分数に変換してから、分数と分数の掛け算の規則に従って掛け算する必要があります。
注記。因数の 1 つが整数の場合、次のように分配法則に基づいて乗算を実行できます。
6. 興味の概念。問題を解いたり、さまざまな実践的な計算をしたりするとき、私たちはあらゆる種類の分数を使います。 しかし、多くの数量では、任意の分割ではなく、自然な分割が可能であることを心に留めておく必要があります。 たとえば、ルーブルの 100 分の 1 (1/100) を受け取ると 1 コペイカ、100 分の 2 は 2 コペイカ、100 分の 3 は 3 コペイカになります。 1 ルーブルの 10 分の 1 を受け取ると、「10 コペイカ」、または 10 コペイカになります。 4 分の 1 ルーブル、つまり 25 コペイカ、半分ルーブル、つまり 50 コペイカ (50 コペイカ) を受け取ることもできます。ルーブルは 7 分の 1 に分割されていないため、実際には、たとえば 1 ルーブルの 2/7 を受け取ることはありません。
重量の単位、つまりキログラムでは、主に 1/10 kg や 100 g などの小数点以下の区切りが可能ですが、1/6、1/11、1/13 などのキログラムの端数は一般的ではありません。
一般に、私たちの（メートル法）メジャーは 10 進数であり、小数点以下の除算が可能です。
ただし、数量を細分化する同じ (均一な) 方法を使用することは、さまざまな場合に非常に便利で便利であることに注意してください。 長年の経験から、そのような十分に正当な分割が「100番目」の分割であることがわかっています。 人間の実践の最も多様な領域に関連するいくつかの例を考えてみましょう。
1. 書籍の価格が以前の価格の 12/100 になりました。
例。 この本の以前の価格は10ルーブルでした。 1ルーブル減りました。 20コペイカ
2. 貯蓄銀行は、年間の貯蓄金額の 2/100 を預金者に支払います。
例。 500ルーブルがレジに預けられ、この金額からの年間収入は10ルーブルです。
3. 1 つの学校の卒業者数は全生徒数の 5/100 でした。
例 この学校の生徒数はわずか 1,200 人で、そのうち 60 人が卒業しました。
数値の 100 分の 1 をパーセンテージといいます.
「パーセント」という言葉はラテン語から借用されたもので、その語源「セント」は100を意味します。 前置詞 (pro centum) と合わせて、この単語は「100 のために」を意味します。 この表現の意味は、当初、古代ローマでは利息が、債務者が貸し手に「100 ごとに」支払ったお金に与えられた名前であったという事実に由来しています。 「セント」という言葉は、セントナー (100 キログラム)、センチメートル (たとえばセンチメートル) などのよく知られた言葉で聞かれます。
たとえば、過去 1 か月間、その工場で生産された全製品の 1/100 に欠陥があったと言う代わりに、次のように言います。「先 1 か月間、その工場は 1 パーセントの欠陥を生産しました」とします。 「工場は確立された計画よりも 4/100 多くの製品を生産した」と言う代わりに、「工場は計画を 4% 上回った」と言うでしょう。
上記の例は、別の方法で表現できます。
1. 本の価格は以前の価格より 12% 下がりました。
2. 貯蓄銀行は、貯蓄に預けられた金額に対して年間 2 パーセントを預金者に支払います。
3. 1 つの学校の卒業生の数は全学校生徒の 5% でした。
文字を短くするには、「パーセント」という単語の代わりに % 記号を書くのが一般的です。
ただし、計算では % 記号は通常は記述されませんが、問題文や最終結果に記述できることに注意してください。 計算を実行するときは、この記号を使用して整数の代わりに分母が 100 の分数を書く必要があります。
示されたアイコンの整数を、分母が 100 の分数に置き換えることができる必要があります。
逆に、分母が 100 の分数ではなく、指定された記号を使用して整数を書くことに慣れる必要があります。
7. 指定された数値のパーセンテージを求める。
タスク1。学校は２００立方メートルを受け取った。 m の薪、そのうち白樺の薪が 30% を占めます。 白樺の薪はどれくらいありましたか？
この問題の意味は、学校に届けられた薪のうち白樺の薪は一部のみであり、この部分は100分の30という端数で表されるということです。 これは、数値の小数を見つけるタスクがあることを意味します。 これを解くには、200 に 30/100 を掛けなければなりません (数値の小数を求める問題は、数値に小数を掛けることで解決されます)。
これは、200 の 30% が 60 に等しいことを意味します。
この問題で発生する端数 30/100 は、10 だけ減らすことができます。この削減を最初から実行することも可能です。 問題の解決策は変わりません。
タスク2。キャンプにはさまざまな年齢の300人の子供たちがいました。 11 歳の子供が 21%、12 歳の子供が 61%、最後に 13 歳の子供が 18% を占めました。 キャンプには各年齢の子供が何人いましたか?
この問題では、3 つの計算を実行する必要があります。つまり、11 歳、次に 12 歳、最後に 13 歳の子供の数を順番に求めます。
これは、ここでは数値の小数を 3 回求める必要があることを意味します。 やりましょう：
1) 11 歳の子供は何人いましたか?
2) 12 歳の子供は何人いましたか?
3) 13 歳の子供は何人いましたか?
問題を解決した後、見つかった数値を加算すると便利です。 それらの合計は 300 になるはずです。
63 + 183 + 54 = 300
問題ステートメントに示されているパーセンテージの合計が 100 であることにも注意してください。
21% + 61% + 18% = 100%
これは、キャンプ内の子供の総数を 100% としてみなしたことを示唆しています。
3 アダハア 3.労働者は月額 1,200 ルーブルを受け取りました。 このうち、彼は65％を食料、6％をアパートと暖房、4％をガス、電気、ラジオ、10％を文化的ニーズに費やし、15％を貯蓄しました。 問題で示されたニーズにどれだけのお金が費やされましたか?
この問題を解くには、1,200 の端数を 5 回求める必要があります。
1) 食費にどれくらいのお金を使いましたか? 問題では、この経費は総収入の 65%、つまり 1,200 の 65/100 であることがわかります。計算してみましょう。
2) 暖房付きのアパートにいくら支払いましたか? 前と同様に推論すると、次の計算に到達します。
3) ガス、電気、ラジオにいくら支払いましたか?
4) 文化的ニーズにどれくらいのお金が費やされましたか?
5) その労働者はいくらお金を節約しましたか?
確認するには、これら 5 つの質問で見つかった数値を合計すると便利です。 金額は1,200ルーブルでなければなりません。 すべての収益は 100% としてみなされます。これは、問題文に示されているパーセンテージの数値を合計することで簡単に確認できます。
私たちは 3 つの問題を解決しました。 これらの問題は異なる事柄（学校への薪の配達、さまざまな年齢の子供の数、労働者の経費）を扱っていたという事実にもかかわらず、同じ方法で解決されました。 これは、すべての問題において、与えられた数値の数パーセントを見つける必要があるために起こりました。
§ 90. 分数の割り算。
分数の割り算を勉強する際に、次の質問について考えてみましょう。
1. 整数を整数で割ります。
2. 分数を整数で割る
3. 整数を分数で割ります。
4. 分数を分数で割る。
5.帯分数の割り算。
6. 与えられた分数から数値を求める。
7. パーセンテージによって数値を見つける。
順番に考えてみましょう。
1. 整数を整数で割ります。
整数のセクションで示したように、除算は、2 つの因数 (配当) とこれらの因数の 1 つ (除数) の積から別の因数を見つけるアクションです。
整数のセクションでは、整数を整数で割ることについて説明しました。 そこで私たちは、余りのない割り算、つまり「全体」 (150: 10 = 15) と、余りのある割り算 (100: 9 = 11 と 1 の余り) の 2 つの割り算に遭遇しました。 したがって、整数の分野では、被除数が常に除数と整数の積であるとは限らないため、正確な除算が常に可能であるとは限らないと言えます。 分数による乗算を導入した後は、可能な整数の除算のあらゆるケースを考慮できます (ゼロによる除算のみが除外されます)。
たとえば、7 を 12 で割るということは、12 と 12 の積が 7 に等しい数値を見つけることを意味します。7 / 12 12 = 7 であるため、そのような数値は分数 7 / 12 になります。 別の例: 14 / 25 25 = 14 であるため、14: 25 = 14 / 25。
したがって、整数を整数で割るには、分子が被除数に等しく、分母が除数に等しい分数を作成する必要があります。
2. 分数を整数で割ります。
分数 6 / 7 を 3 で割ります。上記の除算の定義によれば、積 (6 / 7) と因数 (3) の 1 つが得られます。 3 を乗算すると、指定された積が 6/7 になる 2 番目の係数を見つける必要があります。 明らかに、この製品よりも 3 倍小さいはずです。 これは、私たちの前に設定された課題は、端数 6/7 を 3 倍減らすことであったことを意味します。
分数を減らすには、分子を減らすか、分母を増やすことで実行できることはすでにわかっています。 したがって、次のように書くことができます。
この場合、分子 6 は 3 で割り切れるので、分子を 3 で減算する必要があります。
別の例を見てみましょう。5 / 8 を 2 で割ります。ここで、分子の 5 は 2 で割り切れません。つまり、分母にこの数値を掛ける必要があります。
これに基づいて、次のようなルールを作成できます。 分数を整数で割るには、分数の分子をその整数で割る必要があります。（もし可能なら）、 同じ分母を残すか、同じ分子を残して分数の分母にこの数値を掛けます。
3. 整数を分数で割ります。
5 を 1/2 で割る必要があるとします。つまり、1/2 を掛けた後に積が 5 になる数を見つけます。1/2 は適切な分数であるため、この数は 5 より大きくなければなりません。 、数値を乗算する場合、適切な分数の積は乗算される積より小さくなければなりません。 これを明確にするために、アクションを次のように書きましょう: 5: 1 / 2 = バツ 、つまり x 1 / 2 = 5 となります。
私たちはそのような数字を見つけなければなりません バツ 1/2 を掛けると 5 になります。特定の数に 1/2 を掛けるということは、この数の 1/2 を求めることを意味するため、未知の数の 1/2 になります。 バツ 5 と整数に等しい バツ 2 倍、つまり 5 2 = 10。
つまり、5: 1 / 2 = 5 2 = 10
確認しよう： 
別の例を見てみましょう。 6 を 2/3 で割るとします。 まず、図面を使用して目的の結果を見つけてみましょう (図 19)。
図19
6 ユニットに等しい線分 AB を描き、各ユニットを 3 等分します。 各単位では、セグメント AB 全体の 3/3 (3/3) が 6 倍の大きさになります。 e. 18/3。 小さな括弧を使用して、2 の結果として得られる 18 個のセグメントを接続します。 セグメントは 9 つだけになります。 これは、分数 2/3 が 6 単位に 9 回含まれること、つまり、分数 2/3 は 6 単位全体の 9 倍少ないことを意味します。 したがって、
図面を使わずに計算のみを使用してこの結果を得るにはどうすればよいでしょうか? 次のように推論してみましょう: 6 を 2/3 で割る必要があります。つまり、2/3 は 6 に何回含まれるかという質問に答える必要があります。まず調べてみましょう: 1/3 は 6 に何回含まれますか? ユニット全体では 3 分の 3 があり、6 ユニットではさらに 6 倍、つまり 18 の 3 になります。 この数を求めるには、6 に 3 を掛ける必要があります。これは、1/3 が b 単位に 18 回含まれ、2/3 が b 単位に含まれるのは 18 回ではなく、その半分であることを意味します。つまり、18: 2 = 9したがって、6 を 2/3 で割るときは次のようにしました。
ここから、整数を分数で割る規則が得られます。 整数を分数で割るには、この整数に指定された分数の分母を掛け、この積を分子にして、指定された分数の分子で割る必要があります。
文字を使用してルールを書いてみましょう。
この規則を完全に明確にするために、分数は商とみなされる可能性があることを覚えておく必要があります。 したがって、見つかった規則を、§ 38 で規定されている、数値を商で割る規則と比較すると便利です。 そこでも同じ式が得られたことに注意してください。
分割する場合、次のような省略形が可能です。
4. 分数を分数で割る。
3/4 を 3/8 で割る必要があるとします。 割って出た数字は何を意味するのでしょうか？ 分数 3/8 は分数 3/4 に何倍含まれるかという質問に答えます。 この問題を理解するために、図を描いてみましょう (図 20)。
線分 AB を 1 つとして、4 つの等しい部分に分割し、そのような部分を 3 つマークしましょう。 セグメント AC はセグメント AB の 3/4 に等しくなります。 元の 4 つのセグメントをそれぞれ半分に分割すると、セグメント AB は 8 つの等しい部分に分割され、その各部分はセグメント AB の 1/8 に等しくなります。 このような 3 つのセグメントを円弧で接続すると、セグメント AD と DC のそれぞれはセグメント AB の 3/8 に等しくなります。 この図は、3/8 に等しいセグメントが 3/4 に等しいセグメントにちょうど 2 回含まれていることを示しています。 これは、除算の結果は次のように記述できることを意味します。
3 / 4: 3 / 8 = 2
別の例を見てみましょう。 15/16 を 3/32 で割る必要があるとします。
次のように推論できます。3/32 を掛けた後、積が 15/16 に等しくなる数値を見つける必要があります。 次のように計算を書いてみましょう。
15 / 16: 3 / 32 = バツ
3 / 32 バツ = 15 / 16
3/32 不明な番号 バツ 15/16です
未知の数の 1/32 バツ は 、
32 / 32 の数字 バツ 補う 。
したがって、
したがって、分数を分数で割るには、最初の分数の分子に 2 番目の分数の分母を掛け、最初の分数の分母に 2 番目の分数の分子を掛けて、最初の積を分子にする必要があります。そして2番目は分母です。
文字を使用してルールを書いてみましょう。
分割する場合、次のような省略形が可能です。
5.帯分数の割り算。
帯分数を割り算する場合は、まず仮分数に変換し、その結果得られた分数を分数の割り算の規則に従って割り算する必要があります。 例を見てみましょう:
帯分数を仮分数に変換してみましょう。
では、分けてみましょう:
したがって、帯分数を割り算するには、仮分数に変換してから、分数の割り算の法則を使って割り算する必要があります。
6. 与えられた分数から数値を求める。
さまざまな分数の問題の中には、未知の数の分数の値が与えられ、その数値を見つける必要があるものもあります。 このタイプの問題は、指定された数値の小数部を求める問題の逆になります。 そこでは数値が与えられ、この数値の一部を見つける必要がありましたが、ここでは数値の一部が与えられ、この数値自体を見つけることが必要でした。 この種の問題の解決に目を向けると、この考えはさらに明確になります。
タスク1。初日、ガラス屋は建設された家の全窓の 1/3 に相当する 50 個の窓をガラス張りしました。 この家には窓が何個ありますか。
解決。この問題は、50 枚のガラス窓が家のすべての窓の 1/3 を占めることを示しています。つまり、窓の数は合計で 3 倍であることになります。
その家には150の窓がありました。
タスク2。この店では 1,500 kg の小麦粉を販売しましたが、これは店が保有していた小麦粉の総在庫量の 3/8 に相当します。 店に最初に供給された小麦粉はいくらでしたか?
解決。問題の状況から、販売された小麦粉 1,500 kg が在庫総量の 3/8 を占めることは明らかです。 これは、この準備金の 1/8 が 3 分の 1 になることを意味します。つまり、計算するには、1500 を 3 分の 1 に減らす必要があります。
1,500: 3 = 500 (これは予備の 1/8)。
明らかに、全体の供給量は 8 倍になります。 したがって、
500 8 = 4,000 (kg)。
店舗の小麦粉の初期在庫は 4,000 kg でした。
この問題を考慮すると、次の法則が導き出されます。
分数の指定された値から数値を求めるには、この値を分数の分子で割り、その結果に分数の分母を掛けるだけで十分です。
分数を与えられた数値を求める 2 つの問題を解決しました。 このような問題は、特に最後の問題から明らかなように、除算 (一部が見つかった場合) と乗算 (整数が見つかった場合) の 2 つのアクションによって解決されます。
しかし、分数の割り算を学んだ後は、上記の問題は 1 つのアクション、つまり分数による割り算で解決できます。
たとえば、最後のタスクは次のように 1 つのアクションで解決できます。
将来的には、割り算という 1 つのアクションで分数から数値を求める問題を解決する予定です。
7. パーセンテージによって数値を見つける。
これらの問題では、その数の数パーセントを知っている数を見つける必要があります。
タスク1。今年の初めに私は貯蓄銀行から60ルーブルを受け取りました。 1年前に貯蓄した金額からの収入。 貯蓄銀行にいくら預けましたか? (キャッシュデスクでは預金者に年間 2% の利益が与えられます。)
問題の要点は、私が一定額のお金を貯蓄銀行に預け、そこに1年間留まったということです。 1年後、私は彼女から60ルーブルを受け取りました。 収入は私が預けたお金の100分の2です。 私はいくらお金を入れましたか？
したがって、このお金の一部を 2 つの方法 (ルーブルと端数) で表現して知ると、まだ未知の金額全体を見つけなければなりません。 これは、分数が与えられた数値を求める一般的な問題です。 次の問題は除算によって解決されます。
これは、3,000 ルーブルが貯蓄銀行に預けられたことを意味します。
タスク2。漁師たちは 2 週間で月次計画を 64% 達成し、512 トンの魚を収穫しました。 彼らの計画は何だったのでしょうか？
問題の状況から、漁師たちが計画の一部を完了したことがわかっています。 この部分は512トンに相当し、計画の64％となる。 計画に従って何トンの魚を準備する必要があるかわかりません。 この番号を見つけると問題が解決します。
このような問題は割り算によって解決されます。
これは、計画によれば、800トンの魚を準備する必要があることを意味します。
タスク3.電車はリガからモスクワまで行きました。 276キロメートルを通過したとき、乗客の1人が通りすがりの車掌に、すでにどのくらいの距離を移動したのかと尋ねた。 これに対して車掌は「すでに全行程の30％を走行しました」と答えた。 リガからモスクワまでの距離はどのくらいですか?
問題の状況から、リガからモスクワまでのルートの 30% が 276 km であることは明らかです。 これらの都市間の距離全体を見つける必要があります。つまり、この部分については、次の全体の距離を見つけます。
§ 91. 逆数。 割り算を掛け算に置き換えます。
分数 2/3 を取り出し、分母の代わりに分子を置き換えると、3/2 が得られます。 この分数の逆数を求めました。
特定の分数の逆数である分数を取得するには、分母の代わりに分子を置き、分子の代わりに分母を置く必要があります。 このようにして、任意の分数の逆数を求めることができます。 例えば：
3/4、リバース4/3。 5/6、リバース6/5
最初の分数の分子が 2 番目の分母であり、最初の分数の分母が 2 番目の分数の分子であるという性質を持つ 2 つの分数をと呼びます。 相互に反転します。
では、1/2の逆数は何分数になるかを考えてみましょう。 明らかに、それは 2 / 1、または単なる 2 になります。指定されたものの逆分数を探すことで、整数が得られます。 そして、このケースは孤立したものではありません。 逆に、分子が 1 のすべての分数では、逆数は整数になります。次に例を示します。
1/3、リバース3。 1/5、リバース5
逆分数を求める際に整数にも遭遇したため、以下では逆分数ではなく逆数について説明します。
整数の逆数を書く方法を考えてみましょう。 分数の場合、これは簡単に解決できます。分子の代わりに分母を置く必要があります。 同様に、整数の分母は 1 になるため、整数の逆数を求めることができます。これは、7 = 7/1 であるため、7 の逆数は 1/7 になることを意味します。 数値 10 の場合、10 = 10/1 であるため、逆数は 1/10 になります。
このアイデアは別の方法で表現できます。 指定された数の逆数は、1 を指定された数で割ることによって得られます。 このステートメントは整数だけでなく分数にも当てはまります。 実際、分数 5/9 の逆数を書く必要がある場合、1 を 5/9 で割ることができます。
さて、一つ指摘しておきますが、 財産逆数、これは私たちに役立ちます: 逆数の積は 1 に等しい。確かに：
この性質を利用すると、次のように逆数を求めることができます。 8 の逆数を見つける必要があるとします。
文字で表しましょう バツ 、次に8 バツ = 1、したがって バツ = 1/8。 7/12 の逆数である別の数字を見つけて、それを文字で表してみましょう バツ 、その後7/12 バツ = 1、したがって バツ = 1:7 / 12 または バツ = 12 / 7 .
ここでは、分数の割り算についての情報を少し補足するために、逆数の概念を導入しました。
数字の 6 を 3/5 で割ると、次のようになります。
式に特に注意して、指定された式と比較してください。
前の式と関係なく、この式を個別に考えると、その式がどこから来たのか、つまり 6 を 3/5 で割る、または 6 に 5/3 を掛けるという問題を解決することは不可能です。 どちらの場合でも同じことが起こります。 したがって、次のように言えます。 ある数値を別の数値で除算することは、被除数に除数の逆数を乗算することで置き換えることができるということです。
以下に示す例は、この結論を完全に裏付けています。
前回は、分数の足し算と引き算を学習しました (レッスン「分数の足し算と引き算」を参照)。 これらのアクションの最も困難な部分は、分数を共通の分母にすることでした。
今度は掛け算と割り算を扱います。 幸いなことに、これらの演算は加算や減算よりもさらに単純です。 まず、整数部分が分離されていない 2 つの正の分数がある、という最も単純なケースを考えてみましょう。
2 つの分数を乗算するには、それらの分子と分母を別々に乗算する必要があります。 最初の数値が新しい分数の分子となり、2 番目の数値が分母になります。
2 つの分数を除算するには、最初の分数に「反転した」2 番目の分数を掛ける必要があります。
指定：
定義から、分数の除算は乗算に帰着することがわかります。 分数を「反転」するには、分子と分母を入れ替えるだけです。 したがって、このレッスンでは主に掛け算を考えていきます。
乗算の結果、約分数が発生する可能性があります (実際に発生することもよくあります)。もちろん、これは約分する必要があります。 すべての縮小の結果、分数が正しくないことが判明した場合は、部分全体を強調表示する必要があります。 しかし、乗算で絶対に起こらないのは、共通の分母への還元です。つまり、交差法はなく、最大因数と最小公倍数です。
定義により、次のようになります。
分数と整数部および負の分数の乗算
分数に整数部分が含まれている場合は、それらを不適切なものに変換し、上で概説したスキームに従って乗算する必要があります。
分数の分子、分母、またはその前にマイナスがある場合、次の規則に従って、そのマイナスを乗算から除外したり、完全に削除したりできます。
- プラスとマイナスはマイナスになります。
- 2 つの否定が肯定になります。
これまで、これらのルールは、負の分数を加算および減算する場合、つまり部分全体を削除する必要がある場合にのみ適用されていました。 作品の場合、いくつかの欠点を一度に「燃やす」ために一般化できます。
- ネガが完全に消えるまで、ペアでネガを取り消します。 極端な場合には、1 つのマイナス、つまり相手がいなかったマイナスが生き残る可能性があります。
- マイナスが残っていない場合、操作は完了します。乗算を開始できます。 最後のマイナスに取り消し線が引かれていない場合は、そのペアがなかったため、それを乗算の範囲から除外します。 結果は負の分数になります。
タスク。 式の意味を調べます。
すべての分数を不適切な分数に変換し、乗算からマイナスを取り除きます。 残ったものを通常のルールに従って掛け合わせます。 我々が得る：
整数部分が強調表示されている分数の前に表示されるマイナスは、整数部分だけを指すのではなく、分数全体を具体的に指すことをもう一度思い出してください (これは最後の 2 つの例に当てはまります)。
負の数にも注意してください。乗算する場合、負の数は括弧で囲まれます。 これは、乗算記号からマイナスを分離し、表記全体をより正確にするために行われます。
その場で分数を減らす
乗算は非常に労力を要する演算です。 ここでの数値は非常に大きいことが判明したため、問題を単純化するために、端数をさらに減らすことを試みることができます。 乗算の前に。 実際、本質的には、分数の分子と分母は通常の因数であるため、分数の基本的な性質を使用して約分できます。 例を見てみましょう。
タスク。 式の意味を調べます。
定義により、次のようになります。
すべての例で、削減された数とその残りの数は赤色でマークされています。
注意してください: 最初のケースでは、乗数は完全に減少しました。 その代わりに、一般的に書く必要のない単位が残ります。 2 番目の例では、完全な削減は達成できませんでしたが、それでも総計算量は減少しました。
ただし、分数の足し算や引き算の際には、このテクニックを決して使用しないでください。 はい、同様の数値を削減したい場合があります。 ここで見てください:
そんなことはできません！
このエラーは、分数の分子を加算するときに数値の積ではなく合計が表示されるために発生します。 したがって、分数の基本的な性質を適用することは不可能です。この性質は数値の乗算に特化したものであるためです。
分数を減らす理由は他にないため、前の問題の正しい解決策は次のようになります。
正しい解決策:
ご覧のとおり、正解はそれほど美しくないことが判明しました。 一般に、注意してください。
公用分数の掛け算
例を見てみましょう。
皿の上にリンゴの $\frac(1)(3)$ の部分があるとします。 その中の $\frac(1)(2)$ 部分を見つける必要があります。 必要な部分は、分数 $\frac(1)(3)$ と $\frac(1)(2)$ を乗算した結果です。 2 つの公分数を乗算した結果が公分数です。
2 つの普通の分数の掛け算
普通の分数の掛け算のルール:
分数と分数を乗算した結果は、分子が乗算される分数の分子の積に等しく、分母が分母の積に等しい分数になります。
例1
公用分数 $\frac(3)(7)$ と $\frac(5)(11)$ の乗算を実行します。
解決。
普通の分数を掛けるための規則を使用してみましょう。
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
答え：$\frac(15)(77)$
分数を乗算した結果、約分可能な分数または不適切な分数が得られる場合は、それを簡略化する必要があります。
例 2
分数 $\frac(3)(8)$ と $\frac(1)(9)$ を掛けます。
解決。
通常の分数の乗算には次の規則を使用します。
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
その結果、約分可能な分数が得られました ($3$ による除算に基づいています。分数の分子と分母を $3$ で割ると、次のようになります:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
簡単な解決策:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
答え：$\frac(1)(24).$
分数を掛けるときは、積が見つかるまで分子と分母を減らすことができます。 この場合、分数の分子と分母を単純な因数に分解し、その後、繰り返しの因数をキャンセルして結果を求めます。
例 3
分数 $\frac(6)(75)$ と $\frac(15)(24)$ の積を計算します。
解決。
普通の分数を掛けるための公式を使用してみましょう。
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
明らかに、分子と分母には、ペアで $2$、$3$、$5$ という数値に短縮できる数値が含まれています。 分子と分母を単純な因数に因数分解して、約分してみましょう。
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
答え：$\frac(1)(20).$
分数を乗算するときは、交換法則を適用できます。
公分数と自然数の掛け算
公分数と自然数の乗算規則は次のとおりです。
分数に自然数を乗算した結果は、分子が乗算された分数の分子と自然数の積に等しく、分母が乗算された分数の分母に等しい分数になります。
ここで、$\frac(a)(b)$ は普通の分数、$n$ は自然数です。
例 4
分数 $\frac(3)(17)$ に $4$ を掛けます。
解決。
普通の分数と自然数を掛けるための規則を使用してみましょう。
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
答え：$\frac(12)(17).$
分数の約分または仮分数による乗算の結果を確認することを忘れないでください。
例5
分数 $\frac(7)(15)$ に数値 $3$ を掛けます。
解決。
分数に自然数を掛ける公式を使ってみましょう。
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
数値 $3$) で割ることにより、結果の端数を減らすことができることがわかります。
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
結果は不正確な分数でした。 部分全体を選択してみましょう。
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
簡単な解決策:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
分数は、分子と分母の数値を素因数分解で置き換えることによっても減らすことができます。 この場合、解決策は次のように記述できます。
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
答え：$1\frac(2)(5).$
分数に自然数を掛けるときは、交換法則を使用できます。
分数の割り算
除算の演算は乗算の逆であり、その結果は分数になります。2 つの分数の既知の積を得るには、既知の分数を乗算する必要があります。
2 つの普通の分数の割り算
普通の分数の割り算のルール:明らかに、結果の分数の分子と分母は因数分解して約分できます。
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
その結果、不適切な分数が得られ、そこから部分全体を選択します。
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
答え：$1\frac(5)(9).$
中学・高校講座では「分数」をテーマに授業を行いました。 ただし、この概念は学習プロセスで与えられる概念よりもはるかに広いです。 今日、分数の概念は頻繁に登場しますが、分数の掛け算などの式を誰もが計算できるわけではありません。
分数とは何ですか?
歴史的に、分数は測定の必要性から生まれました。 実際に見てみると、セグメントの長さと長方形の体積を決定する例がよくあります。
最初に、学生はシェアの概念について説明します。 たとえば、スイカを 8 つの部分に分割すると、各人はスイカの 8 分の 1 を受け取ります。 この 8 分の 1 をシェアといいます。
任意の値の 1/2 に等しいシェアは、半分と呼ばれます。 1/3 - 3番目。 1/4 - 4分の1。 5/8、4/5、2/4 の形式のレコードは普通分数と呼ばれます。 公分数は分子と分母に分けられます。 それらの間には分数バー、つまり分数バーがあります。 分数線は、水平線または斜線として描画できます。 この場合は分割記号を指します。
分母は、数量またはオブジェクトが何等分されるかを表します。 分子は同一の株式が何株取得されるかです。 分子は分数線の上に書かれ、分母は分数線の下に書かれます。
通常の分数を座標線で表示するのが最も便利です。 1 つのセグメントを 4 つの等しい部分に分割し、各部分をラテン文字で指定すると、優れた視覚補助が得られます。 したがって、点 A は単位セグメント全体の 1/4 に等しいシェアを示し、点 B は特定のセグメントの 2/8 を示します。
分数の種類
分数には、普通数、小数、および帯分数を使用できます。 また、分数は適正分数と不正分数に分けることができます。 この分類は、通常の分数に適しています。
固有分数とは、分子が分母より小さい数値です。 したがって、仮分数とは、分子が分母より大きい数のことです。 2 番目のタイプは通常、帯分数として記述されます。 この式は、整数と小数部分で構成されます。 たとえば、1 1/2 です。 1 は整数部、1/2 は小数部です。 ただし、式で何らかの操作 (分数の除算または乗算、約分または変換) を実行する必要がある場合、帯分数は仮分数に変換されます。
正しい分数式は常に 1 未満であり、間違った分数式は常に 1 以上です。
この式とは、分数式の分母が 1 といくつかのゼロで表現できる任意の数が表現されるレコードを意味します。 分数が適切であれば、10 進表記の整数部分はゼロになります。
小数部を記述するには、まず整数部分を記述し、コンマを使用して小数部と分数を区切ってから、分数式を記述する必要があります。 小数点以降の分子には、分母のゼロと同じ数のデジタル文字が含まれている必要があることに注意してください。
例。 分数7 21 / 1000を10進数で表します。
仮分数を帯分数に、またはその逆に変換するアルゴリズム
問題の答えに仮分数を記述するのは誤りであるため、帯分数に変換する必要があります。
- 分子を既存の分母で割ります。
- 特定の例では、不完全商は全体です。
- 余りは小数部分の分子であり、分母は変更されません。
例。 仮分数を帯分数に変換する: 47 / 5。
解決。 47: 5。部分商は 9、余り = 2。つまり、47 / 5 = 9 2 / 5。
帯分数を仮分数として表す必要がある場合があります。 次に、次のアルゴリズムを使用する必要があります。
- 整数部分には分数式の分母が乗算されます。
- 得られた積は分子に加算されます。
- 結果は分子に書き込まれますが、分母は変わりません。
例。 数字を仮分数として帯分数で表します: 9 8 / 10。
解決。 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 が分子です。
答え: 98 / 10.
分数の掛け算
通常の分数に対してさまざまな代数演算を実行できます。 2 つの数値を乗算するには、分子と分子を乗算し、分母と分母を乗算する必要があります。 さらに、異なる分母を持つ分数の乗算は、同じ分母を持つ分数の乗算と何ら変わりません。
結果を見つけた後、端数を減らす必要があることが起こります。 結果として得られる式を可能な限り単純化することが不可欠です。 もちろん、答えの仮分数が間違いであるとは言えませんが、それを正解と呼ぶことも困難です。
例。 2 つの普通の分数、1/2 と 20/18 の積を求めます。
この例からわかるように、積を求めた後、約分可能な分数表記が得られます。 この場合、分子と分母は両方とも 4 で割られ、結果は答え 5 / 9 になります。
小数の乗算
小数の積は、通常の分数の積とは原理がまったく異なります。 したがって、分数の掛け算は次のようになります。
- 2 つの小数は、右端の桁が上下に重なるように上下に記述する必要があります。
- カンマに関係なく、書かれた数値を自然数として乗算する必要があります。
- 各数値の小数点以下の桁数を数えます。
- 乗算後に得られた結果では、小数点以下の両方の因数の合計に含まれるデジタル記号の数を右から数えて、区切り記号を付ける必要があります。
- 積内の数値が少ない場合は、この数値をカバーするために数値の前にできるだけ多くのゼロを書き、カンマを入れて、ゼロに等しい部分全体を追加する必要があります。
例。 2 つの小数の積、2.25 と 3.6 を計算します。
解決.
帯分数の掛け算
2 つの帯分数の積を計算するには、分数の乗算規則を使用する必要があります。
- 帯分数を仮分数に変換します。
- 分子の積を求めます。
- 分母の積を求めます。
- 結果を書き留めます。
- 表現を可能な限り簡略化します。
例。 4 1/2 と 6 2/5 の積を求めます。
数値と分数の乗算 (分数と数値)
2 つの分数と帯分数の積を求めることに加えて、分数を掛ける必要があるタスクもあります。
したがって、小数と自然数の積を求めるには、次のものが必要です。
- 右端の桁が上下に重なるように、分数の下に数値を書きます。
- カンマに関係なく製品を検索します。
- 結果として得られる結果では、小数点以下の桁数を右から数えて、カンマを使用して整数部分と小数部分を区切ります。
公分数に数値を掛けるには、分子と自然因数の積を求める必要があります。 答えが約分できる端数を生成する場合は、変換する必要があります。
例。 5 / 8 と 12 の積を計算します。
解決. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
答え: 7 1 / 2.
前の例からわかるように、結果の結果を削減し、間違った分数式を帯分数に変換する必要がありました。
分数の掛け算は、混合形式の数値と自然因数の積を求めることにも関係します。 これら 2 つの数値を乗算するには、混合因数の全体部分にその数値を乗算し、分子に同じ値を乗算し、分母を変更しないでください。 必要に応じて、結果の結果を可能な限り単純化する必要があります。
例。 9 5 / 6 と 9 の積を求めます。
解決。 9 5 / 6 × 9 = 9 × 9 + (5 × 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2。
答え: 88 1 / 2.
10、100、1000、または 0.1 の係数を乗算します。 0.01; 0.001
次のルールは前の段落から続きます。 小数を 10、100、1000、10000 などで乗算するには、係数内の 1 の後のゼロの桁数だけ小数点を右に移動する必要があります。
例1。 0.065 と 1000 の積を求めます。
解決。 0.065 × 1000 = 0065 = 65。
答え: 65.
例 2。 3.9 と 1000 の積を求めます。
解決。 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900。
答え: 3900.
自然数と 0.1 を掛ける必要がある場合。 0.01; 0.001; 0.0001 などの場合、結果の積のカンマを、1 の前にゼロがある数だけ左に移動する必要があります。 必要に応じて、自然数の前に十分な数のゼロが書き込まれます。
例1。 56 と 0.01 の積を求めます。
解決。 56 × 0.01 = 0056 = 0.56。
答え: 0,56.
例 2。 4 と 0.001 の積を求めます。
解決。 4 × 0.001 = 0004 = 0.004。
答え: 0,004.
したがって、異なる分数の積を求めることは、おそらく結果を計算することを除いて、何の問題も引き起こすことはありません。 この場合、電卓なしでは計算できません。
