1°

1°。サーフェスを明示的に定義する場合の接平面と法線の方程式。

2 変数関数の偏導関数の幾何学的応用の 1 つを考えてみましょう。機能させましょう z = f (バツ ;や）点で微分可能 (×0; y0)ある地域 DÎ R2。表面を削ってみましょう S、関数を表す z、飛行機 x = x 0そして y = y 0(図11)。

飛行機バツ = ×0サーフェスと交差します Sある線に沿って z0(y)、元の関数の式に代入して得られる方程式 z ==f (バツ ;や）の代わりにバツ数字 × 0 。ドット M0(× 0 ;y0、f (× 0 ;y0))曲線に属します z0(y)。微分可能な関数なので z時点で M0関数 z0(や）点でも微分可能です y =y 0 。したがって、飛行機のこの時点では、 x = x 0カーブに向かって z0(や）接線を引くことができます l 1.

このセクションについても同様の推論を実行しますで = y0、接線を構築しましょう l 2カーブに向かって z0(バツ）時点でバツ = ×0 -直接 1 1 そして 1 2 という平面を定義します 接平面表面に S時点で M0。

その方程式を作成しましょう。飛行機が点を通過するので、も(× 0 ;y0;z0)、その方程式は次のように書くことができます

A(x - xo) + B(y - yo) + C (z - zo) = 0、

これは次のように書き換えることができます。

z -z 0 = A 1 (x – x 0) + B 1 (y – y 0) (1)

(方程式を -C で割って、 ).

見つけます A1とB1。

接線方程式 1 1 そして 1 2 のように見える

それぞれ。

正接 l1平面aにあります , したがって、すべての点の座標は l1式(1)を満たします。この事実はシステムの形で書くことができます。

この系を B 1 に関して解決すると、接線について同様の推論を実行できます。 l3それを確立するのは簡単です。

値の置換 A1と B 1 を式 (1) に代入すると、必要な接平面方程式が得られます。

点を通る線 M0そして、表面上のこの点で構築された接平面に垂直な面をそのと呼びます。 普通。

線と平面の垂直性の条件を使用すると、正準正規方程式を簡単に取得できます。

コメント。接平面と表面に対する法線の式は、表面の通常の点、つまり特別ではない点に対して取得されます。ドット M0表面と呼ばれます 特別、この時点ですべての偏導関数がゼロに等しいか、少なくとも 1 つが存在しない場合。そういった点は考慮しておりません。

例。接平面とその点における表面の法線の方程式を記述します。 M(2; -1; 1)。

解決。この関数の偏導関数と点 M におけるその値を求めてみましょう

ここから、式 (2) と (3) を適用すると、次のようになります。 z-1=2(x-2)+2(y+1)または 2х+2у-z-1=0- 接平面の方程式と - 正規方程式。

2°。サーフェスの暗黙的な定義の場合の接平面と法線の方程式。

表面が S方程式で与えられる F (バツ ; y;z)= 0、次に、偏導関数が陰関数の導関数として見つかる可能性があるという事実を考慮して、方程式 (2) および (3) を計算します。

定義 1 : 指定された点 P (x 0, y 0, z 0) におけるサーフェスへの接平面は、点 P を通過し、点 P を通過するこのサーフェス上のすべての可能な曲線に対して点 P で構築されたすべての接線を含む平面です。

表面 s を次の方程式で与えます。 F (バツ, で, z) = 0 とポイント P (バツ 0 、y 0 、z 0) はこのサーフェスに属します。サーフェス上のカーブを選択しましょう L、ポイントを通過 R.

させてバツ = バツ(t), で = で(t), z = z(t) - 直線のパラメトリック方程式 L.

次のことを仮定しましょう: 1) 関数 F(バツ, で, z) は点で微分可能です Rそして、この時点での偏導関数のすべてがゼロに等しいわけではありません。 2) 機能バツ(t), で(t), z(t)も微分可能です。

曲線は曲面 s に属しているため、この曲線上の任意の点の座標を曲面の方程式に代入すると、恒等式になります。したがって、同一の等価性が成り立ちます。 F [バツ(t), で(t), z (t)]= 0.

この恒等式を変数に関して微分する t、連鎖ルールを使用すると、次の点を含む曲線のすべての点で有効な新しい同一の等式が得られます。 P (バツ 0 、y 0 、z 0):

点 P をパラメータ値に対応させる t 0、つまりバツ 0 = バツ (t 0), y 0 = y (t 0), z 0 = z (t 0)。次に、その時点で計算された最後の関係 R、の形になります。

この式は 2 つのベクトルのスカラー積です。最初のものは定数ベクトルです

サーフェス上のカーブの選択とは無関係です。

2 番目のベクトルは点で接しています Rラインに Lこれは、表面上の線の選択に依存する、つまり可変ベクトルであることを意味します。

導入された表記法を使用すると、等価性は次のようになります。

方法を書き直してみましょう。

その意味は次のとおりです。スカラー積はゼロに等しいため、ベクトルは垂直になります。点を通過するすべての可能な曲線の選択 R表面 s では、その点で異なる接線ベクトルが構築されます。 Rこれらの行に; ベクトルはこの選択に依存せず、それらのいずれに対しても垂直になります。つまり、すべての接線ベクトルは同じ平面上に位置し、定義上、表面 s と点に接します。 Rこの場合、それは接点と呼ばれます。ベクトルは表面法線方向ベクトルです。

意味 2: 点 P における表面 s の法線は、点 P を通り、この点で構築される接平面に垂直な直線です。

私たちは接平面の存在を証明し、結果として表面に対する法線の存在を証明しました。方程式を書き留めてみましょう。

点 P (x0, y0, z0) で構築される表面 s への接平面の方程式は、方程式 F(x, y, z) = 0 で与えられます。

ある点で構築された法線の方程式 R表面へ。

例：放物線の回転によって形成される曲面の方程式を求めます。

z 2 = 2p (y +2)

y 軸の周りで、点が次のように計算されます。 M(3、1、-3)表面に属します。点 M における表面の法線平面と接平面の方程式を求めます。

解決。回転面を記述するためのルールを使用すると、次の結果が得られます。

z 2 + バツ 2 = 2p (y +2) .

点 M の座標をこの式に代入して、パラメーター p の値を計算します。 9 + 9 = 2р(1 + 2) 。点を通過する回転面の最終的なビューを記録します。母：

z 2 + バツ 2 = 6(y +2).

次に、次の公式を使用して法線平面と接平面の方程式を見つけます。最初に関数の偏導関数を計算します。

F(x, y) = z 2 + バツ 2- 6(y +2):

この場合、接平面の方程式は次の形式になります。 6(x - 3) - 6(y - 1) - 6(z + 3) = 0 または x - y - z - 5 = 0;

法線平面の方程式

接平面と表面法線

ある曲面が与えられるとします。A は曲面の固定点、B は曲面の可変点です。

(図1)。

ゼロ以外のベクトル

→

呼ばれた法線ベクトル点 A で表面に到達する場合、

リム

B → A

j =

この点にある場合、表面点 F (x, y, z) = 0 を普通と呼びます。

偏微分 F " x 、 F " y 、 F " z は連続です。
(F" x )2 + (F" y )2 + (F" z )2 ≠ 0。

これらの条件の少なくとも 1 つが違反されると、表面点が呼び出されます。表面の特別なポイント .

定理1. M(x の場合 0 , y 0 , z 0 ) は曲面 F (x , y , z) = 0 の通常の点であり、ベクトル

→

= grad F (x 0 , y 0 , z 0 ) = F " x (x 0 , y 0 , z 0 )

→

私

+ F " y (x 0 , y 0 , z 0 )

→

+ F " z (x 0 , y 0 , z 0 )

→

(1)

は点 M (x 0 , y 0 , z 0 ) においてこの表面に垂直です。

証拠 I.M.の本の中で与えられました。ペトルーシコ、LA クズネツォワ、V.I. プロホレンコ、V.F. サフォノワ「高等数学のコース：積分微積分」。いくつかの変数の関数。微分方程式。 M.: 出版社 MPEI、2002 (p. 128)。

表面に対して垂直ある点で、方向ベクトルがこの点の表面に垂直であり、この点を通過する直線があります。

正規正規方程式次の形式で表すことができます

x − x 0

F " x (x 0 , y 0 , z 0 )

y − y 0

F " y (x 0 , y 0 , z 0 )

z − z 0

F " z (x 0 , y 0 , z 0 )

(2)

接平面ある点の表面に対して、この点を通過し、この点での表面の法線に垂直な平面になります。

この定義から次のことがわかります接平面の方程式の形式は次のとおりです。

(3)

表面上の点が特異な場合、その点では表面に垂直なベクトルが存在しない可能性があり、したがって表面には法線と接平面が存在しない可能性があります。

2 変数関数の微分の合計の幾何学的意味

関数 z = f (x, y) が点 a (x 0, y 0) で微分可能であるとします。そのグラフは表面です

f (x, y) − z = 0。

z 0 = f (x 0 , y 0 ) としましょう。この場合、点 A (x 0 , y 0 , z 0 ) はその面に属します。

関数 F (x, y, z) = f (x, y) − z の偏導関数は次のとおりです。

F " x = f " x 、F " y = f " y 、F " z = − 1

そして点 A (x 0 , y 0 , z 0 )

それらは連続的です。
F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

したがって、A は面 F (x, y, z) の通常の点であり、この点に面への接平面が存在します。 (3) によれば、接平面方程式は次の形式になります。

f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0。

点 a (x 0 , y 0 ) から任意の点 p (x , y) に移動するときの接平面上の点の垂直変位は B Q です (図 2)。対応するアプリケーションの増分は次のとおりです。

(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )

ここの右側にはデファレンシャルがあります d z 関数 z = f (x, y)、点 a (x 0, x 0)。したがって、
d f (x 0 , y 0 )。は、点 (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)) における関数 f (x, y) のグラフへの接平面点の適用の増分です。

微分の定義から、関数のグラフ上の点Pと接平面上の点Qとの間の距離は、点pから点aまでの距離よりも高次の微小となる。

次の形式の方程式で定義された曲面を考えてみましょう。

以下の定義を紹介しましょう。

定義 1. 直線は、ある点でサーフェスに接していると呼ばれます。

サーフェス上にあり、点を通過する任意の曲線に接します。

サーフェス上にある無数の異なる曲線が点 P を通過するため、一般的に言えば、この点を通過するサーフェスの接線は無数に存在します。

表面の特異点と常常点の概念を導入しましょう

ある点で 3 つの導関数がすべて 0 に等しい場合、またはこれらの導関数の少なくとも 1 つが存在しない場合、点 M は表面の特異点と呼ばれます。ある点で 3 つの導関数がすべて存在して連続的で、そのうちの少なくとも 1 つがゼロでない場合、点 M は表面の通常の点と呼ばれます。

ここで、次の定理を定式化できます。

定理。与えられた表面 (1) の通常の点 P におけるすべての接線は、同じ平面内にあります。

証拠。表面上の特定の点 P を通過する表面上の特定の線 L (図 206) を考えてみましょう。考慮中の曲線がパラメトリック方程式で与えられるとします。

カーブの接線はサーフェスの接線になります。この接線の方程式は次の形式になります。

式 (2) を式 (1) に代入すると、曲線 (2) が面 (1) 上にあるため、この式は t に関する恒等式になります。それを微分すると、

このベクトルの投影は、点 P の座標に依存します。点 P は普通であるため、点 P におけるこれらの投影は同時に消滅しないことに注意してください。

点 P を通過し、サーフェス上にある曲線の接線。このベクトルの投影は、点 P に対応するパラメーター t の値で式 (2) に基づいて計算されます。

ベクトル N のスカラー積を計算してみましょう。これは、同じ名前の射影の積の合計に等しいです。

等式 (3) に基づくと、右辺の式はゼロに等しいため、次のようになります。

最後の等式から、ベクトル LG と点 P における曲線 (2) の接線ベクトルは垂直であることがわかります。上記の推論は、点 P を通過し、サーフェス上にある任意の曲線 (2) に当てはまります。したがって、点 P における表面の各接線は同じベクトル N に垂直であり、したがってこれらの接線はすべてベクトル LG に垂直な同じ平面内にあります。定理が証明されました。

定義 2. 与えられた点 P を通過する表面上の線に対するすべての接線が位置する平面を、点 P における表面の接平面と呼びます (図 207)。

サーフェスの特異点では接平面が存在しない可能性があることに注意してください。このような点では、サーフェスへの接線が同じ平面上にない可能性があります。たとえば、円錐面の頂点は特異点です。

この点での円錐面の接線は同じ平面上にありません (それら自体が円錐面を形成します)。

通常の点における表面の接平面の方程式 (1) を書いてみましょう。この平面はベクトル (4) に垂直であるため、その方程式は次の形式になります。

表面の方程式が次の形式で与えられる場合、またはこの場合の接平面の方程式が次の形式を取る場合

コメント。式 (6) を代入すると、この式は次の形式になります。

その右側は関数の完全微分です。したがって、。したがって、独立変数 x および y の増分に対応する点における 2 変数の関数の微分合計は、この関数のグラフである表面に対する接平面の適用の対応する増分に等しくなります。

定義 3. 接平面に垂直に表面 (1) 上の点を通って引かれた直線は、表面の法線と呼ばれます (図 207)。

正規方程式を書いてみましょう。その方向はベクトル N の方向と一致するため、その方程式は次の形式になります。

いくつかの変数の関数の導関数の幾何学的応用を考えてみましょう。 2 つの変数の関数を暗黙的に指定します。定義領域におけるこの関数は、特定の曲面によって表されます (セクション 5.1)。この面上の任意の点を取ってみましょうここで、3 つの偏導関数、、はすべて存在し連続であり、そのうちの少なくとも 1 つはゼロに等しくありません。

このような特徴を持つ点を普通表面の点。上記の要件の少なくとも 1 つが満たされていない場合、そのポイントは呼び出されます。特別表面の点。

サーフェス上で選択した点を介して、それぞれに接線を持つことができる多くの曲線を描くことができます。

定義 5.8.1 . ある点を通る表面上の線に対するすべての接線が位置する平面を、その点におけるこの表面の接平面と呼びます。 .

特定の平面を描くには、サーフェス上に 2 本の接線、つまり 2 本の曲線があれば十分です。これらは、特定の表面を平面で切断した結果として得られる曲線です (図 5.8.1)。

表面と平面の交点にある曲線の接線の方程式を書いてみましょう。この曲線は座標系内にあるため、2.7 項に従って、その点における曲線の接線の方程式は次の形式になります。

. (5.8.1)

したがって、同じ点における座標系のサーフェスと平面の交点にある曲線の接線の方程式は次の形式になります。

. (5.8.2)

暗黙的に指定された関数の導関数に式を使用してみましょう (セクション 5.7)。それから、えー。これらの導関数を (5.8.1) と (5.8.2) に代入すると、それぞれ次のようになります。

; (5.8.3)

. (5.8.4)

結果として得られる式は正準形式の直線の方程式にすぎないため (セクション 15)、(5.8.3) から方向ベクトルを取得します。、および (5.8.4) から – 。外積により、指定された接線、つまり接平面に垂直なベクトルが得られます。

この点における表面に対する接平面の方程式は次のようになります。形式は次のとおりです (項目 14)。

定義 5.8.2 . 点を通って引かれた直線この点で接平面に垂直な面を面の法線と呼びます.

サーフェスの法線の方向ベクトルは接平面の法線と一致するため、正規方程式は次の形式になります。

スカラーフィールド

領域を空間内で指定し、この空間の一部または全体を占有します。この領域の各点を、何らかの法則に従って、特定のスカラー量 (数値) に関連付けます。

定義 5.9.1 . よく知られている法則に従って、各点が特定のスカラー量に関連付けられている空間内の領域は、スカラー場と呼ばれます。.

ある種の座標系 (たとえば、直方体デカルト系) がエリアに関連付けられている場合、各点は独自の座標を取得します。この場合、スカラー量は座標の関数になります。平面上では – 、3 次元空間では – 。このフィールドを記述する関数自体は、多くの場合、スカラーフィールドと呼ばれます。空間の次元に応じて、スカラーフィールドは平面、三次元などになります。