したがって、分数の分子と分母は同じ数で乗算および除算でき、分数は変化しないことはすでにわかっています。 3 つのアプローチを考えてみましょう。
1つに近づきます。
減らすには、分子と分母を公約数で割ります。 例を見てみましょう:
短くしましょう:
与えられた例では、どの約数を削減に使用すればよいかがすぐにわかります。 プロセスは簡単です。2、3、4、5 というように進みます。 ほとんどの学校のコースの例では、これで十分です。 しかし、それが分数の場合は次のようになります。
ここでは、約数を選択するプロセスに時間がかかることがあります;)。 もちろん、そのような例は学校のカリキュラムの外にありますが、それに対処できる必要があります。 以下では、これがどのように行われるかを見ていきます。 ここでは、ダウンサイジングのプロセスに戻りましょう。
上で説明したように、分数を減らすために、決定した公約数で除算しました。 すべてが正しいです！ 数値の割り切れる記号を追加するだけです。
- 数値が偶数の場合、2 で割り切れます。
- 最後の 2 桁の数値が 4 で割り切れる場合、その数値自体も 4 で割り切れます。
— 数値を構成する数字の合計が 3 で割り切れる場合、数値自体も 3 で割り切れます。たとえば、125031、1+2+5+0+3+1=12 となります。 12 は 3 で割り切れるので、123031 は 3 で割り切れます。
- 数値が 5 または 0 で終わる場合、その数値は 5 で割り切れます。
— 数値を構成する数字の合計が 9 で割り切れる場合、数値自体も 9 で割り切れます。たとえば、625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18 となります。 18 は 9 で割り切れます。つまり、623032 は 9 で割り切れます。
2番目のアプローチ。
簡単に言うと、実際、アクション全体は、分子と分母を因数分解し、次に分子と分母の等しい因数を減らすことになります (このアプローチは最初のアプローチの結果です)。
視覚的には、混乱や間違いを避けるために、等しい要素には単純に取り消し線が付けられています。 質問 - 数値を因数分解する方法は? すべての約数を検索して決定する必要があります。 これは別のトピックです。複雑ではありません。教科書またはインターネットで情報を調べてください。 学校の分数に含まれる因数分解では、大きな問題は発生しません。
形式的には、削減原則は次のように書くことができます。
3にアプローチします。
上級者や上級者になりたい人にとって最も興味深いのはここです。 端数 143/273 を約定してみましょう。 あなたも試してみてください！ さて、どうしてそれが早くなったのでしょうか？ ほら見て！
それをひっくり返します（分子と分母の位置を入れ替えます）。 結果の分数を角で割って帯分数に変換します。つまり、部分全体を選択します。
もう簡単です。 分子と分母が 13 だけ削減できることがわかります。
ここで、分数をもう一度反転することを忘れないでください。チェーン全体を書き留めてみましょう。
チェック済み - 除数を検索してチェックするよりも時間がかかりません。 2 つの例に戻りましょう。
初め。 (電卓ではなく) 角で割ると、次のようになります。
もちろん、この分数は単純ですが、削減が再び問題になります。 次に、分数 1273/1463 を個別に分析し、裏返します。
ここのほうが簡単です。 19 のような約数を検討できます。残りは適切ではありません。これは明らかです: 190:19 = 10、1273:19 = 67。万歳! 書き留めてみましょう:
次の例。 88179/2717 を短縮しましょう。
割ると次のようになります。
これとは別に、分数 1235/2717 を分析して裏返します。
13 のような約数を考慮できます (13 までは適切ではありません)。
分子 247:13=19 分母 1235:13=95
*プロセス中に、19 に等しい別の約数が見つかりました。次のことがわかります。
ここで、元の数値を書き留めます。
そして、分数のどちらが大きいか、分子か分母かは関係ありません。分母の場合は、裏返して説明どおりに動作します。 このようにして、任意の端数を削減できます。3 番目のアプローチは普遍的と言えます。
もちろん、上で説明した 2 つの例は単純な例ではありません。 すでに検討した「単純な」分数でこのテクノロジーを試してみましょう。
2四半期。
72 60 年代。 分子は分母より大きいので、それを逆にする必要はありません。
もちろん、3 番目のアプローチは単に代替手段としてそのような単純な例に適用されました。 すでに述べたように、この方法は普遍的ですが、すべての分数、特に単純な分数に対して便利で正しいわけではありません。
分数の種類が豊富です。 原則を理解することが重要です。 分数を扱うための厳密なルールはありません。 私たちは検討し、どのように行動するのがより便利かを考え出し、前進しました。 練習すればスキルが身につき、種のように割れるようになります。
結論：
分子と分母の公約数が見つかった場合は、それらを使用して約分します。
数値をすばやく因数分解する方法を知っている場合は、分子と分母を因数分解してから、約分してください。
公約数を決定できない場合は、3 番目の方法を使用してください。
※分数の約分を行うには、分数の約分原理を理解し、分数の基本的な性質を理解し、解き方を知り、計算する際には細心の注意を払うことが重要です。
そして覚える！ 分数は止まるまで減らす、つまり公約数がある限り減らすのが通例です。
敬具、アレクサンダー・クルチツキーク。
分数の約分方法を知らず、そのような例を解く安定したスキルがなければ、学校で代数を学ぶことは非常に困難です。 さらに進めば進むほど、普通分数の約分に関する基本的な知識にさらに新しい情報が重ね合わされます。 最初にべき乗が現れ、次に因数が現れ、後に多項式になります。
ここで混乱を避けるにはどうすればよいでしょうか? これまでのトピックのスキルを徹底的に定着させ、年々複雑になる分数の約定方法に関する知識を徐々に準備していきます。
基本知識
これらがなければ、どのレベルのタスクにも対処できません。 理解するには、2 つの簡単な点を理解する必要があります。 まず、要素を減らすことしかできません。 このニュアンスは、多項式が分子または分母に現れる場合に非常に重要であることがわかります。 次に、乗数がどこにあるのか、加数がどこにあるのかを明確に区別する必要があります。
2 番目の点は、任意の数値は因数の形式で表現できるということです。 さらに、約分した結果は分子と分母がもう約分できない分数になります。
公用分数の約定規則
まず、分子が分母で割り切れるか、あるいはその逆かどうかを確認する必要があります。 したがって、削減する必要があるのはまさにこの数です。 これが最も簡単なオプションです。
2つ目は、数字の出現の分析です。 両方が 1 つ以上のゼロで終わる場合は、10、100、または 1,000 に短縮できます。 ここで、数値が偶数であるかどうかを確認できます。 「はい」の場合は、安全に 2 つにカットできます。
分数を減らすための 3 番目のルールは、分子と分母を素因数に因数分解することです。 現時点では、数値の割り切れる記号に関するすべての知識を積極的に活用する必要があります。 この分解の後、残っているのは、すべての繰り返しを見つけて、それらを乗算し、結果の数値で減算することだけです。
分数に代数式がある場合はどうなるでしょうか?
ここで最初の困難が現れます。 なぜなら、ここでは因子と同一である可能性のある用語が登場するからです。 本当は減らしたいのですが、減らすことができません。 代数分数を約分する前に、因数が含まれるように変換する必要があります。
これを行うには、いくつかの手順を実行する必要があります。 すべてを実行する必要がある場合もありますが、最初のオプションで適切なオプションが提供される場合もあります。
分子と分母、またはそれらの式が符号によって異なるかどうかを確認します。 この場合、括弧内にマイナス 1 を入力するだけです。 これにより、削減できる等しい係数が生成されます。
多項式から括弧内の共通因数を削除できるかどうかを確認してください。 おそらく、これにより括弧が作成され、これも短縮できるか、単項式が削除されることになります。
単項式をグループ化して、共通因数を追加してみてください。 この後、削減できる要素があることが判明するか、共通要素の括弧書きが再度繰り返される可能性があります。
省略した乗算公式を文章で検討してみてください。 これらの助けを借りて、多項式を因数に簡単に変換できます。
べき乗付き分数の一連の演算
累乗を使用して分数を約する方法の問題を簡単に理解するには、累乗の基本的な操作をしっかりと覚えておく必要があります。 これらの 1 つ目は、権力の乗算に関連しています。 この場合、塩基が同じであれば指標を追加する必要があります。
2つ目は分割です。 繰り返しますが、同じ理由があるものについては、指標を差し引く必要があります。 さらに、配当に含まれる数値から減算する必要があり、その逆はできません。
3つ目は累乗です。 この状況では、指標は乗算されます。
削減を成功させるには、パワーを等倍に削減する能力も必要です。 つまり、4 は 2 の 2 乗であることがわかります。 または 27 - 3 の立方体。 9の2乗と3の3乗を減らすのは難しいからです。 しかし、最初の式を (3 2) 2 のように変換すると、リダクションは成功します。
497 を 4 で割る必要がある場合、割るときに 497 が 4 で均等に割り切れないことがわかります。 部門の残りは残ります。 このような場合は完了したと言われます 余りによる除算、解決策は次のように書かれています。
497: 4 = 124 (余り 1)。
等式の左側の除算コンポーネントは、剰余なしの除算と同じように呼び出されます。 497 - 配当, 4 - ディバイダー。 剰余で割ったときの除算結果は と呼ばれます。 不完全なプライベート。 私たちの場合、これは数値 124 です。そして最後に、通常の除算ではない最後の成分は次のとおりです。 残り。 余りがない場合は、ある数を別の数で割ったと言われます 跡形もなく、または完全に。 このような除算では、剰余はゼロになると考えられています。 この場合、余りは 1 です。
剰余は常に除数より小さくなります。
割り算は掛け算で調べることができます。 たとえば、64: 32 = 2 という等式がある場合、チェックは次のように行うことができます: 64 = 32 * 2。
剰余ありの除算を行う場合、等式を使用すると便利なことがよくあります。
a = b * n + r、
ここで、a は被除数、b は除数、n は部分商、r は剰余です。
自然数の商は分数として書くことができます。
分数の分子は被除数、分母は約数です。
分数の分子は被除数、分母は約数なので、 分数の線は割り算を意味すると信じている。 「:」記号を使用せずに、割り算を分数として記述すると便利な場合があります。
自然数 m と n の除算の商は、分数 \(\frac(m)(n) \) として書くことができます。ここで、分子 m は被除数、分母 n は約数です。
\(m:n = \frac(m)(n) \)
次のルールが当てはまります。
分数 \(\frac(m)(n)\) を取得するには、単位を n 個の等しい部分 (シェア) に分割し、その部分を m 個取る必要があります。
分数 \(\frac(m)(n)\) を取得するには、数値 m を数値 n で割る必要があります。
全体の一部を求めるには、全体に対応する数値を分母で割り、その結果にこの部分を表す分数の分子を掛ける必要があります。
部分から全体を見つけるには、この部分に対応する数値を分子で割り、その結果にこの部分を表す分数の分母を掛ける必要があります。
分数の分子と分母の両方に同じ数値 (ゼロを除く) を掛けても、分数の値は変わりません。
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
分数の分子と分母の両方が同じ数 (ゼロを除く) で除算される場合、分数の値は変わりません。
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
このプロパティは次のように呼ばれます 分数の主な性質.
最後の 2 つの変換は次のように呼ばれます。 分数を減らす.
分数を同じ分母を持つ分数として表す必要がある場合、このアクションは呼び出されます。 分数を共通の分母に減らす.
適正分数と仮分数。 帯分数
全体を等しい部分に分割し、その部分をいくつか取ると分数が得られることはすでにご存知でしょう。 たとえば、分数 \(\frac(3)(4)\) は 1 の 4 分の 3 を意味します。 前の段落の問題の多くでは、全体の一部を表すために分数が使用されていました。 常識では、部分は常に全体より小さくなければなりませんが、\(\frac(5)(5)\) や \(\frac(8)(5)\) のような分数の場合はどうでしょうか。 これがもはやユニットの一部ではないことは明らかです。 おそらくこれが、分子が分母以上の分数と呼ばれる理由です。 仮分数。 残りの分数、つまり分子が分母より小さい分数は、と呼ばれます。 正しい分数.
ご存知のとおり、公分数は、適切なものと不適切なものの両方で、分子を分母で割った結果として考えることができます。 したがって、数学では、通常の言語とは異なり、「仮分数」という用語は、何か間違ったことをしたという意味ではなく、この分数の分子が分母以上であることだけを意味します。
数値が整数部と小数部で構成されている場合、そのような 分数は混合と呼ばれます.
例えば：
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 は整数部分、\(\frac(2)(3) \) は小数部分です。
分数 \(\frac(a)(b)\) の分子が自然数 n で割り切れる場合、この分数を n で割るためには、その分子を次の数で割る必要があります。
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
分数 \(\frac(a)(b)\) の分子が自然数 n で割り切れない場合、この分数を n で割るには、分母に次の数を掛ける必要があります。
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
2 番目のルールは、分子が n で割り切れる場合にも当てはまります。 したがって、分数の分子がnで割り切れるかどうかが一見して判断しにくい場合に利用できます。
分数を使用したアクション。 分数の加算。
自然数と同様に、小数を使った算術演算を実行できます。 まずは分数の足し算を見てみましょう。 分母が似ている分数の足し算は簡単です。 たとえば、\(\frac(2)(7)\) と \(\frac(3)(7)\) の合計を求めてみましょう。 \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \) というのがわかりやすいですね。
同じ分母を持つ分数を加算するには、分母を同じにして分子を加算する必要があります。
文字を使用すると、分母が似ている分数を加算するルールは次のように記述できます。
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
分母の異なる分数を加算する必要がある場合は、まずそれらを共通の分母に減らす必要があります。 例えば：
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
分数については、自然数と同様に、加算の可換性および結合性が有効です。
帯分数の加算
\(2\frac(2)(3)\) などの表記法が呼び出されます。 混合分数。 この場合、番号 2 が呼び出されます。 全体帯分数、数値 \(\frac(2)(3)\) はその値です 小数部。 エントリ \(2\frac(2)(3)\) は、「2 と 3 分の 2」と読み取られます。
数値 8 を数値 3 で割ると、\(\frac(8)(3)\) と \(2\frac(2)(3)\) の 2 つの答えが得られます。 これらは同じ分数を表します。つまり \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
したがって、仮分数 \(\frac(8)(3)\) は帯分数 \(2\frac(2)(3)\) として表されます。 そのような場合、彼らは仮分数からと言います。 部分全体を強調表示した.
分数の引き算（小数）
自然数と同様、分数の減算は加算の作用に基づいて決定されます。ある数値から別の数値を引くということは、2 番目の数値に加算すると 1 番目の数値が得られる数値を見つけることを意味します。 例えば：
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) 以来 \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9) \)
分母が似ている分数を減算するルールは、そのような分数を加算するルールと似ています。
同じ分母を持つ分数間の差を求めるには、最初の分数の分子から 2 番目の分数の分子を引き、分母は同じにしておく必要があります。
文字を使用すると、このルールは次のように記述されます。
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
分数の掛け算
分数と分数を掛けるには、分子と分母を掛けて、最初の積を分子として、2 番目の積を分母として書く必要があります。
文字を使用すると、分数の掛け算のルールは次のように記述できます。
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
定式化された規則を使用すると、分数と自然数、帯分数を掛けたり、帯分数を掛けたりすることができます。 これを行うには、自然数を分母が 1 の分数として、帯分数を仮分数として書く必要があります。
乗算の結果は、分数を削減し、仮分数の部分全体を分離することによって (可能であれば) 単純化する必要があります。
分数については、自然数と同様に、乗算の可換性および結合性、ならびに加算に対する乗算の分配性が有効です。
分数の割り算
分数 \(\frac(2)(3)\) を「反転」して、分子と分母を入れ替えてみましょう。 分数 \(\frac(3)(2)\) が得られます。 この分数はと呼ばれます 逆行する分数 \(\frac(2)(3)\)。
ここで分数 \(\frac(3)(2)\) を「反転」すると、元の分数 \(\frac(2)(3)\) が得られます。 したがって、 \(\frac(2)(3)\) や \(\frac(3)(2)\) などの分数は呼び出されます。 相互に反転.
たとえば、分数 \(\frac(6)(5) \) と \(\frac(5)(6) \)、\(\frac(7)(18) \) と \(\frac (18) ）（7）\）。
文字を使用すると、逆分数は次のように書くことができます: \(\frac(a)(b) \) および \(\frac(b)(a) \)
は明らかです 逆数の積は 1 に等しい。 例: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
逆分数を使用すると、分数の割り算を掛け算に変換できます。
分数を分数で割る規則は次のとおりです。
ある分数を別の分数で割るには、被除数に除数の逆数を掛ける必要があります。
文字を使用すると、分数の除算ルールは次のように記述できます。
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
被除数または除数が自然数または帯分数の場合、分数の除算規則を使用するには、まず仮分数として表す必要があります。
分数のたし算のルールは小学校6年生で習います。 この記事では、まずこのアクションが何を意味するのかを説明し、次に、約分数を既約分数に変換する方法を説明します。 次のポイントは分数の約定のルールであり、その後徐々に例に進みます。
「分数を減らす」とはどういう意味ですか?
したがって、普通の分数は既約分数と約分数の 2 つのグループに分けられることは誰もが知っています。 名前からすでに、収縮可能なものは収縮し、還元不可能なものは収縮しないことが理解できます。
- 分数を減らすとは、分母と分子を (1 つ以外の) 正の約数で割ることを意味します。 もちろん、その結果は、分母と分子がより小さい新しい分数になります。 結果の分数は元の分数と等しくなります。
「分数を約分する」というタスクを含む数学の本では、元の分数をこの既約形式に約分する必要があることを意味することに注意してください。 簡単に言えば、分母と分子を最大公約数で割ることが約分です。
分数を減らす方法。 分数の約定の規則 (6 年生)
したがって、ここでのルールは 2 つだけです。
- 分数をたどる最初のルールは、まず分数の分母と分子の最大公約数を見つけることです。
- 2 番目のルール: 分母と分子を最大公約数で割り、最終的に既約分数を求めます。
仮分数を約分するにはどうすればよいですか?
分数を約定するための規則は、仮分数を約定するための規則と同じです。
仮分数を約分するには、まず分母と分子を素因数に因数分解してから、共通約数を約分する必要があります。
混合分数の換算
分数の約分に関する規則は、混合分数の約分にも適用されます。 全体を触ることはできませんが、分数を約分するか、帯分数を仮分数に変換してから約分し、再度固有分数に変換するという小さな違いがあります。
帯分数を減らすには 2 つの方法があります。
まず、小数部分を素因数に書き込み、全体の部分をそのままにしておきます。
2 番目の方法: まず仮分数に変換し、それを通常の因数に書き込んでから、分数を減らします。 すでに求められている仮分数を適正分数に変換します。
例は上の写真で見ることができます。
私たちがあなたとあなたの子供たちを助けることができたことを本当に願っています。 結局のところ、彼らは授業中に不注意になることが多いので、家で自分でもっと集中的に勉強する必要があります。
この記事では、 代数的な分数を使った基本演算:
- 分数を減らす
- 分数の掛け算
- 分数の割り算
まずは始めましょう 代数的分数の換算.
そう思われるかもしれませんが、 アルゴリズム明らか。
に 代数的な分数を減らす、する必要があります
1. 分数の分子と分母を因数分解します。
2. 等しい係数を減らします。
しかし、学童は因子ではなく項を「還元」するという間違いをよく犯します。 たとえば、分数を によって「約定」し、結果として を得るアマチュアがいますが、もちろんこれは真実ではありません。
例を見てみましょう:
1.
分数を減らす: 
1. 和の二乗の公式を使用して分子を因数分解し、二乗の差の公式を使用して分母を因数分解しましょう
2. 分子と分母を次の値で割ります。
2.
分数を減らす: 
1. 分子を因数分解してみましょう。 分子には 4 つの項が含まれるため、グループ化を使用します。
2. 分母を因数分解してみましょう。 グループ化も使用できます。
3. 得られた分数を書き留めて、同じ因数を約定してみましょう。
代数的な分数の乗算。
代数的な分数を掛けるときは、分子と分子を掛け、分母と分母を掛けます。
重要！分数の分子と分母を急いで掛ける必要はありません。 分数の分子の積を分子に、分母の積を分母に書き留めた後、各因数を因数分解して分数を減らす必要があります。
例を見てみましょう:
3. 式を簡略化します。
1. 分数の積を書きましょう。分子には分子の積、分母には分母の積を書きます。
2. 各括弧を因数分解してみましょう。
次に、同じ要因を減らす必要があります。 式と は符号のみが異なることに注意してください。 
最初の式を 2 番目の式で割った結果、-1 が得られます。
それで、 
次の規則に従って代数分数を分割します。
あれは 分数で割るには、「逆数」を掛ける必要があります。
分数の割り算は結局、掛け算になることがわかります。 掛け算は最終的には分数の約定に帰着します。
例を見てみましょう:
4. 式を簡略化します。
