線形不等式。 不平等

不等式は線形と呼ばれます左辺と右辺は未知の量に対する一次関数です。 これには、たとえば、次のような不等式が含まれます。

2x-1-x+3; 7倍0;

5 >4 ～ 6x 9- バツ< x + 5 .

1) 厳密な不等式: 斧+b>0または 斧+b<0

2) 非厳密な不等式: ax+b≤0または 斧+b≫ 0

このタスクを分析しましょう。 平行四辺形の一辺は7cmです。 平行四辺形の周囲が44cmより大きくなるためには、反対側の長さはいくらでなければなりませんか?

必要な側を次のようにします バツこの場合、平行四辺形の周囲長は (14 + 2x) cm で表されます。不等式 14 + 2x > 44 は、平行四辺形の周囲長の問題の数学的モデルです。 この不等式の変数を置き換えると バツたとえば、数字 16 の場合、正しい数値不等式 14 + 32 > 44 が得られます。この場合、数字 16 は不等式 14 + 2x > 44 の解であると言われます。

不平等を解く真の数値不等式に変換する変数の値に名前を付けます。

したがって、それぞれの数値は 15.1 になります。 20;73 は不等式 14 + 2x > 44 の解として機能しますが、たとえば数字 10 はその解ではありません。

不平等を解決するすべての解決策を確立するか、解決策が存在しないことを証明することを意味します。

不等式の解の定式化は、方程式の根の定式化と似ています。 しかし、「不平等の根源」を指定することは慣習的ではない。

数値的等式の性質は方程式を解くのに役立ちました。 同様に、数値不等式の性質は不等式を解くのに役立ちます。

方程式を解くときは、その方程式を、指定された方程式と同等の、より単純な別の方程式に置き換えます。 不平等に対する答えも同様の方法で見つかります。 方程式を等価な方程式に変更するとき、彼らは、方程式の一方の辺から反対方へ項を移すことと、方程式の両側に同じ非ゼロの数を乗算することに関する定理を使用します。 不等式を解く場合、不等式と方程式の間には大きな違いがあり、方程式の解は元の方程式に代入するだけで検証できるという事実にあります。 不等式では、元の不等式に無数の解を代入することができないため、この方法は存在しません。 したがって、重要な概念があります。これらの矢印<=>は同等の、または同等の変換の符号です。 変換は次のように呼ばれます 同等、または 同等、一連の解決策を変更しない場合。

不平等を解決するための同様のルール。

任意の項を不等式のある部分から別の部分に移動し、その符号を反対の符号に置き換えると、この不等式と等価な不等式が得られます。

不等式の両辺に同じ正の数を掛ける (割る) と、これと等価な不等式が得られます。

不等号を反対の符号に置き換えて、不等式の両辺に同じ負の数を乗算 (除算) すると、指定された不等号と等価な不等式が得られます。

これらを使用して ルール次の不等式を計算してみましょう。

1) 不等式を分析してみましょう 2x - 5 > 9.

これ 線形不等式、その解決策を見つけて、基本的な概念について説明します。

2x - 5 > 9<=>2x>14(5 は反対の符号で左側に移動されました)、すべてを 2 で割ると、次のようになります。 x > 7。 一連の解を軸にプロットしてみましょう バツ

正方向のビームが得られました。 解の集合が不等式の形で示されることに注意してください。 x > 7、または区間 x(7; ∞) の形式で。 この不等式に対する具体的な解決策は何でしょうか? 例えば、 x = 10この不等式に対する特別な解は、 x = 12- これは、この不平等に対する特別な解決策でもあります。

部分的な解決策はたくさんありますが、私たちの仕事はすべての解決策を見つけることです。 そして通常、解決策は無数にあります。

整理しましょう 例 2:

2) 不平等を解決する 4a - 11 > a + 13.

それを解決しましょう: あそれを片側に移動します 11 それを反対側に移動すると、3aになります< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 不等式は次のような形式をとります ある<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>ある< 8 .

セットも展示してみよう ある< 8 、しかしすでに軸上にあります あ.

答えを不等式 a の形式で書きます。< 8, либо あ(-∞;8), 8は点灯しません。

私たちは学校で不等式について学び、そこでは数値的な不等式を使います。 この記事では、数値不等式の性質を考察し、そこから数学的不等式を扱う原則を構築します。

不等式の性質は数値不等式の性質と似ています。 特性とその正当性が考慮され、例が示されます。

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数値不等式: 定義、例

不等式の概念を導入するとき、その定義はレコードの種類によって行われます。 符号≠を含む代数式があります。< , >、 ≤ 、 ≥ 。 定義を与えてみましょう。

定義 1

数値的不等式両側が数字と数式を持つ不等式と呼ばれます。

学校では自然数を勉強した後、数値の不等式を考えます。 このような比較操作を段階的に研究します。 初期のものは1のようです< 5 , 5 + 7 >3. その後、ルールが補足され、不等式がより複雑になり、5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0 の形式の不等式が得られます。 73 - 17 2< 0 .

数値不等式の性質

不等式を正しく扱うには、数値不等式のプロパティを使用する必要があります。 それらは不平等の概念から来ています。 この概念は、「以上」または「以下」として指定されるステートメントを使用して定義されます。

定義 2

• a - b の差が正の数の場合、数値 a は b より大きくなります。
• a - b の差が負の数である場合、数値 a は b より小さくなります。
• a - b の差がゼロの場合、数値 a は b に等しくなります。

この定義は、「以下」「以上」という関係の不等式を解くときに使用されます。 それはわかります

定義 3

• a - b が負でない数の場合、a は b 以上です。
• a - b が正でない数の場合、a は b 以下です。

定義は、数値不等式の特性を証明するために使用されます。

基本特性

3つの主な不等式を見てみましょう。 標識の使用< и >以下のプロパティの特徴:

定義 4

• 反反射性, これは、不等式 a からの任意の数値 a が、< a и a >a は間違っていると考えられます。 任意の a に対して a − a = 0 という等式が成り立つことが知られているため、a = a が得られます。 それで、< a и a >aは不正解です。 たとえば、3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 は間違っています。
• 非対称。 数 a と b が次のようなとき、< b , то b >a、a > b の場合は b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >ａ． 後半部分も同様の方法で証明されます。

例1

たとえば、不等式 5 が与えられると、< 11 имеем, что 11 >5。これは、数値的不等式 − 0, 27 > − 1, 3 が − 1, 3 に書き換えられることを意味します。< − 0 , 27 .

次の特性に進む前に、非対称性の助けを借りて不等式を右から左、またはその逆に読み取ることができることに注意してください。 このようにして、数値不等式を修正したり交換したりすることができます。

定義5

• 推移性。 数字a、b、cが条件aを満たすとき< b и b < c , тогда a < c , и если a >b および b > c 、次に a > c 。

証拠1

最初のステートメントは証明できます。 条件a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

推移性の 2 番目の部分も同様の方法で証明されます。

例 2

不等式 − 1 の例を使用して、分析されたプロパティを検討します。< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 および 1 8 > 1 32 の場合、1 2 > 1 32 となります。

弱い不等号を使用して記述される数値不等式には再帰性の特性があります。これは、a ≤ a および a ≥ a が a = a に等しい場合があるためです。 それらは非対称性と推移性によって特徴付けられます。

定義6

表記に記号 ≤ および ≥ が含まれる不等式には、次の特性があります。

• 再帰性 a ≥ a および a ≤ a は真の不等式とみなされます。
• 反対称、a ≤ b の場合は b ≥ a、a ≥ b の場合は b ≤ a。
• 推移性、a ≤ b および b ≤ c の場合は a ≤ c であり、また、a ≥ b および b ≥ c の場合は a ≥ c です。

証明も同様の方法で行われます。

数値不等式のその他の重要な性質

不等式の基本的な性質を補足するために、実用的に重要な結果が使用されます。 この方法の原理は、不等式を解く原則の基礎となる式の値を推定するために使用されます。

この段落では、厳密な不等号の 1 つの記号に対する不平等の性質を明らかにします。 非厳密なものについても同じことが行われます。 不等式を定式化する例を見てみましょう。< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• a > b の場合、a + c > b + c。
• a ≤ b の場合、a + c ≤ b + c。
• a ≥ b の場合、a + c ≥ b + c。

プレゼンテーションに便利なように、対応する記述を書き留め、証拠を示し、使用例を示します。

定義7

両辺に数値を加算または計算します。 つまり、a と b が不等式 a に対応するとき、< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

証拠2

これを証明するには、方程式が条件 a を満たさなければなりません。< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

例 3

たとえば、不等式 7 > 3 の両辺を 15 ずつ増やすと、7 + 15 > 3 + 15 となります。 これは 22 > 18 に等しくなります。

定義8

不等式の両辺を同じ数 c で乗算または除算すると、真の不等式が得られます。 負の数を指定すると、符号が逆に変わります。 それ以外の場合は、次のようになります。 a と b の場合、a のときに不等式が成り立ちます。< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >紀元前。

証拠3

c > 0 の場合、不等式の左辺と右辺の差を構築する必要があります。 次に、 a · c − b · c = (a − b) · c が得られます。 条件aから< b , то a − b < 0 , а c >0 の場合、積 (a − b) · c は負になります。 したがって、a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

証明する場合、整数による除算は、指定された値の逆数、つまり 1 c による乗算に置き換えることができます。 特定の数値に関するプロパティの例を見てみましょう。

例 4

不等式 4 の両辺は許可されます< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

ここで、不等式を解く際に使用される次の 2 つの結果を定式化してみましょう。

• 帰結 1. 数値不等式の一部の符号を変更すると、次のように不等式自体の符号が反対に変わります。< b , как − a >−ｂ． これは、両辺に - 1 を掛けるという規則に従います。 移行に適用されます。 たとえば、−6< − 2 , то 6 > 2 .
• 帰結 2. 数値の不等号の一部を反対の数値に置き換えると、その符号も変わり、不等号は真のままになります。 これから、a と b は正の数であることがわかります。< b , 1 a >１ｂ．

不等式の両辺を割るとき a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 私たちはそれを持っています 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1bは間違っている可能性があります。

例5

たとえば、−2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 は間違った方程式です。

すべての点は、不等式の一部に対するアクションが出力で正しい不等式を与えるという事実によって統合されます。 最初にいくつかの数値不等式があり、その結果がその部分を加算または乗算することによって得られる特性を考えてみましょう。

定義9

数値 a、b、c、d が不等式 a に対して有効な場合< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

証明4

(a + c) − (b + d) が負の数であることを証明してみましょう。すると、a + c が得られます。< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

このプロパティは、3 つ、4 つ、またはそれ以上の数値不等式を項ごとに加算するために使用されます。 数値 a 1 、 a 2 、…、 a n および b 1 、 b 2 、…、 b n は不等式 a 1 を満たします。< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

例6

たとえば、同じ符号の 3 つの数値不等式 - 5 が与えられたとします。< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

定義10

両辺を期間ごとに乗算すると正の数になります。 とき< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

証拠5

これを証明するには、不等式の両辺 a が必要です。< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

このプロパティは、不等式の両辺に乗算する必要がある数値の数に対して有効であると見なされます。 それから a 1 、 a 2 、 … 、 a nそして b 1、b 2、…、b nは正の数で、1 は< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .

不等式を記述する場合、正でない数が存在すると、それらの項ごとの乗算により不正確な不等式が生成されることに注意してください。

例 7

たとえば、不等式 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

結果： 不等式の項ごとの乗算 a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

数値不等式の性質

数値不等式の次の性質を考えてみましょう。

1. ある< a , a >a - 不正確な不等式、
   a ≤ a、a ≥ a は真の不等式です。
2. もし< b , то b >a - 反対称。
3. もし< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. もし< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. もし< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   もし< b и c - отрицательное число, то a · c >紀元前。

帰結 1: もし< b , то - a >-b.

推論 2: a と b が正の数で、a が正の数の場合< b , то 1 a >１ｂ．

1. 1 の場合< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. 1 、 2 、. 。 。 、ａ ｎ 、ｂ １ 、ｂ ２ 、． 。 。 、b n は正の数であり、a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

帰結 1: もし ある< b , a そして b が正の数の場合は n< b n .

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不等式は数学において重要な役割を果たします。 学校で主に扱うのは、 数値不等式、その定義からこの記事を始めます。 そして列挙して正当化します 数値不等式の性質、不平等に対処するすべての原則はこれに基づいています。

数値不等式の多くの性質が似ていることにすぐに注目してください。 したがって、同じスキームに従って資料を提示します。プロパティを定式化し、その正当性と例を示した後、次のプロパティに進みます。

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数値不等式: 定義、例

不平等の概念を導入したとき、不平等はその記述方法によって定義されることが多いことに気づきました。 そこで、≠に等しくない、未満の記号を含む意味のある代数式を不等式と呼びました。<, больше >、≤以下、または≧以上。 上記の定義に基づいて、数値不等式を定義すると便利です。

数値不等式に遭遇するのは、1 年生の数学の授業で、1 から 9 までの最初の自然数に慣れ、比較演算に慣れた直後に発生します。 確かに、そこではそれらは「数値」の定義を省略して単に不等式と呼ばれています。 明確にするために、研究のその段階で得られた最も単純な数値不等式の例をいくつか挙げても問題はありません。1<2 , 5+2>3 .

そして、自然数からさらに知識が他のタイプの数 (整数、有理数、実数) に拡張され、それらの比較ルールが研究され、これにより数値不等式の種類が大幅に拡大されました: −5>−72、3> −0.275 (7−5, 6) , .

数値不等式の性質

実際には、不等式を扱うことで、いくつかのことが可能になります。 数値不等式の性質。 これらは、私たちが導入した不平等の概念から派生したものです。 数字に関連して、この概念は次のステートメントによって与えられます。これは、一連の数字に関する「未満」と「以上」の関係の定義と考えることができます (これは、不等号の差の定義と呼ばれることがよくあります)。

意味。

• 番号 a が b より大きいのは、a と b の差が正の数である場合に限ります。
• 数値 a が数値 b より小さいのは、差 a-b が負の数である場合に限ります。
• 数値 a が数値 b に等しいのは、a と b の差がゼロである場合に限ります。

この定義は、「以下」および「以上」という関係の定義に書き直すことができます。 彼の言葉遣いは次のとおりです。

意味。

• 番号 a−b が非負の数である場合に限り、a は b 以上になります。
• a−b が正でない数である場合に限り、a は b 以下となります。

これらの定義を使用して数値不等式の特性を証明し、その検討に進みます。

基本特性

不等式の 3 つの主要な性質からレビューを始めます。 なぜ基本的なのでしょうか? なぜなら、それらは数値上の不等式に関連したものだけでなく、最も一般的な意味での不等式の性質を反映しているからです。

記号を使用して書かれた数値不等式< и >、 特性：

弱い不等号 ≤ および ≥ を使用して書かれた数値不等式については、不等式 a≤a および a≥a には a=a の場合が含まれるため、再帰性 (反再帰性ではなく) の特性があります。 それらは、非対称性と推移性によっても特徴付けられます。

したがって、記号 ≤ および ≥ を使用して書かれた数値不等式には、次の特性があります。

• 再帰性 a≥a および a≤a は真の不等式です。
• 反対称、a ≤ b の場合は b ≥ a、a ≥ b の場合は b ≤ a。
• 推移性、a≤b および b≤c の場合は a≤c、また、a≥b および b≥c の場合は a≥c です。

それらの証明はすでに与えられているものと非常に似ているので、それらについては詳しく説明せず、数値不等式の他の重要な性質に移ります。

数値不等式のその他の重要な性質

数値不等式の基本的な性質を、実用上非常に重要な一連の結果で補足しましょう。 式の値を推定する方法はそれらに基づいています。 不平等の解決策等々。 したがって、それらをよく理解することをお勧めします。

このセクションでは、厳密な不等式の 1 つの符号に対してのみ不等式の特性を定式化しますが、同様の特性が反対の符号や非厳密な不等式の符号に対しても有効であることに留意する価値があります。 これを例を挙げて説明しましょう。 以下では、不等式の次の性質を定式化して証明します。

• a>b の場合、 a+c>b+c ;
• a≤b の場合、a+c≤b+c ;
• a≧b の場合、a+c≧b+c となります。

便宜上、数値不等式の性質をリストの形式で示し、対応する記述を示し、文字を使用して形式的に記述し、証明を示し、その後使用例を示します。 そして記事の最後では、数値不等式のすべての性質を表にまとめます。 行く！