お客様のプライバシーを維持することは当社にとって重要です。 このため、当社はお客様の情報の使用および保管方法を説明するプライバシー ポリシーを作成しました。 当社のプライバシー慣行を確認し、ご質問がある場合はお知らせください。

個人情報の収集と利用

個人情報とは、特定の個人を識別したり連絡したりするために使用できるデータを指します。

当社にご連絡いただく際には、いつでも個人情報の提供を求められる場合があります。

以下は、当社が収集する個人情報の種類とそのような情報の使用方法の例です。

当社が収集する個人情報は次のとおりです。

• お客様がサイト上でお申し込みを送信される際、当社はお客様のお名前、電話番号、電子メールアドレスなどを含む様々な情報を収集する場合があります。

お客様の個人情報の使用方法:

• 当社が収集する個人情報により、独自のオファー、プロモーション、その他のイベントや今後のイベントについてお客様にご連絡することができます。
• 当社は、重要な通知や連絡を送信するためにお客様の個人情報を使用する場合があります。
• また、当社は、当社が提供するサービスを改善し、お客様に当社のサービスに関する推奨事項を提供するために、監査、データ分析、さまざまな調査の実施などの内部目的で個人情報を使用する場合があります。
• あなたが賞品の抽選、コンテスト、または同様のプロモーションに参加する場合、当社はそのようなプログラムを管理するためにあなたが提供した情報を使用することがあります。

第三者への情報開示

当社はお客様から受け取った情報を第三者に開示することはありません。

例外:

• 法律、司法手続きに従って、および/または公的要請またはロシア連邦領域の政府当局からの要請に基づいて、必要な場合には、お客様の個人情報を開示する場合。 また、セキュリティ、法執行、またはその他の公共の重要な目的のために開示が必要または適切であると当社が判断した場合、当社はお客様に関する情報を開示することがあります。
• 組織再編、合併、または売却の場合、当社は収集した個人情報を該当する後継の第三者に譲渡することがあります。

個人情報の保護

当社は、お客様の個人情報を紛失、盗難、悪用、および不正アクセス、開示、改ざん、破壊から保護するために、管理上、技術上、物理的な予防措置を講じます。

会社レベルでのプライバシーの尊重

お客様の個人情報の安全を確保するために、当社はプライバシーとセキュリティの基準を従業員に伝達し、プライバシー慣行を厳格に実施します。

整数の方程式を解くことは、最も古い数学の問題の 1 つです。 すでに紀元前2千年紀の初めに。 e. バビロニア人は、2 つの変数を使用してこのような方程式系を解く方法を知っていました。 この数学分野は古代ギリシャで最大の繁栄を迎えました。 私たちの主な情報源は、さまざまなタイプの方程式を含むディオファントスの算術です。 その中で、ディオファントス (彼の名前にちなんで、方程式の名前はディオファントス方程式となります) は、19 世紀になって初めて開発された 2 次および 3 次の方程式を研究するための多くの方法を予想しています。

最も単純なディオファントス方程式は、ax + y = 1 (2 つの変数を含む方程式、1 次) x2 + y2 = z2 (3 つの変数を含む方程式、2 次) です。

代数方程式は最も詳しく研究されており、その解法は 16 世紀から 17 世紀の代数学における最も重要な問題の 1 つでした。

19 世紀初頭までに、P. フェルマー、L. オイラー、K. ガウスの著作により、次の形式のディオファントス方程式が研究されました: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (a、b、c) 、d、e、f は数値です。 x、y は未知の変数です。

これは 2 つの未知数を持つ 2 次方程式です。

K. ガウスは、2 つの変数を持つ特定のタイプの方程式 (ディオファントス方程式) を解くための基礎となる二次形式の一般理論を開発しました。 初歩的な方法を使用して解くことができる特定のディオファントス方程式が多数あります。 /p>

理論的な資料。

この部分では、基本的な数学的概念を説明し、用語を定義し、2 変数の方程式を解く際に研究および考慮された不定係数の方法を使用して展開定理を定式化します。

定義 1: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 の形式の方程式。ここで、a、b、c、d、e、f は数値です。 x、y の未知変数は 2 変数の 2 次方程式と呼ばれます。

学校の数学の授業では、数値 x の a、b、c が 1 つの変数である 2 次方程式 ax2 + bx + c = 0 を学習します。 この方程式を解く方法はたくさんあります。

1. 判別式を使用して根を見つける。

2. (D1= に従って) の偶数係数の根を求めます。

3. ビエタの定理を使用して根を見つける;

4. 二項式の完全二乗を分離して根を見つけます。

方程式を解くということは、その根をすべて見つけるか、根が存在しないことを証明することを意味します。

定義 2: 方程式の根は、方程式に代入すると真の等価を形成する数値です。

定義 3: 2 つの変数を含む方程式の解は、数値のペア (x, y) と呼ばれ、方程式に代入すると真の等価になります。

方程式の解を見つけるプロセスは、通常、方程式を同等の、より簡単な方程式に置き換えることで構成されます。 このような方程式は等価と呼ばれます。

定義 4: 2 つの方程式は、一方の方程式の各解が他方方程式の解である場合、またはその逆の場合に等価であると言われ、両方の方程式が同じ領域内にあるとみなされます。

2 つの変数を含む方程式を解くには、方程式を完全二乗和に分解する定理を使用します (不定係数法による)。

2 次方程式 ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) の場合、展開 a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2) が行われます。

2 変数の方程式 (1) に対して展開 (2) が起こる条件を定式化しましょう。

定理: 式 (1) の係数 a、b、c が条件 a0 および 4ab – c20 を満たす場合、展開 (2) は一意に決定されます。

言い換えれば、定理の条件が満たされる場合、2 つの変数を含む式 (1) は、不定係数の方法を使用して式 (2) に短縮できます。

不定係数の方法がどのように実装されるかの例を見てみましょう。

方法その1。 未確定係数法を使用して方程式を解く

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0。

1. 定理の条件 a=2、b=1、c=2 が満たされていることを確認してみましょう。これは、a=2.4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40 を意味します。

2. 定理の条件が満たされている場合、式 (2) に従って展開できます。

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h、定理の条件に基づくと、恒等式の両方の部分は等価です。 恒等式の右側を単純化してみましょう。

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2+p2y2+q2+2pxy+2pqy+2qx)+r(y2+2sy+s2)+h=

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h)。

5. 同一の変数の係数を次数と同等とみなします。

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. 連立方程式を取得し、それを解いて係数の値を見つけてみましょう。

7. (2) に係数を代入すると、式は次の形式になります。

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 +0

したがって、元の方程式は次の方程式と等価です。

2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 = 0 (3)、この方程式は 2 つの一次方程式の系と等価です。

答え: (-1; 1)。

展開のタイプ (3) に注目すると、1 つの変数を持つ 2 次方程式から完全な正方形を分離することと形式が同じであることがわかります: ax2 + inx + c = a(x +)2 +。

2 つの変数を含む方程式を解くときにこのテクニックを適用してみましょう。 完全な正方形の選択を使用して、定理を使用してすでに解かれている 2 変数の 2 次方程式を解いてみましょう。

方法 2: 方程式 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0 を解きます。

解決策: 1. 2x2 が 2 つの項 x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0 の合計であると想像してみましょう。

2. 完全正方形の公式を使って項を折りたためるように項をグループ化しましょう。

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0。

3. 括弧内の式から完全な正方形を選択します。

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0。

4. この方程式は、連立一次方程式と等価です。

答え: (-1;1)。

結果を比較すると、定理と未定係数法を用いて解いた方程式No.1と、完全正方形の抽出を用いて解いた方程式No.2の根が同じであることが分かります。

結論: 2 つの変数を含む 2 次方程式は、次の 2 つの方法で平方和に拡張できます。

➢ 1 つ目の方法は、定理と展開 (2) に基づく不定係数の方法です。

➢ 2 番目の方法は、恒等変換を使用して、完全な正方形を連続的に選択できるようにする方法です。

もちろん、問題を解く場合は、展開(2)や条件を覚える必要がないため、後者の方法の方が望ましいです。

この方法は、3 つの変数を含む二次方程式にも使用できます。 このような方程式で完全な正方形を分離するのは、より多くの労力を要します。 来年もこのような変革を行う予定です。

興味深いことに、f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f の形式を持つ関数は 2 変数の 2 次関数と呼ばれます。 二次関数は数学のさまざまな分野で重要な役割を果たします。

数理計画法（二次計画法）では

線形代数と幾何学 (二次形式)

微分方程式の理論 (2 次線形方程式を正準形式に還元)。

これらのさまざまな問題を解決するときは、基本的に、二次方程式 (1 つ、2 つ、またはそれ以上の変数) から完全な正方形を分離する手順を適用する必要があります。

方程式が 2 変数の 2 次方程式で記述される直線を 2 次曲線と呼びます。

これは円、楕円、双曲線です。

これらの曲線のグラフを作成する場合、完全な正方形を順次分離する方法も使用されます。

具体的な例を使用して、完全な正方形を順番に選択する方法がどのように機能するかを見てみましょう。

実践的な部分。

完全な正方形を順次分離する方法を使用して方程式を解きます。

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x +1)2 + (x + y)2 = 0;

答え:(-1;1)。

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

答え：（0.5; - 0.5）。

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;

3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

答え:(-1;1)。

方程式を解く：

1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0

(次の形式に変換します: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

答え: (-3; -3)

2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0

(次の形式に変換します: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)

答え: (-1; 1)

3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0

(次の形式に変換します: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)

答え: (7; -7)

結論。

この科学的研究では、2 次の 2 つの変数を含む方程式が研究され、それらを解く方法が検討されました。 タスクは完了し、完全な正方形を分離し、等価な方程式系で方程式を置き換えることに基づいて、より短い解決方法が定式化および説明されました。その結果、2 つの変数を持つ方程式の根を求める手順が完成しました。簡略化されました。

この研究の重要な点は、検討中の手法が、二次関数に関連するさまざまな数学的問題を解くとき、二次曲線を作成するとき、および式の最大 (最小) 値を見つけるときに使用されることです。

したがって、2 つの変数を含む 2 次方程式を二乗和に分解する手法は、数学において最も多くの用途があります。

連立方程式は、さまざまなプロセスの数学的モデリングのために経済分野で広く使用されています。 例えば、生産管理や計画、物流ルート（輸送問題）や設備配置などの問題を解決するとき。

連立方程式は数学だけでなく、物理学、化学、生物学でも人口規模を求める問題を解決する際に使用されます。

連立一次方程式は、共通の解を見つける必要がある複数の変数を含む 2 つ以上の方程式です。 すべての方程式が真の等価になる、またはその数列が存在しないことを証明するような数列。

一次方程式

ax+by=c の形式の方程式は線形と呼ばれます。 指定 x、y は値を見つける必要がある未知数、b、a は変数の係数、c は方程式の自由項です。
方程式をプロットして解くと直線のように見え、そのすべての点が多項式の解になります。

連立一次方程式の種類

最も単純な例は、2 つの変数 X と Y を持つ線形方程式系と考えられます。

F1(x, y) = 0 および F2(x, y) = 0。ここで、F1,2 は関数、(x, y) は関数変数です。

連立方程式を解く - これは、システムが真の等価になる値 (x, y) を見つけること、または x と y の適切な値が存在しないことを確立することを意味します。

点の座標として書かれた値のペア (x, y) は、連立一次方程式の解と呼ばれます。

システムに共通の解決策が 1 つある場合、または解決策が存在しない場合、それらは同等であると呼ばれます。

同次一次方程式系は、右辺がゼロに等しい系です。 等号の後の右側の部分が値を持つか関数で表される場合、そのようなシステムは異種システムです。

変数の数が 2 つよりはるかに多い場合は、3 つ以上の変数を含む線形方程式系の例について説明する必要があります。

システムに直面したとき、学童は方程式の数が未知数の数と必ず一致するはずだと思い込んでいますが、実際はそうではありません。 システム内の方程式の数は変数に依存しません。必要な数だけ存在することができます。

連立方程式を解くための単純な方法と複雑な方法

このようなシステムを解くための一般的な解析手法はなく、すべての手法は数値解に基づいています。 学校の数学コースでは、順列、代数的加算、代入、グラフィカルな行列法、ガウス法による解法などの方法が詳細に説明されています。

解法を教えるときの主な仕事は、システムを正しく分析し、それぞれの例に最適な解法アルゴリズムを見つける方法を教えることです。 重要なことは、各メソッドのルールとアクションの体系を暗記することではなく、特定のメソッドを使用する原則を理解することです。

7 年生の一般教育カリキュラムの連立一次方程式の例題は非常に簡単で、詳細に説明されています。 どの数学の教科書でも、このセクションには十分な注意が払われています。 ガウスとクラマー法を使用して連立一次方程式を解く例は、高等教育の最初の数年間でより詳細に学習されます。

代入法を使用した系の解法

置換メソッドのアクションは、1 つの変数の値を 2 番目の変数の観点から表現することを目的としています。 この式は残りの方程式に代入され、変数が 1 つの形式に変換されます。 システム内の未知数に応じてアクションが繰り返されます

代入法を使用して、クラス 7 の連立一次方程式の例に対する解を与えてみましょう。

この例からわかるように、変数 x は F(X) = 7 + Y で表されました。結果の式は、X の代わりにシステムの 2 番目の方程式に代入され、2 番目の方程式で 1 ​​つの変数 Y を取得するのに役立ちました。 。 この例を解くのは簡単で、Y 値を取得できます。最後のステップは、取得された値を確認することです。

代入によって連立一次方程式の例を解くことが常に可能であるとは限りません。 方程式は複雑になる可能性があり、変数を 2 番目の未知数で表現すると、それ以上の計算が面倒になります。 システム内に未知数が 3 つ以上ある場合、代入による解決も非現実的です。

線形不均一方程式系の例の解:

代数加算を使用した解法

加算法を使用してシステムの解を求める場合、方程式は項ごとに加算され、さまざまな数値が乗算されます。 数学的演算の最終目標は、1 つの変数の方程式を作成することです。

この方法を適用するには、練習と観察が必要です。 変数が 3 つ以上ある場合、加算法を使用して連立一次方程式を解くのは簡単ではありません。 代数加算は、方程式に分数や小数が含まれる場合に使用すると便利です。

解決アルゴリズム:

1. 方程式の両辺に特定の数を掛けます。 算術演算の結果、変数の係数の 1 つが 1 に等しくなるはずです。
2. 結果の式を項ごとに加算し、未知数の 1 つを見つけます。
3. 結果の値をシステムの 2 番目の方程式に代入して、残りの変数を見つけます。

新しい変数を導入することによる解決方法

システムが 2 つ以下の方程式の解を求める必要がある場合、新しい変数を導入できます。また、未知数の数も 2 つ以下でなければなりません。

この方法は、新しい変数を導入して方程式の 1 つを単純化するために使用されます。 導入された未知数に対して新しい方程式が解かれ、その結果の値が元の変数を決定するために使用されます。

この例は、新しい変数 t を導入することによって、システムの 1 番目の方程式を標準の 2 次三項式に縮小できることを示しています。 判別式を見つけることで多項式を解くことができます。

よく知られた公式: D = b2 - 4*a*c を使用して判別式の値を見つける必要があります。ここで、D は目的の判別式、b、a、c は多項式の因数です。 与えられた例では、a=1、b=16、c=39、したがって D=100 になります。 判別式が 0 より大きい場合、解は 2 つあります: t = -b±√D / 2*a。判別式が 0 より小さい場合、解は 1 つあります: x = -b / 2*a。

得られる系の解は加算法によって求められます。

システムを解決するための視覚的手法

3 方程式系に適しています。 この方法は、システムに含まれる各方程式のグラフを座標軸上に構築することから成ります。 曲線の交点の座標がシステムの一般解になります。

グラフィカルな方法には多くのニュアンスがあります。 視覚的な方法で連立一次方程式を解く例をいくつか見てみましょう。

例からわかるように、各線に対して 2 つの点が構築され、変数 x の値は任意に選択されました: 0 と 3。x の値に基づいて、y の値が見つかりました。 3 と 0。座標 (0, 3) と (3, 0) の点がグラフ上にマークされ、線で結ばれています。

2 番目の方程式についても、この手順を繰り返す必要があります。 線の交点がシステムの解になります。

次の例では、連立一次方程式のグラフィカルな解を見つける必要があります: 0.5x-y+2=0 および 0.5x-y-1=0。

この例からわかるように、グラフは平行で全長に沿って交差しないため、システムには解決策がありません。

例 2 と 3 のシステムは似ていますが、構築すると、ソリューションが異なることが明らかになります。 システムに解があるかどうかを常にグラフを作成する必要があるかどうかを判断できるわけではないことに注意してください。

マトリックスとその種類

行列は、線形方程式系を簡潔に記述するために使用されます。 マトリックスは、数字が詰まった特別なタイプの表です。 n*m には n 行と m 列があります。

列と行の数が等しい場合、行列は正方形になります。 行列ベクトルは、無限に可能な行数を持つ 1 列の行列です。 対角線の 1 つに沿って 1 があり、その他の要素が 0 である行列は、単位と呼ばれます。

逆行列は、元の行列を乗算すると単位行列になる行列です。このような行列は元の正方行列に対してのみ存在します。

連立方程式を行列に変換するための規則

連立方程式に関しては、方程式の係数と自由項は行列番号として記述され、1 つの方程式が行列の 1 行になります。

行の少なくとも 1 つの要素がゼロでない場合、行列行は非ゼロであると言われます。 したがって、方程式のいずれかで変数の数が異なる場合は、不足している未知数の代わりにゼロを入力する必要があります。

行列の列は変数に厳密に対応している必要があります。 これは、変数 x の係数は 1 つの列 (たとえば最初の列) にのみ書き込むことができ、未知の y の係数は 2 番目の列にのみ書き込むことができることを意味します。

行列を乗算する場合、行列のすべての要素に数値が順番に乗算されます。

逆行列を見つけるためのオプション

逆行列を求める公式は非常に単純です: K -1 = 1 / |K| (K -1 は逆行列、|K|) は行列の行列式です。 |K| ゼロに等しくない場合、システムには解決策があります。

2 行 2 列の行列の行列式は簡単に計算できます。対角要素を相互に乗算するだけです。 「3 x 3」オプションの場合、式 |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c があります。 3 + a 3 b 2 c 1 。 数式を使用することも、要素の列数と行数が作業内で繰り返されないように、各行と各列から 1 つの要素を取得する必要があることを覚えておくこともできます。

行列法を使用した連立一次方程式の解法の例

行列法を使用して解を見つけると、多数の変数と方程式を含むシステムを解くときに面倒な入力を減らすことができます。

この例では、a nm は方程式の係数、行列はベクトル x n は変数、b n は自由項です。

ガウス法を使用したシステムの解決

高等数学では、ガウス法はクラマー法とともに研究され、系の解を見つけるプロセスはガウス・クラマー解法と呼ばれます。 これらの方法は、多数の線形方程式を含むシステムの変数を見つけるために使用されます。

ガウス法は、代入や代数的加算による解法に非常に似ていますが、より系統的です。 学校の授業では、3 連立方程式と 4 連立方程式に対してガウス法による解法が使用されます。 この方法の目的は、システムを逆台形の形に縮小することです。 代数変換と代入により、システムの方程式の 1 つで 1 つの変数の値が求められます。 2 番目の方程式は 2 つの未知数を含む式であり、3 と 4 はそれぞれ 3 つと 4 つの変数を含みます。

システムを記述された形式にした後、さらなる解決策はシステムの方程式に既知の変数を順次代入することに帰着します。

7 年生の教科書では、ガウス法による解法の例が次のように説明されています。

この例からわかるように、ステップ (3) で 2 つの方程式が得られました: 3x 3 -2x 4 =11 および 3x 3 +2x 4 =7。 いずれかの式を解くと、変数 x n の 1 つを見つけることができます。

本文中で言及されている定理 5 は、システムの方程式の 1 つを等価なものに置き換えると、結果のシステムも元のものと等価になることを述べています。

ガウス法は中学生には理解するのが難しいですが、数学や物理学のクラスで高度な学習プログラムに登録している子供たちの創意工夫を開発するための最も興味深い方法の 1 つです。

記録を容易にするために、計算は通常次のように行われます。

方程式の係数と自由項は行列の形式で記述され、行列の各行がシステムの方程式の 1 つに対応します。 方程式の左側と右側を分離します。 ローマ数字はシステム内の式の数を示します。

まず、処理する行列を書き留めてから、いずれかの行で実行されるすべてのアクションを書き留めます。 結果の行列は「矢印」記号の後に書き込まれ、結果が得られるまで必要な代数演算が継続されます。

結果は、対角線の 1 つが 1 に等しく、他のすべての係数が 0 に等しい行列になるはずです。つまり、行列は単位形式に縮小されます。 方程式の両辺の数値を使って計算を行うことを忘れてはなりません。

この記録方法は煩わしさが少なく、多数の未知の項目をリストアップすることに気を取られることがなくなります。

どのような解決方法でも自由に使用するには、注意とある程度の経験が必要です。 すべてのメソッドが応用的な性質を持っているわけではありません。 解決策を見つける方法の中には、人間の活動の特定の分野でより好ましいものもありますが、教育目的で存在するものもあります。

7年生の算数コースで初めて出会う 2 つの変数を含む方程式、しかし、それらは 2 つの未知数を含む方程式系のコンテキストでのみ研究されます。 だからこそ、方程式の係数に特定の条件を導入して係数を制限する一連の問題が見えなくなってしまうのです。 さらに、「自然数または整数で方程式を解く」などの問題を解く方法も無視されますが、この種の問題は統一国家試験の資料や入学試験で頻繁に見られます。

どの方程式を 2 変数の方程式と呼びますか?

したがって、たとえば、方程式 5x + 2y = 10、x 2 + y 2 = 20、または xy = 12 は 2 変数の方程式です。

方程式 2x – y = 1 を考えてみましょう。これは、x = 2 および y = 3 のときに真となるため、この変数値のペアは問題の方程式の解になります。

したがって、2 つの変数を含む方程式の解は、この方程式を真の数値的等式に変える変数の値である順序付きペア (x; y) のセットになります。

2 つの未知数を含む方程式では次のことが可能です。

A) 解決策が 1 つあります。たとえば、方程式 x 2 + 5y 2 = 0 には一意の解 (0; 0) があります。

b) 複数の解決策があります。たとえば、(5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 には 4 つの解があります: (5; 2)、(-5; 2)、(5; -2)、(-5; - 2);

V) 解決策がありません。たとえば、方程式 x 2 + y 2 + 1 = 0 には解がありません。

G) 無限に多くの解決策があります。たとえば、x + y = 3 です。この方程式の解は、合計が 3 に等しい数値になります。この方程式の解のセットは (k; 3 – k) の形式で記述できます。ここで、k は任意の実数です。番号。

2変数方程式を解く主な方法としては、因数分解式による方法、完全な正方形の分離、2次方程式の性質を利用した方法、限定式、推定方法などがあります。 方程式は通常、未知数を見つけるためのシステムを取得できる形式に変換されます。

因数分解

例1.

方程式を解きます: xy – 2 = 2x – y。

解決。

因数分解の目的で項をグループ化します。

(xy + y) – (2x + 2) = 0。各括弧から共通因数を取り出します。

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0。次のようになります。

y = 2、x – 任意の実数、または x = -1、y – 任意の実数。

したがって、 答えは、(x; 2), x € R および (-1; y), y € R の形式のすべてのペアです。

非負の数値とゼロの等価性

例2。

方程式を解きます: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y)。

解決。

グループ化:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0。これで、二乗差の公式を使用して各括弧を折りたたむことができます。

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0。

2 つの非負の式の合計は、3x – 2 = 0 および 2y – 3 = 0 の場合にのみゼロになります。

これは、x = 2/3、y = 3/2 を意味します。

答え: (2/3; 3/2)。

推定方法

例 3.

方程式を解きます: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2。

解決。

各括弧内で完全な正方形を選択します。

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2。推定してみましょう 括弧内の式の意味。

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 および (y – 2) 2 + 2 ≥ 2 の場合、方程式の左辺は常に 2 以上になります。次の場合、等価性が可能です。

(x + 1) 2 + 1 = 1 および (y – 2) 2 + 2 = 2、つまり x = -1、y = 2 になります。

答え: (-1; 2)。

2 次の 2 つの変数を使用して方程式を解く別の方法を見てみましょう。 この方法は、方程式を次のように扱うことから構成されます。 ある変数に関して二乗する.

例4.

方程式を解きます: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0。

解決。

この方程式を x の二次方程式として解いてみましょう。 判別式を見つけてみましょう。

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . この方程式は、D = 0、つまり y = 4 の場合にのみ解を持ちます。y の値を元の方程式に代入すると、x = 3 であることがわかります。

答え: (3; 4)。

多くの場合、2 つの未知数を含む方程式で示されます。 変数の制限.

例5.

方程式を整数で解きます: x 2 + 5y 2 = 20x + 2。

解決。

方程式を x 2 = -5y 2 + 20x + 2 の形式に書き直してみましょう。得られた方程式の右側を 5 で割ると、余りが 2 になります。したがって、x 2 は 5 で割り切れません。ただし、a の 2 乗は5 で割り切れない数の余りは 1 または 4 になります。したがって、等価性は不可能であり、解はありません。

答え: 根がありません。

例6。

方程式を解きます: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3。

解決。

各括弧内の完全な四角形を強調表示しましょう。

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3。方程式の左辺は常に 3 以上です。|x| の場合、等しいことが可能です。 – 2 = 0、y + 3 = 0。したがって、x = ± 2、y = -3 となります。

答え: (2; -3) および (-2; -3)。

例7。

方程式を満たす負の整数のペア (x;y) ごとに
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33、合計 (x + y) を計算します。 回答には最小金額を記入してください。

解決。

完全な正方形を選択してみましょう。

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37。x と y は整数なので、それらの 2 乗も整数です。 1 + 36 を加算すると、2 つの整数の二乗和は 37 になります。したがって、次のようになります。

(x – y) 2 = 36 および (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 および (y + 2) 2 = 36。

これらの系を解き、x と y が負であることを考慮すると、(-7; -1)、(-9; -3)、(-7; -8)、(-9; -8) の解が見つかります。

答え: -17。

2 つの未知数を含む方程式を解くのが難しくても絶望しないでください。 少し練習すれば、どんな方程式も扱えるようになります。

まだ質問がありますか? 2 つの変数の方程式を解く方法がわかりませんか?
家庭教師に助けてもらうために――。
初回レッスンは無料です！

blog.site の内容の全部または一部をコピーする場合は、元のソースへのリンクが必要です。

この数学プログラムを使用すると、置換法と加算法を使用して、2 つの変数を持つ 2 つの線形方程式系を解くことができます。

問題の答えを示すだけでなく、代入法と加算法の 2 つの方法で解法手順を説明し、詳細な解法を提供します。

このプログラムは、一般教育学校の高校生がテストや試験の準備をする場合、統一州試験の前に知識をテストする場合、また保護者が数学や代数学の多くの問題の解決策を管理する場合に役立ちます。 それとも、家庭教師を雇ったり、新しい教科書を購入したりするには高すぎるのでしょうか? それとも、数学や代数の宿題をできるだけ早く終わらせたいだけですか? この場合、詳細な解決策を備えた当社のプログラムを使用することもできます。

このようにして、問題解決の分野での教育レベルが向上しながら、自分自身のトレーニングや弟や妹のトレーニングを行うことができます。

方程式を入力するときのルール

任意のラテン文字が変数として機能します。
例: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) など。

数式を入力するとき 括弧を使用できます。 この場合、まず方程式が簡略化されます。 単純化後の方程式は線形でなければなりません。 要素の順序の精度を備えた ax+by+c=0 の形式。
例: 6x+1 = 5(x+y)+2

方程式では、整数だけでなく、小数や普通分数の形式の分数も使用できます。

小数部を入力するときのルール。
小数部の整数部と小数部は、ピリオドまたはカンマで区切ることができます。
例: 2.1n + 3.5m = 55

普通の分数を入力するときのルール。
分数の分子、分母、および整数部分として機能できるのは整数のみです。
分母を負にすることはできません。
分数を入力する場合、分子は除算記号によって分母から区切られます。 /
全体部分はアンパサンド記号によって分数から区切られます。 &

例。
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

この問題を解決するために必要な一部のスクリプトが読み込まれていないため、プログラムが動作しない可能性があることが判明しました。
AdBlock が有効になっている可能性があります。
この場合は、無効にしてページを更新してください。

なぜなら 問題を解決したい人はたくさんいます。あなたのリクエストはキューに入れられています。
数秒以内に解決策が下に表示されます。
お待ちください 秒...

もし、あんたが ソリューションのエラーに気づきました、これについてフィードバック フォームに記入できます。
忘れてはいけない どのタスクを指定するかあなたが何を決めるか フィールドに入力します.

当社のゲーム、パズル、エミュレーター:

ちょっとした理論。

線形方程式系の解法。 置換方法

代入法を使用して連立一次方程式を解くときの一連のアクション:
1) システムのある方程式からの 1 つの変数を別の変数に関して表現します。
2) 結果の式をこの変数の代わりにシステムの別の方程式に代入します。

$$ \left\( \begin(配列)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(配列) \right. $$

最初の方程式から y を x で表してみましょう: y = 7-3x。 式 7-3x を 2 番目の方程式に y の代わりに代入すると、次のシステムが得られます。
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

最初のシステムと 2 番目のシステムが同じ解決策を持つことを示すのは簡単です。 2 番目のシステムでは、2 番目の方程式に含まれる変数は 1 つだけです。 この方程式を解いてみましょう:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

x の代わりに 1 を等式 y=7-3x に代入すると、対応する y の値が見つかります。
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

ペア (1;4) - システムの解

同じ解を持つ 2 つの変数の連立方程式はと呼ばれます。 同等。 ソリューションを持たないシステムも同等とみなされます。

連立一次方程式を加算によって解く

連立一次方程式を解く別の方法である加算法を考えてみましょう。 この方法を使用してシステムを解決する場合、および置換方法を使用して解決する場合は、このシステムから、方程式の 1 つに変数が 1 つだけ含まれる別の同等のシステムに移動します。

加算法を使用して連立一次方程式を解くときの一連のアクション:
1) システムの方程式を項ごとに乗算し、変数の 1 つの係数が反対の数になるように係数を選択します。
2) システム方程式の左辺と右辺を項ごとに加算します。
3) 結果として得られた方程式を 1 つの変数で解きます。
4) 2 番目の変数の対応する値を見つけます。

例。 連立方程式を解いてみましょう。
$$ \left\( \begin(配列)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(配列) \right. $$

このシステムの方程式では、y の係数は反対の数です。 方程式の左辺と右辺を項ごとに加算すると、1 つの変数 3x=33 を持つ方程式が得られます。 システムの方程式の 1 つ、たとえば最初のものを方程式 3x=33 に置き換えてみましょう。 システムを手に入れましょう
$$ \left\( \begin(配列)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(配列) \right. $$

方程式 3x=33 から、x=11 であることがわかります。 この x の値を方程式 \(x-3y=38\) に代入すると、変数 y を含む方程式 \(11-3y=38\) が得られます。 この方程式を解いてみましょう:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

したがって、加算によって連立方程式の解を見つけました: \(x=11; y=-9\) または \((11;-9)\)

システムの方程式では y の係数が反対の数であるという事実を利用して、その解を等価なシステムの解に縮小しました (元のシステムの各方程式の両辺を合計することによって)。方程式には変数が 1 つだけ含まれています。