不平等。 不平等の種類

すべての実数の集合は、正の数の集合、負の数の集合、および 1 つの数値 (数値 0) からなる集合の 3 つの集合の和集合として表すことができます。 番号であることを示すには、 あ肯定的です、録音を使用してください a > 0、負の数を示すには別の表記を使用します ある< 0 .

正の数の和と積も正の数です。 番号が あ負の場合は数値 -Aポジティブです（逆も同様です）。 任意の正の数 a に対して、正の有理数が存在します。 r、 何 r< а 。 これらの事実は、不平等理論の基礎となっています。

定義により、不等式 a > b (または、同じものは b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0、つまり数値 a - b が正の場合。

特に不等式を考慮してください あ< 0 。 この不等号は何を意味するのでしょうか? 上記の定義によれば、それは次のことを意味します。 0 - a > 0、つまり -a > 0または、言い換えれば、その数字は何ですか -A積極的に。 ただし、これは番号が次の場合にのみ発生します。 あネガティブ。 だから不平等 あ< 0 という数字が意味します でもネガティブ。

という表記もよく使われます 腹筋(または、同じものは、 ば).
記録 腹筋は定義上、次のいずれかを意味します a > b、 または a = b。 記録を考えると 腹筋不定ステートメントとして、数学的論理の表記で次のように書くことができます。

(a b) [(a > b) V (a = b)]

例1.不等式 5 0, 0 0 は真ですか?

不等式 5 0 は、論理接続詞「または」(論理和) で接続された 2 つの単純なステートメントで構成される複雑なステートメントです。 5 > 0 または 5 = 0 のいずれか。最初のステートメント 5 > 0 は true、2 番目のステートメント 5 = 0 は false です。 選言の定義によれば、このような複雑なステートメントは真です。

エントリ 00 についても同様に説明します。

形式の不平等 a > b、a< b これらを厳密な形式の不等式と呼びます。 アブ、アブ- 厳密ではありません。

不平等 a > bそして c > d（または あ< b そして と< d ) を同じ意味の不等式、および不等式と呼びます。 a > bそして c< d - 逆の意味の不平等。 これら 2 つの用語 (同じ意味と反対の意味の不等式) は、不等式の記述形式のみを指しており、これらの不等式によって表現される事実そのものを指すものではないことに注意してください。 そこで、不平等に関して言えば、 あ< b 不平等 と< d は同じ意味の不等式であり、表記では d>c（同じことを意味します） - 逆の意味の不等式。

形の不平等とともに a>b, 腹筋いわゆる二重不等式が使用されます。つまり、次の形式の不等式が使用されます。 あ< с < b , 交流< b , ある< cb ,
あるCB。 定義上、レコードとは、

あ< с < b (1)
両方の不等式が成り立つことを意味します。

あ< с そして と< b.

不等式も同様の意味を持ちます acb、ac< b, а < сb.

二重不等式 (1) は次のように記述できます。

(< c < b) [(a < c) & (c < b)]

そして二重不平等 a ≤ c ≤ bは次の形式で記述できます。

(a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

この記事では次の点に同意した上で、不平等に対する基本的な性質と行動規則の提示に進みましょう。 a、b、c実数を表し、 n自然数を意味します。

1) a > b かつ b > c の場合、a > c (推移性)。

証拠。

条件によりますので a > bそして b > c、次に数字 a - bそして b～cは正であるため、数値は a - c = (a - b) + (b - c)正の数の合計である も正です。 これは、定義上、次のことを意味します a > c.

2) a > b の場合、任意の c に対して不等式 a + c > b + c が成り立ちます。

証拠。

なぜなら a > b、次に番号 a - b積極的に。 したがって、その数は、 (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - bも正です、つまり
a + c > b + c。

3) a + b > c の場合、a > b - c、つまり、任意の項の符号を反対に変更することで、不等式のある部分から別の部分に項を転送できます。

証明は性質 2) から導き出され、不等式の両辺に対して十分です。 a + b > c加算 - b.

4) a > b かつ c > d の場合、a + c > b + d、つまり、同じ意味の 2 つの不等式を加算すると、同じ意味の不等式が得られます。

証拠。

不等式の定義により、その差が次のとおりであることを示すだけで十分です。
(a + c) - (b + c)ポジティブ。 この違いは次のように書くことができます。
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
番号の条件によるので a - bそして CDポジティブであれば、 (a + c) - (b + d)正の数もあります。

結果。 ルール 2) と 4) から、不等式を減算するための次のルールが適用されます。 a > b、c > d、 それ a - d > b - c(証明するには、不等式の両辺を適用するだけで十分です a + c > b + d加算 - CD).

5) a > b の場合、c > 0 の場合は ac > bc となり、c の場合は< 0 имеем ас < bc.

つまり、不等号の両辺に正の数を掛けると不等号は保持されます（つまり、同じ意味の不等式が得られます）が、負の数を掛けると不等号は反対に変わります。 （つまり、逆の意味の不等式が得られます。

証拠。

もし a > b、 それ a - bは正の数です。 したがって、差の符号は、 交流-BC = タクシー）数字の符号と一致します と： もし とが正の数の場合、その差は 交流 - BCポジティブなので、 交流 > 交流、 で、もし と< 0 の場合、この差は負であるため、 紀元前 - 交流ポジティブ、つまり BC > AC.

6) a > b > 0 かつ c > d > 0 の場合、ac > bd、つまり、同じ意味の 2 つの不等式のすべての項が正の場合、これらの不等式を項ごとに乗算すると、同じ意味の不等式が得られます。

証拠。

我々は持っています ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d)。 なぜなら c > 0、b > 0、 a - b > 0、c - d > 0、その後 ac - bd > 0、つまり ac > bd になります。

コメント。証拠から次の条件が明らかです d > 0特性の定式化において 6) は重要ではありません。この特性が有効であるためには、条件が満たされるだけで十分です。 a > b > 0、c > d、c > 0。 If (不等式が満たされる場合) a > b、c > d) 数字 a、b、cすべてが正になるわけではないので、不等式は ac > bd満たされない場合があります。 たとえば、次のようなとき あ = 2, b =1, c= -2, d= -3 を持っています a > b、c > d、しかし不平等 ac > bd(つまり、-4 > -3) は失敗しました。 したがって、性質 6) の定式化では、数値 a、b、c が正であるという要件が不可欠です。

7) a ≥ b > 0 および c > d > 0 の場合、(不等式の除算)。

証拠。

我々は持っています 右辺の分数の分子は正であり (プロパティ 5)、6) を参照)、分母も正です。 したがって、。 これは性質 7) を証明します。

コメント。ルール 7) の重要な特殊ケースに注目してください。これは、a = b = 1 の場合に得られます: if c > d > 0, then。 したがって、不等式の項が正の場合、逆数に渡すと、反対の意味の不等式が得られます。 このルールが 7) ab > 0 および c > d > 0 の場合、(不等式の除算) にも当てはまることを読者の皆様に確認していただきたいと思います。

証拠。 それ。

私たちは、記号を使用して書かれた不等式のいくつかの性質を上記で証明しました。 > （もっと）。 ただし、これらのプロパティはすべて、次の記号を使用して定式化できます。 < (少ない)、不平等なので b< а 定義上、不平等と同じことを意味します a > b。 さらに、簡単に検証できるように、上記で証明された特性は非厳密な不等式に対しても保存されます。 たとえば、非厳密不等式のプロパティ 1) は次の形式になります。 アブとBC、 それ 交流.

もちろん、上記は不等式の一般的な性質を制限するものではありません。 また、べき乗関数、指数関数、対数関数、三角関数の考慮に関連する一連の一般不等式も存在します。 この種の不等式を記述するための一般的なアプローチは次のとおりです。 何らかの機能があれば y = f(x)セグメント上で単調増加 [a、b]、x 1 > x 2 (x 1 と x 2 がこのセグメントに属する) の場合、f が得られます。 (x 1) > f(x 2)。 同様に、関数の場合、 y = f(x)間隔で単調減少 [a、b]、その後、いつ × 1 > × 2 (どこで ×1そして バツ 2 つはこのセグメントに属します) f(×1)< f(x 2 ）。 もちろん、これまで述べてきたことは単調性の定義と変わりませんが、このテクニックは不等式を暗記したり書いたりするのに非常に便利です。

したがって、たとえば、任意の自然数 n に対して、関数は次のようになります。 y = xn光線に沿って単調増加しています ; によって編集 S.A.テリャコフスキー。 - 第 16 版 - M.: 教育、2008. - 271 p. ： 病気。 - ISBN 978-5-09-019243-9。