Теория вероятностей - раздел математики, который готов запутать самих математиков. В отличие от остальных, точных и незыблемых догм этой науки, данная область кишит странностями и неточностями. В этот раздел совсем недавно добавили так сказать новый параграф - парадокс Монти Холла. Это, в общем, задача, но решается она совсем не так, как привычные нам школьные или университетские.

История происхождения

Над парадоксом Монти Холла люди ломают свои головы, начиная с далекого 1975 года. Но начать стоит с 1963. Именно тогда на экраны вышло телешоу под названием Let"s make a deal, что переводится как "Давайте заключим сделку". Его ведущим стал никто иной как Монти Холл, который подкидывал зрителям порой неразрешимые задачки. Одной из наиболее ярких стала та, которую он представил в 1975 году. Задача стала частью математической теории вероятности и парадоксов, которые укладываются в ее рамки. Стоит также отметить, что данное явление стало причиной сильных дискуссий и жесткой критики со стороны ученых. Парадокс Монти Холла был опубликован в журнале Parade в 1990 году, и с тех пор стал еще более обсуждаемым и спорным вопросом всех времен и народов. Ну а теперь переходим непосредственно к его формулировке и трактовке.

Формулировка проблемы

Существует множество трактовок данного парадокса, но мы решили представить вам классическую, которая была показана в самой программе. Итак, перед вами три двери. За одной из них находится автомобиль, за двумя другими по одной козе. Ведущий предлагает вам выбрать одну из дверей, и, допустим, вы останавливаетесь на номере 1. Пока что вы не знаете, что за этой самой первой дверью, так как вам открывают третью, и показывают, что за ней коза. Следовательно, вы пока что не проиграли, ведь вы не выбрали ту дверь, которая скрывает проигрышный вариант. Следовательно, ваши шансы на получение машины возрастают.

Но тут ведущий предлагает вам изменить решение. Перед вами уже две двери, за одной коза, за другой желанный приз. Именно в этом и заключается суть проблемы. Кажется, что какую бы дверь из двух вы ни выбрали, шансы будут 50 на 50. Но на самом деле, если вы поменяете решение, вероятность того, что вы победите, станет больше. Как так?

Первый выбор, который вы делаете в этой игре - случайный. Вы никак не можете даже отдаленно догадываться, за какой из трех дверей спрятан приз, поэтому рандомно указываете на первую попавшуюся. Ведущий же в свою очередь знает, где что находится. У него есть дверь с призом, дверь, на которую указали вы, и третья без приза, которую он вам и открывает в качестве первой подсказки. Вторая же подсказка кроется в самом его предложении сменить выбор.

Теперь вы уже будете выбирать не наугад одну из трех, а сможете даже изменить свое решение, чтобы получить желаемый приз. Именно предложение ведущего дает человеку веру в то, что автомобиль находится действительно не за той дверью, которую он выбрал, а за другой. В этом и заключается вся суть парадокса, так как, по сути, выбирать (хоть уже из двух, а не из трех) все равно приходится наугад, но шансы на победу возрастают. Как показывает статистика, из 30-ти игроков, которые поменяли свое решение, машину выиграли 18. А это 60%. А из тех же 30-ти человек, которые решение не изменили - всего 11, то есть 36%.

Трактовка в цифрах

Теперь дадим парадоксу Монти Холла более точное определение. Первый выбор игрока разбивает двери на две группы. Вероятность того, что приз расположен за дверью, которую вы выбрали, составляет 1/3, а за теми дверьми, что остались 2/3. Ведущий далее открывает одну из дверей второй группы. Таким образом он переносит всю оставшуюся вероятность, 2/3, на одну дверь, которую вы не выбрали и которую он не открывал. Логично, что после таких расчетов выгоднее будет сменить свое решение. Но при этом важно помнить, что шанс проиграть все-таки имеется. Порой ведущие лукавят, так как вы изначально можете ткнуть на правильную, призовую дверь, а после от нее добровольно отказаться.

Все мы привыкли к тому, что математика, как точная наука, идет рука об руку со здравым смыслом. Тут дело делают цифры, а не слова, точные формулы, а не туманные размышления, координаты, а не относительные данные. Но ее новый раздел под названием теория вероятностей взорвал весь привычный шаблон. Задачи из этой области, как нам кажется, не вкладываются в рамки здравого смысла и полностью противоречат всем формулам и вычислениям. Предлагаем ниже ознакомиться с другими парадоксами теории вероятности, которые имеют нечто общее с тем, который был описан выше.

Парадокс мальчика и девочки

Задачка, на первый взгляд, абсурдная, но она строго подчиняется математической формуле и имеет два варианта решения. Итак, у некого мужчины двое детей. Один из них наверняка мальчик. Какова вероятность того, что мальчиком окажется второй?

Вариант 1. Мы рассматриваем все комбинации двоих детей в семье:

• Девочка/девочка.
• Девочка/мальчик.
• Мальчик/девочка.
• Мальчик/мальчик.

Первая комбинации нам очевидно не подходит, поэтому, исходя из трех последних, мы получаем вероятность в 1/3 того, что вторым ребенком окажется маленький мужчина.

Вариант 2. Если же представить себе такой случай на практике, откинув дроби и формулы, то, исходя из того факта, что на Земле есть только два пола, вероятность того, что вторым ребенком будет мальчик, составляет 1/2.

Этот опыт показывает нам, как лихо можно манипулировать статистикой. Итак, "спящей красавице" вкалывают снотворное и кидают монетку. Если выпадает орел, то ее будят и эксперимент прекращается. Если же выпадает решка, то ее будят, сразу делая второй укол, и она забывает о том, что просыпалась, а после этого вновь пробуждают лишь на второй день. После полного пробуждения "красавице" неизвестно, в какой день она открыла глаза, или какова вероятность того, что монета упала решкой. По первому варианту решения вероятность выпадения решки (или орла) составляет 1/2. Суть второго варианта заключается в том, что, если проводить эксперимент 1000 раз, то в случае с орлом "красавицу" будут будить 500 раз, а с редкой - 1000. Теперь уже вероятность выпадения решки составляет 2/3.

Несчастны те люди, кто не умеет программировать хотя бы на уровне формул Excel! Например, им всегда будет казаться, что парадоксы теории вероятностей – это причуды математиков, неспособных понимать реальную жизнь. Между тем, теория вероятностей как раз-таки моделирует реальные процессы, в то время как человеческая мысль часто не может в полном объеме осознать происходящее.

Возьмем парадокс Монти Холла, приведу здесь его формулировку из русской Википедии:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями - козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

(при этом участнику игры заранее известны следующие правила:

1. автомобиль равновероятно размещён за любой из 3 дверей;
2. ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;
3. если у ведущего есть выбор, какую из 2 дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью)

Обычно рассказчики этого парадокса начинают пускаться в сложные рассуждения или заваливать читателя формулами. Но если вы хоть чуточку умеете программировать, вам это не нужно. Вы можете провести моделирующие эксперименты, и посмотреть, как часто вы выигрываете или проигрываете при той или иной стратегии.

Действительно, что такое вероятность? Когда говорят «при данной стратегии, вероятность выигрыша 1/3» – это означает, что если вы проведете 1000 экспериментов, то примерно в 333 из них вы выиграете. Т.е., по-другому, шансы «1 из 3» – это в буквальном случае один из трех экспериментов. «Вероятность 2/3» – это точно так же буквально в двух случаях из трех.

Так вот, проведем эксперимент Монти Холла. Один эксперимент легко укладывается в одну строчку Excel-таблицы: вот она (файл стоит скачать, чтобы видеть формулы), приведу здесь описание по столбцам:

A. Номер эксперимента (для удобства)

B. Генерируем целое случайное число от 1 до 3. Это будет дверь, за которой спрятан автомобиль

C-E. для наглядности я разместил в этих ячейках «коз» и «автомобили»

F. Теперь мы выбираем случайную дверь (на самом деле можно выбирать все время одну и ту же дверь, т.к. случайности в выборе двери для автомобиля уже достаточно для модели – проверьте!)

G. Ведущий теперь выбирает дверь из двух оставшихся, чтобы открыть ее вам

H. И вот тут самое главное: он не открывает дверь, за которой автомобиль, а в случае, если вы изначально показали на дверь с козой, открывает другую единственно возможную дверь с козой! В этом его подсказка для вас.

I. Ну что ж, теперь посчитаем шансы. Пока не будем менять дверь – т.е. посчитаем случаи, когда столбец B равен столбцу F. Пусть будет “1” – выиграли, и “0” – проиграли. Тогда сумма ячеек (ячейка I1003) – это количество выигрышей. Должно получиться число, близкое к 333 (всего мы делаем 1000 экспериментов). Действительно, нахождение автомобиля за каждой из трех дверей – это равновероятное событие, значит выбирая одну дверь, шанс угадать – один из трех.

J. Маловато будет! Поменяем наш выбор.

K. Аналогично: «1» – выигрыш, «0» – проигрыш. И что же в сумме? А в сумме получается число, равное 1000 минус число из ячейки I1003, т.е. близкое к 667. Вас это удивляет? А разве что-то другое могло получиться? Ведь других закрытых дверей больше нет! Если изначально выбранная дверь дает вам выигрыш в 333 случаях из 1000, то другая дверь должна давать выигрыш во всех оставшихся случаях!

Если вам понравился этот пост, попробуйте теперь построить аналогичный файл для парадокса мальчиков и девочек в следующей формулировке:

Мистер Смит отец двоих детей. Мы встретили его, прогуливающегося по улице с маленьким мальчиком, которого он с гордостью представил нам, как своего сына. Какова вероятность того, что другой ребёнок мистера Смита тоже мальчик?

Всем нам знакома ситуация, когда мы вместо трезвого расчета полагались на свою интуицию. Ведь нужно признать, что далеко не всегда можно все просчитать прежде чем сделать выбор. И как бы не лукавили люди, которые привыкли делать свой выбор только после тщательного анализа, им ни один раз это приходилось делать по принципу «наверное так». Одной из причин подобного действия может быть банальное отсутствие необходимого времени для оценки ситуации.

При этом выбор ждет сложившаяся ситуация прямо сейчас, и не позволяет уйти от ответа или действия. Но еще более каверзные ситуации для нас, которые в буквальном смысле вызывает судорогу мозга, - это разрушение уверенности в правильности выбора или в его вероятном превосходстве над иными вариантами, основанных на логических умозаключениях. На этом основаны все существующие парадоксы.

Парадокс в игре телешоу «Let’s Make a Deal»

Один из парадоксов, который вызывает жаркие споры среди любителей головоломок, называется парадоксом Монти Холла. Назван он в честь ведущего телешоу в США под названием «Let’s Make a Deal». На телешоу ведущий предлагает открыть одну из трех дверей, где в качестве приза находится автомобиль, в то время когда за другими двумя находятся по одной козе.

Участник игры делает свой выбор, но ведущий, зная где находится авто, открывает при этом не ту дверь, которую указал игрок, а другую, в которой находится коза и предлагает сменить первоначальный выбор игрока. Для дальнейшего разбора мы принимаем именно этот вариант поведения ведущего, хотя на самом деле он может периодически меняться. Другие варианты сценария развития мы просто перечислим ниже в статье.

В чем суть парадокса?

Еще раз по пунктам обозначим условия и изменим объекты игры для разнообразия на свои.

Участник игры находитесь в помещении с тремя банковскими ячейками. В одной из трех ячеек золотой слиток золота, в других двух по одной монете номиналом в 1 копейку СССР.

Итак, участник перед выбором и условия игры следующие:

1. Участник может выбрать лишь одну из трех ячеек.
2. Банкир знает изначально расположение слитка.
3. Банкир всегда открывает ячейку с монетой, отличную от выбора игрока, и предлагает поменять выбор игроку.
4. Игрок может в свою очередь поменять свой выбор или оставить первоначальный.

Что говорит интуиция?

Парадокс состоит в том, что для большинства людей, которые привыкли мыслить логически, шансы на выигрыш в случае смены своего первоначального выбора 50 на 50. Ведь, после того, как банкир открывает другую ячейку с монеткой, отличную от первоначального выбора игрока, остаются 2 ячейки, в одной из которых слиток золота, а в другой монетка. Игрок выигрывает слиток, если принимает предложение банкира сменить ячейку при условии, если в первоначально выбранной игроком ячейке не было слитка. И наоборот при данном условии - проигрывает, в случае если он откажется принять предложение.

Как подсказываем здравый смысл вероятность выбора слитка и выигрыша в таком случае 1/2. Но на самом деле ситуация иная! «Но как же так, здесь же все очевидно?» - спросите вы. Допустим вы выбрали ячейку № 1. Интуитивно да, неважно какой был у вас выбор первоначально, в конечном итоге у вас по факту перед выбором монета и слиток. И если изначально у вас была вероятность получения приза 1/3 , то в конечном итоге при открытии одной ячейки банкиром вы получаете вероятность 1/2. Казалось, вероятность увеличилась с 1/3 до 1/2. При внимательном разборе игры выясняется, что при смене решения вероятность увеличивается до 2/3 вместо интуитивных 1/2. Давайте рассмотрим за счет чего это происходит.

В отличие от интуитивного уровня, где наше сознание рассматривает событие после смены ячейки как нечто отдельное и забывает о первоначальном выборе, математика не разрывает эти два события, а наоборот сохраняет цепочку событий от начала до конца. Итак, как мы ранее и говорили, шансы на выигрыш при попадании сходу на слиток у нас 1/3, а вероятность, что мы выберем ячейку с монетой 2/3 (поскольку у нас есть один слиток и две монеты).

1. Выбираем изначально банковскую ячейку со слитком - вероятность 1/3.
   • Если игрок изменяет свой выбор, принимая предложение банкира, - он проигрывает.
   • Если игрок не изменяет выбор, не принимая предложение банкира, - он выигрывает.
2. Выбираем с первого раза банковскую ячейку с в монеткой - вероятность 2/3.
   • Если игрок поменяет свой выбор - выиграл.
   • Если игрок не изменяет выбор - проиграл.

Итак, для того, чтобы игрок ушел из банка со слитком золота в кармане, он должен выбрать изгначально проигрышную позицию с монеткой (вероятность 1/3), и после этого принять предложение банкира сменить ячейку.

Для того, чтобы понять данный парадокс и вырваться из оков шаблона первоначального выбора и оставшихся ячеек, давайте представим поведение игрока ровным счетом наоборот. Перед тем как банкир предложит ячейку для выбора, игрок мысленно точно определяется с тем, что он меняет свой выбор, и только после этого для него следует событие открытия лишней двери. Почему нет? Ведь открытая дверь не дает для него большей информации в такой логической последовательности. На первом этапе времени игрок разделяет ячейки на две разные области: первая - область с одной ячейкой с его первоначальным выбором, вторая с двумя оставшимися ячейками. Далее игроку предстоит сделать выбор между двумя областями. Вероятность достать из ячейки золотой слиток из первой области 1/3, из второй 2/3. Выбор следует за второй областью, в которой он может открыть две ячейки, первую откроет банкир, вторую он сам.

Существует еще более понятное объяснение парадокса Монти Холла. Для этого необходимо поменять формулировку задания. Банкир дает понять, что в одной из трех банковских ячеек находится золотой слиток. В первом случае он предлагает открыть одну из трех ячеек, а во втором - одновременно две. Что выберет игрок? Ну конечно сразу две, за счет повышения вероятности в два раза. И тот момент, когда банкир открыл ячейку с монеткой, это игроку на самом деле никак не помогает и не препятствует выбору, ведь банкир в любом случае покажет эту ячейку с монеткой, поэтому игрок может попросту игнорировать это действие. Со стороны игрока можно лишь только поблагодарить банкира за то, что он ему облегчил жизнь, и вместо двух ему пришлось открыть одну ячейку. Ну и окончательно можно избавится от синдрома парадокса если поставить себя на место банкира, который изначально знает, что игрок в двух из трех случаев указывает на неправильную дверь. Для банкира парадокс отсутствует как таковой, ведь он точно в такой инверсии событий уверен, что в случае смены событий игрок забирает золотой слиточек.

Парадокс Монти Холла явно не позволяет быть в выигрыше консерваторам, которые железобетонно стоят на своем первоначальном выборе и теряют свой шанс роста вероятности. Для консерваторов он так и останется 1/3. Для бдительных и рассудительных людей он вырастает до вышеуказанных 2/3.

Все приведенные утверждения актуальны лишь в соблюдении изначально оговоренных условий.

Что если увеличить количество ячеек?

Что если увеличить количество ячеек? Допустим вместо трех их будет 50. Золотой слиток будет лежать лишь только в одной ячейке, а в остальных 49 - монеты. Соответственно в отличии от классического случая вероятность попадания с ходу в цель 1/50 или 2% вместо 1/3, в то время как вероятность выбора ячейки с монетой составляет 98%. Далее ситуация развивается, как и в прежнем случае. Банкир предлагает открыть любую из 50 ячеек, участник выбирает. Допустим, игрок открывает ячейку под порядковым номеров 49. Банкир в свою очередь, как и в классическом варианте, не спешит выполнять желание игрока и открывает другие 48 ячеек с монетами и предлагает поменять свой выбор на оставшуюся под номером 50.

Здесь важно понимать, что банкир открывает именно 48 ячеек, а не 30, и оставляет при этом 2, включая выбранную игроком. Именно такой выбор позволяет парадоксу идти в разрез с интуицией. Как и в случае с классическим вариантом, открытие банкиром 48 ячеек оставляет только один единственный альтернативный вариант для выбора. Случай варианта меньшего открытия ячеек не позволяет поставить в один ряд задачу с классикой и ощутить парадокс.

Но раз уж мы и коснулись такого варианта, то давайте предположим, что банкир оставляет не одну, кроме выбранной игроком, а несколько ячеек. Представлено, как и прежде, 50 ячеек. Банкир после выбора игрока открывает только одну ячейку, оставляя при этом закрытыми 48 ячеек, включая выбранную игроком. Вероятность выбора слитка с первого раза 1/50. В сумме вероятность нахождения слитка в остальных ячейках 49/50, которая в свою очередь раскидывается не на 49, а на 48 ячеек. Не сложно посчитать, что вероятность нахождения слитка в таком варианте равна (49/50)/48=49/2900 . Вероятность пусть не на много, но все равно выше, чем 1/50 приблизительно на 1%.

Как мы и упоминали в самом начале ведущий Монти Холл в классическом сценарии игры с дверьми, козами и призовым авто может изменять условия игры и вместе с нем и вероятность выигрыша.

Математика парадокса

Могут ли математические формулы доказать увеличение вероятности при смене выбора?
Представим цепочку событий в виде множества, разделенного на две части, первую часть примем за X – это выбор на первом этапе ячейки сейфа игроком; и второе множество Y - оставшиеся две остальных ячейки. Вероятность (В) выигрыша для ячеек 2 и 3 можно выразить с помощью формул.

В(2) = 1/2 * 2/3 = 1/3
В(3) = 1/2 * 2/3= 1/3

Где 1/2 это вероятность, с которой банкир откроет ячейку 2 и 3 при условии, если игрок изначально выбрал ячейку без слитка.
Далее условная вероятность 1/2 при открытии банкиром ячейки с монетой изменяется на 1 и 0. Тогда формулы приобретают следующий вид:

В(2) = 0 * 2/3 = 0
B(3) = 1 * 2/3 = 1

Здесь мы наглядно видим, что вероятность выбора слитка в ячейке 3 - 2/3, а это чуть более 60 процентов.
Программист самого начального уровня может без труда проверить данный парадокс, написав программу, которая считает вероятность при смене выбора или наоборот и сверить результаты.

Объяснение парадокса в фильме 21 (Двадцать одно)

Наглядное разъяснение парадокса Монти Пола приводится в фильме «21» (Двадцать одно) , режиссера Роберта Лукетича. Профессор Микки Роса на лекции приводит пример из шоу Let’s Make a Deal и задает вопрос о распределении вероятности у студента Бена Кэмпбелла (актер и певец Джеймс Энтони), который дает правильный расклад и тем самым удивляет преподавателя.

Самостоятельное изучение парадокса

Для людей, которые хотят проверить результат самостоятельно на деле, но не имеющих математического базиса, мы предлагаем самостоятельно смоделировать игру, в которой вы будете ведущим, а кто-то будет игроком. Можете задействовать в этой игре детей, которые будут выбирать конфеты или фантики от них в заранее приготовленных картонных коробочках. При каждом выборе обязательно фиксируйте результат для дальнейшего подсчета.

Парадокс Монти Холла и Excel

• Математика

Несчастны те люди, кто не умеет программировать хотя бы на уровне формул Excel! Например, им всегда будет казаться, что парадоксы теории вероятностей – это причуды математиков, неспособных понимать реальную жизнь. Между тем, теория вероятностей как раз-таки моделирует реальные процессы, в то время как человеческая мысль часто не может в полном объеме осознать происходящее.

Возьмем парадокс Монти Холла, приведу здесь его формулировку из русской Википедии:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями - козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

(при этом участнику игры заранее известны следующие правила:

1. автомобиль равновероятно размещён за любой из 3 дверей;
2. ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;
3. если у ведущего есть выбор, какую из 2 дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью)

Обычно рассказчики этого парадокса начинают пускаться в сложные рассуждения или заваливать читателя формулами. Но если вы хоть чуточку умеете программировать, вам это не нужно. Вы можете провести моделирующие эксперименты, и посмотреть, как часто вы выигрываете или проигрываете при той или иной стратегии.

Действительно, что такое вероятность? Когда говорят «при данной стратегии, вероятность выигрыша 1/3» – это означает, что если вы проведете 1000 экспериментов, то примерно в 333 из них вы выиграете. Т.е., по-другому, шансы «1 из 3» – это в буквальном случае один из трех экспериментов. «Вероятность 2/3» – это точно так же буквально в двух случаях из трех.

Так вот, проведем эксперимент Монти Холла. Один эксперимент легко укладывается в одну строчку Excel-таблицы: вот она (файл стоит скачать, чтобы видеть формулы), приведу здесь описание по столбцам:

A. Номер эксперимента (для удобства)

B. Генерируем целое случайное число от 1 до 3. Это будет дверь, за которой спрятан автомобиль

C-E. для наглядности я разместил в этих ячейках «коз» и «автомобили»

F. Теперь мы выбираем случайную дверь (на самом деле можно выбирать все время одну и ту же дверь, т.к. случайности в выборе двери для автомобиля уже достаточно для модели – проверьте!)

G. Ведущий теперь выбирает дверь из двух оставшихся, чтобы открыть ее вам

H. И вот тут самое главное: он не открывает дверь, за которой автомобиль, а в случае, если вы изначально показали на дверь с козой, открывает другую единственно возможную дверь с козой! В этом его подсказка для вас.

I. Ну что ж, теперь посчитаем шансы. Пока не будем менять дверь – т.е. посчитаем случаи, когда столбец B равен столбцу F. Пусть будет “1” – выиграли, и “0” – проиграли. Тогда сумма ячеек (ячейка I1003) – это количество выигрышей. Должно получиться число, близкое к 333 (всего мы делаем 1000 экспериментов). Действительно, нахождение автомобиля за каждой из трех дверей – это равновероятное событие, значит выбирая одну дверь, шанс угадать – один из трех.

J. Маловато будет! Поменяем наш выбор.

K. Аналогично: «1» – выигрыш, «0» – проигрыш. И что же в сумме? А в сумме получается число, равное 1000 минус число из ячейки I1003, т.е. близкое к 667. Вас это удивляет? А разве что-то другое могло получиться? Ведь других закрытых дверей больше нет! Если изначально выбранная дверь дает вам выигрыш в 333 случаях из 1000, то другая дверь должна давать выигрыш во всех оставшихся случаях!

Если вам понравился этот пост, попробуйте теперь построить аналогичный файл для парадокса мальчиков и девочек в следующей формулировке:

Мистер Смит отец двоих детей. Мы встретили его, прогуливающегося по улице с маленьким мальчиком, которого он с гордостью представил нам, как своего сына. Какова вероятность того, что другой ребёнок мистера Смита тоже мальчик?