Dari rumus (6.22) – (6.25) dapat disimpulkan bahwa ketika sumbu berputar, momen inersia berubah, tetapi jumlah momen aksial tetap konstan.
Oleh karena itu, jika terhadap satu sumbu maka nilai momen inersianya adalah terbesar, maka relatif berbeda - Terkecil. Pada kasus ini momen sentrifugal relatif terhadap sumbu ini ternyata sama dengan nol.
Sumbu pusat utama disebut sumbu yang melalui pusat gravitasi dan momen sentrifugalnya sama dengan nol, dan momen aksial terhadap sumbu tersebut (sumbu) mempunyai sifat ekstrem dan disebut momen inersia sentral utama. Relatif terhadap satu sumbu utama, momen inersianya paling kecil arti – , relatif terhadap yang lain – yang terbesar.
Kami akan menunjukkan sumbu ini dengan huruf kamu Dan ay. Mari kita buktikan pernyataan di atas. Biarkan sumbunya X Dan kamu– sumbu tengah dari bagian asimetris (Gbr. 6.12).
Mari kita tentukan posisi sumbu utama dengan memutar sumbu pusat dengan sudut dimana momen sentrifugal menjadi sama dengan nol.
.
Kemudian dari rumus (6.25)
. (6.26)
Rumus (6.26) menentukan posisi sumbu utama, dimana sudut sumbu pusat harus diputar agar menjadi sumbu utama. Sudut negatif diplot searah jarum jam dari sumbu X.
Sekarang kita akan menunjukkan bahwa relatif terhadap sumbu utama, momen inersia aksial memiliki sifat ekstrem. Mari kita hitung turunan dari ekspresi tersebut (rumus 6.22) dan samakan dengan nol:
(6.27)
Membandingkan ekspresi (6.27) dengan (6.25) kita menetapkan bahwa
.
Oleh karena itu, turunannya hilang ketika , yang berarti bahwa nilai ekstrim mempunyai momen inersia terhadap sumbu utama kamu Dan ay. Kemudian menurut rumus (6.22) dan (6.23):
(6.28)
Dengan menggunakan rumus (6.28) kita menentukan momen inersia sentral utama.
Jika kita menjumlahkan rumus (6.28) suku demi suku, maka jelas, . Jika kita mengecualikan sudut dari rumus (6.28), kita memperoleh rumus yang lebih mudah untuk momen inersia sentral utama:
Tanda “+” sebelum suku kedua pada (6.29) mengacu pada , tanda “-” mengacu pada .
Penting untuk mengingat kasus-kasus khusus:
Jika angkanya punya dua sumbu simetri, maka sumbu ini adalah sumbu pusat utama.
2. Untuk angka reguler – segitiga sama sisi, persegi, lingkaran, dan lain-lain, yang mempunyai lebih dari dua sumbu simetri, semua sumbu pusat adalah yang utama, dan momen inersia relatif terhadap keduanya sama besarnya.
Kemampuan untuk menemukan posisi sumbu pusat utama dan menghitungnya diperlukan untuk menentukan bidang dengan kekakuan terbesar pada bagian tersebut(jejaknya bertepatan dengan sumbu) saat menghitung tekukan (Bab 7).
35. Tata cara umum penetapan pusat utama
Momen.
Biarlah itu diperlukan temukan posisi sumbu tengah utama dan hitung momen inersia relatif terhadapnya untuk penampang datar yang terdiri dari saluran dan strip (Gbr. 6.13):
Gambarlah sistem koordinat sembarang xOy.
Bagilah bagian tersebut menjadi gambar sederhana dan gunakan rumus (6.5) untuk menentukan posisi pusat gravitasi DENGAN.
Temukan momen inersia bangun datar relatif terhadap sumbu pusatnya menggunakan bermacam-macam atau rumus.
Melalui intinya DENGAN gambar sumbu tengahnya xc Dan kamu c sejajar dengan sumbu bangun datar.
Tentukan momen inersia bangun datar sederhana terhadap sumbu pusat penampang dengan menggunakan rumus translasi paralel (6.13).
Tentukan momen inersia sentral seluruh bagian sebagai jumlah momen-momen bersesuaian dari bangun-bangun sederhana yang ditemukan pada langkah 5.
Hitung sudut menggunakan rumus (6.26) dan putar sumbunya xc Dan kamu c pada suatu sudut, gambarkan sumbu utama kamu Dan ay.
Menggunakan rumus (6.29) hitung dan .
Memeriksa:
b) jika ;
36) Tata cara umum penentuan momen inersia sentral utama. Contoh:
1. Jika suatu bangun mempunyai dua sumbu simetri, maka sumbu-sumbu tersebut adalah GCO.
2. Untuk bangun datar beraturan (yang mempunyai lebih dari 2 sumbu), semua sumbu akan menjadi sumbu utama
3. Gambarlah sumbu bantu (X’ O’ Y’)
4. Kita bagi bagian ini menjadi gambar-gambar sederhana dan tunjukkan CO-nya.
5. Mencari posisi GCO menggunakan rumus (21)
6. Hitung nilai GCM menggunakan rumus (23)
Imaks + Imin = Ix + Iy
· Imax >Ix>Iy>Iminif Ix>Iy
Iuv = Ix-Iy/2 sin2a + Ixycos2a +0
Rumus 21:Tg2a = - 2Ixy/Ix - Iy
Rumus 23: Imaks, Imin = *
37) Membungkuk. Klasifikasi jenis pembengkokan. Tikungan lurus dan bersih. Gambar deformasi balok. Lapisan dan sumbu netral. Asumsi dasar.
Lentur adalah suatu deformasi yang terjadi momen lentur Mx pada penampang tersebut. Balok yang bekerja pada balok lentur
Jenis pembengkokan:
Pembengkokan murni terjadi apabila hanya terjadi momen lentur pada penampang tersebut
Lentur melintang - jika gaya transversal terjadi bersamaan dengan momen
Datar - semua beban terletak pada bidang yang sama
Spasial - jika semua beban terletak pada bidang memanjang yang berbeda
Langsung - jika bidang gaya bertepatan dengan salah satu sumbu inersia utama
Miring - jika bidang gaya tidak bertepatan dengan salah satu sumbu utama
Akibat deformasi pada daerah lentur murni, dapat dilihat:
Serat memanjang ditekuk sepanjang busur melingkar: ada yang memendek, ada yang memanjang; di antara mereka ada lapisan serat yang tidak berubah panjangnya - lapisan netral (n.s.), garis perpotongannya dengan bidang penampang disebut sumbu netral (n.a.)
Jarak antara serat memanjang tidak berubah
Penampangnya, meski tetap lurus, diputar melalui sudut tertentu
Asumsi:
1. Dengan menekan serat memanjang satu sama lain, mis. setiap serat berada dalam keadaan tarik atau tekan sederhana, yang disertai dengan munculnya tegangan normal Ϭ
2. Tentang validitas hipotesis Bernouli yaitu bagian balok yang rata dan tegak lurus terhadap sumbu sebelum mengalami deformasi tetap rata dan tegak lurus terhadap sumbunya setelah mengalami deformasi
as, yang momen inersia sentrifugalnya sama dengan nol disebut sumbu utama(kadang-kadang dipanggil sumbu utama inersia). Melalui titik mana pun yang diambil pada bidang penampang, dalam kasus umum, sepasang sumbu utama dapat ditarik (dalam beberapa kasus khusus jumlahnya bisa tak terhingga). Untuk memverifikasi validitas pernyataan ini, mari kita perhatikan bagaimana momen inersia sentrifugal berubah ketika sumbu diputar sebesar 90" (Gbr. b.7). Untuk luas sembarang dA, diambil pada kuadran pertama xOy sistem sumbu, kedua koordinat, dan oleh karena itu hasil kali keduanya positif. Dalam sistem koordinat baru x,Oy, diputar relatif terhadap aslinya sebesar 90", hasil kali koordinat lokasi yang dimaksud adalah negatif. Nilai mutlak hasil kali ini tidak berubah, yaitu xy = - x1y,. Jelas sekali , hal yang sama berlaku untuk situs dasar lainnya. Artinya tanda jumlah dAxy yang merupakan momen inersia sentrifugal penampang berubah menjadi kebalikannya jika sumbu diputar 90", yaitu J = = - J.
Selama rotasi sumbu, momen inersia sentrifugal berubah terus menerus, oleh karena itu, pada posisi sumbu tertentu menjadi sama dengan nol. Sumbu-sumbu ini adalah yang utama.
Meskipun kami telah menetapkan bahwa sumbu utama dapat ditarik melalui titik mana pun pada bagian tersebut, hanya sumbu yang melewati pusat gravitasi bagian tersebut yang menarik secara praktis - sumbu pusat utama. Berikut ini, sebagai aturan, untuk singkatnya, kami hanya akan menyebutkan nama mereka sumbu utama, menghilangkan kata "pusat".
Dalam kasus umum bagian-bagian yang bentuknya berubah-ubah, untuk menentukan posisi sumbu utama, perlu dilakukan studi khusus. Di sini kita akan membatasi diri untuk mempertimbangkan kasus-kasus khusus dari bagian yang memiliki setidaknya satu sumbu simetri (Gbr. 6.8).
Kami akan memandu Anda. pusat gravitasi bagian tersebut adalah sumbu Ox, tegak lurus terhadap sumbu simetri Oy, dan tentukan momen inersia sentrifugal J. Mari kita gunakan sifat integral tertentu yang diketahui dari mata kuliah matematika (integral suatu penjumlahan sama dengan jumlah integral) dan menyatakan J s dalam bentuk dua suku:
karena, untuk setiap luas dasar yang terletak di sebelah kanan sumbu simetri, terdapat luas yang bersesuaian di sebelah kiri, yang hasil kali koordinatnya hanya berbeda tandanya.
Jadi, momen inersia sentrifugal terhadap sumbu Sapi dan Oy ternyata sama dengan nol, yaitu ini sumbu utama. Jadi, untuk mencari sumbu utama suatu bagian yang simetris, cukup mencari posisi pusat gravitasinya. Salah satu sumbu pusat utama adalah sumbu simetri, sumbu kedua tegak lurus terhadapnya. Tentu saja pembuktian di atas tetap sah jika sumbu yang tegak lurus sumbu simetri tidak melalui pusat gravitasi bagian tersebut, yaitu. Sumbu simetri dan sumbu mana pun yang tegak lurus membentuk sistem sumbu utama.
Sumbu utama non-pusat, sebagaimana telah ditunjukkan, tidak menarik.
Momen inersia aksial terhadap sumbu pusat utama disebut sentral utama(atau singkatnya yang utama) momen inersia. Momen inersia maksimum terhadap salah satu sumbu utama dan minimum terhadap sumbu lainnya. Misalnya, untuk bagian yang ditunjukkan pada Gambar. 6.8, momen inersia maksimum J
(relatif terhadap sumbu Sapi). Tentu saja, ketika berbicara tentang ekstremitas momen inersia utama, yang kami maksud hanyalah perbandingannya dengan momen inersia lain yang dihitung relatif terhadap sumbu yang melaluinya. titik bagian yang sama. Jadi, fakta bahwa salah satu momen inersia utama adalah maksimum dan momen inersia lainnya minimum dapat dianggap sebagai penjelasan atas fakta bahwa momen-momen tersebut (dan sumbu-sumbu yang bersesuaian) disebut momen utama. Persamaan momen inersia sentrifugal terhadap sumbu utama dengan nol adalah tanda yang mudah untuk menemukannya. Beberapa jenis bagian, misalnya lingkaran, persegi, segi enam beraturan, dll. (Gbr. 6.9), memiliki sumbu pusat utama yang tak terhitung jumlahnya. Untuk bagian ini, poros tengah mana pun adalah poros utama.
Tanpa memberikan bukti, kami menunjukkan bahwa jika dua momen inersia pusat utama suatu bagian adalah sama, maka untuk bagian ini setiap sumbu pusat adalah yang utama dan semua momen inersia pusat utama adalah sama.
Dari rumus (6.29) - (6.31) terlihat bahwa ketika sumbu koordinat diputar, momen inersia sentrifugal berubah tanda, sehingga terdapat posisi sumbu yang momen sentrifugalnya sama dengan nol.
Sumbu yang momen inersia sentrifugalnya hilang disebut sumbu utama, dan sumbu utama yang melalui pusat gravitasi bagian tersebut disebut sumbu pusat utama inersia bagian tersebut.
Momen inersia terhadap sumbu utama inersia suatu penampang disebut momen inersia utama penampang tersebut dan dilambangkan dengan SAYA 1 Dan SAYA 2 Dan SAYA 1 > SAYA 2 . Biasanya yang dimaksud dengan momen utama adalah momen inersia aksial terhadap sumbu pusat utama inersia.
Mari kita asumsikan bahwa sumbu kamu Dan ay yang utama. Kemudian
|
|
.Persamaan (6.32) menentukan posisi sumbu inersia utama suatu penampang pada suatu titik tertentu relatif terhadap sumbu koordinat aslinya. Saat memutar sumbu koordinat, momen inersia aksial juga berubah. Mari kita cari posisi sumbu relatif terhadap momen inersia aksial yang mencapai nilai ekstrim. Untuk melakukan ini, kita ambil turunan pertama dari SAYAkamu Oleh α dan atur sama dengan nol:
.
Kondisi tersebut membawa akibat yang sama dIay/Dα . Membandingkan ekspresi terakhir dengan rumus (6.32), kita sampai pada kesimpulan bahwa sumbu inersia utama adalah sumbu di mana momen aksial inersia penampang mencapai nilai ekstrim.
Untuk menyederhanakan perhitungan momen inersia utama, rumus (6.29) - (6.31) diubah, tidak termasuk fungsi trigonometri menggunakan relasi (6.32):
|
|
.Tanda plus di depan radikal berarti lebih besar SAYA 1 , dan tanda minusnya lebih kecil SAYA 2 dari momen inersia bagian tersebut.
Mari kita tunjukkan satu sifat penting dari penampang di mana momen inersia aksial relatif terhadap sumbu utama adalah sama. Mari kita asumsikan bahwa sumbu kamu Dan z utama ( SAYAyz=0), dan SAYAkamu=SAYAz. Kemudian, menurut persamaan (6.29) - (6.31), untuk sembarang sudut rotasi sumbu α momen inersia sentrifugal SAYAsinar UV=0, dan aksial SAYAkamu= SAYAay.
Jadi, jika momen inersia suatu penampang terhadap sumbu utama adalah sama, maka semua sumbu yang melalui titik yang sama pada penampang tersebut adalah sumbu utama dan momen inersia aksial terhadap semua sumbu tersebut adalah sama: SAYAkamu= SAYAay= SAYAkamu= SAYAz. Sifat ini dimiliki misalnya pada bagian persegi, bulat, dan melingkar.
Rumus (6.33) mirip dengan rumus (3.25) untuk tegangan utama. Oleh karena itu, momen inersia utama dapat ditentukan secara grafis dengan metode Mohr.
Rumus (31.5), (32.5) dan (34.5) memungkinkan kita untuk menetapkan bagaimana nilai momen inersia suatu penampang berubah ketika sumbu diputar dengan sudut sembarang a. Untuk beberapa nilai sudut a, nilai momen inersia aksial mencapai maksimum dan minimum. Nilai ekstrim (maksimum dan minimum) momen aksial inersia suatu penampang disebut momen inersia utama. Sumbu yang momen inersia aksialnya mempunyai nilai ekstrem disebut sumbu inersia utama.
Dari rumus (33.5) dapat disimpulkan bahwa jika momen inersia aksial terhadap sumbu tertentu adalah maksimum (yaitu sumbu ini adalah sumbu utama), maka momen inersia aksial terhadap sumbu yang tegak lurus terhadapnya adalah minimal (yaitu, sumbu ini juga yang utama), sehingga jumlah momen inersia aksial terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus tidak bergantung pada sudut a.
Jadi, sumbu inersia utama saling tegak lurus.
Untuk mencari momen inersia utama dan posisi sumbu utama inersia, kita tentukan turunan pertama sudut a dari momen inersia [lihat. rumus (31.5) dan Gambar. 19.5]:
Kami menyamakan hasil ini dengan nol:
dimana adalah sudut rotasi sumbu koordinat y agar berimpit dengan sumbu utama.
Membandingkan ekspresi (35.5) dan (34.5), kami menetapkan bahwa
Akibatnya, relatif terhadap sumbu inersia utama, momen inersia sentrifugal adalah nol. Oleh karena itu, sumbu inersia utama dapat disebut sumbu yang momen inersia sentrifugalnya sama dengan nol.
Sebagaimana telah diketahui, momen inersia sentrifugal suatu penampang terhadap sumbu-sumbu yang salah satu atau kedua-duanya berimpit dengan sumbu simetri adalah nol.
Oleh karena itu, sumbu-sumbu yang saling tegak lurus, salah satu atau keduanya berimpit dengan sumbu simetri bagian tersebut, selalu merupakan sumbu inersia utama. Aturan ini memungkinkan dalam banyak kasus untuk secara langsung (tanpa perhitungan) menetapkan posisi sumbu utama.
Mari kita selesaikan persamaan (35.5) terhadap sudut
Dalam setiap kasus tertentu, persamaan (36.5) dipenuhi oleh sejumlah nilai, dan salah satu dari nilai tersebut dipilih. Jika positif, maka untuk menentukan posisi salah satu sumbu inersia utama darinya, sumbu tersebut harus diputar berlawanan arah jarum jam, dan jika negatif, maka diputar searah jarum jam; sumbu inersia utama lainnya tegak lurus terhadap sumbu inersia pertama. Salah satu sumbu inersia utama adalah sumbu maksimum (relatif terhadapnya, momen inersia aksial bagian tersebut maksimum), dan yang lainnya adalah sumbu minimum (relatif terhadapnya, momen inersia aksial bagian tersebut adalah minimum ).
Sumbu maksimum selalu membentuk sudut yang lebih kecil dengan sumbu (y atau ), yang relatif terhadap momen inersia aksial yang mempunyai nilai lebih besar. Keadaan ini memudahkan untuk menentukan sumbu inersia utama mana yang merupakan sumbu maksimum dan mana yang merupakan sumbu minimum. Jadi, misalnya, jika sumbu inersia utama dan dan v terletak, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 20.5, maka sumbunya adalah sumbu maksimum (karena sudutnya lebih kecil pada sumbu y dibandingkan dengan sumbu), dan sumbu v adalah sumbu minimum.
Saat menyelesaikan masalah numerik tertentu untuk menentukan momen inersia utama, Anda dapat mengganti nilai sudut yang dipilih dan nilainya ke dalam rumus (31.5) atau (32.5).
Mari kita selesaikan masalah ini secara umum. Menggunakan rumus dari trigonometri, menggunakan ekspresi (36.5), kita temukan
Mengganti ekspresi ini ke dalam rumus (31.5), setelah transformasi sederhana kita memperoleh
Sumbu inersia utama dapat ditarik melalui titik mana pun pada bidang penampang. Namun, hanya sumbu utama yang melewati pusat gravitasi bagian tersebut, yaitu inersia pusat utama, yang memiliki kepentingan praktis untuk perhitungan elemen struktur. Momen inersia relatif terhadap sumbu-sumbu ini (momen inersia sentral utama) selanjutnya akan dilambangkan sebagai
Mari kita pertimbangkan beberapa kasus khusus.
1. Jika maka rumus (34.5) memberikan nilai momen inersia sentrifugal terhadap setiap pasangan sumbu yang saling tegak lurus sama dengan nol, dan oleh karena itu, setiap sumbu yang diperoleh dengan memutar sistem koordinat adalah sumbu inersia utama (juga sebagai sumbu). Pada kasus ini
2. Untuk bangun datar yang mempunyai lebih dari dua sumbu simetri, momen inersia aksial terhadap semua sumbu pusat adalah sama. Memang, mari kita arahkan salah satu sumbu () sepanjang salah satu sumbu simetri, dan sumbu lainnya tegak lurus terhadapnya. Untuk sumbu-sumbu ini Jika suatu bangun mempunyai lebih dari dua sumbu simetri, maka salah satu sumbu tersebut membentuk sudut lancip dengan sumbu tersebut. Mari kita nyatakan sumbu tersebut dan sumbu yang tegak lurus terhadapnya
Momen inersia sentrifugal karena sumbunya adalah sumbu simetri. Menurut rumus (34.5).
Tugas 5.3.1: Untuk penampang, momen aksial inersia penampang relatif terhadap sumbu diketahui x1, y1, x2: , . Momen inersia aksial terhadap sumbu kamu2 setara...
1) 1000cm4; 2) 2000cm4; 3) 2500cm4; 4) 3000cm4.
Larutan: Jawaban yang benar adalah 3). Jumlah momen inersia aksial suatu penampang terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus ketika sumbu-sumbu tersebut diputar membentuk sudut tertentu tetap konstan, yaitu
Setelah mengganti nilai yang diberikan, kita mendapatkan:
Tugas 5.3.2: Dari sumbu pusat yang ditunjukkan pada bagian sudut yang sama besar, yang utama adalah...
1) x3; 2) segalanya; 3) x1; 4) x2.
Larutan: Jawaban yang benar adalah 4). Untuk penampang simetris, sumbu simetri merupakan sumbu inersia utama.
Tugas 5.3.3: Sumbu inersia utama...
- 1) hanya dapat ditarik melalui titik-titik yang terletak pada sumbu simetri;
- 2) hanya dapat ditarik melalui pusat gravitasi suatu bangun datar;
- 3) ini adalah sumbu-sumbu yang momen inersia suatu bangun datar sama dengan nol;
- 4) dapat ditarik melalui titik mana pun pada bangun datar.
Larutan: Jawaban yang benar adalah 4). Gambar tersebut menunjukkan gambar datar yang berubah-ubah. Melalui intinya DENGAN dua sumbu yang saling tegak lurus ditarik kamu Dan V.
Dalam perjalanan kekuatan bahan dibuktikan bahwa jika sumbu-sumbu tersebut diputar, maka posisinya dapat ditentukan dimana momen inersia sentrifugal daerah tersebut menjadi nol, dan momen inersia terhadap sumbu-sumbu tersebut mengambil nilai ekstrim. Sumbu seperti ini disebut sumbu utama.
Tugas 5.3.4: Dari sumbu pusat yang ditunjukkan, sumbu bagian utama adalah...
1) segalanya; 2) x1 Dan x3; 3) x2 Dan x3; 4)x2 Dan x4.
Larutan: Jawaban yang benar adalah 1). Untuk penampang simetris, sumbu simetri merupakan sumbu inersia utama.
Tugas 5.3.5: Sumbu yang momen inersia sentrifugalnya nol dan momen aksialnya bernilai ekstrim disebut...
- 1) sumbu pusat; 2) sumbu simetri;
- 3) sumbu pusat utama; 4) sumbu utama.
Larutan: Jawaban yang benar adalah 4). Ketika sumbu koordinat diputar dengan sudut b, momen inersia penampang berubah.
Biarkan momen inersia penampang relatif terhadap sumbu koordinat diberikan X, kamu. Kemudian momen inersia penampang pada sistem sumbu koordinat kamu, ay, diputar pada sudut tertentu relatif terhadap sumbu X, kamu, adalah sama
Pada nilai sudut tertentu, momen inersia sentrifugal penampang menjadi nol, dan momen inersia aksial mengambil nilai ekstrim. Sumbu-sumbu ini disebut sumbu utama.
Tugas 5.3.6: Momen inersia suatu penampang terhadap sumbu pusat utama xC setara...
1); 2) ; 3) ; 4) .
Larutan: Jawaban yang benar adalah 2)
Untuk menghitungnya kita menggunakan rumus
