Bahasa inggris: Wikipedia membuat situsnya lebih aman. Anda menggunakan browser web lama yang tidak dapat terhubung ke Wikipedia di masa mendatang. Harap perbarui perangkat Anda atau hubungi administrator TI Anda.

中文: The以下提供更长,更具技术性的更新（仅英语）。

Orang Spanyol: Wikipedia memiliki situs yang lebih aman. Kami menggunakan browser web yang tidak dapat terhubung ke Wikipedia di masa depan. Perbarui perangkat Anda atau hubungi administrator Anda untuk informasinya. Lebih banyak lagi pembaruan yang lebih besar dan lebih teknis dalam bahasa Inggris.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Perancis: Wikipédia akan meningkatkan keamanan situsnya. Anda saat ini menggunakan navigasi web lama, yang tidak dapat Anda lakukan dan sambungkan ke Wikipédia jika itu benar. Terima kasih atas pengiriman informasi perangkat atau kontak administrator Anda pada saat itu. Informasi tambahan plus teknik dan bahasa Inggris tersedia di sini.

日本語: ? ??? Itu adalah hal yang sangat penting.

Jerman: Wikipedia adalah Sicherheit der Webseite. Anda mendapatkan banyak sekali Webbrowser, yang pada dasarnya tidak ada di Wikipedia dengan kata lain. Anda dapat memperbarui Gerät atau Sprich Deinen IT-Administrator dan. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in enlischer Sprache.

Italia: Wikipedia menampilkan situs yang lebih aman. Tetap gunakan browser web yang tidak akan Anda gunakan di tingkat koneksi Wikipedia di masa depan. Silakan, tambahkan perangkat Anda atau hubungi administrator informasi Anda. Più in basso è disponibile unaggiornamento più dettagliato and tecnico in inglese.

Magyar: Biztonságosabb lesz di Wikipédia. Dan, dengan cara yang sama, tidak ada kapasitas dan kapasitas yang besar. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problem and rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipedia akan membahasnya lebih lanjut. Anda mengunjungi web lama yang tidak ingin Anda gunakan di Wikipedia dan framtiden. Perbarui data Anda atau hubungi administrator TI Anda. Ada yang panjang dan teknis yang dijelaskan dalam bahasa yang panjang.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Kami menghapus dukungan untuk versi protokol TLS yang tidak aman, khususnya TLSv1.0 dan TLSv1.1, yang diandalkan oleh perangkat lunak browser Anda untuk terhubung ke situs kami. Hal ini biasanya disebabkan oleh browser yang ketinggalan jaman, atau smartphone Android yang lebih lama. Atau bisa juga gangguan dari perangkat lunak "Keamanan Web" perusahaan atau pribadi, yang justru menurunkan keamanan koneksi.

Anda harus meningkatkan versi browser web Anda atau memperbaiki masalah ini untuk mengakses situs kami. Pesan ini akan tetap ada hingga 1 Januari 2020. Setelah tanggal tersebut, browser Anda tidak akan dapat membuat koneksi ke server kami.

Dalam pelajaran ini kita akan melihat dua operasi lagi dengan vektor: produk vektor dari vektor Dan produk campuran vektor (link langsung bagi yang membutuhkan). Tidak apa-apa, terkadang hal itu terjadi untuk kebahagiaan total produk skalar vektor, semakin banyak yang dibutuhkan. Ini adalah kecanduan vektor. Tampaknya kita memasuki hutan geometri analitik. Ini salah. Pada bagian matematika tingkat tinggi ini umumnya hanya terdapat sedikit kayu, kecuali mungkin cukup untuk Pinokio. Faktanya, materinya sangat umum dan sederhana - hampir tidak lebih rumit dari materi yang sama produk skalar, tugas-tugas tipikal bahkan akan lebih sedikit. Hal utama dalam geometri analitik, seperti yang diyakini atau sudah diyakini banyak orang, adalah JANGAN MEMBUAT KESALAHAN DALAM PERHITUNGAN. Ulangi seperti mantra dan Anda akan bahagia =)

Jika vektor bersinar di suatu tempat yang jauh, seperti kilat di cakrawala, tidak masalah, mulailah dengan pelajaran Vektor untuk boneka untuk memulihkan atau memperoleh kembali pengetahuan dasar tentang vektor. Pembaca yang lebih siap dapat mengenal informasi secara selektif; Saya mencoba mengumpulkan kumpulan contoh terlengkap yang sering ditemukan dalam kerja praktek

Apa yang akan membuatmu bahagia saat itu juga? Ketika saya masih kecil, saya bisa menyulap dua atau bahkan tiga bola. Itu berhasil dengan baik. Sekarang Anda tidak perlu melakukan juggling sama sekali, karena kami akan mempertimbangkannya hanya vektor spasial, dan vektor datar dengan dua koordinat akan diabaikan. Mengapa? Beginilah cara tindakan ini lahir - vektor dan produk campuran vektor didefinisikan dan bekerja dalam ruang tiga dimensi. Ini sudah lebih mudah!

Operasi ini, seperti halnya perkalian skalar, melibatkan dua vektor. Biarlah ini menjadi surat-surat yang tidak dapat binasa.

Tindakan itu sendiri dilambangkan dengan dengan cara berikut: . Ada pilihan lain, tapi saya terbiasa menyatakan perkalian vektor dari vektor dengan cara ini, dalam tanda kurung siku dengan tanda silang.

Dan segera pertanyaan: jika di produk skalar vektor dua vektor terlibat, dan di sini dua vektor juga dikalikan Apa bedanya? Perbedaan yang jelas, pertama-tama, terletak pada HASILnya:

Hasil perkalian skalar vektor adalah NOMOR:

Hasil perkalian silang vektor adalah VEKTOR: , yaitu kita mengalikan vektor-vektornya dan mendapatkan sebuah vektor lagi. Klub tertutup. Sebenarnya dari sinilah nama operasi tersebut berasal. Dalam literatur pendidikan yang berbeda, sebutannya juga bisa berbeda-beda, saya akan menggunakan surat itu.

Definisi perkalian silang

Pertama akan ada definisi dengan gambar, lalu komentar.

Definisi: Produk vektor non-kolinear vektor, diambil dalam urutan ini, disebut VEKTOR, panjang yang secara numerik sama dengan luas jajaran genjang, dibangun di atas vektor-vektor ini; vektor ortogonal terhadap vektor, dan diarahkan agar landasan mempunyai orientasi yang benar:

Mari kita uraikan definisinya, ada banyak hal menarik di sini!

Jadi, poin-poin penting berikut dapat disoroti:

1) Vektor asli, ditunjukkan dengan panah merah, menurut definisi tidak kolinear. Kasus vektor collinear akan lebih tepat untuk dibahas nanti.

2) Vektor diambil dalam urutan yang ditentukan secara ketat: – "a" dikalikan dengan "menjadi", bukan "menjadi" dengan "a". Hasil perkalian vektor adalah VECTOR, yang ditandai dengan warna biru. Jika vektor-vektor dikalikan dalam urutan terbalik, kita memperoleh vektor yang sama panjang dan berlawanan arah (warna raspberry). Artinya, kesetaraan itu benar .

3) Sekarang mari kita mengenal arti geometri perkalian vektor. Ini adalah poin yang sangat penting! PANJANG vektor biru (dan, oleh karena itu, vektor merah tua) secara numerik sama dengan AREA jajar genjang yang dibangun di atas vektor tersebut. Pada gambar, jajaran genjang ini diberi warna hitam.

Catatan : gambarnya skematis, dan tentu saja panjang nominal hasil kali vektor tidak sama dengan luas jajaran genjang.

Mari kita mengingat kembali salah satu rumus geometri: Luas jajar genjang sama dengan hasil kali sisi-sisi yang berdekatan dan sinus sudut di antara keduanya. Oleh karena itu, berdasarkan hal di atas, rumus menghitung PANJANG suatu produk vektor adalah valid:

Saya tekankan bahwa rumusnya adalah tentang PANJANG vektor, dan bukan tentang vektor itu sendiri. Apa arti praktisnya? Dan artinya dalam soal geometri analitik, luas jajar genjang sering ditemukan melalui konsep perkalian vektor:

Mari kita dapatkan rumus penting kedua. Diagonal jajar genjang (garis putus-putus merah) membaginya menjadi dua segitiga sama besar. Oleh karena itu, luas segitiga yang dibangun di atas vektor (arsir merah) dapat dicari dengan menggunakan rumus:

4) Fakta yang sama pentingnya adalah bahwa vektor tersebut ortogonal terhadap vektor, yaitu . Tentu saja, vektor yang arahnya berlawanan (panah raspberry) juga ortogonal terhadap vektor aslinya.

5) Vektor diarahkan sedemikian rupa dasar Memiliki Kanan orientasi. Dalam pelajaran tentang transisi ke dasar yang baru Saya berbicara dengan cukup detail tentang orientasi bidang, dan sekarang kita akan mengetahui apa itu orientasi ruang. Saya akan menjelaskannya dengan jari Anda tangan kanan. Gabungkan secara mental jari telunjuk dengan vektor dan jari tengah dengan vektor. Jari manis dan kelingking tekan ke telapak tangan Anda. Sebagai akibat ibu jari– produk vektor akan terlihat. Ini adalah basis yang berorientasi ke kanan (yang ini ada pada gambar). Sekarang ubah vektornya ( telunjuk dan jari tengah) di beberapa tempat, akibatnya ibu jari akan berputar, dan hasil kali vektor sudah terlihat ke bawah. Ini juga merupakan dasar yang berorientasi ke kanan. Anda mungkin mempunyai pertanyaan: basis manakah yang memiliki orientasi kiri? “Tetapkan” ke jari yang sama tangan kiri vektor, dan dapatkan basis kiri dan orientasi ruang kiri (dalam hal ini, ibu jari akan ditempatkan pada arah vektor bawah). Secara kiasan, pangkalan-pangkalan ini “memutar” atau mengarahkan ruang ke arah yang berbeda. Dan konsep ini tidak boleh dianggap sesuatu yang dibuat-buat atau abstrak - misalnya, orientasi ruang diubah oleh cermin paling biasa, dan jika Anda "menarik objek yang dipantulkan keluar dari kaca", maka secara umum itu adalah tidak akan mungkin untuk menggabungkannya dengan "asli". Ngomong-ngomong, dekatkan tiga jari ke cermin dan analisis pantulannya ;-)

...betapa bagusnya hal yang sekarang Anda ketahui berorientasi kanan dan kiri dasar, karena pernyataan beberapa dosen tentang perubahan orientasi itu menakutkan =)

Produk silang dari vektor-vektor collinear

Definisinya sudah dibahas secara detail, masih harus dicari tahu apa yang terjadi jika vektor-vektornya segaris. Jika vektor-vektornya segaris, maka vektor-vektor tersebut dapat ditempatkan pada satu garis lurus dan jajar genjang kita juga “melipat” menjadi satu garis lurus. Area seperti itu, seperti yang dikatakan para ahli matematika, merosot jajaran genjang sama dengan nol. Hal yang sama mengikuti rumus - sinus nol atau 180 derajat sama dengan nol, yang berarti luasnya nol

Jadi, jika , maka Dan . Perlu diketahui bahwa hasil kali vektor itu sendiri sama dengan vektor nol, namun dalam praktiknya hal ini sering diabaikan dan ditulis juga sama dengan nol.

Kasus khusus adalah perkalian silang suatu vektor dengan dirinya sendiri:

Dengan menggunakan perkalian vektor, Anda dapat memeriksa kolinearitas vektor tiga dimensi, dan kami juga akan menganalisis masalah ini, antara lain.

Untuk memecahkan contoh-contoh praktis yang mungkin Anda perlukan tabel trigonometri untuk menemukan nilai sinus darinya.

Baiklah, mari kita nyalakan apinya:

Contoh 1

a) Tentukan panjang hasil kali vektor vektor-vektor jika

b) Tentukan luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor jika

Larutan: Bukan, ini bukan salah ketik, saya sengaja membuat data awal pada klausa sama. Karena desain solusinya akan berbeda!

a) Sesuai dengan kondisi yang perlu dicari panjang vektor (perkalian silang). Menurut rumus yang sesuai:

Menjawab:

Jika Anda ditanya tentang panjang, maka dalam jawabannya kami menunjukkan dimensi - satuan.

b) Sesuai dengan kondisi yang perlu dicari persegi jajaran genjang dibangun di atas vektor. Luas jajaran genjang ini secara numerik sama dengan panjang hasil kali vektor:

Menjawab:

Harap dicatat bahwa jawabannya tidak berbicara tentang perkalian vektor sama sekali; kami ditanya tentangnya luas gambar, oleh karena itu, dimensinya adalah satuan persegi.

Kami selalu melihat APA yang perlu kami temukan sesuai kondisi, dan berdasarkan itu kami merumuskannya jernih menjawab. Ini mungkin tampak seperti literalisme, tetapi ada banyak guru yang literalis, dan tugas tersebut memiliki peluang besar untuk dikembalikan untuk direvisi. Meskipun ini bukanlah sebuah argumen yang dibuat-buat - jika jawabannya salah, maka akan ada kesan bahwa orang tersebut tidak memahami hal-hal sederhana dan/atau belum memahami esensi tugas. Poin ini harus selalu dikendalikan ketika memecahkan masalah apa pun dalam matematika tingkat tinggi, dan juga dalam mata pelajaran lain.

Kemana perginya huruf besar “en”? Pada prinsipnya, ini bisa saja dilampirkan pada solusi, tetapi untuk mempersingkat entri, saya tidak melakukan ini. Saya harap semua orang memahami hal itu dan merupakan sebutan untuk hal yang sama.

Contoh populer untuk solusi DIY:

Contoh 2

Temukan luas segitiga yang dibangun di atas vektor jika

Rumus untuk mencari luas segitiga melalui perkalian vektor diberikan dalam komentar definisi. Solusi dan jawabannya ada di akhir pelajaran.

Dalam praktiknya, tugas ini sangat umum; segitiga umumnya dapat menyiksa Anda.

Untuk memecahkan masalah lain kita memerlukan:

Sifat-sifat hasil kali vektor dari vektor

Kami telah mempertimbangkan beberapa properti produk vektor, namun saya akan memasukkannya ke dalam daftar ini.

Untuk vektor sembarang dan bilangan sembarang, sifat-sifat berikut ini benar:

1) Dalam sumber informasi lain, item ini biasanya tidak disorot dalam propertinya, tetapi sangat penting dalam istilah praktis. Jadi biarkan saja.

2) – properti juga dibahas di atas, kadang-kadang disebut antikomutatif. Dengan kata lain, urutan vektor itu penting.

3) – asosiatif atau asosiatif hukum produk vektor. Konstanta dapat dengan mudah dipindahkan ke luar perkalian vektor. Sebenarnya, apa yang harus mereka lakukan di sana?

4) – distribusi atau distributif hukum produk vektor. Buka bracketnya juga tidak ada masalah.

Untuk mendemonstrasikannya, mari kita lihat contoh singkat:

Contoh 3

Temukan jika

Larutan: Kondisi tersebut sekali lagi mengharuskan mencari panjang hasil kali vektor. Mari kita melukis miniatur kita:

(1) Menurut hukum asosiatif, kita mengambil konstanta di luar lingkup perkalian vektor.

(2) Kita memindahkan konstanta ke luar modul, dan modul “memakan” tanda minus. Panjangnya tidak boleh negatif.

(3) Selebihnya jelas.

Menjawab:

Saatnya menambahkan lebih banyak kayu ke dalam api:

Contoh 4

Hitung luas segitiga yang dibangun di atas vektor jika

Larutan: Mencari luas segitiga menggunakan rumus . Tangkapannya adalah bahwa vektor “tse” dan “de” disajikan sebagai jumlah dari vektor. Algoritme di sini standar dan agak mengingatkan pada contoh No. 3 dan 4 dari pelajaran Produk titik dari vektor. Untuk lebih jelasnya, kami akan membagi solusinya menjadi tiga tahap:

1) Pada langkah pertama, kita menyatakan perkalian vektor melalui perkalian vektor, pada kenyataannya, mari kita nyatakan suatu vektor dalam bentuk vektor. Belum ada kabar mengenai panjangnya!

(1) Substitusikan ekspresi vektor-vektor tersebut.

(2) Dengan menggunakan hukum distributif, kita membuka tanda kurung menurut aturan perkalian polinomial.

(3) Dengan menggunakan hukum asosiatif, kita memindahkan semua konstanta melampaui hasil kali vektor. Dengan sedikit pengalaman, langkah 2 dan 3 dapat dilakukan secara bersamaan.

(4) Suku pertama dan suku terakhir sama dengan nol (vektor nol) karena sifat bagus. Pada suku kedua kita menggunakan sifat antikomutatif suatu produk vektor:

(5) Kami menyajikan istilah serupa.

Hasilnya, vektor tersebut ternyata dinyatakan dalam vektor, yang ingin dicapai:

2) Pada langkah kedua, kita mencari panjang hasil kali vektor yang kita butuhkan. Tindakan ini mirip dengan Contoh 3:

3) Temukan luas segitiga yang diinginkan:

Tahapan 2-3 solusinya bisa saja ditulis dalam satu baris.

Menjawab:

Masalah yang dipertimbangkan cukup umum dalam pengujian, berikut adalah contoh penyelesaiannya sendiri:

Contoh 5

Temukan jika

Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran. Mari kita lihat seberapa perhatian Anda saat mempelajari contoh sebelumnya ;-)

Produk silang vektor dalam koordinat

Rumusnya sangat sederhana: di baris atas determinan kita tulis vektor koordinatnya, di baris kedua dan ketiga kita “letakkan” koordinat vektornya, dan kita masukkan dalam urutan yang ketat– pertama koordinat vektor “ve”, kemudian koordinat vektor “double-ve”. Jika vektor perlu dikalikan dalam urutan yang berbeda, maka barisnya harus ditukar:

Contoh 10

Periksa apakah vektor-vektor ruang berikut ini segaris:
A)
B)

Larutan: Pemeriksaannya didasarkan pada salah satu pernyataan dalam pelajaran ini: jika vektor-vektornya segaris, maka hasil kali vektornya sama dengan nol (vektor nol): .

a) Temukan produk vektor:

Jadi, vektor-vektornya tidak segaris.

b) Temukan produk vektor:

Menjawab: a) tidak segaris, b)

Ini mungkin semua informasi dasar tentang perkalian vektor dari vektor.

Bagian ini tidak akan terlalu besar, karena hanya ada sedikit soal yang menggunakan perkalian campuran vektor. Faktanya, semuanya akan bergantung pada definisi, makna geometris, dan beberapa rumus kerja.

Hasil kali campuran vektor adalah hasil kali tiga buah vektor:

Jadi mereka berbaris seperti kereta api dan tidak sabar untuk diidentifikasi.

Pertama, sekali lagi, definisi dan gambarannya:

Definisi: Pekerjaan campuran non-koplanar vektor, diambil dalam urutan ini, ditelepon volume paralelepiped, dibangun di atas vektor-vektor tersebut, dilengkapi dengan tanda “+” jika basisnya di kanan, dan tanda “–” jika basisnya di kiri.

Mari kita menggambar. Garis yang tidak terlihat oleh kita digambar dengan garis putus-putus:

Mari selami definisinya:

2) Vektor diambil dalam urutan tertentu, yaitu penataan ulang vektor-vektor dalam produk, seperti yang Anda duga, bukannya terjadi tanpa konsekuensi.

3) Sebelum mengomentari makna geometris, saya akan mencatat fakta yang jelas: hasil kali campuran vektor adalah ANGKA: . Dalam literatur pendidikan, desainnya mungkin sedikit berbeda, saya biasa menyatakan hasil perkalian campuran dengan , dan hasil perhitungan dengan huruf “pe”.

A-priori produk campuran adalah volume parallelepiped, dibangun di atas vektor (gambar digambar dengan vektor merah dan garis hitam). Artinya, jumlahnya sama dengan volume suatu parallelepiped tertentu.

Catatan : Gambarnya skematis.

4) Jangan khawatir lagi mengenai konsep orientasi dasar dan ruang. Arti dari bagian terakhir adalah dapat ditambahkan tanda minus pada volume. Dengan kata sederhana, produk campuran bisa menjadi negatif: .

Langsung dari definisi berikut rumus untuk menghitung volume paralelepiped yang dibangun di atas vektor.

Sebelum memberikan konsep perkalian vektor, mari kita beralih ke pertanyaan tentang orientasi rangkap tiga vektor a →, b →, c → dalam ruang tiga dimensi.

Pertama, mari kita sisihkan vektor a → , b → , c → dari satu titik. Orientasi tripel a → , b → , c → bisa ke kanan atau ke kiri, bergantung pada arah vektor c → itu sendiri. Tipe tripel a → , b → , c → ditentukan dari arah putaran terpendek dari vektor a → ke b → dari ujung vektor c → .

Jika putaran terpendek dilakukan berlawanan arah jarum jam, maka tripel vektor a → , b → , c → disebut Kanan, jika searah jarum jam – kiri.

Selanjutnya, ambil dua vektor non-kolinear a → dan b →. Mari kita plot vektor A B → = a → dan AC → = b → dari titik A. Mari kita buat sebuah vektor A D → = c →, yang tegak lurus terhadap A B → dan A C →. Jadi, ketika membangun vektor itu sendiri A D → = c →, kita dapat melakukan dua hal, memberikannya satu arah atau sebaliknya (lihat ilustrasi).

Tripel vektor yang terurut a → , b → , c →, seperti yang telah kita ketahui, dapat berada di kanan atau kiri bergantung pada arah vektornya.

Dari penjelasan di atas kita dapat mengenalkan definisi perkalian vektor. Definisi ini diberikan untuk dua vektor yang didefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang dalam ruang tiga dimensi.

Definisi 1

Hasil kali vektor dua vektor a → dan b → kita akan menyebut vektor yang didefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi sedemikian rupa sehingga:

• jika vektor a → dan b → segaris, maka vektornya nol;
• itu akan tegak lurus terhadap vektor a → ​​​​ dan vektor b → yaitu. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• panjangnya ditentukan dengan rumus: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• rangkap tiga vektor a → , b → , c → mempunyai orientasi yang sama dengan sistem koordinat yang diberikan.

Hasil kali vektor dari vektor a → dan b → mempunyai notasi sebagai berikut: a → × b →.

Koordinat hasil kali vektor

Karena setiap vektor mempunyai koordinat tertentu dalam sistem koordinatnya, kita dapat memperkenalkan definisi kedua dari perkalian vektor, yang memungkinkan kita mencari koordinatnya menggunakan koordinat vektor yang diberikan.

Definisi 2

Dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi hasil kali vektor dua vektor a → = (a x ; a y ; a z) dan b → = (b x ; b y ; b z) disebut vektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , dimana i → , j → , k → adalah vektor koordinat.

Hasil kali vektor dapat direpresentasikan sebagai determinan matriks persegi orde ketiga, dimana baris pertama berisi vektor vektor i → , j → , k → , baris kedua berisi koordinat vektor a → , dan baris ketiga berisi koordinat vektor b → dalam sistem koordinat persegi panjang tertentu, determinan matriksnya seperti ini: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Memperluas determinan ini ke dalam elemen baris pertama, kita memperoleh persamaan: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Sifat-sifat produk silang

Diketahui hasil kali vektor dalam koordinat direpresentasikan sebagai determinan matriks c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , maka atas dasar sifat-sifat determinan matriks berikut ini ditampilkan sifat-sifat produk vektor:

1. antikomutatif a → × b → = - b → × a → ;
2. distributivitas a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → atau a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. asosiatifitas λ a → × b → = λ a → × b → atau a → × (λ b →) = λ a → × b →, dengan λ adalah bilangan real sembarang.

Properti ini memiliki bukti sederhana.

Sebagai contoh, kita dapat membuktikan sifat antikomutatif suatu perkalian vektor.

Bukti antikomutatif

Berdasarkan definisi, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z dan b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Dan jika kedua garis matriks tersebut disusun kembali di beberapa tempat, maka nilai determinan matriks tersebut harus berubah menjadi sebaliknya, maka a → → × b → J → K → K → A X A Y A Z B X B Y B Z = - I → K → B Y B Yb Z A X A Y A Z = - B → × A →, yang membuktikan bahwa hasil kali vektor bersifat antikomutatif.

Produk vektor - contoh dan solusi

Dalam kebanyakan kasus, ada tiga jenis masalah.

Dalam soal tipe pertama, panjang dua vektor dan sudut di antara keduanya biasanya diberikan, dan Anda perlu mencari panjang hasil kali vektor. Dalam hal ini, gunakan rumus berikut c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Contoh 1

Tentukan panjang hasil kali vektor dari vektor a → dan b → jika diketahui a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Larutan

Dengan menentukan panjang hasil kali vektor dari vektor a → dan b →, kita selesaikan soal berikut: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Menjawab: 15 2 2 .

Soal tipe kedua mempunyai hubungan dengan koordinat vektor, di dalamnya hasil kali vektor, panjangnya, dll. dicari melalui koordinat yang diketahui dari vektor tertentu a → = (ax; ay; az) Dan b → = (b x ; b y ; b z) .

Untuk jenis masalah ini, Anda dapat menyelesaikan banyak pilihan tugas. Misalnya, koordinat vektor a → dan b → tidak dapat ditentukan, tetapi perluasannya menjadi vektor koordinat berbentuk b → = b x · saya → + b y · j → + b z · k → dan c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, atau vektor a → dan b → dapat ditentukan dengan koordinat awalnya dan titik akhir.

Perhatikan contoh berikut.

Contoh 2

Dalam sistem koordinat persegi panjang, diberikan dua vektor: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Temukan produk silangnya.

Larutan

Berdasarkan definisi kedua, kita mencari hasil kali vektor dua vektor dalam koordinat tertentu: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (az · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Jika kita menuliskan hasil kali vektor melalui determinan matriks, maka penyelesaian contoh ini terlihat seperti ini: a → × b → = i → j → k → a x a y az b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 saya → - 2 j → - 2 k → .

Menjawab: a → × b → = - 2 saya → - 2 j → - 2 k → .

Contoh 3

Tentukan panjang hasil kali vektor dari vektor i → - j → dan i → + j → + k →, dengan i →, j →, k → adalah vektor satuan dari sistem koordinat kartesius persegi panjang.

Larutan

Pertama, cari koordinat hasil kali vektor i → - j → × i → + j → + k → dalam sistem koordinat persegi panjang tertentu.

Diketahui vektor i → - j → dan i → + j → + k → berturut-turut mempunyai koordinat (1; - 1; 0) dan (1; 1; 1). Mari kita cari panjang hasil kali vektor menggunakan determinan matriks, maka kita mempunyai i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Oleh karena itu, hasil kali vektor i → - j → × i → + j → + k → memiliki koordinat (- 1 ; - 1 ; 2) pada sistem koordinat yang diberikan.

Kita mencari panjang hasil kali vektor menggunakan rumus (lihat bagian mencari panjang vektor): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Menjawab: saya → - j → × saya → + j → + k → = 6 . .

Contoh 4

Dalam sistem koordinat kartesius persegi panjang, diberikan koordinat tiga titik A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Temukan beberapa vektor yang tegak lurus A B → dan A C → secara bersamaan.

Larutan

Vektor A B → dan A C → masing-masing mempunyai koordinat sebagai berikut (- 1 ; 2 ; 2) dan (0 ; 4 ; 1). Setelah menemukan hasil kali vektor dari vektor A B → dan A C →, jelaslah bahwa vektor tersebut menurut definisi adalah vektor tegak lurus terhadap A B → dan A C →, yaitu solusi untuk masalah kita. Mari kita cari A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Menjawab: - 6 saya → + j → - 4 k → . - salah satu vektor tegak lurus.

Masalah tipe ketiga difokuskan pada penggunaan sifat-sifat perkalian vektor dari vektor. Setelah menerapkannya, kita akan mendapatkan solusi untuk masalah yang diberikan.

Contoh 5

Vektor a → dan b → tegak lurus dan panjangnya masing-masing 3 dan 4. Tentukan panjang hasil kali vektor 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Larutan

Berdasarkan sifat distributif suatu perkalian vektor, kita dapat menuliskan 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Berdasarkan sifat asosiatif, kita mengambil koefisien numerik dari tanda perkalian vektor pada ekspresi terakhir: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Hasil kali vektor a → × a → dan b → × b → sama dengan 0, karena a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 dan b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, lalu 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Dari antikomutatifitas perkalian vektor diperoleh - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Dengan menggunakan sifat-sifat hasil kali vektor, kita memperoleh persamaan 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Dengan syarat, vektor a → dan b → tegak lurus, yaitu sudut antara keduanya sama dengan π 2. Sekarang yang tersisa hanyalah mengganti nilai yang ditemukan ke dalam rumus yang sesuai: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Menjawab: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Panjang hasil kali vektor vektor menurut definisi sama dengan a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Karena telah diketahui (dari pelajaran sekolah) bahwa luas suatu segitiga sama dengan setengah hasil kali panjang kedua sisinya dikalikan sinus sudut antara sisi-sisi tersebut. Oleh karena itu, panjang hasil kali vektor sama dengan luas jajar genjang - segitiga berlipat ganda, yaitu hasil kali sisi-sisinya yang berbentuk vektor a → dan b →, diletakkan dari satu titik, dengan sinus dari sudut antara keduanya sin ∠ a →, b →.

Inilah arti geometris dari perkalian vektor.

Arti fisik dari produk vektor

Dalam mekanika, salah satu cabang fisika, berkat perkalian vektor, Anda dapat menentukan momen suatu gaya relatif terhadap suatu titik dalam ruang.

Definisi 3

Berdasarkan momen gaya F → yang diterapkan pada titik B, relatif terhadap titik A, kita akan memahami hasil kali vektor berikut A B → × F →.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Sudut antar vektor

Untuk memperkenalkan konsep perkalian vektor dua vektor, pertama-tama kita harus memahami konsep sudut antara vektor-vektor tersebut.

Mari kita diberikan dua vektor $\overline(α)$ dan $\overline(β)$. Mari kita ambil titik $O$ di ruang angkasa dan plot vektor $\overline(α)=\overline(OA)$ dan $\overline(β)=\overline(OB)$ dari titik tersebut, lalu sudut $AOB$ akan disebut sudut antara vektor-vektor ini (Gbr. 1).

Notasi: $∠(\overline(α),\overline(β))$

Konsep perkalian vektor vektor dan rumus mencarinya

Definisi 1

Hasil kali vektor dua vektor adalah vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor tersebut, dan panjangnya akan sama dengan hasil kali panjang vektor-vektor tersebut dengan sinus sudut antara vektor-vektor tersebut, dan juga vektor ini dengan dua vektor awal mempunyai orientasi yang sama dengan sistem koordinat kartesius.

Notasi: $\overline(α)х\overline(β)$.

Secara matematis terlihat seperti ini:

1. $|\overline(α)х\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)х\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)х\overline(β)⊥\overline(β)$
3. $(\overline(α)х\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ dan $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ adalah berorientasi sama (Gbr. 2)

Jelasnya, hasil kali luar vektor-vektor akan sama dengan vektor nol dalam dua kasus:

1. Jika panjang salah satu atau kedua vektor sama dengan nol.
2. Jika sudut antara vektor-vektor ini sama dengan $180^\circ$ atau $0^\circ$ (karena dalam hal ini sinusnya nol).

Untuk melihat dengan jelas bagaimana perkalian vektor dari vektor-vektor ditemukan, perhatikan contoh penyelesaian berikut.

Contoh 1

Carilah panjang vektor $\overline(δ)$ yang merupakan hasil perkalian vektor dari vektor-vektor tersebut, dengan koordinat $\overline(α)=(0,4,0)$ dan $\overline(β) =(3,0,0 )$.

Larutan.

Mari kita gambarkan vektor-vektor ini dalam ruang koordinat Cartesian (Gbr. 3):

Gambar 3. Vektor dalam ruang koordinat kartesius. Author24 - pertukaran karya siswa secara online

Kita melihat bahwa vektor-vektor ini masing-masing terletak pada sumbu $Ox$ dan $Oy$. Oleh karena itu, sudut antara keduanya adalah $90^\circ$. Mari kita cari panjang vektor-vektor ini:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Kemudian, berdasarkan Definisi 1, kita memperoleh modul $|\overline(δ)|$

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Jawaban: $12$.

Menghitung perkalian silang dari koordinat vektor

Definisi 1 secara langsung menyiratkan suatu metode untuk mencari perkalian vektor untuk dua vektor. Karena suatu vektor selain nilainya juga mempunyai arah, maka tidak mungkin menemukannya hanya dengan menggunakan besaran skalar. Namun selain itu, ada juga cara untuk mencari vektor yang diberikan kepada kita dengan menggunakan koordinat.

Mari kita diberikan vektor $\overline(α)$ dan $\overline(β)$, yang masing-masing memiliki koordinat $(α_1,α_2,α_3)$ dan $(β_1,β_2,β_3)$. Maka vektor perkalian silang (yaitu koordinatnya) dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut:

$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

Jika tidak, dengan memperluas determinannya, kita memperoleh koordinat berikut

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Contoh 2

Tentukan vektor hasil kali vektor vektor-vektor collinear $\overline(α)$ dan $\overline(β)$ dengan koordinat $(0,3,3)$ dan $(-1,2,6)$.

Larutan.

Mari kita gunakan rumus yang diberikan di atas. Kita mendapatkan

$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k )=(12,-3,3)$

Jawaban: $(12,-3,3)$.

Sifat-sifat hasil kali vektor dari vektor

Untuk campuran tiga vektor $\overline(α)$, $\overline(β)$ dan $\overline(γ)$, serta $r∈R$, sifat-sifat berikut berlaku:

Contoh 3

Mencari luas jajar genjang yang titik sudutnya mempunyai koordinat $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ dan $(3,8,0) $.

Larutan.

Pertama, mari kita gambarkan jajaran genjang ini dalam ruang koordinat (Gbr. 5):

Gambar 5. Jajar genjang pada ruang koordinat. Author24 - pertukaran karya siswa secara online

Kita melihat bahwa kedua sisi jajar genjang ini dibuat menggunakan vektor-vektor segaris dengan koordinat $\overline(α)=(3,0,0)$ dan $\overline(β)=(0,8,0)$. Dengan menggunakan properti keempat, kita mendapatkan:

$S=|\overline(α)х\overline(β)|$

Mari kita cari vektor $\overline(α)х\overline(β)$:

$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

Karena itu

$S=|\overline(α)х\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$

Definisi. Hasil kali vektor dari vektor a (perkalian) dan vektor non-kolinier (perkalian) adalah vektor ketiga c (perkalian), yang dibangun sebagai berikut:

1) modulnya secara numerik sama dengan luas jajaran genjang pada Gambar. 155), dibangun di atas vektor, yaitu sama dengan arah tegak lurus bidang jajar genjang tersebut;

3) dalam hal ini, arah vektor c dipilih (dari dua kemungkinan) sehingga vektor c membentuk sistem tangan kanan (§ 110).

Sebutan: atau

Selain definisi. Jika vektor-vektornya kolinear, maka mengingat gambar tersebut (dengan syarat) merupakan jajar genjang, maka wajar jika luasnya nol. Oleh karena itu, hasil kali vektor dari vektor-vektor yang segaris dianggap sama dengan vektor nol.

Karena vektor nol dapat diberikan ke arah mana pun, perjanjian ini tidak bertentangan dengan paragraf 2 dan 3 definisi.

Catatan 1. Dalam istilah “perkalian vektor” kata pertama menunjukkan bahwa hasil suatu tindakan adalah suatu vektor (berlawanan dengan perkalian skalar; lih. § 104, keterangan 1).

Contoh 1. Temukan hasil kali vektor yang merupakan vektor-vektor utama dari sistem koordinat siku-siku (Gbr. 156).

1. Karena panjang vektor-vektor utama sama dengan satu satuan skala, maka luas jajar genjang (persegi) secara numerik sama dengan satu. Artinya modulus perkalian vektor sama dengan satu.

2. Karena garis tegak lurus bidang adalah sumbu, maka hasil kali vektor yang diinginkan adalah vektor yang kolinear dengan vektor k; dan karena keduanya memiliki modulus 1, hasil kali vektor yang diinginkan sama dengan k atau -k.

3. Dari dua kemungkinan vektor ini, yang pertama harus dipilih, karena vektor k membentuk sistem bertangan kanan (dan vektor-vektor bertangan kiri).

Contoh 2. Temukan perkalian silang

Larutan. Seperti pada contoh 1, kita menyimpulkan bahwa vektornya sama dengan k atau -k. Namun sekarang kita perlu memilih -k, karena vektor-vektornya membentuk sistem kidal (dan vektor-vektornya membentuk sistem kidal). Jadi,

Contoh 3. Vektor masing-masing mempunyai panjang 80 dan 50 cm dan membentuk sudut 30°. Dengan menggunakan meter sebagai satuan panjang, tentukan panjang hasil kali vektor a

Larutan. Luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor sama dengan Panjang hasil kali vektor yang diinginkan sama dengan

Contoh 4. Tentukan panjang hasil kali vektor dari vektor-vektor yang sama, dengan menggunakan sentimeter sebagai satuan panjang.

Larutan. Karena luas jajar genjang yang dibangun pada vektor-vektor adalah sama, maka panjang hasil kali vektornya adalah 2000 cm, yaitu.

Dari perbandingan contoh 3 dan 4 jelas bahwa panjang vektor tidak hanya bergantung pada panjang faktornya tetapi juga pada pilihan satuan panjang.

Arti fisik dari produk vektor. Dari sekian banyak besaran fisis yang diwakili oleh hasil kali vektor, kita hanya akan mempertimbangkan momen gaya.

Misalkan A adalah titik penerapan gaya. Momen gaya terhadap titik O disebut perkalian vektor. Karena modulus perkalian vektor ini secara numerik sama dengan luas jajar genjang (Gbr. 157), maka modulus momen sama dengan hasil kali alas dan tinggi, yaitu gaya dikalikan jarak dari titik O ke garis lurus yang dilalui gaya tersebut.

Dalam mekanika, terbukti bahwa agar suatu benda tegar berada dalam kesetimbangan, tidak hanya jumlah vektor yang menyatakan gaya-gaya yang diterapkan pada benda tersebut harus sama dengan nol, tetapi juga jumlah momen gaya-gaya tersebut. Dalam kasus dimana semua gaya sejajar pada satu bidang, penjumlahan vektor yang menyatakan momen dapat diganti dengan penjumlahan dan pengurangan besarnya. Tetapi dengan arah kekuatan yang sewenang-wenang, penggantian seperti itu tidak mungkin dilakukan. Sesuai dengan ini, perkalian vektor didefinisikan secara tepat sebagai vektor, dan bukan sebagai bilangan.