7.1. 外積の定義

3 つの非同一平面上にあるベクトル a、b、c は、示された順序で取られ、3 番目のベクトル c の終端から、最初のベクトル a から 2 番目のベクトル b までの最短の回転が見られる場合、右手系の三つ組を形成します。反時計回り、時計回りの場合は左手の 3 連符になります (図 16 を参照)。

ベクトル a とベクトル b のベクトル積はベクトル c と呼ばれ、次のようになります。

1. ベクトル a および b に垂直、つまり c ^ a および c ^ b ;

2. ベクトル a とベクトル上に構築された平行四辺形の面積に数値的に等しい長さを持ちます。b側面のように（図 17 を参照）、つまり

3. ベクトル a、b、c は右手トリプルを形成します。

外積は a x b または [a,b] で表されます。 単位ベクトル i 間の次の関係は、ベクトル積の定義から直接得られます。 jそして k(図 18 を参照):

i x j = k、j x k = i、k x i = j。
たとえば、次のことを証明してみましょう i xj =k。

1) k ^ i, k ^ j ;

2) |k |=1 ですが | i×j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) ベクトル i、j、および k右トリプルを形成します (図 16 を参照)。

7.2. 外積の性質

1. 因数を並べ替えると、ベクトル積の符号が変わります。 xb =(b xa) (図 19 を参照)。

ベクトル a xb と b xa は同一直線上にあり、同じモジュールを持ちます (平行四辺形の面積は変化しません) が、反対方向を向いています (トリプル a、b、a xb および a、b、b x a は反対向きです)。 あれは アクサ = -(bxa).

2. ベクトル積には、スカラー係数に関する結合特性があります。つまり、l (a xb) = (l a) x b = a x (lb) です。

l >0 とします。 ベクトル l (a xb) はベクトル a および b に垂直です。 ベクトル ( 私斧 bはベクトル a にも垂直であり、 b(ベクトル a, 私ただし、同じ平面上にあります）。 これは、ベクトルが 私(xb) と ( 私斧 b共線的。 両者の方向が一致していることは明らかです。 それらは同じ長さです:

それが理由です 私(a xb)= 私 xb。 についても同様の方法で証明されます 私<0.

3. 2 つの非ゼロベクトル a と bそれらのベクトル積がゼロ ベクトルに等しい場合に限り、共線的になります。つまり、 ||b<=>そして、ｘｂ＝０である。

特に、 i *i =j *j =k *k =0 です。

4. ベクトル積には分布特性があります。

(a+b) xc = a xc + b xs.

証明無しでも受け付けます。

7.3. 外積を座標で表現する

ベクトル i の外積表を使用します。 jそしてk:

最初のベクトルから 2 番目のベクトルへの最短経路の方向が矢印の方向と一致する場合、その積は 3 番目のベクトルと等しくなります。一致しない場合、3 番目のベクトルにはマイナス符号が付けられます。

2 つのベクトル a =a x i +a y が与えられるとします。 j+a z kそして b =b x 私+by j+b z k。 これらのベクトルを多項式として乗算して、これらのベクトルのベクトル積を求めてみましょう (ベクトル積の特性に従って)。

結果の式はさらに簡潔に書くことができます。

等式 (7.1) の右辺は、最初の行の要素に関する 3 次行列式の展開に対応するため、等式 (7.2) は覚えやすいです。

7.4. 外積のいくつかの応用

ベクトルの共線性の確立

平行四辺形と三角形の面積を求める

ベクトルのベクトル積の定義によると あそしてb |a xb | =|a | * |b |sing、つまり S ペア = |a x b |。 したがって、DS = 1/2|a x b |。

点の周りの力モーメントの決定

点Aに力を加えてみます F =AB放っておいて について- 空間内のどこかの点 (図 20 を参照)。

物理学から知られているのは、 力の瞬間 F 点に対して についてベクトルと呼ばれる Mさん点を通過するもの についてそして：

1) 点を通る平面に垂直 O、A、B;

2) 数値的にはアームあたりの力の積に等しい

3) ベクトル OA と A B で右トリプルを形成します。

したがって、M = OA x F となります。

直線回転速度を求める

スピード v角速度で回転する剛体の点 M w固定軸の周りの角度は、オイラーの公式 v =w xr (r =OM、O は軸の固定点) によって決定されます (図 21 を参照)。

このレッスンでは、ベクトルを使用したさらに 2 つの演算を見ていきます。 ベクトルのベクトル積そして ベクトルの混合積 (必要な方はすぐにリンクを貼ってください)。 大丈夫、時々、完全な幸福のために、それに加えて、 ベクトルのスカラー積、ますます必要になります。 これはベクトル依存症です。 私たちは解析幾何学のジャングルに入り込んでいるように見えるかもしれません。 これは間違っています。 高等数学のこのセクションでは、おそらくピノキオには十分な木を除いて、一般に木がほとんどありません。 実際、この材料は非常に一般的でシンプルであり、同じものよりも複雑なものはほとんどありません。 スカラー積、典型的なタスクはさらに少なくなります。 多くの人が確信している、またはすでに確信しているように、解析幾何学で最も重要なことは、計算で間違いを犯さないことです。 呪文のように繰り返せば幸せになれます =)

ベクトルがどこか遠くで輝いていても、地平線上の稲妻のように、問題ではない、レッスンから始めてください ダミー用のベクトルベクターに関する基本的な知識を回復または再取得します。 より準備ができている読者は、情報を選択して知ることができます。実際の仕事でよく見られる例の最も完全なコレクションを集めようとしました。

あなたをすぐに幸せにしてくれるものは何ですか？ 幼い頃は、ボールを 2 つ、あるいは 3 つジャグリングすることもできました。 うまくいきました。 これからは、次のことを考慮するので、ジャグリングする必要はまったくありません。 空間ベクトルのみ、2 つの座標を持つ平面ベクトルは除外されます。 なぜ？ これがこれらのアクションが生まれた方法です。ベクトルとベクトルの混合積が定義され、3 次元空間で動作します。 もう簡単になりました！

この演算には、スカラー積と同様に、以下が含まれます。 2つのベクトル。 これらを朽ちない手紙にしましょう。

アクション自体が で示される次の方法で: 。 他にもオプションがありますが、私はベクトルのベクトル積を角括弧と十字で表すこの方法に慣れています。

そしてすぐに 質問: の場合 ベクトルのスカラー積 2 つのベクトルが関係しており、ここでも 2 つのベクトルが乗算されます。 違いはなんですか? 明らかな違いは、まず結果にあります。

ベクトルのスカラー積の結果は NUMBER です。

ベクトルの外積の結果は VECTOR です: つまり、ベクトルを乗算してベクトルを再度取得します。 閉店したクラブ。 実はこれが作戦名の由来です。 教育文献によっては、呼び方も異なる場合がありますので、ここではその文字を使用します。

外積の定義

最初に画像付きの定義があり、次にコメントが表示されます。

意味: ベクトル積 非共線的ベクトル、 この順番で撮ったベクトルと呼ばれる、 長さそれは数値的には 平行四辺形の面積に等しい、これらのベクトルに基づいて構築されます。 ベクター ベクトルに直交、基底が正しい方向になるように指示されます。

定義を少しずつ分析してみましょう。ここには興味深いことがたくさんあります。

したがって、次の重要な点が強調表示されます。

1) 定義により、赤い矢印で示された元のベクトル 同一線上にない。 共線ベクトルの場合については、少し後で検討するのが適切でしょう。

2) ベクトルが取得されます 厳密に定義された順序で: – 「a」に「be」を掛けます、「a」の「be」ではありません。 ベクトル乗算の結果は VECTOR で、青色で示されます。 ベクトルを逆の順序で乗算すると、長さが等しく方向が逆のベクトル (ラズベリー色) が得られます。 つまり平等が成り立つ .

3) 次に、ベクトル積の幾何学的意味を理解しましょう。 これはとても重要なポイントです！ 青いベクトル (したがって、深紅色のベクトル) の長さは、ベクトル上に構築された平行四辺形の面積と数値的に等しくなります。 図では、この平行四辺形が黒く網掛けされています。

注記 : 図面は概略図であり、当然のことながら、ベクトル積の公称長さは、平行四辺形の面積と等しくありません。

幾何学的公式の 1 つを思い出してみましょう。 平行四辺形の面積は、隣接する辺とそれらの間の角度の正弦の積に等しい。 したがって、上記に基づいて、ベクトル積の LENGTH を計算する式は有効です。

この式はベクトルの長さに関するものであり、ベクトル自体に関するものではないことを強調します。 実用的な意味は何でしょうか？ そして、その意味は、解析幾何学の問題では、ベクトル積の概念を通じて平行四辺形の面積がしばしば見つかるということです。

2 番目の重要な公式を取得しましょう。 平行四辺形の対角線 (赤い点線) は、それを 2 つの等しい三角形に分割します。 したがって、ベクトル（赤い陰影）に基づいて構築された三角形の面積は、次の式を使用して求めることができます。

4) 同様に重要な事実は、ベクトルがベクトルに直交しているということです。 。 もちろん、逆向きのベクトル (ラズベリーの矢印) も元のベクトルと直交します。

5) ベクトルは次のように方向付けられます。 基礎それは持っています 右オリエンテーション。 についてのレッスンでは、 新しい基盤への移行について十分に詳しく話しました 面方位、そして今度は空間方向とは何かを理解します。 あなたの指で説明します 右手。 精神的に組み合わせる 人差し指ベクトルと 中指ベクトル付き。 薬指と小指手のひらに押し込みます。 結果として 親指– ベクトル積が検索されます。 これは右向きの基本です（図ではこれです）。 ここでベクトルを変更します ( 人差し指と中指）いくつかの場所で、その結果、親指が向きを変え、ベクトル積はすでに下を向いています。 これも右指向の根拠です。 「左向きの基底はどれですか?」という質問があるかもしれません。 同じ指に「割り当てる」 左手ベクトルを取得し、空間の左基底と左方向を取得します。 (この場合、親指は下のベクトルの方向に配置されます)。 比喩的に言えば、これらのベースは空間を「ねじる」、つまり空間を異なる方向に向けます。 そして、この概念は、突飛な、または抽象的なものと考えるべきではありません。たとえば、空間の方向は最も普通の鏡によって変更され、「鏡から反射した物体を引き出す」場合、一般的な場合、それは変化します。 「オリジナル」と組み合わせることはできません。 ちなみに、3 本の指を鏡にかざして、反射を分析してください ;-)

...今知ったことは、なんと素晴らしいことでしょう。 右向きと左向き根拠は、方向性の変更についての一部の講師の発言が恐ろしいからです =)

共線ベクトルの外積

定義については詳細に説明しましたが、ベクトルが同一線上にある場合に何が起こるかを調べることはまだ残っています。 ベクトルが同一線上にある場合、ベクトルを 1 つの直線上に配置することができ、平行四辺形も 1 つの直線に「折り畳まれます」。 数学者が言うように、そのような領域は、 退化する平行四辺形はゼロに等しい。 式からも同じことがわかります。ゼロまたは 180 度のサインはゼロに等しく、これは面積がゼロであることを意味します。

したがって、 の場合、 。 厳密に言えば、ベクトル積自体はゼロベクトルに等しいのですが、実際にはこれは無視されることが多く、単純にゼロに等しいと書かれています。

特殊なケースは、ベクトルとそれ自体の外積です。

ベクトル積を使用すると、3 次元ベクトルの共線性を確認できます。この問題などについても解析します。

実際の例を解決するには、必要になる可能性があります 三角関数表そこからサインの値を見つけます。

さて、火をつけてみましょう。

例1

a) 次の場合、ベクトルのベクトル積の長さを求めます。

b) 次の場合、ベクトルに基づいて構築された平行四辺形の面積を求めます。

解決: いいえ、これはタイプミスではありません。文節の最初のデータを意図的に同じにしました。 なぜなら、ソリューションの設計が異なるからです。

a) 条件に従って、次のことを見つける必要があります。 長さベクトル (外積)。 対応する式によると、次のようになります。

答え:

長さについて尋ねられた場合、答えでは寸法 - 単位を示します。

b) 条件に従って、次のことを見つける必要があります。 四角ベクトルに基づいて構築された平行四辺形。 この平行四辺形の面積は、ベクトル積の長さに数値的に等しくなります。

答え:

この回答ではベクター積についてはまったく触れられていないことに注意してください。 図形の面積したがって、寸法は正方形の単位になります。

常に状況に応じて何を見つけるべきかを考え、それに基づいて定式化します。 クリア答え。 字義通りに聞こえるかもしれないが、教師の中には字義通りの人がたくさんいるので、その課題は修正のために返却される可能性が高い。 これは特に突飛な屁理屈ではありませんが、答えが間違っていると、その人は単純なことを理解していないか、仕事の本質を理解していないか、あるいはその両方であるという印象を受けます。 高等数学や他の科目の問題を解くときは、この点を常に管理しておく必要があります。

大きな「en」の文字はどこへ行ったのでしょうか？ 原則的にはソリューションに追加で添付することもできましたが、入力を短縮するためにこれを行いませんでした。 皆さんもそれを理解していただき、同じものに対する指定であると思います。

DIY ソリューションの一般的な例:

例 2

次の場合、ベクトルに基づいて構築された三角形の面積を求めます。

ベクトル積によって三角形の面積を求める公式は、定義のコメントに示されています。 解答と答えはレッスンの最後にあります。

実際には、この作業は非常に一般的であり、三角形は一般にあなたを苦しめる可能性があります。

他の問題を解決するには、次のものが必要です。

ベクトルのベクトル積のプロパティ

ベクター製品のいくつかの特性についてはすでに検討しましたが、このリストに含めておきます。

任意のベクトルと任意の数値については、次のプロパティが当てはまります。

1) 他の情報源では、この項目は通常、プロパティで強調表示されていませんが、実際には非常に重要です。 それで、それをそのままにしておきます。

2) – このプロパティについては上でも説明していますが、次のように呼ばれることもあります。 反可換性。 言い換えれば、ベクトルの順序が重要です。

3) – 連想または 連想的なベクトル積法。 定数はベクトル積の外に簡単に移動できます。 本当に、彼らはそこで何をすべきでしょうか？

4) – 配布または 分配的なベクトル積法。 金具の開閉も問題ありません。

これを示すために、短い例を見てみましょう。

例 3

どうかを見つける

解決：この条件でも、ベクトル積の長さを求めることが必要になります。 ミニチュアをペイントしましょう:

(1) 結合法則に従って、定数をベクトル積の範囲外に取ります。

(2) 定数をモジュールの外に移動すると、モジュールはマイナス記号を「食べます」。 長さを負にすることはできません。

(3)残りはクリアです。

答え:

火にさらに薪を加えます。

例 4

次の場合、ベクトルに基づいて構築された三角形の面積を計算します。

解決：公式を使用して三角形の面積を求めます 。 問題は、ベクトル「tse」と「de」自体がベクトルの合計として表されることです。 ここでのアルゴリズムは標準的なもので、レッスンの例 3 と 4 をいくらか思い出させます。 ベクトルの内積。 わかりやすくするために、ソリューションを 3 つの段階に分けます。

1) 最初のステップでは、ベクター積を介してベクター積を表現します。実際には、 ベクトルをベクトルで表現してみましょう。 長さについてはまだ何も発表されていません。

(1) ベクトルの式を置き換えます。

(2) 分配法則を使用して、多項式の乗算の規則に従って括弧を開きます。

(3) 結合法則を使用して、すべての定数をベクトル積の外に移動します。 少し経験があれば、ステップ 2 と 3 を同時に実行できます。

(4) nice プロパティにより、最初と最後の項はゼロ (ゼロ ベクトル) に等しくなります。 2 番目の項では、ベクトル積の反可換性の性質を使用します。

(5) 類似の用語を紹介します。

その結果、ベクターはベクターを介して表現されることが判明しました。これは、達成するために必要なことでした。

2) 2 番目のステップでは、必要なベクトル積の長さを求めます。 このアクションは例 3 に似ています。

3) 必要な三角形の面積を求めます。

ソリューションのステージ 2 ～ 3 は 1 行で書くこともできます。

答え:

検討されている問題はテストで非常に一般的なものです。これを自分で解決する例を次に示します。

例5

どうかを見つける

レッスンの最後に短い解答と答えが表示されます。 前の例を研究するときにどれだけ注意力を払ったか見てみましょう ;-)

座標内のベクトルの外積

式は非常に単純です。行列式の一番上の行に座標ベクトルを書き、2 行目と 3 行目にベクトルの座標を「入れ」ます。 厳密な順序で– 最初に「ve」ベクトルの座標、次に「double-ve」ベクトルの座標。 ベクトルを別の順序で乗算する必要がある場合は、行を交換する必要があります。

例 10

次の空間ベクトルが同一線上にあるかどうかを確認します。
A)
b)

解決: チェックは、このレッスンのステートメントの 1 つに基づいています。つまり、ベクトルが同一直線上にある場合、そのベクトル積はゼロに等しくなります (ゼロ ベクトル)。 .

a) ベクトル積を見つけます。

したがって、ベクトルは同一線上にありません。

b) ベクトル積を見つけます。

答え: a) 同一線上にない、b)

おそらくここに、ベクトルのベクトル積に関するすべての基本情報が記載されています。

ベクトルの混合積が使用される問題はほとんどないため、このセクションはそれほど大きくなりません。 実際、すべては定義、幾何学的意味、およびいくつかの実用的な公式に依存します。

ベクトルの混合積は 3 つのベクトルの積です:

そのため、彼らは電車のように列をなし、識別されるのを待ちきれませんでした。

まず、もう一度定義とイメージを示します。

意味: 混合作業 非共面上ベクトル、 この順番で撮った、と呼ばれる 直方体ボリューム、これらのベクトルに基づいて構築され、基準が右の場合は「+」記号が、基準が左の場合は「-」記号が付けられます。

絵を描いてみましょう。 私たちには見えない線は点線で描かれています。

定義を詳しく見てみましょう。

2) ベクトルが取得されます 特定の順序でつまり、ご想像のとおり、積内のベクトルの再配置は結果を伴わずには起こりません。

3) 幾何学的意味についてコメントする前に、明白な事実に注意してください。 ベクトルの混合積は NUMBER です: 。 教育関連の文献では、デザインが若干異なる場合があります。私は、混合積を で表し、計算の結果を「pe」という文字で表すことに慣れています。

A優先 混合積は直方体の体積です、ベクトルに基づいて構築されています (図は赤いベクトルと黒い線で描かれています)。 つまり、その数は特定の平行六面体の体積に等しくなります。

注記 ：図は概略図です。

4) 基底と空間の方向性の概念についてはもう心配しないでください。 最後の部分の意味は、ボリュームにマイナス記号を追加できることです。 簡単に言えば、混合積は負になる可能性があります。

定義から直接、ベクトルに基づいて構築された平行六面体の体積を計算する公式に従います。

意味 (x 1 , x 2 , ... , x n) n 個の実数の順序付きコレクションを呼びます。 n次元ベクトル、および数値 x i (i = ) - コンポーネント、または 座標、

例。 たとえば、ある自動車工場がシフトごとに乗用車 50 台、トラック 100 台、バス 10 台、乗用車のスペアパーツ 50 セット、トラックとバスのスペアパーツ 150 セットを生産する必要がある場合、このプラントの生産プログラムはベクトルとして記述することができます。 (50, 100 , 10, 50, 150)、5 つのコンポーネントがあります。

表記。 ベクトルは、太字の小文字、または上部にバーまたは矢印が付いた文字で表されます。 あるまたは。 2 つのベクトルは次のように呼ばれます。 等しい、コンポーネントの数が同じで、対応するコンポーネントが等しい場合。

ベクトル コンポーネントは交換できません (例: (3、2、5、0、1))。および (2、3、5、0、1) の異なるベクトル。
ベクトルに対する操作。作品 バツ= (x 1 , x 2 , ... ,x n) を実数で表すλ ベクトルと呼ばれるλ バツ= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n)。

額バツ= (x 1 , x 2 , ... ,x n) および y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) はベクトルと呼ばれます x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n)。

ベクトル空間。 N -次元ベクトル空間 R n は、実数による乗算と加算の演算が定義されるすべての n 次元ベクトルの集合として定義されます。

経済的な図。 n 次元ベクトル空間の経済図: 商品のスペース (品）。 下 品私たちは、特定の時間に特定の場所で販売される何らかの商品やサービスを理解します。 有限数 n の入手可能な商品があると仮定します。 消費者が購入するそれぞれの数量は、商品のセットによって特徴付けられます。

バツ= (x 1 , x 2 , ..., x n),

ここで、x i は消費者が購入した i 番目の商品の金額を示します。 すべての商品には任意の割り算の性質があり、それぞれの商品の非負の数量を購入できると仮定します。 この場合、考えられるすべての商品セットは商品空間 C = ( バツ= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0、i = )。

線形独立性。 システム e 1 , e 2 , ... , e m 個の n 次元ベクトルは次のように呼ばれます。 線形依存性、そのような数字がある場合λ 1 、λ 2 、...、λ m 、そのうちの少なくとも 1 つはゼロ以外であり、次の等式が成立します。λ1 e 1 + λ 2 e 2 +... + λ m e m = 0; それ以外の場合、このベクトル系は次のように呼ばれます。 線形独立つまり、示された等価性は、すべての条件が満たされる場合にのみ可能です。 。 におけるベクトルの線形依存性の幾何学的意味 R 3 は有向線分として解釈され、次の定理を説明します。

定理1. 1 つのベクトルで構成されるシステムは、このベクトルが 0 である場合にのみ線形依存します。

定理2. 2 つのベクトルが線形依存するためには、それらが同一線上 (平行) であることが必要かつ十分です。

定理3 。 3 つのベクトルが線形に依存するためには、それらが同一平面上にある (同じ平面内にある) ことが必要かつ十分です。

ベクトルの左右のトリプル。 非共面ベクトルのトリプル a、b、c呼ばれた 右、共通の原点からの観測者がベクトルの端をバイパスする場合 a、b、c指定された順序で時計回りに発生するように見えます。 さもないと a、b、c -残り3つ。 ベクトルの右 (または左) トリプルがすべて呼び出されます。 同じ 指向性のある。

基礎と座標。 トロイカ e 1, e 2 , e 3 つの非共面ベクトル R 3 と呼ばれます 基礎、およびベクトル自体 e 1, e 2 , e 3 - 基本的な。 任意のベクトル ある基底ベクトルに一意に拡張できます。つまり、次の形式で表されます。

あ= × 1 e 1+x2 e 2 + ×3 e 3, (1.1)

展開 (1.1) の数値 x 1 、 x 2 、 x 3 は呼び出されます。 座標ある基礎にある e 1, e 2 , e 3と指定されています ある(×1、×2、×3)。

正規直交基準。 ベクトルの場合 e 1, e 2 , e 3 はペアごとに垂直であり、それぞれの長さが 1 に等しい場合、その基底はと呼ばれます。 正規直交、および座標 x 1 、 x 2 、 x 3 - 長方形。正規直交基底の基底ベクトルは次のように表されます。 私、j、k。

宇宙ではそう仮定します R 3 正しいデカルト直交座標系が選択されます (0、 私、j、k}.

ベクターアートワーク。 ベクターアートワーク あベクトルに bベクトルと呼ばれる c、次の 3 つの条件によって決定されます。

1. ベクトルの長さ cベクトル上に構築された平行四辺形の面積に数値的に等しい あるそして b、つまり
c= |a||b|罪（ ある^b).

2.ベクトル c各ベクトルに垂直 あるそして b.

3. ベクトル ああ、 bそして c、示された順序で取得され、右トリプルを形成します。

外積の場合 c呼称が導入される c =[腹筋] または
c = a × b.

ベクトルの場合 あるそして bが共線性がある場合、sin( a^b) = 0 および [ 腹筋] = 0、特に [ ああ] = 0。単位ベクトルのベクトル積: [ ij]=ｋ、 [jk] = 私, [キ]=j.

ベクトルの場合 あるそして b根拠に指定されている 私、j、k座標 ある(a 1 、a 2 、a 3)、 b(b 1、b 2、b 3)、その後

混合作業。 2 つのベクトルのベクトル積の場合 あそして b 3 番目のベクトルでスカラー乗算 c、このような 3 つのベクトルの積は次のように呼ばれます。 混合作業記号で示されています ある b c.

ベクトルの場合 a、bそして c基礎にある 私、j、k座標によって与えられる
ある(a 1 、a 2 、a 3)、 b(b 1、b 2、b 3)、 c(c 1、c 2、c 3)、その後

.

混合積は単純な幾何学的な解釈を持ちます。これはスカラーであり、絶対値が 3 つの与えられたベクトルで構築された平行六面体の体積に等しいです。

ベクトルが右トリプルを形成する場合、それらの混合積は、指定された体積に等しい正の数になります。 3つなら a、b、c -左、それから a b c<0 и V = - a b cしたがって、V =|a b c|.

最初の章の問題で遭遇するベクトルの座標は、正規直交基底を基準にして与えられると仮定されます。 ベクトルと同方向の単位ベクトル あ、記号で示される あ O. シンボル r=OM点 M の動径ベクトル、記号 a、AB、または|a|, | AB|ベクトルのモジュールは次のように表されます。 あそして AB。

例 1.2. ベクトル間の角度を求める ある= 2メートル+4nそして b= ん、 どこ メートルそして n-単位ベクトルと間の角度 メートルそして n 120°に等しい。

解決。 cos φ があります。 = 腹筋/ab アブ =(2メートル+4n) (ん) = 2メートル 2 - 4n 2 +2ん=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; ある 2 = (2メートル+4n) (2メートル+4n) =
= 4メートル 2 +16ん+16n 2 = 4+16(-0.5)+16=12、つまり a = です。 b = ; b 2 =
= (m-n)(ん) = メートル 2 -2ん+n 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3、つまり b = になります。 最後に次のようになります: cosφ==-1/2、φ=120°。

例1.3。ベクトルを知る AB(-3、-2.6) および 紀元前(-2,4,4)、三角形ABCの​​高度ADの長さを計算します。

解決。 三角形ABCの​​面積をSで表すと、次のようになります。
S = 紀元前西暦の 1/2。 それから AD=2S/BC、BC= = = 6,
S = 1/2| AB×AC|. AC=AB+BC、ベクトルを意味します 交流。座標があります
. .

例 1.4 。 2 つのベクトルが与えられる ある(11,10,2) および b(4,0,3)。 単位ベクトルを求める c、ベクトルに直交 あるそして bそして、ベクトルの順序付けられたトリプルが a、b、c正しかった。

解決。ベクトルの座標を表しましょう c x、y、z に関する特定の正規直交基底に関して。

なぜなら c ⊥ 交流 ⊥b、 それ およそ= 0,cb= 0。問題の条件によれば、c = 1 および a b c >0.

x、y、z を求めるための連立方程式があります: 11x +10y + 2z = 0、4x+3z=0、x 2 + y 2 + z 2 = 0。

システムの最初と 2 番目の方程式から、z = -4/3 x、y = -5/6 x が得られます。 y と z を 3 番目の方程式に代入すると、x 2 = 36/125 となります。
x =± 。 条件の使用 a b c > 0、不等式が得られます

z と y の式を考慮して、結果の不等式を 625/6 x > 0 の形式に書き換えます。これは x>0 を意味します。 したがって、 x = 、 y = - 、 z =- となります。

単位ベクトル- これ ベクター、その絶対値 (モジュラス) は 1 に等しい。 単位ベクトルを表すには、添字 e を使用します。 あの場合、その単位ベクトルはベクトルになります。 あ e. この単位ベクトルはベクトル自体と同じ方向を向いています。 あ、そのモジュールは 1、つまり a e = 1 に等しくなります。

明らかに、 あ= a あ e ( - ベクトルモジュール A)。 これは、操作が実行される規則に従います。 スカラーとベクトルの乗算.

単位ベクトル多くの場合、座標系の座標軸 (特にデカルト座標系の軸) に関連付けられます。 これらの方向性は、 ベクトルは対応する軸の方向と一致しており、その原点は座標系の原点と組み合わされることがよくあります。

思い出させてください デカルト座標系空間では、座標の原点と呼ばれる点で交差する 3 つの相互に直交する軸を伝統的に呼びます。 座標軸は通常 X、Y、Z の文字で表され、それぞれ横軸、縦軸、アプリケーション軸と呼ばれます。 デカルト自身は 1 つの軸だけを使用し、その上に横軸がプロットされました。 利用のメリット システム軸は彼の生徒のものです。 したがって、このフレーズは デカルト座標系歴史的に間違っている。 話したほうがいいよ 長方形 座標系または 直交座標系。 しかし、私たちは伝統を変えるつもりはなく、将来的には、デカルト座標系と直交座標系が同一のものであると仮定することになります。

単位ベクトル X 軸に沿った方向の は、次のように表されます。 私, 単位ベクトル Y 軸に沿って方向付けられた、 で示されます。 j、A 単位ベクトル Z 軸に沿った方向の は、次のように表されます。 k。 ベクトル 私, j, k呼ばれます オルツ(図 12、左)、それらは単一のモジュールを持っています。
i = 1、j = 1、k = 1。

軸と 単位ベクトル 直交座標系場合によっては、異なる名前や指定が付いている場合もあります。 したがって、横軸 X は接線軸と呼ぶことができ、その単位ベクトルは次のように表されます。 τ (ギリシャ語の小文字タウ)、縦軸は法線軸であり、その単位ベクトルは次のように表されます。 n、適用軸は従法線軸であり、その単位ベクトルは次のように表されます。 b。 本質が変わらないのに、なぜ名前を変えるのでしょうか？

実際、たとえば力学では、物体の動きを研究するときに、直交座標系が非常に頻繁に使用されます。 したがって、座標系自体が静止していて、移動するオブジェクトの座標の変化がこの静止系で追跡される場合、通常、軸は X、Y、Z で指定され、 単位ベクトルそれぞれ 私, j, k.

しかし、多くの場合、オブジェクトがある種の曲線パス (円など) に沿って移動する場合、このオブジェクトとともに移動する座標系内の機械的プロセスを考慮する方が便利です。 このような移動座標系では、別の軸名とその単位ベクトルが使用されます。 それはまさにその通りです。 この場合、X 軸は、このオブジェクトが現在配置されている点での軌跡の接線方向に向けられます。 そして、この軸は X 軸ではなく接線軸と呼ばれるようになり、その単位ベクトルは指定されなくなりました。 私、A τ 。 Y 軸は、軌道の曲率半径に沿って方向付けられます (円内での動きの場合、円の中心に向かって)。 そして、半径は接線に対して垂直であるため、軸は法線軸と呼ばれます（垂直と法線は同じものです）。 この軸の単位ベクトルは示されなくなりました j、A n。 3 番目の軸 (以前の Z) は、前の 2 つの軸に対して垂直です。 これは直角を持つ従法線です b(図12、右)。 ちなみにこの場合はこんな感じ 直交座標系多くの場合、「ナチュラル」または「ナチュラル」と呼ばれます。