(6.22) – (6.25) ფორმულებიდან გამომდინარეობს, რომ ღერძების ბრუნვისას იცვლება ინერციის მომენტები, მაგრამ ღერძული მომენტების ჯამი მუდმივი რჩება.
ამიტომ, თუ ერთ ღერძთან შედარებით, ინერციის მომენტის მნიშვნელობა არის უდიდესი, მაშინ შედარებით განსხვავებული - ყველაზე პატარა. Ამ შემთხვევაში ცენტრიდანული მომენტიამ ცულებთან შედარებით თურმე ნულის ტოლი.
მთავარი ცენტრალური ღერძები სიმძიმის ცენტრში გამავალ ღერძებს უწოდებენ, რომელთა მიმართ ცენტრიდანული მომენტი ნულის ტოლია, ხოლო მათთან მიმართებაში ღერძულ მომენტებს (ღერძებს) აქვთ ექსტრემალური თვისებები და ე.წ.ინერციის მთავარი ცენტრალური მომენტები. ერთ მთავარ ღერძთან შედარებით, ინერციის მომენტს აქვს ყველაზე პატარა მნიშვნელობა – , სხვასთან შედარებით - უდიდესი.
ამ ცულებს ასოებით აღვნიშნავთ uდა ვ. მოდით დავამტკიცოთ ზემოთ მოყვანილი განცხადება. დაე ცულები xდა წ– ასიმეტრიული მონაკვეთის ცენტრალური ღერძები (სურ. 6.12).
განვსაზღვროთ მთავარი ღერძების პოზიცია ცენტრალური ღერძების იმ კუთხით ბრუნვით, რომლითაც ცენტრიდანული მომენტი ნულის ტოლი ხდება.
.
შემდეგ ფორმულიდან (6.25)
. (6.26)
ფორმულა (6.26) განსაზღვრავს ძირითადი ღერძების პოზიციას, სადაც არის კუთხე, რომლითაც ცენტრალური ღერძები უნდა შემოტრიალდეს ისე, რომ ისინი გახდნენ მთავარი. უარყოფითი კუთხეები გამოსახულია ღერძიდან საათის ისრის მიმართულებით x.
ახლა ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ მთავარ ღერძებთან შედარებით, ინერციის ღერძულ მომენტებს აქვთ ექსტრემალური ყოფნის თვისება. გამოვთვალოთ გამონათქვამის წარმოებული (ფორმულა 6.22) და გავუტოლოთ ნულს:
(6.27)
გამონათქვამების (6.27) (6.25) შედარება დავადგინეთ, რომ
.
აქედან გამომდინარეობს, რომ წარმოებული ქრება, როდესაც, რაც ნიშნავს, რომ უკიდურეს მნიშვნელობებს აქვთ ინერციის მომენტები ძირითადი ღერძების მიმართ. uდა ვ. შემდეგ (6.22) და (6.23) ფორმულების მიხედვით:
(6.28)
ფორმულების გამოყენებით (6.28) განვსაზღვრავთ ინერციის მთავარი ცენტრალური მომენტები.
თუ ფორმულებს (6.28) ვამატებთ ტერმინის მიხედვით, მაშინ, ცხადია, . თუ კუთხეს გამოვრიცხავთ ფორმულებიდან (6.28), მივიღებთ უფრო მოსახერხებელ ფორმულას ინერციის მთავარი ცენტრალური მომენტებისთვის:
"+" ნიშანი მეორე ტერმინამდე (6.29) ეხება , "-" ნიშანი ეხება .
სასარგებლოა განსაკუთრებული შემთხვევების გათვალისწინება:
თუ ფიგურას აქვს სიმეტრიის ორი ღერძი, მაშინ ეს ცულები არიან მთავარი ცენტრალური ღერძები.
2. რეგულარული ფიგურებისთვის – ტოლგვერდა სამკუთხედი, კვადრატი, წრე და ა.შ., რომელსაც აქვს სიმეტრიის ორზე მეტი ღერძი,ყველა ცენტრალური ღერძი არის მთავარი, და მათ მიმართ ინერციის მომენტები ერთმანეთის ტოლია.
ძირითადი ცენტრალური ღერძების პოზიციის პოვნისა და გამოთვლის უნარი და აუცილებელია განსაზღვრა განყოფილების უდიდესი სიხისტის სიბრტყე(რომლის კვალი ემთხვევა ღერძს) დახრის გამოთვლისას (თავი 7).
35. ძირითადი ცენტრალის დადგენის ზოგადი პროცედურა
მომენტები.
დაე საჭირო იყოს იპოვნეთ მთავარი ცენტრალური ღერძების პოზიციადა გამოთვალეთ მათთან შედარებით ინერციის მომენტები ბრტყელი მონაკვეთისთვის, რომელიც შედგება არხისა და ზოლისგან (ნახ. 6.13):
დახაზეთ თვითნებური კოორდინატთა სისტემა xOy.
დაყავით მონაკვეთი მარტივ ფიგურებად და გამოიყენეთ ფორმულები (6.5) სიმძიმის ცენტრის პოზიციის დასადგენად. თან.
იპოვეთ მარტივი ფიგურების ინერციის მომენტები საკუთარ ცენტრალურ ღერძებთან მიმართებაში ასორტიმენტის ან ფორმულების გამოყენებით.
წერტილის მეშვეობით თანდახაზეთ ცენტრალური ღერძები x გდა წ სმარტივი ფიგურების ცულების პარალელურად.
განსაზღვრეთ მარტივი ფიგურების ინერციის მომენტები მონაკვეთის ცენტრალურ ღერძებთან მიმართებაში პარალელური გადათარგმნის ფორმულების გამოყენებით (6.13).
განსაზღვრეთ მთელი მონაკვეთის ინერციის ცენტრალური მომენტები, როგორც მე-5 ნაბიჯში ნაპოვნი მარტივი ფიგურების შესაბამისი მომენტების ჯამი.
გამოთვალეთ კუთხე ფორმულით (6.26) და ღერძების შემობრუნებით x გდა წ სკუთხით გამოსახეთ ძირითადი ღერძები uდა ვ.
ფორმულების გამოყენებით (6.29) გამოთვალეთ და .
შემოწმება:
ბ) თუ ;
36) ინერციის ძირითადი ცენტრალური მომენტების განსაზღვრის ზოგადი პროცედურა. მაგალითი:
1. თუ ფიგურას აქვს სიმეტრიის ორი ღერძი, მაშინ ეს ღერძი იქნება GCO.
2. რეგულარული ფიგურებისთვის (რომლებსაც აქვთ 2-ზე მეტი ცულები) ყველა ღერძი იქნება მთავარი.
3. დამხმარე ღერძების დახატვა (X’ O’ Y’)
4. ჩვენ ვყოფთ ამ განყოფილებას მარტივ ფიგურებად და ვაჩვენებთ საკუთარ CO-ებს.
5. იპოვეთ GCO-ს პოზიცია ფორმულის გამოყენებით (21)
6. გამოთვალეთ GCM მნიშვნელობები ფორმულის გამოყენებით (23)
Imax + Imin = Ix + Iy
· Imax >Ix>Iy>Iminif Ix>Iy
Iuv = Ix-Iy/2 sin2a + Ixycos2a +0
ფორმულა 21:Tg2a = - 2Ixy/Ix - Iy
ფორმულა 23: Imax, Imin = *
37) მოხრილი. მოხრის ტიპების კლასიფიკაცია. სწორი და სუფთა მოსახვევი. სხივის დეფორმაციის სურათი. ნეიტრალური ფენა და ღერძი. ძირითადი ვარაუდები.
მოხრა არის დეფორმაცია, რომლის დროსაც ჯვარედინი მონაკვეთზე ჩნდება ღუნვის მომენტი Mx. სხივი, რომელიც მუშაობს მოსახვევ სხივზე
დახრის სახეები:
სუფთა მოხრა ხდება იმ შემთხვევაში, თუ მონაკვეთში მხოლოდ მოხრის მომენტი ხდება
განივი მოხრა - თუ განივი ძალა ჩნდება მომენტთან ერთად
ბინა - ყველა დატვირთვა დევს ერთ სიბრტყეში
სივრცითი - თუ ყველა დატვირთვა დევს სხვადასხვა გრძივი სიბრტყეში
პირდაპირი - თუ ძალის სიბრტყე ემთხვევა ინერციის ერთ-ერთ მთავარ ღერძს
ირიბი - თუ ძალის სიბრტყე არ ემთხვევა რომელიმე ძირითად ღერძს
დეფორმაციის შედეგად სუფთა მოხრის არეში შეგიძლიათ იხილოთ:
გრძივი ბოჭკოები მოხრილია წრიული რკალის გასწვრივ: ზოგი დამოკლებულია, ზოგიც დაგრძელებული; მათ შორის არის ბოჭკოების ფენა, რომელიც არ იცვლის მათ სიგრძეს - ნეიტრალური ფენა (ნ.ს.), მისი გადაკვეთის ხაზს განივი სიბრტყეზე ეწოდება ნეიტრალური ღერძი (n.a.)
გრძივი ბოჭკოებს შორის მანძილი არ იცვლება
ჯვარი სექციები, სანამ სწორი რჩება, ბრუნავს გარკვეული კუთხით
ვარაუდები:
1. გრძივი ბოჭკოების ერთმანეთზე დაჭერით, ე.ი. თითოეული ბოჭკო არის მარტივი დაჭიმვის ან შეკუმშვის მდგომარეობაში, რასაც თან ახლავს ნორმალური სტრესების გამოჩენა Ϭ
2. ბერნულის ჰიპოთეზის მართებულობის შესახებ, ე.ი. სხივის მონაკვეთები, რომლებიც ბრტყელია და ნორმალურია ღერძის მიმართ დეფორმაციამდე, რჩება ბრტყელი და ნორმალური ღერძის მიმართ დეფორმაციის შემდეგ
ღერძები,რომლის შესახებაც ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ნულის ტოლია ეწოდება მთავარი ღერძები(ხანდახან ეძახიან ინერციის ძირითადი ღერძი).მონაკვეთის სიბრტყეში აღებული ნებისმიერი წერტილის მეშვეობით, ზოგად შემთხვევაში, ძირითადი ღერძის წყვილი შეიძლება დახაზული იყოს (ზოგიერთ განსაკუთრებულ შემთხვევაში შეიძლება იყოს უსასრულო რაოდენობა). ამ განცხადების მართებულობის შესამოწმებლად განვიხილოთ, თუ როგორ იცვლება ინერციის ცენტრიდანული მომენტი, როდესაც ღერძი ბრუნავს 90"-ით (ნახ. b.7). თვითნებური ფართობისთვის dA, აღებული xOy-ის პირველ კვადრატში. ღერძების სისტემა, ორივე კოორდინატი და, შესაბამისად, მათი ნამრავლი დადებითია. ახალ კოორდინატთა სისტემაში x,Oy, ორიგინალთან შედარებით 90-ით შემობრუნებული", მოცემული საიტის კოორდინატების ნამრავლი უარყოფითია. აბსოლუტური ღირებულებაეს პროდუქტი არ იცვლება, ანუ xy = - x1y,. ცხადია , იგივე ეხება ნებისმიერ სხვა ელემენტარულ საიტს. ეს ნიშნავს, რომ dAxy ჯამის ნიშანი, რომელიც არის მონაკვეთის ინერციის ცენტრიდანული მომენტი, იცვლება საპირისპიროდ, როდესაც ღერძები ბრუნავს 90", ანუ J = = - J.
ღერძების ბრუნვის დროს იცვლება ინერციის ცენტრიდანული მომენტი გამუდმებით,მაშასადამე, ღერძების გარკვეულ პოზიციაზე ხდება ნულის ტოლი. ეს ცულები არის მთავარი პირობა.
მიუხედავად იმისა, რომ ჩვენ დავადგინეთ, რომ ძირითადი ღერძები შეიძლება გაივლოს მონაკვეთის ნებისმიერ წერტილში, პრაქტიკული ინტერესია მხოლოდ ისინი, რომლებიც გადიან მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრში - მთავარი ცენტრალური ღერძები.შემდეგში, როგორც წესი, მოკლედ, ჩვენ უბრალოდ ვუწოდებთ მათ მთავარი ღერძები,სიტყვა "ცენტრალური" გამოტოვებით.
თვითნებური ფორმის მონაკვეთების ზოგად შემთხვევაში, ძირითადი ღერძების პოზიციის დასადგენად აუცილებელია სპეციალური კვლევის ჩატარება. აქ ჩვენ შემოვიფარგლებით იმ მონაკვეთების განსაკუთრებული შემთხვევების გათვალისწინებით, რომლებსაც აქვთ სიმეტრიის ერთი ღერძი მაინც (ნახ. 6.8).
ჩვენ გაგიძღვებით. მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრი არის Ox ღერძი, პერპენდიკულარული Oy სიმეტრიის ღერძზე და განვსაზღვროთ ინერციის ცენტრიდანული მომენტი J. გამოვიყენოთ მათემატიკის კურსიდან ცნობილი განსაზღვრული ინტეგრალის თვისება (ჯამის ინტეგრალი უდრის ინტეგრალების ჯამს) და წარმოადგენთ J-ს ორი წევრის სახით:
ვინაიდან, სიმეტრიის ღერძის მარჯვნივ მდებარე ნებისმიერი ელემენტარული უბნისთვის არის შესაბამისი მარცხნივ, რომლისთვისაც კოორდინატების ნამრავლი განსხვავდება მხოლოდ ნიშნით.
ამრიგად, Ox და Oy ღერძებთან მიმართებაში ინერციის ცენტრიდანული მომენტი აღმოჩნდა ნულის ტოლი, ე.ი. მთავარი ღერძები.ასე რომ, სიმეტრიული მონაკვეთის ძირითადი ღერძების საპოვნელად საკმარისია მისი სიმძიმის ცენტრის პოზიციის პოვნა. ერთ-ერთი მთავარი ცენტრალური ღერძი არის სიმეტრიის ღერძი, მეორე ღერძი მასზე პერპენდიკულარულია. რა თქმა უნდა, ზემოაღნიშნული მტკიცებულება ძალაში რჩება, თუ სიმეტრიის ღერძის პერპენდიკულარული ღერძი არ გადის მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრში, ე.ი. სიმეტრიის ღერძი და ნებისმიერი პერპენდიკულარული ღერძი ქმნიან ძირითადი ღერძების სისტემას.
არაცენტრალური ძირითადი ღერძები, როგორც უკვე აღინიშნა, არ არის საინტერესო.
ინერციის ღერძულ მომენტებს ძირითადი ცენტრალური ღერძების მიმართ ეწოდება მთავარი ცენტრალური(ან მოკლედ მთავარი) ინერციის მომენტები.ინერციის მომენტი მაქსიმალურია ერთ-ერთ მთავარ ღერძთან მიმართებაში, ხოლო მეორესთან შედარებით მინიმალური. მაგალითად, ნახ. 6.8, ინერციის მაქსიმალური მომენტი ჯ
(Ox-ის ღერძთან შედარებით). რა თქმა უნდა, როდესაც ვსაუბრობთ ინერციის ძირითადი მომენტების კიდურობაზე, ვგულისხმობთ მხოლოდ მათ შედარებას სხვა ინერციის მომენტებთან, რომლებიც გამოითვლება ამ ღერძების მიმართ. იგივე მონაკვეთის წერტილი.ამრიგად, ის ფაქტი, რომ ინერციის ერთ-ერთი ძირითადი მომენტი მაქსიმალურია, მეორე კი მინიმალური, შეიძლება ჩაითვალოს ახსნად იმისა, რომ მათ (და შესაბამის ღერძებს) ეწოდება ძირითადი. ინერციის ცენტრიდანული მომენტის ნულის ტოლობა მთავარ ღერძებთან შედარებით მოსახერხებელი ნიშანია მის საპოვნელად. ზოგიერთი ტიპის მონაკვეთებს, მაგალითად წრეს, კვადრატს, რეგულარულ ექვსკუთხედს და ა.შ. (ნახ. 6.9), აქვს უთვალავი ძირითადი ცენტრალური ღერძი. ამ მონაკვეთებისთვის ნებისმიერი ცენტრალური ღერძი არის მთავარი.
მტკიცებულების გარეშე, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ თუ მონაკვეთის ინერციის ორი ძირითადი ცენტრალური მომენტი ტოლია, მაშინ ამ მონაკვეთისთვის ნებისმიერი ცენტრალური ღერძი არის მთავარი და ინერციის ყველა მთავარი ცენტრალური მომენტი ერთნაირია.
(6.29) - (6.31) ფორმულებიდან ირკვევა, რომ კოორდინატთა ღერძების ბრუნვისას ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ცვლის ნიშანს და, შესაბამისად, არის ღერძების პოზიცია, რომელზედაც ცენტრიდანული მომენტი ნულის ტოლია.
ღერძებს, რომლებზეც გაქრება მონაკვეთის ინერციის ცენტრიდანული მომენტი, ეწოდება მთავარი ღერძი, ხოლო ძირითადი ღერძები, რომლებიც გადის მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრში. მონაკვეთის ინერციის მთავარი ცენტრალური ღერძი.
ინერციის მომენტები მონაკვეთის ინერციის ძირითადი ღერძების მიმართ ეწოდება განყოფილების ინერციის ძირითადი მომენტებიდა აღინიშნება მე 1 და მე 2 და მე 1 > მე 2 . ჩვეულებრივ, ძირითად მომენტებზე საუბრისას იგულისხმება ინერციის ღერძული მომენტები ინერციის მთავარი ცენტრალური ღერძების მიმართ.
დავუშვათ, რომ ცულები uდა ვმთავარი. მერე
|
|
.განტოლება (6.32) განსაზღვრავს მონაკვეთის ინერციის ძირითადი ღერძების პოზიციას მოცემულ წერტილში თავდაპირველ კოორდინატთა ღერძებთან მიმართებაში. კოორდინატთა ღერძების მობრუნებისას იცვლება ინერციის ღერძული მომენტებიც. მოდით ვიპოვოთ ღერძების პოზიცია, რომელთა მიმართ ინერციის ღერძული მომენტები აღწევს უკიდურეს მნიშვნელობებს. ამისათვის ჩვენ ვიღებთ პირველ წარმოებულს მეuმიერ α და დააყენეთ ნულის ტოლი:
.
მდგომარეობა იწვევს იმავე შედეგს მევ/დα . ბოლო გამონათქვამის შედარება ფორმულასთან (6.32), მივდივართ დასკვნამდე, რომ ინერციის ძირითადი ღერძი არის ღერძები, რომლებზეც მონაკვეთის ინერციის ღერძული მომენტები აღწევს უკიდურეს მნიშვნელობებს.
ინერციის ძირითადი მომენტების გაანგარიშების გასამარტივებლად, ფორმულები (6.29) - (6.31) გარდაიქმნება, მათგან ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოკლებით, მიმართების გამოყენებით (6.32):
|
|
.პლუს ნიშანი რადიკალის წინ შეესაბამება უფრო დიდს მე 1 და მინუს ნიშანი უფრო პატარაა მე 2 მონაკვეთის ინერციის მომენტებიდან.
მოდით აღვნიშნოთ მონაკვეთების ერთი მნიშვნელოვანი თვისება, რომელშიც ინერციის ღერძული მომენტები მთავარ ღერძებთან ერთნაირია. დავუშვათ, რომ ცულები წდა ზმთავარი ( მეyz=0), და მეწ=მეზ. შემდეგ, ტოლობების მიხედვით (6.29) - (6.31), ღერძების ბრუნვის ნებისმიერი კუთხისთვის α ინერციის ცენტრიდანული მომენტი მეულტრაიისფერი=0 და ღერძული მეu= მევ.
ასე რომ, თუ ძირითადი ღერძების მიმართ მონაკვეთის ინერციის მომენტები ერთნაირია, მაშინ ყველა ღერძი, რომელიც გადის მონაკვეთის ერთსა და იმავე წერტილში, არის მთავარი, ხოლო ინერციის ღერძული მომენტები ყველა ამ ღერძზე იგივეა: მეu= მევ= მეწ= მეზ. ამ ქონებას ფლობს, მაგალითად, კვადრატული, მრგვალი და რგოლისებური სექციები.
ფორმულა (6.33) მსგავსია ფორმულების (3.25) ძირითადი ძაბვისთვის. შესაბამისად, ინერციის ძირითადი მომენტები გრაფიკულად შეიძლება განისაზღვროს მორის მეთოდით.
ფორმულები (31.5), (32.5) და (34.5) საშუალებას გვაძლევს დავადგინოთ, თუ როგორ იცვლება მონაკვეთის ინერციის მომენტების მნიშვნელობები, როდესაც ღერძები ბრუნავს თვითნებური კუთხით a. კუთხის a ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის ინერციის ღერძული მომენტების მნიშვნელობები მაქსიმუმს და მინიმუმს აღწევს. განყოფილების ინერციის ღერძული მომენტების უკიდურეს (მაქსიმალური და მინიმალური) მნიშვნელობებს უწოდებენ ინერციის მთავარ მომენტებს. ღერძებს, რომლებზეც ინერციის ღერძულ მომენტებს აქვთ უკიდურესი მნიშვნელობები, ეწოდება ინერციის მთავარი ღერძი.
ფორმულიდან (33.5) გამომდინარეობს, რომ თუ ინერციის ღერძული მომენტი გარკვეულ ღერძთან შედარებით მაქსიმალურია (ე.ი. ეს ღერძი არის მთავარი), მაშინ ინერციის ღერძული მომენტი მის პერპენდიკულარულ ღერძთან შედარებით მინიმალურია (ე.ი. ეს ღერძი ასევე არის მთავარი), ამიტომ ინერციის ღერძული მომენტების ჯამი ორი ურთიერთ პერპენდიკულარული ღერძის გარშემო არ არის დამოკიდებული a კუთხეზე.
ამრიგად, ინერციის ძირითადი ღერძი ერთმანეთის პერპენდიკულურია.
ინერციის ძირითადი მომენტების და ინერციის მთავარი ღერძების პოზიციის საპოვნელად, განვსაზღვრავთ პირველ წარმოებულს a კუთხის მიმართ ინერციის მომენტიდან [იხ. ფორმულა (31.5) და ნახ. 19.5]:
ამ შედეგს ვატოლებთ ნულს:
სად არის კუთხე, რომლითაც y კოორდინატთა ღერძები უნდა შემოტრიალდეს ისე, რომ ისინი დაემთხვეს მთავარ ღერძებს.
გამონათქვამების (35.5) და (34.5) შედარებისას დავადგინეთ, რომ
შესაბამისად, ინერციის მთავარ ღერძებთან შედარებით, ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ნულის ტოლია. მაშასადამე, ინერციის მთავარ ღერძებს შეიძლება ვუწოდოთ ღერძები, რომლებზეც ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ნულის ტოლია.
როგორც უკვე ცნობილია, მონაკვეთის ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ღერძებთან მიმართებაში, რომელთაგან ერთი ან ორივე ემთხვევა სიმეტრიის ღერძებს, ნულის ტოლია.
შესაბამისად, ურთიერთპერპენდიკულარული ღერძები, რომელთაგან ერთი ან ორივე ემთხვევა მონაკვეთის სიმეტრიის ღერძებს, ყოველთვის არის ინერციის მთავარი ღერძი. ეს წესი ხშირ შემთხვევაში საშუალებას იძლევა პირდაპირ (გაანგარიშების გარეშე) დაადგინოთ ძირითადი ღერძების პოზიცია.
ამოვხსნათ განტოლება (35.5) კუთხის მიმართ
თითოეულ კონკრეტულ შემთხვევაში განტოლება (36.5) კმაყოფილდება რიგი მნიშვნელობებით, შერჩეულია რომელიმე მათგანი. თუ ის დადებითია, მაშინ მისგან ინერციის ერთ-ერთი მთავარი ღერძის პოზიციის დასადგენად, ღერძი უნდა შემოტრიალდეს კუთხით საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, ხოლო თუ უარყოფითია, მაშინ საათის ისრის ბრუნვით; ინერციის სხვა ძირითადი ღერძი არის პირველის პერპენდიკულარული. ინერციის ერთ-ერთი მთავარი ღერძი არის მაქსიმალური ღერძი (მასთან შედარებით, მონაკვეთის ინერციის ღერძული მომენტი მაქსიმალურია), ხოლო მეორე არის მინიმალური ღერძი (მასთან შედარებით, მონაკვეთის ინერციის ღერძული მომენტი მინიმალურია. ).
მაქსიმალური ღერძი ყოველთვის ქმნის უფრო მცირე კუთხეს იმ ღერძებთან (y ან ), რომელთა მიმართ ინერციის ღერძულ მომენტს უფრო დიდი მნიშვნელობა აქვს. ეს გარემოება აადვილებს იმის დადგენას, თუ რომელია ინერციის ძირითადი ღერძი მაქსიმალური და რომელია მინიმალური ღერძი. მაგალითად, თუ განლაგებულია ინერციის და და v ძირითადი ღერძები, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 20.5, მაშინ ღერძი არის მაქსიმალური ღერძი (რადგან ის ქმნის y ღერძთან უფრო მცირე კუთხეს, ვიდრე ღერძთან), ხოლო v ღერძი არის მინიმალური ღერძი.
ინერციის ძირითადი მომენტების დასადგენად კონკრეტული რიცხვითი ამოცანის ამოხსნისას, შეგიძლიათ შეცვალოთ არჩეული კუთხის მნიშვნელობა და მნიშვნელობა ფორმულაში (31.5) ან (32.5).
მოდით გადავწყვიტოთ ეს პრობლემა ზოგადი ფორმით. ტრიგონომეტრიის ფორმულების გამოყენებით, გამოხატვის (36.5) გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ
ამ გამონათქვამების ჩანაცვლებით ფორმულაში (31.5), მარტივი გარდაქმნების შემდეგ ვიღებთ
ინერციის ძირითადი ღერძები შეიძლება დაიხაზოს მონაკვეთის სიბრტყეში აღებული ნებისმიერი წერტილით. თუმცა, სტრუქტურული ელემენტების გამოთვლებისთვის პრაქტიკული მნიშვნელობა აქვს მხოლოდ მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრში გამავალ მთავარ ღერძებს, ანუ მთავარ ცენტრალურ ინერციებს. ინერციის მომენტები ამ ღერძებთან მიმართებაში (ინერციის მთავარი ცენტრალური მომენტები) შემდგომში აღინიშნა როგორც
განვიხილოთ რამდენიმე განსაკუთრებული შემთხვევა.
1. თუ მაშინ ფორმულა (34.5) იძლევა ინერციის ცენტრიდანული მომენტის მნიშვნელობას ნებისმიერი ორმხრივი პერპენდიკულარული ღერძის მიმართ ნულის ტოლი, და, შესაბამისად, კოორდინატთა სისტემის ბრუნვით მიღებული ნებისმიერი ღერძი არის ინერციის მთავარი ღერძი (ასევე როგორც ცულები). Ამ შემთხვევაში
2. სიმეტრიის ორზე მეტი ღერძის მქონე ფიგურებისთვის ინერციის ღერძული მომენტები ყველა ცენტრალურ ღერძზე ტოლია. მართლაც, მოდით მივმართოთ ერთ-ერთი ღერძი () სიმეტრიის ერთი ღერძის გასწვრივ, ხოლო მეორე - მასზე პერპენდიკულარული. ამ ღერძებისთვის თუ ფიგურას აქვს ორზე მეტი სიმეტრიის ღერძი, მაშინ ერთ-ერთი მათგანი ქმნის ღერძთან მახვილ კუთხეს. ავღნიშნოთ ასეთი ღერძი და მასზე პერპენდიკულარული ღერძი
ინერციის ცენტრიდანული მომენტი, რადგან ღერძი არის სიმეტრიის ღერძი. ფორმულის მიხედვით (34.5).
ამოცანა 5.3.1: მონაკვეთისთვის ცნობილია მონაკვეთის ინერციის ღერძული მომენტები ღერძებთან მიმართებაში x1, y1, x2: , . ინერციის ღერძული მომენტი ღერძის მიმართ y2თანაბარი...
1) 1000 სმ4; 2) 2000 სმ4; 3) 2500 სმ4; 4) 3000 სმ4.
გამოსავალი: სწორი პასუხია 3). მონაკვეთის ინერციის ღერძული მომენტების ჯამი ორ ურთიერთ პერპენდიკულარულ ღერძთან მიმართებაში, როდესაც ღერძი ბრუნავს გარკვეული კუთხით, რჩება მუდმივი, ე.ი.
მოცემული მნიშვნელობების ჩანაცვლების შემდეგ მივიღებთ:
ამოცანა 5.3.2: თანაბარი კუთხის კუთხის მონაკვეთის მითითებული ცენტრალური ღერძებიდან მთავარია...
1) x3; 2) ყველაფერი; 3) x1; 4) x2.
გამოსავალი: სწორი პასუხია 4). სიმეტრიული მონაკვეთებისთვის, სიმეტრიის ღერძი არის ინერციის მთავარი ღერძი.
ამოცანა 5.3.3: ინერციის ძირითადი ღერძი...
- 1) დახაზვა შესაძლებელია მხოლოდ სიმეტრიის ღერძზე მდებარე წერტილებით;
- 2) დახაზვა შესაძლებელია მხოლოდ ბრტყელი ფიგურის სიმძიმის ცენტრში;
- 3) ეს ის ღერძებია, რომლებზეც ბრტყელი ფიგურის ინერციის მომენტები ნულის ტოლია;
- 4) შეიძლება დახაზოთ ბრტყელი ფიგურის ნებისმიერი წერტილით.
გამოსავალი: სწორი პასუხია 4). ფიგურა აჩვენებს თვითნებურ ბრტყელ ფიგურას. წერტილის მეშვეობით თანდახაზულია ორი ერთმანეთის პერპენდიკულარული ღერძი უდა ვ.
მასალების სიძლიერის კურსში დადასტურდა, რომ თუ ეს ღერძები ბრუნავს, მაშინ შეიძლება განისაზღვროს მათი პოზიცია, რომელშიც არეალის ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ხდება ნული, ხოლო ინერციის მომენტები ამ ღერძების გარშემო იღებს უკიდურეს მნიშვნელობებს. ასეთ ღერძებს მთავარ ღერძებს უწოდებენ.
ამოცანა 5.3.4: მითითებული ცენტრალური ღერძებიდან ძირითადი მონაკვეთის ღერძებია...
1) ყველაფერი; 2) x1და x3; 3) x2და x3; 4)x2და x4.
გამოსავალი: სწორი პასუხია 1). სიმეტრიული მონაკვეთებისთვის, სიმეტრიის ღერძი არის ინერციის მთავარი ღერძი.
ამოცანა 5.3.5: ღერძებს, რომლებზეც ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ნულის ტოლია და ღერძული მომენტები უკიდურეს მნიშვნელობებს იღებენ, ეწოდება...
- 1) ცენტრალური ღერძები; 2) სიმეტრიის ღერძი;
- 3) მთავარი ცენტრალური ღერძები; 4) ძირითადი ღერძები.
გამოსავალი: სწორი პასუხია 4). როდესაც კოორდინატთა ღერძები ბრუნავს b კუთხით, იცვლება მონაკვეთის ინერციის მომენტები.
მოცემული იყოს მონაკვეთის ინერციის მომენტები კოორდინატთა ღერძებთან მიმართებაში x, წ. შემდეგ განყოფილების ინერციის მომენტები კოორდინატთა ღერძების სისტემაში u, ვ, ბრუნავს ღერძებთან შედარებით გარკვეული კუთხით x, წ, თანაბარია
კუთხის გარკვეული მნიშვნელობისას მონაკვეთის ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ხდება ნული, ხოლო ინერციის ღერძული მომენტები იღებენ უკიდურეს მნიშვნელობებს. ამ ღერძებს მთავარ ღერძებს უწოდებენ.
ამოცანა 5.3.6: განყოფილების ინერციის მომენტი მთავარ ცენტრალურ ღერძზე xCთანაბარი...
1); 2) ; 3) ; 4) .
გამოსავალი: სწორი პასუხია 2)
გამოსათვლელად ვიყენებთ ფორმულას
