ჩაწერეთ ფუნქციის ლიმიტი. წერტილის მეზობლობის ცნების გამოყენება

ლიმიტების თეორია მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი დარგია. ლიმიტების გადაჭრის საკითხი საკმაოდ ვრცელია, რადგან არსებობს სხვადასხვა ტიპის ლიმიტების გადაჭრის ათობით მეთოდი. არსებობს ათობით ნიუანსი და ხრიკი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გადაჭრათ ესა თუ ის ლიმიტი. მიუხედავად ამისა, ჩვენ მაინც შევეცდებით გავიგოთ შეზღუდვების ძირითადი ტიპები, რომლებიც ყველაზე ხშირად გვხვდება პრაქტიკაში.

დავიწყოთ ლიმიტის კონცეფციით. მაგრამ პირველი, მოკლე ისტორიული ფონი. მე-19 საუკუნეში ცხოვრობდა ფრანგი ავგუსტინ ლუი კოში, რომელმაც მკაცრი განმარტება მისცა მატანის ბევრ ცნებას და ჩაუყარა საფუძველი. უნდა ითქვას, რომ ეს პატივცემული მათემატიკოსი იყო, არის და იქნება ფიზიკისა და მათემატიკის ფაკულტეტების ყველა სტუდენტის კოშმარში, რადგან მან დაამტკიცა მათემატიკური ანალიზის თეორემების დიდი რაოდენობა და ერთი თეორემა უფრო ლეტალურია, ვიდრე მეორე. ამასთან დაკავშირებით ჩვენ ჯერ არ განვიხილავთ კოშის ლიმიტის განსაზღვრა, მაგრამ შევეცადოთ გავაკეთოთ ორი რამ:

1. გაიგე რა არის ლიმიტი.
2. ისწავლეთ ლიმიტების ძირითადი ტიპების ამოხსნა.

ბოდიშს ვიხდი ზოგიერთი არამეცნიერული ახსნა-განმარტებისთვის, მნიშვნელოვანია, რომ მასალა ჩაიდანისთვისაც კი იყოს გასაგები, რაც, ფაქტობრივად, პროექტის ამოცანაა.

მაშ რა არის ზღვარი?

და მხოლოდ მაგალითი იმისა, თუ რატომ უნდა გაშტერებული ბებია...

ნებისმიერი ლიმიტი სამი ნაწილისგან შედგება:

1) ცნობილი ლიმიტის ხატულა.
2) ჩანაწერები ლიმიტის ხატულაზე, ამ შემთხვევაში . ჩანაწერში ნათქვამია "X მიდრეკილია ერთისკენ". ყველაზე ხშირად - ზუსტად, თუმცა პრაქტიკაში "X"-ის ნაცვლად სხვა ცვლადებია. პრაქტიკულ ამოცანებში ერთის ადგილი შეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი რიცხვი, ისევე როგორც უსასრულობა ().
3) ფუნქციონირებს ლიმიტის ნიშნის ქვეშ, ამ შემთხვევაში.

თავად ჩანაწერი ასე იკითხება: „ფუნქციის ზღვარი, როგორც x მიდრეკილია ერთიანობისკენ“.

მოდით გადავხედოთ შემდეგ მნიშვნელოვან კითხვას - რას ნიშნავს გამოთქმა "x"? ისწრაფვისერთს"? და რას ნიშნავს "სწრაფვა"?
ლიმიტის ცნება არის კონცეფცია, ასე ვთქვათ, დინამიური. მოდით ავაშენოთ თანმიმდევრობა: ჯერ , შემდეგ , , ..., , ….
ანუ გამოთქმა „x ისწრაფვის to one“ უნდა გავიგოთ შემდეგნაირად: „x“ თანმიმდევრულად იღებს მნიშვნელობებს რომლებიც ერთიანობას უსასრულოდ უახლოვდება და პრაქტიკულად ემთხვევა მას.

როგორ მოვაგვაროთ ზემოთ მოყვანილი მაგალითი? ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, თქვენ უბრალოდ უნდა ჩაანაცვლოთ ერთი ფუნქცია ლიმიტის ნიშნის ქვეშ:

ასე რომ, პირველი წესი: როდესაც რაიმე ლიმიტი გვეძლევა, ჯერ უბრალოდ ვცდილობთ შევაერთოთ ნომერი ფუნქციაში.

ჩვენ განვიხილეთ უმარტივესი ლიმიტი, მაგრამ ეს პრაქტიკაშიც ხდება და არც ისე იშვიათად!

მაგალითი უსასრულობით:

მოდი გავარკვიოთ რა არის? ეს ის შემთხვევაა, როცა ის იზრდება შეუზღუდავად, ანუ: ჯერ, მერე, მერე, მერე და ასე უსასრულოდ.

რა ემართება ფუნქციას ამ დროს?
, , , …

ასე რომ: თუ , მაშინ ფუნქცია მიდრეკილია მინუს უსასრულობამდე:

უხეშად რომ ვთქვათ, ჩვენი პირველი წესის მიხედვით, „X“-ის ნაცვლად უსასრულობას ვცვლით ფუნქციაში და ვიღებთ პასუხს.

კიდევ ერთი მაგალითი უსასრულობის შესახებ:

ისევ ვიწყებთ ზრდას უსასრულობამდე და ვუყურებთ ფუნქციის ქცევას:

დასკვნა: როდესაც ფუნქცია იზრდება შეუზღუდავად:

და კიდევ მაგალითების სერია:

გთხოვთ, შეეცადეთ გონებრივად გააანალიზოთ შემდეგი და გახსოვდეთ შეზღუდვების უმარტივესი ტიპები:

, , , , , , , , ,
თუ თქვენ გაქვთ რაიმე ეჭვი, შეგიძლიათ აიღოთ კალკულატორი და ცოტა ივარჯიშოთ.
იმ შემთხვევაში , სცადეთ ააგოთ თანმიმდევრობა , , . თუ , მაშინ , , .

! შენიშვნა: მკაცრად რომ ვთქვათ, რამდენიმე რიცხვის მიმდევრობის აგების ეს მიდგომა არასწორია, მაგრამ უმარტივესი მაგალითების გასაგებად ის საკმაოდ შესაფერისია.

ასევე ყურადღება მიაქციეთ შემდეგს. მაშინაც კი, თუ ლიმიტი მოცემულია დიდი რიცხვით ზევით, ან თუნდაც მილიონით: , მაშინ ყველაფერი ერთი და იგივეა , რადგან ადრე თუ გვიან "X" დაიწყებს ისეთი გიგანტური ღირებულებების მიღებას, რომ შედარებით მილიონი ნამდვილი მიკრობი იქნება.

რა უნდა გახსოვდეთ და გაიგოთ ზემოაღნიშნულიდან?

1) როდესაც მოცემულია რაიმე ლიმიტი, ჯერ ჩვენ უბრალოდ ვცდილობთ ჩავანაცვლოთ რიცხვი ფუნქციაში.

2) თქვენ უნდა გესმოდეთ და დაუყოვნებლივ გადაჭრათ უმარტივესი საზღვრები, როგორიცაა , და ა.შ.

უფრო მეტიც, ლიმიტს აქვს ძალიან კარგი გეომეტრიული მნიშვნელობა. თემის უკეთ გასაგებად გირჩევთ, წაიკითხოთ სასწავლო მასალა ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები. ამ სტატიის წაკითხვის შემდეგ თქვენ არა მხოლოდ საბოლოოდ გაიგებთ რა არის ლიმიტი, არამედ გაეცნობით საინტერესო შემთხვევებს, როდესაც ზოგადად ფუნქციის ლიმიტი არ არსებობს!

პრაქტიკაში, სამწუხაროდ, საჩუქრები ცოტაა. და ამიტომ ჩვენ გადავდივართ უფრო რთული საზღვრების განხილვაზე. სხვათა შორის, ამ თემაზე არსებობს ინტენსიური კურსი pdf ფორმატში, რაც განსაკუთრებით სასარგებლოა, თუ ძალიან ცოტა დრო გაქვთ მოსამზადებლად. მაგრამ საიტის მასალები, რა თქმა უნდა, არ არის უარესი:

ახლა განვიხილავთ ლიმიტების ჯგუფს, როდესაც და ფუნქცია არის წილადი, რომლის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს მრავალწევრებს.

მაგალითი:

ლიმიტის გამოთვლა

ჩვენი წესის მიხედვით, ჩვენ შევეცდებით ჩავანაცვლოთ უსასრულობა ფუნქციაში. რას ვიღებთ ზევით? უსასრულობა. და რა ხდება ქვემოთ? ასევე უსასრულობა. ამრიგად, ჩვენ გვაქვს ის, რასაც სახეობრივი გაურკვევლობა ჰქვია. შეიძლება ვინმემ იფიქროს, რომ და პასუხი მზად არის, მაგრამ ზოგადად ეს ასე არ არის და საჭიროა გადაწყვეტის ტექნიკის გამოყენება, რომელსაც ახლა განვიხილავთ.

როგორ გადავჭრათ ამ ტიპის ლიმიტები?

ჯერ ვათვალიერებთ მრიცხველს და ვპოულობთ უმაღლეს სიმძლავრეს:

მრიცხველში წამყვანი ძალა არის ორი.

ახლა ჩვენ ვუყურებთ მნიშვნელს და ასევე ვპოულობთ მას უმაღლეს ხარისხში:

მნიშვნელის უმაღლესი ხარისხი არის ორი.

შემდეგ ვირჩევთ მრიცხველისა და მნიშვნელის უმაღლეს ხარისხს: ამ მაგალითში ისინი იგივეა და ორის ტოლია.

ასე რომ, ამოხსნის მეთოდი ასეთია: გაურკვევლობის გამოსავლენად აუცილებელია მრიცხველი და მნიშვნელი გავყოთ უმაღლეს ხარისხზე.

აი ეს არის პასუხი და არა უსასრულობა.

რა არის ფუნდამენტურად მნიშვნელოვანი გადაწყვეტილების დიზაინში?

პირველ რიგში, ჩვენ აღვნიშნავთ გაურკვევლობას, ასეთის არსებობის შემთხვევაში.

მეორეც, მიზანშეწონილია გადაწყვეტის შეწყვეტა შუალედური ახსნა-განმარტებისთვის. მე ჩვეულებრივ ნიშანს ვიყენებ, მას არავითარი მათემატიკური მნიშვნელობა არ აქვს, მაგრამ ნიშნავს, რომ ამოხსნა წყდება შუალედური ახსნისთვის.

მესამე, ლიმიტში მიზანშეწონილია მონიშნოთ რა სად მიდის. როდესაც სამუშაო შედგენილია ხელით, უფრო მოსახერხებელია ამის გაკეთება ამ გზით:

უმჯობესია გამოიყენოთ მარტივი ფანქარი შენიშვნებისთვის.

რა თქმა უნდა, თქვენ არ გჭირდებათ ამის გაკეთება, მაგრამ შემდეგ, ალბათ, მასწავლებელი მიუთითებს გამოსავალში არსებულ ხარვეზებზე ან დაიწყებს დამატებითი კითხვების დასმას დავალების შესახებ. გჭირდება?

მაგალითი 2

იპოვეთ ლიმიტი
ისევ მრიცხველში და მნიშვნელში ვხვდებით უმაღლეს ხარისხში:

მაქსიმალური ხარისხი მრიცხველში: 3
მაქსიმალური ხარისხი მნიშვნელში: 4
აირჩიეთ უდიდესიღირებულება, ამ შემთხვევაში ოთხი.
ჩვენი ალგორითმის მიხედვით, გაურკვევლობის გამოსავლენად, მრიცხველს და მნიშვნელს ვყოფთ.
სრული დავალება შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:

გაყავით მრიცხველი და მნიშვნელი

მაგალითი 3

იპოვეთ ლიმიტი
"X"-ის მაქსიმალური ხარისხი მრიცხველში: 2
"X"-ის მაქსიმალური ხარისხი მნიშვნელში: 1 (შეიძლება დაიწეროს როგორც)
გაურკვევლობის გამოსავლენად აუცილებელია მრიცხველი და მნიშვნელი გავყოთ . საბოლოო გამოსავალი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:

გაყავით მრიცხველი და მნიშვნელი

აღნიშვნა არ ნიშნავს ნულზე გაყოფას (ნულის გაყოფა შეუძლებელია), არამედ უსასრულოდ მცირე რიცხვზე გაყოფას.

ამრიგად, სახეობების გაურკვევლობის გამოვლენით, ჩვენ შეგვიძლია შევძლოთ საბოლოო ნომერი, ნული ან უსასრულობა.

ლიმიტები მათი გადაჭრის ტიპისა და მეთოდის გაურკვევლობით

ლიმიტების შემდეგი ჯგუფი გარკვეულწილად მსგავსია ახლახან განხილულ ზღვრებთან: მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს მრავალწევრებს, მაგრამ "x" აღარ მიისწრაფვის უსასრულობისკენ, არამედ სასრული რიცხვი.

მაგალითი 4

ლიმიტის ამოხსნა
ჯერ ვცადოთ -1 ჩავანაცვლოთ წილადში:

ამ შემთხვევაში მიიღება გაურკვევლობა ე.წ.

Ზოგადი წესი: თუ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს მრავალწევრებს და არის ფორმის გაურკვევლობა, მაშინ უნდა გაამჟღავნოთ იგი თქვენ უნდა შეაფასოთ მრიცხველი და მნიშვნელი.

ამისათვის ყველაზე ხშირად თქვენ უნდა ამოხსნათ კვადრატული განტოლება და/ან გამოიყენოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულები. თუ ეს ყველაფერი დაგავიწყდათ, მაშინ ეწვიეთ გვერდს მათემატიკური ფორმულები და ცხრილებიდა წაიკითხეთ სასწავლო მასალა ცხელი ფორმულები სასკოლო მათემატიკის კურსისთვის. სხვათა შორის, უმჯობესია მისი დაბეჭდვა ძალიან ხშირად და ინფორმაცია უკეთესად შეიწოვება ქაღალდიდან.

მაშ, მოვაგვაროთ ჩვენი ლიმიტი

შეაფასეთ მრიცხველი და მნიშვნელი

მრიცხველის ფაქტორზე დასადგენად, თქვენ უნდა ამოხსნათ კვადრატული განტოლება:

ჯერ ვპოულობთ დისკრიმინანტს:

და მისი კვადრატული ფესვი: .

თუ დისკრიმინანტი დიდია, მაგალითად 361, ვიყენებთ კალკულატორს კვადრატული ფესვის ამოღების ფუნქცია უმარტივეს კალკულატორზე.

! თუ ფესვი მთლიანად არ არის ამოღებული (მიიღება წილადი რიცხვი მძიმით), დიდია ალბათობა იმისა, რომ დისკრიმინანტი არასწორად იყო გამოთვლილი ან დავალებაში იყო შეცდომა.

შემდეგ ვიპოვით ფესვებს:

ამრიგად:

ყველა. მრიცხველი ფაქტორიზებულია.

მნიშვნელი. მნიშვნელი უკვე უმარტივესი ფაქტორია და მისი გამარტივება არ არსებობს.

ცხადია, ის შეიძლება შემცირდეს შემდეგზე:

ახლა ჩვენ ვცვლით -1 გამონათქვამს, რომელიც რჩება ზღვრის ნიშნის ქვეშ:

ბუნებრივია, ტესტში, ტესტში ან გამოცდაში გამოსავალი არასოდეს არის აღწერილი ასე დეტალურად. საბოლოო ვერსიაში, დიზაინი ასე უნდა გამოიყურებოდეს:

მოდით, მრიცხველის ფაქტორიზირება.

მაგალითი 5

ლიმიტის გამოთვლა

პირველი, გადაწყვეტის "დასრულება" ვერსია

მოდით ფაქტორზე გავატაროთ მრიცხველი და მნიშვნელი.

მრიცხველი:
მნიშვნელი:

,

რა არის მნიშვნელოვანი ამ მაგალითში?
ჯერ კარგად უნდა გესმოდეთ, როგორ ვლინდება მრიცხველი, ჯერ ფრჩხილებიდან ავიღეთ 2 და შემდეგ გამოვიყენეთ ფორმულა კვადრატების სხვაობისთვის. ეს არის ფორმულა, რომელიც უნდა იცოდეთ და ნახოთ.

რეკომენდაცია: თუ ლიმიტში (თითქმის ნებისმიერი ტიპის) შესაძლებელია რიცხვის ამოღება ფრჩხილებიდან, მაშინ ამას ყოველთვის ვაკეთებთ.
უფრო მეტიც, მიზანშეწონილია გადაიტანოთ ასეთი რიცხვები ლიმიტის ხატულაზე. Რისთვის? დიახ, მხოლოდ იმისთვის, რომ მათ ხელი არ შეუშალონ. მთავარია ეს რიცხვები მოგვიანებით არ დაკარგოთ ამოხსნის დროს.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ამოხსნის ბოლო ეტაპზე მე ამოვიღე ორი ლიმიტის ხატულა, შემდეგ კი მინუსი.

! Მნიშვნელოვანი
ხსნარის დროს ძალიან ხშირად ჩნდება ტიპის ფრაგმენტი. შეამცირეთ ეს ფრაქციააკრძალულია . ჯერ უნდა შეცვალოთ მრიცხველის ან მნიშვნელის ნიშანი (ჩადეთ -1 ფრჩხილებიდან).
, ანუ ჩნდება მინუს ნიშანი, რომელიც გათვალისწინებულია ლიმიტის გამოთვლისას და საერთოდ არ არის საჭირო მისი დაკარგვა.

ზოგადად, მე შევამჩნიე, რომ ყველაზე ხშირად ამ ტიპის ზღვრების პოვნისას თქვენ უნდა ამოხსნათ ორი კვადრატული განტოლება, ანუ მრიცხველიც და მნიშვნელიც შეიცავს კვადრატულ ტრინომებს.

მრიცხველის და მნიშვნელის გამრავლების მეთოდი კონიუგატულ გამოსახულებაში

ჩვენ ვაგრძელებთ ფორმის გაურკვევლობის განხილვას

შემდეგი ტიპის ლიმიტები წინა ტიპის მსგავსია. ერთადერთი, მრავალწევრების გარდა, ჩვენ დავამატებთ ფესვებს.

მაგალითი 6

იპოვეთ ლიმიტი

დავიწყოთ გადაწყვეტილების მიღება.

პირველ რიგში, ჩვენ ვცდილობთ ჩავანაცვლოთ 3 გამოსახულებაში ლიმიტის ნიშნის ქვეშ
კიდევ ერთხელ ვიმეორებ - ეს არის პირველი, რაც უნდა გააკეთოთ ნებისმიერი ლიმიტისთვის. ეს მოქმედება, როგორც წესი, ხორციელდება გონებრივად ან ნახატის სახით.

მიღებულია ფორმის გაურკვევლობა, რომელიც უნდა აღმოიფხვრას.

როგორც ალბათ შენიშნეთ, ჩვენი მრიცხველი შეიცავს ფესვების განსხვავებას. და მათემატიკაში ჩვეულებრივია ფესვების მოშორება, თუ ეს შესაძლებელია. Რისთვის? და მათ გარეშე ცხოვრება უფრო ადვილია.

მათთვის, ვისაც სურს ისწავლოს საზღვრების პოვნა, ამ სტატიაში ვისაუბრებთ ამაზე. ჩვენ არ ჩავუღრმავდებით თეორიას, როგორც წესი, მას ლექციებზე კითხულობენ. ასე რომ, "მოსაწყენი თეორია" უნდა ჩაიწეროს თქვენს ბლოკნოტებში. თუ ეს ასე არ არის, მაშინ შეგიძლიათ წაიკითხოთ სახელმძღვანელოები, რომლებიც აღებულია სასწავლო დაწესებულების ბიბლიოთეკიდან ან სხვა ინტერნეტ რესურსებიდან.

ასე რომ, ლიმიტის ცნება საკმაოდ მნიშვნელოვანია უმაღლესი მათემატიკის კურსის შესწავლისას, განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც შეხვდებით ინტეგრალურ კალკულუსს და გესმით კავშირი ლიმიტსა და ინტეგრალს შორის. მიმდინარე მასალა განიხილავს მარტივ მაგალითებს, ასევე მათ გადაჭრის გზებს.

გადაწყვეტილებების მაგალითები

მაგალითი 1
გამოთვალეთ a) $ \lim_(x \ to 0) \frac(1)(x) $; ბ)$ \lim_(x \ to \infty) \frac(1)(x) $
გამოსავალი
ა) $$ \lim \limits_(x \0-მდე) \frac(1)(x) = \infty $$ ბ)$$ \lim_(x \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ ადამიანები ხშირად გვიგზავნიან ამ შეზღუდვებს თხოვნით, რომ დავეხმაროთ მათ მოგვარებაში. ჩვენ გადავწყვიტეთ გამოვყოთ ისინი, როგორც ცალკე მაგალითი და განვმარტოთ, რომ ეს საზღვრები უბრალოდ უნდა გვახსოვდეს, როგორც წესი. თუ ვერ გადაჭრით პრობლემას, გამოგვიგზავნეთ. ჩვენ მოგაწვდით დეტალურ გადაწყვეტას. თქვენ შეძლებთ ნახოთ გაანგარიშების მიმდინარეობა და მიიღოთ ინფორმაცია. ეს დაგეხმარებათ მასწავლებლისგან დროულად მიიღოთ თქვენი შეფასება!
უპასუხე
$$ \text(a)) \lim \limits_(x \0) \frac(1)(x) = \infty \text(b))\lim \limits_(x \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

რა ვუყოთ ფორმის გაურკვევლობას: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

მაგალითი 3
ამოხსენი $ \lim \limits_(x \ to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $
გამოსავალი
როგორც ყოველთვის, ჩვენ ვიწყებთ $ x $ მნიშვნელობის ჩანაცვლებით გამონათქვამში ლიმიტის ნიშნის ქვეშ. $$ \lim \limits_(x \ to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0) (0) $$ რა არის შემდეგი ახლა? რა უნდა მოხდეს საბოლოოდ? ვინაიდან ეს გაურკვევლობაა, ეს ჯერ არ არის პასუხი და ვაგრძელებთ გამოთვლას. ვინაიდან მრიცხველებში გვაქვს პოლინომი, ჩვენ მას ფაქტორიზაციას მოვახდენთ სკოლის ყველასთვის ნაცნობი ფორმულის გამოყენებით $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Გახსოვს? დიდი! ახლა გააგრძელეთ და გამოიყენეთ იგი სიმღერასთან ერთად :) ჩვენ ვხვდებით, რომ მრიცხველი $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ ჩვენ ვაგრძელებთ გადაჭრას ზემოაღნიშნული ტრანსფორმაციის გათვალისწინებით: $$ \lim \limits_(x \ to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \ to -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \ to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$
უპასუხე
$$ \lim \limits_(x \ to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

მოდით გადავიტანოთ ბოლო ორი მაგალითის ლიმიტი უსასრულობამდე და განვიხილოთ გაურკვევლობა: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

მაგალითი 5
გამოთვალეთ $ \lim \limits_(x \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $
გამოსავალი
$ \lim \limits_(x \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Რა უნდა ვქნა? Რა უნდა გავაკეთო? არ ინერვიულოთ, რადგან შეუძლებელი შესაძლებელია. აუცილებელია x ამოიღოთ როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში და შემდეგ შეამციროთ. ამის შემდეგ შეეცადეთ გამოთვალოთ ლიმიტი. Მოდი ვცადოთ... $$ \lim \limits_(x \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ მე-2 მაგალითის განმარტების გამოყენებით და x-ით უსასრულობის ჩანაცვლებით, მივიღებთ: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$
უპასუხე
$$ \lim \limits_(x \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

ლიმიტების გამოთვლის ალგორითმი

მაშ ასე, მოკლედ შევაჯამოთ მაგალითები და შევქმნათ ალგორითმი ლიმიტების გადასაჭრელად:

ჩაანაცვლეთ x წერტილი ზღვრული ნიშნის შემდეგ გამოსახულებაში. თუ მიიღება გარკვეული რიცხვი ან უსასრულობა, მაშინ ლიმიტი მთლიანად ამოხსნილია. წინააღმდეგ შემთხვევაში, გვაქვს გაურკვევლობა: „ნული გაყოფილი ნულზე“ ან „უსასრულობა გაყოფილი უსასრულობაზე“ და გადავდივართ ინსტრუქციის შემდეგ საფეხურებზე.
"ნული გაყოფილი ნულზე" გაურკვევლობის აღმოსაფხვრელად, თქვენ უნდა დაადგინოთ მრიცხველი და მნიშვნელი. შეამცირეთ მსგავსი. ჩაანაცვლეთ x წერტილი გამოსახულებაში ზღვრის ნიშნის ქვეშ.
თუ გაურკვევლობა არის „უსასრულობა გაყოფილი უსასრულობაზე“, მაშინ ჩვენ ამოვიღებთ მრიცხველსაც და x მნიშვნელსაც უდიდესი ხარისხით. ჩვენ ვამოკლებთ X-ებს. ჩვენ ვცვლით x-ის მნიშვნელობებს ლიმიტის ქვემოდან დანარჩენ გამოსახულებაში.

ამ სტატიაში თქვენ ისწავლეთ ლიმიტების ამოხსნის საფუძვლები, რომლებიც ხშირად გამოიყენება Calculus-ის კურსში. რა თქმა უნდა, ეს არ არის ყველა სახის პრობლემა, რომელსაც სთავაზობენ გამომცდელები, არამედ მხოლოდ უმარტივესი საზღვრები. სხვა ტიპის დავალებებზე ვისაუბრებთ მომავალ სტატიებში, მაგრამ ჯერ ეს გაკვეთილი უნდა ისწავლოთ, რათა წინ წახვიდეთ. მოდით განვიხილოთ რა უნდა გავაკეთოთ, თუ არსებობს ფესვები, გრადუსები, შევისწავლოთ უსასრულოდ მცირე ეკვივალენტური ფუნქციები, ღირსშესანიშნავი ლიმიტები, L'Hopital-ის წესი.

თუ თქვენ თვითონ ვერ ხვდებით საზღვრებს, ნუ ჩავარდებით. ჩვენ ყოველთვის მოხარული ვართ დაგეხმაროთ!

ჩვენ ვაგრძელებთ ლიმიტების თეორიის მზა პასუხების ანალიზს და დღეს ყურადღებას გავამახვილებთ მხოლოდ იმ შემთხვევაზე, როდესაც ცვლადი ფუნქციაში ან რიცხვი მიმდევრობაში მიდრეკილია უსასრულობისკენ. უსასრულობისკენ მიდრეკილი ცვლადის ლიმიტის გამოთვლის ინსტრუქციები აქ მხოლოდ ცალკეულ შემთხვევებზე შევჩერდებით, რომლებიც ყველასთვის აშკარა და მარტივი არ არის.

მაგალითი 35. წილადის სახით გვაქვს მიმდევრობა, სადაც მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ფესვის ფუნქციებს.
ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ზღვარი, როდესაც რიცხვი უსასრულობისკენ მიისწრაფვის.
აქ არ არის საჭირო მრიცხველში ირაციონალურობის გამოვლენა, არამედ მხოლოდ გულდასმით გაანალიზეთ ფესვები და დაადგინეთ, სად შეიცავს რიცხვის უფრო მაღალი სიმძლავრე.
პირველში, მრიცხველის ფესვები არის მამრავლი n^4, ანუ n^2 შეიძლება ამოღებულ იქნას ფრჩხილებიდან.
იგივე გავაკეთოთ მნიშვნელთან.
შემდეგი, ჩვენ ვაფასებთ რადიკალური გამონათქვამების მნიშვნელობას ლიმიტზე გადასვლისას.

ჩვენ მივიღეთ გაყოფა ნულზე, რაც არასწორია სასკოლო კურსში, მაგრამ ზღვრამდე გადასვლისას მისაღებია.
მხოლოდ შესწორებით „შეაფასოს სად მიდის ფუნქცია“.
ამიტომ, ყველა მასწავლებელს არ შეუძლია ზემოაღნიშნული აღნიშვნის სწორად ინტერპრეტაცია, თუმცა მათ ესმით, რომ შედეგი არ შეიცვლება.
ვნახოთ თეორიის მიხედვით მასწავლებლების მოთხოვნების მიხედვით შედგენილ პასუხს.
გასამარტივებლად, ჩვენ შევაფასებთ მხოლოდ მთავარ დანამატებს root-ის ქვეშ

გარდა ამისა, მრიცხველში სიმძლავრე უდრის 2-ს, მნიშვნელში 2/3, ამიტომ მრიცხველი უფრო სწრაფად იზრდება, რაც ნიშნავს, რომ ზღვარი მიისწრაფვის უსასრულობისკენ.
მისი ნიშანი დამოკიდებულია n^2, n^(2/3) ფაქტორებზე, ამიტომ დადებითია.

მაგალითი 36. განვიხილოთ ექსპონენციალური ფუნქციების გაყოფის ლიმიტის მაგალითი. ამ ტიპის პრაქტიკული მაგალითები ცოტაა, ამიტომ ყველა სტუდენტი ადვილად ვერ ხედავს, როგორ გამოავლინოს წარმოშობილი გაურკვევლობა.
მრიცხველისა და მნიშვნელის მაქსიმალური კოეფიციენტი არის 8^n და ჩვენ ამით ვამარტივებთ

შემდეგი, ჩვენ ვაფასებთ თითოეული ტერმინის წვლილს
ტერმინები 3/8 მიდრეკილია ნულისკენ, რადგან ცვლადი მიდის უსასრულობამდე, რადგან 3/8<1 (свойство степенно-показательной функции).

მაგალითი 37. ფაქტორებით მიმდევრობის ზღვარი ვლინდება მრიცხველისა და მნიშვნელის ფაქტორების უდიდეს საერთო ფაქტორამდე ჩაწერით.
შემდეგი, ჩვენ ვამცირებთ მას და ვაფასებთ ლიმიტს მრიცხველსა და მნიშვნელში რიცხვითი ინდიკატორების მნიშვნელობის მიხედვით.
ჩვენს მაგალითში მნიშვნელი უფრო სწრაფად იზრდება, ამიტომ ზღვარი არის ნული.

აქ გამოიყენება შემდეგი

ფაქტორული თვისება.

მაგალითი 38. L'Hopital-ის წესების გამოყენების გარეშე ვადარებთ ცვლადის მაქსიმალურ მაჩვენებლებს წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელში.
ვინაიდან მნიშვნელი შეიცავს 4>2 ცვლადის უმაღლეს მაჩვენებელს, ის უფრო სწრაფად იზრდება.
აქედან დავასკვნათ, რომ ფუნქციის ზღვარი ნულისკენ მიისწრაფვის.

მაგალითი 39. უსასრულობაზე გაყოფილი ფორმის თავისებურებას ვავლენთ წილადის მრიცხველიდან და მნიშვნელიდან x^4-ის ამოღებით.
ზღვარზე გადასვლის შედეგად ვიღებთ უსასრულობას.

მაგალითი 40. ჩვენ გვაქვს მრავალწევრების გაყოფა, უნდა განვსაზღვროთ ზღვარი, რადგან ცვლადი მიდრეკილია უსასრულობისკენ.
ცვლადის უმაღლესი ხარისხი მრიცხველსა და მნიშვნელში არის 3, რაც ნიშნავს, რომ ზღვარი არსებობს და უდრის მიმდინარეს.
ამოვიღოთ x^3 და შევასრულოთ გადასასვლელი ზღვრამდე

მაგალითი 41. გვაქვს ერთი ტიპის სინგულარობა უსასრულობის ხარისხში.
ეს ნიშნავს, რომ გამოხატულება ფრჩხილებში და თავად ინდიკატორი უნდა იყოს მეორე მნიშვნელოვანი საზღვრის ქვეშ.
ჩამოვწეროთ მრიცხველი, რათა გამოვყოთ მასში გამოსახული, რომელიც მნიშვნელის იდენტურია.
შემდეგი, ჩვენ გადავდივართ გამონათქვამზე, რომელიც შეიცავს ერთს პლუს ტერმინს.
ხარისხი უნდა გამოირჩეოდეს ფაქტორით 1/(ტერმინი).
ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ წილადის ფუნქციის ზღვრის სიმძლავრის მაჩვენებელს.

სინგულარობის შესაფასებლად გამოვიყენეთ მეორე ზღვარი:

მაგალითი 42. გვაქვს ერთი ტიპის სინგულარობა უსასრულობის ხარისხში.
მის გამოსავლენად, ფუნქცია უნდა შემცირდეს მეორე შესანიშნავ ზღვარზე.
როგორ გავაკეთოთ ეს დეტალურად არის ნაჩვენები შემდეგ ფორმულაში

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ბევრი მსგავსი პრობლემა. მათი არსი მდგომარეობს იმაში, რომ მიიღონ საჭირო ხარისხი მაჩვენებელში და ის უდრის ფრჩხილებში მოცემული ტერმინის შებრუნებულ მნიშვნელობას ერთზე.
ამ მეთოდის გამოყენებით ვიღებთ მაჩვენებელს. შემდგომი გამოთვლა მცირდება მაჩვენებლის ხარისხის ლიმიტის გამოანგარიშებამდე.
აქ ექსპონენციალური ფუნქცია მიდრეკილია უსასრულობისკენ, ვინაიდან მნიშვნელობა ერთზე მეტია e=2.72>1.

მაგალითი 43 წილადის მნიშვნელში გვაქვს უსასრულობის მინუს უსასრულობის ტიპის გაურკვევლობა, რომელიც რეალურად უდრის ნულზე გაყოფას.
ფესვის მოსაშორებლად, ჩვენ ვამრავლებთ კონიუგატულ გამოსახულებას და შემდეგ ვიყენებთ კვადრატების სხვაობის ფორმულას მნიშვნელის გადასაწერად.
ჩვენ ვიღებთ უსასრულობის განუსაზღვრელობას გაყოფილი უსასრულობაზე, ამიტომ ამოვიღებთ ცვლადს უდიდესი ზომით და ვამცირებთ მას.
შემდეგი, ჩვენ ვაფასებთ თითოეული წევრის წვლილს და ვპოულობთ ფუნქციის ზღვარს უსასრულობაში

განაცხადი

საიტზე ონლაინ შეზღუდვები სტუდენტებისა და სკოლის მოსწავლეებისთვის, რათა სრულად გააერთიანონ მათ მიერ გაშუქებული მასალა. როგორ მოვძებნოთ ლიმიტი ონლაინ ჩვენი რესურსის გამოყენებით? ამის გაკეთება ძალიან მარტივია, თქვენ უბრალოდ უნდა ჩაწეროთ ორიგინალური ფუნქცია x ცვლადით, აირჩიოთ სასურველი უსასრულობა და დააწკაპუნოთ ღილაკზე „Solve“. იმ შემთხვევაში, როდესაც ფუნქციის ზღვარი უნდა გამოითვალოს რაღაც წერტილში x, მაშინ თქვენ უნდა მიუთითოთ სწორედ ამ წერტილის რიცხვითი მნიშვნელობა. ლიმიტის ამოხსნაზე პასუხს მიიღებთ წამებში, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ - მყისიერად. თუმცა, თუ თქვენ მიუთითებთ არასწორ მონაცემებს, სერვისი ავტომატურად შეგატყობინებთ შეცდომის შესახებ. შეასწორეთ ადრე დანერგილი ფუნქცია და მიიღეთ სწორი გადაწყვეტა ზღვრამდე. ლიმიტების გადასაჭრელად გამოიყენება ყველა შესაძლო ტექნიკა, განსაკუთრებით ხშირად გამოიყენება L'Hopital-ის მეთოდი, რადგან ის უნივერსალურია და უფრო სწრაფად იწვევს პასუხს, ვიდრე ფუნქციის ლიმიტის გამოთვლის სხვა მეთოდებს. საინტერესოა მაგალითების ნახვა, რომლებშიც მოდული იმყოფება. სხვათა შორის, ჩვენი რესურსის წესების მიხედვით, მოდული აღინიშნება კლასიკური ვერტიკალური ზოლით მათემატიკაში "|" ან Abs(f(x)) ლათინური აბსოლუტურიდან. ხშირად ლიმიტის ამოხსნა საჭიროა რიცხვების მიმდევრობის ჯამის გამოსათვლელად. როგორც ყველამ იცის, თქვენ უბრალოდ უნდა სწორად გამოხატოთ შესასწავლი თანმიმდევრობის ნაწილობრივი ჯამი, შემდეგ კი ყველაფერი გაცილებით მარტივია, ჩვენი ვებგვერდის უფასო სერვისის წყალობით, რადგან ნაწილობრივი ჯამის ლიმიტის გამოთვლა არის რიცხვითი მიმდევრობის საბოლოო ჯამი. ზოგადად რომ ვთქვათ, ზღვარზე გადასვლის თეორია არის ყველა მათემატიკური ანალიზის ძირითადი კონცეფცია. ყველაფერი დაფუძნებულია ზუსტად საზღვრებზე გადასვლებზე, ანუ ლიმიტების ამოხსნა არის მათემატიკური ანალიზის მეცნიერების საფუძველი. ინტეგრაციისას ასევე გამოიყენება ზღვრამდე გადასვლა, როდესაც ინტეგრალი, თეორიის მიხედვით, წარმოდგენილია როგორც ტერიტორიების შეუზღუდავი რაოდენობის ჯამი. სადაც არის რაღაცის შეუზღუდავი რაოდენობა, ანუ ობიექტების რაოდენობის ტენდენცია უსასრულობისკენ, მაშინ ზღვრული გადასვლების თეორია ყოველთვის ძალაში შედის და მისი ზოგადად მიღებული ფორმით ეს არის გამოსავალი ყველასთვის ნაცნობი საზღვრებისთვის. საიტზე ლიმიტების გადაჭრა არის უნიკალური სერვისი რეალურ დროში ზუსტი და მყისიერი პასუხის მისაღებად. ფუნქციის ლიმიტი (ფუნქციის შემზღუდველი მნიშვნელობა) მოცემულ წერტილში, ფუნქციის განსაზღვრის დომენის შემზღუდველი წერტილი, არის მნიშვნელობა, რომლისკენაც მიისწრაფვის განსახილველი ფუნქციის მნიშვნელობა, როგორც მისი არგუმენტი მიდრეკილია მოცემულისკენ. წერტილი. არც ისე იშვიათია და ხშირად ვიტყოდით, რომ მათემატიკური ანალიზის შესწავლისას მოსწავლეებს აქვთ ონლაინ ლიმიტების ამოხსნის საკითხი. როდესაც გაინტერესებთ ონლაინ ლიმიტის ამოხსნა დეტალური გადაწყვეტით მხოლოდ განსაკუთრებულ შემთხვევებში, ცხადი ხდება, რომ თქვენ ვერ გაუმკლავდებით რთულ პრობლემას ლიმიტის კალკულატორის გამოყენების გარეშე. ჩვენი სერვისით ლიმიტების ამოხსნა არის სიზუსტის და სიმარტივის გარანტია ფუნქციის ლიმიტი არის მიმდევრობის ლიმიტის კონცეფციის განზოგადება: თავდაპირველად, ფუნქციის ლიმიტი ერთ წერტილში გაგებული იყო, როგორც მიმდევრობის ზღვარი. ფუნქციის მნიშვნელობების დომენის ელემენტები, შედგენილი ფუნქციის განსაზღვრის დომენის ელემენტების ელემენტების თანმიმდევრობის გამოსახულებებისაგან, რომლებიც კონვერგირდება მოცემულ წერტილში (ლიმიტი, რომელზეც განიხილება); თუ ასეთი ლიმიტი არსებობს, მაშინ ამბობენ, რომ ფუნქცია უახლოვდება მითითებულ მნიშვნელობას; თუ ასეთი ლიმიტი არ არსებობს, მაშინ ამბობენ, რომ ფუნქცია განსხვავდება. ლიმიტების ონლაინ გადაჭრა ხდება მარტივი პასუხი მომხმარებლებისთვის, იმ პირობით, რომ მათ იციან როგორ გადაჭრან ლიმიტი ონლაინ ვებსაიტის გამოყენებით. ვიყოთ კონცენტრირებულები და შეცდომებმა არ შეგვიქმნას პრობლემები არადამაკმაყოფილებელი ქულების სახით. ლიმიტების ონლაინ გადაწყვეტის მსგავსად, თქვენი პრობლემა წარმოდგენილი იქნება მოსახერხებელი და გასაგები ფორმით, დეტალური გადაწყვეტით, გადაწყვეტის მოპოვების ყველა წესისა და რეგულაციის დაცვით. ყველაზე ხშირად, ფუნქციის ლიმიტის განსაზღვრა ფორმირებულია უბნების ენაზე. აქ ფუნქციის საზღვრები განიხილება მხოლოდ იმ წერტილებში, რომლებიც ზღუდავს ფუნქციის განსაზღვრის დომენს, რაც იმას ნიშნავს, რომ მოცემული წერტილის თითოეულ სამეზობლოში არის წერტილები სწორედ ამ ფუნქციის განსაზღვრის დომენიდან. ეს საშუალებას გვაძლევს ვისაუბროთ ფუნქციის არგუმენტის ტენდენციაზე მოცემულ წერტილზე. მაგრამ განსაზღვრების დომენის ზღვრული წერტილი არ უნდა ეკუთვნოდეს თავად განსაზღვრების დომენს და ეს დასტურდება ლიმიტის ამოხსნით: მაგალითად, შეიძლება განვიხილოთ ფუნქციის ზღვარი ღია ინტერვალის ბოლოებში, რომელზეც ფუნქცია განსაზღვრულია. ამ შემთხვევაში, თავად ინტერვალის საზღვრები არ შედის განმარტების დომენში. ამ თვალსაზრისით, მოცემული წერტილის პუნქციური უბნების სისტემა არის კომპლექტების ასეთი ბაზის განსაკუთრებული შემთხვევა. ონლაინ ლიმიტების ამოხსნა დეტალური გადაწყვეტილებით ხდება რეალურ დროში და ფორმულების გამოყენებით მკაფიოდ განსაზღვრული ფორმით შეგიძლიათ დაზოგოთ დრო და რაც მთავარია ფული, რადგან ჩვენ არ ვითხოვთ ანაზღაურებას. თუ ფუნქციის განსაზღვრის დომენში რაღაც მომენტში არის ლიმიტი და ამ ლიმიტის ამოხსნა უდრის ამ მომენტში ფუნქციის მნიშვნელობას, მაშინ ფუნქცია გამოდის უწყვეტი ასეთ წერტილში. ჩვენს ვებსაიტზე ლიმიტების გამოსავალი ხელმისაწვდომია ონლაინ ოცდაოთხი საათის განმავლობაში, ყოველდღე და ყოველ წუთში ლიმიტის კალკულატორის გამოყენება ძალიან მნიშვნელოვანია და მთავარია გამოიყენოთ იგი ყოველ ჯერზე, როცა გჭირდებათ თქვენი ცოდნის შემოწმება. სტუდენტები აშკარად სარგებლობენ მთელი ამ ფუნქციით. მხოლოდ თეორიის გამოყენებით ლიმიტის გამოთვლა და გამოყენება ყოველთვის ასე მარტივი არ იქნება, როგორც ამას ქვეყნის უნივერსიტეტების მათემატიკის ფაკულტეტების გამოცდილი სტუდენტები ამბობენ. ფაქტი ფაქტად რჩება, თუ მიზანი არსებობს. როგორც წესი, ლიმიტების ნაპოვნი გამოსავალი ადგილობრივად არ გამოიყენება პრობლემის ფორმულირებისთვის. სტუდენტი გაიხარებს, როგორც კი ინტერნეტში აღმოაჩენს ლიმიტის კალკულატორს ონლაინ და თავისუფლად მისაწვდომს და არა მხოლოდ თავისთვის, არამედ ყველასთვის. მიზანი უნდა ჩაითვალოს მათემატიკად, მისი ზოგადი გაგებით. თუ ინტერნეტში გკითხავთ, როგორ უნდა იპოვოთ ლიმიტი ონლაინ დეტალურად, მაშინ საიტების მასა, რომლებიც გამოჩნდება მოთხოვნის შედეგად, არ დაგვეხმარება ისე, როგორც ჩვენ გავაკეთებთ. მხარეებს შორის განსხვავება მრავლდება შემთხვევის ეკვივალენტობაზე. ფუნქციის ორიგინალური ლეგიტიმური ზღვარი უნდა განისაზღვროს თავად მათემატიკური ამოცანის ფორმულირებით. ჰამილტონი მართალი იყო, მაგრამ ღირს მისი თანამედროვეების განცხადებების გათვალისწინება. ონლაინ ლიმიტების გამოთვლა სულაც არ არის ისეთი რთული ამოცანა, როგორც ეს შეიძლება ვინმეს ერთი შეხედვით მოეჩვენოს... რათა არ დაირღვეს ურყევი თეორიების სიმართლე. საწყის მდგომარეობას რომ დავუბრუნდეთ, აუცილებელია ლიმიტის გამოთვლა სწრაფად, ეფექტურად და სწორად ფორმატირებული ფორმით. შეიძლებოდა თუ არა სხვაგვარად გაკეთება? ეს მიდგომა აშკარა და გამართლებულია. ლიმიტის კალკულატორი შეიქმნა ცოდნის ამაღლების, საშინაო დავალების წერის ხარისხის გასაუმჯობესებლად და მოსწავლეებში ზოგადი განწყობის ასამაღლებლად, ამიტომ მათთვის სწორი იქნება. თქვენ უბრალოდ უნდა იფიქროთ რაც შეიძლება სწრაფად და გონება გაიმარჯვებს. ცალსახად საუბარი ონლაინ ინტერპოლაციის ტერმინების საზღვრებზე ძალიან დახვეწილი საქმიანობაა მათი ხელობის პროფესიონალებისთვის. ჩვენ ვიწინასწარმეტყველებთ დაუგეგმავი განსხვავებების სისტემის თანაფარდობას სივრცის წერტილებში. და ისევ, პრობლემა დაყვანილია გაურკვევლობამდე, გამომდინარე იქიდან, რომ ფუნქციის ლიმიტი არსებობს უსასრულობაში და ლოკალური წერტილის გარკვეულ მიმდებარე ტერიტორიაზე მოცემულ x-ღერძზე საწყისი გამოხატვის აფინური ტრანსფორმაციის შემდეგ. გაგიადვილდებათ წერტილების ასვლის ანალიზი თვითმფრინავზე და სივრცის ზედა ნაწილში. ზოგადად, არ არის ნათქვამი მათემატიკური ფორმულის წარმოშობაზე, როგორც რეალურად, ასევე თეორიულად, ისე, რომ ონლაინ ლიმიტის კალკულატორი ამ თვალსაზრისით გამოიყენება მისი დანიშნულებისამებრ. ონლაინ ლიმიტის განსაზღვრის გარეშე, მიჭირს შემდგომი გამოთვლების განხორციელება მრუდი სივრცის შესწავლის სფეროში. უფრო ადვილი არ იქნება სწორი პასუხის პოვნა. შეუძლებელია ლიმიტის გამოთვლა, თუ სივრცეში მოცემული წერტილი წინასწარ გაურკვეველია? მოდით უარვყოთ პასუხების არსებობა შესწავლის სფეროს მიღმა. ლიმიტების ამოხსნა შეიძლება განხილული იყოს მათემატიკური ანალიზის თვალსაზრისით, როგორც ღერძზე წერტილების მიმდევრობის შესწავლის დასაწყისი. უბრალო გამოთვლის ფაქტი შეიძლება იყოს შეუსაბამო. რიცხვები წარმოდგენილია როგორც უსასრულო მიმდევრობა და იდენტიფიცირებულია თავდაპირველი აღნიშვნით მას შემდეგ, რაც ჩვენ დეტალურად გადავჭრით ლიმიტს ონლაინ თეორიის მიხედვით. გამართლებულია საუკეთესო ღირებულების სასარგებლოდ. ფუნქციის ლიმიტის შედეგმა, როგორც აშკარა შეცდომა არასწორად ჩამოყალიბებულ პრობლემაში, შეიძლება დაამახინჯოს არასტაბილური სისტემის რეალური მექანიკური პროცესის იდეა. მნიშვნელობის გამოხატვის უნარი პირდაპირ სანახავ ზონაში. ონლაინ ლიმიტის ასოცირებით ცალმხრივი ზღვრული მნიშვნელობის ანალოგიურ აღნიშვნასთან, უმჯობესია თავიდან აიცილოთ მისი ცალსახად გამოხატვა შემცირების ფორმულების გამოყენებით. დავალების პროპორციული შესრულების დაწყების გარდა. ჩვენ გავაფართოვებთ მრავალწევრს მას შემდეგ, რაც შეგვიძლია გამოვთვალოთ ცალმხრივი ზღვარი და დავწეროთ უსასრულობაში. მარტივი აზრები მათემატიკური ანალიზის ნამდვილ შედეგამდე მივყავართ. ლიმიტების მარტივი გადაწყვეტა ხშირად მოდის შესრულებული დაპირისპირებული მათემატიკური ილუსტრაციების თანასწორობის განსხვავებულ ხარისხზე. ხაზებმა და ფიბონაჩის ნომრებმა გაშიფრეს ლიმიტის კალკულატორი ონლაინ, აქედან გამომდინარე, შეგიძლიათ შეუკვეთოთ ულიმიტო გამოთვლა და შესაძლოა, სირთულე უკანა პლანზე გადავიდეს. მიმდინარეობს გრაფიკის გაშლის პროცესი სიბრტყეზე სამგანზომილებიანი სივრცის ნაჭერში. ამან გააჩინა კომპლექსური მათემატიკური პრობლემის შესახებ განსხვავებული შეხედულებების საჭიროება. თუმცა შედეგს დიდხანს არ დააყოვნებს. თუმცა, აღმავალი პროდუქტის რეალიზაციის მიმდინარე პროცესი ამახინჯებს ხაზების სივრცეს და იწერს ლიმიტს ონლაინ, რათა გაეცნოთ პრობლემის ფორმულირებას. პრობლემების დაგროვების პროცესის ბუნებრიობა განაპირობებს მათემატიკური დისციპლინების ყველა სფეროს ცოდნის აუცილებლობას. შესანიშნავი ლიმიტის კალკულატორი გახდება შეუცვლელი ინსტრუმენტი გამოცდილი სტუდენტების ხელში და ისინი დააფასებენ მის ყველა უპირატესობას ციფრული პროგრესის ანალოგებთან შედარებით. სკოლებში, რატომღაც, ონლაინ ლიმიტებს სხვანაირად უწოდებენ, ვიდრე ინსტიტუტებში. არგუმენტის ცვლილებისას ფუნქციის მნიშვნელობა გაიზრდება. L'Hopital-მა ასევე თქვა, რომ ფუნქციის ლიმიტის პოვნა მხოლოდ ბრძოლის ნახევარია, საჭიროა პრობლემის ლოგიკურ დასასრულამდე მიყვანა და პასუხი გაფართოებული ფორმით; რეალობა ადეკვატურია საქმეში ფაქტების არსებობისა. ონლაინ ლიმიტი ასოცირდება მათემატიკური დისციპლინების ისტორიულად მნიშვნელოვან ასპექტებთან და წარმოადგენს საფუძველს რიცხვების თეორიის შესწავლისთვის. მათემატიკური ფორმულების კოდირების გვერდი ხელმისაწვდომია ბრაუზერში კლიენტის ენაზე. როგორ გამოვთვალოთ ლიმიტი მისაღები ლეგალური მეთოდით, ფუნქციის იძულების გარეშე შეცვლა x-ღერძის მიმართულებით. ზოგადად, სივრცის რეალობა დამოკიდებულია არა მხოლოდ ფუნქციის ამოზნექილზე ან მის ჩაზნექილზე. ამოიღეთ ყველა უცნობი პრობლემა და ლიმიტების გადაჭრა გამოიწვევს თქვენს ხელთ არსებული მათემატიკური რესურსების ნაკლებ ხარჯვას. აღნიშნული პრობლემის გადაჭრა ასი პროცენტით გამოასწორებს ფუნქციონირებას. შედეგად მიღებული მათემატიკური მოლოდინი დეტალურად გამოავლენს ონლაინ ლიმიტს ყველაზე მცირე მნიშვნელოვანი სპეციალური თანაფარდობიდან გადახრის შესახებ. სამი დღე გავიდა მას შემდეგ, რაც მათემატიკური გადაწყვეტილება მიიღეს მეცნიერების სასარგებლოდ. ეს მართლაც სასარგებლო აქტივობაა. მიზეზის გარეშე, ონლაინ ლიმიტის არარსებობა ნიშნავს სიტუაციური პრობლემების გადაჭრის საერთო მიდგომის განსხვავებას. ცალმხრივი ლიმიტის უკეთესი სახელი 0/0 გაურკვევლობით მომავალში მოთხოვნადი იქნება. რესურსი შეიძლება იყოს არა მხოლოდ ლამაზი და კარგი, არამედ სასარგებლოც, როდესაც მას შეუძლია თქვენთვის ლიმიტის გამოთვლა. დიდი მეცნიერი, როგორც სტუდენტი, იკვლევდა სამეცნიერო ნაშრომის დაწერის ფუნქციებს. ათი წელი გავიდა. სხვადასხვა ნიუანსამდე, ღირს მათემატიკური მოლოდინის ცალსახად კომენტარის გაკეთება იმ ფაქტის სასარგებლოდ, რომ ფუნქციის ლიმიტი ისესხებს პრინციპების განსხვავებას. შეკვეთილ საცდელ სამუშაოს გამოეხმაურნენ. მათემატიკაში, სწავლებაში განსაკუთრებული ადგილი უკავია, უცნაურად საკმარისია, ონლაინ ლიმიტების შესწავლით ურთიერთგამომრიცხავი მესამე მხარის ურთიერთობებით. როგორც ჩვეულებრივ შემთხვევებში ხდება. არაფრის რეპროდუცირება არ გჭირდებათ. მათემატიკური თეორიებისადმი სტუდენტების მიდგომების გაანალიზების შემდეგ, ზღვრების ამოხსნას საფუძვლიანად დავტოვებთ საბოლოო ეტაპამდე. ეს არის შემდეგის მნიშვნელობა, შეისწავლეთ ტექსტი. რეფრაქცია ცალსახად განსაზღვრავს მათემატიკურ გამოხატვას, როგორც მიღებული ინფორმაციის არსს. ონლაინ ლიმიტი არის მრავალმხრივი ვექტორების ფარდობითობის მათემატიკური სისტემის ჭეშმარიტი პოზიციის განსაზღვრის არსი. ამ თვალსაზრისით, მე ვგულისხმობ საკუთარი აზრის გამოთქმას. როგორც წინა ამოცანაში. გამორჩეული ონლაინ ლიმიტი თავის გავლენას დეტალურად ავრცელებს სასწავლო სფეროში პროგრამის ანალიზის თანმიმდევრული შესწავლის მათემატიკურ ხედვას. თეორიის კონტექსტში, მათემატიკა უფრო მაღალია, ვიდრე უბრალოდ მეცნიერება. ერთგულება მოქმედებით ვლინდება. შეუძლებელი რჩება ზედიზედ რიცხვების ჯაჭვის განზრახ შეწყვეტა, რომელიც იწყებს მათ ზემოთ მოძრაობას, თუ ლიმიტი არასწორად არის გამოთვლილი. ორმხრივი ზედაპირი გამოიხატება ბუნებრივი სახით სრული ზომით. მათემატიკური ანალიზის შესწავლის უნარი ზღუდავს ფუნქციის ლიმიტს ფუნქციური სერიების თანმიმდევრობით, როგორც ეპსილონის სამეზობლო მოცემულ წერტილში. ფუნქციების თეორიისგან განსხვავებით, გამოთვლებში შეცდომები არ არის გამორიცხული, მაგრამ ეს გათვალისწინებულია სიტუაციით. გაყოფა ლიმიტით ონლაინ პრობლემა შეიძლება დაიწეროს ცვლადი დივერგენციის ფუნქციით სამგანზომილებიან სივრცეში არაწრფივი სისტემის სწრაფი პროდუქტისთვის. ტრივიალური შემთხვევა არის ოპერაციის საფუძველი. არ არის აუცილებელი იყო სტუდენტი ამ საქმის გასაანალიზებლად. მიმდინარე გაანგარიშების მომენტების მთლიანობა, თავდაპირველად ლიმიტების ამოხსნა განისაზღვრება, როგორც პროგრესის მთელი ინტეგრალური სისტემის ფუნქციონირება ორდინატთა ღერძის გასწვრივ რიცხვების მრავალრიცხოვან მნიშვნელობებზე. საბაზისო მნიშვნელობად ვიღებთ უმცირეს შესაძლო მათემატიკურ მნიშვნელობას. დასკვნა აშკარაა. თვითმფრინავებს შორის მანძილი ხელს შეუწყობს ონლაინ ლიმიტების თეორიის გაფართოებას, რადგან მნიშვნელობის სუბპოლარული ასპექტის განსხვავებული გაანგარიშების მეთოდის გამოყენებას არ აქვს რაიმე თანდაყოლილი მნიშვნელობა. შესანიშნავი არჩევანია, თუ ლიმიტის კალკულატორი მდებარეობს სერვერზე, ეს შეიძლება იქნას მიღებული ისე, როგორც არის ზედაპირის ცვლილების მნიშვნელობის დამახინჯების გარეშე, წინააღმდეგ შემთხვევაში, წრფივობის პრობლემა უფრო მაღალი გახდება. სრულმა მათემატიკურმა ანალიზმა გამოავლინა სისტემის არასტაბილურობა მის აღწერილობასთან ერთად წერტილის ყველაზე პატარა სამეზობლოში. როგორც ფუნქციის ნებისმიერი ლიმიტი ორდინატებისა და აბსცისების გადაკვეთის ღერძის გასწვრივ, შესაძლებელია ობიექტების რიცხვითი მნიშვნელობების მიმაგრება რომელიმე მინიმალურ სამეზობლოში კვლევის პროცესის ფუნქციონალური განაწილების მიხედვით. მოდით დავწეროთ დავალება წერტილი-პუნქტით. არის დაყოფა წერის ეტაპებად. აკადემიური განცხადებები იმის შესახებ, რომ ლიმიტის გამოთვლა ნამდვილად რთულია ან სულაც არ არის ადვილი, მხარს უჭერს ყველა ბაკალავრიატისა და მაგისტრატურის სტუდენტების მათემატიკური შეხედულებების ანალიზს გამონაკლისის გარეშე. შესაძლო შუალედური შედეგები არ იქნება დიდი ხნის წინ. ზემოაღნიშნული ლიმიტი დეტალურად არის შესწავლილი ონლაინ რეჟიმში ობიექტების სისტემური სხვაობის აბსოლუტურ მინიმუმზე, რომლის მიღმაც დამახინჯებულია მათემატიკის სივრცის წრფივობა. ფართობის უფრო დიდი ფართობის სეგმენტაცია არ გამოიყენება სტუდენტების მიერ მრავალჯერადი უთანხმოების გამოსათვლელად გამოკლებისთვის ონლაინ ლიმიტის კალკულატორის ჩაწერის შემდეგ. დაწყების შემდეგ მოსწავლეებს ავუკრძალავთ მათემატიკაში სივრცითი გარემოს შესწავლის ამოცანების გადახედვას. ვინაიდან უკვე ვიპოვეთ ფუნქციის ზღვარი, მოდით ავაშენოთ მისი შესწავლის გრაფიკი სიბრტყეზე. განსაკუთრებული ფერით გამოვყოთ ორდინატთა ცულები და ვაჩვენოთ ხაზების მიმართულება. არის სტაბილურობა. პასუხის დაწერის დროს გაურკვევლობა დიდი ხანია არსებობს. გამოთვალეთ ფუნქციის ზღვარი წერტილში, უბრალოდ საწყის პირობებში უსასრულობის ზღვრებს შორის სხვაობის ანალიზით. ეს მეთოდი არ არის ცნობილი ყველა მომხმარებლისთვის. ჩვენ გვჭირდება მათემატიკური ანალიზი. ლიმიტების გადაჭრა აგროვებს გამოცდილებას თაობების გონებაში მრავალი წლის განმავლობაში. შეუძლებელია პროცესი არ გაართულო. მის დასკვნაზე პასუხისმგებელი ყველა თაობის მოსწავლეა. ყოველივე ზემოაღნიშნული შეიძლება დაიწყოს ცვლილებას გარკვეული წერტილის ირგვლივ ფუნქციების პოზიციის დაფიქსირების არგუმენტის არარსებობის შემთხვევაში, რომელიც ჩამორჩება ზღვრულ კალკულატორებს საანგარიშო სიმძლავრის სხვაობის თვალსაზრისით. მოდით შევამოწმოთ ფუნქცია მიღებული პასუხის მისაღებად. დასკვნა აშკარა არ არის. მათემატიკური გამონათქვამების გარდაქმნის შემდეგ იმპლიციტური ფუნქციების საერთო რიცხვიდან გამორიცხვის შემდეგ, ბოლო ნაბიჯი რჩება ონლაინ საზღვრების სწორად და მაღალი სიზუსტით პოვნა. გამოცემული გადაწყვეტილების მისაღებობა ექვემდებარება შემოწმებას. პროცესი გრძელდება. მიმდევრობის განლაგებით ფუნქციებისგან იზოლირებულად და მათი უზარმაზარი გამოცდილების გამოყენებით, მათემატიკოსებმა უნდა გამოთვალონ ზღვარი, რათა დაასაბუთონ სწორი მიმართულება კვლევაში. ასეთ შედეგს თეორიული გაძლიერება არ სჭირდება. შეცვალეთ რიცხვების პროპორცია x ღერძზე არანულოვანი წერტილის გარკვეულ მიდამოებში ონლაინ ზღვრული კალკულატორის დახრილობის ცვლადი სივრცითი კუთხის მიმართ მათემატიკაში ჩაწერილი ამოცანის მიხედვით. მოდით დავაკავშიროთ ორი ტერიტორია სივრცეში. ამომხსნელებს შორის უთანხმოება იმის შესახებ, თუ როგორ იძენს ფუნქციის ზღვარი სივრცეში ცალმხრივი მნიშვნელობების თვისებებს, არ შეიძლება შეუმჩნეველი დარჩეს სტუდენტების გაძლიერებული ზედამხედველობითი შესრულება. მათემატიკის ონლაინ ლიმიტის მიმართულებამ დაიკავა ერთ-ერთი ყველაზე ნაკლებად სადავო პოზიცია სწორედ ამ ლიმიტების გამოთვლების გაურკვევლობასთან დაკავშირებით. ონლაინ ლიმიტის კალკულატორი ტოლფერდა სამკუთხედებისა და კუბების სიმაღლისთვის, წრის სამი რადიუსის გვერდით, დაეხმარება სტუდენტს ზეპირად ისწავლოს მეცნიერების ადრეულ ეტაპზე. მოდით, სტუდენტების სინდისს მივატოვოთ კვლევითი სიბრტყის მხრიდან მოქმედი მათემატიკური დასუსტებული სისტემის შესწავლის საზღვრების ამოხსნა. სტუდენტის შეხედულება რიცხვების თეორიაზე ორაზროვანია. ყველას თავისი აზრი აქვს. მათემატიკის შესწავლის სწორი მიმართულება ხელს შეუწყობს ლიმიტის გამოთვლას რეალური გაგებით, როგორც ეს არის მოწინავე ქვეყნების უნივერსიტეტებში. მათემატიკაში კოტანგენსი გამოითვლება როგორც ლიმიტის გამომთვლელი და არის ორი სხვა ელემენტარული ტრიგონომეტრიული ფუნქციის, კერძოდ არგუმენტის კოსინუსისა და სინუსის თანაფარდობა. ეს არის გამოსავალი სეგმენტების განახევრებისთვის. განსხვავებული მიდგომა ნაკლებად სავარაუდოა, რომ მოაგვაროს სიტუაცია წარსული მომენტის სასარგებლოდ. შეიძლება დიდხანს ვისაუბროთ იმაზე, თუ როგორ არის ძალიან რთული და უსარგებლო ონლაინ ლიმიტის დეტალურად გადაჭრა გააზრების გარეშე, თუმცა ეს მიდგომა მოსწავლეთა შინაგანი დისციპლინის უკეთესობისკენ გაზრდისკენაა მიმართული.

მუდმივი რიცხვი ადაურეკა ზღვარი თანმიმდევრობები(x n ), თუ რაიმე თვითნებურად მცირე დადებითი რიცხვისთვისε > 0 არის რიცხვი N, რომელსაც აქვს ყველა მნიშვნელობა x n, რომლისთვისაც n>N აკმაყოფილებს უტოლობას

|x n - a|< ε. (6.1)

ჩაწერეთ შემდეგნაირად: ან x n →ა.

უტოლობა (6.1) ორმაგი უტოლობის ტოლია

ა- ე< x n < a + ε, (6.2)

რაც ნიშნავს, რომ ქულები x n, დაწყებული რაღაც n>N რიცხვიდან, დევს ინტერვალის შიგნით (a-ε, a+ ε ), ე.ი. მოხვდება ნებისმიერ პატარაშიε - წერტილის სამეზობლო ა.

ლიმიტის მქონე მიმდევრობას ეწოდება კონვერგენტული, წინააღმდეგ შემთხვევაში - განსხვავებული.

ფუნქციის ლიმიტის კონცეფცია არის მიმდევრობის ლიმიტის ცნების განზოგადება, ვინაიდან მიმდევრობის ლიმიტი შეიძლება ჩაითვალოს მთელი რიცხვის არგუმენტის x n = f(n) ფუნქციის ზღვარად. ნ.

მოცემულია f(x) ფუნქცია და მოდით ა - ლიმიტის წერტილიამ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი D(f), ე.ი. ისეთი წერტილი, რომლის ნებისმიერი სამეზობლო შეიცავს D(f) სიმრავლის წერტილებს გარდა ა. Წერტილი აშეიძლება ეკუთვნოდეს ან არ იყოს D(f) სიმრავლეს.

განმარტება 1.მუდმივი რიცხვი A ეწოდება ზღვარი ფუნქციები f(x) ზე x→a, თუ რომელიმე თანმიმდევრობისთვის (x n) არგუმენტების მნიშვნელობები მიმართულია ა, შესაბამის მიმდევრობებს (f(x n)) აქვთ იგივე ზღვარი A.

ამ განმარტებას ე.წ ჰაინეს მიხედვით ფუნქციის ლიმიტის განსაზღვრით,ან " თანმიმდევრობის ენაზე”.

განმარტება 2. მუდმივი რიცხვი A ეწოდება ზღვარი ფუნქციები f(x) ზე x→a, თუ, თვითნებურად მცირე დადებითი რიცხვის ე მითითებით, შეიძლება ასეთი δ>0 (დამოკიდებულია ε), რომელიც ყველასთვისაა x, იწვარიცხვის ε-მეზობლები ა, ე.ი. ამისთვის x, უთანასწორობის დაკმაყოფილება
0 < x-a< ε , f(x) ფუნქციის მნიშვნელობები იქნებაε- A რიცხვის მეზობლობა, ე.ი.|f(x)-A|< ε.

ამ განმარტებას ე.წ ფუნქციის ლიმიტის განსაზღვრით კოშის მიხედვით,ან „ენაში ε - δ “.

1 და 2 განმარტებები ექვივალენტურია. თუ ფუნქცია f(x) x →აქვს ზღვარიტოლია A-ს, ეს იწერება ფორმაში

. (6.3)

იმ შემთხვევაში, თუ მიმდევრობა (f(x n)) იზრდება (ან მცირდება) მიახლოების ნებისმიერი მეთოდისთვის შეზღუდვის გარეშე xთქვენს ლიმიტამდე ა, მაშინ ვიტყვით, რომ f(x) ფუნქციას აქვს უსასრულო ზღვარი,და დაწერე ფორმაში:

ცვლადს (ანუ თანმიმდევრობას ან ფუნქციას), რომლის ზღვარი არის ნული, ეწოდება უსასრულოდ პატარა.

ცვლადი, რომლის ზღვარი უსასრულობის ტოლია, ეწოდება უსასრულოდ დიდი.

პრაქტიკაში ლიმიტის მოსაძებნად გამოიყენება შემდეგი თეორემები.

თეორემა 1 . თუ ყველა ლიმიტი არსებობს

(6.4)

(6.5)

(6.6)

კომენტარი. გამონათქვამები, როგორიცაა 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - გაურკვეველია, მაგალითად, ორი უსასრულოდ მცირე ან უსასრულოდ დიდი რაოდენობის თანაფარდობა და ამ ტიპის ლიმიტის პოვნას ეწოდება "გაურკვევლობის გამოვლენა".

თეორემა 2. (6.7)

იმათ. შეიძლება მუდმივი მაჩვენებლით სიმძლავრის მიხედვით ზღვარზე გადასვლა, კერძოდ, ;

(6.8)

(6.9)

თეორემა 3.

(6.10)

(6.11)

სად ე » 2.7 - ბუნებრივი ლოგარითმის საფუძველი. ფორმულებს (6.10) და (6.11) ეწოდება პირველი მშვენიერი ლიმიტიდა მეორე ღირსშესანიშნავი ზღვარი.

ფორმულის შედეგები (6.11) ასევე გამოიყენება პრაქტიკაში:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

კერძოდ ლიმიტი,

თუ x → a და ამავე დროს x > a, შემდეგ ჩაწერეთ x→a + 0. თუ, კერძოდ, a = 0, მაშინ სიმბოლოს ნაცვლად 0+0 ჩაწერეთ +0. ანალოგიურად თუ x→a და ამავე დროს x a-0. ნომრები და შესაბამისად იწოდებიან მარჯვენა ზღვარიდა მარცხენა ლიმიტი ფუნქციები f(x) წერტილში ა. იმისათვის, რომ არსებობდეს f(x) ფუნქციის ზღვარი, როგორც x→a არის აუცილებელი და საკმარისი იმისათვის, რომ . ფუნქცია f(x) ეწოდება უწყვეტი წერტილში x 0 თუ ლიმიტი

. (6.15)

პირობა (6.15) შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

ანუ ლიმიტზე გადასვლა ფუნქციის ნიშნით შესაძლებელია, თუ იგი მოცემულ წერტილში უწყვეტია.

თუ თანასწორობა (6.15) ირღვევა, მაშინ ჩვენ ამას ვამბობთ ზე x = x o ფუნქცია f(x) Მას აქვს უფსკრულიგანვიხილოთ ფუნქცია y = 1/x. ამ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის ნაკრები რ, გარდა x = 0. წერტილი x = 0 არის D(f) სიმრავლის ზღვრული წერტილი, ვინაიდან მის ნებისმიერ სამეზობლოში, ე.ი. ნებისმიერ ღია ინტერვალში, რომელიც შეიცავს 0 წერტილს, არის წერტილები D(f)-დან, მაგრამ ის თავად არ მიეკუთვნება ამ სიმრავლეს. მნიშვნელობა f(x o)= f(0) არ არის განსაზღვრული, ამიტომ x o = 0 წერტილში ფუნქციას აქვს უწყვეტობა.

ფუნქცია f(x) ეწოდება უწყვეტი მარჯვნივ წერტილში x o თუ ლიმიტი

და უწყვეტი მარცხნივ წერტილში x o, თუ ლიმიტი

ფუნქციის უწყვეტობა წერტილში xoექვივალენტურია მისი უწყვეტობისა ამ ეტაპზე, როგორც მარჯვნივ, ასევე მარცხნივ.

იმისათვის, რომ ფუნქცია იყოს უწყვეტი წერტილში xoმაგალითად, მარჯვნივ, აუცილებელია, ჯერ ერთი, იყოს სასრული ზღვარი და მეორეც, ეს ზღვარი ტოლი იყოს f(x o). ამიტომ, თუ ამ ორი პირობიდან ერთი მაინც არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ ფუნქციას ექნება შეწყვეტა.

1. თუ ლიმიტი არსებობს და არ უდრის f(x o), მაშინ ამბობენ, რომ ფუნქცია f(x) წერტილში x o აქვს პირველი სახის რღვევა,ან ნახტომი.

2. თუ ლიმიტი არის+∞ ან -∞ ან არ არსებობს, მაშინ ამბობენ, რომ in წერტილი xo ფუნქციას აქვს შეწყვეტა მეორე სახის.

მაგალითად, ფუნქცია y = cot x x-ზე→ +0-ს აქვს +∞-ის ტოლი ზღვარი, რაც ნიშნავს, რომ x=0 წერტილში მას აქვს მეორე სახის შეწყვეტა. ფუნქცია y = E(x) (მთლიანი ნაწილი x) მთლიანი აბსცისის წერტილებში აქვს პირველი სახის შეწყვეტა, ანუ ნახტომები.

ფუნქცია, რომელიც უწყვეტია ინტერვალის ყველა წერტილში, ეწოდება უწყვეტივ . უწყვეტი ფუნქცია წარმოდგენილია მყარი მრუდით.

ბევრი პრობლემა, რომელიც დაკავშირებულია გარკვეული რაოდენობის უწყვეტ ზრდასთან, იწვევს მეორე საყურადღებო ზღვარს. ასეთი ამოცანები, მაგალითად, მოიცავს: საბადოების ზრდა ნაერთი პროცენტის კანონის მიხედვით, ქვეყნის მოსახლეობის ზრდა, რადიოაქტიური ნივთიერებების დაშლა, ბაქტერიების გამრავლება და ა.შ.

განვიხილოთ I. Perelman-ის მაგალითინომრის ინტერპრეტაციას ერთული პროცენტის პრობლემაში. ნომერი ეარის ლიმიტი . შემნახველ ბანკებში საპროცენტო ფული ყოველწლიურად ემატება ძირითად კაპიტალს. თუ შეერთება ხდება უფრო ხშირად, მაშინ კაპიტალი უფრო სწრაფად იზრდება, ვინაიდან პროცენტის ფორმირებაში უფრო დიდი თანხაა ჩართული. ავიღოთ წმინდა თეორიული, ძალიან გამარტივებული მაგალითი. ბანკში 100 უარმყოფელი იყოს დეპონირებული. ერთეულები წლიური 100%-ის საფუძველზე. თუ საპროცენტო თანხა ძირითად კაპიტალს მხოლოდ ერთი წლის შემდეგ დაემატება, მაშინ ამ პერიოდისთვის 100 დენ. ერთეულები გადაიქცევა 200 ფულად ერთეულად. ახლა ვნახოთ, რაში გადაიქცევა 100 უარყოფა. ერთეულები, თუ საპროცენტო თანხა ემატება ძირითად კაპიტალს ყოველ ექვს თვეში ერთხელ. ექვსი თვის შემდეგ 100 დენ. ერთეულები გაიზრდება 100-მდე× 1.5 = 150 და კიდევ ექვსი თვის შემდეგ - 150× 1,5 = 225 (დენ. ერთეული). თუ შეერთება ხდება ყოველ 1/3 წელიწადში, მაშინ ერთი წლის შემდეგ 100 დენ. ერთეულები გადაიქცევა 100-ად× (1 +1/3) 3" 237 (დენ. ერთეული). ჩვენ გავზრდით საპროცენტო თანხის დამატების პირობებს 0.1 წლამდე, 0.01 წლამდე, 0.001 წლამდე და ა.შ. მერე 100 დენიდან. ერთეულები ერთი წლის შემდეგ იქნება:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (დენ. ერთეული),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (დენ. ერთეული),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (დენ. ერთეული).

პროცენტის დამატების პირობების შეუზღუდავი შემცირებით, დაგროვილი კაპიტალი განუსაზღვრელი ვადით არ იზრდება, მაგრამ უახლოვდება გარკვეულ ზღვარს, რომელიც უდრის დაახლოებით 271-ს. წლიური 100%-ით დეპონირებული კაპიტალი არ შეიძლება გაიზარდოს 2,71-ჯერ მეტით, თუნდაც დარიცხული პროცენტი. ყოველ წამს ემატებოდა დედაქალაქს ლიმიტის გამო

მაგალითი 3.1.რიცხვითი მიმდევრობის ზღვრის განსაზღვრის გამოყენებით დაამტკიცეთ, რომ x n =(n-1)/n მიმდევრობას აქვს 1-ის ტოლი ზღვარი.

გამოსავალი.ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ ეს, რაც არ უნდა მოხდესε > 0, რაც არ უნდა ავიღოთ, მისთვის არის ნატურალური რიცხვი N ისეთი, რომ ყველა n N-სთვის მოქმედებს უტოლობა|x n -1|< ε.

ავიღოთ ნებისმიერი e > 0. ვინაიდან ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, მაშინ N-ის საპოვნელად საკმარისია 1/n უტოლობის ამოხსნა.< ე. აქედან გამომდინარე n>1/ ე და, შესაბამისად, N შეიძლება მივიღოთ, როგორც 1/-ის მთელი რიცხვი e , N = E(1/ e ). ჩვენ ამით დავამტკიცეთ, რომ ლიმიტი.

მაგალითი 3.2 . იპოვეთ საერთო ტერმინით მოცემული მიმდევრობის ზღვარი .

გამოსავალი.გამოვიყენოთ ჯამის თეორემის ზღვარი და ვიპოვოთ თითოეული წევრის ზღვარი. როდესაც ნ→ ∞ თითოეული წევრის მრიცხველი და მნიშვნელი მიდრეკილია უსასრულობისკენ და ჩვენ არ შეგვიძლია პირდაპირ გამოვიყენოთ კოეფიციენტის ლიმიტის თეორემა. ამიტომ, პირველ რიგში, ჩვენ გარდაქმნით x nპირველი წევრის მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფა n 2, და მეორე ნ. შემდეგ, კოეფიციენტისა და ჯამის თეორემის ზღვრის გამოყენებით, ვპოულობთ:

მაგალითი 3.3. . იპოვე .

გამოსავალი. .

აქ ჩვენ გამოვიყენეთ ხარისხის თეორემის ზღვარი: ხარისხის ზღვარი უდრის ფუძის ლიმიტის ხარისხს.

მაგალითი 3.4 . იპოვე ( ).

გამოსავალი.შეუძლებელია განსხვავების ზღვრის თეორემის გამოყენება, რადგან გვაქვს ფორმის გაურკვევლობა ∞-∞ . მოდით გადავცვალოთ ზოგადი ტერმინის ფორმულა:

მაგალითი 3.5 . მოცემულია f(x)=2 1/x ფუნქცია. დაამტკიცეთ, რომ ლიმიტი არ არსებობს.

გამოსავალი.გამოვიყენოთ ფუნქციის ლიმიტის განმარტება 1 მიმდევრობით. ავიღოთ თანმიმდევრობა ( x n ) 0-მდე კონვერგირებადი, ე.ი. ვაჩვენოთ, რომ მნიშვნელობა f(x n)= განსხვავებულად იქცევა სხვადასხვა მიმდევრებისთვის. მოდით x n = 1/n. ცხადია, მაშინ ზღვარი მოდით ახლა ავირჩიოთ როგორც x nმიმდევრობა საერთო ტერმინით x n = -1/n, ასევე ნულისკენ მიდრეკილი. ამიტომ არანაირი შეზღუდვა არ არსებობს.

მაგალითი 3.6 . დაამტკიცეთ, რომ ლიმიტი არ არსებობს.

გამოსავალი.მოდით x 1 , x 2 ,..., x n ,... იყოს მიმდევრობა, რომლისთვისაც
. როგორ იქცევა მიმდევრობა (f(x n)) = (sin x n) სხვადასხვა x n-ისთვის → ∞

თუ x n = p n, მაშინ sin x n = sin p n = 0 ყველასთვის ნდა ლიმიტი თუ
x n =2 p n+ p /2, შემდეგ sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 ყველასთვის ნდა შესაბამისად ლიმიტი. ასე რომ, ის არ არსებობს.

ვიჯეტი ონლაინ ლიმიტების გამოსათვლელად

ზედა ფანჯარაში sin(x)/x-ის ნაცვლად შეიყვანეთ ფუნქცია, რომლის ლიმიტის პოვნაც გსურთ. ქვედა ფანჯარაში შეიყვანეთ რიცხვი, რომლისკენაც x მიდრეკილია და დააჭირეთ ღილაკს Calcular, მიიღეთ სასურველი ლიმიტი. და თუ შედეგის ფანჯარაში დააწკაპუნებთ ზედა მარჯვენა კუთხეში ნაბიჯების ჩვენებას, მიიღებთ დეტალურ გადაწყვეტას.

ფუნქციების შეყვანის წესები: sqrt(x) - კვადრატული ფესვი, cbrt(x) - კუბური ფესვი, exp(x) - ექსპონენტი, ln(x) - ბუნებრივი ლოგარითმი, sin(x) - სინუსი, cos(x) - კოსინუსი, tan (x) - tangent, cot(x) - კოტანგენსი, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - არქტანგენსი. ნიშნები: * გამრავლება, / გაყოფა, ^ გაძლიერება, ნაცვლად უსასრულობაუსასრულობა. მაგალითი: ფუნქცია შეყვანილია როგორც sqrt(tan(x/2)).