యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ మరియు నిరవధిక సమగ్రం

వాస్తవం 1. ఏకీకరణ అనేది భేదం యొక్క విలోమ చర్య, అనగా, ఈ ఫంక్షన్ యొక్క తెలిసిన ఉత్పన్నం నుండి ఒక ఫంక్షన్‌ను పునరుద్ధరించడం. ఆ విధంగా ఫంక్షన్ పునరుద్ధరించబడింది ఎఫ్(x) అంటారు యాంటీడెరివేటివ్ఫంక్షన్ కోసం f(x).

నిర్వచనం 1. ఫంక్షన్ ఎఫ్(x f(x) కొంత విరామంలో X, అన్ని విలువల కోసం అయితే xఈ విరామం నుండి సమానత్వం ఉంటుంది ఎఫ్ "(x)=f(x), అంటే, ఈ ఫంక్షన్ f(x) అనేది యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఎఫ్(x). .

ఉదాహరణకు, ఫంక్షన్ ఎఫ్(x) = పాపం x ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ f(x) = cos x మొత్తం సంఖ్య రేఖపై, x యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం (పాపం x)" = (కస్ x) .

నిర్వచనం 2. ఒక ఫంక్షన్ యొక్క నిరవధిక సమగ్రం f(x) అనేది దాని అన్ని యాంటీడెరివేటివ్‌ల సమితి. ఈ సందర్భంలో, సంజ్ఞామానం ఉపయోగించబడుతుంది

∫

f(x)dx

సంకేతం ఎక్కడ ఉంది ∫ సమగ్ర సంకేతం, ఫంక్షన్ అని పిలుస్తారు f(x) - సమగ్ర ఫంక్షన్, మరియు f(x)dx - సమగ్ర వ్యక్తీకరణ.

అందువలన, ఉంటే ఎఫ్(x) – కొన్ని యాంటీడెరివేటివ్ f(x) , అది

∫

f(x)dx = ఎఫ్(x) +సి

ఎక్కడ సి - ఏకపక్ష స్థిరాంకం (స్థిరమైన).

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్‌ల సమితిని నిరవధిక సమగ్రంగా అర్థం చేసుకోవడానికి, కింది సారూప్యత సముచితం. ఒక తలుపు (సాంప్రదాయ చెక్క తలుపు) ఉండనివ్వండి. దాని పని "ఒక తలుపు". తలుపు దేనితో తయారు చేయబడింది? కలపతో తయారైన. దీనర్థం ఏమిటంటే, “డోర్‌గా ఉండటం” అనే ఫంక్షన్ యొక్క సమగ్రత యొక్క యాంటీడెరివేటివ్‌ల సమితి, అంటే, దాని నిరవధిక సమగ్రత, “ట్రీ ​​+ సి” ఫంక్షన్, ఇక్కడ C అనేది స్థిరంగా ఉంటుంది, ఈ సందర్భంలో ఇది చేయవచ్చు ఉదాహరణకు, చెట్టు రకాన్ని సూచించండి. కొన్ని సాధనాలను ఉపయోగించి చెక్కతో తలుపును తయారు చేసినట్లే, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ నుండి "తయారు చేయబడింది" ఉత్పన్నాన్ని అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు మేము నేర్చుకున్న సూత్రాలు .

అప్పుడు సాధారణ వస్తువులు మరియు వాటి సంబంధిత యాంటీడెరివేటివ్‌ల ఫంక్షన్ల పట్టిక ("తలుపుగా" - "చెట్టుగా ఉండటానికి", "చెంచాగా ఉండటానికి" - "లోహంగా ఉండటానికి" మొదలైనవి) ప్రాథమిక పట్టికను పోలి ఉంటుంది. indefinite integrals, ఇది క్రింద ఇవ్వబడుతుంది. నిరవధిక సమగ్రాల పట్టిక ఈ విధులు "తయారు చేయబడిన" యాంటీడెరివేటివ్‌ల సూచనతో సాధారణ ఫంక్షన్‌లను జాబితా చేస్తుంది. నిరవధిక సమగ్రతను కనుగొనడంలో సమస్యలలో భాగంగా, ఎక్కువ శ్రమ లేకుండా నేరుగా ఏకీకృతం చేయగల సమగ్రతలు ఇవ్వబడ్డాయి, అంటే నిరవధిక సమగ్రాల పట్టికను ఉపయోగించడం. మరింత సంక్లిష్టమైన సమస్యలలో, సమగ్రతను ముందుగా మార్చాలి, తద్వారా పట్టిక సమగ్రాలను ఉపయోగించవచ్చు.

వాస్తవం 2. ఒక ఫంక్షన్‌ను యాంటీడెరివేటివ్‌గా పునరుద్ధరించేటప్పుడు, మనం తప్పనిసరిగా ఏకపక్ష స్థిరాంకం (స్థిరమైన)ని పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి. సి, మరియు 1 నుండి అనంతం వరకు వివిధ స్థిరాంకాలతో యాంటీడెరివేటివ్‌ల జాబితాను వ్రాయకుండా ఉండటానికి, మీరు ఏకపక్ష స్థిరాంకంతో యాంటీడెరివేటివ్‌ల సమితిని వ్రాయాలి. సి, ఉదాహరణకు, ఇలా: 5 x³+C. కాబట్టి, యాంటీడెరివేటివ్ యొక్క వ్యక్తీకరణలో ఏకపక్ష స్థిరాంకం (స్థిరమైన) చేర్చబడుతుంది, ఎందుకంటే యాంటీడెరివేటివ్ ఒక ఫంక్షన్ కావచ్చు, ఉదాహరణకు, 5 x³+4 లేదా 5 x³+3 మరియు భేదం చేసినప్పుడు, 4 లేదా 3 లేదా ఏదైనా ఇతర స్థిరాంకం సున్నాకి వెళుతుంది.

మనం ఇంటిగ్రేషన్ సమస్యను పోజ్ చేద్దాం: ఈ ఫంక్షన్ కోసం f(x) అటువంటి ఫంక్షన్‌ను కనుగొనండి ఎఫ్(x), దీని ఉత్పన్నంసమానంగా f(x).

ఉదాహరణ 1.ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్‌ల సమితిని కనుగొనండి

పరిష్కారం. ఈ ఫంక్షన్ కోసం, యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్

ఫంక్షన్ ఎఫ్(x) ఫంక్షన్ కోసం యాంటీడెరివేటివ్ అంటారు f(x), ఉత్పన్నం అయితే ఎఫ్(x) సమానముగా f(x), లేదా, అదే విషయం, అవకలన ఎఫ్(x) సమానంగా ఉంటుంది f(x) dx, అనగా

(2)

కాబట్టి, ఫంక్షన్ అనేది ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్. అయితే, ఇది మాత్రమే వ్యతిరేక ఉత్పన్నం కాదు. అవి విధులుగా కూడా పనిచేస్తాయి

ఎక్కడ తో- ఏకపక్ష స్థిరాంకం. ఇది భేదం ద్వారా ధృవీకరించబడవచ్చు.

ఈ విధంగా, ఒక ఫంక్షన్‌కు ఒక యాంటీడెరివేటివ్ ఉంటే, దాని కోసం అనంతమైన యాంటీడెరివేటివ్‌లు స్థిరంగా ఉంటాయి. ఒక ఫంక్షన్ కోసం అన్ని యాంటీడెరివేటివ్‌లు పై రూపంలో వ్రాయబడ్డాయి. ఇది క్రింది సిద్ధాంతం నుండి అనుసరిస్తుంది.

సిద్ధాంతం (వాస్తవం 2 యొక్క అధికారిక ప్రకటన).ఉంటే ఎఫ్(x) - ఫంక్షన్ కోసం యాంటీడెరివేటివ్ f(x) కొంత విరామంలో X, తర్వాత ఏదైనా ఇతర యాంటీడెరివేటివ్ f(x) అదే విరామంలో రూపంలో సూచించవచ్చు ఎఫ్(x) + సి, ఎక్కడ తో- ఏకపక్ష స్థిరాంకం.

తరువాతి ఉదాహరణలో, మేము నిరవధిక సమగ్రత యొక్క లక్షణాల తర్వాత, పేరా 3లో ఇవ్వబడిన సమగ్రాల పట్టికకు తిరుగుతాము. మేము మొత్తం పట్టికను చదివే ముందు దీన్ని చేస్తాము, తద్వారా పైన పేర్కొన్న సారాంశం స్పష్టంగా ఉంటుంది. మరియు పట్టిక మరియు లక్షణాల తర్వాత, మేము వాటిని ఏకీకరణ సమయంలో పూర్తిగా ఉపయోగిస్తాము.

ఉదాహరణ 2.యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్‌ల సెట్‌లను కనుగొనండి:

పరిష్కారం. మేము యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్‌ల సెట్‌లను కనుగొంటాము, ఈ ఫంక్షన్‌లు “మేడ్” చేయబడ్డాయి. సమగ్రాల పట్టిక నుండి సూత్రాలను ప్రస్తావిస్తున్నప్పుడు, ఇప్పుడు అలాంటి సూత్రాలు ఉన్నాయని అంగీకరించండి మరియు మేము నిరవధిక సమగ్రాల పట్టికను కొంచెం ముందుకు అధ్యయనం చేస్తాము.

1) సమగ్రాల పట్టిక నుండి ఫార్ములా (7)ని వర్తింపజేయడం n= 3, మేము పొందుతాము

2) ఇంటిగ్రల్స్ పట్టిక నుండి ఫార్ములా (10)ని ఉపయోగించడం n= 1/3, మాకు ఉంది

3) నుండి

అప్పుడు సూత్రం ప్రకారం (7) తో n= -1/4 మేము కనుగొన్నాము

ఇది సమగ్ర సంకేతం క్రింద వ్రాయబడిన ఫంక్షన్ కాదు. f, మరియు అవకలన ద్వారా దాని ఉత్పత్తి dx. యాంటీడెరివేటివ్ ఏ వేరియబుల్ ద్వారా కోరబడుతుందో సూచించడానికి ఇది ప్రాథమికంగా చేయబడుతుంది. ఉదాహరణకి,

, ;

ఇక్కడ రెండు సందర్భాల్లోనూ సమగ్రత సమానంగా ఉంటుంది, అయితే పరిగణించబడిన సందర్భాల్లో దాని నిరవధిక సమగ్రాలు భిన్నంగా ఉంటాయి. మొదటి సందర్భంలో, ఈ ఫంక్షన్ వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్‌గా పరిగణించబడుతుంది x, మరియు రెండవ లో - యొక్క విధిగా z .

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క నిరవధిక సమగ్రతను కనుగొనే ప్రక్రియను ఆ ఫంక్షన్‌ను సమగ్రపరచడం అంటారు.

నిరవధిక సమగ్రత యొక్క రేఖాగణిత అర్థం

మనం ఒక వక్రరేఖను కనుగొనవలసి ఉందని అనుకుందాం y=F(x)మరియు ప్రతి బిందువు వద్ద టాంజెంట్ కోణం యొక్క టాంజెంట్ ఇచ్చిన ఫంక్షన్ అని మనకు ఇప్పటికే తెలుసు f(x)ఈ పాయింట్ యొక్క అబ్సిస్సా.

ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్థం ప్రకారం, వక్రరేఖ యొక్క ఇచ్చిన బిందువు వద్ద టాంజెంట్ యొక్క వంపు కోణం యొక్క టాంజెంట్ y=F(x)ఉత్పన్నం విలువకు సమానం F"(x). కాబట్టి మనం అలాంటి ఫంక్షన్‌ను కనుగొనాలి F(x), దేని కొరకు F"(x)=f(x). పనిలో అవసరమైన ఫంక్షన్ F(x)యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ f(x). సమస్య యొక్క పరిస్థితులు ఒక వక్రరేఖ ద్వారా కాదు, వక్రరేఖల కుటుంబం ద్వారా సంతృప్తి చెందుతాయి. y=F(x)- ఈ వక్రతలలో ఒకటి, మరియు ఏదైనా ఇతర వక్రత అక్షం వెంట సమాంతర అనువాదం ద్వారా దాని నుండి పొందవచ్చు ఓయ్.

యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ని పిలుద్దాం f(x)సమగ్ర వక్రరేఖ. ఉంటే F"(x)=f(x), అప్పుడు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ y=F(x)ఒక సమగ్ర వక్రరేఖ ఉంది.

వాస్తవం 3. నిరవధిక సమగ్రం అన్ని సమగ్ర వక్రరేఖల కుటుంబం ద్వారా రేఖాగణితంగా సూచించబడుతుంది , దిగువ చిత్రంలో ఉన్నట్లుగా. అక్షాంశాల మూలం నుండి ప్రతి వక్రరేఖ యొక్క దూరం ఏకపక్ష ఏకీకరణ స్థిరాంకం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది సి.

నిరవధిక సమగ్రం యొక్క లక్షణాలు

వాస్తవం 4. సిద్ధాంతం 1. నిరవధిక సమగ్రం యొక్క ఉత్పన్నం సమగ్రతకు సమానం మరియు దాని అవకలన సమగ్రతకు సమానం.

వాస్తవం 5. సిద్ధాంతం 2. ఒక ఫంక్షన్ యొక్క అవకలన యొక్క నిరవధిక సమగ్రం f(x) ఫంక్షన్‌కు సమానం f(x) స్థిరమైన పదం వరకు , అనగా

(3)

సిద్ధాంతాలు 1 మరియు 2 భేదం మరియు ఏకీకరణ పరస్పర విలోమ కార్యకలాపాలని చూపుతాయి.

వాస్తవం 6. సిద్ధాంతం 3. సమగ్రతలోని స్థిరమైన కారకాన్ని నిరవధిక సమగ్ర సంకేతం నుండి తీసుకోవచ్చు , అనగా

సమగ్రాలను పరిష్కరించడం చాలా తేలికైన పని, కానీ ఎంపిక చేసిన కొంతమందికి మాత్రమే. ఈ వ్యాసం సమగ్రాలను అర్థం చేసుకోవడం నేర్చుకోవాలనుకునే వారి కోసం, కానీ వాటి గురించి ఏమీ లేదా దాదాపు ఏమీ తెలియదు. సమగ్ర... ఇది ఎందుకు అవసరం? దాన్ని ఎలా లెక్కించాలి? ఖచ్చితమైన మరియు నిరవధిక సమగ్రతలు అంటే ఏమిటి?

చేరుకోవడానికి కష్టతరమైన ప్రదేశాల నుండి ఉపయోగకరమైన ఏదైనా పొందడానికి సమగ్ర చిహ్నం ఆకారంలో ఉన్న క్రోచెట్ హుక్‌ని ఉపయోగించడం మాత్రమే సమగ్రం కోసం మీకు తెలిసిన ఏకైక ఉపయోగం అయితే, స్వాగతం! సరళమైన మరియు ఇతర సమగ్రాలను ఎలా పరిష్కరించాలో మరియు మీరు గణితంలో అది లేకుండా ఎందుకు చేయలేరని తెలుసుకోండి.

మేము భావనను అధ్యయనం చేస్తాము « సమగ్రమైన »

ప్రాచీన ఈజిప్టులో ఇంటిగ్రేషన్ తిరిగి తెలుసు. వాస్తవానికి, దాని ఆధునిక రూపంలో కాదు, కానీ ఇప్పటికీ. అప్పటి నుండి, గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఈ అంశంపై చాలా పుస్తకాలు రాశారు. ముఖ్యంగా తమను తాము ప్రత్యేకించుకున్నారు న్యూటన్ మరియు లీబ్నిజ్ , కానీ విషయాల సారాంశం మారలేదు.

మొదటి నుండి సమగ్రాలను ఎలా అర్థం చేసుకోవాలి? అవకాశమే లేదు! ఈ అంశాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి, మీకు గణిత విశ్లేషణ యొక్క ప్రాథమిక విషయాల గురించి ఇంకా ప్రాథమిక జ్ఞానం అవసరం. మా బ్లాగ్‌లో ఇంటిగ్రల్స్‌ను అర్థం చేసుకోవడానికి అవసరమైన సమాచారాన్ని మేము ఇప్పటికే కలిగి ఉన్నాము.

నిరవధిక సమగ్ర

మాకు కొంత ఫంక్షన్ చేద్దాం f(x) .

నిరవధిక సమగ్ర విధి f(x) ఈ ఫంక్షన్ అంటారు F(x) , దీని ఉత్పన్నం ఫంక్షన్‌కి సమానం f(x) .

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సమగ్రత అనేది రివర్స్‌లో ఉత్పన్నం లేదా యాంటీడెరివేటివ్. మార్గం ద్వారా, మా వ్యాసంలో ఎలా గురించి చదవండి.

అన్ని నిరంతర ఫంక్షన్లకు యాంటీడెరివేటివ్ ఉంది. అలాగే, స్థిరమైన సంకేతం తరచుగా యాంటిడెరివేటివ్‌కు జోడించబడుతుంది, ఎందుకంటే స్థిరంగా భిన్నంగా ఉండే ఫంక్షన్‌ల ఉత్పన్నాలు సమానంగా ఉంటాయి. సమగ్రతను కనుగొనే ప్రక్రియను ఏకీకరణ అంటారు.

సాధారణ ఉదాహరణ:

ఎలిమెంటరీ ఫంక్షన్ల యొక్క యాంటీడెరివేటివ్‌లను నిరంతరం లెక్కించకుండా ఉండటానికి, వాటిని పట్టికలో ఉంచడం మరియు రెడీమేడ్ విలువలను ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది.

విద్యార్థుల కోసం ఇంటిగ్రల్స్ యొక్క పూర్తి పట్టిక

ఖచ్చితమైన సమగ్ర

సమగ్ర భావనతో వ్యవహరిస్తున్నప్పుడు, మేము అనంతమైన పరిమాణాలతో వ్యవహరిస్తున్నాము. ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యం, ఏకరీతి కాని శరీరం యొక్క ద్రవ్యరాశి, అసమాన కదలిక సమయంలో ప్రయాణించిన దూరం మరియు మరెన్నో లెక్కించడానికి సమగ్రత సహాయపడుతుంది. ఒక సమగ్రత అనేది అనంతమైన పెద్ద సంఖ్యలో అనంతమైన పదాల మొత్తం అని గుర్తుంచుకోవాలి.

ఉదాహరణగా, కొన్ని ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను ఊహించండి.

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌తో పరిమితమైన ఫిగర్ వైశాల్యాన్ని ఎలా కనుగొనాలి? సమగ్రతను ఉపయోగించడం! కోఆర్డినేట్ అక్షాలు మరియు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ద్వారా పరిమితం చేయబడిన కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్‌ను అనంతమైన విభాగాలుగా విభజిద్దాము. ఈ విధంగా ఫిగర్ సన్నని నిలువు వరుసలుగా విభజించబడుతుంది. నిలువు వరుసల మొత్తం ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యం అవుతుంది. కానీ అలాంటి గణన సుమారుగా ఫలితాన్ని ఇస్తుందని గుర్తుంచుకోండి. అయితే, చిన్న మరియు ఇరుకైన విభాగాలు, మరింత ఖచ్చితమైన గణన ఉంటుంది. పొడవు సున్నాకి వచ్చేంత వరకు మనం వాటిని తగ్గిస్తే, విభాగాల వైశాల్యం మొత్తం ఫిగర్ వైశాల్యానికి మొగ్గు చూపుతుంది. ఇది ఒక ఖచ్చితమైన సమగ్రం, ఇది ఇలా వ్రాయబడింది:

పాయింట్లు a మరియు b ఏకీకరణ పరిమితులు అంటారు.

« సమగ్ర »

మార్గం ద్వారా! మా పాఠకులకు ఇప్పుడు 10% తగ్గింపు ఉంది

డమ్మీల కోసం సమగ్రాలను లెక్కించడానికి నియమాలు

నిరవధిక సమగ్రం యొక్క లక్షణాలు

నిరవధిక సమగ్రతను ఎలా పరిష్కరించాలి? ఇక్కడ మనం నిరవధిక సమగ్రం యొక్క లక్షణాలను పరిశీలిస్తాము, ఇది ఉదాహరణలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.

• సమగ్రం యొక్క ఉత్పన్నం సమగ్రానికి సమానం:

• సమగ్ర సంకేతం క్రింద నుండి స్థిరాంకం తీసుకోవచ్చు:

• మొత్తానికి పూర్ణాంకం సమగ్రాల మొత్తానికి సమానం. వ్యత్యాసానికి కూడా ఇది నిజం:

ఖచ్చితమైన సమగ్రత యొక్క లక్షణాలు

• సరళత:

• ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులను మార్చుకుంటే సమగ్ర మార్పుల సంకేతం:

• వద్ద ఏదైనాపాయింట్లు a, బిమరియు తో:

ఖచ్చితమైన సమగ్రం అనేది మొత్తం యొక్క పరిమితి అని మేము ఇప్పటికే కనుగొన్నాము. కానీ ఒక ఉదాహరణను పరిష్కరించేటప్పుడు నిర్దిష్ట విలువను ఎలా పొందాలి? దీని కోసం న్యూటన్-లీబ్నిజ్ సూత్రం ఉంది:

సమగ్రాలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు

క్రింద మేము నిరవధిక సమగ్ర మరియు పరిష్కారాలతో ఉదాహరణలను పరిశీలిస్తాము. పరిష్కారం యొక్క చిక్కులను మీరే గుర్తించాలని మేము సూచిస్తున్నాము మరియు ఏదైనా అస్పష్టంగా ఉంటే, వ్యాఖ్యలలో ప్రశ్నలు అడగండి.

పదార్థాన్ని బలోపేతం చేయడానికి, ఆచరణలో సమగ్రతలు ఎలా పరిష్కరించబడతాయి అనే దాని గురించి వీడియోను చూడండి. సమగ్రం వెంటనే ఇవ్వకపోతే నిరాశ చెందకండి. విద్యార్థుల కోసం ప్రొఫెషనల్ సర్వీస్‌ను సంప్రదించండి మరియు మూసి ఉన్న ఉపరితలంపై ఏదైనా ట్రిపుల్ లేదా వక్ర సమగ్రత మీ శక్తిలో ఉంటుంది.

>> ఇంటిగ్రేషన్ పద్ధతులు

ప్రాథమిక ఏకీకరణ పద్ధతులు

సమగ్ర, ఖచ్చితమైన మరియు నిరవధిక సమగ్రాల నిర్వచనం, సమగ్రాల పట్టిక, న్యూటన్-లీబ్నిజ్ సూత్రం, భాగాల ద్వారా ఏకీకరణ, సమగ్రాలను లెక్కించడానికి ఉదాహరణలు.

నిరవధిక సమగ్ర

ఇచ్చిన విరామం Xలో భేదాత్మకమైన F(x) ఫంక్షన్ అంటారు ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ f(x), లేదా f(x) యొక్క సమగ్రం, ప్రతి x X కోసం క్రింది సమానత్వం కలిగి ఉంటే:

F "(x) = f(x). (8.1)

ఇచ్చిన ఫంక్షన్ కోసం అన్ని యాంటీడెరివేటివ్‌లను కనుగొనడాన్ని దాని అంటారు అనుసంధానం. నిరవధిక సమగ్ర విధిఇచ్చిన విరామంలో f(x) అనేది f(x) ఫంక్షన్ కోసం అన్ని యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్‌ల సమితి; హోదా -

F(x) అనేది f(x) ఫంక్షన్‌కి కొంత యాంటీడెరివేటివ్ అయితే, ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

ఇక్కడ C అనేది ఏకపక్ష స్థిరాంకం.

సమగ్రాల పట్టిక

నిర్వచనం నుండి నేరుగా మేము నిరవధిక సమగ్రం యొక్క ప్రధాన లక్షణాలను మరియు పట్టిక సమగ్రాల జాబితాను పొందుతాము:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

పట్టిక సమగ్రాల జాబితా

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (మీ ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = ఆర్క్టాన్ x + సి

8. = ఆర్క్సిన్ x + సి

10. = - ctg x + C

వేరియబుల్ భర్తీ

అనేక ఫంక్షన్లను ఏకీకృతం చేయడానికి, వేరియబుల్ రీప్లేస్‌మెంట్ పద్ధతిని ఉపయోగించండి లేదా ప్రత్యామ్నాయాలు,ఇంటిగ్రల్స్‌ను పట్టిక రూపంలోకి తగ్గించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

ఫంక్షన్ f(z) [α,β]పై నిరంతరంగా ఉంటే, ఫంక్షన్ z =g(x) నిరంతర ఉత్పన్నం మరియు α ≤ g(x) ≤ β, అప్పుడు

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

అంతేకాకుండా, కుడి వైపున ఏకీకరణ తర్వాత, ప్రత్యామ్నాయం z=g(x) చేయాలి.

దీన్ని నిరూపించడానికి, అసలు సమగ్రతను రూపంలో వ్రాయడం సరిపోతుంది:

∫ f(g(x)) g "(x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

ఉదాహరణకి:

1)

2) .

భాగాల ద్వారా ఏకీకరణ పద్ధతి

u = f(x) మరియు v = g(x) నిరంతరాయంగా ఉండే ఫంక్షన్‌లుగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు, పని ప్రకారం,

d(uv))= udv + vdu లేదా udv = d(uv) - vdu.

వ్యక్తీకరణ d(uv) కోసం, యాంటీడెరివేటివ్ స్పష్టంగా uv అవుతుంది, కాబట్టి సూత్రం కలిగి ఉంటుంది:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

ఈ సూత్రం నియమాన్ని వ్యక్తపరుస్తుంది భాగాల ద్వారా ఏకీకరణ. ఇది udv=uv"dx వ్యక్తీకరణ యొక్క ఏకీకరణను vdu=vu"dx వ్యక్తీకరణ యొక్క ఏకీకరణకు దారి తీస్తుంది.

ఉదాహరణకు, మీరు ∫xcosx dxని కనుగొనాలనుకుంటున్నారు. u = x, dv = cosxdx, కాబట్టి du=dx, v=sinx అని పెట్టండి. అప్పుడు

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

భాగాల ద్వారా ఏకీకరణ నియమం వేరియబుల్స్ ప్రత్యామ్నాయం కంటే పరిమిత పరిధిని కలిగి ఉంటుంది. కానీ సమగ్రత యొక్క మొత్తం తరగతులు ఉన్నాయి, ఉదాహరణకు,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax మరియు ఇతరాలు, ఇవి భాగాల వారీగా ఏకీకరణను ఉపయోగించి ఖచ్చితంగా లెక్కించబడతాయి.

ఖచ్చితమైన సమగ్ర

ఖచ్చితమైన సమగ్ర భావన ఈ క్రింది విధంగా పరిచయం చేయబడింది. ఒక ఫంక్షన్ f(x)ని విరామంలో నిర్వచించనివ్వండి. మనం సెగ్మెంట్ [a,b]ని విభజిద్దాము nపాయింట్ల ద్వారా భాగాలు a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. f(ξ i)Δ x i రూపాన్ని మొత్తం అంటారు సమగ్ర మొత్తం, మరియు దాని పరిమితి λ = maxΔx i → 0, అది ఉనికిలో ఉండి మరియు పరిమితమైనట్లయితే, అంటారు ఖచ్చితమైన సమగ్రవిధులు f(x) యొక్క aముందు బిమరియు నియమించబడినది:

F(ξ i)Δx i (8.5).

ఈ సందర్భంలో ఫంక్షన్ f(x) అంటారు విరామంలో సమగ్రమైనది, a మరియు b సంఖ్యలు అంటారు సమగ్ర యొక్క దిగువ మరియు ఎగువ పరిమితులు.

ఈ క్రింది లక్షణాలు ఖచ్చితమైన సమగ్రానికి నిజమైనవి:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

చివరి ఆస్తి అంటారు సగటు విలువ సిద్ధాంతం.

f(x) పై నిరంతరంగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు ఈ విభాగంలో నిరవధిక సమగ్రత ఉంది

∫f(x)dx = F(x) + C

మరియు జరుగుతుంది న్యూటన్-లీబ్నిజ్ ఫార్ములా, నిశ్చిత సమగ్రతను నిరవధిక సమగ్రంతో కలుపుతూ:

F(b) - F(a). (8.6)

రేఖాగణిత వివరణ: ఖచ్చితమైన సమగ్రత అనేది కర్వ్ y=f(x), సరళ రేఖలు x = a మరియు x = b మరియు అక్షం యొక్క సెగ్మెంట్ ద్వారా పై నుండి సరిహద్దులుగా ఉన్న కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క ప్రాంతం. ఎద్దు.

సరికాని సమగ్రతలు

అనంతమైన పరిమితులతో కూడిన సమగ్రాలను మరియు నిరంతర (అపరిమిత) ఫంక్షన్ల సమగ్రాలను అంటారు. మీ స్వంతం కాదు. మొదటి రకం యొక్క సరికాని సమగ్రతలు -ఇవి అనంతమైన విరామంలో సమగ్రమైనవి, ఈ క్రింది విధంగా నిర్వచించబడ్డాయి:

(8.7)

ఈ పరిమితి ఉనికిలో ఉండి మరియు పరిమితమైతే, దానిని అంటారు f(x) యొక్క కన్వర్జెంట్ సరికాని సమగ్రంవిరామంలో [a,+ ∞), మరియు ఫంక్షన్ f(x) అంటారు అనంతమైన విరామంలో సమగ్రమైనది[a,+ ∞). లేకుంటే సమగ్రం అంటారు ఉనికిలో లేదు లేదా విభేదిస్తుంది.

విరామాలపై సరికాని సమగ్రతలు (-∞,b] మరియు (-∞, + ∞) అదేవిధంగా నిర్వచించబడ్డాయి:

అపరిమిత ఫంక్షన్ యొక్క సమగ్ర భావనను నిర్వచిద్దాం. అన్ని విలువలకు f(x) నిరంతరంగా ఉంటే xసెగ్మెంట్ , పాయింట్ c మినహా, f(x)కి అనంతమైన నిలిపివేత ఉంటుంది, అప్పుడు రెండవ రకం యొక్క సరికాని సమగ్రత f(x) a నుండి b వరకుమొత్తాన్ని అంటారు:

ఈ పరిమితులు ఉంటే మరియు పరిమితమైనవి. హోదా:

సమగ్ర గణనల ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 3.30.∫dx/(x+2)ని లెక్కించండి.

పరిష్కారం.మనం t = x+2, ఆపై dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +సి.

ఉదాహరణ 3.31. ∫ tgxdxని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. t=cosx, ఆపై ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

పరిష్కారం.

ఉదాహరణ3.33. కనుగొనండి.

పరిష్కారం. =

.

ఉదాహరణ3.34 . ∫arctgxdxని కనుగొనండి.

పరిష్కారం. భాగాల వారీగా కలుపుదాం. మనం u=arctgx, dv=dxని సూచిస్తాము. అప్పుడు du = dx/(x 2 +1), v=x, ఎక్కడ నుండి ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; ఎందుకంటే
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

ఉదాహరణ3.35 . ∫lnxdxని లెక్కించండి.

పరిష్కారం.భాగాల ఫార్ములా ద్వారా ఏకీకరణను వర్తింపజేస్తే, మేము పొందుతాము:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. అప్పుడు ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

ఉదాహరణ3.36 . ∫e x sinxdxని లెక్కించండి.

పరిష్కారం.మనం u = e x, dv = sinxdx, ఆపై du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx అని సూచిస్తాము. మేము సమగ్ర ∫e x cosxdxని భాగాల వారీగా కూడా అనుసంధానిస్తాము: u = e x, dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. మాకు ఉన్నాయి:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. మేము ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx సంబంధాన్ని పొందాము, దీని నుండి 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

ఉదాహరణ 3.37. J = ∫cos(lnx)dx/xని లెక్కించండి.

పరిష్కారం. dx/x = dlnx కాబట్టి, J= ∫cos(lnx)d(lnx). lnxని t ద్వారా భర్తీ చేస్తే, మేము J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C అనే పట్టికకు చేరుకుంటాము.

ఉదాహరణ 3.38 . J = గణించండి.

పరిష్కారం.= d(lnx)ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము lnx = tని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము. అప్పుడు J = .

నిర్వచనం 1

$$ సెగ్మెంట్‌లోని $y=f(x)$ ఫంక్షన్ కోసం యాంటీడెరివేటివ్ $F(x)$ అనేది ఈ సెగ్మెంట్‌లోని ప్రతి పాయింట్‌లో విభిన్నంగా ఉండే ఫంక్షన్ మరియు దాని ఉత్పన్నం కోసం క్రింది సమానత్వం కలిగి ఉంటుంది:

నిర్వచనం 2

ఇచ్చిన ఫంక్షన్ $y=f(x)$ యొక్క అన్ని యాంటీడెరివేటివ్‌ల సమితి, ఒక నిర్దిష్ట విభాగంలో నిర్వచించబడింది, ఇచ్చిన ఫంక్షన్ $y=f(x)$ యొక్క నిరవధిక సమగ్రం అంటారు. నిరవధిక సమగ్రతను $\int f(x)dx $ గుర్తుతో సూచిస్తారు.

డెరివేటివ్స్ మరియు డెఫినిషన్ 2 పట్టిక నుండి మేము ప్రాథమిక సమగ్రాల పట్టికను పొందుతాము.

ఉదాహరణ 1

ఇంటిగ్రల్స్ పట్టిక నుండి ఫార్ములా 7 యొక్క చెల్లుబాటును తనిఖీ చేయండి:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]

కుడి వైపుని వేరు చేద్దాం: $-\ln |\cos x|+C$.

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x) =tgx\]

ఉదాహరణ 2

ఇంటిగ్రల్స్ పట్టిక నుండి ఫార్ములా 8 యొక్క చెల్లుబాటును తనిఖీ చేయండి:

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]

కుడి వైపుని వేరు చేద్దాం: $\ln |\sin x|+C$.

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

ఉత్పన్నం సమగ్రానికి సమానం అని తేలింది. కాబట్టి, సూత్రం సరైనది.

ఉదాహరణ 3

సమగ్రాల పట్టిక నుండి ఫార్ములా 11" యొక్క చెల్లుబాటును తనిఖీ చేయండి:

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]

కుడి వైపుని వేరు చేద్దాం: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.

\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]

ఉత్పన్నం సమగ్రానికి సమానం అని తేలింది. కాబట్టి, సూత్రం సరైనది.

ఉదాహరణ 4

సమగ్రాల పట్టిక నుండి ఫార్ములా 12 యొక్క చెల్లుబాటును తనిఖీ చేయండి:

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C,\, \, C=const.\]

కుడి వైపుని వేరు చేద్దాం: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.

$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $ఉత్పన్నం సమగ్రతకు సమానం. కాబట్టి, సూత్రం సరైనది.

ఉదాహరణ 5

సమగ్రాల పట్టిక నుండి ఫార్ములా 13" యొక్క చెల్లుబాటును తనిఖీ చేయండి:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]

కుడి వైపుని వేరు చేద్దాం: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]

ఉత్పన్నం సమగ్రానికి సమానం అని తేలింది. కాబట్టి, సూత్రం సరైనది.

ఉదాహరణ 6

సమగ్రాల పట్టిక నుండి ఫార్ములా 14 యొక్క చెల్లుబాటును తనిఖీ చేయండి:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ సి ,\, \, C=const.\]

కుడి వైపుని వేరు చేద్దాం: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\ right)=\] \[ =\ frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt( x^(2) \pm a^(2) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]

ఉత్పన్నం సమగ్రానికి సమానం అని తేలింది. కాబట్టి, సూత్రం సరైనది.

ఉదాహరణ 7

సమగ్రతను కనుగొనండి:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\కుడి) dx.\]

మొత్తం సమగ్ర సిద్ధాంతాన్ని వుపయోగిద్దాం:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

సమగ్ర సంకేతం వెలుపల స్థిరమైన కారకాన్ని ఉంచడం గురించి సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

సమగ్రాల పట్టిక ప్రకారం:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

మొదటి సమగ్రతను లెక్కించేటప్పుడు, మేము నియమం 3ని ఉపయోగిస్తాము:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

అందుకే,

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]