Antitörəmə funksiyası və qeyri-müəyyən inteqral

Fakt 1. İnteqrasiya diferensiasiyanın tərs hərəkətidir, yəni funksiyanın bu funksiyanın məlum törəməsindən bərpasıdır. Beləliklə, funksiya bərpa edildi F(x) adlanır antitörəmə funksiyası üçün f(x).

Tərif 1. Funksiya F(x f(x) müəyyən intervalda X, bütün dəyərlər üçün x bu intervaldan bərabərlik qüvvədədir F "(x)=f(x), yəni bu funksiya f(x) antitörəmə funksiyasının törəməsidir F(x). .

Məsələn, funksiya F(x) = günah x funksiyasının əks törəməsidir f(x) = cos x bütün say xəttində, çünki x-in istənilən dəyəri üçün (günah x)" = (çünki x) .

Tərif 2. Funksiyanın qeyri-müəyyən inteqralı f(x) onun bütün antiderivativlərinin çoxluğudur. Bu vəziyyətdə qeyd istifadə olunur

∫

f(x)dx

işarəsi haradadır ∫ inteqral işarəsi, funksiyası adlanır f(x) – inteqral funksiyası və f(x)dx – inteqral ifadəsi.

Beləliklə, əgər F(x) – üçün bəzi antitörəmə f(x), Bu

∫

f(x)dx = F(x) +C

Harada C - ixtiyari sabit (sabit).

Qeyri-müəyyən inteqral kimi funksiyanın əks törəmələri çoxluğunun mənasını başa düşmək üçün aşağıdakı bənzətmə uyğundur. Bir qapı olsun (ənənəvi taxta qapı). Onun funksiyası “qapı olmaq”dır. Qapı nədən hazırlanır? Ağacdan hazırlanmışdır. Bu o deməkdir ki, “qapı olmaq” funksiyasının, yəni qeyri-müəyyən inteqralının əks törəmələri çoxluğu “ağac olmaq + C” funksiyasıdır, burada C sabitdir, bu kontekstdə hansı məsələn, ağacın növünü bildirir. Qapının ağacdan bəzi alətlərdən istifadə edilərək düzəldilməsi kimi, funksiyanın törəməsi də antitörəmə funksiyasından istifadə edərək “hazırlanır”. törəməni öyrənərkən öyrəndiyimiz düsturlar .

Sonra ümumi obyektlərin və onlara uyğun antitörəmələrin funksiyaları cədvəli (“qapı olmaq” - “ağac olmaq”, “qaşıq olmaq” - “metal olmaq” və s.) əsas cədvələ bənzəyir. aşağıda veriləcək qeyri-müəyyən inteqrallar. Qeyri-müəyyən inteqrallar cədvəlində bu funksiyaların “yaratıldığı” antitörəmələrin göstəricisi ilə ümumi funksiyalar verilmişdir. Qeyri-müəyyən inteqralın tapılması ilə bağlı məsələlərin bir hissəsində çox səy göstərmədən, yəni qeyri-müəyyən inteqrallar cədvəlindən istifadə etməklə birbaşa inteqrasiya oluna bilən inteqrallar verilir. Daha mürəkkəb məsələlərdə əvvəlcə inteqral çevrilməlidir ki, cədvəl inteqrallarından istifadə olunsun.

Fakt 2. Funksiyanı antiderivativ kimi bərpa edərkən ixtiyari sabiti (sabit) nəzərə almalıyıq. C, və 1-dən sonsuza qədər müxtəlif sabitləri olan antitörəmələrin siyahısını yazmamaq üçün ixtiyari sabiti olan antitörəmələr toplusunu yazmaq lazımdır. C məsələn, belə: 5 x³+C. Beləliklə, antiderivativin ifadəsinə ixtiyari sabit (sabit) daxil edilir, çünki antitörəmə funksiya ola bilər, məsələn, 5 x³+4 və ya 5 x³+3 və fərqləndirildikdə 4 və ya 3 və ya hər hansı digər sabit sıfıra keçir.

Gəlin inteqrasiya problemini qoyaq: bu funksiya üçün f(x) belə bir funksiya tapın F(x), kimin törəməsi bərabərdir f(x).

Misal 1. Funksiyanın əks törəmələri çoxluğunu tapın

Həll. Bu funksiya üçün antitörəmə funksiyadır

Funksiya F(x) funksiyası üçün antitörəmə adlanır f(x), törəmə olarsa F(x) bərabərdir f(x) və ya eyni şey olan diferensial F(x) bərabərdir f(x) dx, yəni.

(2)

Deməli, funksiya funksiyanın əks törəməsidir. Bununla belə, bu, üçün yeganə antiderivativ deyil. Onlar həm də funksiya kimi xidmət edirlər

Harada İLƏ– ixtiyari sabit. Bunu diferensiasiya yolu ilə yoxlamaq olar.

Beləliklə, bir funksiya üçün bir antitörəmə varsa, onun üçün sabit bir terminlə fərqlənən sonsuz sayda antitörəmə var. Funksiya üçün bütün əks törəmələr yuxarıdakı formada yazılır. Bu, aşağıdakı teoremdən irəli gəlir.

Teorem (2-ci faktın rəsmi ifadəsi).Əgər F(x) – funksiya üçün antitörəmə f(x) müəyyən intervalda X, sonra üçün hər hansı digər antiderivativ f(x) eyni intervalda formada təmsil oluna bilər F(x) + C, Harada İLƏ– ixtiyari sabit.

Növbəti misalda qeyri-müəyyən inteqralın xassələrindən sonra 3-cü bənddə veriləcək inteqrallar cədvəlinə müraciət edirik. Bütün cədvəli oxumadan əvvəl bunu edirik ki, yuxarıdakıların mahiyyəti aydın olsun. Cədvəldən və xassələrdən sonra inteqrasiya zamanı onlardan tam şəkildə istifadə edəcəyik.

Misal 2. Antitörəmə funksiyalar toplusunu tapın:

Həll. Bu funksiyaların “yaratıldığı” antitörəmə funksiyalar toplusunu tapırıq. İnteqrallar cədvəlindən düsturları qeyd edərkən, hələlik qəbul edin ki, orada belə düsturlar var və biz qeyri-müəyyən inteqrallar cədvəlinin özünü bir az daha öyrənəcəyik.

1) üçün inteqrallar cədvəlindən (7) düsturunun tətbiqi n= 3, alırıq

2) üçün inteqrallar cədvəlindən (10) düsturundan istifadə etməklə n= 1/3, bizdə var

3) O vaxtdan bəri

sonra (7) düsturuna uyğun olaraq n= -1/4 tapırıq

İnteqral işarəsi altında yazılan funksiyanın özü deyil. f, və onun məhsulu diferensialdır dx. Bu, ilk növbədə hansı dəyişən tərəfindən antiderivativin axtarıldığını göstərmək üçün edilir. Misal üçün,

, ;

burada hər iki halda inteqral bərabərdir, lakin hesab edilən hallarda onun qeyri-müəyyən inteqralları fərqli olur. Birinci halda bu funksiya dəyişənin funksiyası kimi qəbul edilir x, ikincisində isə - funksiyası kimi z .

Funksiyanın qeyri-müəyyən inteqralının tapılması prosesinə həmin funksiyanın inteqrasiyası deyilir.

Qeyri-müəyyən inteqralın həndəsi mənası

Tutaq ki, bir əyri tapmaq lazımdır y=F(x) və biz artıq bilirik ki, onun hər bir nöqtəsindəki tangens bucağının tangensi verilmiş funksiyadır f(x) bu nöqtənin absisi.

Törəmənin həndəsi mənasına görə əyrinin verilmiş nöqtəsindəki tangensin meyl bucağının tangensi y=F(x) törəmənin dəyərinə bərabərdir F"(x). Beləliklə, belə bir funksiyanı tapmaq lazımdır F(x), hansı üçün F"(x)=f(x). Tapşırıqda tələb olunan funksiya F(x)-nin antitörəməsidir f(x). Problemin şərtləri bir əyri ilə deyil, əyrilər ailəsi tərəfindən ödənilir. y=F(x)- bu əyrilərdən biri və hər hansı digər əyri ondan ox boyunca paralel köçürmə yolu ilə əldə edilə bilər ay.

-nin əks törəmə funksiyasının qrafikini adlandıraq f(x) inteqral əyri. Əgər F"(x)=f(x), sonra funksiyanın qrafiki y=F(x) inteqral əyri var.

Fakt 3. Qeyri-müəyyən inteqral həndəsi olaraq bütün inteqral əyrilər ailəsi ilə təmsil olunur. , aşağıdakı şəkildəki kimi. Hər bir əyrinin koordinatların başlanğıcından olan məsafəsi ixtiyari inteqrasiya sabiti ilə müəyyən edilir C.

Qeyri-müəyyən inteqralın xassələri

Fakt 4. Teorem 1. Qeyri-müəyyən inteqralın törəməsi inteqrana, diferensialı isə inteqrana bərabərdir.

Fakt 5. Teorem 2. Funksiya diferensialının qeyri-müəyyən inteqralı f(x) funksiyasına bərabərdir f(x) sabit müddətə qədər , yəni.

(3)

1 və 2-ci teoremlər göstərir ki, diferensiallaşma və inteqrasiya qarşılıqlı tərs əməllərdir.

Fakt 6. Teorem 3. İnteqraldakı sabit amili qeyri-müəyyən inteqralın işarəsindən çıxarmaq olar. , yəni.

İnteqralların həlli asan məsələdir, lakin yalnız seçilmiş bir neçə nəfər üçün. Bu məqalə inteqralları başa düşməyi öyrənmək istəyən, lakin onlar haqqında heç nə və ya demək olar ki, heç nə bilməyənlər üçündür. İnteqral... Niyə lazımdır? Onu necə hesablamaq olar? Müəyyən və qeyri-müəyyən inteqrallar hansılardır?

Əgər inteqral üçün bildiyiniz yeganə istifadə əlçatmaz yerlərdən faydalı bir şey əldə etmək üçün inteqral simvol kimi formalı qarmaqdan istifadə etməkdirsə, xoş gəlmisiniz! Ən sadə və digər inteqralları necə həll edəcəyinizi və riyaziyyatda niyə onsuz edə bilməyəcəyinizi öyrənin.

Konsepsiyanı öyrənirik « inteqral »

İnteqrasiya hələ Qədim Misirdə məlum idi. Təbii ki, müasir formada deyil, amma yenə də. O vaxtdan bəri riyaziyyatçılar bu mövzuda çoxlu kitablar yazmışlar. Xüsusilə özlərini fərqləndirdilər Nyuton Və Leybniz , lakin şeylərin mahiyyəti dəyişməyib.

İnteqralları sıfırdan necə başa düşmək olar? Heç bir şəkildə! Bu mövzunu başa düşmək üçün hələ də riyazi analizin əsasları haqqında əsas biliklərə ehtiyacınız olacaq. Bloqumuzda artıq inteqralları anlamaq üçün lazım olan haqqında məlumat var.

Qeyri-müəyyən inteqral

Gəlin bəzi funksiyalarımız olsun f(x) .

Qeyri-müəyyən inteqral funksiya f(x) bu funksiya adlanır F(x) törəməsi funksiyasına bərabər olan f(x) .

Başqa sözlə, inteqral tərs və ya əks törəmədir. Yeri gəlmişkən, məqaləmizdə necə olduğunu oxuyun.

Bütün davamlı funksiyalar üçün antitörəmə mövcuddur. Həm də antitörəmə tez-tez sabit işarə əlavə olunur, çünki sabit ilə fərqlənən funksiyaların törəmələri üst-üstə düşür. İnteqralın tapılması prosesi inteqrasiya adlanır.

Sadə misal:

Elementar funksiyaların antitörəmələrini daim hesablamamaq üçün onları cədvələ qoymaq və hazır qiymətlərdən istifadə etmək rahatdır.

Tələbələr üçün inteqralların tam cədvəli

Müəyyən inteqral

İnteqral anlayışı ilə məşğul olarkən, biz sonsuz kiçik kəmiyyətlərlə məşğul oluruq. İnteqral bir fiqurun sahəsini, qeyri-bərabər bir cismin kütləsini, qeyri-bərabər hərəkət zamanı qət edilən məsafəni və daha çoxunu hesablamağa kömək edəcəkdir. Yadda saxlamaq lazımdır ki, inteqral sonsuz sayda sonsuz kiçik şərtlərin cəmidir.

Nümunə olaraq hansısa funksiyanın qrafikini təsəvvür edin.

Funksiya qrafiki ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini necə tapmaq olar? İnteqraldan istifadə edin! Koordinat oxları və funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşan əyrixətti trapesiyanı sonsuz kiçik seqmentlərə bölək. Bu şəkildə rəqəm nazik sütunlara bölünəcəkdir. Sütunların sahələrinin cəmi trapezoidin sahəsi olacaqdır. Ancaq unutmayın ki, belə bir hesablama təxmini nəticə verəcəkdir. Lakin seqmentlər nə qədər kiçik və dar olarsa, hesablama bir o qədər dəqiq olacaqdır. Onları uzunluq sıfıra enəcək qədər azaldsaq, seqmentlərin sahələrinin cəmi rəqəmin sahəsinə meyl edəcəkdir. Bu, müəyyən bir inteqraldır və belə yazılmışdır:

a və b nöqtələrinə inteqrasiyanın hədləri deyilir.

« İnteqral »

Yeri gəlmişkən! Oxucularımız üçün artıq 10% endirim var

Dummiyalar üçün inteqralların hesablanması qaydaları

Qeyri-müəyyən inteqralın xassələri

Qeyri-müəyyən inteqralı necə həll etmək olar? Burada qeyri-müəyyən inteqralın xassələrinə baxacağıq ki, bu da misalların həlli zamanı faydalı olacaq.

• İnteqralın törəməsi inteqrana bərabərdir:

• Sabit inteqral işarəsi altından çıxarıla bilər:

• Cəmin inteqralı inteqralların cəminə bərabərdir. Bu, fərq üçün də doğrudur:

Müəyyən inteqralın xassələri

• Xəttilik:

• İnteqrasiya hədləri dəyişdirildikdə inteqralın işarəsi dəyişir:

• At hər hansı xal a, b Və ilə:

Artıq müəyyən inteqralın cəminin həddi olduğunu öyrəndik. Bəs nümunəni həll edərkən konkret dəyəri necə əldə etmək olar? Bunun üçün Nyuton-Leybniz düsturu var:

İnteqralların həlli nümunələri

Aşağıda qeyri-müəyyən inteqralı və həlli ilə nümunələri nəzərdən keçirəcəyik. Həllin incəliklərini özünüz anlamanızı təklif edirik və bir şey aydın deyilsə, şərhlərdə suallar verin.

Materialı möhkəmləndirmək üçün inteqralların praktikada necə həll edildiyi haqqında videoya baxın. İnteqral dərhal verilməzsə, ümidsiz olmayın. Tələbələr üçün peşəkar xidmətlə əlaqə saxlayın və qapalı səth üzərində istənilən üçlü və ya əyri inteqral sizin səlahiyyətinizdə olacaq.

>>İnteqrasiya üsulları

Əsas inteqrasiya üsulları

İnteqralın tərifi, müəyyən və qeyri-müəyyən inteqral, inteqrallar cədvəli, Nyuton-Leybniz düsturu, hissələr üzrə inteqral, inteqralların hesablanması nümunələri.

Qeyri-müəyyən inteqral

Verilmiş X intervalında diferensiallanan F(x) funksiyası deyilir funksiyanın əks törəməsi f(x) və ya f(x) inteqralı, əgər hər x ∈X üçün aşağıdakı bərabərlik olarsa:

F " (x) = f(x). (8.1)

Verilmiş funksiya üçün bütün əks törəmələrin tapılması onun adlanır inteqrasiya. Qeyri-müəyyən inteqral funksiya f(x) verilmiş intervalda X f(x) funksiyası üçün bütün əks törəmə funksiyaların çoxluğudur; təyinat -

Əgər F(x) f(x) funksiyasının hansısa əks törəməsidirsə, onda ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

burada C ixtiyari sabitdir.

İnteqrallar cədvəli

Birbaşa tərifdən qeyri-müəyyən inteqralın əsas xassələrini və cədvəlli inteqralların siyahısını əldə edirik:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Cədvəl inteqrallarının siyahısı

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arktan x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Dəyişən dəyişdirmə

Bir çox funksiyaları inteqrasiya etmək üçün dəyişən dəyişdirmə metodundan və ya istifadə edin əvəzetmələr, inteqralları cədvəl formasına endirməyə imkan verir.

Əgər f(z) funksiyası [α,β] üzərində kəsilməzdirsə, z =g(x) funksiyası davamlı törəmə və α ≤ g(x) ≤ β olur, onda

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Üstəlik, sağ tərəfdəki inteqrasiyadan sonra z=g(x) əvəzi aparılmalıdır.

Bunu sübut etmək üçün orijinal inteqralı aşağıdakı formada yazmaq kifayətdir:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Misal üçün:

1)

2) .

Parçalar üzrə inteqrasiya üsulu

u = f(x) və v = g(x) funksiyaları davamlı olan funksiyalar olsun. Sonra işə görə,

d(uv))= udv + vdu və ya udv = d(uv) - vdu.

d(uv) ifadəsi üçün antitörəmə açıq-aydın uv olacaq, ona görə də düstur belədir:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Bu düstur qaydanı ifadə edir hissələri ilə inteqrasiya. udv=uv"dx ifadəsinin vdu=vu"dx ifadəsinin inteqrasiyasına gətirib çıxarır.

Məsələn, ∫xcosx dx tapmaq istəyirsən. Gəlin u = x, dv = cosxdx qoyaq, ona görə də du=dx, v=sinx. Sonra

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Hissələr üzrə inteqrasiya qaydası dəyişənlərin əvəzlənməsindən daha məhdud əhatə dairəsinə malikdir. Lakin inteqralların bütün sinifləri var, məsələn,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax və başqaları, hissələr üzrə inteqrasiyadan istifadə etməklə dəqiq hesablanır.

Müəyyən inteqral

Müəyyən inteqral anlayışı aşağıdakı kimi təqdim olunur. F(x) funksiyası intervalda təyin olunsun. [a,b] seqmentini bölək n a= x 0 nöqtələri üzrə hissələr< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. f(ξ i)Δ x i formasının cəminə deyilir inteqral cəmi, və onun λ = maxΔx i → 0-dakı həddi, əgər mövcuddursa və sonludursa, adlanır. müəyyən inteqral f(x) funksiyaları aəvvəl b və təyin olunur:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Bu halda f(x) funksiyası çağırılır intervalda inteqral oluna bilir, a və b ədədləri çağırılır inteqralın aşağı və yuxarı hədləri.

Müəyyən bir inteqral üçün aşağıdakı xüsusiyyətlər doğrudur:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Son əmlak deyilir orta dəyər teoremi.

f(x) üzərində davamlı olsun. Sonra bu seqmentdə qeyri-müəyyən inteqral var

∫f(x)dx = F(x) + C

və baş verir Nyuton-Leybnits düsturu, müəyyən inteqralı qeyri-müəyyən inteqrala bağlayan:

F(b) - F(a). (8.6)

Həndəsi şərh: müəyyən inteqral yuxarıdan y=f(x) əyrisi, x = a və x = b düz xətləri və oxun seqmenti ilə məhdudlaşan əyrixətti trapezoidin sahəsidir. öküz.

Yanlış inteqrallar

Sonsuz hədləri olan inteqrallara və kəsikli (məhdudiyyətsiz) funksiyaların inteqrallarına deyilir. sənin deyil. Birinci növ düzgün olmayan inteqrallar - Bunlar sonsuz interval üzərində inteqrallardır və aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

(8.7)

Əgər bu hədd mövcuddursa və sonludursa, o zaman deyilir f(x)-in konvergent yanlış inteqralı[a,+ ∞) intervalında və f(x) funksiyası çağırılır sonsuz intervalda inteqral oluna bilir[a,+ ∞). Əks halda, inteqral deyilir mövcud deyil və ya ayrılır.

(-∞,b] və (-∞, + ∞) intervalları üzrə uyğun olmayan inteqrallar oxşar şəkildə təyin olunur:

Sərhədsiz funksiyanın inteqralı anlayışını müəyyən edək. Əgər f(x) bütün qiymətlər üçün davamlıdırsa x f(x)-in sonsuz kəsilməyə malik olduğu c nöqtəsi istisna olmaqla, seqment ikinci növ düzgün olmayan inteqral f(x) a-dan b-ə qədər məbləğ deyilir:

əgər bu məhdudiyyətlər mövcuddursa və sonludursa. Təyinat:

İnteqral hesablamaların nümunələri

Misal 3.30.∫dx/(x+2) hesablayın.

Həll. t = x+2, sonra dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Misal 3.31. ∫ tgxdx tapın.

Həll.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. t=cosx olsun, onda ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Həll.

Misal3.33. tap .

Həll. =

.

Misal3.34 . ∫arctgxdx tapın.

Həll. Gəlin hissələrə görə inteqrasiya edək. u=arctgx, dv=dx kimi işarə edək. Onda du = dx/(x 2 +1), v=x, buradan ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; çünki
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Misal3.35 . ∫lnxdx hesablayın.

Həll.İnteqrasiyanı hissələr düsturu ilə tətbiq edərək, əldə edirik:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Onda ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Misal3.36 . ∫e x sinxdx hesablayın.

Həll. u = e x, dv = sinxdx, sonra du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx işarə edək. ∫e x cosxdx inteqralını da hissələrə görə inteqral edirik: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Bizdə:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx münasibətini əldə etdik, ondan 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Misal 3.37. J = ∫cos(lnx)dx/x hesablayın.

Həll. dx/x = dlnx olduğundan, J= ∫cos(lnx)d(lnx). lnx-i t ilə əvəz edərək J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C inteqralına gəlirik.

Misal 3.38 . J = hesablayın.

Həll.= d(lnx) olduğunu nəzərə alaraq lnx = t əvəz edirik. Sonra J = .

Tərif 1

$$ seqmentində $y=f(x)$ funksiyası üçün $F(x)$ antiderivativi bu seqmentin hər bir nöqtəsində diferensiallana bilən funksiyadır və onun törəməsi üçün aşağıdakı bərabərlik yerinə yetirilir:

Tərif 2

Müəyyən seqmentdə müəyyən edilmiş $y=f(x)$ funksiyasının bütün antitörəmələrinin çoxluğuna verilmiş $y=f(x)$ funksiyasının qeyri-müəyyən inteqralı deyilir. Qeyri-müəyyən inteqral $\int f(x)dx $ simvolu ilə işarələnir.

Törəmələr cədvəlindən və tərif 2-dən əsas inteqrallar cədvəlini alırıq.

Misal 1

İnteqrallar cədvəlindən düstur 7-nin etibarlılığını yoxlayın:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]

Sağ tərəfi fərqləndirək: $-\ln |\cos x|+C$.

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x) =tgx\]

Misal 2

İnteqrallar cədvəlindən 8-ci düsturun etibarlılığını yoxlayın:

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]

Sağ tərəfi fərqləndirək: $\ln |\sin x|+C$.

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

Törəmə inteqrana bərabər oldu. Buna görə də formula düzgündür.

Misal 3

İnteqrallar cədvəlindən 11" düsturunun etibarlılığını yoxlayın:

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]

Sağ tərəfi fərqləndirək: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.

\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]

Törəmə inteqrana bərabər oldu. Buna görə də formula düzgündür.

Misal 4

12-ci düsturun etibarlılığını inteqral cədvəlindən yoxlayın:

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \sağ|+ C,\, \, C=const.\]

Sağ tərəfi fərqləndirək: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.

$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \sağ)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Törəmə inteqrana bərabər oldu. Buna görə də formula düzgündür.

Misal 5

İnteqrallar cədvəlindən 13" düsturunun etibarlılığını yoxlayın:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]

Sağ tərəfi fərqləndirək: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \sağ)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]

Törəmə inteqrana bərabər oldu. Buna görə də formula düzgündür.

Misal 6

İnteqrallar cədvəlindən 14-cü düsturun etibarlılığını yoxlayın:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C ,\, \, C=const.\]

Sağ tərəfi fərqləndirək: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm) a^(2) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\ frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt( x^(2) \pm a^(2) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]

Törəmə inteqrana bərabər oldu. Buna görə də formula düzgündür.

Misal 7

İnteqralı tapın:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]

Cəm inteqral teoremindən istifadə edək:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

Sabit əmsalı inteqral işarədən kənarda yerləşdirmək haqqında teoremdən istifadə edək:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

İnteqral cədvəlinə görə:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

Birinci inteqralı hesablayarkən 3-cü qaydadan istifadə edirik:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

Beləliklə,

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1) ) +C_(2) \]