いわゆる調和振動です。 調和振動 – ナレッジハイパーマーケット

調和振動は、引数への依存性がサイン関数またはコサイン関数の性質を持つ、任意の量の周期的変化の現象です。 たとえば、量は調和的に振動し、時間の経過とともに次のように変化します。

ここで、x は変化する量の値、t は時間、残りのパラメーターは一定です。 A は振動の振幅、ω は振動の周期周波数、 は振動の全位相、 は振動の初期位相です。

差動形式の一般調和振動

(この微分方程式に対する自明ではない解は、周期周波数を持つ調和振動です)

振動の種類

自由振動は、システムが平衡位置から離れた後、システムの内部力の影響下で発生します。 自由振動が調和的であるためには、振動系が線形（線形の運動方程式で記述される）である必要があり、その中でエネルギー散逸がないことが必要です（後者は減衰を引き起こします）。

強制振動は、外部の周期的な力の影響下で発生します。 それらが調和的であるためには、振動系が線形 (線形運動方程式で記述される) であり、外力自体が調和振動として時間の経過とともに変化する (つまり、この力の時間依存性が正弦波である) だけで十分です。 。

調和方程式

変動値 S の時間 t への依存性を示します。 これは、明示的な形式の自由調和振動の方程式です。 ただし、通常、振動方程式は、この方程式を微分形式で別の表現として理解されます。 明確にするために、式 (1) を次の形式でとります。

時間に関して 2 回微分してみます。

次の関係が成り立つことがわかります。

これは自由調和振動(微分形式)の方程式と呼ばれます。 式 (1) は微分方程式 (2) の解です。 方程式 (2) は 2 次微分方程式であるため、完全な解を得るには 2 つの初期条件が必要です (つまり、方程式 (1) に含まれる定数 A と   を決定します。 たとえば、t = 0 における振動システムの位置と速度です。

数学的な振り子は振動子であり、均一な重力場内の無重力の非伸縮性の糸または無重力のロッド上に位置する物質点で構成される機械システムです。 自由落下加速度 g を持つ一様な重力場に静止して吊り下げられた、長さ l の数学的な振り子の小さな自然振動の周期は、次と等しい。

振り子の振幅や質量には依存しません。

物理的な振り子は振動子であり、この体の質量中心ではない点、または力の作用方向に垂直な固定軸を基準として、任意の力の場で振動する固体です。この体の重心を通過します。

調和振動の方程式

調和振動の方程式は、身体座標の時間依存性を確立します。

初期瞬間のコサイングラフは最大値を持ち、初期瞬間のサイングラフはゼロ値を持ちます。 平衡位置から振動を調べ始めると、振動は正弦波を繰り返します。 最大偏差の位置から振動を考え始めると、振動はコサインで表されます。 あるいは、そのような振動は、初期位相を持つ正弦の公式で表すことができます。

調和振動時の速度と加速度の変化

サインまたはコサインの法則に従って時間の経過とともに変化するのは、体の座標だけではありません。 しかし、力、速度、加速度などの量も同様に変化します。 力と加速度は、振動体が変位が最大となる極限位置にあるときに最大となり、平衡位置を通過するとゼロになります。 逆に、極端な位置では速度はゼロであり、体が平衡位置を通過すると速度は最大値に達します。

振動が余弦の法則で表される場合

振動が正弦則に従って記述される場合

最大速度と加速度の値

依存関係の方程式 v(t) と a(t) を分析すると、三角関数の係数が 1 または -1 に等しい場合に速度と加速度が最大値を取ることが推測できます。 式で決まる

1.18 高調波振動とその特性

調和振動の定義。 調和振動の特性: 平衡位置からの変位、振動の振幅、振動の位相、振動の周波数と周期。 振動点の速度と加速度。 調和振動子のエネルギー。 調和振動子の例: 数学的、ばね、ねじり、物理的 中国の振り子。

音響学、無線工学、光学、その他の科学技術分野は、振動と波動の研究に基づいています。 振動理論は力学、特に航空機、橋梁、および特定の種類の機械や部品の強度計算において重要な役割を果たします。

振動 一定の間隔で繰り返されるプロセスです (すべての繰り返しプロセスが振動であるわけではありません)。 繰り返しプロセスの物理的性質に応じて、振動は機械的、電磁的、電気機械的などに区別されます。 機械的振動中、物体の位置と座標は周期的に変化します。

復元力 - 振動プロセスが発生する影響下にある力。 この力は、静止位置からずれた物体または物質点を元の位置に戻そうとします。

振動体への衝撃の性質に応じて、自由（または自然）振動と強制振動が区別されます。

振動系への影響の性質に応じて、自由振動、強制振動、自己振動、パラメトリック振動が区別されます。

無料 （自分の） 振動とは、システムに圧力が与えられた後、または平衡位置から取り除かれた後、放置されたシステム内で発生する振動です。 振動体に復元力のみが作用する場合、例としては糸に吊り下げられたボールの振動が挙げられます。 振動を引き起こすには、ボールを押すか、ボールを横に移動して放す必要があります。 エネルギー散逸が発生しない場合、自由振動は減衰されません。 ただし、実際の振動プロセスは減衰します。 振動体は運動抵抗力（主に摩擦力）の影響を受けます。

· 強制 このような振動は、振動系が周期的に変化する外部の力にさらされる振動と呼ばれます (たとえば、人々が足並みをそろえて橋の上を歩くときに発生する橋の振動など)。 多くの場合、システムは高調波とみなされる振動を起こします。

· 自己発振 , 強制振動と同様に、振動システムに対する外力の影響が伴いますが、これらの影響が発生する瞬間は振動システム自体によって設定されます。 つまり、システム自体が外部の影響を制御します。 自励振動システムの例としては、振り子が持ち上げられた錘やバネのねじれのエネルギーによって衝撃を受ける時計があり、この衝撃は振り子が中間位置を通過する瞬間に発生します。

· パラメトリック 振動は、振動システムのパラメーターが周期的に変化するときに発生します (ブランコに乗っている人は重心を周期的に上下させ、それによってシステムのパラメーターが変化します)。 特定の条件下では、システムは不安定になります。平衡位置からのランダムな逸脱により、振動が発生し、増加します。 この現象は振動のパラメトリック励起（つまり、システムのパラメーターを変更することによって振動が励起される）と呼ばれ、振動自体はパラメトリックと呼ばれます。

物理的性質は異なりますが、振動は同じパターンによって特徴付けられ、一般的な方法で研究されます。 重要な運動学的特性は、振動の形状です。 これは、振動中の 1 つまたは別の物理量の変化を記述する時間関数のタイプによって決まります。 最も重要な変動は、変動量が時間の経過とともに変化する変動です。 サインまたはコサインの法則に従って 。 彼らは呼ばれています 高調波 .

調和振動振動する物理量がサイン（またはコサイン）の法則に従って変化することを振動といいます。

このタイプの振動は、次の理由から特に重要です。 まず、自然界やテクノロジーの振動は、多くの場合、調和に非常に近い性質を持っています。 第二に、異なる形式（異なる時間依存性を持つ）の周期的プロセスは、調和振動の重ね合わせ、または重ね合わせとして表すことができます。

調和発振器の方程式

調和振動は、次の周期法則で説明されます。

米。 18.1. 調和振動

Z

(発振周期 T は、振動システムの状態が繰り返され (1 つの完全な振動が完了し)、振動位相が 2p ずつ増加するまでの最短時間です)。

そして 周波数
、単位時間あたりの振動数を決定します。 周波数の単位はこのような振動の周波数であり、その周期は 1 秒です。 この単位はと呼ばれます ヘルツ (Hz ).

発振周波数n は振動周期の逆数、つまり単位時間当たりに実行される完全な振動の数です。

振幅- 振動または波動中の変数の変位または変化の最大値。

発振位相- 周期関数の引数、または調和振動過程を記述する引数 (ω - 角周波数、 t- 時間、 - 振動の初期位相、つまり、最初の瞬間の振動の位相 t = 0).

調和振動する量の 1 時間微分と 2 時間微分も、同じ周波数の調和振動を実行します。

この場合、余弦則に従って書かれた調和振動の方程式が基礎として使用されます。 この場合、式 (18.2) の最初の式は振動する質点 (物体) の速度が変化する法則を表し、2 番目の式は振動する質点 (物体) の加速度が変化する法則を表します。

振幅
そして
それぞれ等しい
そして
。 ためらい
先に
による位相で; そしてためらい
先に
の上 。 価値観 あそして 与えられた初期条件から決定できる
そして
:

,
. (18.3)

発振器の振動のエネルギー

P

それらの。 このような振動の方程式は、固有振動数を表す (18.1) の形式になります。
。 準弾性力は 保守的 . したがって、このような調和振動の総エネルギーは一定に保たれなければなりません。 振動の過程で運動エネルギーが変換されます E に可能性の中に E P逆も同様で、平衡位置からの偏差が最も大きくなる瞬間では、総エネルギーは位置エネルギーの最大値に等しく、系が平衡位置を通過するとき、総エネルギーは最大値に等しくなります。運動エネルギーの。 運動エネルギーと位置エネルギーが時間の経過とともにどのように変化するかを調べてみましょう。

運動エネルギー：

位置エネルギー：

(18.5)

それを考慮すると、つまり 、最後の式は次のように記述できます。

したがって、調和振動の全エネルギーは一定であることがわかります。 関係 (18.4) と (18.5) から、運動エネルギーと位置エネルギーの平均値は互いに等しく、平均値は総エネルギーの半分であることがわかります。
そして
期間ごとの は 0.5 に等しくなります。 三角関数の公式を使用すると、運動エネルギーと位置エネルギーが周波数とともに変化することがわかります。
、つまり 調和振動の周波数の2倍の周波数を持ちます。

調和振動子の例には、ばね振り子、物理振り子、数学振り子、ねじり振り子などがあります。

1. スプリング振り子- これは質量 m の荷重であり、絶対弾性バネで吊り下げられ、弾性力 F = –kx (k はバネの剛性) の作用下で調和振動を実行します。 振り子の運動方程式は次の形式になります。 または (18.8) 式 (18.8) から、ばね振り子は周期周波数で法則 x = Асos(ω 0 t+φ) に従って調和振動を行うことがわかります。

(18.9) と期間

(18.10) 式 (18.10) は、フックの法則が満たされる範囲内の弾性振動、つまりばねの質量が物体の質量に比べて小さい場合に当てはまります。 (18.9) と前のセクションの位置エネルギーの公式を使用すると、ばね振り子の位置エネルギーは次のようになります (18.5 を参照)

2. 物理的な振り子は、物体の質量中心 C とは一致しない点 O を通過する固定水平軸の周りで重力の影響下で振動する固体です (図 1)。

図 18.3 物理的な振り子

振り子が平衡位置から特定の角度 α だけ偏向すると、剛体の回転運動の力学方程式を使用して、復元力のモーメント M (18.11) ここで、J は振り子の慣性モーメントです。吊り点 O を通過する軸に対する振り子の相対距離、l は軸と振り子の質量中心の間の距離、F τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα は復元力 (マイナス記号は F の方向が異なることを示します)振り子の振動は小さいと考えられるため、τ と α は常に反対です。sinα ≈ α です。つまり、振り子は平衡位置から小さい角度で偏向されます。 式 (18.11) を次のように書きます。

または、(18.12) を使用すると、次の方程式が得られます。

(18.8) と同じで、その解は次のように求められ、記述されます。

(18.13) 式 (18.13) から、小さな振動の場合、物理的な振り子は周期周波数 ω 0 と周期で調和振動を行うことがわかります。

(18.14) ここで、値 L=J/(m 私) - 。 振り子サスペンションの点Oから短縮長Lの距離にある、直線OSの延長線上の点O"をいいます。 スイングセンター物理的な振り子 (図 18.3)。 軸の慣性モーメントにシュタイナーの定理を適用すると、次のようになります。

つまり、OO" は常に OS より大きくなります。振り子の停止点 O とスイングの中心 O" は、 互換性のあるプロパティ: 吊り下げ点がスイングの中心に移動した場合、前の吊り下げ点 O が新しいスイングの中心となり、物理的な振り子の振動周期は変わりません。

3. 数学の振り子は、質量 m の物質点で構成される理想的なシステムであり、この物質点は、伸長不可能な無重力の糸に吊り下げられ、重力の影響下で振動します。 数学的な振り子の適切な近似は、長く細い糸に吊り下げられた小さくて重いボールです。 数学的な振り子の慣性モーメント

(8) ここで 私- 振り子の長さ。

数学的な振り子は物理的な振り子の特殊なケースであるため、そのすべての質量が 1 点、つまり質量の中心に集中していると仮定すると、(8) を (7) に代入することで、周期の式が得られます。数学的な振り子の小さな振動 (18.15) 式 (18.13 ) と (18.15) を比較すると、物理的な振り子の短縮された長さ L が長さに等しいことがわかります。 私数学的な振り子の場合、これらの振り子の振動周期は同じになります。 手段、 物理的な振り子の長さの短縮- これは、振動周期が特定の物理的な振り子の振動周期と一致する数学的な振り子の長さです。 数学的な振り子（質量を持つ質点）の場合 メートル、無重力で伸びない長さの糸に吊り下げられています。 私自由落下加速度が次の重力場に等しい場合 g) 平衡位置からの小さな偏角 (5 ～ 10 度を超えない) での振動の固有振動数:
.

4. 弾性糸またはその他の弾性要素に吊り下げられ、水平面内で振動する物体は、 ねじり振り子。

これは、弾性変形力を利用した機械振動システムです。 図では、 図 18.4 は、ねじり振動を実行する線形調和振動子の角度のアナログを示しています。 水平に配置されたディスクは、その質量の中心に取り付けられた弾性糸にぶら下がっています。 ディスクが角度 θ だけ回転すると、力のモーメントが発生します。 M弾性ねじり変形の制御:

どこ 私 = 私Cは質量中心を通過する軸に対するディスクの慣性モーメント、ε は角加速度です。

バネの荷重と類推すると、次のようになります。

あらゆる量の変化はサインまたはコサインの法則を使用して記述され、そのような振動は調和と呼ばれます。 コンデンサ（回路に含める前に充電済み）とインダクタで構成される回路を考えてみましょう（図1）。

写真1。

調和振動方程式は次のように記述できます。

$q=q_0cos((\オメガ)_0t+(\アルファ)_0)$ (1)

$t$ は時間です。 $q$ 電荷、$q_0$-- 変化中の電荷の平均 (ゼロ) 値からの最大偏差。 $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- 発振位相; $(\alpha )_0$- 初期段階。 $(\omega )_0$ - サイクリック周波数。 期間中、位相は $2\pi $ ずつ変化します。

次の形式の方程式:

アクティブ抵抗を含まない発振回路の差動形式の高調波振動の方程式。

あらゆるタイプの周期振動は、調和振動の合計、いわゆる調和系列として正確に表現できます。

コイルとコンデンサで構成される回路の発振周期については、トムソンの公式が得られます。

式 (1) を時間で微分すると、関数 $I(t)$ の式が得られます。

コンデンサの両端の電圧は次のように求められます。

式 (5) と (6) から、電流の強さがコンデンサの電圧より $\frac(\pi )(2).$ だけ進んでいることがわかります。

調和振動は、方程式、関数、ベクトル図の両方の形式で表現できます。

式 (1) は、減衰されていない自由振動を表します。

減衰振動方程式

抵抗を考慮した回路内のコンデンサプレートの電荷変化($q$)は(図2)、次の形式の微分方程式で表されます。

図2.

回路の一部である抵抗が $R\ の場合

$\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ は周期発振周波数です。 $\beta =\frac(R)(2L)-$減衰係数。 減衰振動の振幅は次のように表されます。

$t=0$ でコンデンサの電荷が $q=q_0$ に等しく、回路に電流が存在しない場合、$A_0$ に対して次のように書くことができます。

最初の瞬間 ($(\alpha )_0$) における振動の位相は次のようになります。

$R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ の場合、電荷の変化が振動ではないため、コンデンサの放電は非周期的と呼ばれます。

例1

エクササイズ：最大チャージ値は $q_0=10\ C$ です。 $T= 5 s$の周期で調和的に変化します。 可能な最大電流を決定します。

解決：

問題を解決するための基礎として、以下を使用します。

現在の強さを求めるには、式 (1.1) を時間で微分する必要があります。

ここで、現在の強度の最大値 (振幅値) は次の式になります。

問題の条件から、電荷の振幅値 ($q_0=10\ C$) がわかります。 振動の固有周波数を見つける必要があります。 それを次のように表現しましょう。

\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1.4\right).\]

この場合、望ましい値は式 (1.3) と (1.2) を使用して次のように求められます。

問題条件のすべての量は SI システムで提示されるため、計算を実行します。

答え：$I_0=12.56\ A.$

例 2

エクササイズ：回路内の電流の強さが法則に従って変化する場合、インダクタ $L=1$H とコンデンサを含む回路の発振周期はいくらですか: $I\left(t\right)=-0.1sin20\ pi t\ \left(A \right)?$ コンデンサの静電容量はいくらですか?

解決：

問題の条件で与えられる電流変動の方程式より、次のようになります。

$(\omega )_0=20\pi $ であることがわかり、次の式を使用して振動周期を計算できます。

\ \

インダクタとコンデンサを含む回路に関するトムソンの公式によれば、次のようになります。

容量を計算してみます。

答え：$T=0.1$ c, $C=2.5\cdot (10)^(-4)F.$

調和振動は、サインとコサインの法則に従って行われる振動です。 次の図は、余弦の法則に従った、時間の経過に伴う点の座標の変化のグラフを示しています。

写真

発振振幅

調和振動の振幅は、平衡位置からの物体の変位の最大値です。 振幅はさまざまな値をとることができます。 それは、最初の瞬間に体を平衡位置からどれだけ変位させるかによって決まります。

振幅は初期条件、つまり最初の瞬間に身体に与えられるエネルギーによって決まります。 サインとコサインは -1 から 1 までの範囲の値を取ることができるため、方程式には振動の振幅を表す係数 Xm が含まれている必要があります。 調和振動の運動方程式:

x = Xm*cos(ω0*t)。

発振周期

振動の周期は、1 つの完全な振動が完了するまでにかかる時間です。 振動の周期は文字 T で示されます。周期の測定単位は時間の単位に対応します。 つまり、SI では秒です。

発振周波数は、単位時間当たりに実行される発振の数です。 発振周波数は文字 ν で示されます。 発振周波数は発振周期で表すことができます。

ν = 1/T。

周波数の単位は SI 1/秒です。 この測定単位はヘルツと呼ばれます。 2*pi 秒間の振動数は次のようになります。

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T。

発振周波数

この量は振動の周期周波数と呼ばれます。 一部の文献では、循環周波数という名前が表示されます。 振動系の固有周波数は、自由振動の周波数です。

固有振動の周波数は、次の式を使用して計算されます。

固有振動の周波数は、材料の特性と負荷の質量によって異なります。 ばねの剛性が大きいほど、ばね自身の振動の周波数も大きくなります。 負荷の質量が大きくなるほど、固有振動の周波数は低くなります。

これら 2 つの結論は明らかです。 スプリングが硬ければ硬いほど、システムのバランスが崩れたときに体に加わる加速度は大きくなります。 物体の質量が大きいほど、この物体の速度の変化は遅くなります。

自由発振期間:

T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)

小さい偏向角では、ばね上の本体の振動周期と振り子の振動周期が振動の振幅に依存しないことは注目に値します。

数学的な振り子の自由振動の周期と周波数の公式を書き留めてみましょう。

そうすれば期間は等しくなります

T = 2*pi*√(l/g)。

この式は、偏向角が小さい場合にのみ有効です。 式から、振り子の糸の長さが増加すると、振動周期が増加することがわかります。 長さが長いほど本体の振動は遅くなります。

振動の周期は負荷の質量にはまったく依存しません。 ただし、それは自由落下の加速度に依存します。 g が減少すると、発振周期は増加します。 この性質は実際に広く使用されています。 たとえば、自由加速度の正確な値を測定します。