xを使った分数方程式の解き方。 分数の解法ルールを含む方程式

分数を使った方程式自体は難しくなく、非常に興味深いものです。 分数方程式の種類とその解き方を見てみましょう。

分子に x を含む分数を含む方程式を解く方法

未知数が分子に含まれる分数方程式が与えられた場合、解は追加の条件を必要とせず、不必要な手間をかけずに解決されます。 このような方程式の一般的な形式は x/a + b = c です。ここで、x は未知数、a、b、c は通常の数です。

x を求めます: x/5 + 10 = 70。

方程式を解くには、分数を取り除く必要があります。 方程式の各項に 5 を掛けます: 5x/5 + 5x10 = 70x5。 5x と 5 はキャンセルされ、10 と 70 に 5 が掛けられ、x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300 となります。

x を求めます: x/5 + x/10 = 90。

この例は、最初の例を少し複雑にしたバージョンです。 ここで考えられる解決策は 2 つあります。

• オプション 1: 方程式のすべての項に大きな分母、つまり 10 を掛けて分数を取り除きます。 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x=300。
• オプション 2: 方程式の左辺を追加します。 x/5 + x/10 = 90。共通の分母は 10 です。10 を 5 で割って x を掛けると、2x が得られます。 10 を 10 で割って x を掛けると、x が得られます: 2x+x/10 = 90。 したがって、2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300 となります。

x が等号の反対側にある分数方程式によく遭遇します。 このような状況では、X が付いているすべての分数を一方の側に移動し、数字をもう一方の側に移動する必要があります。

• x を求めます: 3x/5 = 130 – 2x/5。
• 2x/5 を反対の符号で右に移動します: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130。
• 5x/5 を削減すると、x = 130 が得られます。

分母に x を含む方程式を解く方法

このタイプの分数方程式では、追加の条件を記述する必要があります。 これらの条件を指定することは必須であり、正しい決定を行うために不可欠な部分です。 追加しないと、答えが (たとえ正しいとしても) 単にカウントされない可能性があるため、リスクが生じます。

x が分母にある分数方程式の一般的な形式は、a/x + b = c です。ここで、x は未知数、a、b、c は通常の数です。 x には数値を指定できないことに注意してください。 たとえば、x は 0 で割ることができないため、0 に等しくすることはできません。 これはまさに、指定する必要がある追加条件です。 これは許容値の範囲と呼ばれ、VA と略されます。

x を求めます: 15/x + 18 = 21。

すぐに x の ODZ を書きます: x ≠ 0。ODZ が示されたので、標準スキームに従って方程式を解き、分数を取り除きます。 方程式のすべての項に x を掛けます。 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5。

多くの場合、分母に x だけでなく、加算や減算などの他の演算が含まれる方程式があります。

x を求めます: 15/(x-3) + 18 = 21。

分母がゼロに等しくないことはすでにわかっています。これは、x-3 ≠ 0 を意味します。-3 を右側に移動し、「-」記号を「+」に変更すると、x ≠ 3 が得られます。ODZ は次のとおりです。と示されている。

方程式を解き、すべてに x-3 を掛けます: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63。

X を右に、数字を左に移動します: 24 = 3x => x = 8。

説明書

おそらくここで最も明白な点は、もちろんです。 数値的な分数には危険はありません (すべての分母に数値のみが含まれる分数方程式は通常線形になります)。ただし、分母に変数がある場合は、これを考慮して書き留める必要があります。 まず、分母を 0 にする x はあり得ないということであり、一般に x がこの数に等しくあり得ないという事実を別途述べる必要がある。 分子に代入することに成功したとしても、すべてが完全に収束し、条件を満たします。 第二に、方程式のどちらの辺にもゼロに等しい を掛けることはできません。

この後、そのような方程式は、0 が右側に残るように、すべての項を左側に移動するように縮小されます。

必要に応じて分子に不足している式を掛けて、すべての項を共通の分母にする必要があります。
次に、分子に書かれた通常の方程式を解きます。 共通の因数を括弧から取り出したり、省略した乗算を使用したり、類似した因数を取得したり、判別式を通じて二次方程式の根を計算したりすることができます。

結果は、括弧の積 (x-(i 番目の根)) の形式で因数分解されます。 これには、根を持たない多項式、たとえば、判別式が 0 未満の 2 次三項式も含まれる場合があります (もちろん、ほとんどの場合のように、問題に実根のみが含まれる場合)。
分母を因数分解し、分子にすでに含まれているかっこを見つけることが不可欠です。 分母に (x-(数値)) のような式が含まれている場合、公分母に換算するときに括弧を直接乗算せず、元の単純な式の積として残す方が適切です。
分子と分母の同じ括弧は、前述したように、x の条件を最初に書き留めることによって短縮できます。
答えは、中括弧内に x 値のセットとして、または単に列挙として (x1=...、x2=... など) 記述されます。

出典:

• 分数有理方程式

物理学、数学、化学において欠かせないもの。 少しでも。 それらを解決するための基本を学びましょう。

説明書

最も一般的で単純な分類は、含まれる変数の数と、これらの変数がどの程度存在するかに応じて分類できます。

すべての根を使って方程式を解くか、根がないことを証明してください。

どの方程式も根は P 個しかありません。ここで、P は指定された方程式の最大値です。

しかし、これらのルーツの一部は一致する可能性があります。 したがって、たとえば、方程式 x^2+2*x+1=0 (^ は累乗のアイコン) は、式 (x+1) の 2 乗、つまり 2 つの同一の積の積に折り畳まれます。括弧。それぞれの括弧は解として x=- 1 を与えます。

方程式内に未知数が 1 つだけある場合、その根 (実数または複素数) を明示的に見つけることができることを意味します。

このためには、おそらくさまざまな変換が必要になります: 乗算の省略、二次方程式の判別式と根の計算、ある部分から別の部分への項の変換、公分母への約分、方程式の両方の部分の同じものによる乗算。四角形などで表現します。

方程式の根に影響を与えない変換は同一です。 これらは、方程式を解くプロセスを簡素化するために使用されます。

従来の分析手法の代わりにグラフ手法を使用し、この方程式をフォームに記述して検討を実行することもできます。

方程式内に複数の未知数がある場合、そのうちの 1 つをもう一方に関して表現することしかできないため、一連の解が示されます。 これらは、たとえば、未知の x とパラメータ a が存在するパラメータを持つ方程式です。 パラメトリック方程式を解くということは、すべての a について x を a に関して表現すること、つまり、考えられるすべてのケースを考慮することを意味します。

方程式に未知数の導関数または微分が含まれている場合 (図を参照)、おめでとうございます。これは微分方程式であり、高度な数学な​​しでは実行できません)。

出典:

• アイデンティティ変換

問題を解決するには 分数で、それらを使って算術を行う方法を学ぶ必要があります。 小数も使用できますが、ほとんどの場合、分子と分母を持つ自然分数が使用されます。 この後初めて、分数に関する数学的問題の解決に進むことができます。

必要になるだろう

• - 電卓;
• - 分数の性質に関する知識。
• - 分数を使った演算を実行する機能。

説明書

分数は、ある数値を別の数値で割る表記法です。 多くの場合、これを完全に実行することはできないため、このアクションは未完了のままになります。 割り切れる数 (分数記号の上または前に表示される) は分子と呼ばれ、2 番目の数 (分数記号の下または後) は分母と呼ばれます。 分子が分母より大きい場合、その分数は仮分数と呼ばれ、そこから全体を切り離すことができます。 分子が分母より小さい場合、そのような分数は適切と呼ばれ、その整数部分は 0 に等しくなります。

タスクいくつかのタイプに分かれます。 タスクがそれらのどれに属するかを決定します。 最も簡単なオプションは、分数で表された数値の小数部を見つけることです。 この問題を解決するには、この数値に分数を掛けるだけです。 たとえば、8トンのジャガイモが届けられました。 最初の週で全体の 3/4 が売れました。 ジャガイモは何個残っていますか？ この問題を解決するには、8 に 3/4 を掛けます。 8∙3/4=6t となります。

数値をその部分で見つける必要がある場合は、数値の既知の部分に、数値のこの部分の割合を示す逆分数を掛けます。 たとえば、そのうちの 8 人は生徒総数の 1/3 を占めます。 何個入りますか？ 8 人は全体の 1/3 を表す部分なので、3/1 またはちょうど 3 となる逆分数を求めます。そしてクラスの生徒数は 8 ∙ 3 = 24 となります。

ある数字が別の数字のどの部分であるかを調べる必要がある場合は、その部分を表す数字を全体である数字で割ります。 たとえば、距離が 300 km で、車が 200 km 走行した場合、これは合計距離のどの部分になりますか? パス 200 の一部を完全なパス 300 で除算し、小数部分を減らした結果が得られます。 200/300=2/3。

既知の数値がある場合にその数値の未知の分数を見つけるには、整数を従来の単位として取り、そこから既知の分数を引きます。 たとえば、レッスンの 4/7 がすでに経過している場合、まだ時間は残っていますか? レッスン全体を 1 つの単位として、そこから 4/7 を引きます。 1-4/7=7/7-4/7=3/7を取得します。

「分数有理方程式を解く」

レッスンの目標:

教育:

分数有理方程式の概念の形成。 分数有理方程式を解くさまざまな方法を検討します。 分数がゼロに等しいという条件を含む分数有理方程式を解くアルゴリズムを検討します。 アルゴリズムを使用して分数有理方程式を解くことを教えます。 テストを実施してトピックの習熟度を確認します。

発達:

獲得した知識を正しく操作し、論理的に考える能力を開発します。 知的スキルと精神的操作の開発 - 分析、総合、比較、一般化。 自発性の開発、決定を下す能力、そしてそこで止まらないこと。 批判的思考の発達。 研究スキルの開発。

教育:

主題に対する認知的関心を促進する。 教育問題の解決における自主性を促進する。 最終的な結果を達成するための意志と忍耐力を養います。

レッスンタイプ: レッスン - 新しい教材の説明。

授業中

1. 組織的な瞬間。

こんにちは皆さん！ 黒板に方程式が書いてあるので、よく見てください。 これらの方程式をすべて解くことができますか? どれがそうではないのか、またその理由は何ですか?

左辺と右辺が分数有理式である方程式を分数有理方程式といいます。 今日の授業では何を学ぶと思いますか? レッスンのトピックを作成します。 そこで、ノートを開いて、「分数有理方程式を解く」という授業のテーマを書き留めます。

2. 知識を更新する。 正面調査、クラスでの口頭調査。

そして今、新しいトピックを研究するために必要な主要な理論的資料を繰り返します。 次の質問に答えてください。

1. 方程式とは何ですか? ( 変数との等価性.)

2. 方程式 1 の名前は何ですか? ( 線形.) 線形方程式を解く方法。 ( 未知数を含むすべてのものを方程式の左側に移動し、すべての数値を右側に移動します。 似たような用語をあげてください。 未知の要因を見つける).

3. 方程式 3 の名前は何ですか? ( 四角。) 二次方程式を解く方法。 ( ビエタの定理とその帰結を使用した公式を使用して完全な正方形を分離する.)

4. 比例とは何ですか? ( 2 つの比率が等しい.) 比例の主な性質。 ( 比率が正しい場合、その極項の積は中間項の積と等しくなります。.)

5. 方程式を解くときにどのような特性が使用されますか? ( 1. 方程式内の項を符号を変えてある部分から別の部分に移動すると、指定された方程式と等価な方程式が得られます。 2. 方程式の両辺をゼロ以外の同じ数値で乗算または除算すると、指定された方程式と等価な方程式が得られます。.)

6. 分数がゼロになるのはいつですか? ( 分子がゼロで分母がゼロでない場合、分数はゼロに等しくなります。.)

3. 新素材の説明。

方程式 2 をノートとボード上で解きます。

答え: 10.

比例の基本的な性質を使用して、どのような分数有理方程式を解くことができますか? (その5)。

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

方程式 4 をノートとボード上で解きます。

答え: 1,5.

方程式の両辺に分母を掛けることで解ける分数有理方程式は何ですか? (その6)。

D=1›0、x1=3、x2=4。

答え: 3;4.

ここで、次のいずれかの方法を使用して方程式 7 を解いてみます。

なぜこれが起こったのか説明してください。 ある場合にはルートが 3 つあり、別の場合には 2 つあるのはなぜですか? この分数有理方程式の根は何ですか?

これまで生徒たちは無関係なルートという概念に遭遇したことがありませんでしたが、なぜこれが起こったのかを理解するのは確かに非常に困難です。 クラスの誰もこの状況を明確に説明できない場合、教師は誘導的な質問をします。

方程式 No. 2 および 4 は方程式 No. 5、6、7 とどのように異なりますか? ( 式No.2と式4は分母に数字があり、式No.5～7は変数を使った式です。.) 方程式の根は何ですか? ( 方程式が真となる変数の値.) 数値が方程式の根であるかどうかを確認するにはどうすればよいですか? ( チェックを入れる.)

テスト中に、ゼロで除算しなければならないことに気づく生徒もいます。 彼らは、数字 0 と 5 はこの方程式の根ではないと結論付けています。 この誤差をなくすことができる分数有理方程式を解く方法はあるのでしょうか?という疑問が生じます。 はい、この方法は、分数がゼロに等しいという条件に基づいています。

x2-3x-10=0、D=49、x1=5、x2=-2。

x=5 の場合、x(x-5)=0 になります。これは、5 が無関係なルートであることを意味します。

x=-2 の場合、x(x-5)≠0 になります。

答え: -2.

このように分数有理方程式を解くアルゴリズムを定式化してみましょう。 子どもたちは自分たちでアルゴリズムを組み立てます。

分数有理方程式を解くアルゴリズム:

1. すべてを左側に移動します。

2. 分数を共通の分母に分解します。

3. システムを作成します。分子がゼロに等しく、分母がゼロに等しくない場合、分数はゼロに等しくなります。

4. 方程式を解きます。

5. 不等式をチェックして、無関係な根を除外します。

6. 答えを書き留めます。

ディスカッション: 比例の基本特性を使用し、方程式の両辺に共通の分母を掛ける場合に、解を形式化する方法。 (解決策に追加: 共通の分母を消滅させるものをルートから除外します)。

4. 新しい内容の最初の理解。

ペアで作業します。 方程式の種類に応じて、生徒自身が方程式の解き方を選択します。 教科書「代数 8」、2007 年からの課題: No. 000 (b、c、i)。 No.000(a、d、g)。 教師は課題の完了を監視し、生じた質問に答え、成績の悪い生徒を支援します。 セルフテスト: 答えはボードに書かれます。

b) 2 – 無関係なルート。 答え: 3.

c) 2 – 無関係なルート。 答え: 1.5。

a) 答え: -12.5。

g) 答え: 1;1.5。

5. 宿題を設定する。

2. 分数有理方程式を解くアルゴリズムを学びます。

3. ノート No.000 (a、d、e) で解きます。 No.000(g,h)。

4. No.000(a) (オプション) を解いてみます。

6. 研究テーマに関する制御タスクを完了する。

作業は紙の上で行われます。

タスクの例:

A) 分数有理式の方程式はどれですか?

B) 分子が____________、分母が_____________の場合、分数はゼロに等しくなります。

Q) 数値 -3 は方程式 6 の根ですか?

D) 方程式 No. 7 を解きます。

課題の評価基準:

学生がタスクの 90% 以上を正しく完了した場合は、「5」が与えられます。 「4」 - 75% ～ 89% 「3」 - 50% ～ 74% 「2」は、課題の 50% 未満を完了した生徒に与えられます。 ジャーナルでは 2 の評価は与えられません。3 はオプションです。

7. 反省。

独立したワークシートに次のように書きます。

1 – レッスンが興味深く、理解できたかどうか。 2 – 興味深いですが、明確ではありません。 3 – 面白くはないが、理解できる。 4 – 面白くない、明確ではない。

8. レッスンをまとめます。

そこで、今日の授業では、分数有理方程式に慣れ、これらの方程式をさまざまな方法で解く方法を学び、独立した教育活動の助けを借りて自分たちの知識をテストしました。 次のレッスンで自主的な作業の結果を学び、自宅で知識を定着させる機会が得られます。

分数有理方程式を解くためのどの方法が、より簡単で、より親しみやすく、より合理的だと思いますか? 分数有理方程式を解く方法に関係なく、何を覚えておく必要がありますか? 分数有理方程式の「ずるさ」とは何でしょうか?

皆さんありがとう、レッスンは終わりました。

この式を簡略化するために最小公倍数が使用されます。この方法は、方程式の各辺に 1 つの有理式を使用して特定の方程式を書くことができない (および乗算の十字法を使用できない) 場合に使用されます。 この方法は、3 つ以上の分数を含む有理方程式が与えられた場合に使用されます (分数が 2 つの場合は、十字乗算を使用する方が適切です)。

方程式の使用は私たちの生活の中で広く使われています。 それらは多くの計算、構造物の建設、さらにはスポーツにも使用されます。 人類は古代に方程式を使用しましたが、それ以来、その使用は増加するばかりです。 5 年生では、数学の生徒はかなり多くの新しいトピックを勉強しますが、そのうちの 1 つは分数方程式です。 多くの人にとって、これはかなり複雑なトピックであり、親は子供が理解できるように手助けする必要があります。親が数学を忘れた場合でも、方程式を解くオンライン プログラムをいつでも使用できます。 したがって、例を使用すると、分数を使用した方程式を解くアルゴリズムをすぐに理解し、お子様を助けることができます。

以下では、わかりやすくするために、次の形式の単純な分数線形方程式を解きます。

\[\frac(x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]

このタイプの方程式を解くには、NOS を決定し、方程式の左辺と右辺にそれを乗算する必要があります。

\[\frac (x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]

これにより、各分数項の分母と共通分母が相殺されるため、単純な一次方程式が得られます。

未知の項を左に移動してみましょう。

左辺と右辺を -7 で割ってみましょう。

得られた結果から、部品全体を選択できます。これが、この分数方程式を解く最終結果になります。

分数を含む方程式をオンラインでどこで解くことができますか?

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